Актуальность исследования. Экономический рост современного общества, как известно, инициируется научным потенциалом, в том числе и прикладной математики, и образованностью членов этого общества. Это необходимые условия прогресса общественных отношений, но они не являются достаточными. Для решения задач обеспечения экономического роста недостаточно подготовить высококвалифицированных, исполнительных работников. Современное информационное общество и его развивающаяся экономика нуждаются в энергичных и инициативных высококвалифицированных специалистах, умеющих принимать и грамотно реализовывать самостоятельные творческие решения, отвечать за их осуществление. В современной России в условиях перехода к правовому государству, к демократическому обществу, к рыночной экономике интересы общества, в целом, и ее отдельных личностей начинают объективно совпадать. Запросы развития экономики и социальной сферы, науки, техники, технологий, федерального и территориальных рынков труда, а также перспективные потребности их развития выступают в качестве основного фактора реформирования такого важного института социальной сферы, как система образования. К образованию предъявляются новые духовно-нравственные и социально-экономические требования, предусматривающие качественное обновление педагогической науки, усиление внимания к личности, развитию ее сознания и самосознания, профессионального потенциала.

Большую роль в системе человеческих знаний и человеческой культуры современного общества играет прикладная математика. Существенные результаты в области прикладной математики получены А.А. Андроновым, С.Н. Бернштейном, О.М. Белоцерковским, Е.П. Велиховым, В. Вэлковичем, Н.М. Гюнтером, Н.Е. Жуковским, М.В. Келдышем, А.Н. Колмогоровым, С.П. Королевым, Н.Е. Кочиным, Н.Н. Красовским, А.Н. Крыловым, М.А. Лаврентьевым, А.М. Ляпуновым, О.Э.Х. Лявом, Г.У. Марчуком, Ю.Н. Павловским, Л. Прандтлем, О. Рейнольдсом, А.А. Самарским, Л.И. Седовым С.Л. Соболевым, Д.Г. Стоксом, А.Н. Тихоновым, С.А. Чаплыгиным, В.Н. Челомеем, Э. Шредингером и другие учеными. Фундаментальные результаты отмеченных авторов внесли весомый вклад в научно-технический прогресс, ставший неотъемлемой гранью современной цивилизации, - это атомная энергетика, термоядерный синтез, освоение космического пространства, спутниковое телевидение, прогнозирование погоды, предупреждение атмосферных катастроф, исследование земной среды и мирового океана, поиск полезных ископаемых и др. При этом человеческая цивилизация, в том числе “благодаря” и достижениям прикладной математики, за свое существование, к сожалению, накопила немало печальных фактов научной деятельности и экспериментов над природой, повлекших за собой ряд экологических катастроф, истощение природных ресурсов, гибель и страдания людей. Ученые, фактически, были освобождены от моральной ответственности за последствия открытий и применения полученных результатов на практике. Создавались и испытывались, в том числе и на людях, химические, атомные, ядерные, бактериологические и другие виды оружия. В последние десятилетия из-за создавшихся экологических проблем происходят необратимые изменения климата Земли, появляются и расширяются озонные дыры, гибнет фауна Мирового океана и т.д., которые могут способствовать тому, что глобальный климат и окружающая среда понесут непоправимые потери, и вследствие чего может произойти гибель всего живого на Земле. Широкими слоями человеческого сообщества стал подвергаться сомнению тот факт, что научно-технический прогресс является главным критерием развития цивилизации. Достаточно вспомнить критику проектов гонки вооружений, ядерных испытаний, строительства атомных электростанций, поворота некоторых западносибирских рек в Среднюю Азию, тотальной мелиорации и др., реализация которых не имела никаких морально-этических оснований и попадала в конфликтные ситуации технологичности науки и ее моральных ограничений.

На современном этапе эти проблемы должны осознавать не только ученые. Идеями гуманизации и сопутствующей ей гуманитаризации должно быть пронизано и вузовское прикладное математическое образование. Неслучайно современное развитие российского общества характеризуется совершенствованием системы образования, в основе которой лежат принципы гуманизации и гуманитаризации, направленные на развитие общекультурных компонентов и формирование личностной зрелости обучаемых. Как известно, одним из направлений реформирования системы российского образования, в настоящее время, является гуманитаризация математического образования, концепция содержания которого активно стала разрабатываться с девяностых годов прошлого столетия. Определенный вклад в решение проблемы гуманитаризации математического образования внесли: Международный конгресс “Образование и наука на пороге третьего тысячелетия" (1995), XV Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов “Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе" (1996), Федеральная научно-практическая конференция “Математическое образование: традиции и современность" (1997), Всероссийская научно-практическая конференция “Гуманитарное образование в школе: состояние, проблемы обновления” (1999), Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года (2002). Содержание этих документов определяет главную задачу российской образовательной политики - обеспечение современного качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства. Проблема гуманитаризации математического образования затрагивается и на различных российских научных конференциях. На одном из таких международных форумов “Проекты будущего: междисциплинарный подход” Ю.Н. Павловский обратил внимание на то, что для внедрения технологий, объединяющих как гуманитарные, так и математические средства анализа и прогноза сложных процессов в практику исследований и принятия практических решений необходим другой уровень взаимопонимания гуманитарной и математической сфер исследований, чем тот, который имеется в настоящее время. Очевидно, что для повышения этого уровня необходима соответствующая модификация системы образования.

Неслучайно в высших учебных заведениях России в настоящее время находит свое развитие идея гуманитаризации математического образования, существенный вклад в развитие которой внесли А.Д. Александров, С.И. Архангельский, М.И. Башмаков, В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, М.Б. Волович, Е.Г. Глаголева, Г.Д. Глейзер, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Т.А. Иванова, Н.Б. Истомина, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.Л. Луканкин, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов, Т.Н. Миракова, Н.В. Метельская, В.М. Монахов, А.Г. Мордкович, К.И. Нешков, И.Л. Никольская, Е.И. Смирнов, И.М. Смирнова, Г.И. Саранцев, А.И. Семушин, Н.Л. Стефанова, А.А. Столяр, Н.А. Терешин, Л.М. Фридман, А.Я. Хинчин, В.Н. Худяков, Р.С. Черкасов, И.Ф. Шарыгина, Р.И. Шварцбурд, и др. Гуманитаризация математического образования предполагает изучение математики в контексте всех достижений мировой культуры, что несомненно способствует воспитанию высокой духовности, формированию культуры будущих выпускников вузов, в том числе выпускников физико-математических факультетов.

В процессе обучения любой учебной дисциплине реализуются идеи развития творческой личности студентов. Определенный вклад в развитие творческой личности студентов физико-математических специальностей вузов вносит обучение учебному курсу обратных задач для дифференциальных уравнений, содержание которого формируется на основе теории обратных задач для дифференциальных уравнений - одной из современных и сравнительно молодых направлений прикладной математики. Обычно в основе получаемых дифференциальных уравнений, при исследовании какого-либо реального процесса или явления, лежат физические законы, которые позволяют сформулировать общий вид дифференциальных соотношений. Как правило, в них присутствует некоторое число произвольных функций (в случае линейных уравнений - это коэффициенты уравнений), определяющие свойства физической среды. Если свойства среды известны, то дифференциальное уравнение в сочетании с краевыми и начальными условиями позволяет предсказать развитие физического явления в пространственно-временной области. Это классическая задача для дифференциальных уравнений. В теории обратных задач подобные задачи называются “прямыми”. В докторских диссертациях Р.М. Асланова, Г.Л. Луканкина, А.Г. Мордковича, Ю.В. Сидорова, М.И. Шабунина, кандидатских диссертациях Г.И. Баврина, Х.А. Гербекова, Т.И. Глушковой, Б.А. Найманова, К. Сурганова и других находит свое развитие профессиональная и прикладная направленность обучения дифференциальным уравнениям в высших учебных заведениях.

При исследовании прикладных задач типична ситуация, когда интересующие характеристики объекта недоступны или труднодоступны для непосредственного наблюдения (например, глубинные свойства Земли и Мирового океана, астрофизические явления, проблема неразрушающего контроля качества изделий и конструкций, выявление дефектов внутри работающего объекта, медицинские исследования, направленные на выявление патологий внутренних органов человека, и многие другие исследования). Проведение самого эксперимента может быть вообще невозможно, потому что он либо запрещен (например, исследование здоровья человека), либо слишком опасен (например, при исследование экологических явлений), либо исследуемый объект существует в единственном экземпляре. Наконец, эксперимент может быть связан с очень большими финансовыми затратами. В этом случае приобретается некоторая косвенная информация об исследуемом объекте. Эта информация определяется природой исследуемого объекта и используемым при этом экспериментальным комплексом. Так как основные законы природы выражаются, как правило, на языке дифференциальных уравнений, то исходная задача сводится к задаче определения коэффициентов дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных), правой части, начальных условий по некоторым известным функционалам их решения. Такие задачи, в отличие от обычных задач для дифференциальных уравнений, когда уравнение задано, а требуется отыскать его решение (прямые задачи), получили название обратных задач для дифференциальных уравнений - обратных в причинно-следственном отношении (восстановление неизвестных причин известных следствий). При этом “причины” конкретизируются в виде неизвестных коэффициентов, правой части, начальных условий. В качестве “следствий” выступают функционалы от решения дифференциального уравнения.

Основы теории и практики исследования обратных задач для дифференциальных уравнений заложены и развиты фундаментальными работами А.С. Алексеева, В.А. Амбарцумяна, Г. Борга, И.М. Гельфанда, И.С. Красновидовой, М.Г. Крейна, М.М. Лаврентьева, Б.М. Левитана, М.Т. Нужина, А.И. Прилепко, В.С. Рогожина, В.Г. Романова, А.Н. Тихонова, Г.Г. Тумашева и других. В настоящее время это научное направление активно развивается представителями как отечественных математических школ: Ю.Е. Аниконовым, А.В. Баевым, А.С. Барашковым, М.И. Белишевым, А.С. Благовещенским, А.Л. Бухгеймом, П.Н. Вабишевичем, А.О. Ватульяном, А.В. Гончарским, А.М. Денисовым.В.И. Дмитриевым, С.И. Кабанихиным, В.И. Прийменко, Т.П. Пухначевой, А.М. Федотовым, В.А. Чевердой, В.Г. Чередниченко, В.А. Юрко, В.Г. Яхно и другими, так и зарубежными учеными: G. Anger, H. D. Bui, Y. Chen, D. Colton, R. Durridge, H. W. Engl, J. Gottlieb, M. Grasselli, He S., R. Kress, G. Kunetz, J. Q. Lin, A. Lorenzi, J. M. Mendel, R. D. Murch, A. Roger, M. Sondhi, S. Strom, H. Zhang, M. Yamamoto и другими.

Учебный курс обратных задач для дифференциальных уравнений, с одной стороны, весьма сложен, имеет свою специфичную терминологию, использует сложные математические модели и методы исследования. В процессе обучения студенты не всегда понимают значение полученных знаний по обратным задачам в своей будущей профессии. С другой стороны, в учебном курсе присутствуют широкие межпредметные связи изучаемых вузовских математических курсов. Опыт показывает, что решение обратных задач способствует реализации мотивационной, познавательной, развивающей, воспитывающей, управляющей, иллюстративной, образовательной функций обучения, формированию и развитию межпредметных и общеучебных умений и способностей студентов, функции контроля проверки знаний и умений студентов. В процессе обучения студентам прививаются черты самой гуманитаризации - применение методов рассуждений, свойственных гуманитарным наукам: словесный способ построения исследования, широкое применение аналогий, убедительных рассуждений, полемика, научный спор, апелляция к чувству, к воображению.

При этом, до настоящего времени не проводилось исследований в области педагогики и методики обучения математике, нацеленных на обоснование существенного гуманитарного потенциала обучения обратным задачам, а также на создание научно-обоснованных методических систем обучения соответствующим учебным курсам, что могло бы внести весомый вклад в пропагандируемую сегодня гуманитаризацию математического образования.

Учитывая вышеизложенное, следует отметить, что традиционная система прикладного математического образования испытывает противоречие между необходимостью гуманитаризации математического образования, возможностью использования обратных задач для дифференциальных уравнений как фактора гуманитаризации математического образования и отсутствием систем обучения обратным задачам, способствующих формированию у студентов общекультурных компонентов, таких, как прикладная математическая культура мышления, волевые качества личности, эстетика, базирующаяся на способности оценить красоту математических идей и формул, история создания теории обратных задач, основ гуманитарного анализа прикладных исследований, в том числе и с использованием современных информационных и телекоммуникационных технологий.

Необходимость устранения указанного противоречия за счет разработки методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования, по которым педагогические исследования практически отсутствуют, делает актуальной тему, выбранную для исследования

Указанные доводы и вышеотмеченное противоречие определяют научную проблему настоящей диссертационной работы, заключающейся в отсутствии методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, ориентированной на подготовку студентов - будущих специалистов в области прикладной математики, обучающихся на физико-математических специальностях высших учебных заведений, в условиях гуманитаризации высшего математического образования. Для устранения указанного противоречия необходимо провести целостное педагогическое исследование, посвященное выявлению гуманитарного потенциала обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений; разработке учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации математического образования; выявлению вклада обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в гуманитаризацию прикладного математического образования.

Целью исследования является разработка теоретических и методических основ обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования, позволяющих подготовить специалистов в области прикладной математики, понимающих гуманитарный потенциал обратных задач, умеющих применять знания в области обратных задач для дифференциальных уравнений и с их помощью видеть последствия практической реализации прикладных исследований.

Объектом исследования выступает прикладная математическая подготовка студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений.

Предмет исследования - методическая система обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования

Гипотеза исследования заключается в том, что обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений на основе использования специально разработанных методических систем и теоретических подходов будет способствовать гуманитаризации подготовки специалистов в области прикладной математики, что позволит:

повысить эффективность обучения студентов физико-математических специальностей обратным задачам для дифференциальных уравнений;

выявить гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающий в себя расширение мировоззрения, психологические аспекты обучения, логическую культуру мышления, межпредметные связи и прикладную направленность обучения, историко-математическую линию обучения;

повысить готовность будущих специалистов в области прикладной математики к применению знаний в области обратных задач для дифференциальных уравнений в гуманитарном анализе прикладных исследований;

приобрести еще один инструмент для познания мира и сформировать образное и научное представления о реальном физическом пространстве.

Цель, предмет и гипотеза исследования определили постановку и необходимость решения следующих задач:

1) проанализировать содержание понятия “гуманитаризация математического образования" и выявить вклад прикладного математического образования в гуманитаризацию высшего математического образования;

2) выявить гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающий в себя расширение мировоззрения, психологические аспекты обучения, логическую культуру мышления, межпредметные связи и прикладную направленность обучения, историко-математическую линию обучения;

3) проанализировать существующие подходы к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений;

4) сформулировать цели и раскрыть основные принципы обучения обратным задачам; ввести классификационные признаки и целевые модули, играющие роль инструментария для составления и анализа учебных программ, формирования содержания курсов обратных задач для дифференциальных уравнений;

5) разработать содержание учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений, типовую программу, методы обучения обратным задачам, подходы к индивидуализации обучения; спроектировать систему гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений;

6) разработать методику обучения обратным задачам с применением информационных и телекоммуникационных технологий и выявить их роль как дидактического средства интенсификации обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений;

7) экспериментально подтвердить эффективность применения методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования и ее влияние на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики.

Для решения задач, поставленных перед исследованием, использовались следующие методы: анализ отечественных и зарубежных научных трудов по педагогике, психологии, философии, обратным задачам для дифференциальных уравнений, обобщение опыта преподавания обратных задач, анализ учебных программ, пособий, диссертаций, материалов конференций, беседа, наблюдение, проведение лекционных и практических занятий со студентами, педагогический эксперимент и анализ экспериментальной деятельности.

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют фундаментальные работы в области гуманитаризации образования (А.Д. Александров, Ю.Н. Афанасьев, М.Н. Берулава, С.Э. Зуев, М.С. Каган, А.С. Кравец, В.В. Мадер, Т.Н. Миракова, А.Г. Мордкович, И.М. Орешников, В.И. Рыжик, И.М. Смирнова, В.М. Тихомиров и др.); профессиональной подготовки специалистов и проблем развития личности средствами обучения математике (С.И. Архангельский, И.И. Баврин, В.В. Грушин, В.А. Гусев, В.П. Добрица, Г.В. Дорофеев, Ю.И. Игнатьев, Т.А. Иванова, А.Н. Колмогоров, Г.Л. Луканкин, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович, Т.Н. Миракова, Н. X. Розов, А.С. Симонов, Е.И. Смирнов, Г.Г. Хамов, В.Н. Худяков, М.И. Шабунин и др.); по общедидактическим принципам и критериям оптимизации организации обучения (Ю.К. Бабанский, В.П. Беспалько, В.И. Загвязинский, В.С. Ильин, B. C. Леднев, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, А.В. Усова и др.); по проблемам информатизации образования (Е. Ы. Бидайбеков, Т.А. Бороненко, С.Г. Григорьев, В.В. Гриншкун, С.А. Жданов, А.А. Кузнецов, С.И. Макаров, Е.В. Огородников, Е.С. Полат, И.В. Роберт, А.Н. Тихонов и др.); по проблеме реализации межпредметных связей (Р.Л. Исаева, Б.С. Каплан, О.Е. Кириченко, Я.М. Котляр, А.А. Кузнецова, Г.М. Морозов, Н.К. Рузин, А.А. Столяр, В.Н. Федорова Н.В. Чхаидзе и др.); в области обратных задач для дифференциальных уравнений (А.Л. Бухгейм, П.Н. Вабищевич, А.М. Денисов, С.И. Кабанихин, М.М. Лаврентьев, А.В. Поляков, А.И. Прилепко, В.Г. Романов, Ю.М. Тимофеев, А.Н. Тихонов, В.Г. Яхно и др.); по методическим аспектам использования информационных и телекоммуникационных технологий в вузе при обучении физико-математическим дисциплинам (В.В. Алейников, И.В. Беленкова, Д.П. Голоскоков, И.Б. Горбунова, Е.А. Дахер, В.П. Дьяконов, С.А. Дьяченко, Е.В. Клименко, Т.Г. Кузьмичева, С.В. Поршнев, С.Е. Савотченко и др.).

Базой научного исследования и опытно-экспериментальной работы явились кафедра информатики и прикладной математики Московского городского педагогического университета, Курский государственный университет, Курский государственный технический университет.

Научная новизна исследования:

1) выявлен гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, заключающийся в том, что такое обучение является фактором расширения мировоззрения студентов, развивает логическую культуру мышления, позволяющую правильно устанавливать причинно-следственные связи физических процессов и явлений, позволяет реализовать межпредметные связи и прикладную направленность обучения, что способствует более глубокому усвоению студентами дисциплин прикладной математики и других предметных областей. Обосновано, что решение обратных задач выполняет мотивационную, познавательную, развивающую, воспитательную и другие функции, что приводит к позитивным изменениям в знаниях, структуре деятельности и психике студентов. Показано, что осмысление истории развития теории и практики исследования обратных задач для дифференциальных уравнений формирует у студентов правильное представление о путях приобретения человечеством знаний об окружающем мире, о развитии методов познания, позволяет увидеть прикладную математику с “живым лицом”, глубже осознать гносеологический процесс познания в прикладной математике;

2) выявлено влияние обучения обратным задачам на формирование личностных качеств студентов в рамках гуманитаризации математического образования. Показано, что при обучении обратным задачам студенты овладевают словесным способом описания хода исследования, методами формирования образных представлений, применением аналогий; формулировкой гипотез, аксиом, постулатов и убедительных рассуждений; научной полемикой, апелляцией к чувству и к воображению, восприятием чувственного опыта, способностью проводить логические выводы прикладного и гуманитарного характера, способностью построения и корректировки модели исследуемого объекта. Вышеотмеченные качества реализуются на символическом, интуитивном, логическом, образном и других уровнях, которые в процессе человеческого познания одинаковы для гуманитарных, социальных или естественнонаучных дисциплин, и каждый из которых выражает определенную часть реальности;

3) отобраны существующие и разработаны новые обратные задачи для дифференциальных уравнений, необходимые для обучения. Среди них: одномерные обратные задачи определения неизвестных коэффициентов, входящих в телеграфное уравнение, в уравнение колебания струны, в волновое уравнение; двумерная обратная задача одновременного определения двух коэффициентов, входящих в гиперболическое уравнение, многомерная обратная задача одновременного определения всех коэффициентов, входящих в многомерное гиперболическое уравнение и др. Эти задачи могут быть применены для исследования свойств процессов и явлений, порожденных импульсными источниками типа дельта-функции Дирака. Для вновь сформулированных обратных задач доказаны конструктивные теоремы существования, единственности и условной устойчивости решений в пространствах непрерывных функций, в банаховых пространствах аналитических функций и др. Обосновано, что овладение математическими методами решения таких задач способствует гуманитаризации подготовки студентов - будущих специалистов в области прикладной математики;

обратная задача прикладная математика

4) определены научные основы для проектирования гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающие математический и дидактический анализ содержания учебного материала; отбор системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи излучения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие; постановку учебных целей и планирование системы учебных занятий по обратным задачам, которые ориентированы на создание ситуаций, требующих от студента принятия решений по важным для человечества вопросам, обоснованного выбора правильной позиции в обществе, преодоления нравственных противоречий. Подобные занятия должны приобщать студентов, как к проблеме гуманитаризации математического образования, так и к проблеме моральной ответственности перед обществом за последствия практической реализации прикладных исследований, которым необходим гуманитарный анализ с участием экспертов-гуманитариев и рассматривать обратные задачи как морально-нравственное приложение к различным физическим, экологическим, социальным, экономическим и другим процессам и явлениям;

5) раскрыты дидактические принципы обучения обратным задачам с использованием математических пакетов Maple, Mathematica, MathCad, Matlab, среди которых принципы творчества и инициативы студентов, научности, системности, межпредметных связей, опережающего обучения с передачей студентам мирового научного и культурного наследия и другие. У студентов должен формироваться необходимый уровень знаний, умений и навыков анализировать, сравнивать, обобщать полученные результаты по обратным задачам, которые позволяют в дальнейшем применять их в своей профессиональной деятельности, что характеризует высокий уровень усвоения знаний.

Теоретическая значимость проведенного исследования заключается в выявлении гуманитарного потенциала обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений и его роли в формировании и развитии у будущих специалистов в области прикладной математики гуманного отношения к обществу и окружающей среде; обосновании целесообразности обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений как фактора гуманитаризации высшего математического образования; раскрытии принципов отбора содержания обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, среди которых: принципы единства учебного материала и содержательных линий, обобщенности, полноты, оптимальности, дидактической значимости и др., а также принципов отбора модульных обратных задач как самостоятельной дидактической единицы усвоения содержания обучения; разработке теоретических основ обучения, позволяющих обеспечить высокий уровень предметных знаний по обратным задачам для дифференциальных уравнений, осознать необходимость проведения гуманитарного анализа результатов прикладных исследований, использовать информационные и телекоммуникационные технологии в решении прикладных задач.

Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что:

1) описаны методы рациональных рассуждений, применяемые в обучении обратным задачам, среди которых: гипотезы, разумные аналогии при решении задачи, контроль замкнутости полученной системы уравнений обратной задачи и др.;

2) разработаны методические рекомендации по проектированию системы гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающей: математический и дидактический анализ содержания учебного материала, отбор системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи излучения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие; постановку учебных целей и планирование системы учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений; разработана типовая программа по курсу обратных задач для дифференциальных уравнений;

3) разработаны рекомендации по использованию компьютерных математических пакетов Maple и Mathematica на лабораторных занятиях в процессе решения учебных обратных задач для дифференциальных уравнений;

4) создано учебное пособие, включающее описание математических методов исследования обратных задач для дифференциальных уравнений.

Результаты и рекомендации, полученные в ходе исследования, могут быть

использованы при обучении дисциплинам прикладной математики в вузах в условиях гуманитаризации математического образования, при написании учебных пособий по курсам прикладной математики, теории и методике обучения прикладной математике для студентов и преподавателей вузов.

Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивалась непротиворечивостью логических выводов в ходе теоретического анализа проблем исследования и их согласованностью с концепциями прикладных и педагогических наук и принципиальным соответствием основным результатам других исследователей; четкостью методологических, математических, историко-математических, психолого-педагогических, дидактических и методических позиций; корректным применением к проблеме исследования системного, деятельностного, культурологического и исторического подходов; использованием известных методов исследования прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений; согласованностью результатов исследования с 20-летним опытом проведения автором исследований в данной научной области и 15-летним опытом обучения автором студентов обратным задачам для дифференциальных уравнений в высших учебных заведениях, учетом опыта коллег по работе, использованием в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений информационных и телекоммуникационных технологий, повышением качества обучения и характеристик личностного развития студентов.

Работы в рамках исследования проводились с 1986 по 2008 годы и могут быть условно разделены на три основных этапа.

Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, сформулирована цель исследования, его объект, предмет, гипотеза и задачи, характеризуются методы, научная новизна и практическая значимость исследования, приводятся основные положения, выносимые на защиту, данные об апробации и внедрении разработанных результатов, краткое содержание диссертации.

В первой главе “Гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений" анализируются процессы гуманитаризации математического образования, вузовская система прикладной математической подготовки, ее вклад в гуманитаризацию высшего математического образования; выявляется гуманитарный потенциал обучения обратных задач для дифференциальных уравнений.