Обратные задачи для дифференциальных уравнений, как правило, нелинейны - одновременно определяются и неизвестные функции (коэффициенты, правые части дифференциального уравнения), и само решение дифференциального уравнения. Поэтому в большинстве случаев решение соответствующей прямой задачи удается представить лишь в виде интегрального или интегро-дифференциального уравнения. Хотя, иногда, встречаются постановки обратных задач, решения которых, несмотря на их нелинейность, могут быть получены в виде формул. Схема исследования обратных задач для дифференциальных уравнений включает два этапа. На первом этапе конструируется решение прямой задачи и исследуются его свойства в предположении, что искомые функции являются известными и принадлежат конкретным функциональным пространствам. На втором этапе исследуется сама обратная задача. Используя построенное уравнение прямой задачи, последовательно строится соответствующая система уравнений обратной задачи. Затем доказываются теоремы существования, единственности и условной устойчивости решения обратной задачи, выявляются условия согласования данных обратной задачи. Цель исследования обратной задачи для дифференциального уравнений - конструктивное построение ее решения. В процессе исследования обратной задачи преодолеваются математические трудности: построение решения прямой задачи, которое имеет сложный вид; анализ свойств построенного решения прямой задачи; дифференцирование и интегрирование громоздких математических выражений, включая интегральные уравнения, применение приближенных методов решения и т.д. На это тратится много времени, есть вероятность сделать ошибку в вычислениях, которая может привести к неверному результату и ошибочным выводам.

С аналогичными трудностями сталкиваются и студенты при решении обратных задач для дифференциальных уравнений. Использование компьютерных математических пакетов на лабораторных занятиях по обратным задачам позволяет избежать некоторых трудностей при решении модельных обратных задач, хотя специальных команд, с помощью которых можно было строить решения обратных задач, у них нет. Студенты имеют возможность, не обращаясь к преподавателю, в результате последовательного выполнения соответствующих команд, находить аналитические и приближенные решения прямых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, (см. рисунок 2) которые в дальнейшем будут использованы для выбора дополнительной информации о решении прямой задачи, построения системы интегральных уравнений обратной задачи;

Рисунок 2. Использование компьютерного математического пакета Maple 9 при обучении методам приближенного решения неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка.

применять методы решения дифференциальных или интегральных уравнений; в процессе решения обратной задачи для наглядного анализа строить графики сложных функций и поверхностей, с помощью которых, например, оцениваются решения прямых и обратных задач, что существенно облегчает их анализ; находить решения различных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений; освободится тем самым от сложных рутинных математических преобразований; избавиться от страха допустить ошибку в процессе решения обратной задачи и т.д. Использование на лабораторных занятиях компьютерных математических пакетов в процессе обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений вносит позитивные изменения в деятельность студентов.

В четвертой главе “Экспериментальная проверка эффективности обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений" описана организация экспериментальной проверки эффективности применения методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений. Проанализировано влияние обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики.

В педагогическом эксперименте принимали участие студенты кафедры информатики и прикладной математики математического факультета Московского городского педагогического университета, Курского государственного университета специальности 01.02.00 - прикладная математика и информатика, Курского государственного технического университета специальности 23.01.05 - программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем. При этом было задействовано 230 студентов и 12 преподавателей.

В ходе педагогического эксперимента определялись: коэффициент усвоения учебного материала по обратным задачам для дифференциальных уравнений по формуле В.П. Беспалько: , где - количество баллов, набранных студентами, - максимальное количество баллов; полнота усвоения содержания понятий, используемых в учебном курсе обратных задач для дифференциальных уравнений по формуле А.В. Усовой: , где - число существенных признаков понятия, усвоенных -м студентом; - общее число признаков понятия; - число студентов в группе; коэффициенты системности и функциональности знаний по обратным задачам, которые представляют собой количественные показатели полноты реализации студентами связей и функций теоретических знаний. Они определялись по формулам Н.Е. Кузнецовой: , где - число признаков или связей; - максимальное число признаков; - общее количество проанализированных ответов; , где - число функций, использованных в -м проанализированном ответе; - максимальное число функций, которые могли найти применение при решении предложенных задач; - общее количество студентов; уровень гуманитарной составляющей обучения методом анкетирования.

В таблице 2 приведены значения коэффициента полноты усвоения понятий учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений, вычисленные по результатам контрольных работ у учебной группы из 23 студентов Курского государственного университета. В таблице 2 приведены данные о количестве ответов на каждую из десяти тем и значение коэффициента полноты усвоения. Для каждой темы были определены пять признаков (p=5) и использованы следующие сокращения: ПП - правильный полный ответ (отражено пять признаков); ПН - правильный неполный ответ (отражено четыре либо три признака); НП - неправильный ответ (отражено менее трех признаков); НО - нет ответа.

Таблица 2. Значения коэффициента полноты усвоения понятий учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений

Диаграммой 1 иллюстрируются показатели усвоения содержания обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений.

Для выявления гуманитарной составляющей обучения проводилось анкетирование. В анкеты были включены вопросы по экологическому воспитанию, мировоззрению, гуманистичности. Среди таких вопросов, на которые нужно было ответить либо да либо нет: необходимо ли обучать философии? Варианты ответов:

1) да, т.к. она дает общее представление о процессах, развитии материи, мире и т.д.;

2) нет, т.к. она требует значительного времени для изучения, а оно необходимо для освоения предметов специализации (ответ да - более предпочтительный); все ли средства можно использовать для повышения жизненного уровня населения? Варианты ответов:

1) да, т.к. благосостояние народа важнейшая цель производства.2) нет, т.к. можно нарушить экологию, что приведет к непредсказуемым последствиям и даже может быть к гибели человечества; (ответ нет - более предпочтительный) и другие. Кроме того, для выявления гуманитарной составляющей студентам было предложены задания, в которых необходимо обосновано оценить красоту конкретной идеи, подхода, математического метода, формулы, используемых при решении обратных задач.

Среди таких заданий: оценить красоту метода С.Л. Соболева, который позволяет свести к интегральному уравнению Вольтерра второго рода задачу Коши для волновых уравнений, содержащих не только переменные коэффициенты, но и градиентные слагаемые; красоту идеи использования операции свертки фундаментального решения для обращения гиперболических операторов; красоту подходов теории обратных задач для восстановления свойств труднодоступных или недоступных человеку объектов и другие. Результаты анкетирования позволяют сделать вывод о возросшем уровне гуманитарной составляющей обучения.

Таким образом, результаты, полученные в ходе описанных в диссертации педагогических экспериментов, позволили подтвердить эффективность разработанной методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений студентов физико-математических специальностей вузов в условиях гуманитаризации высшего математического образования и ее позитивное влияние на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики. Все вышесказанное позволяет утверждать, что гипотеза, выдвинутая в начале исследования, экспериментально подтверждена.

Заключение

1) выявлен гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений: доказано, что такое обучение способствует расширению мировоззрения студентов, развивает логическую культуру их мышления, позволяет правильно устанавливать причинно-следственные связи физических процессов и явлений, реализует межпредметные связи и прикладную направленность обучения. Это способствует более глубокому усвоению студентами дисциплин прикладной математики и других предметных областей, реализации мотивационной, познавательной, развивающей, воспитательной и других функций обучения, что приводит к позитивным изменениям в знаниях, структуре деятельности и психике студентов, формирует у студентов правильное представление о путях приобретения человечеством знаний об окружающем мире, о развитии методов познания;

2) выявлено влияние обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений на формирование значимых личностных и профессиональных качеств студентов физико-математических специальностей, заключающихся в овладении словесным способом описания хода исследования свойств процессов и явлений, методами формирования образных представлений, применением аналогий; формулировкой гипотез, аксиом, постулатов и убедительных рассуждений; научной полемикой, апелляцией к чувству и к воображению, восприятием чувственного опыта, способностью проводить логические выводы прикладного и гуманитарного характера, способностью построения и корректировки модели исследуемого объекта. Указанные качества реализуются на символическом, интуитивном, логическом, образном и других уровнях, являющихся одинаковыми для гуманитарных, социальных или естественнонаучных областей человеческого познания;

3) разработаны подходы к проектированию гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, основанные на математическом и дидактическом анализе содержания учебного материала, отборе системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи излучения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие, постановке учебных целей и планировании обучения по обратным задачам. Учебные занятия ориентированы на создание ситуаций, требующих от студентов формулирования логических выводов прикладного и гуманитарного характера по результатам решения обратной задачи, преодоления нравственных противоречий, обоснованного выбора правильной позиции в обществе;

4) разработан учебный курс обратных задач для дифференциальных уравнений, в содержание которого вошли: раздел обратных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, в числе которого обратные задачи определения коэффициентов линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, обратные задачи теории управления и другие, раздел обратных задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, в числе которого одномерные обратные задачи для уравнения колебания струны, телеграфного уравнения, многомерные обратные задачи для гиперболических уравнений, одномерные обратные задачи для уравнения теплопроводности, многомерные обратные задачи для параболического уравнения, обратные задачи для эллиптических уравнений и другие, раздел приближенных методов решения обратных задач для дифференциальных уравнений, в содержании которого конечно-разностные методы решения обратных задач для гиперболических и обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков и другие. В содержание разработанного учебного курса обратных задач включены темы, посвященные анализу и оценке красоты идей, подходов, математических методов, формул, используемых при решении обратных задач, применению результатов исследования обратных задач в гуманитарном анализе прикладных исследований, логическим выводам гуманитарного характера об экологии окружающей среды, влиянии функционирующих объектов на здоровье человека и другие;

5) обоснована целесообразность применения в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений компьютерных математических пакетов Maple, Mathematica, MathCad, Matlab и раскрыты дидактические принципы обучения с их использованием, среди которых, принципы творчества и инициативы студентов, научности, системности, наглядности, интерактивности, межпредметных связей, опережающего обучения с передачей студентам мирового научного и культурного наследия и другие;

6) описаны методы рациональных рассуждений, применяемые в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений, среди которых гипотезы, разумные аналогии при решении обратной задачи, контроль замкнутости полученной системы уравнений обратной задачи, осмысление физических свойств исследуемого объекта и другие;

7) в ходе отбора и разработки учебного материала, необходимого для обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, были получены результаты в области прикладной математики, вошедшие в содержание методической системы обучения обратным задачам. В числе таких результатов: доказанные конструктивные локальные теоремы существования, единственности и условной устойчивости решений одномерных обратных задач для телеграфного уравнения, уравнения колебания струны, волнового уравнения в классах непрерывных функций. Рассмотрены случаи, когда искомые коэффициенты вышеуказанных уравнений меняют свои свойства на границе раздела среды. Доказана локальная разрешимость двумерной и многомерной обратных задач для гиперболических уравнений в классах коэффициентов, обладающих конечной гладкостью по одной переменной и аналитических по остальным пространственным переменным. Математические модели отмеченных обратных задач описывают процессы и явления, инициированные импульсными источниками типа дельта-функции Дирака;

8) разработаны типовая программа и учебное пособие по курсу обратных задач, содержание которых включает современные математические методы исследования обратных задач для дифференциальных уравнений, среди которых метод Даламбера, метод характеристик, метод Кирхгофа, метод С.Л. Соболева, метод шкал банаховых пространств аналитических функций, метод разностных схем и другие;

9) на основе сформулированных критериев, в числе которых коэффициенты полнота усвоения содержания понятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, уровень гуманитарной составляющей обучения и другие критерии, экспериментально доказана эффективность разработанной методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений студентов физико-математических специальностей вузов в условиях гуманитаризации высшего математического образования и ее позитивное влияние на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики.

Вместе с тем настоящее исследование не претендует на достижение полноты выявления и исследования всех возможных средств и методов гуманитаризации математического образования. Нерешенные проблемы гуманитаризации могут стать предметом дальнейших исследований в области педагогики и методики обучения математике, нацеленных на обоснование гуманитарного потенциала обучения физико-математическим дисциплинам в вузе, а также на создание соответствующих научно-обоснованных методических систем обучения, что могло бы внести весомый вклад в гуманитаризацию высшего математического образования.

Основные результаты работы в публикациях по теме диссертации

I. Монографии, учебные пособия, программы.

1. Обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений как фактор гуманитаризации математического образования: Монография. - М.: МГПУ, 2006. - 320 с.

2. Некоторые обратные задачи идентификации параметров математических моделей: Учебное пособие. - М.: МГПУ, 2005. - 359 с.

3. Некоторые обратные задачи для волновых уравнений: Специальный курс. - Новосибирск: СибУПК, 2000. - 252 с.

4. Обратные задачи для дифференциальных уравнений: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). - М.: МГПУ, 2006. - С.93-96.

5. Математическое моделирование: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). - М.: МГПУ, 2006. - С.78-81 (в соавторстве Баков А.А., 50 %).

6. Компьютерное моделирование: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). - М.: МГПУ, 2006. - С.84-88 (в соавторстве Лесневская С.В., 50%).

7. Информационные технологии в математике: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). - М.: МГПУ, 2006. - С.91-93

(в соавторстве Баков А.А., 50 %).

8. Численные методы: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). - М.: МГПУ, 2006. - С.75-78.

9. Методы оптимизации: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). - М.: МГПУ, 2006. - С.81-84 (в соавторстве Баков А.А., 50 %).

10. Исследование операций: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). - М.: МГПУ, 2006. - С.88-91 (в соавторстве Муравьева О.В., 50 %).

II. Публикации в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

11. Компьютерные технологии - эффективный инструмент идентификации математических моделей // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия “Информатизация образования”. - М.: Изд-во РУДН, 2004. № 1. -

С.81-85.

12. Основы методической системы обучения дисциплине “Обратные задачи для дифференциальных уравнений" // Вестник Самарского государственного экономического университета. - Самара: СГЭУ, 2005. № 3 (18). - С. 190-196.

13. Вузовская подготовка специалистов по прикладной математике - история и современность // Наука и школа. - М., 2006. № 4. - С.10-12.

14. Методы формирования прикладной математической культуры студентов // Вестник Самарского государственного экономического университета. - Самара: СГЭУ, 2006. № 2 (20). - С.247-252.

15. Реализация дидактических принципов обучения при использовании образовательных электронных ресурсов в курсе “Обратные задачи для дифференциальных уравнений" // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия “Информатизация образования”. - М.: Изд-во РУДН, 2006. № 1 (3). - С.40-44.

16. Гуманитарные аспекты вузовской системы прикладной математической подготовки // Наука и школа. - М., 2007. № 5. - С.23-28.

17. Современные информационные и коммуникационные технологии в гуманитарных исследованиях математических моделей обратных задач для дифференциальных уравнений // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия “Информатизация образования”. - М.: Изд-во РУДН, 2007. № 1. - С.64-68.

18. Обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях информатизации образования // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия “Информатизация образования”. - М.: Изд-во РУДН, 2007. № 2-3. - С.57-61.

19. Психологические аспекты обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений // Наука и школа. - М., 2008. № 2. - С.31-33.

III. Статьи в журналах, научных, научно-методических сборниках, трудах и материалах международных конференций.

20. Оценка условной устойчивости решения одномерной обратной задачи для телеграфного уравнения // Методы решения условно-корректных задач: Сб. науч. тр. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1991. - C.90-101.

21. Условная устойчивость одномерной обратной задачи об одновременном определении двух коэффициентов, входящих в гиперболическое уравнение // Методы решения условно-корректных задач: Сб. науч. тр. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1991. - C.102-122.

22. О локальной разрешимости одной одномерной обратной задачи геоэлектрики // Ред “Сиб. мат. журн.". - Новосибирск, 1991. - Деп. в ВИНИТИ 25.01.92. № 258-B92. - 46 с.

23. О локальной разрешимости одной двумерной обратной задачи для уравнения гиперболического типа // Исследования по теории дифференциальных уравнений: Межвуз. сб. науч. тр. - Алма-Ата: КазГПУ им. Абая, 1992. - С.73-79.

24. Oдномерная обратная задача для телеграфного уравнения // Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики: Межвуз. сб. науч. тр. - Алма-Ата: КазГАСА, 1995. Часть 2. - С.108-111.

25. Математическое моделирование - неотъемлемый компонент спецкурса “Обратные задачи для дифференциальных уравнений" // Научно-практические основы повышения качества подготовки учителей математики и информатики в условиях многоступенчатого образования: Сб. научно-метод. тр. Часть II. - Алма-Ата: АГУ, 1995. - С.17-20.

26. О познавательной силе обратных задач // Вопросы информатизации педагогического образования: Межвуз. сб. науч. тр. - Алма-Ата: АГУ им. Абая, 1995. - С.51-55.

27. Об одной обратной задаче для уравнения колебания струны // Вестник КазГУ. Серия “Математика, механика, информатика”. - Алма-Ата, 1998. Вып.11. - С.65-74.

28. Об одной задаче для телеграфного уравнения // Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений: Сб. науч. тр. - Алма-Ата: АГУ, 1998. - С.26-31.

29. Об одной задаче определения диэлектрической проницаемости среды // Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке (ММ ИТОН): Материалы международной научно-методической конференции. - Алма-Ата: АГУ, 1998. - С.66.

30. О некоторых постановках обратных задач для одного трехмерного телеграфного уравнения // Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности: Материалы II Казахстанско-Российской научно-практической конференции. - Алма-Ата: КазГНУ, 1998. - С.113-114.

31. Об обратной задаче определения коэффициента из одного волнового уравнения // Проблемы вычислительной математики и информационных технологий: Материалы международной научно-практической конференции. - Алма-Ата, 1999. - С.252-253.

32. Об обратной задаче восстановления коэффициента при младшей производной одного волнового уравнения // Вестник КазГУ. Серия “Математика, механика, информатика”. - Алма-Ата, 1999. № 3 (17). - С.89-94.

33. О некоторых одномерных обратных задачах для одного волнового уравнения // Академик К.И. Сатпаев и его роль в развитии науки, образования и индустрии в Казахстане: Труды международного симпозиума. - Алма-Ата, 1999. Часть 3. - С.93-96.

34. Об условной корректности некоторых одномерных обратных задач для одного волнового уравнения // Cовременные проблемы механики жидкостей, многофазных сред и распространение волн в сплошных средах: Труды международной конференции. - Ташкент, 1999. - С.78-80.

35. О восстановлении одномерных коэффициентов одного гиперболического уравнения // Вестник АГУ. Серия физико-математическая. - Алма-Ата, 2000. № 1 (1). - С.28-35.

36. Об одной динамической многомерной обратной задаче для гиперболического уравнения // Математические модели и методы их исследования: Труды международной конференции. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. Том 2. - С.18-21.

37. Некоторые обратные задачи для интегро-дифференциального телеграфного уравнения в среде с памятью // Вестник АГУ. Серия физико-математическая. - Алма-Ата, 2002. № 2 (6). - С.137-144.

38. Об одной обратной задаче акустики в среде с памятью // Вестник АГУ. Серия физико-математическая. - Алма-Ата, 2003. № 2 (8). - С.84-90.

39. Некоторые обратные задачи геоэлектрики // Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке (ММ ИТОН): Материалы II Международной научно-методической конференции. - Алма-Ата: АГУ, 2003. - С.231-232.

40. Причинно-следственные обратные задачи - единство теории и эксперимента // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, 2003. № 1 (1). - С.61-67.

41. О методах операторных уравнений Вольтерра решения обратных динамических задач для гиперболических уравнений // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, 2003. № 1 (1). - С.67-83.

42. Использование компьютерных технологий в исследованиях обратных задач математической физики // Применение новых технологий в образовании: Материалы XV Международной конференции. - Троицк: НФТО “БАЙТИК”, 2004. - С.78-79.

43. О междисциплинарном характере исследований причинно-следственных обратных задач // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, 2004. № 1 (2). - С.76-79.

44. К вопросу о типовой программе по дисциплине “Обратные задачи для дифференциальных уравнений" // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, 2004. № 1 (2). - С.79-83.

45. Роль дисциплины “Обратные задачи для дифференциальных уравнений" в формировании прикладной математической культуры студентов // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, 2004. № 2 (3). - С.87-93.

46. Применение теории причинно-следственных обратных задач в телекоммуникационных технологиях // Информационные технологии в образовании: Сборник трудов XIV Международной конференции-выставки (ИТО-2004). - М.: МИФИ, 2004. Часть 3. - С. 191-192.

47. Гуманитарный потенциал курса “Обратные задачи для дифференциальный уравнений" // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, 2005. № 1 (4). - С.100-114.

48. Компьютерные математические пакеты в курсе “Обратные задачи для дифференциальных уравнений" как дидактическое средство обучения // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, 2005. № 1 (4). - С.114-121.

49. О системном подходе в обратных задачах математической физики // Сборник научных трудов математического факультета МГПУ. - М.: МГПУ, 2005. - С.35-41.

50. Методы рациональных рассуждений в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, 2005. № 2 (5). - С.63-66.

51. Математические пакеты как компьютерная поддержка дисциплины “Обратные задачи для дифференциальных уравнений" // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы VI Международной конференции (СКМП-2005)". - Смоленск: СГПУ, 2005. Выпуск 6. - С.33-35.

52. Дидактические принципы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений с использованием математических пакетов // Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке: Материалы III Международной научно-методической конференции (ММ ИТОН). - Алма-Ата: КазНПУ, 2005. Том 1. - С.306-311.

53. Профессиональная направленность обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. -

М.: МГПУ, 2005. № 2 (5). - С.67-70.

54. Компьютерные и телекоммуникационные технологии в курсе “Обратные задачи для дифференциальных уравнений" // Применение новых технологий в образовании: Материалы XVI Международной конференции. - Троицк: НФТО “БАЙТИК”, 2005. - С.128-129.

55. Образовательные электронные ресурсы в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений // Электронные образовательные издания и ресурсы. Теория и практика: Бюллетень Центра информатики и информационных технологий в образовании Института содержания и методов обучения Российской академии образования. Выпуск 1. - М.: ИСМО РАО, 2006. - С.30-36.

56. Вузовская система прикладной математической подготовки в России // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, Самара: СФ МГПУ, 2006. № 1 (6). - С.111-117.

57. Гуманитарная компонента прикладного математического образования // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, Курск: КГУ, 2006. № 2 (7). - С.94-100.

58. Информационные и телекоммуникационные технологии в вузовской подготовке специалистов по прикладной математике // Применение новых технологий в образовании: Материалы XVII Международной конференции. - Троицк: НФТО “БАЙТИК”, 2006. - С.153-154.

59. Гуманитарная культура в вузовской подготовке по прикладной математике // Вестник Московского городского педагогического университета. Математический выпуск. - М.: МГПУ, 2007. - С.180-187.

60. Информационные технологии в гуманитарном анализе математических моделей обратных задач // Информационная образовательная среда. Теория и практика: Бюллетень Центра информатики и информационных технологий в образовании Института содержания и методов обучения Российской академии образования. Выпуск 2. - М.: ИСМО РАО, 2007. - С.48-52.

61. Использование компьютерных систем в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, Иркутск: ИГУ, 2007. № 2 (9). - С.131-132.

62. Применение компьютерных технологий в гуманитарных исследованиях обратных задач // Информационные технологии в образовании и науке: Материалы Международной научно-практической конференции “ИТО-Поволжье-2007”. - Казань: ТГГПУ, 2007. - С.188-190.

63. Использование информационных технологий в гуманитарном анализе причинно-следственных обратных задач // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, 2007. № 1 (8). - С.50-54.

64. Использование компьютерных математических систем в обучении дисциплинам прикладной математики // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия “Информатика и информатизация образования”. - М.: МГПУ, 2007. № 2 (10). - С.79-82.

65. Информационные технологии и обратные задачи в гуманитарном анализе прикладных исследований // Применение новых технологий в образовании: Материалы XVIII Международной конференции. - Троицк: НФТО “БАЙТИК”, 2007. - С.160-162.

IV. Тезисы докладов всесоюзных, международных, всероссийских конференций, съездов, семинаров.

66. Задача определения коэффициента проводимости из системы уравнений Максвелла // Условно-корректные задачи математической физики и анализа: Тезисы Всесоюзной конференции, посвященной 60-летию академика М.М. Лаврентьева. - Новосибирск: СО АН СССР, 1992. - C.61-62.

67. About the rightness of one poly-dimensional inverse problem // Inverse and Ill-Posed problem (IIPP-96): Abstracts of the Internation conference dedicated to the memory of academician A. N. Tikhonov. - Moscow: Lomonosov Moscow State University, 1996. - P.102.

68. О корректности одной многомерной обратной задачи для серии гиперболических уравнений // 1-й съезд математиков Казахстана: Тезисы докладов. - Чимкент: Наука, 1996. - С.118.

69. Об одной обратной задаче для уравнения колебания струны // Обратные задачи математической физики: Тезисы докладов международной конференции. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998. - С.41.

70. Об условной корректности некоторых одномерных обратных задач для гиперболического уравнения второго порядка // Математические модели и методы их исследования: Тезисы докладов международной конференции. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 1999. - С.123-124.

71. О некоторых одномерных обратных задачах для волнового уравнения // Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры: Тезисы докладов 2-й Международной научной конференции. - Актюбинск, 1999. - С.34.

72. Об условной корректности некоторых обратных задач для волновых уравнений // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тезисы докладов международной конференции. - Алма-Ата: Институт математики МОН РК, 2001. - С.86-87.

73. Some inverse problems for wave equations // International conferens Ill-Posed and inverse problems. Dedicated to prof. M. M. Lavrent'ev on the occasion of his 70^th anniversary: Abstracts. - Novosibirsk: Sobolev Institute press, 2002. - P.96.

74. Основы методической системы обучения дисциплине “Обратные задачи для дифференциальных уравнений" // Современные проблемы школьного и вузовского математического образования: Тезисы докладов XXIV Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педвузов. - М.: РИО МГПУ, Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2005. - С.107-108.

Размещено на Allbest.ru