Роль практических работ при формировании геометрических понятий на уроках математики в начальной школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Роль практических работ при формировании геометрических понятий (величин)

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОСОБЕННОСТИ ДЕТСКОГО ВНИМАНИЯ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

1.1 Общая характеристика и особенности развития внимания у учащихся начальных классов

1.2 Возрастные особенности развития младших школьников на этапе формирования геометрических представлений

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ (ВЕЛИЧИН) В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

2.1 Наглядная геометрия: ее роль и место, история возникновения

2.2 Общая характеристика «понятия» («величины»)

2.3 Общие вопросы методики изучения элементов наглядной геометрии

2.4 Анализ различных методик формирования геометрических понятий у младших школьников

ГЛАВА 3. ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ЧЕРЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПРИ РАБОТЕ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ВЕЛИЧИНАМИ

3.1 Методика формирования познавательных интересов младших школьников через использование практических заданий при работе над понятиями «Объёмные тела»

3.2 Составление геометрических словариков как один из видов творческих заданий при формировании геометрических понятий у школьников 4 класса

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д., немыслимы без математического аппарата. Основа для математической грамотности закладывается именно в школе, поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное внимание. Математика является одним из опорных предметов школы. Она обеспечивает изучение других дисциплин. Требует от учащихся волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания, математика развивает личность учащегося. Кроме того, изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников.

Начальный курс математики - курс интегрированный: в нем объединены арифметический, алгебраический и геометрический материал. При этом основу начального курса составляют представления о натуральном числе и нуле, о четырех арифметических действиях с целыми неотрицательными числами и важнейших их свойствах, а также основанное на этих знаниях осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений.

Наряду с этим важное место в курсе занимает ознакомление с величинами и их измерением. Важнейшее место в этой работе отводится формированию умений и навыков, связанных с измерением ряда величин, практическому ознакомлению детей с соответствующими измерительными приборами и их шкалами, ознакомлению с системой единиц измерения и с переходом от одной единицы измерения к другим (таблица мер). В основе методики изучения величин лежит практическая деятельность учащихся, связанная с овладением навыками измерения таких величин, как длина отрезка, площадь фигуры, масса тела, времени. Большое значение при ознакомлении с величиной имеет использование знаний, умений и навыков, приобретаемых учащимися в связи с изучением фигур и операций над фигурами (деление фигур на части, составление фигур из других). И наоборот, использование представлений о величине, ее свойствах и измерении в процессе формирования понятия «фигура». Так, например, на основе представлений о площадь фигуры дети знакомятся с важнейшим свойством, которое состоит в том, что площадь фигуры, составленной из нескольких частей, равна сумме площадей этих частей.

Трудность обучения состоит в том, что учителям нелегко дифференцировать материал из учебников. И тем более нельзя недооценивать роль практических работ при формировании геометрических понятий (величин) у школьников младших классов. Из вышесказанного нельзя не увидеть актуальность проблемы, изучаемой в данном исследовании.

Объект исследования - обучение геометрическим величинам учащихся начальной школы (4 класс).

Предмет исследования - система методических средств и роль практических работ при формировании геометрических понятий (величин) в младших классах.

Цель исследования - обосновать важность практических работ при формировании геометрических понятий на уроках математике в начальной школе.

Задачи, вытекаемые из цели исследования:

1. Изучение вопросов развития внимания у учащихся начальных классов.

2. Анализ различных методик формирования геометрических понятий у младших школьников.

3. Разработка системы практических заданий, направленных на формирование у учащихся понятий по теме «Объёмные тела» и составление геометрических словариков как один из видов творческих заданий

У младших школьников преобладает наглядно-образное мышление. Гипотеза исследования заключается в том, что учитывая возрастные особенности младших школьников, при формировании понятий необходимы наглядность, практические действия, игры, связь изучаемого с реальным миром, т.е. практическая работа с учащимися является неотъемлемой, особо важной частью при изучении геометрических величин.

Квалификационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников.

ГЛАВА 1. ОСОБЕННОСТИ ДЕТСКОГО ВНИМАНИЯ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

1.1 Общая характеристика и особенности развития внимания у учащихся начальных классов

Прежде чем приступить к исследованию роли практических работ при формировании геометрических понятий отметим ряд важных моментов особенностей и развития внимания школьников. Так, например, одним из определений внимания в психологии является предложенное Н.Ф.Добрыниным понимание внимания как направленности и сосредоточенности психической деятельности человека. При этом под направленностью понимается избирательный характер активности, а под сосредоточенностью - углубление в данную деятельность. Подобно памяти внимание относится к сквозным психическим явлениям, поэтому, опираясь на структуру психической организации человека, возможно рассмотрение внимания и как процесса (или стороны какого-либо психического процесса: например, сенсорное, перцептивное, интеллектуальное внимание), и как состояния (например, состояние сосредоточенности), и как свойства личности (например, внимательность).

В отличие от памяти регулирующая функция внимания выступает более отчетливо, что дает основание для классификации его видов в зависимости от уровней психической регуляции. Такая классификация предусматривает разделение внимания на непроизвольное, произвольное и послепроизвольное. Если направленность и сосредоточенность непроизвольны, то говорят о непроизвольном внимании. Непроизвольное внимание обусловлено как физическими характеристиками стимула (интенсивностью, контрастностью, длительностью, внезапностью и т. п.), так и значимостью стимула для человека. Если направленность и сосредоточенность внимания человека связаны с сознательно поставленной целью, то говорят о произвольном внимании. Наряду с этими двумя видами внимания различают и третий - послепроизвольный. В этом случае сознательное выполнение какой-либо задачи сопровождается, как говорит Добрынин, поглощением личности данной деятельностью и не требует волевых усилий.

К числу основных характеристик внимания относят объем, избирательность, устойчивость, концентрацию, распределение и переключение. Познавательные процессы и способности в обучении / Под ред. В.Д. Шадрикова. - М., 1995.

Под объемом внимания понимается то количество объектов, которые могут быть отчетливо восприняты в относительно короткий период времени. Ряд исследователей в понимании объема внимания предлагают исходить из объема информации, на котором может сосредоточиться сознание субъекта с тем, чтобы оперировать этой информацией. Введение в современные экспериментальные исследования субъективных критериев внимания (например, балльных оценок для уровня субъективной уверенности в ясном, быстром и точном ответе) позволило сделать вывод, что объем внимания определяется шестью элементами. При дальнейшем увеличении числа элементов происходит их структурирование (например, на основе двух-трех элементов, а именно: пара - линия, три - треугольник и т. д.). Поэтому ряд из десяти элементов, образующий те или иные структуры, воспринимается столь же точно и отчетливо, как ряд из одного-трех элементов. Явление структурирования обнаружено при исследовании объема внимания для разных сенсорных анализаторов, в том числе и для слухового. Объем слухового внимания зависит также от длительности, частоты и темпа предъявления звуковых стимулов. Например, всякое изменение оптимального темпа ведет к уменьшению объема слухового внимания.

Произвольная регуляция объема внимания при разрозненных стимулах ограничена. При смысловой организации стимулов она значительно выше. Ограниченность объема внимания требует постоянного выделения субъектом каких-либо объектов, находящихся в сенсорно-перцептивной зоне, а невыделенные объекты используются ими как фон. Этот выбор из множества сигналов только некоторых из них носит название избирательности внимания. Количественным параметром избирательности внимания считается, например, скорость осуществления испытуемым выбора стимула из множества других, а качественным - точность, т. е. степень соответствия результатов выбора исходному стимульному материалу. Показатель успешности внимания является комплексной характеристикой. Он включает и количественные (скорость), и качественные (точность) параметры избирательности.

Устойчивость внимания - это способность субъекта не отклоняться от направленности психической активности и сохранять сосредоточенность на объекте внимания Ермолаев О.Ю., Марютина Т.М., Мешкова Т.А. Внимание школьника. - М., 2002. . Характеристиками устойчивости внимания являются временные параметры длительности сохранения направленности и сосредоточенности психической активности без отклонения от исходного качественного уровня. Концентрация внимания предусматривает также определение способности субъекта сохранять сосредоточенность на объекте внимания при наличии помех. Оценку концентрации внимания производят по интенсивности помех. Распределение внимания свидетельствует о возможности субъекта направлять и сосредотачивать внимание на нескольких независимых переменных одномоментно. Характеристиками распределения внимания в эксперименте являются временные показатели, полученные в результате сопоставления длительности правильного выполнения одной задачи и выполнения этой же задачи совместно с другими (двумя или более) задачами.

Переключение внимания представляет собой перемещение его направленности и сосредоточенности с одного объекта на другой или с одного вида деятельности на другую Лурия А.Р. Внимание и память. - М., 2001. . Характеристикой переключения внимания является степень трудности его осуществления, измеряемая скоростью перехода субъекта от одного вида деятельности к другому. Установлено, что скорость переключения внимания зависит как от стимульного материала, так и от характера деятельности субъекта с ним. Легкость или трудность переключения внимания обусловливается также индивидуальными особенностями субъекта, а именно свойствами его нервной системы. У лиц, характеризующихся подвижной нервной системой (быстрым переходом от возбуждения к торможению и обратно), переключение внимания осуществляется легче. Не менее значимы при переключении внимания и личностные особенности испытуемых, а именно: их активность и заинтересованность, уровень мотивации и т. д.

Все перечисленные характеристики внимания представляют функциональное единство, и их разделение является чисто экспериментальным приемом Мухина В.С. Детская психология: [Учеб. Для пед. ин-тов] / Под ред. Л.А. Венгера - М.: Просвещение, 1995.. Наряду с ним в наши дни все более развивается системный подход к изучению внимания, который предусматривает использование методик других наук, смежных с психологией. Примером такой междисциплинарной интеграции может служить исследование особенностей внимания в связи с общей активацией деятельности мозга и континуумом уровней бодрствования.

Одной из основных форм познавательной деятельности человека являются ощущения, которые привлекают внимание ребенка и заставляют концентрироваться на предмете, действии. Под ощущениями понимаются такие психические процессы, которые возникают при непосредственном воздействии предметов и явлений окружающей действительности на органы чувств. В познавательном отношении из всех анализаторов ведущая роль принадлежит зрению и слуху, хотя считается, что жизненно и социально значимые раздражители чаще и больше отражаются через слух, чем через зрение. Зикеев А.Г. Развитие речи слабослышащих детей. - М.: Педагогика 1996.

В познавательном отношении большое значение имеют осязательные ощущения, так как они носят комплексный характер. В них объединяются ощущения прикосновения, температурные и двигательные ощущения. Посредством осязания познаются многие признаки предметов: их величина, форма, свойства материала и т. д. В результате этих ощущений создается целостный образ предмета, как необходимый для детей с нарушениями слуха при формировании у них словесной речи.

К активным познавательным средствам можно отнести и еще один вид ощущений -- кинестетические ощущения, т. е. ощущения движений органов тела и самого человека. Кинестетические ощущения в значительной степени связаны со зрением, тактильным восприятием, слухом. Их необходимо использовать как вспомогательные средства для выработки более самостоятельных и устойчивых кинестетических ощущений. Использование кинестетической чувствительности должно найти широкое применение при обучении детей распознавать некоторые свойства предметов: массу предмета по степени мышечного усилия, упругость, величину, форму и т. д.

Полноценное развитие психических процессов, в том числе и всех видов ощущений, во многом зависит от определенных условий, среди которых особое значение имеет внимание. Особенности развития и воспитания детей с недостатками слуха и интеллекта// Под ред. Л.П. Носковой. - М., 1994.

Понятие «внимание» заключается в ясном и четком отражении человеком того, что он воспринимает или делает, в выделении одних объектов или свойств и качеств с одновременным отвлечением от всего остального. В развитии внимания у нормального ребенка и ребенка, имеющего нарушения слуха, имеется много общего. Прежде всего, это непроизвольность внимания, которая вызывается интересными для ребенка предметами или явлениями, при воздействии на него нового, необычного. Такие существенные свойства внимания, как устойчивость, распределяемость и переключаемость, у дошкольников развиты слабо. Ребенок в раннем возрасте не владеет специальными действиями, которые дают возможность на чем-либо сосредоточиться. В основном это результат общей ориентировки в окружающем, направленной на обследование предметов, их свойств и регулирование практических действий, а не на удержание внимания. С возрастом происходят определенные изменения: увеличивается сосредоточенность и устойчивость внимания. Но все же перелом наступает под влиянием новых видов деятельности и новых требований, предъявляемых взрослыми. Помимо ситуативных средств, организующих внимание в связи с конкретной задачей, используется универсальное средство организации внимания -- речь. Роль речи возрастает не только как непосредственного регулятора, но и как регулятора поведения ребенка, что создает предпосылки для формирования произвольного внимания.

Развитие внимания ребенка характеризуется закономерной сменой стадий, в которой каждая предыдущая стадия подготовляет последующие. С развитием произвольного внимания, непроизвольное не только не исчезает, а сохраняется и развивается.

Принято считать, что существуют три типа внимания: непроизвольное, произвольное и послепроизвольное. Выделяют также свойства, или параметры внимания:

1) концентрация внимания выражается в степени сосредоточенности на объекте;

2) устойчивость характеризуется длительностью сосредоточенности, умением не отвлекаться в течение определенного периода времени;

3) объем внимания характеризуется количеством одновременно воспринимаемых объектов;

4) распределение - способность одновременного выполнения нескольких действий;

5) переключение - способность менять направленность внимания, переходить от одного вида работы к другому.

Наиболее важны для работы параметры концентрации и устойчивости.

Формы проявления:

Внимание направлено на:
движение	моторное
мышление	интеллектуальное
восприятие	сенсорное

Параметры:

концентрация
устойчивость
объем
распределение
переключение

Типы:

характеризуется
непроизвольное	отсутствием целенаправленного волевого акта
произвольное	наличием целенаправленного волевого акта
послепроизвольное	целенаправленностью, но отсутствием волевых усилий

Психическая деятельность не может протекать целенаправленно и продуктивно, если человек не сосредоточится на том, что он делает. Возьмем человека, увлеченного рисованием. Он целиком углублен в свою работу, сосредоточен на ней, обдумывает, какой цвет выбрать, как расположить предметы на листе. При этом он может не слышать, о чем говорят присутствующие, не откликаться, если его позовут. В этом случае говорят, что он сосредоточил внимание на том, что делает, отвлекаясь от всего остального. Это свидетельствует, что человек не может одновременно думать о разных вещах и выполнять разнообразные работы. Поэтому в каждый отдельный момент его сознание направляется на те предметы и явления, которые являются для него наиболее важными и значительными.

1.2 Возрастные особенности развития младших школьников на этапе формирования геометрических представлений

Особое содержание геометрического материала, включенного в программу и реализованного в системе тщательно отобранных задач, направлено на формирование достаточно полной системы геометрических представлений (включающей образы геометрических фигур, их элементов, отношений между фигурами, их элементами).

На этой основе формируются пространственные представления и воображение, развивается речь и мышление учащихся, организуется целенаправленная работа по формированию важных практических навыков.

Важнейшей задачей учителя является определение методики, раскрывающей содержание геометрического материала на том уровне, который должен быть достигнут учащимся к моменту их перехода в 5 класс, а также ведущих направлений изучение этого материала.

Для формирования геометрических представлений работа должна проводится следующим образом: свойство фигур учащиеся выявляют экспериментально, одновременно усваивают необходимую терминологию и навыки; основное место в обучении должны занимать практические работы учеников, наблюдения и работы с геометрическими объектами.

Оперируя разнообразными предметами, моделями геометрических фигур, выполняя большое число наблюдений и опытов, учащиеся подмечают наиболее общие их признаки (не зависящие от материала, цвета, положения, массы и т.п.).

В методики формировании геометрических представлений важно идти от "вещей" к фигуре (к её образу), а также, наоборот - от образа фигуры к реальной вещи.

Это достигается систематическим использованием приёма материализации геометрических образов. Например, прямая линия не только вычерчивается с помощью линейки, представление о ней даёт и край - ребро линейки, натянутая нить, линии сгиба листа бумаги, линия пересечения двух плоскостей (например, плоскости стены и плоскости потолка). Отвлекаясь от конкретных свойств материальных вещей, учащиеся овладевают геометрическими представлениями. Так, например, можно видоизменять способ деления многоугольника отрезком на части. В начале этого может быть перегибание бумажного многоугольника.

В первом классе в основном завершается первоначальное ознакомление с фигурами и их названиями. Это делается на основе рассмотрения окружающих вещей, готовых моделей и изображений фигур. У детей постепенно вырабатывается схема изучения фигур, схема анализа и синтеза, облегчающая усвоение свойств каждой фигуры.

Значительное место в методике должно отводится применению приема сопоставления и противопоставления геометрических фигур. В 1 классе это позволит из множества фигур наглядно выделят множество кругов, множество многоугольников, множество линий и т.д.; во 2-4 классах - уточнять свойства фигур, классифицировать их. Большое внимание следует уделять противопоставлению и сопоставлению плоских фигур (круг - многоугольник, окружность - круг и т.д.), плоских и пространственных фигур (квадрат - куб, круг - шар и пр.)

Уже при первоначальном ознакомлении детей с геометрическими фигурами в 1 классе дети выполняют умственные операции анализа и синтеза. Важной задачей учителя, определяющей методику обучения в этот момент, является анализ фигуры, на основе которого выделяются ее существенные свойства (признаки) и несущественные.

В процессе обучения возникает потребность применения геометрической и логической терминологии, символики, чертежей. Так, уже во 2 классе введение буквенной символики помогает не только различать фигуры и их элементы, но и является одним из средств формирования обобщений. Например, запись ОК< 5 см говорит о том, что отрезок ОК - любой отрезок, имеющий длину меньшую, чем 5 см.

В 1 классе фигуры следует применять наряду с другими материальными вещами как объекты для перечисления. Несколько позже такими объектами должны стать элементы фигур, например вершины, стороны, углы многоугольников. Учащиеся постепенно знакомятся с измерением отрезков. Это устанавливается прямая связь между отрезками (точками) и числами.

Геометрические фигуры используются при ознакомлении учащихся с долями. В указанных выше случаях открывается больше возможностей органически связать изучение геометрических объектов с арифметическим материалом, включенным в курс математики для 1-4 классов.

Уже в 1-4 классах выполняются простейшие классификации углов (прямые и непрямые), многоугольников (по числу углов) и т.д. Изучение родовых и видовых понятий готовит детей к пониманию определений, построенных на указании рода и видовых отличий.

Использование упражнений, в которых дети отмечают точки, принадлежащие или не принадлежащие фигуре или нескольким фигурам, помогает в дальнейшем трактовать геометрическую фигуру как множество точек. А это позволяет более осознанно выполнять операции деления фигуры на части или получение фигуры из других (складывание), т.е. выполнять по существу операции объединения, пересечения, добавления над точечными множествами.

Важной общей методической линией осуществления связи в изучении геометрического материала с остальными вопросами курса начальной математики является, таким образом, неявная опора на теоретико-множественные и простейшие логико-математические представления в изучении фигур, их отношений, свойств.

Общим методическим приемом, обеспечивающим прочные геометрические знания, является формирование пространственных представлений через непосредственное восприятие учащимися конкретных реальных вещей; материальных моделей геометрических образов. В 1 классе пространственные представления вырабатываются в процессе приобретения детьми практического опыта при изучении отношений взаимного положения предметов, выражаемых словами "выше", "ниже", "справа", "сверху", "спереди", "сзади" и т.д. Во 2-4 классах характер работы по формированию пространственных представлений усложняется. Например, представления об одной фигуре формируется с опорой на другую. Так, опираясь на представления о треугольнике вообще, можно получить представления о прямоугольном треугольнике.

Результатом обучения в 1-3 классах должно быть формирование первоначальных представлений о точности построений и измерений.

В 1 классе учащиеся овладевают навыками измерения и построения отрезков с помощью линейка (с точностью до 1 см). При этом детям предъявляется не меньшее требования, тем это обычно делается, например, в отношении навыков письма.

Во 2-4-х классах в практику измерений и построений постепенно вводятся новые инструменты: циркуль, циркуль - измеритель, чертежный треугольник, рулетка. Повышаются требования к точности построений и измерений, качеству чертежей и моделей, выполняемых детьми, к описанию хода и результатов проделанной работы.

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ (ВЕЛИЧИН) В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

2.1 Наглядная геометрия: ее роль и место, история возникновения

Необходимость и возможность введения в начальный школе пропедевтического (подготовительного) курса геометрии обсуждается педагогической общественностью нашей страны уже более столетия. И хотя на сегодняшний день этот курс не нашел достойного места в отечественной школе, причины, побуждавшие к созданию различных вариантов этого курса (названного или начальным, или пропедевтическим, или наглядным курсами геометрии), достаточно весомые. Рассмотрим на наш взгляд, основные.

1. Традиционным для нашей основной школы систематический курс геометрии (изучающейся с 7-го класса) носит дедуктивный характер. Как известно, при дедуктивном построении геометрии, доказывая те или иные теоремы, можно опираться только на аксиомы, на ранее доказанные теоремы, на первоначальные (неопределяемые) понятия и на понятия, которым дано определение. Никакие ссылки на очевидные факты, усматриваемые непосредственно из чертежа, не в явной, ни в скрытой форме в научно - дедуктивной системе изложения геометрии недопустимы. Следовательно, очевидные, непосредственно рассматриваемые факты или свойства геометрических фигур должны быть знакомы детям за долго до изучения систематического курса геометрии.

2. Отсутствие должной преемственности курса математики начальной школы с курсом математики средней школы в изучении геометрического материала. Изучение геометрического материала в современной начальной школе преследует в основном практические цели, сопровождая курс арифметики. Так, рассмотрение свойств фигур, формирование начальных геометрических представлений направлено в основном на приобретение учащимися практических умений и навыков, связанных с решением практических задач на вычисление (длины или площади). Может быть, поэтому отбор геометрического материала во многом диктуется интересами арифметики, а с тоски зрения геометрии имеет случайный характер. Об этом свидетельствует «объяснительная записка» к программе по математике 1999 год, где не делается даже малейшей попытки обосновать содержание геометрического материала, подлежащего рассмотрению в начальной школе. В программе по математике начальных классов геометрический материал представлен мелкими крупицами как незначительное вкрапление в арифметику и не представляет, на наш взгляд, целостного, обоснованного курса. Таким образом, сейчас в начальной школе происходит лишь определенное накопление фактического материала по геометрии, а соответствующего его обобщения не происходит. Более того, в курсе математики начальной школы в основном рассматривают плоскостные фигуры, тогда как даже ребенок - дошкольник имеет большой опыт общения с параллелепипедом, кубом, шаром, пирамидой (кубики, конструктор, мяч и т.д.), а в этом отношении геометрическая пропедевтика в современной школе проигрывает той, которая была в школе прошлого.

3. Наглядность и практичность обучения геометрии являются необходимыми условиями успешного ее изучения. Геометрия, как и любой другой учебный предмет, не может обходиться без наглядности. Известный русский методист-математик В.К. Беллюстин еще в начале XX века отмечал, что «никакое отвлеченное сознание невозможно, если ему не предшествует обогащение сознания нужными представлениями». Формирование отвлеченного мышления у школьников с первых школьных шагов требует предварительного пополнения их сознания конкретными представлениями. При этом удачное и умелое применение наглядности побуждает детей к познавательной самостоятельности и повышает их интерес к предмету, является важнейшим условием успеха.

В тесной связи с наглядностью обучения находится и его практичность. Именно из жизни черпается конкретный материал для формирования наглядных геометрических представлений. В этом случае обучение становится наглядным, согласованным с жизнью ребенка, отличается практичностью. Так возникла идея преподавания так называемой наглядной геометрии. Сказанное было хорошо известно русским педагогам прошлых лет и успешно применялось на практике.

4. Идея целостного курса наглядной геометрии создает определенную автономию начальной школе, позволяет ее выпускникам переходить к профессиональному обучению. В связи с намечаемым переходом на всеобщее начальное шестилетнее обучение (который н6ачал осуществляться в России в конце революции 1917 г.) возникла идея создания целостного и достаточно информативного курса наглядной геометрии.

Приведем содержание программы курса наглядной геометрии, которая действовала накануне революции в начальных школах одного из уездов Вологодской губернии. Сделаем несколько предварительных замечаний. Для начальной школы того времени программа по арифметике, по существу, охватывала все вопросы арифметики, которые изучаются в первых шести классах современной школы. Программа по геометрии существенно выходила за рамки геометрической чисти программы по математике первых шести лет обучения в современной школе. Таким образом, предполагаемый к тому времени переход к всеобщему начальному образованию предусматривал существенно более весомое программное обеспечение, чем его имеет даже современная начальная школа.

Начальные геометрические понятия (линии, простейшие геометрические фигуры и тела, симметрия, простейшие планы и т.д.) изучались на первом и втором годах обучения совместно с изучением арифметики. На третьем и четвертом годах обучения геометрия изучалась систематически на отдельных уроках.

Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры: точку, прямую, кривую, ломаную, отрезок, угол, многоугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. Для этого достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином. Например: отрезки, квадраты, прямоугольники, круги.

Отрезки Квадраты

Аналогично можно поступить с геометрическими телами, показ их моделей: это цилиндр (куб, конус и т.д.).

Такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ, поэтому, если изменить расположение или размер тех фигур, которые были предложены в образце, дети могут допускать ошибки. Например, в фигурах, изображенных на рисунке.



Ученик может не узнать квадраты в фигурах, изображенных на рис. 6 прямоугольники,

но на рисунке 7 фигуры, он может назвать прямоугольниками. Поэтому восприятие геометрической фигуры как целостного образа - лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка.

Важное место занимает при изучении геометрического материала наглядность.

Цель метода наглядности в начальной школе обогащение и расширение непосредственного, чувственного опыта детей, развитие наглядности, изучение конкретных свойств предметов, создание условий для перехода к абстрактному мышлению, опоры для самостоятельного учения и систематизации изученного. В начальных классах применяется естественное, рисунковое, объемное, звуковая и графическая наглядность.

Средство наглядности разнообразны: предметы и явления окружающей действительности, действие учителя и учеников изображения реальных предметов, процессов (рисунков, картины), модели предметов (игрушки, вырезки из картона), символические изображения (карты, таблицы, схемы).

Чтобы организовать наблюдения учеников, от учителя требуется известная осторожность. Распространенная ошибка - применение очень яркой наглядности, когда ее учебная сущность затмевается яркими красками. Неопытный учитель часто привлекает внимание детей к второстепенным деталям. Излишне разукрашивается раздаточный материал. Схема, таблица содержат цвет только для выделения смысла, но не для украшения. Наглядные методы применяются на всех этапах педагогического процесса. Их роль обеспечение всесторонних, образное восприятие, дать опору на мышление.

Каждый учитель постоянно должен понимать, что прочные знания у детей будут в том случае, если он будет опираться на жизненный опыт ребенка. Постоянно должна проводиться работа, связанная с наблюдением, сравниванием групп предметов. Широко должна использоваться наглядность, дидактический материал. При изучении нового материала рекомендуется такое построение урока, при котором работа начинается с разнообразных демонстраций, проводимых учителем или учеником. Применение наглядности на уроках математики при изучении геометрического материала, позволяет прочно и сознательно усвоить детям все программные вопросы.

Язык математики - это язык символов, условных знаков, чертежей, геометрических фигур, схем. Дети, начиная с первого класса, пользуются при счете геометрическими фигурами (квадраты, прямоугольники, круги, отрезки и т.д.) Геометрический прием условного обозначения вещей и их отношения рисункам, чертежом и т.п. является средством более легкого представления и запоминания изучаемого. Простейшим геометрическим изображением величины и ее частей является так называемое одномерное или линейные диаграммы.

Требования программы. Геометрический материал (как и алгебраический) не выделяется в программе и в реальном процессе обучения в качестве самостоятельно раздела. Вопросы геометрического содержания рассматриваются всегда, когда это оказывается возможным, в тесной связи с рассмотрением остальных вопросов курса. Однако, как это отмечено в объяснительной записке к программе, в изложении вопросов геометрии должна соблюдаться и собственная логика, подчиненная основным целям включения этого материала в курс.

Цели же эти состоят, прежде всего, в развитии пространственных представлений у детей, в формировании у них представлений о геометрических фигурах различных видов (точке, прямой и кривой линиях, отрезке, прямой, ломаной, прямом и непрямом угле, различных видов многоугольников, круге, окружности). Дети должны научиться изучать, различать и изображать эти фигуры как в тех случаях когда каждая из них предлагается им в изолированном виде, так и в тех, когда знакомая фигура представляет собой части другой, составлять фигуры из нескольких данных и т.п. При ознакомлении с геометрическим материалом значительное место уделяется измерениям: дети должны находить длину отрезка (1 класс), длину ломаной, периметр данного многоугольника (2 класс), площадь прямоугольника (3 класс).

При этом определения понятий детям не сообщаются (и соответственно от учащихся не требуется их знания). Вместе с тем по отношению к ряду понятий (например, по отношению к прямоугольнику, квадрату и т.д.) указываются те существенные признаки, которые фактически отражают содержание этих понятий и дают возможность выделять соответствующие фигуры из класса фигур, относящихся к ближайшему родовому понятию («прямоугольник - четырехугольник, у которого все углы прямые», «квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны» и т.п.). Дети должны научиться практически использовать соответствующие признаки при узнавании различных фигур, их классификацию.

Вопросы геометрического содержания рассматриваются главным образом на основе практических работ, связанных со сгибание листа бумаги, вычерчиванием фигур и пр. Формирование элементарных навыков черчения выделяется специальное внимание. В программе указано время, когда дети должны научиться пользоваться линейкой - угольником, предусмотрено, какие простейшие построения и измерения они должны выполнять. Это вычерчивание отрезков заданной длины и измерение отрезков с помощью мерной линейки, построение на клетчатой бумаге прямоугольника (квадрата). Дети должны пользоваться циркулем для вычерчивания окружностей заданного радиуса, с центром в заданной точке, научиться строить прямой угол и прямоугольники на нелинованной бумаге с помощью чертежного угольника. Рассмотрение вопросов, связанных с измерением естественно увязывается с работой над числами и арифметическими действиями. Геометрические фигуры часто служат средством наглядной интерпретации, рассматриваемых арифметических вопросов (смысла, сложения, вычитания, умножения, деления, некоторых их свойств и т.п.).

Приобретенные знания, умение, навыки и при изучении геометрического материала находят применение не только в входе практических упражнений, но и при решение текстовых задач.

2.2 Общая характеристика «понятия» («величины»)

Понятие является одной из форм абстрактного мышления. Конкретные предметы и их свойства отражаются с помощью форм чувственного познания -- ощущений, восприятий, представлений. Например, в данном апельсине мы ощущаем его свойства -- круглый, оранжевый, сладкий, ароматный. Совокупность этих и других свойств дает восприятие (конкретный образ единичного предмета) данного апельсина, при этом мы отражаем как его существенные свойства, так и несущественные. В понятии же отражаются лишь существенные свойства предметов.

Свойства -- это то, в чем предметы сходны друг с другом или отличные друг от друга. Предметы могут быть тождественны по своим свойствам (например, сахар и мед сладкие), но могут и отличаться по своим свойствам (мед сладкий, а полынь горькая).

Свойства бывают существенные и несущественные. В понятии отражается совокупность существенных свойств, то есть таких, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе взятые достаточны, чтобы с их помощью можно было отличить (выделить) данный предмет от всех остальных и обобщить однородные предметы в класс.

Понятие -- форма мышления, в которой отражаются существенные свойства одноэлементного класса или класса однородных предметов.

Языковыми формами выражения понятий являются слова или словосочетания (группы слов). Например, «книга», «лес», «гоночная спортивная машина», «спортсмен-перворазрядник». Существуют слова-омонимы, имеющие различное значение, выражающие различные понятия, но одинаково звучащие (например, «обычное слово «жизнь». Во-первых, «жизнь» -- это «бытие», «существование», в отличие от смерти; во-вторых, это «развитие», «процесс», «становление», «достижение»; в-третьих, имеется огромное число областей, у каждой из которых очень мало общего со всякой другой: органическая и неорганическая жизнь, общественная, культурная, богемная и т.д.; в-четвертых, под жизнью понимается определенного рода распорядок или уклад: жизнь столичная, периферийная, яркая или будничная, театральная или профсоюзная и т.д.; в-пятых, «жизнь»-- это «оживление», «подъем» или «расцвет жизненных сил», а также протекание или время жизни: «раз в жизни», «заря жизни», «на всю жизнь» и т.д.» Ивин А.А. Искусство правильно мыслить. М.: Просвещение, 1990.). Существуют слова-синонимы, имеющие одинаковое значение, т.е. выражающие одно и то же понятие, но различно звучащие (например, око -- глаз, враг -- недруг, хворь -- болезнь и т.д.).

Всякое понятие имеет содержание и объем. Содержанием понятия называется совокупность существенных свойств одноэлементного класса или класса однородных предметов, отраженных в этом понятии. Содержанием понятия «ромб» является совокупность двух существенных свойств: «быть параллелограммом» и «иметь равные стороны».

Объемом понятия называют класс обобщаемых в нем предметов. Объективно, т.е. вне сознания человека, существуют различные предметы, например, животные. Под объемом понятия «животные» подразумевается множество всех животных, которые существуют сейчас, существовали ранее и будут существовать в будущем. Класс (или множество) состоит из отдельных объектов, которые называются его элементами. В зависимости от их числа множества делятся на конечные и бесконечные. Например, множество планет Солнечной системы конечно, а множество натуральных чисел бесконечно.

Понятия можно классифицировать по объему и по содержанию. По объему понятия делятся на единичные, общие и пустые.

Объем единичного понятия составляет одноэлементный класс (например, «великий русский писатель Александр Николаевич Островский»; «столица России» и др.).

Объем общего понятия включает число элементов больше единицы (например, «автомобиль», «портфель», «государство» и др.).

Кроме общих и единичных понятий по объему выделяют понятия пустые (с нулевым объемом), т.е. такие, объем которых представляет пустое множество (например, «вечный двигатель», «баба Яга», «круглый квадрат», «человек, проживший» 300 лет и др.)

По содержанию можно выделить следующие четыре пары понятий.

Конкретные и абстрактные понятия

Конкретными называются понятия, в которых отражены одноэлементные или многоэлементные классы предметов (как материальные, так и идеальные). К их числу относят понятия: «дом», «свидетель», «романс», «поэма Владимира Маяковского «Хорошо!», «землетрясение» и другие).

Относительные и безотносительные понятия

Относительные -- такие понятия, в которых мыслятся предметы, существование одного из которых предполагает существование другого («дети» -- «родители», «ученик» -- «учитель», «начальник» -- «подчиненный», «северный полюс магнита» -- «южный полюс магнита»).

Безотносительные -- такие понятия, в которых мыслятся предметы, существующие самостоятельно, вне зависимости от другого предмета («дом», «человек», «доменная печь», «деревня»).

Положительные и отрицательные понятия

Положительные понятия характеризуют в предмете наличие того или иного качества или отклонения. Например, «грамотный человек», «алчность», «отстающий ученик», «красивый поступок», «эксплуататор» и т.д. Если частица «не» или «без» («бес») слилась со словом и слово без нее не употребляется (например, «ненастье», «бесчинство», «беспечность», «безупречность», «ненависть», «неряха»), то понятия, выраженные такими словами, также называются положительными, так как они характеризуют наличие у предмета определенного качества (может быть даже и плохого -- «неряха», «беспечность»).

Отрицательными называют те понятия, которые означают, что указанное качество отсутствует в предметах (например, «неграмотный человек», «некрасивый поступок», «ненормальный режим», «бескорыстная помощь»). Эти понятия в языке выражены словом или словосочетанием, содержащим отрицательную частицу «не» или «без» («бес»), присоединенную к соответствующему положительному понятию и выполняющую функцию отрицания.

Собирательные и несобирательные понятия

Собирательными называют понятия, в которых группа однородных предметов мыслится как единое целое (например, «полк», «стадо», «стая», «созвездие»). Собирательные понятия бывают общими (например, «роща», «студенческий строительный отряд») и единичными («созвездие Большая Медведица»). Содержание несобирательного понятия можно отнести к каждому предмету данного класса, мыслимого в понятии(«ручка», «река», «игрушка»).При этом будут возникать истинные суждения. В суждениях (высказываниях) общие и единичные понятия могут употребляться как в несобирательном (разделительном), так и в собирательном плане. В суждении «Студенты этой группы успешно сдали экзамен по педагогике» понятие «студенты этой группы» является общим и употребляется в разделительном (несобирательном) смысле, так как утверждение об успешной сдаче экзамена относится к каждому студенту этой группы. В суждении «Студенты этой группы провели общее собрание» понятие «студенты этой группы» употреблено в собирательном смысле, так как студенты этой группы взяты как единый коллектив и это понятие является единичным, ибо данная совокупность студентов (именно этой группы») одна, другого такого коллектива нет.

Например, дадим логическую характеристику понятиям «коллектив», «недобросовестность», «стихотворение». «Коллектив» -- общее, абстрактное, безотносительное, положительное, несобирательное. «Недобросовестность» -- общее, абстрактное, безотносительное, отрицательное несобирательное. «Стихотворение» -- общее, положительное, безотносительное, положительное, несобирательное. В содержание понятия о каком-либо объекте входит много различных существенных свойств этого объекта. Однако чтобы установить, содержится ли объект в объеме данного понятия (т.е. распознать его), необходимо проверить наличие у него лишь некоторых свойств. Указание этих существенных свойств предмета, которые достаточны для распознания объекта, -- определение понятия.

Определение понятия -- это такая логическая операция, которая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина. С помощью определения понятий мы в явной форме указываем на сущность отражаемых в понятии предметов, раскрываем содержание понятия и тем самым отличаем круг определяемых предметов от других предметов. Так, например, давая определение понятия «трапеция», мы отличаем его от других четырехугольников, например, от прямоугольника или ромба. «Трапеция -- четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие -- не параллельны»(1). Приведем еще несколько определений понятий, которые принадлежат к двум различным видам определений. «Вещества, растворы которых проводят электрический ток, называют электролитами»(2). «Флорой называют видовой состав растений, произрастающих на той или иной территории»(3). «Естественный отбор -- процесс выживания наиболее приспособленных особей, который ведет к преимущественному повышению или понижению численности одних особей в популяции по сравнению с другими»(4).

Реальные и номинальные определения

Если определяется понятие, то определение будет реальным. Если определяется термин, обозначающий понятие, то определение будет номинативным. Из вышеприведенных определений (1) и (4) -- это реальные определения, а (2) и (3) -- номинативные определения. С помощью номинативных определений вводятся также новые термины, краткие имена взамен более сложных описаний предметов. Например, «навыком называется такое действие, в составе которого отдельные операции стали автоматизированными в результате упражнений».

Определения могут быть явными и неявными.

Явные определения

Явные определения -- это такие, в которых даны определяемое понятие и определяющее понятие, и между ними устанавливается некоторое отношение равенства, эквивалентности. Самое распространенное явное определение -- определение через ближайший род и видовое отличие. В нем устанавливаются существенные признаки определяемого понятия. Например: «Правильный многоугольник -- многоугольник, у которого все стороны конгруэнтны и все углы равны», «Барометр -- прибор для измерения атмосферного давления». Признак, указывающий не тот круг предметов, из числа которых нужно выделить определяемое множество предметов, называется родовым признаком, или родом. В приведенных примерах родовыми являются понятия «многоугольник», «прибор». Признаки, при помощи которых выделяется определяемое множество предметов из числа предметов, соответствующих родовому понятию, называются видовым отличием. При определении понятия видовых признаков (отличий) может быть один или несколько. К явным определениям понятий относят и генетические определения. Они часто встречаются в школьных учебниках. Генетическими называются определения предмета путем указания на способ, которым образуется только данный предмет и никакой другой (это его видовое отличие). Например: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков».

Неявные определения

В отличии от явных определений, в неявных определениях на место определяющего понятия поставлен контекст или набор аксиом, или описание построения объекта, или показ. В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающий смысл вводимого понятия. Примером контекстуального определения может быть определения уравнения и его решения, приведенное в учебнике для III класса. Здесь после записи 3 + х = 9 и перечня чисел 2, 3, 6 и 7 идет текст: «х -- неизвестное число, которое надо найти. Какое из этих чисел надо поставить вместо х, чтобы равенство было верным? Это число 6 Моро М.И. и др. Математика: 2 класс. М.: Просвещение, 1986.». Из этого текста следует, что уравнение -- это равенство с неизвестным числом, которое надо найти, а решить уравнение -- это значит найти такое значение х, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Определение через аксиомы (аксиоматический метод). Приведем пример. Пусть дана система каких-то элементов (обозначаемых x, y, z...) и между ними установлено отношение, выражаемое термином «предшествует». Не определяя ни самих объектов, ни отношения «предшествует», мы высказываем для них следующие утверждения (т.е. следующие две аксиомы): Никакой объект не предшествует сам себе. Если х предшествует у, а у предшествует z, то х предшествует z . Так с помощью двух аксиом определены системы объектов вида «х предшествует у». Например, пусть объектами х , у ... являются люди, а отношение между х и у представляет собой «х старше у». Тогда выполняются утверждения 1 и 2. Если объекты х, у, z -- действительные числа, а отношение «х предшествует у» представляет собой «х меньше у», то утверждение 1 и 2 также выполняются. Утверждения (т.е. аксиомы) 1 и 2 определяют системы объектов с одним отношением. Индуктивные определения характеризуются тем, что определяемый термин используется в выражении понятия, которое ему приписывается в качестве его смысла. Примером индуктивного определения является определение понятия «натуральное число»:

1 -- натуральное число.

Если n -- натуральное число, то n +1 натуральное число

Никаких натуральных чисел, кроме указанных в пунктах 1 и 2, нет.

С помощью этого индуктивного определения получается натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4... .Таков алгоритм построения натуральных чисел.

Остенсивные определения используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Поэтому остенсивные определения называют еще определения путем показа. Например, таким способом определяются в начальной школе понятия равенства и неравенства.

...