Методика формирования у старшеклассников логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Методика формирования у старшеклассников логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. В пояснительной записке программы для общеобразовательных школ по математике прописаны цели обучения математике, в том числе формирование логических приемов мышления. К старшим (10-11-м) классам сформированность логических приемов мышления достигает определенного уровня. В начале исследования мы проводили диагностику сформированности логических приемов мышления старшеклассников по пяти уровням: низкий, ниже среднего, средний, выше среднего и высокий. Полученные данные позволили констатировать, что к старшему школьному возрасту сформированность логических приемов мышления у всех учащихся находится на уровне не ниже среднего. При этом неожиданно мало учащихся обладают уровнями выше среднего и высоким. Таким образом, у учащихся к старшим классам существует база для дальнейшего целенаправленного формирования логических приемов мышления. Утверждение Ж. Пиаже о том, что «логика взрослых», то есть полностью равновесное операционное мышление, окончательно формируется к 14-16 годам, дает основание полагать, что именно целенаправленное формирование у старшеклассников логических приемов мышления (операций по Пиаже) возможно и заключается в повышении уровня их сформированности у старшеклассников.

Проблема формирования у школьников логических приемов мышления рассматривалась исследователями в различных контекстах:

- формирование логических приемов мышления при изучении высшей математики (И.П. Калошина, Г.И. Харичева)

- формирование приемов учебно-познавательной деятельности (М.Б. Волович, О.Б. Епишева, В.И. Крупич, И.А. Лурье);

- формирование математических понятий (А.Я. Блох, Я.И. Груденов, Н.В. Метельский, В.В. Репьев, К.А. Рупасов, З.И. Слепкань);

- обучение доказательствам математических предложений (К.О. Ананченко, А.К. Артемов, В.А. Далингер, В.Л. Минковский, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр);

- воспитание логической культуры (В.Г. Болтянский, Г.В. Дорофеев, И.Л. Никольская).

В этих работах заявлена необходимость специального формирования приемов мышления, в том числе логических приемов, представлены сами приемы, возможные упражнения овладения ими, время и сроки их изучения. Однако авторы не рассматривают проблему методики формирования логических приемов мышления. Акцент делается на усвоение математического содержания с помощью логических приемов. Меньше уделяется внимания формированию самих приемов посредством изучения некоторого математического содержания. В ряде работ показывается возможность применения логических приемов мышления при изучении геометрического материала, однако алгебраический материал необоснованно не используется.

Вышесказанное позволяет говорить о необходимости целенаправленного формирования логических приемов мышления, которое должно стать одной из приоритетных задач при изучении математики.

С точки зрения возраста исследуемой группы учащихся формирование логических приемов описано:

- в основной школе (младший школьный возраст и подростковый возраст) (И.В. Воинова, Т.В. Голикова, Т.Ю. Середа и др.);

- у студентов колледжа (юношеский возраст) (И.В. Абдрахманова);

- у студентов вуза (И.П. Калошина, Г.И. Харичева).

Формированию логических приемов мышления на уровне среднего (полного) образования посвящено мало работ. Однако, при обучении в старших классах, недостаток внимания к этой проблеме ведет к перегрузке школьников. Это связано с тем, что задачи по содержанию становятся более разнообразными, появляются различные подходы к их решению, растет объем теоретического материала, повышается абстрактность его изложения в учебных пособиях. Если учащиеся не будут владеть логическими приемами мышления, то им придется запоминать большое количество материала, вместо того, чтобы понять принцип его построения, структуру доказательства в зависимости от вида математического предложения и пр. На уровне основного общего образования научить этому нельзя, поскольку способности логически мыслить, пользуясь абстрактными понятиями, выполнять прямые и обратные операции, формулировать и проверять гипотетические предложения характерны для юношеского возраста.

Косвенным показателем овладения логическими приемами является умение решать задачи, которое не возможно без абстрагирования от конкретной ситуации, описанной в фабуле, выполнения синтеза условия, проведения аналитических рассуждений и прочего. Без обобщения невозможно сформировать прием решения класса подобных задач.

По данным анализа федеральной предметной комиссией по математике результатов ЕГЭ 2008-2009 гг., значительная часть учащихся, получивших удовлетворительную оценку, не усвоила решение иррациональных уравнений, логарифмических неравенств и нахождение области определения сложной функции. Эта группа выпускников в целом не справилась ни с одним заданием повышенного уровня, что говорит не только о слабых знаниях учащихся, но и о том, что они не умеют анализировать условие задачи, абстрагироваться от конкретной ситуации в задаче и применять математические факты для ее решения. Стандартные, привычные действия базового уровня сложности учащиеся выполнили, а задания повышенного уровня, требующие самостоятельного применения логических приемов мышления, вызвали затруднения. Типичными при выполнении заданий базового уровня сложности (часть 1 КИМ) были ошибки, связанные с неумением применить стандартные методы решения простейших уравнений и неравенств, хуже других тем и разделов усвоено решение иррациональных уравнений.

Содержательно-методическая линия «Уравнения и неравенства» проходит через весь курс математики средней школы. Ее преимущество перед другими содержательными алгебраическими линиями - в лаконичности, наглядности. Кроме того, при решении уравнений и неравенств используется теория равносильности, сформулированная в понятиях и терминах математической логики. Уравнения и неравенства решаются с помощью нисходящего и восходящего анализа, синтеза, аналогии, производится их классификация, обобщение, конкретизация, что предполагает использование соответствующих логических приемов мышления.

Таким образом, обнаруживаются противоречия между:

- дидактическими возможностями логических приемов мышления для изучения содержания учебного материала в школьной практике и недостаточным развитием методических подходов к использованию этого содержания для целенаправленного формирования у старшеклассников логических приемов мышления;

- существующими возможностями содержательно-методической линии школьного курса математики «Уравнения и неравенства» для формирования у учащихся логических приемов мышления и отсутствием методики использования этих возможностей.

Противоречия подчеркивают актуальность проблемы, состоящей в отсутствии методики целенаправленного формирования у старшеклассников логических приемов мышления в курсе алгебры и начал анализа.

Исходя из противоречий и указанной проблемы, была сформулирована тема: «Методика формирования у старшеклассников логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств».

Объектом исследования является процесс обучения старшеклассников алгебре и началам анализа.

Предмет исследования - формирование у старшеклассников логических приемов мышления при обучении решению уравнений и неравенств.

Цель исследования состоит в разработке и научном обосновании методики формирования у старшеклассников логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств.

В соответствии с целью была сформулирована гипотеза исследования: процесс формирования логических приемов мышления у старшеклассников при решении уравнений и неравенств будет более эффективным, чем в массовом опыте обучения, если:

* формирование логических приемов мышления будет приоритетной задачей;

* логические приемы мышления (анализ, синтез, обобщение, конкретизирование, абстрагирование) связываются с приемами учебной работы, которые используются при решении уравнений и неравенств;

* методика формирования логических приемов мышления строится на основе этапной модели (подготовительный, обучающий, закрепляющий и практический этапы) и содержит следующие компоненты: 1) целевой (постановка целей на каждом этапе); 2) содержательный (отбор содержания математического материала, средств обучения, конкретизация практических задач для каждого из этапов); 3) операционно-исполнительский (организация деятельности учащихся и учителя на каждом из этапов).

В соответствии с целью и гипотезой решались следующие задачи исследования:

1) установить взаимосвязь между понятиями «логический прием мышления» и «прием учебной работы», разработать и описать приемы учебной работы, представляющие собой схемы выполнения конкретных логических приемов мышления;

2) выявить критерии и описать уровни сформированности логических приемов мышления у старшеклассников;

3) разработать поэтапную модель формирования логических приемов мышления на основе взаимосвязи между логическими приемами мышления и приемами учебной работы;

4) разработать методику целенаправленного формирования логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств;

5) экспериментально проверить эффективность разработанной методики формирования у старшеклассников логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств.

Теоретико-методологическую основу исследования составили:

- основные положения общей методики обучения математике в школе - изучение определений, теорем, обучение решению математических задач (Я.И. Груденов, О.Б. Епишева, Ю.М. Колягин, Н.В. Метельский, В.В. Репьев, Г.И. Саранцев и др.);

- основные положения частной методики обучения математике в школе - обучение решению уравнений (А.Ш. Блох, Е.Н. Ермолаева, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, С.Е. Ляпин, Н.И. Мерлина, Н.Г. Миндюк, В.И. Мишин, Т.Л. Трухан, Г.А. Ястребинецкий и др.);

- основные положения теории формирования логических приемов мышления (Е.Н. Кабанова-Меллер, А.А. Столяр, О.Б. Епишева, В.И. Крупич и др.) и развития теоретического мышления (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, и др.);

- теоретические положения деятельностного подхода к организации процесса обучения (П.Я. Гальперин, А.Н. Леонтьев, П.И. Пидкасистый, Н.Ф. Талызина, Л.М. Фридман, В.Д. Шадриков и др.);

- общедидактические принципы организации обучения (Ю.К. Бабанский, В.П. Беспалько, А.Л. Жохов, И.А. Лернер, П.М. Эрдниев и др.).

Для решения поставленных задач были использованы методы педагогического исследования: теоретические (анализ философской, психолого-педагогической, математической, научно-методической литературы по проблеме, учебников и учебно-методических пособий по математике, школьных программ; метод теоретического моделирования, прогнозирования и др.); эмпирические (констатирующий и формирующий эксперименты, наблюдение за деятельностью школьников в учебном процессе; анализ самостоятельных и контрольных работ учащихся, анкетирование, сравнение, обобщение, анализ и синтез эмпирических данных); статистические (обработка результатов формирующего эксперимента, их количественный и качественный анализ, графическая интерпретация).

Достоверность и обоснованность результатов и выводов исследования подтверждается обоснованностью исходных теоретико-методологических позиций; репрезентативной выборкой с учетом содержания и характера эксперимента; привлечением целостного подхода к решению проблемы обучения математике и формирования у старшеклассников логических приемов мышления; использованием эмпирических и теоретических методов исследования, адекватных поставленным задачам.

Научная новизна результатов исследования состоит в следующем: решена проблема целенаправленного формирования логических приемов мышления при изучении алгебраического материала; на основе связей логических приемов мышления и приемов учебной работы разработаны ориентировочные основы действий, посредством которых реализуются анализ, синтез, конкретизация, обобщение и абстракция при решении уравнений или неравенств; определены критерии уровней сформированности логических приемов мышления у старшеклассников; разработана этапная модель формирования логических приемов мышления (подготовительный, обучающий, закрепляющий и практический этапы) и на ее основе разработана методика формирования у старшеклассников логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств (целевой, содержательный, операционно-исполнительский компоненты).

Теоретическая значимость результатов исследования состоит в научном обосновании положения о том, что содержание алгебраического материала может быть использовано для целенаправленного формирования логических приемов мышления; обосновании применения приемов учебной работы, посредством которых происходит формирование логических приемов мышления. Представленная методика формирования логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств дополняет теорию и методику обучения математике разработкой и подборкой математических задач и теорию развивающего обучения разработанными схемами выполнения логических приемов мышления, этапным формированием.

Практическая ценность результатов исследования заключается в том, что разработаны методика формирования у старшеклассников логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств и серии упражнений для каждого формируемого логического приема мышления. Авторская этапная модель формирования логических приемов мышления может быть использована для разработки методик формирования у старшеклассников логических приемов мышления при изучении других содержательно-методических линий школьного курса алгебры и начал анализа.

Апробация результатов исследования осуществлялась через:

- выступления на международных научных конференциях «Сельская школа в контексте интеграционных процессов в образовании» (Арзамас, 2008), «Математика. Образование. Культура» (Тольятти, 2009); Международной научно-практической конференции «Использование современных технологий в образовательном процессе» (Магнитогорск, 2008.); Международных 14-й и 17-й электронных научных конференциях «Новые технологии в образовании» (Воронеж, 2006); Всероссийских научно-практических конференциях «Интегративный характер современного математического образования» (Самара, 2007), «Модернизация системы профессионального образования на основе регулируемого эволюционирования» (Москва-Челябинск, 2006-2009), «Интеграция методической (научно-методической) работы и системы повышения квалификации кадров» (Москва-Челябинск, 2006-2008); «Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации российского образования» (Волгоград, 2009); региональных научно-практических конференциях «Активизация учебно-познавательной деятельности учащихся: исследования, теория, практика» (Волгоград, 2004-2007), «Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации российского образования» (Волгоград, 2004-2008) и других;

- выступления на заседаниях методических объединений учителей математики Новоаннинского района Волгоградской области, семинарах объединенных кафедр ГОУ ВПО ВГПУ и межвузовском научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова «Преподавание математики в вузе и средней школе»;

- доклады на научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного педагогического университета, кафедре методики преподавания математики Волгоградского государственного педагогического университета (Волгоград, 2005-2008);

- публикации материалов исследования в различных научных, научно-методических изданиях (по теме исследования опубликовано 22 работы, статьи и тезисы, в том числе в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией - 1).

Внедрение результатов исследования осуществлялось в практической деятельности учителей математики государственного образовательного учреждения «Волгоградский лицей» (областная мужская средняя школа-интернат педагогического профиля), Муниципального образовательного учреждения «Староаннинская средняя общеобразовательная школа», Муниципального образовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа №1 им. Горького» городского округа г. Фролово Волгоградской области. Результаты исследования внедрялись и апробировались через чтение лекций магистрантам кафедры методики преподавания математики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Волгоградский государственный педагогический университет».

Положения, выносимые на защиту:

Пример: Задача. Определить какой логический прием мышления был использован при выполнении задания.

.

Решение:

1) Уравнение содержит неизвестную под знаком радикала, следовательно, задано иррациональное уравнение;

2) результат извлечения арифметического квадратного корня должен быть неотрицательным числом, следовательно ;

3) по определению арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен самому числу, значит, решение уравнения сводится к решению системы (Ответ: анализ).

Применяются упражнения 2-го типа (закрепляющий этап), требующие выполнения конкретного приема: без помощи схемы выполните анализ (синтез, обобщение и пр.) для решения задачи…; укажите, какими логическими приемами вам необходимо воспользоваться при выполнении задания…; решите с помощью логического приема анализа (синтеза), обобщите, найдите конкретизацию данного типа уравнений, абстрагируясь от свойства уравнения, запишите в символах общий вид уравнения и пр.

Пример. Задача. Предложите какую-либо конкретизацию уравнения , задав такие условия для , чтобы получить отдельный тип уравнений с модулем, которые имеют свой способ решения, отличный от общего (по определению). Предложите возможный способ решения.

Например, , то есть . Тогда решение .

Практический этап предполагает применение усвоенных логических приемов мышления на специально подобранных задачах, а так же на задачах учебника. При этом предлагаются задачи не только на решение уравнений и неравенств.

На практическом этапе используются упражнения 3-го типа, требующие применения логических приемов без указания на схему выполнения или их переноса на другой материал. Формулировки задач не содержат указания на логические приемы мышления.

Пример. Задача. Выясните, существует ли наименьший корень у уравнения Если существует, то напишите его в ответ.

Решение:

1) Исходное уравнение равносильно системе

2) Таким образом, наименьший корень у данного уравнения существует и равен 2.

3) Ответ: 2.

В конце каждого этапа методики формирования для подведения итогов проводились контрольные срезы.

Формирующий этап эксперимента осуществлялся в условиях естественного учебного процесса в 2005-2007 учебных годах в 10-11-х классах общеобразовательных учреждений (ГОУ «Волгоградский лицей» (областная экспериментальная мужская средняя школа-интернат педагогического профиля), МОУ «Староаннинская СОШ», МОУ «СОШ №1 им. Горького» городского округа г. Фролово) в три этапа. В эксперименте принимали участие106 (экспериментальная группа) и 103 (контрольная группа) учащихся 10-11-х классов. Использовался лонгитюдный тип исследования.

Первый этап - констатирующий эксперимент - начался в 2005 г. В первую очередь для всех старшеклассников с целью разделения на экспериментальную и контрольную группы были определены исходные уровни сформированности логических приемов мышления. Показатель IQ, имеющиеся у учащихся представления о логических приемах мышления. Проводились тестирования 209 учащихся общеобразовательных классов, наблюдение за ними, анализ журналов успеваемости. Целями этапа являлись: обоснование необходимости разработки методики формирования логических приемов мышления; выявление логических приемов мышления, используемых при изучении уравнений и неравенств; выяснение уровня сформированности логических приемов мышления (анализ, синтез, конкретизирование, абстрагирование и обобщение). Итоги проведенного диагностирования позволили констатировать высокий процент учащихся, обладающих репродуктивным уровнем сформированности логических приемов мышления.

Второй этап - формирующий эксперимент (2005-2006 гг.) Ориентируясь на фоновые показатели уровня сформированности логических приемов предыдущего этапа, была разработана методика формирования логических приемов мышления при изучении математики в 11-м классе по разделу «Решение уравнений и неравенств». Данные констатирующего эксперимента позволили определить цель формирующего эксперимента: формирование логических приемов мышления, повышение уровня сформированности у учащихся логических приемов мышления. Значительно повысился процент учащихся, обладающих продуктивным теоретическим уровнем.

Процесс формирования осуществлялся с помощью разработанной методики.

Третий заключительный этап диссертационного исследования (2008 г.) включал экспериментальную проверку эффективности разработанной методики формирования у старшеклассников логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств и статистическую обработку полученных данных. Основные результаты отражены в табл. 2.

Таблица 2

Сравнительный анализ данных об уровне сформированности логических приемов мышления у старшеклассников Эг и Кг на начало и конец формирующего эксперимента показал, что значительные изменения произошли в уровнях экспериментальной группы (репродуктивный - уменьшение на 1,9%; продуктивный эмпирический - уменьшение на 47,1%; продуктивный теоретический - прирост на 49%), при этом существенных изменений в составе типологических групп контрольной группы не произошло репродуктивный - уменьшение на 3,9%;, продуктивный эмпирический - увеличение на 4,9%; продуктивный теоретический - уменьшение на 0,9%).

Проследим динамику уровней сформированности логических приемов мышления в экспериментальной группе. Отобразим с помощью диаграммы (см. рис. выше) распределение процентного соотношения выполненных задач при выполнении заданий на выявление степени сформированности логических приемов мышления на начало и конец эксперимента. Диаграмма показывает положительную динамику в уровнях сформированности логических приемов мышления Эг.

Данные, полученные в ходе формирующего эксперимента, были статистически и математически подтверждены, что позволяет высказать предположение о положительной динамике формирования у старшеклассников логических приемов мышления при решении уравнений и неравенств.

Для подтверждения гипотезы полученного повышения уровня сформированности логических приемов мышления у учащихся экспериментальной группы использовалось распределение Пирсона ?2 (хи-квадрат), для выяснения значимости и достоверности различия показателей Кг и Эг использовался t-критерий Стъюдента. Качественный анализ работ учащихся Эг позволил установить, что усвоение ими программного материала происходит на более высоком уровне. Динамика количественных показателей распределения учащихся Эг по уровням сформированности логических приемов мышления и общей успеваемости показала положительные результаты, что дает основание утверждать о наличии взаимосвязи и взаимовлиянии рассматриваемых явлений.

Таким образом, анализ реальной практики обучения, статистических данных, полученных в исследовании, позволил сделать вывод о результативности разработанной нами методики и подтвердить выдвинутую гипотезу.

В заключении работы представлены основные результаты проведенного теоретического и экспериментального исследования.

Основные выводы исследования

1. Анализ психолого-педагогической литературы позволяет рассматривать понятие «логический прием мышления» как способ, которым учащиеся осуществляют умственную деятельность. «Прием учебной работы» определяется как последовательность действий, служащих для выполнения логических приемов мышления. При этом приемы учебной работы являются внешней формой проявления логических приемов мышления. Логические приемы мышления реализуются через приемы учебной работы, которые представляют собой схемы выполнения логических приемов, алгоритмические предписания действий по выполнению логических приемов мышления. Разработанные алгоритмические предписания выполняют роль ориентировочной основы действий.

2. Определены качественные критерии уровней сформированности логического приема мышления: 1) способность учащегося дать определение конкретного логического приема мышления и сформулировать последовательность действий (приемов учебной работы) по его выполнению; 2) выполнение приемов учебной работы, соответствующих логическому приему мышления (количество верно выполненных заданий в% от общего количества заданий); 3) умение перенести логический прием мышления в новую ситуацию. Приведены количественные характеристики уровней сформированности, при установлении которых использовались результаты ЕГЭ, экспериментальные проверки в реальном учебном процессе, экспертные оценки. Описаны уровни сформированности логических приемов мышления старшеклассников: репродуктивный, продуктивный эмпирический и продуктивный теоретический.