Обучение решению задач на построение сечений многогранников учащихся 10-11 классов
Математические основы построения сечений многогранников. Особенности познавательной сферы учащихся юношеского возраста и их учёт при обучении построению сечений многогранников. Использование сечений при решении задач на вычисление объёмов многогранников.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.06.2018 |
| Размер файла | 2,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Понятие многогранника рассматриваются в учебнике Е. В. Потоскуева и Л. И. Звавича [30] в 11 классе, а сами методы построения сечений многогранников и задачи на построение их сечений представлены в дополнениях в задачнике «Геометрия 10 класс» [31]. В задачнике описаны три метода построения сечений многогранников: метод следов, метод внутреннего проектирования (или метод соответствий, или метод диагональных сечений) и комбинированный метод. Рассматриваются перечисленные методы на конкретных примерах задач с пошаговым описанием построений и раскрытием их сущности. Также авторы объясняют случаи, в которых целесообразно применять тот или иной метод.
Учебник И.М. Смирновой и В.А. Смирнова двухуровневый: с учётом параграфов со звёздочкой он соответствует профильному уровню, без их учёта - базовому. В Главе II «Параллельность в пространстве» содержится параграф под названием «Сечения многогранников». Учащиеся знакомятся с такими основными понятиями, как сечение многогранника плоскостью, диагональные сечения призмы и пирамиды, а также вводится понятие усечённой пирамиды и её основания. Среди материала для закрепления встречаются упражнения, требующие только устного ответа (Какой фигурой является сечение многогранника плоскостью? Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) квадрат, б) прямоугольник (стр. 49 №1-7, 17)), так и упражнения, для выполнения которых требуются построения и расчёты, - упражнения на вычисление: периметра сечения (стр.50 №13), площади сечения (стр.69 №20*-22*). Также встречаются упражнения повышенного уровня сложности (стр.50 №14-15).
Учебник И.Ф. Шарыгина реализует авторскую, эмпирически- наглядную концепцию построения школьного курса математики [51]. Характерной чертой этого учебника является отказ от аксиоматического метода и акцент на наглядные методы, причём большое внимание уделяется методам решения геометрических задач. Теоретический и задачный материал представлен на уровнях: базовом и углублённом (параграфы, отмеченные звездочкой). Также существует градация задач на важные (отмечены буквой (в)), полезные (п) и трудные (т). Учащиеся уже в первой главе «Прямые и плоскости в пространстве» знакомятся с многогранниками, причём автор не дает точного определения этого понятия, а также с задачами на построение сечений многогранников. Следуя методическим рекомендациям к учебнику, при изучении этой главы предусматривается проведение самостоятельной работы [52]. Во второй главе под названием «Многогранники» построение сечений рассматривается более детально - появляются методы построения: метод следов и метод вспомогательных плоскостей (он же метод внутреннего проектирования). Почти весь теоретический материал является единым для учащихся разного уровня. Единственное исключение - это метод вспомогательных плоскостей - в классах с углублённым изучением геометрии он обязателен, а в слабых классах он предназначен для ознакомления и не требует детального рассмотрения. В этой главе дифференциация материала задаётся в основном системой задач. Среди задач, предложенных для закрепления материала, можно выделить следующие: построение сечения треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через три точки (стр. 54 №1, стр. 55 №5) и задачи на вычисление (вычислить площадь сечения (стр. 55 №2); найти отношение площадей получившихся сечений (стр. 55 №3)).
Таким образом, в результате выполненного анализа установлено:
1. Во всех учебниках рассматриваются задачи на построение сечений многогранников плоскостью, проходящей через3 точки.
2. Встречаются задачи с дополнительным условием - условием параллельности.
3. Рассматриваются как явные определения понятий сечения и секущей плоскости, так и разъяснения этих понятий.
4. Методы решения задач на построение сечений даются неявно - на примере решения отдельных задач.
5. Приёмы построения сечений многогранников отсутствуют.
Талызина Н. Ф. утверждает, что нужно учить не отдельно взятой задаче, а задачам определённого типа, чтобы можно было выполнить обобщение процесса решения задач этого типа. В связи с этим требуется составить предписания для построения сечения многогранников, которые в школьных учебниках отсутствуют.
Поскольку в школьных учебниках присутствуют задачи с дополнительным условием, рассмотрим всевозможные варианты сечений многогранников плоскостью, удовлетворяющей условию параллельности (таблица 5).
Таблица 5
Варианты сечений многогранника плоскостью, удовлетворяющей условию параллельности
|
№№ вари анта |
Число данных точек |
Условие параллельност и для сечения |
Теоремы, обосновывающие существование сечения, удовлетворяющего условию параллельности |
Номера задач из учебников |
|
|
1) |
1 |
Сечение параллельно данной плоскости |
Через данную точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной плоскости. |
[7]: № 72, 74, 82, 83(б), 107, 114, 115 [1]: 11.9, 11.11 [22]: с. 265 №9 [36]: с.50 №19 |
|
|
2) |
2 |
Сечение параллельно данной прямой |
Через данную точку параллельно данной прямой, не содержащей эту точку, можно провести множество плоскостей |
[7]: 69, 86 [22]: с. 265 №5-8 [36]: с.77 №16 |
|
|
3) |
1 |
Сечение параллельно двум данным прямым |
Через данную точку параллельно двум данным прямым, не содержащим эту точку, можно провести единственную прямую |
[7]: №104 |
В предложенных вариантах некоторые условия могут быть заменены за счёт равносильных условий, таких как «2 точки принадлежат сечению» и
«Прямая принадлежит сечению». Тем самым, получаем следующие три класса задач, удовлетворяющих условию параллельности:
1. Построить сечение многогранника, проходящее через данную точку, параллельно данной плоскости (рис. 12).
2. Построить сечение тетраэдра (куба), проходящее через две точки, параллельно данной прямой (рис. 13).
3. Построить сечение тетраэдра (куба), проходящее через данную точку, параллельно двум данным прямым (рис. 14).
Решение таких задач сводится к выявлению и проведению прямой, параллельной данной. В качестве данной прямой, может выступать прямая, принадлежащая данной плоскости. Проведение в пространстве прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, возможно только в плоскости, содержащей эту точку, данную прямую и выявленную прямую. Условимся называть эту плоскость «главной».
Применение сечений при решении задач. С целью выявления теоретического и задачного материала, связанного с построением сечения многогранников в других темах курса геометрии 10-11 классов, был продолжен ЛМА УМК «Геометрия 10-11», рекомендованных МО и науки РФ к использованию в общеобразовательных школах. Также в процессе анализа были рассмотрены теоретическое и практическое содержание тем «Цилиндр» и «Конус».
Таблица 6
Представленность задач, связанных с построением сечений многогранников в учебниках «Геометрия 10-11»
|
Названия тем курса «Геометрия 10-11» |
Номера задач |
||
|
базовый уровень |
углублённый уровень |
||
|
Призма |
[7]: №221, 226 |
[7]: №233,234 |
|
|
[26]: с.83 №7, 8 |
[1]: с. 183 №4-8 |
||
|
[32]: №2.022, 2.024, 2.025 |
[26]: с.84 №14, №22 |
||
|
[32]: №2.031, 2.032 |
|||
|
Пирамида |
[7]: №263 |
[7]: №265, 266 |
|
|
[26]: с.87 №50-52 |
[1]: №22.7,22.9 |
||
|
[32]: №2.228, 2.242 |
[32]: №2.243, 2.245 |
||
|
Правильные |
[7]: № 300, № 307; |
[7]: №283, №309 |
|
|
многогранник и |
[32]: №2.350, 2.400 |
||
|
Цилиндр |
[7]: №521-525, 527, 529-531 |
[7]: №526, 528, 532-536 |
|
|
[26]: с.103 №1-4 |
[32]: №3.011, 3.019 |
||
|
[32]: №3.003-3.009 |
|||
|
Конус |
[7]: №549-551, 553, 554 |
[7]: №552, 556, 557 |
|
|
[26]: с.104 №11-15 |
[32]: №3.047, 3.055 |
Во второй главе в учебнике «Геометрия 10-11» А.Д. Александрова и др. рассматриваются задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда и добавляются задачи: с дополнительным условием - параллельности или перпендикулярности; на вычисление (найти расстояние между сечениями, проведенными параллельно основанию пирамиды; вычислить площадь сечения, проходящего через середину ребра правильной пирамиды). В главе 4 в темах «Призма» и «Пирамида» представлены аналогичные задачи (22.7, 22.9, с. 183 № 4-8). В главе 3 «Фигуры вращения» на базовом уровне рассматриваются осевые сечения цилиндра и конуса, а также сечения плоскостями, перпендикулярными к их осям. На углублённом уровне обучающимся сообщается о том, какой вид имеет плоское сечение боковой поверхности цилиндра, предоставляется информация о конических сечениях [1].
В учебнике «Геометрия 10-11» авторского коллектива под руководством Л. С. Атанасяна в главе II «Перпендикулярность прямых и плоскостей» добавляются задачи на построение сечений с дополнительным условием - условием перпендикулярности (№196). В третьей главе «Многогранники» появляются задачи на построение сечений призмы и пирамиды, а также появляются задачи с ещё одним дополнительным условием - параллельности (№226, №266, №283). Изучение цилиндра и конуса предполагается в 11 классе: на базовом уровне рассматриваются примеры осевых сечений и сечений, перпендикулярных к оси. В качестве материала, не обязательного на базовом уровне, обучающимся предоставляется информация о сечениях цилиндрической поверхности и конической поверхности [7].
В учебнике «Математика 10» (В. В. Козлов, А. А. Никитин, В. С. Белоносов и др., [22]) в главе 4 «Параллельность прямых и плоскостей» рассматриваются примеры задач с дополнительным условием - условием параллельности (с. 96-97, с.103), а также построения сечений призмы и параллелепипеда. В Главе 6 «Перпендикулярность в пространстве» есть задачи с дополнительным условием перпендикулярности (с. 167-168, № 10- 11). Также рассматривается один из видов конических сечений - эллипс (с. 28-29), причём данный материал соответствует третьему уровню сложности [23].
По учебнику А. В. Погорелова в 11 классе изучаются тела вращения - цилиндр и конус. Для цилиндра рассматриваются сечения плоскостями, параллельными его оси, в частности осевое сечение, и параллельными плоскости основания; для конуса - сечения плоскостями, проходящими через его вершину и плоскостями, параллельными плоскости основания [26].
В задачнике к учебнику «Геометрия 11» (авторы Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич [32]) в темах «Призма», «Пирамида», «Правильные многогранники» есть задачи как на построение сечений многогранников, так и вычислительные задачи, связанные с соответствующими сечениями. Авторы специальными значками выделили наиболее необходимые для решения задачи и трудные задачи, среди которых встречаются и задачи с дополнительными условиями - параллельности и перпендикулярности. Задачный материал по теме «Цилиндр» в основном содержит сечения, параллельные оси, в частности осевые, а по теме «Конус» - сечения, проходящие через вершину конуса.
Учебник И.М. Смирновой и В.А. Смирнова предполагает наличие упражнений, в которых используются дополнительные условия параллельности (стр.50 №19, стр.77 №16) и перпендикулярности (стр.70 №10). При изучении параграфа «Цилиндр. Конус» вводятся понятия осевых сечений данных круглых тел [36].
В учебнике И.Ф. Шарыгина можно увидеть не только задачи на построение сечения и на вычисление площади сечения (отношения площадей сечения), также встречаются задачи, удовлетворяющие условию параллельности (стр. 55 №8(в), №9(т)). При изучении тел вращения конуса и цилиндра вводится понятие только осевого сечения [51].
В результате анализа содержания этих учебников сделаны выводы:
1.Наличие задач с использованием дополнительных условий - параллельности или перпендикулярности не является повсеместным.
2. Во всех учебниках рассматриваются осевые сечения цилиндра и конуса, а также сечения плоскостями, перпендикулярными к их осям. Наличие информации о конических сечениях и сечениях цилиндра, отличных от вышеуказанных, не является повсеместным.
3. В содержание задачного материала некоторых учебников входят задачи с ещё одним дополнительным условием - условием перпендикулярности.
Анализ учебников позволил выявить варианты условий для построения сечения плоскостью: 1) три точки, не принадлежащие одной прямой; 2) включающие условие параллельности (таблица 6); 3) включающие условие перпендикулярности (Таблица 7). В таблице 7 некоторые условия могут быть заменены равносильными условиями («2 точки принадлежат сечению» и «Прямая принадлежит сечению»).
Таблица 7
Варианты сечений многогранника плоскостью, удовлетворяющей условию перпендикулярности.
|
Число данных точек |
Условие перпендикулярности для сечения |
Теоремы, обосновывающие существование сечения, удовлетворяющего условию перпендикулярности |
Номера задач |
|
|
1 |
Сечение перпендикулярно данной прямой |
Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой |
[7]: №283 [22]: с.167-168 №10-11 |
|
|
1 |
Сечение перпендикулярно данной плоскости |
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны (признак перпендикулярности двух плоскостей) |
[7]: №234 |
|
|
2 |
Сечение перпендикулярно данной плоскости |
Теорема о существовании перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Признак перпендикулярности двух плоскостей |
[7]: №233 |
Результаты логико-математического анализа содержания учебников, учёт требований ФГОС СОО позволили сформулировать планируемые результаты на двух уровнях в соответствии со Стандартом. Неразрывная связь предметных и метапредметных результатов объясняется включением в последние познавательных и регулятивных УУД. Познавательные логические действия, являясь, по сути, умственными действиями, составляют психологическую основу процесса решения предметных, в частности, геометрических задач на построение сечений многогранников.
Таким образом, предметные результаты содержат в себе систему предметных знаний и систему, выполняемых с ними, соответствующих предметных действий (предписаний для построения сечений различными способами), в основе которых лежат познавательные УУД. Включение их в регуляторный процесс, как усвоенных, способствует формированию регулятивных УУД и является необходимым условием успешности решения задач обучающимися. Именно поэтому, в первую очередь, следует сформировать у учащихся познавательные УУД - предписания. Таким образом, ЛМА УМК «Геометрия 10-11» показал следующее (таблица 8).
Таблица 8
Планируемые предметные и метапредметные результаты, связанные с построением сечений
|
Базовый уровень: «Проблемно-функциональные результаты» |
Углубленный уровень: «Системно-теоретические результаты» |
||||
|
I. Выпускник научится |
III. Выпускник получит возможность научиться |
II. Выпускник научится |
IV. Выпускник получит возможность научиться |
||
|
Цели осво- ения пред мета |
Для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики |
Для развития мышления, использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики |
Для успешного продолжения образования по специальностям, связанным с прикладным использованием математики |
Для обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, связанным с осуществлением научной и исследовательской деятельности в области математики и смежных наук |
|
|
Планируемые результаты (Требования к результатам) |
|||||
|
Пред- мет- ные ре- зуль- та- ты |
формулировать: аксиомы стереометрии; определения основных понятий; основные теоремы; извлекать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах; в том числе, связанную с сечениями |
строить сечения многогранников плоскостью, проходящей через 3 данные точки, методом следов (способ пересечения множеств), с дополнительным условием параллельности; обосновывать правильность построенного сечения |
Владеть понятием «сечение» при решении задач и проведении математических рассуждений; уметь строить сечения многогранников с использованием метода следов (способ проекций точек); |
Владеть понятиями: перпендикулярное сечение призмы; центральное и параллельное проектирование и применять их при построении сечений многогранников методом внутреннего проектирования; иметь представление о конических сечениях |
|
|
Мета- пред- мет- ные резуль- таты |
планировать свою УПД: а) все результаты базового уровня; б) выбирать планируемые результаты из углублённого уровня; |
||||
|
1) анализировать решение задач на построение точки пересечения прямой с плоскостями граней многогранника и обобщать этот процесс; 2) анализировать решение задач на построение сечения многогранника способом пересечения множеств, обобщать этот процесс; |
4) анализировать решение задачи на построение следа секущей плоскости (обратной задачи) и обобщать этот процесс; 5) анализировать решение задач на построение сечения многогранника способом проекций и задач с дополнительными условиями (параллельности и перпендикулярности) и обобщать этот процесс; |
||||
|
1) регулировать свою деятельность при решении задач базового уровня на построение сечения многогранника способом пересечения множеств (задачи типа: I.2, I.3, II.1, I.4, I.5) |
2) регулировать свою деятельность при решении задач на построение сечения многогранника: а) методом следов; б) методом внутреннего проектирования; |
||||
|
Для задач своего уровня сложности:3) обосновывать решение задач; 4) составлять задачи на построение сечения многогранника; 5)анализировать решение, находить ошибки, объяснять их; 6) формулировать основную идею метода следов |
|||||
|
На своём уровне освоения материала: а) работать в группе, выполнять взаимоконтроль, взаимопроверку; б) помогать товарищам; в) составлять задачи; г) предлагать задачи для решения товарищам, проверять решение; д) представлять результаты своей деятельности; е) участвовать в обсуждении; з) написать эссе, реферат и др. |
|||||
|
а) формулировать цели своей УПД; б) делать самопроверку; в) оценивать свою УПД в соответствии с объективными критериями; г) делать выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях; д) планировать и осуществлять коррекцию УПД |
Упражнения для пропедевтики построения сечений многогранников
Как показано в первой главе, учёт особенностей познавательной сферы учащихся, усвоения сложной информации, обученности учащихся требует организации пропедевтики обучения построению сечений многогранников (п.1.3.2). Для этого используются специальные упражнения, выполняемые учащимися на уроках, предшествующих урокам, на которых организуется непосредственное обучение построению сечений многогранников [19]. Эти упражнения составлены на основе анализа умственной деятельности, выполняемой при решении задач этого типа. Первая группа задач - задачи на пропедевтику понятия «сечение». Это понятие используется на содержательном уровне, т.е. термин «сечение» в формулировках упражнений не употребляется. Приведём примеры таких задач.
Упражнения для пропедевтики понятия «сечение»
№1. Даны изображения четырех треугольных пирамид и точек на них. Назвать плоскости, проходящие через данные точки:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
№2. Построить плоскость, проходящую через 3 данные точки треугольной пирамиды:
Вторая группа - упражнения для пропедевтики методов и способов построения сечений многогранников (Таблицы 9, 10).
Таблица 9
Подготовительные задачи к способу пересечения множеств
|
I уровень сложности |
II уровень сложности |
|
|
№ 1. Построить сечение треугольной пирамиды и куба плоскостью, проходящей, через три данные точки, принадлежащие рёбрам, выходящим из одной вершины. № 2. Даны изображения треугольной пирамиды и её сечений, проведённых через три данные точки (рис. 1а, I.1). Сколько сечений проведено? Ответ обоснуйте. № 3. Изучите данное предписание 1 (Приложение 1). Используя предписание 1, решите задачи с данными на рис. 15. Какие аксиомы были использованы? |
№ 1. Как могут располагаться три точки на треугольной пирамиде, кубе, если в сечении, проходящем через эти точки, получился треугольник с вершинами на рёбрах? № 2. Как нужно расположить три точки, принадлежащие треугольной пирамиде, чтобы сечений, проходящих через них, было множество? № 3. Для данных многогранников (рис. 15) построить точки пересечения прямой, проходящей через данные точки с плоскостями граней многогранника. Перечислить действия, которые были выполнены, составить предписание для решения задач этого типа и сверить его с предписанием 1 (Приложение 1). |
Формирование умений оперировать образами является основной функцией этих упражнений. Также их использование способствует непроизвольному запоминанию изученного материала.
Упражнения и задачи, представленные в таблицах 9, 10 используются на первых уроках стереометрии в десятом классе как упражнения для устной работы с целью подготовки к использованию способа пересечения множеств в рамках метода следов. Задачи, содержащиеся в этих таблицах, входят в стандарт математического образования [2]. Причем они разделены на два уровня сложности с целью их использования в зависимости от индивидуальных особенностей учащихся. Данные задания учитель может использовать на своё усмотрение при изучении тем, предшествующих теме «Задачи на построение сечений многогранников».
Задачи на построение сечений способом проекций (в рамках метода следов) обеспечивают учащимся более высокий уровень усвоения темы «Задачи на построение сечений многогранников». Предписание, соответствующее этому способу, состоит из нескольких подпредписаний. Для пропедевтики способа проекций следует использовать задачи, которые обеспечивают умение выполнять все операции, являющиеся элементами сложного действия.
Таблица 10 Подготовительные задачи к способу проекций
|
Задача №1. На рисунке 16 дана правильная четырёхугольная пирамида SАВСD. Точки М, Р, К принадлежат рёбрам SA, SC, CD соответственно. 1) Построить центральные проекции этих точек на плоскость основания пирамиды. 2) Построить точки (Х, Y) пересечения прямых, проходящих через пары данных точек с прямыми, проходящими через пары соответствующих проекций этих точек. 3) Построить прямую ХУ - след секущей плоскости. Составить предписание для построения следа секущей плоскости. Сверить решение задачи и составленное предписание с предписанием 3. |
|
|
Задача № 2. На рисунке 17 дан прямоугольный параллелепипед и три точки на его рёбрах. Используя предписание 3, построить: 1) параллельные проекции этих точек на плоскость основания; 2) точки (Х, Y) пересечения прямых, проходящих через пары данных точек, с прямыми, проходящими через пары соответствующих проекций этих точек; 3) след секущей плоскости (прямую ХУ). |
|
|
Задача № 3. На рисунке 18 дан куб и точки (А, В, С) на его рёбрах. Построить след секущей плоскости - особый случай (АВ¦А1В1). |
|
|
Задача № 4. Дан куб и три точки, принадлежащие серединам его скрещивающихся рёбер (рис. 19). Построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами КК1, КN куба или их продолжениями, используя след секущей плоскости. |
|
|
Задача № 5. Дана пятиугольная пирамида и точки, принадлежащие ей (рис. 20). Построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами или их продолжениями, используя след секущей плоскости. |
|
|
Задача № 6. Дано изображение пирамиды и следа (ХУ) секущей плоскости, проходящей через три её данные точки. Восстановить прямые, необходимые для построения следа секущей плоскости (рис. 21). |
|
|
Задача №7. Дан куб и три точки, принадлежащие серединам его скрещивающихся рёбер (рис. 19). Выбрать в качестве основной плоскости - плоскость боковой грани и построить след секущей плоскости. |
Таблица 11
Упражнения для пропедевтики построения сечений, удовлетворяющих условию параллельности
|
I уровень сложности |
II уровень сложности |
|
|
№ 1. Выяснить, сколько плоскостей можно провести параллельно данной плоскости. Как изменится решение задачи, если добавить условие «через данную точку»? Привести примеры. Сформулировать задачу на доказательство выявленного факта; используя учебник, записать её пошаговое решение. |
№ 1. Выяснить, сколько плоскостей можно провести через данную точку параллельно данной плоскости. Привести примеры. Сформулировать задачу на доказательство выявленного факта; используя «подсказки», доказать теорему. |
|
|
№ 2. Дан куб. Выяснить, как должна располагаться точка, принадлежащая ему, чтобы через неё можно было провести прямую, параллельную одному из рёбер? Почему? Изобразить все возможные случаи. |
№ 2. Сколько можно провести плоскостей, каждая из которых параллельна двум данным прямым? Как могут располагаться эти прямые? Как дополнить условие задачи, чтобы плоскость была единственной. |
|
|
№ 3. Дан тетраэдр АВСD. Выяснить, как должна располагаться точка, принадлежащая ему, чтобы через неё можно было провести прямую, параллельную ребру АВ? Почему? Изобразить все типичные случаи. |
№ 3. Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Как должна располагаться точка на нём, чтобы через неё можно было провести прямую, параллельную диагонали BD1 параллелепипеда? Почему? Изобразить все типичные случаи. |
|
|
№ 4. Установить, есть ли ошибки в изображении заштрихованных плоскостей. Обосновать свои выводы (рис. 22). |
№ 4. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Найти прямые пересечения плоскостей (выводы обосновать): а) С1ВА1 и АDС1В1; б) АСС1А1 и ВСD1А1 |
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 22. Данные к задаче №4 (I уровень сложности).
Таким образом, предложены подготовительные упражнения двух уровней сложности. Предписания для решения задач на построение сечений многогранников представлены в приложении к данной работе. Поэтому можно переходить к организации обучения учащихся методам и способам построения сечений многогранников.
Рекомендации к обучению учащихся построению сечений
Обучение теме «Задачи на построение сечений». В рамках обучения данной теме учащимся следует предоставить «…возможность выбора уровня овладения учебным содержанием, методов, форм, средств оценки результатов обучения» [2]. В таблице 8 представлены планируемые результаты, которые должны быть достигнуты учащимися, соответствующие уровням: «Выпускник научится - базовый уровень», «Выпускник получит возможность научиться - базовый уровень», «Выпускник научится - углубленный уровень», «Выпускник получит возможность научиться - углубленный уровень»[33].
Целью уроков является освоение методов построения сечений, а средствами обучения- таблица планируемых предметных и метапредметных результатов, предписания для решения задач на построение сечений различными способами, наборы подготовительных и пропедевтических задач, задачи, распределённые на два уровня сложности, и приёмы организации УПД.
В соответствии с классификацией методов продуктивного обучения по А. В. Хуторскому, выбираются следующие: методы учебного познания (когнитивные) - метод сравнения, метод эвристических вопросов, метод исследования, метод конструирования предписаний; методы организации учения - метод ученического целеполагания, метод ученического планирования, метод взаимообучения, метод нормотворчества, метод рецензий, метод контроля, рефлексии и самооценки [48].
Таблица 8.1
Планируемые результаты, связанные с построением сечений
|
Планируемые предметные результаты |
|||||||
|
«Проблемно-функциональные результаты»: цели освоения предмета |
|||||||
|
I. Выпускник научится |
III. Выпускник получит возможность научиться |
||||||
|
Для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики |
Для развития мышления, использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики |
||||||
|
1) формулировать: аксиомы стереометрии; определения основных понятий; основные теоремы; 2) извлекать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах; в том числе, связанную с сечениями |
3) строить сечения многогранников плоскостью, проходящей через 3 данные точки, методом следов (способ пересечения множеств), с дополнительным условием параллельности; 4) обосновывать правильность построенного сечения |
||||||
|
«Системно-теоретические результаты» цели освоения предмета |
|||||||
|
II. Выпускник научится |
IV. Выпускник получит возможность научиться |
||||||
|
Для успешного продолжения образования по специальностям, связанным с прикладным использованием математики |
Для обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, связанным с осуществлением научной и исследовательской деятельности в области математики и смежных наук |
||||||
|
5) Владеть понятием «сечение» при решении задач и проведении математических рассуждений; 6) уметь строить сечения многогранников с использованием: метода следов (способ проекций точек); условия перпендикулярности |
7) Владеть понятиями: перпендикулярное сечение призмы; центральное и параллельное проектирование и применять их при построении сечений многогранников методом внутреннего проектирования; 8) иметь представление о конических сечениях |
||||||
|
Планируемые метапредметные результаты |
|||||||
|
«Проблемно-функциональные результаты»: цели освоения предмета |
«Системно-теоретические результаты» цели освоения предмета |
||||||
|
Базовый уровень |
Углублённый уровень |
||||||
|
1) планировать свою учебно-познавательную деятельность (УПД): а) все результаты базового уровня; б) выбирать планируемые результаты из углублённого уровня; |
|||||||
|
2) анализировать решение задачи на построение точки пересечения прямой с плоскостями граней многогранника и обобщать этот процесс; 3) анализировать решение задач на построение сечения многогранника способом пересечения множеств, обобщать этот процесс; |
2а) анализировать решение задачи на построение следа секущей плоскости (обратной задачи) и обобщать этот процесс; 3а) анализировать решение задач на построение сечения многогранника способом проекций и задач с дополнительными условиями (параллельности и перпендикулярности) и обобщать этот процесс; |
||||||
|
4) регулировать свою деятельность при решении задач на построение сечения многогранника способом пересечения множеств |
4а) регулировать свою деятельность при решении задач на построение сечения многогранника способом проекций |
||||||
|
5) обосновывать |
решение |
задач; 6) составлять |
задачи |
на |
построение |
сечения |
|
|
многогранника; 7) анализировать решение, находить ошибки, объяснять их; 8) формулировать основную идею способом пересечения множеств |
|||||||
|
9) работать в группе, выполнять взаимоконтроль, взаимопроверку, взаимопомощь; докладывать о результатах своей деятельности; участвовать в обсуждении; написать эссе, реферат и др. |
|||||||
|
10) формулировать цели своей УПД; б) делать самопроверку; в) оценивать свою УПД в соответствии с объективными критериями; г) делать выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях; д) планировать и осуществлять коррекцию УПД |
Формы организации обучения тоже могут быть различны, например, - фронтальная, групповая или индивидуальная. Групповая работа предназначена для организации сотрудничества учащихся между собой во время учебного процесса, что обеспечивает в свою очередь организацию учебно-познавательной деятельности в режиме совместного поиска, диалога [48], [8].
С таблицей планируемых предметных и метапредметных результатов каждый ученик знакомится до начала урока для того, чтобы выбрать свой уровень обучения (таблица 8.1) и заполнить индивидуальный план изучения темы (Приложение 4).
На первом уроке предусматривается организация исследовательской деятельности, в рамках которой учащиеся изучают понятия «секущая плоскость» и «сечение», а также исследуют варианты расположения точек на рёбрах и гранях многогранников. В процессе исследования выполняются задания, предназначенные для пропедевтики понятия «сечение». При выполнении подготовительных заданий возникает проблемная ситуация, необходимая в качестве мотивационного этапа для последующего изучения темы «Задачи на построение сечений» и открытия предписаний.
На обобщение исследовательской деятельности отводится второй урок. На последующих четырёх уроках учащиеся изучают различные методы и способы построения сечений многогранников и выполняют задания соответствующего уровня сложности. В таблице 12 представлен план организации учебно-познавательной деятельности на шести уроках, отведённых на изучение темы «Задачи на построение сечений».
Этапы первого урока описывают реализацию исследовательской деятельности учащихся, подготовку к выводам по проведенной работе, а также получение результата, которым становится распределение задач на построение сечений многогранников на группы в зависимости от условия расположения точек на его гранях и рёбрах. Дальнейшая деятельность старшеклассников продолжается в соответствии с остальными этапами, указанными таблице 12.
Таблица 12 План организации учебно-познавательной деятельности учащихся на уроках по теме «Задачи на построение сечений»
|
Этапы |
Формы организации |
|||
|
учебно-познавательной деятельности |
||||
|
Первый урок |
||||
|
0) Актуализация знаний; постановка учебно- познавательной задачи, способствующей возникновению потребности в предстоящей деятельности |
Фронтальная, работа |
устная |
||
|
Организация исследовательской деятельности |
||||
|
1) Ознакомление с заданием; планирование деятельности внутри групп: распределение обязанностей и др. |
Групповая работа, группы разнородного состава |
|||
|
2) Поиск решения проблемы: распределение задач на построение сечений треугольной пирамиды на типы; взаимопомощь |
Индивидуальная, парная, групповая работа |
|||
|
3) Подготовка к отчету по результатам исследовательской деятельности, результатов деятельности |
групповой оформление |
Индивидуальная, групповая работа |
||
|
4) Отчет по результатам исследовательской деятельности |
Индивидуальная, фронтальная |
|||
|
5) Самооценка результатов деятельности с помощью объективных критериев |
Индивидуальная работа |
|||
|
Второй урок |
||||
|
6) Обобщение полученных результатов и выявление типов нерешённых учащимися задач |
фронтальная работа |
|||
|
7) Рассмотрение метода следов (способ множеств) |
пересечения |
фронтальная, работа |
парная |
|
|
Третий урок |
||||
|
8) Закрепление способа пересечения множеств при решении задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Изучение способа проекций на углублённом уровне. |
фронтальная, групповая работа (группы однородного состава) |
|||
|
Четвёртый, пятый уроки |
||||
|
9) Решение задач на базовом уровне с использованием сечений. Решение задач с использованием условия параллельности при построении сечений тетраэдра и параллелепипеда (углублённый уровень) |
фронтальная, групповая (группы однородного состава), парная работа |
|||
|
10) Предоставление учащимся возможности изучения метода внутреннего проектирования |
индивидуальная домашняя работа |
|||
|
Шестой урок |
||||
|
11) Контрольная работа и коррекция деятельности |
результатов |
Индивидуальная работа |
На первом уроке перед учащимися ставится проблема выявления способов построения сечений многогранников. Для этого сначала организуется повторение способа решения основной базовой задачи: «Построить точку пересечения прямой, проходящей через 2 точки многогранника с плоскостями его граней» (Таблица 9) и понятия центральной проекции точки, иллюстрируемое на тетраэдре с использованием подготовительных задач (Таблица 10). Внимание учащихся акцентируется на факте важности базовой задачи для построения сечений (5 мин.).
После этого организуется исследовательская работа учащихся, выполняемая четырьмя группами. Каждая из групп знакомится с определениями понятий «секущая плоскость» и «сечение», а затем переходит к выполнению задания. При выполнении заданий получаются такие задачи, которые учащиеся уже решали как подготовительные (Таблица 9). Далее указаны задания для групп.
Задание для группы № 1.
1) Изучите определение понятия «сечение», приведённое в учебнике стр. 27 [А].
2) Исследуйте варианты расположения трёх точек на рёбрах тетраэдра. Сколько вариантов расположения этих точек на рёбрах тетраэдра получено?
3) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через три точки, принадлежащие рёбрам тетраэдра во всех найденных вариантах (по возможности).
4) Выделите такие случаи расположения точек, для которых сечение не построено.
Задание для группы № 2.
1) Изучите определение понятия «сечение», приведённое в учебнике стр. 27 [А].
2) Исследуйте варианты расположения трёх точек тетраэдра, две из которых принадлежат ребру тетраэдра, а третья - грани тетраэдра. Сколько вариантов расположения этих точек на рёбрах и гранях тетраэдра получено?
3) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через три точки, принадлежащие рёбрам и грани тетраэдра во всех найденных вариантах (по возможности).
4) Выделите такие случаи расположения точек, для которых сечение не построено.
Задание для группы № 3.
1) Изучите определение понятия «сечение», приведённое в учебнике стр. 27 [А].
2) Исследуйте варианты расположения трёх точек тетраэдра, одна из которых принадлежат ребру тетраэдра, а две другие - граням тетраэдра. Сколько вариантов расположения этих точек на рёбрах и гранях тетраэдра получено?
3) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через три точки, принадлежащие ребру и граням тетраэдра во всех найденных вариантах (по возможности).
4) Выделите такие случаи расположения точек, для которых сечение не построено.
Задание для группы № 4.
1) Изучите определение понятия «сечение», приведённое в учебнике стр. 27 [А].
2) Исследуйте варианты расположения трёх точек на гранях тетраэдра. Сколько вариантов расположения этих точек на гранях тетраэдра получено?
3) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через три точки, принадлежащие граням тетраэдра во всех найденных вариантах (по возможности).
4) Выделите такие случаи расположения точек, для которых сечение не построено.
Ученики, работая в группе, в соответствии с этапами групповой работы читают задание, планируют деятельность внутри групп (распределение обязанностей и др.). Они ищут решение проблемы: «Какие варианты и сколько получатся при построении сечений треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через три данные точки», оказывают взаимопомощь. Выполнив задание, они готовятся к отчету по результатам групповой исследовательской деятельности и выступают с отчётом, представляя свои результаты с использованием готовых изображений фигур на данной презентации. Учитель управляет деятельностью учащихся, помогает найти все варианты, осуществляет контроль правильности выполнения задания. Учащиеся выполняют самооценку и взаимооценку собственной деятельности с помощью критериев, предложенных учителем.
Представим результаты работы каждой группы учащихся (рис. 1 - 4).
Результаты выполнения задания первой группой: если 3 точки лежат на рёбрах тетраэдра, то получается 5 вариантов (рис. 1).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 1. Варианты расположения точек I группы
Сечения, которые построили учащиеся первой группы (рис. 1а).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 1а. Решённые задачи (группа I).
Результаты работы второй группы: если 2 точки лежат на рёбрах, 1 - на грани тетраэдра, то получается 4 варианта (рис. 2).
Рис. 2. Варианты расположения точек II группы
Сечения, которые построили учащиеся второй группы (рис. 2а).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
II.4
Рис. 2а. Решённые задачи (группа I)
Результаты работы третьей группы: если 1 точка лежит на ребре, 2 точки лежат на гранях тетраэдра, то получается 7 вариантов (рис. 3).
III.1
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Сечения, которые построили учащиеся третьей группы (рис. 3а).
?
?
III.1
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 3а. Решённые задачи (группа III)
Результаты работы четвёртой группы: если 3 точки принадлежат граням тетраэдра, то получается 4 варианта (рис. 4).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
IV.4
Рис. 4. Варианты расположения точек IV группы
Сечения, которые построили учащиеся четвёртой группы (рис. 4а).
IV.2
Рис. 4а. Решённые задачи (группа IV)
После выступления представителей организуется общее обсуждение. В результате анализа расположения трёх точек на рёбрах и гранях тетраэдра выделяются четыре группы задач, а в каждой группе, в свою очередь, определённое количество подгрупп. На рисунках представлены результаты каждой из четырёх групп (в исследовательской работе для удобства используется собственная нумерация рисунков). Итогом урока является выявление тех случаев расположения трёх точек на гранях и рёбрах тетраэдра, для которых сечение построить не удалось: III.5, IV.4
На втором уроке происходит обобщение полученных на предыдущем уроке результатов. В процессе их обсуждения выявляются задачи, которые ученики решили и выявляются два случая: 1) тривиальные сечения (используются аксиомы А1, А3 и определение сечения); 2) для построения сечения используется базовая задача, все аксиомы и определение сечения. Для второго случая даётся название метода и способа: «метод следов, способ пересечения множеств» и разъясняет учащимся смысл этих терминов. Далее, под руководством учителя учащимися выполняется анализ собственной деятельности по решению таких задач и составляется соответствующее предписание (Предписание 2, Приложение 1).
На второй части этого урока ученики решают задачи способом пересечения множеств, работая в парах и звеньях.
На третьем уроке организуется групповая работа. На базовом уровне ученики закрепляют способ пересечения множеств посредством решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. В соответствии со своими индивидуальными особенностями, возможностями и предпочтениями, учащиеся делятся на группы однородного состава и решают выбранные задачи на построение сечений. Ниже приведён перечень задач для группы базового уровня.
Способ пересечения множеств
1) Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G (рис. 23) [36].
Рис. 23. Иллюстрация к задаче 1.
2) Построить сечение куба АВСDA1B1С1D1 плоскостью, проходящей через точки E, F, G, лежащие соответственно на рёбрах АA1, DD1, СD куба [2].
3) Построить сечение куба АВСDA1B1С1D1 плоскостью, проходящей через точки K, L и M, лежащие соответственно на рёбрах A1B1, B1С1 и СD [2].
Ученики, работающие на углублённом уровне, выявляют те задачи, решить которые не удалось (рис. 24).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
IV.4 III.5
Рис. 24. Задачи, которые учащиеся не решили
Учитель предлагает этим группам учащимся вспомнить решение подготовительных задач и предлагает рассмотреть и обобщить пошаговое решение второй основной задачи: «Построить след секущей плоскости» и обратной ей: «Построение точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника с использованием следа секущей плоскости». Обобщая эти процессы, учащиеся с помощью учителя открывают соответствующиепредписания (Предписания 3-4,Приложение 1) и применяют их для решения задач (рис. 25).
В качестве домашнего задания учащимся (по желанию) предлагается составить предписание для решения задач на построение сечения способом проекций точек.
В результате выполненной деятельности учащиеся использовали познавательные логические УУД (анализ, сравнение, обобщение, конкретизация), познавательные общеучебные УУД (систематизация информации). В процессе групповой работы использовались коммуникативные УУД. Подобная организация процесса обучения способствует пониманию учебной информации учащимися, что влечёт интерес и придаёт определённый смысл выполненной деятельности (личностные УУД).
На четвёртом и пятом уроках предусматриваются несколько форм организации учебно-познавательной деятельности: фронтальная, групповая и парная. Уроки начинаются с устной работы на распознавание сечений и определение видов многоугольников, которые могут получиться в результате сечения многогранника плоскостью. Примеры таких задач [36]:
1) Может ли в сечении куба плоскостью получиться:
а) треугольник; б) правильный треугольник; в) равнобедренный треугольник; г) прямоугольный треугольник; д) тупоугольный треугольник?
2) Может ли в сечении куба плоскостью получиться:
а) квадрат; б) прямоугольник; в) параллелограмм; г) ромб; д) трапеция; е) прямоугольная трапеция?
3) Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) пятиугольник; б) правильный пятиугольник?
4). Может ли в сечении куба плоскостью получиться:
а) шестиугольник; б) правильный шестиугольник; в) многоугольник с числом сторон больше шести?
5) Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью?
6) Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться квадрат?
7) Могут ли в сечении многогранников плоскостью получиться указанные четырёхугольники, изображённый на рисунке 26?
8) Может ли в сечении куба плоскостью получиться четырехугольник, изображенный на рисунке 26?
9)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 26. Изображения к задачам 7 и 8.
После устной работы учащиеся делятся на группы однородного состава. На базовом уровне они решают задачи на построение сечений параллелепипеда.
Задачи базового уровня:
1). Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостьюMNK, где точки M, N и K лежат соответственно на рёбрах BB1, AA1, AD [7].
2). Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостьюMNK, где точки M, N и K лежат соответственно на рёбрах CC1, AD, BB1 [7].
3). Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, причём AA1= 2AD. Точка М - середина ребра AA1, точка N- середина ребра CC1. Построить сечение его плоскостью, проходящей через точки M, N, B [2].
Группы учащихся, работающие на углублённом уровне, решают задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда, содержащие условие параллельности. В связи с этим учащиеся могут составить соответствующие предписания (Приложение 1, предписания 6-8).
Задачи с условием параллельности:
1). Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью, проходящей через точку М, лежащую на ребре АD, параллельно грани АВС [2].
D B
С
Рис. 27. Сечение для задачи 2 Рис. 28. Сечение для задачи 1
2). Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М и N, параллельно его диагонали КS1 [2].
3). Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью, проходящей через точку М, лежащую на ребре ВС, параллельно рёбрам АВ и СD [2].
В качестве индивидуального домашнего задания желающим учащимся предоставляется возможность изучения метода внутреннего проектирования (Материалы для изучения построения сечений многогранников методом внутреннего проектирования, Приложение 5).
В
С
Рис. 29. Сечение к задаче 3.
Шестой урок, завершающий тему «Задачи на построение сечений», предполагает проведение контрольной работы и коррекцию результатов деятельности.
Критерии оценивания учащимся сообщаются перед началом контрольной работы. Каждая задача первого уровня оценивается в 2 балла, второго уровня - в 3 балла и третьего уровня - в 4 балла. Ученик должен решить, как минимум 3 задачи. Чтобы получить отметку «5», нужно обязательно решить хотя бы 1 задачу третьего уровня сложности и не брать задачу первого уровня; чтобы получить отметку «4» нужно обязательно решить хотя бы 1 задачу второго уровня сложности.
· отметка «5» соответствует баллам от 10 до 12
· отметка «4» соответствует баллам от 7 до 9
· отметка «3» соответствует баллам от 4 до 6.
Таблица 13
Контрольная работа по теме «Задачи на построение сечений»
|
Первый уровень (2 балла) |
Второй уровень (3 балла) |
Третий уровень (4 балла) |
|
|
1. Построить сечение куба |
1. Построить сечение |
1. Построить сечение куба |
|
|
плоскостью, проходящей через |
тетраэдра DABC |
плоскостью, проходящей через |
|
|
точки E, F, G, лежащие |
плоскостью, проходящей |
точки E, F, G, лежащие |
|
|
соответственно на рёбрах A1B1, |
через точки E, F, G, лежащие |
соответственно на рёбрах AA1, |
|
|
B1C1 и B1B. |
соответственно на рёбрах |
DD1 и BC. |
|
|
АС, ВС и DС. |
|||
|
2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на рёбрах AA1 и CC1 и вершину B. |
2. В тетраэдре DABC точки Mи N лежат на рёбрах ВD и СD соответственно, а точка K - внутренняя точка грани АВС. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNK. |
2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, лежащие на рёбрах куба AA1, С1D1 и BC. |
|
|
3. Построить сечение куба |
3. Точка K лежит на ребре |
3. Построить сечение |
|
|
плоскостью, проходящей через |
тетраэдра DABC, а точки Mи |
прямоугольного параллелепипеда |
|
|
точки E, F, G, лежащие |
N - точки граней АВС и |
ABCDA1B1C1D1 плоскостью |
|
|
соответственно на рёбрах AA1, |
АСD. Построить сечение |
MNP. Точки M, N и P лежат |
|
|
DD1 и BC, для которых AE = |
тетраэдра плоскостью MNK. |
соответственно на рёбрах A1D1, |
|
|
DF. |
B1C1 и CD. |
... |
Подобные документы
Цель и место геометрических построений на проекционном чертеже в обучении стереометрии (анализ программ). Использование информационно-коммуникативных технологий в обучении построения сечений. Разработка презентации по обучению построению сечений пирамиды.
курсовая работа [43,4 K], добавлен 10.01.2015Методы решения задач на построение в пространстве: задачи на воображаемое построение или на доказательство существования фигур; задачи на проекционном чертеже. Порядок построения плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через данную точку.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 17.12.2009Основы изучения темы "Объемы многогранников" в курсе геометрии 10-11 классов. Развитие пространственных представлений и логического мышления. Методика изучения темы "Объем. Объемы призмы. Объемы прямоугольного параллелепипеда". Цели изучения темы.
дипломная работа [275,4 K], добавлен 24.06.2009Подходы к определению многогранника и его видов. Подходы к определению выпуклого и правильного многогранника. Изучение темы "Многогранники" в школьном курсе стереометрии. Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников.
дипломная работа [145,9 K], добавлен 08.08.2007Сущность развития логического мышления детей среднего школьного возраста. Обучение учащихся решению нестандартных задач на уроках математики. Построение системы нестандартных задач, направленных на развитие логического мышления учащихся 5-6 классов.
дипломная работа [112,6 K], добавлен 11.06.2014Возрастные особенности учащихся основной школы. Организация исследовательской деятельности школьников при решении планиметрических задач. Разработка методических подходов к обучению решению задач по геометрии и повышению качества знаний по математике.
дипломная работа [1,5 M], добавлен 13.12.2017Формирование деятельности учащихся при обучении методу моделирования. Функции метода моделирования. Развивающие функции задач в обучении. Анализ содержания школьного курса алгебры с точки зрения подготовки учащихся к решению задач с параметрами.
дипломная работа [585,5 K], добавлен 23.07.2014Понятие и проблема развития познавательной активности учащихся. Влияние некоторых психических процессов на развитие познавательной активности учащихся 5–6 классов. Особенности организации обучения информатике. Использование графического редактора GIMP.
дипломная работа [9,6 M], добавлен 23.04.2011Понятие, задачи, виды и этапы решения задач. Сущность эвристического подхода в решении задач по физике. Понятие эвристики и эвристического обучения. Выявление различных эвристических методов в решении задач и подбор задач к этим методам.
курсовая работа [29,6 K], добавлен 08.02.2011Понятие текстовой задачи и ее роли в курсе математики. Способы решения текстовых задач. Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление. Обучение решению задач на движение. Выявление уровня умений учащихся решению составных задач.
курсовая работа [231,8 K], добавлен 20.08.2010Влияние психических процессов на развитие познавательной активности учащихся. Обучение информатике учащихся 5-6 классов с целью развития познавательной активности на примере темы "Основы компьютерной графики" с использованием графического редактора GIMP.
дипломная работа [9,7 M], добавлен 27.06.2011Психолого-педагогические особенности детей 11-15-летнего возраста. Основные свойства восприятия. Текстовые задачи в обучении математике. Активизация познавательной деятельности учащегося. Применение занимательного задачного материала на уроках математики.
дипломная работа [186,6 K], добавлен 19.04.2011Сюжетные задачи как способ развития интереса у младших школьников. Методы повышения познавательной активности учащихся на уроках математики. Психолого-педагогические основы познавательной деятельности учащихся. Современные методы решения сюжетных задач.
курсовая работа [57,7 K], добавлен 08.06.2013Значение арифметических задач для умственного развития детей. Виды математических задач и их классификация. Особенности усвоения детьми сущности задач. Методика и этапы обучения дошкольников решению задач. Арифметические задачи, составленные детьми.
контрольная работа [21,9 K], добавлен 18.12.2010Исторические и психолого-педагогические аспекты обучения социальной информатике учащихся основной школы. Особенности методической системы обучения основам социальной информатики учащихся 8-9 классов. Содержание учебного материала, система задач.
дипломная работа [76,4 K], добавлен 21.06.2011Роль и основные функции задач в обучении математике. Основные понятия теории графов. Роль факультативных занятий как формы обучения математике. Методика проведения занятий по решению задач на факультативных занятиях по теме "Элементы теории графов".
курсовая работа [752,1 K], добавлен 08.06.2014Значение воспитательной работы в специальной (коррекционной) школе. Особенности познавательной деятельности умственно отсталых детей. Педагогические проблемы при их обучении. Рекомендации по повышению интереса к математике у учащихся начальных классов.
дипломная работа [160,2 K], добавлен 20.12.2015Особенности развития учащихся среднего школьного возраста. Роль математики в формировании и развитии интелектуальных качеств личности. Содержание "линии задач с параметрами" в программе математики средней школы на примере учебников А.Г. Мордковича.
дипломная работа [46,8 K], добавлен 25.04.2011Особенности логического мышления младших школьников. Постановка обучения математике в начальной школе по развивающей системе Л.В. Занкова. Подход к решению простых и сложных задач при обучении учащихся первого класса. Объяснение порядка записи решения.
реферат [79,1 K], добавлен 28.02.2012Примерные занятия при обучении вычислениям детей дошкольного возраста. Подготовка дошкольников к решению устных задач. Система дидактических принципов при работе с детьми. Задачи математического развития дошкольников. Изучение сложения и вычитания.
конспект урока [27,4 K], добавлен 21.04.2010
