Главная Коллекция "Revolution" Педагогика Обучение решению задач на построение сечений многогранников учащихся 10-11 классов

Обучение решению задач на построение сечений многогранников учащихся 10-11 классов

Математические основы построения сечений многогранников. Особенности познавательной сферы учащихся юношеского возраста и их учёт при обучении построению сечений многогранников. Использование сечений при решении задач на вычисление объёмов многогранников.

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 02.06.2018
Размер файла 2,2 M
рефераты на заказ со скидкой

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Рис. 30. Сечение цилиндра - эллипс

Сечения конической поверхности. Известно, что если секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, то сечением являются либо пара образующих, либо одна образующая, либо одна точка - вершина конической поверхности. А что же происходит, если сечению вершина не принадлежит? Прежде чем переходить к видам конических сечений, сначала требуется выяснить сколько возможных вариантов расположения секущей плоскости, не проходящей через вершину конической поверхности. В процессе рассмотрения этого вопроса выясняется, что существует три возможных варианта, а отсюда следует и существование трёх типов конических сечений [7]:

1) Секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис. 31, а); линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс, окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса;

2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса (рис. 31, б); в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости;

3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса (рис. 31, в); линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), каждая из которых лежит на своей полости конуса.

Рис. 31. Типы конических сечений.

Стереометрическое определение конического сечения можно заменить планиметрическими определениями этих кривых как множеств точек на плоскости.

Интерес к коническому сечению всегда поддерживался тем, что эти линии часто встречаются в описаниях различных явлений природы и в человеческой деятельности. Конические сечения приобрели особое значение после того, как И. Кеплер (1609) установил с помощью наблюдений, а И. Ньютон (1687) теоретически обосновал законы движения планет, один из которых утверждает, что планеты и кометы Солнечной системы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Использование сечений при решении задач на вычисление объёмов многогранников, площадей и углов

В контрольных измерительных материалах (КИМах) ЕГЭ базового и профильного уровней встречаются задачи, связанные с построением сечений.

Ниже приведены примеры таких задач.

1) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка D -- середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1

2) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка D -- середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB1.

3) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=6v2, AD=10, AA1=16. На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки E и F соответственно, причём A1E:EA=5:3 и B1F:FB=5:11. Точка T -- середина ребра B1C1. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

4) В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C1 проведена плоскость б, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что A1P:PB1=3:1, где P -- точка пересечения плоскости б с ребром A1B1.

б) Найдите угол наклона плоскости б к плоскости грани BB1C1C.

Старшеклассники либо вообще не приступают к решению таких задач, поскольку не умеют строить сечения, либо выполняют построение сечения неправильно, что приводит к дальнейшему ошибочному результату решения стереометрической задачи.

Таблица 8.1

Планируемые результаты, связанные с построением сечений

Планируемые предметные результаты

«Проблемно-функциональные результаты»: цели освоения предмета

I. Выпускник научится

III. Выпускник получит возможность научиться

Для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики

Для развития мышления, использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики

формулировать: аксиомы стереометрии; определения основных понятий; основные теоремы; извлекать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах; в том числе, связанную с сечениями

строить сечения многогранников плоскостью: проходящей через 3 данные точки, методом следов (способ пересечения множеств), с дополнительным условием параллельности: обосновывать правильность построенного сечения

«Системно-теоретические результаты» цели освоения предмета

II. Выпускник научится

IV. Выпускник получит возможность научиться

Для успешного продолжения образования по специальностям, связанным с прикладным использованием математики

Для обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, связанным с осуществлением научной и исследовательской деятельности в области математики и смежных наук

Владеть понятием «сечение» при решении задач и проведении математических рассуждений; уметь строить сечения многогранников с использованием: метода следов (способ проекций точек); условия перпендикулярности

Владеть понятиями: перпендикулярное сечение призмы; центральное и параллельное проектирование и применять их при построении сечений многогранников методом внутреннего проектирования; иметь представление о конических сечениях

Планируемые метапредметные результаты

«Проблемно-функциональные результаты»: цели освоения предмета

«Системно-теоретические результаты» цели освоения предмета

Базовый уровень

Углублённый уровень

1) планировать свою учебно-познавательную деятельность (УПД): а) все результаты базового уровня; б) выбирать планируемые результаты из углублённого уровня;

2) анализировать решение задачи на

2а) анализировать решение задачи на

построение точки пересечения прямой с

построение следа секущей плоскости

плоскостями граней многогранника и

(обратной задачи) и обобщать этот процесс;

обобщать этот процесс; 3) анализировать

3а) анализировать решение задач на

решение задач на построение сечения

построение сечения многогранника способом

многогранника способом пересечения

проекций и задач с дополнительными

множеств, обобщать этот процесс;

условиями (параллельности и

перпендикулярности) и обобщать этот

процесс;

4) регулировать свою деятельность при решении задач на построение сечения многогранника способом пересечения множеств

4а) регулировать свою деятельность при решении задач на построение сечения многогранника способом проекций

5) обосновывать решение задач; 6) составлять задачи на построение сечения многогранника; 7) анализировать решение, находить ошибки, объяснять их; 8) формулировать основную идею способом пересечения множеств

9) работать в группе, выполнять взаимоконтроль, взаимопроверку, взаимопомощь; докладывать о результатах своей УПД; участвовать в обсуждении; написать эссе, реферат и др.

10) формулировать цели своей УПД; б) делать самопроверку; в) оценивать свою УПД в соответствии с объективными критериями; г) делать выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях; д) планировать и осуществлять коррекцию УПД

Поэтому в 11 классе при подготовке к ЕГЭ предусматривается обобщающее повторение по теме «Решение задач, связанных с построением сечений многогранников» (таблица 14).

Таблица 14

Планирование обобщающего повторения при подготовке к ЕГЭ «Решение задач, связанных с построением сечений многогранников»

Темы уроков обобщающего повторения по теме «Решение задач на построение сечений многогранников»

Формы организации деятельности учащихся

1. Диагностическая работа. Повторение теории

Индивидуальная, фронтальная

2. Решение задач, связанных с построением сечений многогранников и вычислением объёмов, расстояний и углов

Фронтальная, групповая

3. Решение задач, связанных с построением сечений многогранников и вычислением площади сечения

Фронтальная, групповая

4. Самостоятельная работа и коррекция результатов деятельности

Индивидуальная, парная

На первом уроке проводится диагностическая работа (Приложение 4), целью которой является выявление уровня остаточных знаний и умений, связанных с построением сечений многогранников.

После этого учащиеся под руководством учителя повторяют изученные ими в 10 классе и используемые при решении задач в 11 классе, методы и способы построения сечений многогранников, а также соответствующие предписания, вспоминают виды сечений круглых тел (цилиндра и конуса); вспоминают решение базовых задач. Используя таблицу планируемых результатов, осознают свои возможные пробелы в знаниях.

На втором уроке рассматриваются задачи из открытого банка задач ЕГЭ, которые связаны с построением сечений многогранников, вычислением объёмов многогранников и круглых тел, расстояний от вершин до плоскости сечения и углов между сечениями и элементами многогранников.

Использование таблицы планируемых предметных результатов, позволяет учащимся осознать содержание и смысл предстоящей деятельности.

Учащиеся в соответствии со своими предпочтениями, возможностями и индивидуальными особенностями, выбирают задачи из базового и (или) углублённого уровней, одну из указанных учителем форм организации деятельности (парную или индивидуальную) и решают задачи, используя, при необходимости, помощь учителя, карточки-информаторы, подсказки различного уровня.

В Таблице 15 представлен перечень задач базового уровня [43].

Таблица 15

Задачи базового уровня

Условие задачи

Рисунок к задаче

1. Плоскость, проходящая через точки A, B и C, разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим числом граней?

2. От деревянного кубика отпилили все его вершины. Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

3. Плоскость, проходящая через точки A, B и C, разбивает куб на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с меньшим числом вершин?

4. Плоскость, проходящая через точки A, B и C, разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с большим числом рёбер?

5. Объём конуса равен 135. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Ниже приведены примеры задач профильного уровня [43].

1. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. Точка E -- середина ребра AA1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED1.

2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка D -- середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB1.

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D - середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

4. В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный (AB=BC) треугольник ABC. Точка K -- середина ребра A1B1, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3. а) Докажите, что KM?AC. б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB=6, AC=8 и AA1=3.

5. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью б, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD -- квадрат. б) Найдите угол между плоскостями б и BCC1, если AA1=10, AB=12.

6. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью б, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD -- квадрат. б) Найдите угол между плоскостями б и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.

7. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N-- середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно. а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

8. В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C1 проведена плоскость б, параллельная прямой BD1. а) Докажите, что A1P:PB1=3:1, где P -- точка пересечения плоскости б с ребром A1B1. б) Найдите угол наклона плоскости б к плоскости грани BB1C1C.

9. Объем треугольной пирамиды равен 38. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 9:10, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Дополнительная задача повышенной трудности.

10. Меньший куб поставлен на больший таким образом, что они имеют общую вершину и их грани попарно параллельны. Постройте сечение полученной фигуры плоскостью, проходящей через три точки, которые принадлежат скрещивающимся рёбрам меньшего куба [36].

Третий урок посвящён решению задач, связанных с вычислением площадей поверхностей многогранников, а также вычислением площадей сечений многогранников и круглых тел. Ниже представлен перечень задач базового (таблица 16) и профильного уровней.

Таблица 16 Задачи базового уровня

Условие задачи

Рисунок к задаче

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна

14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения [43].

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна

19. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 9. Найдите площадь этого сечения [43].

Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё [43].

Задачи профильного уровня:

1. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы [38].

2. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы [43].

3. Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса [43].

4. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD [38].

5. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 32, а боковые рёбра равны 4. Точка K принадлежит ребру MB, причём MK:KB=2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки A и K параллельно прямой BD [43].

6. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 18, а боковые рёбра равны 15. Точка R принадлежит ребру MB, причём MR:RB=2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки C и R параллельно прямой BD [43].

7. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 22, а боковое ребро AA1=7. Точка K принадлежит ребру B1C1 и делит его в отношении 6:5, считая от вершины B1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K [43].

8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=3, AD=2, AA1=5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1 [43].

9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=6v2, AD=10, AA1=16. На рёбрах AA1 и BB1 отмечены точки E и F соответственно, причём A1E:EA=5:3 и B1F:FB=5:11. Точка T -- середина ребра B1C1. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT [43].

Четвёртый урок, завершающий обобщающее повторение по теме

«Решение задач, связанных с построением сечений многогранников», предполагает проведение контрольной работы (таблица 17) и коррекцию результатов деятельности.

Таблица 17

Самостоятельная работа по теме «Решение задач, связанных с построением сечений многогранников»

Базовый уровень

Профильный уровень

Плоскость, проходящая через точки A, B и C (см. рис. 31а), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с меньшим числом вершин?

Площадь полной поверхности конуса равна 32,5. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 4:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Плоскость, проходящая через

В правильной четырёхугольной призме

точки A, B и C (см. рис. 31б), разбивает

ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны

правильную треугольную призму на два

1, а боковые рёбра равны 4. На ребре AA1

многогранника. Сколько рёбер у

отмечена точка E так, что AE:EA1=3:1.

получившегося многогранника с большим

Найдите угол между плоскостями ABC и

числом вершин?

BED1.

Через точку, делящую высоту конуса в

В правильной четырёхугольной пирамиде

отношении 1:3, считая от вершины,

MABCD с вершиной M стороны основания

проведена плоскость, параллельная

равны 4, а боковые рёбра равны 8. Найдите

основанию (см. рис. 31в). Найдите объём

площадь сечения пирамиды плоскостью,

этого конуса, если объём конуса,

проходящей через точку B и середину

отсекаемого от данного конуса проведённой

ребра MD параллельно прямой AC.

плоскостью, равен 10.

Критерии оценивания учащимся сообщаются перед началом самостоятельной работы:

· отметка «5» соответствует трём верно выполненным задачам профильного уровня;

· отметка «4» соответствует одной верно выполненной задаче базового уровня и двум верно выполненным задачам профильного;

· отметка «3» соответствует трём верно выполненным задачам базового уровня.

Рис. 32. Изображения к задачам самостоятельной работы базового уровня.

Приведём примеры решения некоторых задач.

Рис. 33. Базовый уровень: Задача 1 (второй урок)

Решение:

Получается, в многограннике ABCDEF 5 граней и 6 вершин, а в многограннике ABCDMNKL - 6 граней и 8 вершин. Меньше граней у многогранника ABCDEF, у него 6 вершин.

Ответ: 6.

Рис. 34. Профильный уровень: Задача 9 (второй урок)

Рис. 35. Профильный уровень: Задача 1 (третий урок)

Решение:

При одинаковой площади основания большим объёмом будет обладать та часть, высота которой больше, то есть нижняя. Объём данной пирамиды относится к объёму исходной как 10:19 и поэтому равен 20.

Ответ: 20.

Решение:

Площадь боковых граней отсечённой призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсечённой призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.

Ответ: 12.

Решение:

Так как AA1=BB1=5, то BO=2, OB1=3.

Рис. 36. Профильный уровень: Задача 8 (третий урок)

Построим прямые параллельные отрезкам ОС1 и AO: ОС1||AL и AO||LC1.

Полученный четырехугольник ALC1O является параллелограммом.

Из прямоугольного ?AOB найдем AO по теореме Пифагора: AO2=AB2+OB2, AO=v13 Из прямоугольного ?OB1C1 найдем OC1 по т. Пифагора: OC12=B1C12+OB12, OC1=v13

Стороны параллелограмма ALC1O равны AO=OC1=v13, следовательно ALC1O -- ромб. SALC1O = 0,5(LO•AC1)

Из прямоугольного ?ABC найдем AC по т. Пифагора: AC2=AB2+BC2, AC=v13

Из прямоугольного ?ACC1 найдем AC1 по т. Пифагора: AC12=AC2+CC12, AC1=v38

Из прямоугольного ?LOM найдем LO по т. Пифагора: LO2=MO2+ML2, LO=v14

SALC1O = 0,5(LO•AC1) = 0,5(v38•v14) = v133

Ответ: v133

Опытная проверка работы

В соответствии с требованиями к организации эксперимента должны быть реализованы следующие этапы: констатирующий, поисковый, обучающий и контролирующий этапы [37]. В нашем исследовании были частично реализованы отдельные этапы.

На первом этапе решались следующие задачи: 1) изучение и анализ научной, психолого-педагогической, методической и учебной литературы, связанной с ВКР и формулирование темы ВКР; 2) разработка рекомендаций для обучения построению сечений многогранников; 3) разработка рекомендаций для проведения обобщающего повторения.

На следующем этапе проводилась опытная работа в Государственном бюджетном общеобразовательном учреждении города Москвы "Школа № 1948 "Лингвист-М". Работа осуществлялась в период моей трудовой деятельности в этой школе (2015-2017гг.). Для экспериментальной проверки были выбраны два десятых класса 10 «Б» и 10 «В» с примерно одинаковым уровнем обученности. В 2015-2016 учебном году в 10 «Б» первое знакомство с сечениями многогранников произошло в процессе выполнения упражнений для пропедевтики построения сечений. В дальнейшем уроки по теме «Задачи на построение сечений» проводились в соответствии с методическими рекомендациями, описанными в пункте 2.3.1. В 10 «В» классе обучение происходило по традиционной схеме, без «открытия» и использования предписаний для способов построения сечений.

В 2016-2017 учебном году в 11 «Б» в период проведения уроков, отведённых на подготовку к ЕГЭ, было осуществлено обобщающее повторение по теме «Решение задач, связанных с построением сечений многогранников», состоящее из четырёх уроков (рекомендации описаны в пункте 2.3.3).

На первом уроке обобщающего повторения среди учащихся была проведена диагностическая работа для того, чтобы выявить остаточные знания и умения, связанные с построением сечений многогранников. С целью сравнения уровня обученности данной теме такая же диагностическая работа была проведена не только в экспериментальном, но и в контрольном

11 «В» классе. Диагностическую работу выполнили 21 учащийся 11 «Б» класса и 21 учащийся 11 «В»; результаты её выполнения представлены в таблице 18. По результатам диагностики было установлено, что учащиеся контрольного класса успешно решают только простейшие задачи, связанные с построением сечений многогранников, а учащиеся экспериментального класса справились в основном со всеми заданиями успешно.

Таблица 18

Результаты выполнения диагностической работы

Класс

Задание 1 (%)

Задание 2 (%)

Задание 3 (%)

Задание 4 (%)

а

б

в

г

11 «В»

Справилис ь

100

100

85,7

100

90,5

76,2

0

Не справилис ь

0

0

14,3

0

9,5

23,8

100

11 «Б»

Справилис ь

100

100

90,5

100

90,5

85,7

85,7

Не справилис ь

0

0

9,5

0

9,5

14,3

14,3

Второй и третий уроки были посвящены использованию сечений при решении задач на вычисление объёмов многогранников, площадей и углов. Перечень и решение некоторых задач приведены в методических рекомендациях к организации обобщающего повторения в пункте 2.3.3.

На четвёртом уроке была проведена итоговая самостоятельная работа, в которую были включены задачи из КИМов ЕГЭ (Таблица 17). Выполнение самостоятельной работы оценивалось учащимися с помощью самооценки или взаимооценки по данным образцам. Критерии оценивания самостоятельной работы заранее были известны учащимся (они сформулированы в пункте 2.3.3). Результаты решения задач, включённых в самостоятельную работу, приведены в таблице 19. Анализ результатов выполнения самостоятельной работы позволил сделать следующие выводы.

Таблица 19

Результаты выполнения самостоятельной работы

Базовый уровень

Профильный уровень

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Выполнил и

19%

23,8%

19%

76,2%

66,7%

76,2%

Не выполнили

81

76,2

81

23,8%

33,3%

23,8%

Отметка «3»

3 человека

Отметка «4»

4 человека

Отметка «5»

14 человек

1) Все учащиеся, принимавшие участие в опытной работе успешно справились с решением задач, из КИМов ЕГЭ, связанных с построением сечений многогранников и круглых тел.

2) Учащимся удалось вспомнить и повторно закрепить известные им предписания, «открытые» в процессе изучения темы «Задачи на построение сечений».

3) Способы построения сечений многогранников усвоены сознательно.

По результатам выполнения самостоятельной работы, а также на основании Таблицы 8.1 учащиеся вместе с учителем сделали следующие выводы о достижении ими предметных и метапредметных результатов:

1) Все учащиеся на базовом уровне научились извлекать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах; в том числе, связанную с сечениями; определять могут ли в сечении многогранников плоскостью получиться те или иные многоугольники; определять правильно ли изображено сечение на готовом чертеже.

2) Все учащиеся научились строить сечение многогранника плоскостью, проходящей через три точки, а также овладели методом следов (способ пересечения множеств), что соответствует базовому уровню «Ученик получит возможность научиться».

3) Большинство учащихся справляются с решением задач на построение сечений многогранников с дополнительным условием параллельности, а также овладели способом проекций точек в рамках метода следов, что соответствует углублённому уровню.

4) На базовом уровне у всех учащихся имеется представление об осевых сечениях цилиндра и конуса, а также о сечениях параллельных и перпендикулярных к осям указанных круглых тел.

5) Учащиеся умеют анализировать и обосновывать решение задач на построение сечения многогранника различными способами и обобщать этот процесс, таким образом происходит активное использование познавательных логических УУД (анализ, обобщение, сравнение, конкретизация) в соответствии с определённым уровнем.

6) В процессе УПД каждый учащийся осуществляет контроль и регулирование своей деятельности при решении задач на построение сечения многогранника, а также производит самопроверку и оценивание полученных результатов в соответствии с объективными критериями.

Таким образом каждый из учащихся осознанно смог выяснить для себя каких результатов и успехов он смог достичь, а какие сможет достигнуть в ближайшем будущем.

На последнем этапе опытной работы выполнен анализ результатов опытной работы, и завершено оформление выпускной квалификационной работы.

Организация описанной опытной работы, как и предполагалось, способствовала достижению не только предметных результатов, но и внесла вклад в достижение метапредметных результатов (таблица 8.1).

Результаты экспериментальной проверки свидетельствуют о доступности разработанных методических материалов и рекомендаций.

Таким образом, подтверждена гипотеза исследования: методика обучения учащихся 10-11 классов построению сечений многогранников в условиях реализации ФГОС СОО, основанная на использовании: подготовительных упражнений для построения сечений; планируемых предметных и метапредметных результатов изучения этой темы; соответствующих средств, форм и методов достижения этих результатов будет способствовать совершенствованию процесса обучения геометрии учащихся 10-11 классов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В связи с введением Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования устанавливаются требования к результатам освоения основной образовательной программы по любому предмету, в частности, геометрии. Поэтому подготовка учителя к обучению геометрии на уровне любой учебной темы, включает конструирование соответствующих планируемых предметных и метапредметных результатов на двух уровнях: базовом и углублённом, а затем - организацию обучения, направленного на достижение этих результатов.

На основе исследования методической литературы, школьных программ в соответствии с целью выпускной квалификационной работы и поставленными задачами получены следующие выводы и результаты:

1. Выявлены математические основы построения сечений многогранников и установлены методы решения задач на построение сечений, представленные в УМК по геометрии для 10-11 классов.

2. Выявлены психолого-педагогические и методические основы обучения учащихся построению сечений многогранников. Для разработки методических рекомендаций для обучения учащихся теме: «Задачи на построение сечений» были рассмотрены и изучены теоретические аспекты курса.

3. Разработаны планируемые предметные и метапредметные результаты, связанные с построением сечений многогранников, на базовом и углублённом уровнях, отобраны содержание, формы, методы и средства, способствующие их достижению учащимися 10-11 классов. Они включают в единстве предметные и метапредметные результаты, что соответствует требованиям Стандарта.

4. Разработаны методические рекомендации, связанные с построением сечений многогранников, на базовом и углублённом уровнях, направленные на достижение планируемых результатов учащимися 10-11 классов.

5. Изучено состояние проблемы обучения учащихся решению задач на построение сечений многогранников.

6. Проведена частичная опытная проверка разработанных материалов.

Главная проблема исследования заключалась в том, чтобы найти ответ на вопрос, какой должна быть методика обучения построению сечений многогранников учащихся 10-11 классов, направленная на совершенствование результатов обучения геометрии в условиях реализации ФГОС СОО.

Разработанная методика обучения учащихся построению сечений многогранников на базовом и углублённом уровнях предусматривает явное и целенаправленное формирование у школьников умений применения методов и способов построения сечений многогранников, способствует снижению затруднений, возникающих у учащихся при построении сечений многогранников, развитию пространственного мышления учащихся, вносит вклад в реализацию идей Стандарта в плане формирования универсальных учебных действий.

Обучение учащихся решению задач на построение сечений многогранников в рамках реализации идей ФГОС, т.е. обучение на базовом и углублённом уровне, поможет учителю не только сформировать умения строить сечения многогранников, но и заинтересовать школьников, продолжить развитие их способностей.

Но проблема состоит в том, что методических разработок по данной теме, связанных с реализацией идей Стандарта, недостаточно. Учителя настолько загружены текущей работой, что не имеют возможности заниматься разработкой подобных рекомендаций. Поэтому материалы данной выпускной квалификационной работы будут полезны учителям математики, и при определённой детализации, могут использоваться при обучении учащихся решению задач по теме: «Задачи на построение сечений» на базовом и углублённом уровнях.

Таким образом, все задачи, поставленные в ВКР, решены, цель выпускной квалификационной работы достигнута.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Александров А. Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 - 11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. - М.: Просвещение, 2014. - 255 с.

2. Боженкова Л. И. Обучение учащихся построению сечений многогранников: Учебно-методическое пособие. - М., Калуга: КПГУ, 2005. - 72 c.

3. Боженкова Л. И. Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии / Л. И. Боженкова. - 2-е изд. - М.: БИНОМ: Лаборатория знаний, 2015. - 205 с.

4. Боженкова Л. И., Глазков Ю. А. Тесты по геометрии: 10 класс: к учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия 10-11 классы». - М.: Издательство «Экзамен», 2012. - 78 с.

5. Гальперин П. Я. Организация умственной деятельности и эффективность учения. В кн.: Возрастная и педагогическая психология. Пермь, 1974. - С. 90 - 103.

6. Геометрия (поурочные планы) для 10 класса/ Составители Афанасьева Т. Л., Тапилина Л. А. - Волгоград: Издательство «Учитель», 1998. - 107 с.

7. Геометрия: 10 -11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 22-е изд. - М.: Просвещение, 2013. - 255 с.

8. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя / Я. И. Груденов. - М.: Просвещение, 1990. - 223, [1] с.

9. Калмыкова З. И. Психологические принципы развивающего обучения / З. И. Калмыкова. - М.: Знание, 1979. - 48 с.

10. Каменская Е. Н. Психология развития и возрастная психология: конспект лекций / Е. Н. Каменская. - Изд. 3-е, перераб. и доп. - Ростов н/Д: Феникс, 2008. - 251, [1] с.

11. Каплунович И. Я. О психологических различиях мышления двумерными и трёхмерными образами // Вопросы психологии. 2003. №3, С. 66 - 77.

12. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. 1. - М.: Просвещение, 1977. - 112 с.

13. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России / [сост. А. Я. Данилюк, А. М. Кондаков, В. А. Тишков] - М.: Просвещение, 2009. -- 24с.

14. Концепция развития математического образования в Российской Федерации от 24 декабря 2013 г. N 2506-р г. Москва. - URL: http://минобрнауки.рф/documents/3894.

15. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. - М.: Политиздат, 1975. - 304 с.

16. Литвиненко В. Н. Задачи на развитие пространственных представлений

/ В. Н. Литвиненко. - Москва: Просвещение, 1991. - 127 с.

17. Литвиненко В. Н. Многогранники. Задачи и решения. - М.: «Вита- Пресс», 1995. - 192 с.

18. Литвиненко В. Н. Сборник задач по стереометрии с методами решений: Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1998. - 255 с.

19. Ляпин С.Е., Гастева С.А, Квасникова З.Я. Методика преподавания математики. - Ленинград: Изд-во МП РСФСР - С. 423 - 434.

20. Лященко Е. И. Проблемы задач в школьном курсе математики// В сб.: Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы. - Л.: Лениздат, 1981. - С. 31 - 42.

21. Маркова А. К., Орлов А. Б., Фридман Л. М. Мотивация учения и ее воспитание у школьников / Науч.-исслед. ин-т общей и педагогической психологии Акад. пед. наук СССР. - М.: Педагогика, 1983. - 64 с.

22. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для 10 класса общеобразовательных организаций. Базовый и углублённый уровни / В. В. Козлов, А. А. Никитин, В. С. Белоносов и др.; под ред. В. В. Козлова и А. А. Никитина. - М.: ООО «Русское слово», 2014. - 464 с.

23. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для 11 класса общеобразовательных организаций. Базовый и углублённый уровни / В. В. Козлов, А. А. Никитин, В. С. Белоносов и др.; под ред. В. В. Козлова, А. А. Никитина. - М.: ООО «Русское слово», 2014. - 400 с.

24. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / Сост. В. И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

25. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104

«Математика» и 2105 «Физика» / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

26. Погорелов А. В. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни / А. В. Погорелов. - 13-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 175 с.

27. Польский И. Г. Проекционный чертеж и построения на нем / Под ред. А. Р. Зенгина. - Москва: Учпедгиз, 1962. - 112 с.

28. Польский И. Г. Сборник задач на построение на проекционном чертеже: Пособие для учителей. - Москва: Учпедгиз, 1958. - 101 с.

29. Потоскуев Е. В. Геометрия. 10 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 223 с.

30. Потоскуев Е. В. Геометрия. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. - 2-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2004. - 368 с.

31. Потоскуев Е. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 кл. Углублённый уровень: задачник / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. - 2-е изд., стереот. - М.: Дрофа, 2014. - 255 с.

32. Потоскуев Е. В. Геометрия. 11 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углуб. и профильным изучением математики / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2004. - 240 с.

33. Примерная основная образовательная программа основного общего образования в области «Математика и информатика». - [Электронный ресурс] / Режим доступа: https://www.google.ru

34. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии - СПб: Издательство

«Питер», 2000. - 712 с.

35. Саранцев Г. И. Методология методики обучения математике / Г. И. Саранцев; Рос. акад. образования. Поволж. отд-ние. - Саранск: Тип. "Крас. Окт.", 2001. - 139, [2] c.

36. Смирнова И. М. Геометрия. 10-11 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.

37. Смирнова И. М. Дипломная работа и магистерская диссертация: Учебное пособие. - М.: МПГУ «Прометей», 2005. - 120 с.

38. Смирнова И. М. Геометрия. Сечения многогранников / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Издательство «Экзамен», 2011. - 255 с.

39. Столяр А. А. Педагогика математики. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических ВУЗов - 3-е изд., перераб. и доп. - Минск: Издательство «Вышэйшая школа», 1986. - 414 с.

40. Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний (психологические основы). М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 345 с.

41. Титова Д.Г. Обучение построению сечений многогранников учащихся классов естественно-математического профиля / Концепция развития математического образования: проблемы и пути реализации: Материалы XXXIV Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов / Л. И. Боженкова, Д. Г. Титова. - Калуга: Издательство: ООО «ТРП», 2015. - С. 33-37

42. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования / М-во образования и науки РФ. - М.: Просвещение, 2013. - 63 с.

43. ФИПИ, открытый банк заданий ЕГЭ, математика. - URL: http://www.fipi.ru/

44. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач/ Л. М. Фридман; Науч.-исслед. ин-т общей и пед. психологии АПН СССР. - Москва: Педагогика, 1977. - 207 с.

45. Хаунен Н. Душа камня // Приметы времени. Пермь, 1957. - 148 с.

46. Хинчин А. Я. Педагогические статьи / Под ред. акад. Б. В. Гнеденко; Акад. пед. наук РСФСР. - Москва: Изд-во АПН РСФСР, 1963. - 204 с.

47. Хрестоматия по возрастной психологии. Учебное пособие для студентов: Сост. Л. М. Семенюк. Под ред. Д. И. Фельдштейна. - Издание 2-е, дополненное. М.: Институт практической психологии,1996. - 304 с.

48. Хуторской А. В. Современная дидактика: Учебник для вузов. - СПб: Питер, 2001. - 544 с.

49. Четверухин Н. Ф. Изображения фигур в курсе геометрии: Пособие для учителей и студентов / Н. Ф. Четверухин; АПН РСФСР. - 2-е изд., перераб. - М.: Учпедгиз, 1958. - 215 с.

50. Четверухин Н. Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже: учебник / Н. Ф. Четверухин; АПН РСФСР, Ин-т методов обучения. - 2-е изд. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во Мин-ва Просвещения РСФСР, 1952. - 128 с.

51. Шарыгин И. Ф. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень. 10-11 классы: учебник / И. Ф. Шарыгин. - М.: Дрофа, 2013. - 236 с.

52. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10 кл.: методическое пособие к учебнику И.Ф. Шарыгина «Геометрия. 10-11» / И. Ф. Шарыгин, Д. И. Шарыгин. - 2-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2010. - 142 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Предписания для построения сечений многогранников

Предписание 1. Построение точки пересечения прямой, проходящей через 2 данные точки многогранника, с плоскостями его граней.

1) Найти две точки, принадлежащие одной грани многогранника;

2) провести прямую (n), принадлежащую этой грани;

3) выяснить, плоскость какой грани может пересекать эта прямая (n);

4) найти и продлить линию пресечения плоскости грани, содержащей прямую (n), и плоскости грани, которую прямая (n) пересекает;

5) построить точку пересечения выделенной прямой (n) и построенной линии пересечения плоскостей граней.

2

Рис. Иллюстрация к предписанию 1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Предписание 2. Построения сечения многогранника методом следов (способ пересечения множеств).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

шаг 2

Предписание 3. Построение следа секущей плоскости.

1. Выделить данные точки, через которые пройдёт сечение (М, Р, К);

2. построить проекции (А, С, К) этих точек на плоскость основания;

3. провести две начальные прямые (МР, РК) через две пары данных точек;

4. провести прямые - соответствующие проекции начальных прямых (АС, СК);

5. выделить точки пересечения прямых и их проекций (Х, К);

6. через эти точки провести прямую - след секущей плоскости (ХК).

S

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Предписание 4. Построение точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника с использованием следа секущей плоскости.

1. Зафиксировать точки (А, В, С), через которые требуется провести сечение;

2. построить след (С1Х) секущей плоскости (в соответствии с предписанием 3);

3. определить, на каком ребре (М1М2) многогранника необходимо найти искомую точку (М) пересечения секущей плоскости с ребром;

4. найти проекцию (М1) искомой точки на основную плоскость (вершина основания многогранника);

5. провести прямую (m), проходящую через проекцию искомой точки (М1) и проекцию (А1) одной из данных точек (А), до пересечения её со следом секущей плоскости в точке Y;

6. построить искомую точку (М), как точку пересечения прямой YA и выбранного ребра.

Предписание 5. Построение сечения многогранника способом проекций.

1. Проверить, есть ли три точки на трех скрещивающихся ребрах или на разных гранях многогранника, не лежащие на одной прямой;

2. построить параллельные (центральные) проекции точек на плоскость проекции - основание (или одну из граней);

3. используя предписание 3, построить след секущей плоскости (ХУ);

4. если построили, то - к п. 6, иначе - к п. 5;

5. используя предписание 4, построить точку пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, используя след секущей плоскости;

6. провести через пары точек на рёбрах прямые, принадлежащие граням многогранника;

7. если сечение построено, то - к п. 8, иначе - к п. 5;

8. доказать, что сечение искомое.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Приёмы организации учебно-познавательной деятельности (УПД)

1. Приём рефлексии достижения целей

1. Чего я хочу добиться?

2. Зачем я хочу этого добиться?

3. Как этого добиться?

4. Достиг ли я того, чего хотел?

5. Соответствовал ли выбор уровня достижения целей моим способностям, знаниям, умениям?

6. Все ли способы были использованы для достижения целей?

7. Какие умственные приёмы были использованы? Все ли необходимые приёмы использовались? Какие приёмы не использовались? Почему?

8. Какие приёмы стали интеллектуальными умениями?

9. Какие способы достижения целей не были использованы?

10. Какие способы достижения целей мне понравились, почему?

11. Какие способы достижения целей мне не понравились, почему?

12. Каковы причины достижения или недостижения поставленных целей?

2. Приём коррекции собственной УПД

1. Зафиксировать своё внимание на ошибке и установить её характер;

2. выполнить диагностику её причин - прежде всего в умственных действиях по применению теоретических положений (знание определений понятий; формулировок теорем, формул, типов задач; владение приёмами решения типов задач; знание приёмов саморегуляции собственной деятельности и др.);

а) сравнение собственных ошибочных действий с эталоном, выявление дефектов в них;

б) вывод о причине ошибки;

3. определить необходимость коррекционной меры;

4. воспроизвести собственные исправленные действия, используя, при необходимости, эталонный вариант действий по решению задачи;

5. использовать откорректированные знания и действия в процессе решения аналогичных задач.

3. Приём оценки собственной УПД при освоении темы курса

1. Какова была Ваша активность на уроках?

2. Как Вы оцениваете свою самостоятельность на уроках?

3. Что помогает Вам быть самостоятельным?

4. Обращались ли Вы за помощью к кому-либо? Почему?

5. Были ли Вы внимательным на уроках? Что помогает Вам быть внимательным?

6. Как Вы осуществляете контроль своей учебной деятельности?

7. Что Вы не усвоили? Почему?

8. Как бы Вы хотели изменить свою учебную деятельность в будущем?

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Диагностическая работа по теме «Построение сечений многогранников»

1. Даны изображения четырех треугольных пирамид и точек на них. Назовите плоскости, проходящие через данные точки. Ответ обосновать.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Постройте плоскость, проходящую через три данные точки треугольной пирамиды. Какие аксиомы использовались?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Являются ли закрашенные фигуры сечениями изображенных многогранников плоскостью PQR? Ответы обоснуйте для 4-5 случаев.

а) б)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4. Дана треугольная пирамида MABC, где M - вершина. Точки P, Q и R принадлежат рёбрам MA, MB и AC соответственно.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Таблица

Индивидуальный план изучения темы «Задачи на построение сечений» ученика 11 «б» класса ГБОУ "Школа № 1948 "Лингвист-М"

Планируемые результаты изучения темы

Реализуемые результаты изучения темы

Коррекция знаний и деятельности

Достигнутые результаты и выводы

базовый

углублённый

Применение знаний

1), 2), 3), 4) - получается не всегда; 8) знаю основные определения, аксиомы и теоремы; 8)

Посещение дополнительного занятия

В основном, выполнил план. Не хватило времени на решение нетиповых задач

1) - 4)

5) - 8)

Контроль знаний

СР

Больше задач решать дома, выучить все схемы

План выполнил, но мог лучше

СР

3

Коммуникативные умения

1) - 4)

Можно было рассказать про

Подготовил с помощью

5), 7), 8), 9), 10)

Регулятивные умения

1) - 10)

Нужно больше самостоятельности

В основном выполнил, если подучу, смогу лучше решать

1), 2), 3), 4)

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Примеры подготовительных заданий с выбором ответа [4]

1) Точки М и K принадлежат рёбрам ВВ1 и СС1 куба АВСDA1B1C1D1. Точка Т

лежит на прямой МK. Какой плоскости принадлежит точка Т?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1) ADD1 2) АВD 3) ВВ1С1 4) А1В1C1

2) Точки M и N являются серединами рёбер AB и BC пирамиды DABC. По какой прямой пересекаются плоскости BDM и ACN?

D

A M B

3) Точки A и В принадлежат рёбрам MN и ММ1 куба KLMNK1L1M1N1. Через какие указанные точки можно провести единственную плоскость?

4) Точка М принадлежит ребру SB пирамиды SABC. Сколько прямых, параллельных рёбрам пирамиды, можно провести через точку М?

Размещено на Allbest.ru

...

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены