Методика проведения курса по выбору "Элементы теории игр" в классах естественно-математического профиля

Размещено на http://www.allbest.ru/

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР» В КЛАССАХ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ



СОДЕРЖАНИЕ

Введение

ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТАНОВКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ ПО ВЫБОРУ

1.1 Проблемы отбора содержания и методики проведения курсов по выбору для учащихся старшей школы

1.2 Отбор содержания, методов и форм проведения курса по выбору «Элементы теории игр» для классов естественно-математического профиля

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ КЛАССОВ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

2.1 Разработка курса по выбору «Элементы теории игр»

2.2 Экспериментальная проверка

2.3 Результаты экспериментальной проверки

Заключение

Список литературы

Приложение



ВВЕДЕНИЕ

В науке, технологии и повседневной жизни постоянно приходится учитывать фактор неопределенности. Она характерна для многих ситуаций: результатов опросов, научных прогнозов и прогнозов погоды, экономических моделей. Анализ неопределенности включает: распознавание неопределенности, ее роль и место в процессе, понимание смысла и количественного выражения этой вариации, определение ошибки измерения, определение шансов наступления того или иного события. А при рассмотрении неопределенности требуются построение модели, ее преобразование, интерпретация результатов и оценка выводов. Разработкой и практическим применением методов эффективного управления различными организационными системами занимается активно развивающаяся научная дисциплина «исследование операций».

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые относятся к конфликтным: две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Научные методы разрешения таких ситуаций разрабатывает теория игр. Особенно широко она используется в экономике, социологии и политологии. Результаты международных исследований по программе PISA показывают, что российские школьники решают задачи из содержательной области «Неопределенность и данные» (а именно к ней можно отнести проблемы, решаемые с помощью исследования операций) на уровне ниже среднего. Знакомство учащихся с наиболее простыми, основанными на материале школьной программы по математике, методами исследований операций может повысить уровень математической грамотности российских школьников.

Таким образом, тема данного исследования является актуальной.

Проблема исследования:

Выяснить возможность проведения курса по выбору «Элементы теории игр» в классах естественно-математического профиля подготовки.

Объект исследования:

Процесс обучения на математических курсах по выбору в средней школе.

Предмет исследования:

Методика обучения элементам теории игр в классах естественно- математического профиля старшей школы.

Цель исследования:

Разработка курса по выбору «Элементы теории игр» и соответствующей методики обучения для классов естественно-математического профиля подготовки.

Задачи исследования:

1) выделить требования к построению курса по выбору, педагогические и методические подходы к организации занятий курса;

2) на основе анализа математической, методической и научно- популярной литературы выявить возможный объем содержания курса по теории игр;

3) разработать содержание курса по выбору «Элементы теории игр» и рекомендации по методике его проведения;

4) выполнить опытную проверку разработанных материалов.

Методы исследования:

· изучение и анализ литературы;

· проведение экспериментальной проверки;

· беседа с учениками;

· наблюдение.

Практическая значимость данного исследования заключается в разработке:

· содержания курса по выбору «Элементы теории игр» для классов естественно-математического профиля;

· методических рекомендаций по обучению данному курсу.

ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТАНОВКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ ПО ВЫБОРУ

1.1 Проблемы отбора содержания и методики проведения курсов по выбору для учащихся старшей школы

Курс по выбору - это учебный курс, изучающий конкретные узкие проблемы различных сфер жизни человека, знание которых не является обязательным, но учащийся может выбрать его для изучения в соответствии со своими личными интересами. Он нужен для удовлетворения познавательных потребностей школьника. Так как на данный момент личностно-ориентированное обучение играет важную роль, то к курсам по выбору существуют определенные требования:

· у учеников всегда должен быть выбор, если предлагаются какие-либо курсы. Нельзя предложить один и сказать, что его обязаны выбрать все.

· у ученика должна быть возможность менять курс по выбору минимум два раза в год.

Существует несколько подходов к созданию курсов по выбору:

· фундаментальный (направлен на углубленное изучение предмета учениками, переход от общих законов и теорий к частному);

· методологический (основан на методе научного познания и проектной деятельности учеников);

· универсальный (рассмотрение различных понятий с различных точек зрения);

· прагматичный (предполагает приобретение знаний для дальнейшего использования в жизни);

· деятельностно-ценностный (знакомство с деятельностью, необходимой для успешного усвоения содержания различных профилей обучения);

· компетентностный (направлен на обучение решению жизненных задач). [19]

Курс по теории игр основан на компетентностном подходе. Ученики приобретут определенные умения и знания, которые смогут использовать в дальнейшей жизни, а также познакомятся с некоторыми способами деятельности, которые необходимы для освоения математического, экономического профилей подготовки или профиля, связанного с компьютерными технологиями. В связи с этим можно сказать, что он выполняет все основные функции курсов по выбору:

1) углубленное изучение предмета (математики);

2) развития содержания экономики и информатики;

3) удовлетворение познавательных интересов учащихся в компьютерных технологиях, экономической и математической сферах деятельности человека.

Из этого можно заключить, что данный курс подойдет для учеников, обучающихся в классах естественно-математического профиля подготовки, так как он построен на одном из ведущих предметов, и, следовательно, должен будет их заинтересовать.

Одним из главных предметов в классах естественно-математического профиля подготовки является математика[32][11]. Поэтому ученики выберут курс по теории игр, чтобы получить еще больше знаний по данной теме. Остальные профильные предметы, в большинстве случаев, - это:

· химия;

· биология;

· физика.

Еще восемь предметов являются базовыми:

· русский язык;

· литература;

· иностранный язык;

· история;

· обществознание (включая экономику и право);

· физическая культура;

· информатика и ИКТ;

· ОБЖ.

Курс по теории игр продемонстрирует связь профильных и базовых предметов. Например, игра «инспектирование». Инспектор может проверить соблюдение законов фирмой, а может не проверять. Фирме выгодно нарушить закон, если проверки не будет. Если же инспектор посетит фирму, то нарушать становится не выгодным. Эта игра связана с экономикой, она является биматричной и решается математически, в результате чего находится равновесие в смешанных стратегиях. К тому же курс покажет, как можно использовать математику в реальной жизни; даст представление об истории образовании данного раздела в математике и его деятелях, о чем будет рассказано далее.

Курсы по выбору должны также удовлетворять Федеральному государственному стандарту среднего (полного) общего образования. Они должны обеспечивать:

• удовлетворение индивидуальных запросов обучающихся;

• общеобразовательную, общекультурную составляющую данной ступени общего образования;

• развитие личности обучающихся, их познавательных интересов, интеллектуальной и ценностно-смысловой сферы;

• развитие навыков самообразования и самопроектирования;

• углубление, расширение и систематизацию знаний в выбранной области научного знания или вида деятельности;

• совершенствование имеющегося и приобретение нового опыта познавательной деятельности, профессионального самоопределения обучающихся.

Результаты изучения курса по выбору должны отражать:

• развитие личности обучающихся средствами предлагаемого для изучения учебного предмета, курса: развитие общей культуры обучающихся, их мировоззрения, ценностно-смысловых установок, развитие познавательных, регулятивных и коммуникативных способностей, готовности и способности к саморазвитию и профессиональному самоопределению;

• овладение систематическими знаниями и приобретение опыта осуществления целесообразной и результативной деятельности;

• развитие способности к непрерывному самообразованию, овладению ключевыми компетентностями, составляющими основу умения: самостоятельному приобретению и интеграции знаний, коммуникации и сотрудничеству, эффективному решению (разрешению) проблем, осознанному использованию информационных и коммуникационных технологий, самоорганизации и саморегуляции;

• обеспечение академической мобильности и (или) возможности поддерживать избранное направление образования;

• обеспечение профессиональной ориентации обучающихся[41].

Данные пункты учтены при создании курса, и он удовлетворяет требованиям Федерального государственного стандарта.

Также при создании курса по выбору требуется учитывать, что он может быть долгосрочным (24-36 часов) или краткосрочным (8-16 часов), нацелен на расширение или углубление знаний по предмету[48]. Курс «Элементы теории игр» является краткосрочным и направлен на расширение знаний по математике, экономике и информатике.

1.2 Отбор содержания, методов и форм проведения курса по выбору «Элементы теории игр» для классов естественно-математического профиля

Теория игр -- раздел прикладной математики, изучающий принципы принятия решения в конфликтных ситуациях. Такие ситуации весьма различны: от военных действий до решения семейных конфликтов, от экономики до кулинарии. Но, несмотря на то, что теорию игр используют часто, в большинстве случаев это происходит не осознанно.

До семнадцатого века были игры (сенет, алькерк и другие) и занимательные задачи, которые больше походили на уравнения («Целое и седьмая его часть равна девятнадцати»). Развлечения, жизненные затруднения и математика во многом существовали отдельно. И только в семнадцатом-восемнадцатом веке стали предпринимать попытки к введению дисциплины, которая изучала бы поведение человека в конфликтных ситуациях, начали решать некоторые конкретные задачи на данную тему. Однако ученым того времени не хватало определений и обобщений. Не существовало теоретической базы. В девятнадцатом веке экономисты создавали модели для конкретных конфликтных ситуаций, и только в двадцатом веке была написана первая работа, которая стала наиболее близка к теории игр: «Расчет результатов турнира как задача максимизации в теории вероятностей» Эрнесто Цермело. В этом труде говорится, что любая конечная игра с полной информацией имеет решение в чистых стратегиях. То есть в стратегиях, которые однозначно выбираются игроком на каждом ходу игры.

Следующим значительным прорывом стала работа Джона Фон Неймана и Оскара Моргенштерна. Она была написана на стыке теории игр и экономики и называлась «Теория игр и экономическое поведение»[24]. Именно с этого труда и начинается развитие теории игр как самостоятельной отрасли. Некоторыми определениями из этой работы мы пользуемся до сих пор, часть из них модернизовалась. На русский язык книга была переведена в семидесятых годах двадцатого века, написана же была в сороковых. Можно заметить, что с того времени прошло меньше века. И на данный момент у нас есть основные понятия, основные стратегии. Написаны работы по теории игр, среди которых нельзя не отметить труд Джона Нэша «Анализ равновесия в теории некооперативных игр». То есть, как найти наилучшее решение в игре, где игроки не могут объединяться в коалиции. Однако, не смотря на существование подобной литературы, нельзя не отметить существенный минус: каждая книга напоминает предыдущую. В каждой написано об одном и том же, чуть ли не до совпадения абзацев и не самым простым языком даже для подготовленного человека. Однако, есть те книги, которые написаны доступно и после них появляется желание изучать теорию игр дальше.

Например, «Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни»[10]. Ее авторами являются профессора Принстонского университета и Йельтской школы менеджмента Авинаш Диксит и Барри Нейлбафф. Они приводят интересный пример действия дилеммы заключенных в жизни.

Дилемма заключенных -- довольно известный пример теории игр. В ней говорится о двух людях, решивших ограбить банк (в большинстве версий говорится именно так). Однако их затея не удалась. Преступников поймали. И теперь перед ними стоит выбор:

1 .Если один грабитель решает дать показания, и второй также решается на это, то наказывают каждого. В большинстве примеров дилеммы каждому дается по 10 лет заключения. Встречаются случаи, когда дают по восемь -- девять лет.

2 .Если оба молчат, то тоже получают срок, но меньший. Чаще всего говорится о двух годах наказания.

3 .Если один из двух молчит, а другой дает показания, то молчавшему дают срок (10 лет), а второго выпускают на свободу.

Эту задачу можно переписать в табличной (биматричной) форме (Таблица 1).



Таблица 1

	Первый преступник
	Да?т показания	Молчит
Второй преступник	Да?т показания	(-9; -9)	(-10; 0)
	Молчит	(0; -10)	(-2; -2)

У этой задачи есть не одно решение. И Авинаш Дикситс Барри Нейлбаффом приводят пример применения дилеммы к жизненной ситуации.

Следующая книга, о которой хотелось бы упомянуть -- это «Теория игр.

Учебник и практикум» Александра Юрьевича Челнокова[45].

Рассматриваемые в книге задачи понятны многим, а логика изложения проста.

Например, игра инспектирования, о которой уже говорилось, и которую можно встретить в реальной жизни (взять хотя бы налоговую проверку). Инспектор может проверить фирму или не проверять ее. Фирма в свою очередь может нарушать правила или не нарушать. Если эту игру представить в матричной форме, то решение находится достаточно легко.

Еще один пример: «Решение аукционов как игр». Чаще рассказывают о четырех (пяти) видах аукционов:

· Английский аукцион. Аукцион, который начинается с минимальной установленной цены, которая в последствие поднимается и последний поднявший цену становится владельцем лота. Наиболее распространенный вид аукциона, который демонстрируется во многих фильмах, как например «Гудзонский ястреб», «Наилучшее предложение» и прочих. Это один из видов открытого аукциона - аукцион во время которого каждый из игроков видит ставки оппонентов.

· Голландский аукцион. Аукцион на понижение цены. Сначала зада?тся наибольшая сумма за товар, а позже она начинает падать. Первый среагировавший покупатель и становится владельцем той или иной вещи, антиквариата, а чаще всего продукции. Также является открытым аукционом.

· Аукционы первой и второй цены. Аукционы первой и второй цен являются закрытыми. Каждый игрок подает свою заявку в конверте. Потом из всех конвертов выбирают конверт с наибольшей ставкой. В аукционе первой цены соответствующий победитель выплачивает сумму за лот, указанную в конверте, в аукционе второй цены - «вторую цену». Аукционы второй цены также называются аукционами Викри, по имени первого, предложившего их.

· Аукцион, в котором платят все. Аукцион, где платят все участники распространен на благотворительных вечерах. Если открытый - все участники, которые уже доторговались до какой-то цены - платят свою стоимость. Но он также может быть и закрытым. Тогда можно в конверты сразу класть сумму за лот и ждать результатов.

Но Александр Юрьевич рассказывает об еще одном виде аукциона. Двойном. Аукцион, который распространен на бирже. Покупатель и продавец выкрикивают стоимость, за которую готовы продать и за которую готовы совершить сделки. Если эти цифры сходятся, то сделка заключается и позднее оформляется в виде контракта. И Челноков приводит вариант данного аукциона и его решение. Изящное решение описано на пяти страницах, и если изучать учебник от начала и до конца, то оно становится понятным даже читателю, давно не бравшему книгу по математике в руки.

Более сложным представляется учебник для Высшей школы экономики, написанный Алексеем Владимировичем Захаровым. «Теория игр в общественных науках»[12]. Однако, открывая его, мы сразу видим яркий пример использования теории игр при подготовке к сражениям. Алексей Владимирович рассказывает о битве при Гастингсе. Почему Англия была завоевана и о решении воинов, которые стоят в строю. У каждого солдата две цели, иногда противоположные: остаться в живых и выполнить долг перед страной, государством, правителем. Пока все в строю стоят, то каждый солдат в отдельность будет стоять, если же кто-то начинает убегать, то в какой-то момент побегут все. Ведь с каждым убежавшим воином риск, что убьют оставшихся рос. Но в итоге, в этой битве убили всех, кто бежал, ибо войско было пешим, а наступала конница.

А в конце хотелось бы упомянуть серию «Мир математики»[23]. Издатели Де Агостини выделили целый том для описания теории игр простым языком. Они затрагивают историю игр, историю теории игр, самые известные игры и знаменитых людей, исследующих этот метод. Но интерес представляет игра, описанная в этой книге и придуманная Бруно Файдутти. Она называется «Вавилон».

Правила довольно просты: на стол кладутся двенадцать фишек разных цветов (по три фишки каждого цвета). Каждый из двух игроков берет одну колонну фишек (изначально каждая колонна имеет высоту в одну фишку) и кладет ее поверх другой, соблюдая определенные условия: одну колонну, или стопку, можно поставить на другую, если они имеют одинаковую высоту или их верхние фишки имеют одинаковый цвет. Проигрывает тот, кто не сможет больше сделать хода.

Данная игра похожа на шахматы: вариаций ходов слишком много. Компьютер показал, что невозможно найти стратегию, которую смог бы запомнить человек. И если в шахматы человек смог обыграть компьютер хоть раз, то в этой игре это представляется почти невозможным. Только счастливый случай поможет.

Но существуют игры, решение которых лежит на поверхности, а мы все равно им не пользуемся. Если вернуться к дилемме заключенного, то опыты показывают, что человек не всегда действует правильно с первого раза. Если изначально участники эксперимента не знакомы, то они «стучат» друг на друга и садятся на длительный срок. Что мешает сразу поступить как добрым знакомым и сесть каждому на пару лет и выйти свободными? На самом деле первый и второй варианты представлены в теории игр. Очень редко получаются ситуации, описанные под номером три. И эти два варианта являются равновесиями в представленной игре, то есть наилучшими решениями: одна из них по Нэшу, другая по Паретто.

Можно заметить, что поведение людей и другие не маловажные процессы общества уже частично описаны математически, так почему бы не углубляться в тему дальше? Для этого нужно растить поколение, которое будет заинтересованно в предмете и будет изучать его. Это поможет им в достижении лучших результатов на работе, связанной: с людьми, с экономикой, с политикой. Поэтому полезно знакомство с теорией игр начинать в школе.

Однако, стоит подчеркнуть, что среди перечисленной выше литературы нет ни одного учебника по теории игр для школьников. В этом заключается сложность для преподавателя. Он сможет использовать литературу только в качестве дополнительного материала, остальное же надо будет либо печатать индивидуально, либо контролировать, чтобы у всех учеников были записи, либо тщательно следить за усваиванием материала, проводя самостоятельные и контрольные работы.

Стоит упомянуть, что в теории игр существуют стратегические и не стратегические игры. В не стратегических играх рассматриваются исключительно выигрыши игроков, то есть нахождение формул и подстановка в них значений. Их будет тяжело решить ученику 10 или 11 класса, так как требуется знание, которое дается в университете. В стратегических играх требуется найти не только выигрыши игроков, но и как к ним прийти, то есть стратегии. Решение подобных задач будет развивать не только арифметические способности учеников, но и логические. Исходя из этого на занятиях будем затрагивать игры, которые решаются деревом игры или с помощью платежной матрицы, так как именно они являются стратегическим.

Но начать стоит с самых простых игр для разбора базовых понятий, применяя практические и словесные методы обучения и используя групповую и фронтальную формы организации учебной деятельности.



Выводы

На основе рассмотренного материала, можно сказать, что курс должен будет заинтересовать учащихся классов естественно-математического профиля.На занятиях целесообразно разбиратьтри типа игр: на логику, игры, решаемые деревом игр и платежной матрицей; работа с учениками должна проходить в группах во время опытов и со всеми учениками во время обсуждений. Курс будет длиться от 8 до 16 часов.



ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ КЛАССОВ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

2.1 Разработка курса по выбору «Элементы теории игр»

В соответствии с выводами после первой главы в курс по выбору войдет теории и практика по темам: теория игр, дерево игр, матричные игры. Следовательно, целями данного курса являются:

· сформировать у учащихся представление о теории игр;

· научить решать основные задачи трех разделов теории игр: дерево игр, матричные игры, биматричные игры;

· научить детей в предложенных ситуациях видеть игры (игровые ситуации) и определять игровую модель;

· обеспечить усвоение основных понятий курса;

· способствовать удовлетворению индивидуальных образовательных интересов.

Планируемые результаты обучения:

Изучение курса по выбору «Элементы теории игр» должно обеспечить[41]:

· сформированность представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики и информатики;

· сформированность основ логического, алгоритмического и математического мышления;

· сформированность умений применять полученные знания при решении различных задач;

· сформированность представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления;

· сформированность представлений о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

· владение алгоритмами решения, умение их применять;

· владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.

· сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса;

· сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат.

Содержание курса:

Базовые определения:

· теория игр (изучение ситуаций принятия решений в играх);

· игроки (участники игры);

· игра (процесс, ведущийся несколькими сторонами за свои интересы);

· стратегия (способ достижения цели, выигрыша, в игре).

Требуется показать, что означает решить игру (то есть найти стратегии игроков, их выигрыши). Без этих основных знаний в дальнейшем будет тяжело найти общий язык учителя с учениками.

Дополним список, исходя из того, что мы будем рассматривать отдельно дерево игр и игры с платежной матрицей:

· дерево игр (направленный граф без циклов с выделенной вершиной - корнем);

o позиционная игра (см. дерево игр);

o игра с полной информацией (игра, в которой после каждого хода каждый из игроков знает, в какой вершине они находятся, какую позицию занимают и благодаря этому просчитывают ходы);

o конечная игра (игра, в которой множество игроков и их стратегий конечно)

o равновесие (набор стратегий, при котором ни один участник не может увеличить свой выигрыш, изменением стратегии, если остальные участники выбранные стратегии не меняют)

· матричная игра (конечная игра двух игроков с нулевой суммой);

- игра с нулевой суммой (игры, в которых выигрыш первого игрока равен проигрышу второго; такие игры еще называют антагонистическими);

- нижняя цена матричной игры (максимальный гарантированный выигрыш первого игрока);

- верхняя цена матричной игры (минимальный гарантированный проигрыш второго игрока);

- осторожная стратегия (обеспечивает игроку максимальный гарантированный выигрыш);

- седловая точка (решение игры в чистых стратегиях);

- смешанные стратегии (вероятность использования каждой из чистых стратегий для достижения наилучшего результата)

- доминирование (одна стратегия доминирует другую, в том случае, если при любом ходе второго (первого) игрока она принесет первому (второму) больший выигрыш (меньший проигрыш));

· биматричная игра (конечная игра двух игроков с ненулевой суммой).

В связи с этим, задачи, которые стоит рассматривать, должны быть направлены на усвоение и закрепление содержания и объема вышеперечисленных понятий.

Для закрепления базовых понятий достаточно игр на логику. Например, Маша и Петя передвигают коня по шахматной доске. Маша ставит коня на доску, а далее ребята ходят фигурой по очереди по обычным правилам. Конь не может побывать на одном и том же поле дважды. Проигрывает тот, кто не может больше сделать хода. Кто выиграет при правильной игре?

В данном случае игроками являются Маша и Петя. Стратегию Маши указать нельзя, однако стратегия Пети нам известна. Если разбить все поле на 32 пары, чтобы квадраты одной пары были соединены ходом коня, то, куда бы ни поставила фигуру Маша, Петя должен ходить на парную клетку. Изначально можно провести эксперимент в классе. Разбить учеников на пары и дать попробовать сыграть в эту игру, используя шахматную доску и коня. Благодаря наглядности, многие сами найдут ответ.

В качестве примера игры, которая решается деревом, можно привести задачу из демонстрационного варианта ЕГЭ по информатике.

«Два игрока, Паша и Валя, играют в следующую игру.

Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 20. Если при этом в куче оказалось не более 30 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. Например, если в куче было 17 камней и Паша удвоит количество камней в куче, то игра закончится, и победителем будет Валя. В начальный момент в куче было S камней, 1 ? S ? 19.

У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 7? Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии. На р?брах дерева указывайте, кто делает ход; в вершинах - количество камней в позиции» На данной игре можно убедиться, что она конечна, составить ее дерево, рассмотреть положение игроков в каждой вершине, и какая информация у них есть в зависимости от этого; найти равновесие, если оно есть.

Решая задачи, подобные представленной, можно закрепить определения, связанные с матричными играми.

Найти осторожные стратегии игроков и выигрыш первого игрока (Таблица 2: а, б).



Таблица 2

а) б)

Наводящие вопросы также помогут в закреплении материала и контроле изученного:

1) Какой выигрыш в игре под буквой «а» у первого игрока, если он воспользовался первой стратегией, а второй игрок третьей? (Ответ: 6.)

2) Какой выигрыш у второго игрока в этом случае? (Ответ: -6.)

3) Как мы называем игры, где выигрыш первого и второго отличаются только знаком? (Ответ: игра с нулевой суммой.)

4) Есть ли решение в чистых стратегиях в примере под буквой «а»? (Ответ: да.)

5) Как мы называем такое решение? (Ответ: седловая точка.)

6) Какова в таком случае нижняя (верхняя) цена игры? (Ответ: 6.)

7) Существует ли седловая точка в примере под буквой «б»? (Ответ: нет.)

8) Если ее нет, то как тогда находится решение? (Ответ: в смешанных стратегиях.)

9) С чего лучше начать решение? (Ответ: с нахождения доминируемых стратегий.)

В отношении биматричных игр следует поступить аналогичным образом.

Примерное планирование учебного материала (Таблица 3).



Таблица 3

Номер и тема занятия	Основные понятия (впервые вводимые)
1. Игры	Теория игр Игроки Игра Стратегия
2. Игры	Решить игру
3. Игры	Решение игр
4. Дерево игры	Позиционная игра Дерево игр Игра с полной информацией Конечная игра
5. Дерево игры	Равновесие
6. Самостоятельная работа по пройденному материалу	Проверка знания определений по теме «дерево игры» Решение задач, аналогичных данным
7. Матричные игры	Матричная игра Игра с нулевой суммой
8. Матричные игры	Нижняя цена матричной игры Верхняя цена матричной игры Осторожная стратегия Седловая точка Равновесие
9. Самостоятельная работа по пройденному материалу	Проверка знания определений по теме «матричные игры» Решение задач, аналогичных данным
10. Матричные игры	Решение в смешанных стратегиях
11. Матричные игры	Доминирование
12. Матричные игры	Решение в смешанных стратегиях
13. Самостоятельная работа по пройденному материалу	Проверка знания определений по теме «матричные игры» Решение задач, аналогичных данным
14. Биматричные игры	Равновесие в биматричных играх Решение в чистых стратегиях
15. Биматричные игры	Решение в смешанных стратегиях
16.Итоговая контрольная работа	Проверка знания определений за весь курс Решение задач по всем пройденным темам



Таблица 4

Методические рекомендации

Нужно учитывать, что часть материала может быть знакома учащимся на основе знаний, полученных в предыдущие годы обучения. В связи с этим рекомендуется использовать вопросно-ответную форму проведения курса. Но также стоит учитывать, что данный курс является межпредметным и, соответственно, у учеников могут возникнуть вопросы,касающиеся различных сфер деятельности человека, к чему стоит быть готовым. Есть возможность дополнить курс самостоятельной работой учеников по различным темам:

· подготовка докладов

· рефератов

· презентаций. Примеры тем:

· Известные деятели теории игр:

- Джон фон Нейман;

- Джон Нэш.

· Примеры применения теории игр в:

- экономике;

- войнах.

· Игры с бесконечным количеством шагов.

· Как выиграть в крестики нолики, используя дерево игр?

Следует проводить с учениками игры, которые используются на занятиях и дополнить обучение приложениями для изучения материала (например, «Метод Брауна» для телефона, которое может определить есть ли седловая точка у заданной матрицы). Таким образом, новые знания будут восприниматься учениками лучше.

Рекомендуемая литература для учителя

1. Мир математики: в 40 т. Т.8: Хорди Деулофеу. Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр. / Пер. с исп. -- М.: Де Агостини, 2014. -- 144 с.

2. Челноков А. Ю. Теория игр: учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / А. Ю. Челноков. -- М.: Издательство Юрайт, 2016. -- 223 с.

3. Горелик В. А. Исследование операций и методы оптимизации. Учебник / В. А. Горелик. -- М.: Академия, 2013. -- 272 с.

2.2 Экспериментальная проверка

Поскольку во время педагогической практики не было возможности осуществить опытную проверку, то она была выполнена после: в течение двух месяцев в начале второго семестра.

Экспериментальная проверка проводилась на студентах первого курса Российского государственного университета туризма и сервиса (РГУТиС). Набралась группа из одиннадцати человек. Это была доступная и наиболее подходящая по возрасту, психологическим особенностям и знаниям выборка. Результаты и итоги прописаны под конспектами проведенныхзанятий, а также общий вывод присутствует в конце главы 2. Ниже приведены примеры двух занятий из шести, оставшиеся вынесены в приложение.

Тема занятия: Игры.

Занятие №1: Теория игр.

Тип занятия: урок сообщения новых знаний, урок игра, урок дискуссия. Задачи:

Образовательные:

· дать представление о теории игр и что она изучает;

· познакомить учащихся с примерами из жизни, где применяются знания теории игр.

Воспитательные:

· воспитывать чувство уважения друг к другу;

· воспитывать дисциплинированность;

· учить слушать друг друга. Развивающие:

· развитие коммуникативных навыков;

· развитие умения обосновывать свою точку зрения. Оборудование к занятию:

· доска. План занятия:

№	Название	Время
1	Организационная часть	~4 мин.
2	Решение конфликтной ситуации	~14 мин.
3	Сообщение новых знаний	~4 мин.
4	Практическая работа	~19 мин.
5	Сообщение домашнего задания	~3 мин.
6	Завершение занятия	~1 мин.

Домашнее задание:

1. Двое ребят пишут на доске 30-значное число. Они используют только цифры от 1 до 5. Первый пишет первую цифру, второй -- вторую и так далее чередуясь. Какая стратегия должна быть у второго игрока, чтобы полученное число разделилось на 9?

2. Есть горка из 100 камней. Два игрока берут по очереди из нее от 1 до 5 камней. Последний берущий камень -- проигрывает. Как должен действовать первый игрок, чтобы выиграть?

Ход занятия

№		На доске/проекторе
1	Приветствие. Садитесь. Знакомимся, если требуется. Сегодня мы с вами посмотрим, что из себя представляет теория игр. Но для начала давайте посмотрим следующий пример.
2	Предположим, у меня есть 100 рублей. Вы можете у меня их купить. Кто предложит больше, тот забирает эти деньги, а мне платит названную сумму. И предыдущий в итоге платит. То есть если кто--то назвал 15 рублей, а до этого было названо 14 рублей, то 100 рублей достается тому, кто заплатил 15, а я получаю 29 рублей. Кто первый назовет свою ставку? Давайте начнем с одного рубля. Кто купит 100 рублей за рубль? (Называют до какого--то момента, желательно, чтобы называвшие вышли за 100.) Давайте теперь остановимся и посмотрим на ситуацию с точки зрения игры. Все сидящие здесь игроки, в том числе и я. То, как вы	Записываем на доске две последние ставки

	можете поступать в данной ситуации -- это ваша стратегия. Что значит выиграть в данном случае? — Получить 100 рублей. А если мы получим 100 рублей, то будет ли это выигрышем, если заплатить за нее придется (говорим наибольшую цифру на доске). — Потерять меньше, чем другие игроки. Это ближе к правде. Тогда какую стратегию (позже мы запишем этот термин) стоит избрать, чтобы выиграть? (Обсуждаем как лучше) Ответ: Заранее понять сколько готов потерять и не делать ставки выше этой суммы (это -- стратегия), а выигрышем будет либо потерять эту сумму и получить 100 рублей, либо просто потерять только эту сумму, либо остаться с ней, так как дважды назовут суммы, превосходящие вашу. А каков выигрыш ведущего в данном случае? -- Ему главное получить больше 100 рублей после того, как ему заплатят. Правильно. Эта задача -- самый первый урок, который преподает Макс Базерман первокурсникам. Только он продает 20 долларов. Последний рекорд -- это 204 доллара. Где в жизни нам может понадобиться такая стратегия? На самом деле, ее стоит избрать, если играешь в азартные игры или начинаешь свой бизнес.
	Конечно же я предпочту, чтобы вы занялись именно вторым, а не первым.
3	Давайте теперь запишем определения некоторых слов. И начнем, конечно же, с теории игр. Исходя из того, что мы с вами обсудили, что такое теория игр? Теория игр -- это метод изучения ситуаций принятия решений в играх. Что же тогда игра? Игра -- процесс, ведущийся несколькими сторонами за свои интересы. Кто такие игроки? Игроки -- участники игры. Что такое стратегия? Стратегия -- способ достижения цели, выигрыша, в игре.
4	Давайте с вами еще немного поиграем. Разбейтесь на пары, пожалуйста. (Разбиваем сами, если требуется. Раздаем счетные палочки. 15 палочек на пару.) Рассказываю правила игры. Игроки по очереди берут 1, 2 или 3 палочки. Выиграет тот, кто возьмет последнюю палочку. Какой из игроков выиграет, и какая у него должна быть стратегия? Ответ: выиграет первый, если первым ходом возьмет 3 палочки, а потом будет брать столько, чтобы на столе оставалось количество палочек, кратное четырем.
5	Сообщение домашнего задания
6	Завершение занятия

Результаты:

В состав группы входят ученики с различными математическими способностями. Однако заинтересованы и включены в деятельность были все. Судя по реакции учеников, можно сказать, что играть понравилось больше всего. Во время обсуждений порядок сохранялся почти всегда. Скорее всего, это связано с тем, что было интересно решение и то, как же выиграть в той или иной ситуации. Или не уйти в минус.

Этап знакомства и решения конфликтной ситуации затянулись в связи с чем осталось мало времени на разбор задачи--игры. Однако во время игры несколько учеников догадались, как нужно действовать, чтобы выиграть. И кто будет все время выигрывать при правильных действиях.

Итог:

· Следует начать следующее занятие стоит начать с задачи, которую не успели разобрать.

· Пример для начала первого занятия выбран слишком сложный. Следует подобрать проще, но, возможно, аналогичный, так как после большинство понимает, о чем в нем идет речь.

· Задачу с палочками поняли ученики с изначально хорошими математическими способностями. И именно они быстрее разобрались в первоначальном примере.

· Наибольшее внимание было достигнуто во время исторической справки.

· Наибольший шум был замечен после сообщения исторической справки. Началось обсуждение вопроса, заданного учителем коллективно и со спорами. Но ученики успокоились во время сообщения о пользе данной стратегии в жизни.

Тема занятия: Игры.

Занятие №2: Игры.

Тип урока: урок сообщения новых знаний, урок игра, урок дискуссия. Задачи занятия:

Образовательные:

· познакомить учащихся с основными играми. Воспитательные:

· воспитывать чувство уважения друг к другу;

· воспитывать дисциплинированность;

· учить слушать друг друга. Развивающие:

· развитие коммуникативных навыков;

· развитие способностей моделирования;

· развитие умения обосновывать свою точку зрения. Оборудование к занятию:

· доска;

· компьютер;

· проектор. План занятия:

№	Название	Время
1	Организационная часть	~2 мин.
2	Проверка домашнего задания	~8 мин.
3, 4	Практическая работа	~25 мин.
5	Сообщение домашнего задания	~8 мин.
6	Завершение занятия	~2 мин.

Домашнее задание: разгадать фокус.

Ход занятия

Ответ: Надо сложить первые числа в карточках, на которых присутствует загаданное число. Можно спрашивать

	соперника: «на этой карточке есть твое число»? И при ответе «да» суммировать первое, а при ответе «нет» -- пропускать карточку. Это связано с двузначной системой исчисления. Ответ «да» равносилен единице, ответ «нет» -- нулю. И тогда при зеркальном отображении ответов мы получаем загаданное число, записанное в двоичной системе. Например, если было задумано число 5, то ответы на карточки распределятся в таком порядке: да, нет, да, нет, нет. Что равносильно: 1, 0, 1, 0, 0. Перевернем: 0, 0, 1, 0, 1. 001012=1012=510. Тогда для чисел до 63 нам понадобится 6 карточек.
5	А можно ли отнести фокусы или трюки к	На проекторе
	конфликтам?	показываем начало
	-- В зависимости от ситуации.	видео:
	Я говорю о случаях, которые показывают в	BeautifulCardTrick--
	фильмах: найти шарик в одном стакане из трех	Numberphile.mp4
	и подобные. Когда вы ставите какую-то сумму
	на то, что отгадаете что-то и либо забираете
	выигрыш, либо проигрываете, что случается
	чаще всего. А почему? Потому что вы не
	поняли трюк или фокус и ваш ответ был не
	верен. Здесь тоже присутствует конфликт
	интересов: вы стремитесь забрать свою ставку
	и выигрыш, фокусник, трюкач стремится
	обыграть вас, обмануть и забрать ваши деньги.
	В связи с этим, я попрошу вас разгадать дома

	фокус. Посмотрите на экран, пожалуйста. Давайте вкратце запишем что именно происходит на данном видео. Позже я прикреплю эту часть видео в журнал. И повторите дома определения, которые мы с вами успели уже записать.	Всего 27 карт. Одна из них -- карта игрока. 10--я карта -- король.
6	Завершение занятия.

Результаты:

В связи с разбором задачи, оставленной на предыдущем занятии, и с долгим обсуждением домашних задач не было решено несколько, которые планировалось решить. Задача с камнями и карточками оставлена на дом. На следующее занятие лучше подобрать еще несколько задач на разбор, чтобы окончательно закрепить понятия: игроки, стратегия, игра. На следующем занятии лучше дать на дом задачу с картами и разбор фокуса будет считаться занятием № 4.

Итог:

· Вторую домашнюю задачу и оставленную с предыдущего занятия решило большинство в связи с аналогичными действиями.

· Первую домашнюю задачу решили ученики с хорошим и средним знанием по математике, что составляет около 18% от всей группы.

2.3 Результаты экспериментальной проверки

Было проведено 6 занятий. В результате занятий при решении задач ученики научились слушать чужую точку зрения и обсуждать ее, практически не прерывая друг друга; старались привязать разбираемые примеры и определения к действительности. Испытуемые проявили интерес к теории игр, что было выявлено во время бесед с ними, а для проверки полученных знаний использовался следующий тест.

Тест (обведите номер верного ответа)

1. Как называют участников игры?

a. Игроки

b. Соперники

c. Оппоненты

2. Что означает решить игру?

a. Найти стратегии игроков

b. Найти выигрыши игроков

c. Верны все варианты ответов

3. Какое слово пропущено: дерево игр - это выделенной вершиной - корнем.

a. Неориентированный

b. Ориентированный

c. Смешанный

4. Равновесие - это … граф с выделенной вершиной - корнем

a. … набор стратегий, при котором ни один участник не может увеличить свой выигрыш, изменением стратегии, если остальные участники выбранные стратегии не меняют

b. … набор стратегий, при котором ни один участник не может увеличить свой выигрыш, изменением стратегии, если остальные участники меняют выбранные стратегии

c. … набор стратегий, при котором один участник может увеличить свой выигрыш, изменением стратегии, если остальные участники выбранные стратегии не меняют

5. Выберите несколько вариантов ответа. Какой является игра, решаемая деревом игр:

a. Конечной

b. С полной информацией

c. Позиционной

Результаты тестирования представлены в таблице 5.

Таблица 5.

Номер задания	Ответили верно	Ответили неверно
1	100%	0%
2	82%	18%
3	100%	0%
4	64%	36%
5	73%	17%

Из результатов, представленных в таблице 5 и беседы можно заключить, что ученики:

· усвоили определения:

- теория игр;

- игроки;

- игра;

- стратегия;

- решить игру;

- позиционная игра;

- дерево игр;

- игра с полной информацией;

- конечная игра;

- равновесие;

· научились простейшим алгоритмам;

· заинтересовались предметом.

Возможно, задачи следовало подобрать проще, поскольку они часто не успевали решить их за выделенное время. Однако, это спорный вопрос, так как иногда данная ситуация была связана с недостаточным развитием наглядно-образного мышления и знаний по информатике.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе написания работы были выделены требования к построению курса по выбору, методические подходы к организации занятий курса, которые описаны в главе 1 и использовались в главе 2. На основе анализа математической, методической и научно-популярной литературы был выявлен возможный объем содержания курса по теории игр (задача решена в главе 1), разработано содержание курса по выбору «Элементы теории игр» и рекомендации по методике его проведения (глава2). Была выполнена опытная проверка разработанных материалов (продемонстрирована в главе 2, пункте 2.2. и в приложении).

Если говорить в общем об итогах первой главы, то можно сказать, что вот большие объемы одинаковые информации не равносильны маленькому объему уникальной информации. Можно продвигаться дальше в написании учебников, но для школьников. Тогда в вузы придут люди, с базой по теории игр и, возможно, некоторые из них продолжат изучать ее, начнется ее развитие и популяризация. В отношении курсов по выбору: не всегда соблюдаются требования к ним в школах.

Выводом по второй главе является то, что проводить экспериментальную проверку было проще, чем описывать курс. Скорее всего, это было связано с тем, что до этого мы ни разу не рассматривали на лекциях или практических занятиях в университете подобные планы. В интернете они разнятся, что создает дополнительные трудности для написания своего курса по выбору.

Несмотря на это, цель исследования достигнута, задачи выполнены, курс разработан.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айсмонтас Б. Б. Общая психология: Схемы. -- М.: Изд-во ВЛАДОС- ПРЕСС, 2003. -- 288 с.

2. Айсмонтас Б. Б. Педагогическая психология: схемы и тексты. / Б. Б. Айсмонтас. -- М.: Изд-во ВЛАДОС--ПРЕСС, 2006. -- 207 с.

3. Вентцель Е.С. Элементы теории игр. / Популярные лекции по математике, выпуск 32 -- М.: Государственное издание физико- математической литературы, 1961. -- 68 с.

4. Вертгейм Б., Игры с квадратичными функциями. / Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», 1981, №11. -- 6--10 с.

5. Гамезо М.В., Петрова Е.А., Орлова Л.М. Возрастная и педагогическая психология: Учеб.пособие для студентов всех специальностей педагогических вузов. -- М.: Педагогическое общество России, 2003. -- 512 с.

6. Горелик В. А. Исследование операций и методы оптимизации. Учебник / В. А. Горелик. -- М.: Академия, 2013. -- 272 с.

7. Горелик В.А., Фомина Т.П. Элементы теории игр: Учебное пособие / Липецкий государственный технический университет, Липецк, 1999. -- 128 с.

8. Гусева Т. И. Психология личности. / Гусева Т. И., 2008. -- М.: ЭКСМО. -- 43 с.

9. Данилов В.И. Лекции по теории игр. / КЛ/2002/001. -- М.:Российская экономическая школа, 2002. -- 140 с. (Рус.)

10. Диксит А., Нейлбафф Б. Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни. / Авинаш К. Диксит, Барри Дж. Нейлбафф. -- М.: МИФ, 2016. --494 с.

11. Естественно-математический профиль [Электронный ресурс]//troitskliceum.narod.ru URL: http://troitskliceum.narod.ru/4.htm

12. Захаров А. В. Теория игр в общественных науках [Текст]: учебник для вузов / А.В. Захаров; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». -- М.: Изд. Дом Высшей школы экономики, 2015. -- (Учебники Высшей школы экономики). -- 304 с.

13. Зимняя И.А.Педагогическая психология. Учебник. -- М.: Логос, 2004. -- 384 с.

14. Коджаспирова Г. М. Педагогика в схемах, таблицах и опорных конспектах. Высшее образование. [Электронный ресурс]// drive.google.com

URL: https://drive.google.com/file/d/0Bx0rqRYNdSRGOEtOOF93TU1rWG 8/view

15. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования [Электронный ресурс]// mccme.ru

URL: http://www.mccme.ru/edu/

16. Концепция развития математического образования в Российской Федерации [Электронный ресурс]// минобрнауки.рф URL:http://минобрнауки.рф/%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%83%D0% BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B/3650/%D1%84%D0%B0%D0% B9%D0%BB/2730/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B5%D0% BF%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2

%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F%20%D0%BC%D0%B0%D1%82% D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81

%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BE%D0%B1%D1%80

%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1

%8F%20%D0%B2%20%D0%A0%D0%A4.pdf

17. Крысько В. Г. Психология и педагогика в схемах и комментариях. -- СПб.: Питер, 2006. -- 320 с.

18. Кукушин B.C. Теория и методика обучения / B.C. Кукушин - Ростов н/Д.: Феникс, 2005. -- 474 с.

19. Курсы по выбору и элективные курсы [Электронный ресурс]//lms.eduportal44.ru URL: http://www.lms.eduportal44.ru

20. Лапчик М. П. и др. Методика преподавания информатики. Учеб.пособие для студ. пед. вузов. / М.П. Лапчик , И.Г. Семакин, Е. К. Хеннер; Под общей ред. М.П. Лапчика -- М..: Издательский центр «Академия», 2001. -- 624 с.

21. Луковцева А. К. Психология и педагогика. Курс лекций: учеб.пособие для студентов вузов / А. К. Луковцева, 2008. -- М.: КДУ. -- 37 с.

22. Мещеряков Б. Г., Зинченко В. П. Большой психологический словарь. / Под ред. Мещерякова Б.Г., Зинченко В.П.. -- М.: 2003. -- 672 с.

23. Мир математики: в 40т. Т.8: ХордиДеулофеу. Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр. / Пер. с исп. -- М.: Де Агостини, 2014. -- 144 с.

24. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн -- М.: Наука, 1970 -- 708 с.

25. Нестерова О. В. Педагогическая психология в схемах, таблицах и опорных конспектах: учеб.пособие для вузов /О. В. Нестерова. -- М.: Айрис--пресс, 2006. -- 112 с.

26. Никитина Н. Н., Кислинская Н. В. Введение в педагогическую деятельность: теория и практика. -- М.: Издательский центр «Академия», 2004. --216 с.

27. Панина Т.С. Современные способы активизации обучения: учеб. пособие для студ. высш. учеб.заведений / Т.С. Панина, Л.Н. Вавилова; под ред. Т. С. Паниной. -- 4--е изд., стер. -- М.: Издательский центр «Академия», 2008. -- 176 с.

28. Педагогический словарь: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / [В.И.Загвязинский, А.Ф.Закирова, Т.А. Строкова и др.]; под ред. В.И.Загвязинского, А.Ф.Закировой. -- М.: Издательский центр «Академия», 2008. -- 352 с.

29. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В.: Теория игр. Учебник / Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. -- СПб.: БХВ -- Петербург, 2016. -- 432 с.

30. Печерский С. Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. Учебное пособие. -- СПб.: Изд.--во Европ. Ун--та в С.-- Петербурге, 2001. -- 342 с.

31. Проект МЦНМО при участии школы №57 г.Москвы [Электронный ресурс]//problems.ru URL: http://www.problems.ru/

32. Профильное обучение [Электронный ресурс]// soido.ru URL: http://www.soido.ru/prof_obr.doc

33. Сапогова Е. Е. Психология развития человека. Учебное пособие. / Е. Е. Сапогова. -- М.: Айрис--пресс, 2005. -- 460 с.

34. Скакун В.А. Методика преподавания специальных и общетехнических предметов (в схемах и таблицах): учеб. пособие для нач. проф. Образования / В.А.Скакун. --М.: Издательский центр «Академия», 2005. -- 128 с.

...