Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Образовательные реформы, идущие в последнее время в Российской Федерации, определяют подходы к обновлению и развитию всей системы обучения. геометрия исследовательский педагогический

Основная идея модернизации отечественного образования заключается в том, что главным её результатом должны стать не отдельные знания, навыки и умение, а способность и готовность человека к эффективной и продуктивной деятельности в различных социально-значимых ситуациях.

Появляется задача не столько наращивания объема знаний, сколько приобретение разностороннего опыта. В результате этого происходит изменение методов и форм организации уроков акцентируется внимание на обучение через практику, создаются условия, где первостепенным является личность ученика, его способность к самовыражению и самостоятельности.

Приоритетным становится свободный доступ к информационным ресурсам, самообучение и исследовательская деятельность.

Меняются подходы к оценке: в процедуру оценивания включается рефлексия, наблюдение за деятельностью учащихся. Роль преподавателя изменяется от руководителя к помощнику.

Поэтому особое место в совокупности задач обучения как математики и других дисциплин занимает проблема формирования исследовательских умений учащихся и становится одной из важных задач современной школы.

Проблему изучения исследовательских умений школьников рассматривали такие учёные, как Л.П. Виноградова, А.В. Леонтович, А.Н. Поддьяков, А.И. Савенков. Анализ их литературы позволяет нам сделать вывод, что исследовательская деятельность учеников - это творческая деятельность, направленная на постижение окружающего мира, открытие детьми новых для них знаний и способов деятельности.

Она обеспечивает условия для развития их ценностного, интеллектуального и творческого потенциала, является средством их активизации, формирования интереса к изучаемому материалу, позволяет формировать предметные и общие умения.

На исследовательскую деятельность, как на эффективное средство активизации учебного познания при обучении математике, указывают В. И. Андреев, Л. В. Виноградова, В. А. Далингер, Д. Пойа, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, О.Л. Калинина, Н.М. Мочалова, А. Ю. Фадеев.

Психологические особенности исследовательской деятельности учащихся отражены в работах А.В. Брушлинского, Л.С. Выготского, В.А Крутецкого, Я.А. Пономарева, С.Л. Рубинштейна, Л.М. Фридмана.

Исследовательскую деятельность, как метод обучения, рассматривали педагоги Д. Брунер, Н. А. Меньшикова, М. В. Таранова, В. А. Гусев.

Не менее важным является диагностирование исследовательских умений школьника. Учитель, вовлекая ребенка в исследовательскую деятельность, должен быть нацелен на результат. А чтобы узнать результаты, педагогу необходимо не только знать методы диагностики, но и уметь ими пользоваться, знать плюсы и минусы каждого метода, использовать различные методы в совокупности.

Особенности современного школьного образования определили проблему работы: каковы средства формирования исследовательских умений учащихся в процессе изучения геометрии 7-9 классов.

Цель работы - изучение и обоснование средств формирования исследовательских умений учащихся 7-9 классов в процессе изучения геометрии.

Объект исследования - процесс обучения геометрии учащихся 7-9 классов.

Предмет исследования - формирование исследовательских умений учащихся 7-9 классов в процессе изучения геометрии.

С учётом цели исследования определены задачи исследования:

1. Изучить и проанализировать психолого-педагогичекую и учебно-методичекую литературу по проблеме формирования исследовательских умений.

2. Рассмотреть особенности исследовательских умений и их основные характеристики, изучить средства формирования исследовательских умений учащихся 7-9 классов в процессе изучения геометрии;

3. Разработать элективный курс «Исследовательские задачи по планиметрии», методическое пособие для учителя.

4. Экспериментально проверить уровни сформированности исследовательских умений учащихся 9 класса

Источниками работы явились труды психологов и педагогов, работы по методике обучения математике, педагогический опыт ведущих учителей математики.

В соответствии с поставленными задачами использовался комплекс методов исследования:

Теоретический метод исследования: анализ научной, психолого-педагогической литературы по проблеме исследования, изучение педагогического опыта, педагогическое моделирование.

Эмпирический метод исследования: педагогическое наблюдение, беседа, анкетирование, тестирование, экспертный опрос, констатирующий и формирующий эксперимент, методы математической обработки результатов исследования.

Экспериментальная база исследования: Эксперимент проводился в гимназии №75 г. Казани. Исследование проводилось в три этапа.

Первый этап: На данном этапе изучалась и анализировалась психолого-педагогическая литература по проблеме формирования исследовательских умений учащихся, обобщался практический опыт решения данной проблемы, определялись основные существующие в данной области проблемы.

Второй этап начался с подготовки и проведения констатирующего эксперимента, целью которого было определение реального состояния процесса формирования исследовательских умений учащихся 9 класса. На основе выявленных в процессе эксперимента проблем были определены дидактические средства формирования исследовательских умений.

В ходе формирующего эксперимента проведена экспериментальная проверка, получены конкретные результаты.

Третий этап: Проанализированы, систематизированы, обобщены, оформлены и обсуждены результаты проведенного эксперимента, сформулированы выводы.

Практическая значимость исследования: Разработанный автором в процессе исследования элективный курс «Исследовательские задачи по планиметрии », методическое пособие может быть использованы учителями и студентами педагогических вузов.

Структура работы. Выпускная квалификационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.



ГЛАВА 1. Теоретичекие основы исследовательской деятельности учащихся 7-9 классов

1.1 Различные подходы к определению понятия исследовательские умения

Исследовательский подход в обучении известен достаточно давно и активно использовался как русскими, так и зарубежными педагогами Я.А. Коменский уверял, что «путь к эффективному овладению знаний лежит через самостоятельное наблюдение и изучение. Ж.-Ж. Руссо, внедряя исследовательский подход в процесс обучения, полагал, что с помощью доступных к пониманию детей вопросов можно развить умственные способности. Только через собственное понимание ребёнок по- настоящему научится новому».[13]

Анализ научно-педагогической литературы показал, что учебно-исследовательская деятельность предполагает умения учащегося поставить перед собой цель и задачи, заранее проанализировав соответствующую литературу. Исследования учащихся в определённых областях знаний, в особенности математики, подразумевают активную деятельность, дающую толчок к приобретению навыков творчества.

Д. Пойа утверждает, что именно творческая деятельность является эффективным средством для развития исследовательских и познавательных умений.[16]

Такого же мнения придерживается В.А. Гусев, определяя в своих работах учебно-исследовательские умения как творчество, образующее новые знания.[8]

Учебная исследовательская работа выступает своеобразным «базисом» к выходу на ступень научной деятельности.

Изучение исследовательского умения рассматривается в структуре исследовательской деятельности и относится к общеучебным умениям.

Л.В. Виноградова утверждает, что для формирования исследовательских умений необходимо развивать навыки решения «трудных задач познавательного характера, проблемы связанные с практическим содержанием».[3]

Ю.М. Колягин и В.А. Оганесян находят выражение мыслительных умений в процессе решение «нестандартных задач». [12]

Сравнивая таблицу 1 методических и психолого-педагогических подходов к проблеме определения понятие «исследовательские умения» (Приложение 1) можно заметить, что взгляды авторов-методистов во многом схожи.

Рассмотрим 4 уровня исследовательских умений:

1) операционные (интеллектуальные) исследовательские умения;

2) организационные исследовательские;

3) исследовательские умения сотрудничества;

4) рефлексивные исследовательские умения.

Рассмотрим основные особенности каждого уровня.

Операционные (интеллектуальные) исследовательские умения - это умственные приёмы и операции, необходимые для осуществления исследовательской деятельности.

Выделяют следующие умения:

Общие операционные исследовательские умения

· умения выдвигать и доказывать гипотезы;

· умения устанавливать причинно-следственные связи;

· умения анализировать условия заданной ситуации;

· умения обобщать результаты, формулировать выводы и новые проблемы.

Операционные исследовательские умения, связанные с предметом «геометрия»

· умения проводить доказательные рассуждения при решении задач по геометрии, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;

· умения находить дополнительные элементы в задаче, связи между ними

· умения выявлять связи между фигурами, попадающими под данный элемент задачи;

· умения распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

· умения анализировать и решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический аппарат;

· умения использовать приобретенные знания в практической деятельности и повседневной жизни: для описания реальных ситуаций на языке геометрии, для расчетов, для решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин.

Организационные исследовательские умения включают в себя технику самоорганизации учащегося в научной деятельности, рассматривают такие общие умения:

· умение поставить цель;

· умение проводить самоанализ, самоконтроль;

· умение планировать свою работу;

· умение управлять своими действиями в процессе исследовательской деятельности.

Организационные исследовательские умения, связанные с предметом «геометрия»:

· умения пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;

· умения изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач и построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир);

· умения вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов).

Говоря об исследовательских умениях сотрудничества также подразумевают коммуникативные исследовательские умения, которые включают в себя умения:

· умение работать в группах (в коллективе);

· умение производить взаимопомощь, взаимоконтроль и обсуждения результатов, распределять обязанности;

· умение решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин используя при необходимости справочники и технические средства.

Под рефлексивными исследовательскими умениями понимают:

· умения рефлексивно осмысливать свои действия;

· умения оценивать свою деятельность;

· умения осуществлять самоконтроль в ходе работы;

· умения оценивать промежуточные результаты и корректировать свои действия.

1.2 Основные характеристики формирования исследовательских умений

Процесс формирования исследовательских умений по геометрии учащихся 7-9 классов очень важен и занимает особое место в процессе обучения.

Известные психологи Л.С. Выготский, Д. Б. Эльконин и В.В. Давыдов пришли к выводу, что ведущей деятельностью в подростковом возрасте, включая 7- 9 классы, является «межличностное общение» учащихся, «общественно значимая для ребёнка деятельность».[22]

В этом возрасте у школьников появляется стремление к общению с товарищами вне класса, к участию во всех происходящих в школе событиях, интерес к поиску, исследованию, к самореализации. [20]

Учебная деятельность способна сделать учебный процесс для школьника личностно значимым, в котором он сможет полностью раскрыть свой творческий потенциал, проявить свои исследовательские способности, фантазию, активность, самостоятельность. Именно в этих возрастных рамках у школьников формируются умения исследования.

Структура формирования исследовательских умений по классам

1) 7 класс;

Для того, чтобы рассмотреть практическую сторону вопроса о создании условий для формирования исследовательских умений в процессе изучения геометрии в 7-9 классов, проанализируем следующие структурные особенности: структуру формирования умений, необходимую для реализации исследовательской деятельности и этапы становления исследовательских умений.

Под структурой формирования общих и специальных умений подразумевают вовлечение школьников в мир исследовательской деятельности, которая содержит в себе урок, внеклассную работу (внеурочную деятельность) и дополнительное образование. Рассматривая этапы формирования исследовательских умений, следует также учитывать возрастные особенности детей.

2) 8 класс;

Отметим, что развитие исследовательских умений происходит в ходе систематической работы на уроках и во внеурочной формах работы: элективных курсах, кружковой работе, проектной деятельности и в процессе индивидуальных исследованиях школьников.

Этапы становления исследовательских умений:

Первый этап: Диагностический.

3) 9класс;



Главная задача этого этапа - сориентировать ученика на успех.

На данном этапе определяется тема и цели проекта, формируются рабочие группы, осуществляется обсуждение исследовательского проекта.

Со стороны учителя должен исходить мотивирующий настрой и общая установка на успешность проведения исследования.

Этот подготовительный этап помогает определить уровень сформированности общих учебных умений школьников, отслеживается развитие таких умений как: организационные, интеллектуальные, информационные и коммуникативные.

А также на этом этапе у учащихся формируются умение работать со справочной литературой, обрабатывать информацию, выделять главное, систематизировать материал; умение работать в группах, анализировать свою деятельность.

В качестве проверки вышеперечисленных умений можно использовать возможности урока: наблюдения, самостоятельные работы с нестандартными заданиями, также можно предложить ученикам небольшие исследовательские задания или задания с практическим содержанием.

По результатам анализа проделанной работы делается вывод: переходить на следующий этап или нет. Основываясь на полученных данных, следует планировать дальнейшую работу.

Второй этап: Практический

На этом этапе производится основная исследовательская работа ученика.

Учитель знакомит школьников с общими положениями, требованиями, рассматривает организационные вопросы, касающиеся оформления работы.

Информация может даваться в лекционной форме или консультации, также можно дать образцы примеров, которые соответствуют уровню данной работы.

Вторая часть этого этапа - упражнение и тренировка, создание небольших по объёму и содержанию исследовательских проектов. Это может быть дано в виде домашнего задания в нестандартной форме.

Например, сообщение по изученной теме с использованием дополнительной литературы в виде презентации, поиск информации по заданной теме в дополнительной литературе, обработка данной информации, и её представление в виде таблиц, диаграмм или кратких конспектов (тезисов).

На этом этапе очень важно учитывать уровни самостоятельности ученика в процессе выполнения проекта:

Первый уровень. Учащиеся выполняют проект в рамках внеклассной работы по предмету в сопровождении учителя на готовом математическом или историческом материале. Исследование может быть реализовано коллективно (в группах или в парах), не содержит глубоких исследований и математических доказательств или рассуждений. Как правило, носит исторический информационный характер.

Работа основана на использовании нескольких источников, иногда достаточно одного. Это могут быть темы о великих учёных-математиков, интереснее открытия и факты.

Примерные темы проектов в 7 классах:

1) «Великие Математики Древнего мира».

Цель: знакомство с великими математиками Древнего Мира.

2) «Число».

Учащиеся изучают популярную литературу и готовят сообщение по темам: «История счета», «Римская нумерация», «Магические числа», другие.

Проект представляет мини-исследования по социальным вопросам с использованием опросов, анкет, построением диаграмм при оформлении результатов.

Цель: знакомство с методами исследований, способами оформления результатов.

На этом уровне формируются умения работать в команде - коммуникативные умения, также проявляют себя организаторские умения - планирование своей работы, самоанализ и самоорганизация. Мини-проекты позволяют формировать такие умения, как операционные - анализ и синтез результатов.

Второй уровень. 8 -9 класс.

На этом уровне ученики изучают выбранную тему работы самостоятельно. Например, из учебника по математике А.Г.Мордковича можно рассмотреть тему «Измерение углов» или «Симметрия в архитектуре и живописи».

Тема проектной работы совпадает с тематикой учебной деятельности. Урок дает базу и опору коллективной проектной работе, которая в свою очередь, расширяет, углубляет знания урока.

Материал выходит за рамки учебника. Растет уровень самостоятельности учащихся в реализации всех этапов проекта. Конечный результат можно предоставить для урока обобщения и систематизации знаний по выбранной теме. Ученик готовит презентацию своего проекта, в этом случае формируются дополнительные умения - работа с информацией, умение выделить главное.

На этом уровне проводятся дополнительные работы с текстом, совершенствуются умения и навыки работы в редакторах формул, текстовых и графических редакторах таких как: Word, Excel, Paint, Coral Draw,Power Point, в программных продуктах Geogebra, Maple и другие, для построения геометрических чертежей, наглядного обоснования тезисов и составления презентаций.

Примерные темы работ 7-9х классов:

1. «Теорема Пифагора - источник великих открытий и математических идей. Разнообразие способов доказательства теоремы.»

Одна из задач проекта - создание комплекта наглядных пособий по теме.

2. «Метрическая система мер»

Задача проекта: рассмотреть и проанализировать основные данные о возникновении и совершенствовании мер длины, площади и объема

Третий уровень.10-11 класс.

Учащиеся выполняют исследовательскую работу на высоком уровне самостоятельности: ставят цели, планируют и обрабатывают информацию, согласовывая полученные результаты в группе, создают готовый продукт своего исследования и представляют его.

На этом этапе выделяются учащиеся, способные к самостоятельному выполнению индивидуальных исследовательских работ по геометрии или в другой области.

Ученики представляют свои работы на научно-практических конференциях, математических фестивалях или, например, на итоговом занятии элективного курса с использованием презентаций.

Примеры исследовательских работ в 10-11 классах:

1) «Неевклидова геометрия». Создание электронной презентации темы.

2) «Фракталы»- расширенное изучение темы подобие.

3) «Загадки пирамиды».

4) «Платоновы тела. Симметрия и гармония окружающего мира».

Третий этап: Заключительный.

Цель этапа - анализ деятельности, мониторинг результатов.

На этом этапе делается вывод о проделанной работе:

- обобщение, конкретизация полученных результатов

- возможность использования полученных данных в дальнейшем.

1.3 Организация исследовательской деятельности учащихся 7-9 классов при изучениии геометрии

«Важно не просто накормить голодного рыбой, главное -- научить его её ловить!» Эти слова наиболее ярко свидетельствуют о том, что основной задачей педагога является создание условий для эффективного усвоения школьного материала.

Становление у учащихся исследовательских умений осуществляется в процессе обучения геометрии.

Первоначальные навыки исследовательской деятельности могут быть получены учащимися на уроках геометрии в ходе решения задач и доказательств теорем.

Развитию исследовательских умений способствует выбор учителем методики обучения. Среди различных методов обучения, используемых в обучении математики, можно отметить проблемное обучение. В процессе реализации данного метода перед учениками систематически ставятся задачи, в процессе решения которых отрабатываются навыки исследовательской деятельности.

Говоря о целях обучения геометрии, мы подразумеваем не только статичное усвоение учебного материала учащимися, но и способах их получения, помощь в формировании преставления о способах работы с геометрическими объектами.

Осваивая основные приёмы работы с материалом по геометрии, ученики учатся быть самостоятельными, независимыми от учителя в плане поиска новых знаний.

В результате правильно-организованного учебного процесса школьники способны стать «учениками-исследователями».

Нельзя не согласиться, что самостоятельно осваивать неизведанные глубины мира математики гораздо интереснее, чем заставлять себя выучивать готовый теоретический материал. У каждого ученика есть шанс провести исследование в рамках своих учебных возможностей.

Поэтому в качестве главной черты исследования можно выделить фактор развития личности. Устанавливая цель, ученик приобретает функциональные навыки развития способности к исследовательскому типу мышления.

В связи с этим, выделим основные принципы развития исследовательских способностей:

Ш оптимальное сочетание индивидуальных и коллективных форм деятельности;

Ш уважение личности ученика в сочетании с разумной требовательностью;

Ш оптимизм и вера в исследовательские способности ученика в области геометрии.

Наряду с принципами развития исследовательских способностей можно также отметить основные функции исследования:

1) Познавательно-исследовательская функция. Целью является усвоение знаний способом поиска математических закономерностей;

2) Развивающая функция рассматривает следующие компоненты: умения выделять основное, планировать полный или частичный ход решения, осуществлять целенаправленные поисковые действия умственного и практического плана, развиваются умения самоорганизоваться. Также происходит развитие познавательного интереса;

3) Дидактическая функция способствует закреплению основных геометрических понятий; изученных понятий при помощи выполнения некоторых элементов исследования;

4) Воспитательная функция осуществляет воспитание положительного отношения к предмету.

Рассмотрим основные этапы учебного исследования:

1) Мотивация исследовательской деятельности

Мотивация - очень важный этап процесса обучения с творческой стороны. Целью мотивации, как этапа урока, является создание условий для возникновения у ученика вопроса или проблемы.

В качестве оного из способов воспроизведения мотивации может выступить специальная «мотивирующая» задача, которая способствует тонкому видению общей проблемы, наряду с условием задачи.

2) Формулирование проблемы

Формулирования проблемы - это самый «творческий» и детальный компонент мыслительного процесса. В теории формулировкой проблемы должен заняться ученик, но, как показывает практика, это не всегда легко даётся и, как правило, учеником допускаются ошибки. В этом случае необходим контроль со стороны учителя-наставника.

3) Сбор, систематизация и анализ фактического материала

Данный этап учебного исследования может осуществляться при изучении соответствующей учебной или специальной литературы или посредством проведения испытаний, измерения частей фигуры, каких-либо параметров и так далее.

Испытания должны быть чётко выстроены и логично обоснованы. Необходимо закрепить их направление с помочью чертежей и пояснений. Количество испытаний должно быть достаточным для получения необходимого фактического материала.

Анализ и систематизация полученных результатов оформляется в виде таблиц, диаграмм или графиков. Этот способ донесения информации позволяет визуально определить необходимые связи, свойства, соотношения, закономерности.

4) Выдвижение гипотез

Весьма полезным для учащихся является умение записывать гипотезы на математическом языке, что придает высказываниям точность и лаконичность.

5) Проверка гипотез

Проверка гипотез позволяет укрепить веру или усомниться в истинности предложений, а может внести изменения в их формулировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять посредством проведения еще одного испытания. При этом результат новой пробы сопоставляется с ранее полученным результатом. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, и вероятность ее истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий ее справедливости.

6) Доказательство или опровержение гипотез

На последнем этапе происходит доказательство истинности гипотез, получивших ранее подтверждение; ложность же их может быть определена с помощью контрпримеров. Поиск необходимых доказательств часто представляет большую трудность, поэтому учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки.

Для примера учебного исследования приведём известную всем задачу Л.Ф.Магницкого, которую можно использовать на уроке в 8 классе геометрии по теме «Теорема Пифагора».

Раскроем содержание каждого этапа:

1) Мотивация исследовательской деятельности

Мотивирующей (исходной) задачей может служить следующая задача:



Размещено на http://www.allbest.ru/

2) Формулирование проблемы

Анализируя математическую модель этой практической задачи, учащиеся формулируют проблему - нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.

3) Сбор, систематизация и анализ фактического материала

Чтобы решить эту проблему необходимо организовать практическую работу исследовательского характера, предложив учащимся задание по группам или, например, по рядам: построить прямоугольные треугольники с катетами 12 и 5; 6 и 8; 8 и 15 см и измерить гипотенузу.

Результаты заносятся в таблицу.

а	12	6	8
b	5	8	15
c	13	10	17

4) Выдвижение гипотез

Далее, учащимся предлагается выразить формулой зависимость между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольниках. Школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются всеми.

5) Проверка гипотез

После установления зависимости между сторонами прямоугольного треугольника эмпирический вывод требует теоретического обоснования, т.е. доказывается теорема Пифагора.

6) Доказательство или опровержение гипотез

В качестве домашнего задания по этой теме можно предложить исследовательскую работу со следующей мотивирующей задачей: «Кто же на самом деле открыл теорему Пифагора? Почему она долгое время называлась «теоремой невесты»? Существуют ли другие доказательства теорем?



ГЛАВА 2. Средства формирования исследовательских умений в процессе изучения геометрии учащихся 7-9 классов

2.1 Задачи по планиметрии как средства формирование исследовательских умений учащихся

Анализ психолого-педагогической и методической литературы позволил выделить эффективные средства, способствующие формированию исследовательских умений: использование занимательных и нестандартных задач, математические конкурсы, практическая работа, урок-практикум, конференция, лабораторная работа.

Становлению исследовательских умений учащихся, как говорят сами учителя, способствует включение учеников в поисковую и исследовательскую деятельность.

Современные методисты связывают исследовательскую деятельность учащихся с решением специальных задач исследовательского характера, рассмотрим использование задач.

Как считает С.Г. Губа, задачи на доказательство развивают интерес к поиску и исследованию математических закономерностей.[7]

Д.В. Клименченко подчёркивает, что развитию исследовательских умений способствует процесс решения задач, требующих анализа условия и чертежа. [11]

А.Я. Цукарь утверждает, что организация формирования исследовательских умений осуществляется в процессе дополнительной работы над задачей: сравнения, сопоставления, противопоставления задач, сходных в том или ином отношении, и составление задач взаимно обратных данной. [29]

В задачах такого типа ученикам следует выявить закономерность, выделить гипотезу, проанализировать, провести аналогию, сделать вывод.

Исследование предполагает наличие у школьников многих умений, основными из которых являются: постановка целей и задач своей работы, глубокий анализ условий задачи, выделение основных проблем и выдвижение гипотез, прогнозирование и анализ результатов.

Эти умения объединяются в большой класс исследовательских умений, таких как операционные, организационные, коммуникативные и рефлексивные.

Планиметрия имеет огромные возможности для формирования исследовательских умений учащихся.

Объединяя их идеи, отметим следующие развивающие функции таких задач:

1. Подведение школьников к самостоятельному открытию того или иного математического факта, возможность применения известного математического факта в новой ситуации.

2. Подведение школьников к самостоятельному открытию методов доказательства математических утверждений, приемов решения той или иной задачи.

3. Формирование у школьников способности к самостоятельным обобщениям, к проведению рассуждений индуктивного и дедуктивного характера, способности широко использовать догадку с последующей ее проверкой.

4. Давать ученикам возможность проведения самостоятельных поисковых исследований посредством изучения результатов решения, изменения условия задачи

5. Формировать у школьников качества научного мышления.

С учётом выделенных умений (операционных, организационных, рефлексивных, коммуникативных) рассмотрим характеристики исследовательских задач по геометрии в 7-9 классах, используемых для формирования указанных умений.

Исследовательские планиметрические задачи направлены на:

- выявление существенных свойств понятий и отношений между ними

- установление связи данного понятия с другими;

- ознакомление с фактами, отраженными в формулировках теорем и их доказательствах

- обобщение теоремы

- составление обратных теорем и проверку их истинности

- выделение частных случаев известных фактов в математике

- классификацию математических объектов и отношений между ними

-решение задач различными способами

- построение контрпримеров

- составление новых задач

Основными требованиями, положенными в основу разработки исследовательских планиметрических задач, являются:

1) постановка вопроса в задаче должна быть такой, чтобы ответ на него предполагал проведение исследования;

2) условие задачи должно предполагать рассмотрение различных геометрических конфигураций, использование различных методов и способов решения;

3) в условии задач должны отсутствовать прямые указания на использование известных теорем и формул;

4) задачи должны обеспечивать организацию полноценной учебно-исследовательской деятельности учащихся по планиметрии c учетом их типа восприятия учебной информации.

2.2 Особенности и классификация исследовательских задач по планиметрии

Рассмотрим особенности различных типов исследовательских задач по геометрии, направленных на формирование у учащихся исследовательских умений и в качестве примеров используем задачи из сборника Л. М. Лоповок «Тысяча проблемных задач по математике».[17]

1) Задачи, направленные на формирования операционных исследовательских умений:

- задачи на формулирование следствий, доказательств, нахождения закономерностей, на построения, на нахождения недостающих элементов, задачи на определение вида геометрической фигуры.

Пример 1. Какую фигуру образуют отрезки, последовательно соединяющие середины сторон трапеции?

Рассуждения: В данной задаче не указано, для какой трапеции следует рассматривать фигуру, поэтому учащимся приходится проводить исследование для каждого вида трапеции.

Рисунок 1

В результате исследования учащиеся получают, что фигура будет являться четырехугольником - параллелограммом (на рисунке 1 (а, г, е)), б

квадрат, в) ромб, д) прямоугольник).

Рассматривая, например, случай б) на рисунке 1, учащиеся находят следующие связи, выраженные отношением равенства и отношением параллельности:

1. АВ = СD, следовательно трапеция равнобедренная.

2. BN = NC, AP = PD.

3. MN || PK, NK || MP, следовательно, MNKP - параллелограмм.

4. ДMBN = ДNCK, следовательно, MN = NK.

5. ДAMP = ДPKD, следовательно, MP = PK.

Из установленных связей следует, что MNKP - ромб (MK ? NP).

В этом случае для дальнейшего исследования учащимся можно задать следующий вопрос: при каком условии ромб будет являться квадратом? (При MK = NP.)

2) Задачи, направленные на формирование рефлексивных исследовательских умений:

- задачи, ложность утверждений в которых очевидна и необходимо найти ошибку в доказательстве

- задачи, в которых учащийся самостоятельно устанавливает истинность как утверждения, так и его доказательства

Формулировки таких задач могут быть следующими:

а) задачи на обнаружение ошибок:

- найдите ошибку в решении задачи на вычисление;

- найдите ошибку в доказательстве задачи;

- найдите ошибку в построении;

- установить, верно ли утверждение;

б) задачи на оценку процесса и результата:

- рационально ли решена задача?

- верно ли решена задача?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример 2. Найдите ошибку в доказательстве теоремы о сумме углов треугольника: [10]

Рассуждения: Рассмотрим произвольный треугольник АВС. (Рисунок 2) Отрезком CD разобьем его на два треугольника ADC и DCB

Пусть x - неизвестная сумма внутренних углов треугольника. Тогда

1+2+6 = x, 3+4+5 = x.

Складываем левые и правые части этих равенств, получим:

1 + 2 + 6 + 3 + 4 + 5 = 2x.

Учитывая, что 1+2+3+4 = x, 5+6 = 180, получим, что x+180 = 2х, или x = 180. Что и требовалось доказать».

1. Как объяснить учащимся сущность ошибок, допущенных в следующих рассуждениях:

а) вертикальные углы равны; если углы не вертикальные, то они не равны.

б) если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов; в данном треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон; следовательно, данный треугольник прямоугольный.

в) всякий шестиугольник - многоугольник; данный многоугольник не является шестиугольником (например, пятиугольник); следовательно, этот пятиугольник не является многоугольником.

г) если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6; данное число не делится на 6; следовательно, данное число не делится на 2 и не делится на 3.

3) Задачи, направленные на формирование организационных исследовательских умений:

- задачи на планирование и выработку целей деятельности, на рациональное использование времени и средств деятельности.

Формулировка задач на планирование деятельности может быть следующей:

- как (найти, построить, доказать), если (условие);

- составить план решения задачи.

Пример 3. Сформулировать цель задачи: можно ли вычислить площадь прямоугольной трапеции с основаниями а и b, описанной около окружности, по формуле S = a?b.

Рассуждения: Целью задачи является доказательство (или опровержение) того, что площадь прямоугольной трапеции с основаниями а и b, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.

4) Задачи, направленные на формирование коммуникативных исследовательских умений:

Задачи, в формулировке которых может быть предложено:

- разбить задачу на подзадачи, решение подзадач распределить между собой

- решить задачу указанными (разными) способами и выбрать

наиболее рациональный;

- рассмотреть различные случаи взаимного расположения фигур

Пример 4. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Доказать задачу разными способами.

Рассуждения и решение:

В этой задаче рассмотрим 3 способа решения:

1 способ:

Проведем и (Рисунок 3); тогда - прямоугольник, в котором .

2способ: Проведем (Рисунок 4); тогда (по теореме Фалеса). В имеем: - высота и - медиана; значит - равнобедренный, откуда

3 способ: На гипотенузе , как на диаметре построим окружность (Рисунок 5). Тогда .

Классификаций исследовательских задач великое множество, часть которых подразделяется по характеру умений. Учитывая классификацию Л.М. Лоповок [19], объединим все эти задачи в 4 больших блока:

1. Задачи на моделирование

При этом задание обычно дается в общем виде: не уточняются заранее все модели. Учащимся предлагают самим найти конструкцию, определить размеры угловых и линейных элементов.

В качестве примеров рассмотрим задачи для 7 класса:

Пример 1. Из пяти палочек (длина палочек одинакова) без наложения составить 2 треугольника и четырехугольник.

Определите:

а) вид полученных фигур (ромб и равносторонние треугольники);

б) углы четырехугольника (60 и 90).

Пример 2. Из 9 палочек составить 4 треугольника, 3 ромба, 2 трапеции и параллелограмм, не являющийся ромбом.

Определите:

а) периметр параллелограмма, если длина палочки равна а. (Р =6а)



Рисунок 6 Рисунок 7

Также, для реализации решения такого вида задач, можно использовать программный продукт: «Geogebra».

В роли задач на моделирования могут выступать задачи с практическим содержанием, где в качестве исходного объекта будет рассматриваться математическая модель - конкретная фигура.

2. Задачи с неполными или избыточными данными условия

При решении любой геометрической задачи следует исходить, прежде всего, из анализа ее условия. Такой анализ должен предусматривать: выяснение того, имеется ли в условии задачи достаточное количество данных для ее решения; нет ли данных, которые не используются в решении.

В школьных учебниках практически отсутствуют такие задачи и, следовательно, не используются в обучении. Это ведет к тому, что у учащихся не сформировано умение нахождения избыточных и недостающих данных задачи.

При первом знакомстве учащихся с задачами такого типа необходимо показать, что очень полезно уметь решать такие задачи, так как в жизни могут встретиться такие ситуации, где окажется слишком много сведений, из которых нужно выбрать необходимые, или наоборот - пополнить их недостаток.

Пример 3. В пункте А находится один ученик. В пункте В находится другой ученик. Им нужно по прямолинейным маршрутам пройти в пункт М.

Для этого первому ученику нужно пройти расстояние10 км, а второму 6 км. Каким может быть расстояние от пункта А до пункта В?

Рассуждения и решение:

В результате решения могут получиться разные ответы, всё зависит от выбранного направления движения, т. е. недостающее данное - это направление движения (Рисунок 8).

Рисунок 8

Задачи с недостающими данными можно условно поделить на два вида:

- задачи с неполным составом условия;

- задачи с несформулированным требованием.

Учащиеся, проанализировав условие задачи с несформулированным требованием, должны дополнить ее требованием, а затем уже решить. Такие задачи позволяют формировать рефлексивные исследовательские умения.

В задачах с неполным составом условия отсутствуют некоторые данные. При работе над такими задачами необходимо обратить внимание на взаимосвязь характеристических свойств и признаков геометрических фигур.

3. Задачи на исследование

При решении задач на исследование устанавливаются и уточняются связи между величинами, выясняются свойства фигур или алгебраических выражений. Условие и сама задача становится выбором самого исследователя. Эти задачи являются новыми для ученика и не содержат четко сформулированных условий и целей. Процесс решения такой задачи - это многоступенчатая практическая и познавательная деятельность, направленная на преодоление большого числа заранее неизвестных препятствий между множественными, нечеткими целями и условиями. Рассмотрим задачи для 9 класса:

Пример 4. Вершины треугольника АВС лежат на окружности, причем точки А и С зафиксированы, а точка В движется по дуге АС от А к С (Рисунок 9). Как при этом меняется площадь треугольника АВС?

Рассуждения и решение:

В результате исследования получим следующие равенства: Пусть точка - середина дуги ;,,

- высоты соответственно треугольников АВС, C, С, .

Площадь уменьшается.

Ответ: Площадь треугольника АВС увеличивается, если точка В, соответствующая вершине треугольника, движется по дуге окружности , в направлении от точки А до середины дуги С и уменьшается, если точка В, соответствующая вершине треугольника, движется по дуге окружности С, в направлении от точки (середины дуги С) до точки С.

4. Задачи на построение (с нешаблонной формулировкой условия)

К этим задачам относятся задачи на построение фигур с недоступными элементами и задачи на восстановление чертежа по имеющимся данным.

Достоинство таких задач в том, что они требуют от учеников осознания характеристических свойств объектов и только на этой основе становится возможным восстановление требуемого элемента на чертеже.

При составлении таких задач учитель должен помнить о том, что восстановить объект по его части можно, если эта присутствующая часть существенным образом связана с искомым объектом. Решая подобные задачи, ученику необходимо найти необходимые связи отдельных элементов на чертеже, данных и искомых.

Результатом такой работы станет сознательное усвоение и обобщение свойств различных геометрических фигур.

Пример 5. (Задача для 9 класса). От разрушенной колоннады квадратной формы удалось обнаружить уцелевшие 4 колонны. Как экономичнее провести раскопки этой колоннады? [16]

Рассуждения и решение:

Для того чтобы провести раскопки наиболее экономично, необходимо восстановить границы разрушенной колоннады.

Тогда данная задача преобразуется в геометрическую задачу следующего содержания: восстановить квадрат по четырем точкам, лежащим на границе квадрата.

Можно заметить, что данная задача формирует также умение находить недостающие данные задачи, входящие в состав операционных исследовательских умений, так как в условии задачи содержится неопределенность относительно расположения четырех известных точек, поэтому исследование задачи сводится к рассмотрению следующих случаев:

1. Все 4 точки лежат на одной прямой (Рисунок 10);

2. Три точки лежат на одной стороне квадрата. Возможны два случая:

а) одна точка лежит на противоположной стороне квадрата (Рисунок 11);

б) одна точка лежит на смежной стороне квадрата (Рисунок 12).

3. Две точки лежат на одной стороне квадрата. Возможны следующие случаи:

а) две точки лежат на одной прямой, две на другой (Рисунок 13);

б) две точки лежат на одной прямой, а две лежат на других прямых, отличных от первой (две точки лежат на параллельных сторонах квадрата (Рисунок14) или на смежных сторонах квадрата (Рисунок 15);

4. Все точки лежат на разных сторонах квадрата (Рисунок 16).

Рисунок 10 Рисунок 11 Рисунок 12 Рисунок 13

Рисунок 14 Рисунок 15 Рисунок16

Использовать задачи исследовательского характера в школе очень важно, так как в процессе их решения изучаемая тема усваивается глубже, систематизируются знания по данной дисциплине, возникает познавательный интерес, вырабатываются исследовательские умения.

Такие задачи заставляют учащихся мыслить, приучают творчески подходить к решению задачи. Процесс решения задач исследовательского характера несёт в себе и подготовительную функцию к выпускным экзаменам в 9 классе.



2.3 Элективные курс « Исследовательские задачи по планиметрии»

2.3.1 Цели и задачи элективного курса

Элективный курс является значимым элементом в процессе становление исследовательских умений у учащихся. Материал курса будет способствовать выработке умений и закреплению навыков, формированию исследовательских умений учащихся, будет способствовать к познавательной и социальной активности. В рамках курса предусмотрено проведение научно-практической конференции учащихся.

Нами был разработан Элективный курс для учеников 9 класса на тему: «Исследовательские задачи по планиметрии».

Данный курс рассчитан на 10 часов для преподавания учащимся 9 класса, занятия проводится еженедельно, продолжительность занятия 1 час.

Цели курса:

Ш способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности;

Ш повысить качество подготовки учащегося к продолжению образования

Ш усилить практическую направленность школьного курса геометрии; повысить интерес, мотивацию и, как следствие эффективность изучения геометрии;

Ш создать условия для формирования и развития следующих исследовательских умений:

· интеллектуальных и практических умений в области геометрии, позволяющих решать задачи практического содержания

· умения более осознанно применять на практике геометрические законы и теоремы

· умения самостоятельно приобретать и применять знания

· умения работать с источником информации

· В процессе обучения учащиеся приобретают следующие конкретные умения, которые позволяют им быть успешными на следующей ступени образовательной ступени:

· выбирать правильный алгоритм решения геометрической задачи

· оценивать величины и находить их приближенные значения

· работать с таблицами и другими справочными материалами

· доказывать свою точку зрения

· делать выводы.

Задачи курса:

Ш расширить представление учащихся по таким темам как: задачи на построение, четырёхугольники, признаки подобия, различные средние для нескольких отрезков, вписанная и описанная окружность

Ш продолжить развитие исследовательских умений учащихся

Ш предоставить учащимся возможность применения полученных в курсе знаний на практике и возможность участия в научно-исследовательской деятельности

Данный курс предусматривает такие виды контроля знаний, как контрольные работы. Приобретение новых знаний базируется на исследовательских методах и систематизации знаний. Итогом элективного курса является проведение научно-практической конференции учащихся.

Формы занятий

К основным формам занятий относятся практическая деятельность по отработке изученного материала лекционным приемом. Теоретические занятия проводятся кабинете в виде лекций, бесед, и других форм с использованием наглядного материала.

Практические занятия проводятся в кабинете в виде групповых или индивидуальных выполнений определенных заданий.

Ожидаемые результаты

По окончании курса учащиеся должны приобрести следующие исследовательские умения, касающиеся геометрии:

· пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;

· распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

· изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач;

· вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); в том числе: для углов от 0 до 180 градусов

· определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них;

· находить стороны, углы и площади треугольников, длины ломаных, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;

· решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат

· проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования

· решать простейшие планиметрические задачи в пространстве

· использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

· описания реальных ситуаций на языке геометрии;

· расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы

· решения геометрических задач с использованием тригонометрии

· решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства)

· построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир)

· правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений;

· решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, длин, площадей.

Программа элективного курса по геометрии «Исследовательские задачи по планиметрии» для учащихся 9 класса

Пояснительная записка

Разработка программы данного курса обусловлена небольшим количеством задач исследовательского характера в школьном курсе геометрии 9 класса. Можно также отметить, что математические способности учащихся одного и того же класса часто различны и как следствие этого на уроке часто не хватает времени, чтобы более сильному учащемуся предложить интересные задания исследовательского характера, а более слабому - еще дать время и возможность осмыслить изучаемый материал. Хорошие возможности для организации более глубокой дифференциации предоставляет данный элективный курс.

Курс «Исследовательские задачи по планиметрии» поддерживает изучение основного курса геометрии, формирует такие исследовательские умения, как доказательства гипотез, постановка проблемы, анализ и синтез, умение работать в группах. Кроме того, курс позволяет развивать умения, касающиеся самого предмета геометрии:

- работа с чертежами (грамотное построение)

- перевод задач с естественного языка на математический

- осуществление доказательства, построение алгоритма решения задач по планиметрии

- умение решать задачи разными способами

Следует отметить, что разработанный элективный курс способствует лучшему изучению базового курса математики, прививает интерес к геометрии, раскрывает межпредметные связи с другими науками, систематизирует курс геометрии, что также является своеобразной подготовкой к «Общему государственному экзамену» и может служить «тренировочным этапом на выход к научно-исследовательской деятельности.

В рамках курса (на заключительном занятии) предусмотрено проведение научно-практической конференции учащихся.

Содержание программы (тематический план)

«Исследовательские задачи по планиметрии» (10 часов).

В ходе изучения данного курса учащиеся смогут обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по решению задач на построение, научатся применять базовые задачи при построении четырёхугольников, а так же решении планиметрических задач повышенного уровня сложности.

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

№ п	Тема	Кол-во часов	Форма проведения занятия	Форма контроля
	Тема 1. Треугольники (3 часа)
1	Прямоугольный треугольник. Пифагоровы тройки. Решение треугольников. Теорема синусов и косинусов.	1	Лекция-беседа	Практикум ПпРР
2	Площадь и периметр треугольника.	1	Лекция, практическое занятие
3	Подобные треугольники. Теорема Фалеса	1	Практикум Решения задач
	Тема 2. Четырехугольники (3 часа)			Практикум
4	Многоугольник. Выпуклый и невыпуклый многоугольник.	1	Лекция-беседа	Практикум
5	Вписанные и описанные четырехугольники.	1	Практикум решения задач	Практикум
6	Основные виды четырёхугольников. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. Теорема Птолемея.	1	Практикум решения задач	Практикум
	Тема 3. Окружность (2 часа)
7	Вписанные и описанные окружности. Теоремы о хордах и секущих к окружности.	1	Лекция-беседа	Практикум
8	Вспомогательные окружности. Ортогональные окружности.	1	Практикум решения задач	Практикум
	Подготовка и организация научной -конференции учащихся
9	Организация исследовательской деятельности учащихся	1
10	Итоговая конференция	2	Выступление учащихся с проектами

2.3.2 Теоретический материал элективного курса

Тема 1. Треугольники (Занятие 1- 3)

Ш обзор теоретического материала по теме;

...