Развитие геометрического мышления при обучении решению задач на построение в основной школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

РАЗВИТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ



Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы развития геометрического мышления школьников

Понятие, сущность геометрического мышления

Проблемные геометрические задачи в развитии творческого и геометрического мышления

Психологические особенности школьников при изучении геометрии и задач на построение

Глава 2. Развитие геометрического мышления при обучении решению задач на построение в 7-9 классах

Методики обучения решению задач на построение в 7-9 классах

Исследование развития геометрического мышления при обучении решению задач на построение в 7-9 классах

Заключение

Список литературы

геометрический мышление творческий психологический



Введение

Темой работы является: “Развитие геометрического мышления при обучении решению задач на построение в основной школе”. Она, к сожалению, не вызывает такой большой интерес на сегодняшний день, как того заслуживает, хотя в курсе геометрии рассматриваются простейшие задачи на построение. И тем не менее, в программе по математике для основной школы, сформированной в соответствии с главными направлениями реформы образования, отмечается, что совершенствование логического и геометрического мышления является одной из самых актуальных целей курса геометрии.

Формированием методов решения задач на построение математики занимаются с древних времен. На протяжении многих не то, что лет, веков мыслители проявляли повышенный интерес именно к задачам на построение, связано это с их прикладной значимостью. Так, к примеру, в основе проектирования зданий, мостов, тоннелей, а также конструирование техники лежат геометрические построения.

Благодаря постановке и методам решения, задачи на построение играют неоценимую роль в развитии школьников: именно они формируют накопление различных геометрических представлений, стимулируют развитие представлений самих геометрических фигур и способность оперировать как свойствами, так и их элементами. Задачи на построение развивают геометрическую интуицию, логическое и творческое мышление.

Важной частью решения задач является алгоритмизированная деятельность школьников, которую организует учитель, требуя от них оптимальной последовательности простейших построений. Кроме того, задачи на построение осуществляют приобщение к самостоятельным исследованиям, а это очень важно при развитии умений и навыков. Решение задач на построение формирует качества личности, такие как целеустремленность, внимание, инициативу, настойчивость, дисциплинированность, изобретательность и другие. Большинство задач на построение не являются простыми. При этом не существует общего алгоритма для решения абсолютно всех задач. Каждая задача по-своему уникальна, соответственно, требует индивидуального подхода для решения. Каждый набор задач дает богатый материал для индивидуального творческого поиска школьниками путей их решения при помощи своего подсознания и интуиции.

В настоящее время существует большое количество исследований в области обучения решению задач на построение в основной школе, однако существует мало работ, посвященных развитию геометрического мышления при обучении решению задач на построение.

В возрасте 13-15 лет школьники проявляют повышенное внимание способам достижения результатов, соответственно, учитель имеет возможность заинтересовать их при помощи нестандартного подхода, а также наиболее популярных методик обучения.

Стоит отметить, что геометрическое мышление, которое развивается на уроках геометрии, находит некоторые параллели в иных предметных областях знаний (химия, физика, география), соответственно, может послужить успешной аналогией при получении необходимых выводов, результатов, принципов.

В геометрии центральная роль отводится применению визуальной интуиции, она основывается на пространственных представлениях. Довольно очевидно, что оптимальное геометрическое рассуждение всегда связано с оперированием целыми классами пространственных объектов. Образное мышление определяется высокой степенью абстракции, геометрическое же мышление представляет собой общность мышления и оперирования пространственными образами, направлено на установление специфических отношений между этими образами. При развитии геометрического мышления происходит переоценка логического мышления школьников и совершенствование мыслительной деятельности.

Сегодня нет общего и точного определения понятия геометрического мышления. Вопрос совершенствования геометрического мышления школьника находится в центре внимания многочисленных работ по методике преподавания геометрии, как в России, так и в других странах.

Современная система геометрического образования не в состоянии охватить совокупное многообразие качественных и количественных изменений в области геометрического восприятия детей. Современному учителю приходится формировать технологию освоения новых пространственных отношений, чтобы компенсировать недостаток присутствующей системы.

Гипотеза исследования. При помощи современных методик обучения решению задач на построение в основной школе возможно развить геометрическое мышление школьников.

Объект исследования - геометрическое мышление.

Предмет исследования - развитие геометрического мышления при обучении решению задач на построение в основной школе.

Целью работы является раскрытие и обоснование таких понятий как: проблемные геометрические задачи в развитии геометрического мышления, методики развития геометрического мышления при обучении решению задач на построение в 7-9 классах, исследование развития геометрического мышления при обучении решению этих задач.

В связи с поставленной целью необходимо разрешение следующих задач:

- восстановить роль проблемных геометрических задач в развитии геометрического мышления;

- проанализировать методики развития геометрического мышления при обучении решению задач на построение в 7-9 классах;

- исследовать развитие геометрического мышления школьников на занятиях, проведенных на основе разработанной методики.

В первой главе рассмотрены основы геометрического мышления, отмечена роль проблемных геометрических задач в развитии геометрического и творческого мышления, исследованы психологические особенности школьников в процессе обучения задачам на построение.

Во второй главе представлены и рассмотрены самые распространенные и эффективные методики развития геометрического мышления при обучении решению задач на построение, проанализирован процесс обучения группы школьников, отмечены их основные результаты.

Методами исследования в данной работе являются:

- анализ литературных источников;

- исследование статистических и аналитических данных;

- анализ методик обучения;

- подведение итогов исследования.

Теоретической основой в работе являются труды заслуженных авторов, среди которых: Артыкбаева З. А. Архипова Т. Е., Белякова Т. Н., Берникова И. К., Бутяев М. А., Гламаздина Я. В., Горбачев В. И., Ермак Е. А., Ибрагимова Н. И., Исаева М. А., Кайгородцева И. В., Кашлач И. Ф., Короткова О. П., Круглова И. А., Маканкина О. В., Маматов М. Ш., Пономарева Е. И., Ященко Л. А., Шебанова Л. П., Фомина М. Н., Смирнова В. В., и других.

Работа состоит из введения, основной части, заключения, списка литературы.



Глава 1. Теоретические основы развития геометрического мышления школьников

Понятие, сущность геометрического мышления

На сегодняшний день в программе математики исследуются модели реального мира, где находят отражение особенности геометрии как своеобразной отрасли знаний, использующей оригинальные способы достижения истины[3, стр.28-32].

Истина - характеристика знания со стороны его соотношения как с материальным миром, так и с областью идеального. Из курса математической логики, к примеру, известны следующие тавтологии (тождественно истинные формулы):

1) закон исключенного третьего;

2) закон доказательства разбором случаев;

3) закон доказательства от противного;

4) закон приведения к нелепости;

5) закон снятия двойного отрицания.

Мышление - это процесс функционирования сознания, определяющий познавательную деятельность человека и его способность выявлять и связывать образы, представления, понятия, определить возможности их изменения и применения. Оно является высшей формой отражения действительности.

Сама по себе геометрия отражается разделом математики, носителем собственного метода познания мира, в нем рассматриваются определенные формы и взаимное расположение предметов, совершенствуются пространственные представления, а также геометрическое мышление учащихся, приемы конструктивной деятельности. Сегодня геометрия обладает огромным потенциалом применения в задачах геометрического и логического мышления.

Геометрическое мышление следует понимать как разновидность образного, чувственного мышления, важной составляющей которого является наглядно-образная часть, базируемая на оперировании образами геометрических фигур.

Образное мышление - мышление, оперирующее не понятиями, а образами.

Чувственное мышление - мышление, не нуждающееся в обязательном языковом выражении, осуществляемое в форме представлений.

Поэтому, геометрическое мышление - психический процесс моделирования закономерностей геометрии по средствам формализации, абстрагирования и оперирования свойствами геометрических фигур. Отметим его составляющие:

- глубина (умение видеть причинно-следственные связи, сущность объекта);

- гибкость (умение быстро подстраиваться и находить рациональное решение);

- целенаправленность (направленность на достижение результата).

Можно сказать, что в последние годы математики проявляют большой интерес к проблеме совершенствования геометрического мышления, ставятся вопросы об изменении общего школьного курса геометрии, внедрении в него курса наглядной геометрии.

Сама по себе геометрия отражается разделом математики, носителем собственного метода познания мира, в нем рассматриваются определенные формы и взаимное расположение предметов, совершенствуются пространственные представления, а также геометрическое мышление учащихся, приемы конструктивной деятельности. Сегодня геометрия обладает огромным потенциалом применения в задачах геометрического и логического мышления.

Можно сказать, что в последние годы математики проявляют большой интерес к проблеме совершенствования геометрического мышления, ставятся вопросы о кардинальном пересмотре общего школьного курса геометрии, внедрении курса наглядной геометрии.

Геометрия не может обходиться без наглядности. Создание отвлеченного геометрического мышления требует предварительного пополнения знаниями и формирования конкретных представлений. Умелое и удачное применение задач на построение побуждает школьников к познавательной самостоятельности, повышает их интерес к геометрии, что является самым важным условием успеха[9, стр.25-28]. Также, в тесной связи с наглядностью обучения находится практичность материала. В основном, конкретный материал для создания наглядных геометрических представлений берется из жизни. Решение задач на построение обеспечивает совершенствование творческих и геометрических способностей ребенка, повышает геометрическую интуицию, развивает его способности и личность школьника. Задачи предполагают совокупное развитие внимания, гибкости мышления, наблюдательности.

Геометрия насчитывает тысячелетнюю историю, но проблема характеристики законов геометрического мышления определяется связанной с очень специфической проблемой, с течением времени изменяется сфера математического восприятия, а также сама математика и представление о геометрическом мышлении. Однако приведенное нами определение является наиболее исчерпывающим.

Полноценное геометрическое рассуждение неразрывно связано с оперированием пространственными объектами, целыми классами данных объектов, которые сформированы по принципу “одинаковости”. Геометрическое мышление реализуется при помощи пространственного мышления в виде тех или иных операций абстрагирования. Обучение школьников пространственному и геометрическому мышлению формируется из двух составляющих:

- создание у школьников на базе их пространственных восприятий непосредственно пространственного мышления, которое отражает окружающую их реальность;

- формирование на основе пространственного мышления, своеобразного геометрического мышления, которое ассоциируется с установленной системой понятий[15, стр.60].

В методике обучения решению задач на построение отражена глубина присутствующих математических и геометрических представлений. В зависимости от общей сложности реализуемых преобразований можно выделить несколько типов оперирования пространственными образами при помощи геометрического мышления:

- совершенствуется структура некоторого образа с помощью применения определенной трансформации;

- базовый образ совершенствуется неоднократно и длительно, что приводит к преобразованию структуры и пространственного положения.

В основе развития геометрического мышления присутствует подход, который помогает реализовать деятельность школьников в процессе решения задач на построение, учесть при этом индивидуальность каждого ученика. Формирование дополнительного материала по наглядной геометрии требует глубокого осмысления присутствующего материала, создания серий взаимосвязанных конструктивных задач.

Эти цели необходимо ставить при отборе дополнительного материала для построения, в целом, задачи на построение реализуют развитие у школьников следующих умений:

- реализовывать анализ геометрической фигуры, применяя приобретенные ранее знания;

- обобщать и сопоставлять, систематизировать свойства геометрических фигур;

- формировать простейшие геометрические фигуры при построении;

- выделять важные признаки построенной фигуры, разбивать геометрические фигуры на классы;

- читать геометрические чертежи.

Геометрические построения отражаются существенным элементом изучения геометрии и формирования геометрического мышления. В настоящее время в школьном курсе геометрии просматривается тенденция уменьшения количества часов на исследование и решение задач на построение. Она обуславливается тем, что сегодня снижена роль задач на построение, которая не соответствует современным целям обучения[17, стр.31-35]. Большое внимание уделяется практическому значению задач, но редко рассматривается вопрос совершенствования геометрического мышления школьников, а также возможности применять задачи на построение при изучении предмета. Соответственно, можно отметить, что знания учащихся по этой теме часто носят довольно формальный характер.

В целом, при изучении задач на построение, основным требованием учителя отражается знание соответствующих алгоритмов формирования построений. В данном случае практически не уделяется внимание тому, чтобы объяснить, как получен этот алгоритм. По нашему мнению, школьники вынуждены запоминать материал для решения задач на построение без общего его понимания. Сегодня в школе недостаточное количество внимания уделяется рассмотрению главных методов решения задач на построение:

- метод геометрического места точек;

- алгебраический метод;

- метод преобразований.

В этом случае, у школьников отсутствует представление об этапах решения данных задач, об анализе, построении, исследовании и доказательстве, которые соответствуют этапам логического и геометрического мышления. Сегодня практически не уделяется внимание исследованию при построении, именно оно представляет собой отличное средство совершенствования геометрического мышления[40, стр.97-101].

Стоит отметить, что в учебниках по геометрии для 7-9 класса задачи на построение отражаются как самостоятельные, задаются в конце 7-го класса. Реализуются следующие элементарные построения:

- построение угла;

- деление отрезка пополам;

- формирование перпендикуляра к прямой из заданной точки, которая не лежит на прямой;

- построение биссектрисы угла.

Основным методом решения подобных задач на построение определяется метод геометрического места точек. В учебниках приводится схема решения, но не содержит их исследования, что негативно влияет на развитие геометрического мышления.

Затем в 8-9 классе присутствуют задания на построение фигур по определенным элементам. Четырехугольники и произвольные треугольники строятся по углам и сторонам. В свою очередь, четырехугольники специфических видов строятся по диагоналям и сторонам. Исследуются приемы вписывания и описывания окружностей в четырехугольники и треугольники, анализируются этапы действий.

В связи с тем, что задания на построение формируют базу для работы, которая развивает навыки построения фигур, помогают формированию у школьников умения понимать и читать чертеж, устанавливают необходимые связи между его частями, то отсутствие данной системы обуславливает недостаточное развитие геометрического мышления школьника, определяет низкий уровень его графической культуры. Такие недостатки не позволяют школьнику успешно изучать те разделы предмета, где самостоятельно реализованная графическая интерпретация помогает пониманию и усвоению материала.

При этом у школьников сильно повышается значимость присутствующих причинных связей в мышлении, можно сказать, что преобладает интерес к причинам явлений. Далее соотношение изменяется, мышление школьника начинает направляться на раскрытие всех существующих следствий[38, стр.417-422]. При установлении общих причинно-следственных зависимостей в частных задачах, школьник может начать понимать общие закономерности. Совершенно новый уровень геометрической мысли формируется также во взаимоотношениях речи и геометрического мышления, а также представления и наглядно-образного содержания восприятия.

Развитие геометрического мышления школьника реализуется поэтапно. Оно представляет собой определенные ступени развития. В этом случае, высшие ступени, совершенствуясь, не вытесняют более низкие, а наоборот, развивают их.

Решение задач на построение, в целом, совершенствует геометрическое мышление учащихся. Практически нет иных задач, которые бы так помогали в развитии исследуемого мышления, ведь только задачи на построение связаны с представлением и образами. Присутствие анализа и реализации построения с последующим доказательством и исследованием помогает выработке у школьников навыков логики и геометрического мышления. При решении задач на построение ученики имеют дело не с определенной фигурой, а с элементами, из которых должны сформировать некоторую фигуру, которая подвергается характерным изменениям в процессе решения.

Роль задач на построение сложно переоценить в математическом развитии школьников. По своей постановке и определенным методам решения, они отражаются наилучшим способом стимулирования накопления некоторых геометрических представлений, а также совершенствуют способность представлять ту или иную фигуру, повышают умение мысленно оперировать элементами фигуры. Кроме того, задачи на построение помогают пониманию школьниками происхождения отдельных фигур и возможностей их преобразования, ведь эта тенденция является очень важной предпосылкой совершенствования геометрического мышления учеников. Эти задачи развивают геометрическую интуицию.

Процесс создания геометрического мышления обязательно должен быть непрерывным, целенаправленным, связанным с процессом обучения математике на соответствующих ступенях обучения.

Найти решение задачи на построение - значит реализовать её сведение к конечному числу основных построений, указать конечную последовательность элементарных построений, после реализации которых, базовая фигура считается построенной в силу всех принятых конструктивных решений.

Сегодня в программе по математике основной школы, сформированной в соответствии с главными направлениями реформы профессиональной и общеобразовательной школы, отражается, что совершенствование геометрического мышления школьников является важной составляющей курса геометрии. Развитие геометрического мышления школьников реализуется, в основном в процессе решения задач.

Главной проблемой методики обучения является изучение и постижение этапов решения задач на построение. При анализе геометрических построений, школьникам приходится преодолевать различные трудности геометрического и логического порядка. Можно сказать, что в условиях школы для ликвидации этих трудностей необходимо сопровождать конструкции фактическими построениями с помощью конкретных инструментов, некоторых изображений, реализуемых от руки.

Основной процесс решения задач на построение сопровождается исполнением определенных чертежей:

- чертеж-набросок;

- чертеж-задание;

- чертеж для исследования[31, стр.300-301].

При этом решение задач на построение совершенствует геометрическое мышление, укрепляет его правильность. Именно на таких задачах, возможно, проследить совершенствование практически всех качеств этого мышления.

Трудности, которые связаны с реализацией исследования задачи, стоит разрешать при помощи анализа разных вариантов решения, умения охватить и решить проблему. Учитель всегда должен давать школьникам посильные для них задачи, но не исключать возможности повышения сложности. Стоит заметить, что сегодня присутствует множество учебных пособий, дополнительных материалов, в которых представлены многочисленные варианты задач на построение, при помощи которых, школьники могут расширять свой геометрический кругозор, открывать для себя новые варианты решений.

Очень важно вовремя развивать мышление у школьников, чтобы в процессе обучения у них складывалось сочетание геометрического и логического мышлений, необходимого для применения в других сферах деятельности, жизненных ситуациях, а также в возможной дальнейшей профессиональной деятельности. По нашему мнению, при помощи задач на построение у детей складывается оптимальное видение объектов и преобразований, что необходимо для более углубленного изучения геометрии, понимания её закономерностей.

Проблемные геометрические задачи в развитии творческого и геометрического мышления

На сегодняшний день довольно хорошо известно, что для оптимальной научной деятельности требуется не только понимание и знание, но и самостоятельное аналитическое и творческое мышление.

Для школьников, у которых практически не развито геометрическое мышление, задачи на построение, как правило, представляют собой реальную проблемную ситуацию. Сама по себе проблемная ситуация состоит в психическом состоянии интеллектуального затруднения школьника, вызванного сильным желанием решить задачу, а также в невозможности сделать это с помощью присутствующего запаса знаний.

Проблемную задачу можно представить, как проблему, решаемую при определенных условиях. Ее отличие от самой проблемы состоит в том, что для первой заранее ограничено поле поиска решения. Любая проблемная задача содержит проблемную ситуацию, но не всякая проблемная ситуация и не всякая проблема являются задачами.

Исследование проблемных задач на построение отражается очень важным этапом в самостоятельной познавательной геометрической деятельности школьников. Здесь отражается, что дано и что неизвестно, находится взаимосвязь между вопросом задачи и условием, устанавливается характер задачи. Данные условия помогают сформулировать проблему задачи, соответственно, представить её в форме цепочки проблемных действий или одной системы решений. Проблемная задача на построение отличается от проблемы некоторой определенностью, а также ограниченностью того, что дано в условии и что необходимо определить.

Оптимальная трансформация и формулировка проблемы в систему конкретных и четких вопросов - довольно весомый вклад в решение задачи. Затем необходимо последовательно действовать над каждым шагом построения.

На данном этапе формируются предложения и догадки о том, как может решаться проблемная задача. Как правило, из общего количества предположений и догадок выдвигается несколько гипотез, соответственно, они являются достаточно обоснованными геометрическими идеями.

В целом, проверка правильности решения проблемной задачи отражается сопоставлением цели, условий задачи, непосредственно полученного результата. Огромное значение имеет исследование всего пути проблемного поиска. Именно здесь школьники должны подключать свое геометрическое мышление. Очень важно реализовать анализ ошибок и уяснить суть неверных гипотез и предположений. Именно это помогает проверить правильность решения некоторой проблемы, а также получить ценный опыт и знания, развивать геометрическое мышление.

Главной характерной чертой задач на построение является то, что они не всегда имеют определенный завершенный ответ, так как школьник может не раз углубиться в изучение некоторого вопроса. При этом самостоятельное решение подобного рода задач помогает школьникам тренировать геометрическое мышление, формировать любовь к научным проблемам.

Ранее все учителя математики могли искренне похвастаться присутствующим разнообразием наглядного материала в кабинетах. Затем переход от плоскости к пространству реализовывался через принцип наглядности, все скрещивающиеся прямые можно было не только увидеть, но и осязать.

Современные школьники при ознакомлении с чертежом не могут понять, почему прямые SB и DC не пересекаются, в данном случае на рисунке присутствует точка пересечения и она отчетливо видна. Очевидно, что данная ошибка типична для сегодняшних учащихся (рисунок 1 - первый чертеж).

Рис. 1 Пересечение прямых в пространстве

Также на рисунке 1 (2 и 3 чертеж) иллюстрирован метод следов при реальном построении сечения KML. Можно сказать, что пересекаться прямые могут только тогда, когда лежат в одной плоскости, но этот факт пасует перед плоским изображением трехмерного геометрического объекта.

Формирование у каждого ученика геометрического мышления происходит по-разному, у кого-то раньше, у кого-то позднее. При этом каждый должен иметь прямую возможность проанализировать реальную модель до тех пор, пока в должной мере не произойдет переход на абстрактный уровень.

Геометрическое мышление создает у школьников представление об объекте на базе чувственных, а также осязаемых восприятий. Присутствуют и проблемные задачи на построение некоторых геометрических объектов без чертежей. Среди данных геометрических объектов можно назвать:

- угол;

- прямая;

- многоугольник;

- другие.

Очень большое значение занимают проблемные геометрические задания на построение, где необходимо построить пирамиду (рис. 2). К и М являются серединами сторон СD и AD, соответственно. При этом искомая пирамида имеет основание MKD.

Рис. 2 Задача на построение пирамиды

При решении задач на построение всегда необходимо строгое математическое обоснование, как получен итоговый результат. В представленном случае необходимо доказать, что полученная фигура и правда является пирамидой.

Построение пирамиды реализуется следующим образом: AB=BC- они соединяются, затем АМ присоединяется к MD (они являются равными отрезками), СК соединяется с KD. В данном случае, не сложно доказать, что в результате данного складывания получится прямоугольная пирамида.

Основная сложность в задачи на построение правильного треугольника состоит в необходимости получить угол в 60 градусов, а также разделить прямой угол на 3 равные части. При этом наш способ не единственный при формировании правильного треугольника. В целом, решение задачи опирается на определение правильного треугольника, ведь у него присутствуют равные стороны, свойство высоты треугольника, которая проведена к основанию и является медианой.

Можно сказать, что развитие геометрического мышления начинается с детства, продолжается в школе. Создание представлений человека о пространстве продолжается и в будущем, а иногда и всю жизнь. Геометрическое мышление связано с пространственными формами и чертежами. Очень часто школьники владеют этими геометрическими формами не достаточно хорошо. При этом учитель должен реализовывать действенные меры по исправлению подобных ситуации.

Решение проблемных задач на построение отражается описанием последовательности шагов с применением главных построений, приводящей к формированию искомой фигуры. Для того чтобы найти данную последовательность необходимо составить план решения проблемной задачи. Если школьник предполагает, что задача решена, реализует выполнение примерного чертежа искомой фигуры, затем отмечает углы и отрезки, которые известны из условия задачи, старается определить к нахождению какой точки (угла или прямой) сводится решение этой задачи. Далее необходимо найти зависимость между искомыми величинами и данными, что помогает сформировать искомую точку.

На наш взгляд, составление плана отражается важной частью решения проблемной задачи, здесь школьник может проявить смекалку, а также использовать своё геометрическое мышление, сформировать некоторый пространственный образ.

Сформировав план, выполнив анализ, школьник описывает само построение. Оно может содержать только главные построения и элементарные действия с линейкой и циркулем. Затем требуется привести реальное доказательство того, что сформированная фигура удовлетворяет всем представленным условиям задачи, потом реализовать исследование, выяснить, всегда ли возможно построение описанного объекта.

Основной метод геометрических преобразований при построении включает в себя:

- непосредственное построение фигуры, в которую перейдет основная фигура при заданном преобразовании;

- общее нахождение соответственных точек на указанных фигурах;

- отражение элементов, которые определяют преобразование;

- формирование соответственных точек при преобразовании на конкретных фигурах;

- применение специфических свойств некоторых видов преобразований.

Большинство проблемных геометрических задач на построение играет довольно важную роль в обучении, которая сводится к характеристикам:

- подобные задачи отражаются надежным средством повторения геометрического материала;

- они позволяют школьникам глубоко и обстоятельно разобраться в геометрическом материале;

- помогают развитию пространственных представлений у школьников;

- эти задачи приучают учащихся применять геометрическое мышление;

- задачи эффективно формируют культуру геометрической мысли;

- с помощью подобных задач осуществляются межпредметные связи геометрии с иными смежными дисциплинами, геометрическое мышление помогает развивать навыки в черчении;

- проблемные задачи дисциплинируют внимание у школьников, приучают их проявлять инициативу, настойчивость, изобретательность в достижении намеченной цели.

Применением геометрического мышления начинается с формирования проблемы, задачи, вопроса. В целом, оно реализуется в виде активного процесса преобразования некоторого условия, оперирования образами, осознания итогов работы. Можно сказать, что умение думать над условием и решением проблемной задачи на построение развивает все основные компоненты геометрического мышления.

Уровень активности геометрического мышления отражается совокупной степенью сложности решаемой задачи. Самыми творческими можно назвать задачи, решение которых связано с открытием нового, которое ранее не было известно школьнику:

- новое решение задачи;

- обнаружение некоторой закономерности или зависимости между явлениями.

Большую роль играет и то, в каком виде школьнику представлена задача, дана ли она в общем наглядном практическом плане, который допускает действия с предметами в наглядном или словесном виде. При этом сложность процесса мышления повышается, когда процесс поиска решения задачи протекает целиком в умственном плане.

Стоит отметить характерные проявления гибкости геометрического мышления школьников:

- присутствующее умение целесообразно варьировать некоторые способы решения проблемной задачи;

- реализация выхода за границы привычного способа решения проблемной задачи, нахождение новых способов разрешения проблем при совершенствовании задаваемых условий;

- преобразование системы усвоенных знаний по мере овладения иными знаниями и накопления опыта.

Глубина геометрического мышления определяется умением школьника:

- выявлять особенные, скрытые специфические характеристики в проблемной задаче;

- проникать в суть всех изучаемых проблемных задач, а также в их взаимосвязь с иными фактами;

- конструировать модели проблемных ситуаций.

Можно сказать, что глубину геометрического мышления можно считать качеством, создание которого у школьников отражается очень важным условием эффективности обучения геометрии и математики, в целом. Соответственно, глубина геометрического и творческого мышления отражается в умении отделить главное от второстепенного в проблемной задаче, обнаружить некоторую структуру рассуждения, а также отделить то, что строго доказано.

Общая целенаправленность геометрического мышления определяется:

- присутствующим стремлением реализовывать разумный выбор действий при решении проблемной задачи, всё время, ориентируясь на поставленную проблемой цель;

- существующим стремлением отыскать самый короткий путь разрешения проблемной задачи.

Специально подобранные учителем задачи помогают входить в изучение новой темы, в этом случае школьники рассматривают последовательность исследования всех относящихся к проблемной задаче вопросов.



Психологические особенности школьников при изучении геометрии и задач на построение

Школьники 7-9 класса определяются как ученики основной школы. Построение учебной деятельности для данных школьников характеризуется достижением жизненных планов, соответственно процесс обучения направлен на структурную организацию, а также систематизацию индивидуального опыта, с помощью пополнения.

Совершенствование познавательных процессов в рассматриваемом периоде достигает высокого уровня, школьники наравне с взрослыми выполняют умственную работу. Именно с этого качества детей вовлекают в плодотворное изучение геометрии на уровне 7-9 класса. При этом у школьников качественно совершенствуется геометрическое мышление, пока не достигнет теоретического уровня.

В рассматриваемом периоде времени школьники стараются сопоставить некоторые теории, а также докопаться до истины. Главной функцией учителя при этом - сформулировать для школьников информацию для размышления, осуществлять решение задач на построение, которые будут иметь высокую степень проблемности. При этом школьники достигают формирования собственного мнения. Контакт с учителем позволяет лучше усвоить решение задачи на построение. Можно сказать, что здесь создается индивидуальный стиль решения задач, который формулируется на базе геометрического мышления конкретного школьника.

Основной задачей учителя является достижение различного содержания обучения с помощью пополнения его информацией о возможности построения:

- образной;

- аналитико-логической;

- практической.

В 7-9 классе ученики всеми способами стараются избежать излишней опеки. Здесь при переходе от подростка к юношеству формируется:

- самоконтроль;

- стабилизация экономического фона;

- саморегуляции.

Для решения задач на построение в 7-9 классе школьники применяют свой стиль. Активно происходит совершенствование мотивированной сферы. Основное место в обучении занимают мотивы, которые связаны с самоопределением. Создаются различные интересы к теоретическим и практическим проблемам, поискам решения.

Возраст школьников связан с определением собственной значимости. Ему свойственен самоанализ. В этом возрасте школьника можно заинтересовать результатами его деятельности, перспективами жизни.

В 7-9 классе школьники находятся на таком развитии, при котором они наиболее обучаемы, в этом возрасте они более серьезны, более объективно смотрят на то, что необходимо серьезно подходить к решениям различных ситуаций.

Учитель в таком случае должен заинтересовать школьника в получении лучшего результата решения задачи на построение. Только тогда у него сложится восприятие, что нужно развивать свои навыки и добиваться большего результата, разрешать цели и задачи.

Чтобы ученик успешно учился, необходим конкретный алгоритм действия. Соответственно необходимо найти то, что будет его мотивировать и направлять к учебе. Учитель должен иметь конкретные действия для формирования у школьников соответствующей мотивации.

В случае, когда учитель имеет алгоритм, должна быть конкретная цель. Здесь целью является достижение школьником нужных результатов в обучении.

Для одних школьников самой лучшей мотивацией является похвала и хорошая отметка, для других стимулом будет неудовлетворительная оценка и желание исправить свои ошибки. Обоих должен интересовать сам процесс решения подобных задач на построение.

Но, в общем, независимо от мотивов на решение задач на построение, учитель должен стремиться, чтобы любой ученик стал субъектом деятельности в процессе обучения. Чтобы это произошло, необходимо, чтобы абсолютно все стороны учебно-воспитательного процесса содействовали данному становлению, были направлены на воспитание ученика, как субъекта своей деятельности.

На сегодняшний день школьный курс геометрии очень отстает по обобщенности знаний как науки. Если повысить успешность информационной ценности знаний, которые изучаются, сократится время на усвоение материала. Так же и со школьниками, необходимо ускорить процесс восприятия и понимания учеником поставленного материала, чтобы повысить эффективность решения задач на построение.

Когда интерес школьника проявится необходимо постоянно его поддерживать, давать пищу для размышлений. Заинтересованность тоже присуща данному возрасту. Ученика намного проще заинтересовать процессом достижения результата, чем самим результатом.

Конечно, каждый ученик будет рад своим успехам, но кому-то на это понадобится меньшее время и меньше усилий. Все школьники разные, соответственно, к каждому нужен индивидуальный подход. Возрастные особенности у разных школьников проявляются абсолютно индивидуально. Особенно важно уделять внимание чувственно-эмоционально сфере школьников, изучению потребностей, инициативы и т. д.

Определение геометрических способностей школьников и условий их создания и совершенствования достаточно важно для практики школьного обучения. Всё потому, что математика является одним из важных предметов, занимает ѕ всего курса обучения в школе, ? занятий занимает геометрия.

Геометрические способности школьников являются качественной специализацией общих процессов интеллектуальной способности, а также компонентами этой деятельности.

Рассматриваемый школьный возраст можно по праву считать временем активного мировоззренческого поиска, где центром является смысл жизни. Современное обучение предполагает высокие требования к образованию. Геометрические знания достаточно уникальная наука с достаточно широкими требованиями. Ученики должны проявлять инициативу в учебе, а также качества:

- самостоятельность;

- инициативность;

- успешность;

- индивидуальность.

Учитель, при учете возрастных особенностей привык опираться на общие данные возрастной психологии. По общим критериям педагогики определяются индивидуальные различия воспитания и обучения школьников.

В лучшем случае, учителю необходимо полагаться на личный метод обучения, так как в процессе опыта учитель усваивает лучшие методы обучения и успешно их применяет.

Обучение учащихся должно характеризовать условия увлечения предметом, где большое внимание уделяется развитию геометрического мышления.

Существует понятие индивидуализации обучения. Индивидуализация обучения определяется организацией учебного процесса при учете индивидуальных особенностей учащихся, что помогает сформировать оптимальные условия для реализации всех возможностей каждого ученика.

В психолого-педагогической науке проблема учета индивидуальных особенностей наиболее актуальна. При обучении школьников необходимо ориентироваться на средний уровень развития способностей и реализовывать потенциальные возможности школьника. Средствами индивидуализации можно назвать индивидуальные и групповые занятия. Любое занятие предполагает продвижение ученика на более высокий уровень знаний и способностей.

Учитель обязан предвидеть затруднения ученика в процессе обучения, предложить пути преодоления подобных ситуаций. Очень сложен процесс подбора индивидуальных геометрических заданий, нельзя давать школьникам задания разного уровня сложности, так как это только усугубит недостатки в развитии школьника. Таких учеников необходимо вовлекать в посильную для них работу, а уже позже усложнять задание. Кроме того, необходимо учитывать все имеющиеся у учащихся пробелы и формировать задания на ранее изученный материал.

Математику, в том числе геометрию, можно назвать одним из опорных предметов, т. к. она участвует в изучении многих других предметов. Совершенствование геометрического мышления при обучении математике помогает усвоению предметов. Для полного развития школьников необходимы практические умения и навыки.

Реализация эффекта обучения геометрии происходит на основе достижения деятельностного подхода, направленного на совершенствование любого ученика, а также развитие индивидуальных способностей школьников.

При исследовательской работе школьники должны находить способы решения задач на построение, достижения их, пытаются обобщать полученные результаты и реализовывать их для решения проблем.

В наше время тенденции образования нацелены на повышение положений отечественной и западной педагогики, происходит формирование доверительных отношений между учителем и учеником. Учитель геометрии, который приступает к определению новой темы, изначально имеет дело с задачами, которые необходимо усвоить детям на уроке. Такие задачи применяются практически на каждом уроке для усвоения геометрических понятий, а также создания необходимых умений и навыков. Очень важно выполнять задачи в конкретной последовательности. Усвоение задач на построение является прямым продуктом для создания элементарных знаний и умений школьников.

Задачи на построение повышенной трудности являются предметом активного употребления в образовательной практике. Основным продуктом решения задач на построение повышенной трудности можно назвать закономерности, формирования большей сферы реализации знаний. Наиболее важным моментом обучения учащихся является решение нестандартных задач на построение. Именно подобное обучение учащихся выступает залогом удачного решения всевозможных задач.

В общем смысле универсальные учебные действия определяются некоторой способностью школьника к саморазвитию с помощью сознательного присвоения нового опыта. Среды функций учебных действий можно назвать:

- достижение самостоятельной деятельности учащегося, выставления целей, применения средств и способов их реализации;

- формирование условий для совершенствования личности и её самореализации, базирующейся на высокой и профессиональной мобильности;

- проведение успешного усвоения знаний, а также навыков в каждой предметной области, включая геометрию.

Кроме того стоит охарактеризовать взаимодополняющие положения, отражающие взаимодействия в учебном процессе:

- создание цели образовательного процесса, которые определяют его наполняемость;

- создание действий для большего усвоения материала;

- формирование эффективности образовательного процесса, направленной на создание и восприятия учащегося.

Чтобы эти знания школьников были результатом их поисков обязательно формировать познавательную деятельность. Простую задачу на построение необходимо также ставить приоритетной целью школьника, чтобы он самостоятельно мог ставить цели, формировать пути их осуществления, а также развивать умение учиться.

Базой для обучения должен быть принцип деятельностного подхода. Сам по себе такой подход определяется процессом деятельности человека, который направлен на формирование его сознания и личности в целом. С ее помощью человек формирует самоактуализацию личности.

Деятельностный подход является процессом воспитания, образования, основой которого является методологический базис, отражающий многие системы обучения и воспитания. Обучение деятельности в воспитательном смысле означает формирование цели для ученика и путей её достижения. Через образовательную технологию формируются принципы деятельностного подхода.

Таким образом, сделаем краткий вывод по первой главе. В настоящее время в программе математики исследуются определенные модели геометрического образования школьников, где находят отражение особенности геометрии как своеобразной отрасли знаний, использующей оригинальные способы достижения истины[3, стр.28-32].

Геометрическое мышление, по нашему мнению, следует определять как психический процесс моделирования закономерностей геометрии по средствам абстрагирования и оперирования свойствами геометрических фигур.

Полноценное геометрическое рассуждение неразрывно связано с оперированием пространственными объектами, целыми классами данных объектов, которые сформированы по принципу “одинаковости”.

Найти решение задачи на построение - значит реализовать её сведение к конечному числу элементарных построений, после реализации которых, базовая фигура считается построенной в силу всех принятых конструктивных решений.

Главной проблемой методики обучения решению этих задач отражается методика внедрения и изучения этапов решения. Для школьников, у которых практически не развито геометрическое мышление, задачи на построение, как правило, представляют собой реальную проблемную ситуацию. Сама по себе проблемная ситуация состоит в психическом состоянии интеллектуального затруднения школьника, вызванного сильным желанием решить задачу, а также в невозможности сделать это с помощью присутствующего запаса знаний.



Глава 2. Развитие геометрического мышления при обучении решению задач на построение в 7-9 классах

Методики обучения решению задач на построение в 7-9 классах

На сегодняшний день присутствует множество методик решения задач на построение, но практически отсутствуют методики развития геометрического мышления.

На наш взгляд, лучше всего развивать мышление школьников при помощи решения проблемных геометрических задач на построение. Поиск решения задачи на построение определяется сведением её к конечному числу элементарных построений, отражение конечной последовательности этих построений, после реализации которых, искомую фигуру можно считать построенной в силу всех принятых предположений конструктивной геометрии. Среди главных проблем методики обучения решению задач на построение можно назвать методику изучения и введения этапов решения проблемных задач.

Процесс решения задачи разбивают на 4 главных этапа, каждый из которых соответствует задачам развития геометрического мышления:

- анализ;

- построение;

- доказательство;

- исследование.

Анализ проблемной задачи является одним из самых важных этапов решения задачи, его можно определить как поиск способа решения задачи. Здесь подмечаются зависимости между данными в условии элементами искомой фигуры, они помогают в дальнейшем осуществить построение. Здесь школьники применяют геометрическое и пространственное мышление. Для того чтобы облегчить себе поиск необходимых связей между базовой фигурой и искомой фигурой, при помощи геометрического мышления формируется чертеж, составляется чертеж-набросок. Подобный чертеж можно выполнить от руки.

При этом на вспомогательном чертеже необходимо выделить все присутствующие элементы и особо из них искомые. В целом, удобнее начинать формировать построение вспомогательного чертежа с примерного изображения исходной фигуры, пристраивая к ему данные элементов.

В случае если вспомогательный чертеж не подсказывает способа построения необходимой фигуры, школьники должны попытаться выделить некоторую часть искомой фигуры, далее воспользоваться ею для построения решения.

Кроме того, следует учитывать некоторые моменты, сопряженные с применением геометрического мышления:

- в случае, когда на вспомогательном чертеже невозможно заметить связи между искомыми элементами и данными, стоит ввести в чертеж вспомогательные фигуры. Чаще всего полезно проводить перпендикуляры или параллели к построенным или имеющимся прямым;

- когда по условию задачи дана разность или сумма углов или отрезков, эти величины необходимо ввести в чертеж, изобразить их на чертеже- наброске, в случае, если их на нем нет;

- при проведении анализа довольно полезно вспоминать ранее решенные задачи, где встречаются аналогичные зависимости между элементами (здесь пригодятся предыдущие задачи на развитие геометрического мышления).

На этом этапе решения проблемной задачи активно развиваются:

- глубина геометрического мышления, которая заключается в умении отделить основное от второстепенного, а также обнаружить структуру рассуждения;

- гибкость мышления, в подобном случае умение целенаправленно варьировать способы присутствующей познавательной программы, умение выходить за существующие границы способа действия и формировать новые способы решения проблем при преобразовании задаваемых условий;

- целенаправленность мышления, определяемая стремлением реализовывать разумный выбор конкретных действий при решении проблемной задачи, здесь школьник должен постоянно ориентироваться на поставленную цель, стремиться отыскать самые короткие пути её достижения.

Далее рассмотрим этап построения.

Второй этап разрешения проблемных задач на построение формируется из двух частей:

- отображение в некотором установленном порядке присутствующих элементарных построений, которые необходимо реализовать, согласно проведенному анализу для решения проблемной задачи;

- выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов. В целом, решить задачу при помощи конкретных инструментов - значит указать итоговую совокупность допустимых, элементарных построений, осуществление которых в определенной последовательности дает решение проблемной задачи.

Этот этап проводится при непосредственном решении задачи на построение первым способом. Решение одной и той же задачи многими способами повышает интерес школьников к подобным задачам, повышает уровень геометрического мышления. В целом, разными способами эффективно решать задачи в конце учебного года, когда происходит повторение курса геометрии и учащиеся уже имеют навыки геометрического мышления при решении задач на построение. Также, проблемные задачи, которые допускают множественные способы решения, стоит задавать на дом, чтобы школьники решили её, а также нашли самый простой способ решения.

На этом этапе большее развитие получают качества геометрического мышления как:

- глубина;

- гибкость;

- целенаправленность.

К главным методам решения проблемных задач на построение, изучаемых в основной школе, можно отнести:

1) метод геометрических мест;

2) методы геометрических преобразований; а) метод центральной симметрии;

б) метод осевой симметрии;

в) метод параллельного переноса; г) метод поворота;

...