Развитие геометрического мышления при обучении решению задач на построение в основной школе

д) метод подобия;

е) алгебраический метод.

Все названные методы отражаются одним из видов использования на практике присутствующих геометрических понятий, которые формируют основу этих методов.

Соответственно, без хорошего знания соответствующих понятий и вытекающих из них свойств геометрических фигур школьниками не могут быть использованы все методы. Учитель должен подбирать систему задач на построение так, чтобы все решаемые задачи повышали и углубляли знания школьников, развивали геометрическое мышление.

В случае если задача решается несколькими способами, исследуемый метод должен помогать решить проблемную задачу наиболее удобным из них.

Все методы необходимо применять непосредственно для решения геометрических задач на построение, которые содержат некоторую проблему. В подобном случае, учитель должен обращать внимание на совершенствование инициативы учащихся, привитие им интереса и навыков к решению данных задач.

Далее рассмотрим процесс доказательства. После того, как искомая фигура была построена, стоит установить, удовлетворяет ли она всем условиям задачи. В таком случае, доказательство существенно зависит от способа построения фигуры. Доказательство представляет собой часть решения задачи, по своему геометрическому содержанию обратную анализу.

Между доказательством, построением и анализом присутствует взаимообусловленность и взаимосвязь. Построение реализуется по плану, который был составлен при анализе. Построение и доказательство определяются некоторые специфическим критерием рациональности и правильности составленного плана. В случае, когда план невозможно реализовать соответствующими инструментами или же построение отражается нерациональным, необходимо искать новый план решения.

На этапе доказательства активно совершенствуются: критичность и глубина геометрического мышления, ведь на этом этапе необходимо проникать в сущность всех изучаемых факторов, а также в их взаимосвязи с иными факторами, возможно, заново прослеживать ход рассуждения, чтобы обнаружить ошибку или противоречие.

Следующий этап - исследование.

В исследовании задачи, как правило, рассматривается конкретный метод построения, полученный в анализе задачи. Поэтому в первую очередь необходимо ответить на вопрос, любая ли фигура, удовлетворяющая поставленным условиям, может быть найдена конкретным способом, полученным в анализе. Ответ на этот вопрос следует из грамотно проведенного анализа задачи. После этого исследуется используемый метод решения задачи. При этом выясняется:

- всегда ли можно реализовать построение выбранным способом;

- возможно, ли построить искомую фигуру, когда избранный способ нельзя применить;

- сколько решений имеет задача при некотором выборе данных.

Содержание исследования формирует рассмотрение подобных вопросов. Соответственно, исследование имеет целью установить все условия разрешимости и определить некоторое число решений. Часто школьники проводят исследование, произвольно выбирая случаи.

У учеников должен возникнуть еще один вопрос, ответ на который они должны получить вместе с учителем. Что такое решение задачи на построение и когда они различны. При ответе следует рассмотреть два типа задач на построение: задачи со связанным и свободным решением.

Изначально рассмотрим необходимое количество часов на исследование тем, связанных с построением в 7 классе:

- “задачи на построение” (построение окружности, решение простейших задач на построение, построения с линейкой и циркулем) - 3 часа;

- “Признаки параллельности прямых” - 1 час. На данном уроке рассматриваются практические способы построения параллельных прямых;

- “Построение треугольников по трем элементам” - 3 часа. На уроках рассматривается: построение треугольника по трем сторонам, построение треугольника по двум сторонам и углу, построение треугольника по стороне и двум прилегающим к ней углам;

- “Повторение курса геометрии 7 класса” - 1 час. Здесь решаются задачи на построение.

Также рассмотрим количество часов, которое отводится на изучение задач на построение в 8 классе:

- “Вводное повторение” - 1 час. Здесь повторяются признаки равенства треугольников, выполняются задачи на построение треугольников;

- “Задачи на построение” - 1 час. Деление отрезка на равные части, выполнение необходимых построений;

- “Задачи на построение” - 1 час. Построение биссектрисы, медианы, высоты, треугольника, угла равного данному. Повторение методов решения задач на построение.

Рассмотрим необходимое количество часов на изучение некоторых тем, которые связаны с решением задач на построение, при которых развивается геометрическое мышление (9 класс):

- “Длина окружности и площадь круга” - 14 часов. Здесь реализуется решение задач на построение правильных многоугольников. При помощи описанной окружности решаются задачи о построении правильного шестиугольника, а также правильного 2n- угольника, в случае если присутствует угольник;

- “Движения” - 8 часов. При исследовании видов движений большое внимание уделяется построению образов прямых, точек, отрезков, треугольников при центральной и осевой симметрии, повороте и параллельном переносе.

В результате школьники должны уметь:

- пользоваться геометрическим языком для непосредственного описания предметов;

- уметь распознать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

- уметь строить сечения, а также развертки пространственных тел;

- решать различные геометрические задачи, базируясь на изученных свойствах фигур, применяя некоторые дополнительные построения;

- решать проблемные задачи на построение;

- описывать ситуации при построениях.

Для того чтобы оценить эффективность развития геометрического мышления при решении задач на построение реализуем исследование на основе группы школьников основной школы.

Исследование развития геометрического мышления при обучении решению задач на построение в 7-9 классах

Для того чтобы оценить эффективность развития геометрического мышления при решении задач на построение нами реализовано исследование в группе школьников основной школы. Исследование было проведено в группе учеников основной школы, состоящей из 10 человек ОУ №1. Основной целью реализации этого исследования можно назвать: анализ эффективности развития геометрического мышления при обучении школьников решению задач на построение.

Изначально отразим присутствующий уровень геометрического развития школьников (таблица 1)

Таблица 1 - Уровень знания школьников до начала экспериментальной работы

Имя	Класс	Уровень развития геометрического мышления	Умение решать задачи на построение
Владимир	8	Низкий	Не умеет, решает только с помощью учителя
Кристина	8	Низкий	Умеет решать простые задачи только с помощью учителя
Иван	8	Средний	Умеет решать только простые задачи
Ирина	8	Низкий	Не умеет, решает только с помощью учителя
Елена	8	Низкий	Умеет решать только простые задачи
Анатолий	9	Низкий	Умеет решать простые задачи только с помощью учителя
Татьяна	8	Средний	Умеет решать только простые задачи
Юлия	8	Низкий	Не умеет, решает только с помощью учителя
Юрий	9	Низкий	Не умеет, решает только с помощью учителя
Сергей	8	Низкий	Не умеет, решает только с помощью учителя

Можно сказать, что большинство школьников практически не имеют навыков решения задач на построение, или решают задачи при помощи учителя. Двое учеников имеют средний уровень развития, но у данных школьников присутствуют затруднения с решением проблемных задач.

При поставленной цели необходимо разрешение следующих задач:

- решение задач на построение для повышения уровня развития мышления;

- решение проблемных задач для общего развития геометрических знаний;

- проведение экспериментальной работы со школьниками для выявления уровня развития геометрического мышления по итогам проведенной работы;

- подведение итогов экспериментальной работы, выявление проблем школьников при решении задач.

Стоит отметить, что школьники экспериментальной группы практически не занимались решением задач на построение в связи с тем, что на данные задания отводится малое количество часов, и школьники не успевают овладеть всеми навыками решения проблемных задач.

Отразим на диаграмме уровень развития геометрического мышления школьников до начала опытной проверки (рис. 3).

Рис. 3 Уровень развития геометрического развития школьников до начала эксперимента

Занятия со школьниками проводились во время уроков геометрии, были сформированы на базе исследования математической, учебной и методической литературы. При преподавании было также реализовано анкетирование среди учителей математики школы.

Проанализируем результаты ответов при проведении анкетирования:

- какие трудности присутствуют при изучении задач на построение?

Практически все учителя на данный вопрос ответили, что школьники не видят с чего начать построение, соответственно возникает проблема, а на анализ задачи уходит огромное количество времени;

- возвращаетесь ли Вы к задачам на построение при изучении иных тем?

Практически все учителя ответили, что не имеют возможности вернуться к этим задачам в связи с недостатком времени на уроках, иногда задают их школьникам в виде самостоятельной домашней работы;

- Достаточно ли внимания уделяется задачам на построение в учебниках по геометрии?

Все учителя считают, что в учебниках геометрии недостаточно уделяется внимания задачам на построение;

- Считаете ли вы необходимым проводить курсы на факультативные занятия, которые направлены на решение задач, на построение? Если да, то, сколько часов должны идти данные занятия?

Все учителя считают, что элективные курсы и факультативные курсы по этой теме стоит применять. Эти занятия особенно необходимы в 8-9 классах. Самое оптимальное количество занятий составляет 18-20 часов;

- На что стоит обращать внимание при обучении решению задач на построение?

По мнению учителей, изначально стоит обращать внимание на анализ решения задач, затем на исследование и формирование чертежа при помощи чертежных инструментов.

По результатам этого анкетирования, стоит отметить, что школьники плохо представляют как решать данные задачи, практически не знают этапов и не имеют четкого представления о методах, решение задач вызывает у них трудность.

Затем была проведена проверочная работа, содержащая 3 задачи, их необходимо было решить за 1 час. Отразим данные задачи:

1. Найти точку, равноудаленную от трех данных точек.

2. Построить треугольник по данному основанию, боковой стороне и высоте, опущенной на основание.

3. Постройте треугольник ABC по углу A и медиане AM, если известно, что AB : AC = 2 : 3.

Основные результаты диагностирующей контрольной работы отражены в таблице 2.

Таблица 2 - Результаты диагностирующей контрольной работы

№ задачи	1	2	3
Количество учеников, которые смогли решить задачи	3	2	5
Доля учеников, решивших задачи в процентах	33	20	47

Далее было реализовано занятие на повторение основных приемов построения, на дом детям было дано задание, решить задачи на построение методом подобия.

На следующем занятии была исследована тема: “Методы решения задач на построение”. Была решена задача совместно с учителем.

Задача. Построить треугольник АВС по двум высотам, проведенным из вершин В и С, и по медиане, проведенной из вершины А.

Рис. 4 Решение задачи в виде построения

Решение.

Предположим, что треугольник АВС построен.

Опустим из середины А1 стороны ВС перпендикуляры А1В' и А1С' на прямые АС и АВ соответственно.

Строим отрезок АА1 длиной ma. Затем строим прямоугольные треугольники АА1В' и АА1С' по известным катетам и гипотенузе так, чтобы они лежали по разные стороны от прямой АА1. Остается построить точки В и С на сторонах АС' и АВ' угла С'АВ' так, чтобы отрезок ВС делился точкой А1 пополам.

Для этого отложим на луче АА1 отрезок AD = 2АА1, а затем проведем через точку D прямые, параллельные сторонам угла С'АВ'.

Точки пересечения этих прямых со сторонами угла С'АВ' являются вершинами искомого треугольника (рис. 4).

На следующем занятии была реализована проверочная работа с аналогичными задачами на построение. Результаты проведенной работы отражены в таблице 3.

№ задачи	1	2	3
Количество учеников, которые смогли решить задачи	2	1	4
Доля учеников, решивших задачи в процентах	20	10	40

Из 10 школьников только 7 человек смогли решить данные задачи и выполнить контрольную работу. Трое учеников не смогли решить задачи в связи с трудностями с построением.

На следующем занятии школьники решали задачи более сложного уровня, учитель помогал ученикам с индивидуальными трудностями.

Задача. Построить трапецию ABCD по углу А и основанию ВС, если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3.



Решение.

Задачу надо понимать так: даны угол hk и отрезок PQ (рис. 5). Требуется построить с помощью циркуля и линейки трапецию ABCD, у которой Р--A = Р--hk, BC = PQ, а остальные три стороны АВ, CD и AD относятся как 1:2:3. Построим сначала какую-нибудь трапецию AB1C1D1, у которой Р--А = Р--hk и AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3.

Это сделать совсем не трудно. Строим угол А, равный данному углу, и

на его сторонах откладываем произвольный отрезок АВ1 и отрезок AD1 = 3AB1 (рис. 6).

После этого через точку В1, проводим прямую l, параллельную AD1 и строим окружность радиуса 2АВ1, с центром в точке D1,. Эта окружность пересекает прямую l в двух точках С1 и C1'.

Итак, мы построили две трапеции AB1C1Dl и АВ1С1'D1, у которых Р--A = Р--hk и стороны АВ1, ВС1 (В1С1') и C1Dl (С1'D1) относятся как 1:2:3.

Возьмем одну из этих трапеций, например, AB1C1Dl, проведем прямую АС1, и построим отрезок ВС с концами на сторонах угла В1АС1, который параллелен B1C1 и равен PQ.

Это можно сделать так: на луче AD1 откладываем отрезок AE = PQ и через точку Е проводим прямую, параллельную AB1. Она пересекается с прямой АС1 в точке С (рис. 7).

Через точку С проводим прямую, параллельную B1C1, и получаем точку В. Очевидно, отрезок ВС равен PQ. Остается провести через точку С прямую, параллельную C1Dl. Она пересекает луч AD1, в точке D.

Трапеция ABCD искомая. В самом деле,

Р--А = Р--hk, BC = PQ и AB AB1 =--AC AC1=----CD =--AD AD1

C1 D1

(это следует из подобия треугольников ABC и AB1C1, ACD и AС1D1). Отсюда получаем, что AB:СD:AD = AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3.

Рис. 6 Полученное построение

Построенная трапеция ABCD удовлетворяет всем условиям задачи. Если вместо трапеции AB1C1Dl взять трапецию АВ1С1'D1 и проделать такие же построения, то получим второе решение задачи (рис. 7). Итак, данная задача имеет два решения.

Рис. 7 Итоговое построение

Перед проведением этих занятий уровень знаний школьников был значительно ниже, чем средний, после реализации проведения занятий он увеличился.



В целом, положительная тенденция замечена в следующих показателях:

- школьники научились решать задачи на построение различными методами;

- большинство школьников справились с заданиями последних занятий.

Отразим на рисунках 8 и 9 результаты решения простейших задач до и после опытной проверки.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8 Результаты решения простейших задач после эксперимента

Как уже было замечено, уровень геометрического развития школьников низкий и они практически не умеют решать задачи на построение.



Рис. 9 Результаты решения простейших задач после эксперимента

В результате проведенного исследования можно сказать, что знания школьников в области геометрии повысились. Теперь школьники имеют представления о том, как решать задачи на построение, всё чаще применяют своё геометрическое мышление, тем самым его развивают.

Впоследствии, на остальных занятиях были реализованы исследования проблемных задач на построение, их решение. Во многих случаях к задачам были применены разные типы решения, применялись разные методы.

Чтобы закрепить полученные знания, школьникам дали задание на выполнение задачи на построение по всем этапам.

Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов В и А, высоте ВD и стороне АС.

Решение

Дан угол, представляющий сумму углов А и В, отрезок АС и отрезок ВD. Требуется построить такой треугольник АВС, в котором угол С1= 1800 - (угол А1+ угол В1), высота B1D1 равна отрезку ВD,сторона А1С1 равна отрезку АС.



Рис. 10 Условие задачи

Анализ.

Допустим, что такой треугольник построен. Нам известна сумма углов А и В => мы можем найти угол С1. Затем построим ?СВD по катету и противолежащему углу. А потом достроим ?АВС.

Построение

1. Построить прямую а.

2. Построить перпендикуляр (прямая b) к прямой а.

3. Отложить отрезок В1D1, равный ВD.

4. Построить отдельно угол С1= 1800 - ( угол А1+ угол В1).

5. Построить угол В1=900 - угол С1.

6. С1- точка пересечения.

7. На прямой b провести окружность R=АС и с центром С1.

8. А1 - точка пересечения.

9. А1 и В1 соединить.

10. ?А1В1С1 - искомый.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11 Итоговое построение

Доказательство

1. ВD= B1D1(по построению).

2. угол С1= 1800-( угол А1+ угол В1)(по построению).

3. А1С1=АС(по построению).

4. ?А1В1С1 - искомый. Исследование

Задача имеет решение всегда.

Чтобы отразить успешность применения данных задач и проанализировать развитие геометрического мышления, был исследован уровень данного мышления у школьников после проведения опытной проверки.

Таблица 4 - Результаты проведения опытной проверки

Имя	Класс	Уровень развития геометрического мышления	Умение решать задачи на построение
Владимир	8	Средний	Решает задачи, имеет небольшие сложности с проблемными задачами
Кристина	8	Высокий	Умеет решать задачи
Иван	8	Средний	Умеет решать только простые задачи, проблемные задачи с помощью учителя
Ирина	8	Высокий	Умеет решать задачи
Елена	8	Средний	Решает задачи, имеет небольшие сложности с проблемными задачами
Анатолий	9	Высокий	Умеет решать задачи
Татьяна	8	Высокий	Умеет решать задачи
Юлия	8	Высокий	Умеет решать задачи
Юрий	9	Высокий	Умеет решать задачи
Сергей	8	Высокий	Умеет решать задачи

Судя по данным таблицы 4 можно сказать, что уровень геометрического мышления у школьников экспериментальной группы значительно повысился. Схематически отразим результаты на рисунке 12.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис 12. Уровень развития геометрического развития школьников после опытной проверки

Из рисунка 12 видно, что 7 школьников имеют высокий уровень развития геометрического мышления, и только 3 ученика имеют проблемы с решением задач, решают их с частичной помощью учителя.

Из этого можно сделать вывод, что опытная проверка прошла успешно, задачи выполнены, цель достигнута.

Таким образом, подытожим вторую главу. На наш взгляд, лучше всего развивать мышление школьников при помощи решения проблемных геометрических задач на построение. Поиск решения задачи на построение определяется сведением её к конечному числу элементарных построений.

Анализ проблемной задачи отражается одним из самых важных этапов решения задачи, его можно определить как поиск способа решения задачи. Здесь школьники применяют геометрическое и пространственное мышление.

Исследование было проведено в группе школьников основной школы, состоящей из 10 человек ОУ №1. Основной целью реализации опытной проверки можно назвать: анализ эффективности развития геометрического мышления при обучении школьников решению задач на построение.

Можно сказать, что большинство школьников практически не имеют навыков решения задач на построение, или решают задачи при помощи учителя. Двое учеников имеют средний уровень развития, но у данных школьников присутствуют затруднения с решением проблемных задач.

Стоит отметить, что школьники экспериментальной группы практически не занимались решением задач на построение в связи с тем, что на данные задания отводится малое количество часов, и школьники не успевают овладеть всеми навыками решения проблемных задач.

Занятия со школьниками проводились во время уроков геометрии, были сформированы на базе исследования математической, учебной и методической литературы. При преподавании было также реализовано анкетирование среди учителей математики данной школы.

По результатам этого анкетирования, стоит отметить, что школьники плохо представляют как решать данные задачи, практически не знают этапов и не имеют четкого представления о методах, решение задач представляет для них трудность.

Перед проведением занятий уровень знаний школьников был значительно ниже, чем средний, после реализации проведения занятий он увеличился.

Чтобы отразить успешность применения данных задач и проанализировать развитие геометрического мышления, был исследован уровень данного мышления у школьников после проведения опытной проверки.

Можно сказать, что 7 школьников имеют высокий уровень развития геометрического мышления, и только 3 ученика имеют проблемы с решением задач, решают их с частичной помощью учителя.

Соответственно, наша цель достигнута.



Заключение

На сегодняшний день в программе математики исследуются определенные модели геометрического образования школьников, где находят отражение особенности геометрии как своеобразной отрасли знаний, использующей оригинальные способы достижения истины.

На сегодняшний день, геометрическое мышление в статьях в основном понимается как разновидность образного, чувственного мышления, важной составляющей которого является наглядно-образная часть, базируемая на оперировании образами геометрических фигур.

По нашему мнению, геометрическое мышление следует определять, как психический процесс моделирования закономерностей геометрии по средствам формализации, абстрагирования и оперирования свойствами геометрических фигур.

Главной проблемой методики обучения решению задач на построение отражается методика внедрения и изучения этапов решения.

Для школьников, у которых практически не развито геометрическое мышление, задачи на построение представляют собой реальную проблемную ситуацию. Сама по себе проблемная ситуация состоит в психическом состоянии интеллектуального затруднения школьника, вызванного сильным желанием решить задачу, а также в невозможности сделать это с помощью имеющегося запаса знаний и навыков.

На наш взгляд, сегодня самой эффективной методикой развития геометрического мышления при обучении решению задач на построение является применение решения системы задач, в которой существует возможность для проявления исследуемого вида мышления.

Проблемную задачу можно представить, как проблему, решаемую при определенных условиях. Ее отличие от самой проблемы состоит в том, что для первой заранее ограничено поле поиска решения. Любая проблемная задача содержит проблемную ситуацию, но не всякая проблемная ситуация и не всякая проблема являются задачами.

Анализ проблемной задачи является одним из самых важных этапов решения задачи, его можно определить как поиск способа решения задачи. Здесь подмечаются зависимости между присутствующими фигурами искомой фигурой, они помогают в дальнейшем реализовать построение. Здесь школьники применяют геометрическое и пространственное мышление. Опытная проверка была проведена в группе школьников основной школы, состоящей из 10 человек ОУ №1. Основной целью реализации данного исследования можно назвать: анализ эффективности развития геометрического мышления при обучении школьников решению задач на построение.

Можно сказать, что большинство школьников решают задачи при помощи учителя. Двое учеников имеют средний уровень развития, но у них присутствуют затруднения с решением проблемных задач. Стоит отметить, что школьники экспериментальной группы практически не занимались решением задач на построение в связи с тем, что на данные задания отводится малое количество часов, и школьники не успевают овладеть всеми навыками решения проблемных задач.

Занятия со школьниками проводились во время уроков геометрии, были сформированы на базе исследования математической, учебной и методической литературы. При преподавании было также реализовано анкетирование среди учителей математики школы, в которой проводилась экспериментальная проверка.

Перед проведением занятий уровень знаний школьников был значительно ниже, чем средний, после реализации проведения занятий он увеличился. В целом, положительная тенденция замечена в следующих показателях:

- школьники научились решать задачи на построение различными методами;

- большинство школьников справились с заданиями последних занятий. В результате проведенного исследования можно сказать, что знания школьников в области геометрии повысились. Теперь школьники имеют представления о том, как решать задачи на построение, всё чаще применяют своё геометрическое мышление, тем самым его развивают.

Впоследствии, на остальных занятиях были реализованы исследования проблемных задач на построение, их решение. Во многих случаях к задачам были применены разные типы решения, применялись разные методы.

Чтобы отразить успешность применения проблемных задач и проанализировать развитие геометрического мышления, был исследован уровень имеющегося мышления у школьников после проведения экспериментальной работы.

Можно сказать, что 7 школьников имеют высокий уровень развития геометрического мышления, и только 3 ученика имеют проблемы с решением задач, решают их с частичной помощью учителя.

Соответственно, наша гипотеза верна, решение задач на построение помогает повысить уровень развития геометрического мышления.



Список литературы

1. Александрова А. Д. Геометрия. Пособие по решению задач, М:.Эксмо, 2014 г.

2. Артыкбаева З. А. Методика обучения решению геометрических задач// Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук, №2, 2015 г. 59-63 с.;

3. Архипова С. Е. Шакурова Н. Р. Геометрический материал как средство развития геометрического мышления младших школьников// Психология и социальная педагогика. Сборник научных статей, 2016 г. 28-32 с.;

4. Ася С.Б., Сидоров С.В. (ред.) Инновации и современные технологии в системе образования, Материалы II международной научно-практической конференции 20-21 февраля 2012 года. - Пенза - Ереван - Шадринск: Научно-издательский центр “Социосфера”, 2012. - 388 с.

5. Белякова Т. Н., Храмова Н. Н. Использование моделей геометрических объектов как средства развития геометрического мышления школьников на уроках математики в средней школе// Актуальные проблемы обучения математике в школе. Сборник статей 5-й межрегиональной научно- практической конференции учителей, 2014 г. 168-172 с.;

6. Берникова И. К. Схемы как средства организации мышления в процессе обучения математике// Вестник Омского университета, №1, 2015 г. 23-27 с.;

7. Бутяев М. А. Развитие вариативности мышления школьников при изучении геометрического материала// Современное образование, №3, 2014 г. 118-125 с.;

8. Владимирцева С.А. Теория и методика обучения математике: Общая методика, Барнаул: БГПУ, 2012. -- 189 с.

9. Гламаздина Я. В. Развитие геометрического мышления школьников в процессе изучения геометрического материала// Новая наука: опыт, традиции, инновации, №8, 2016 г. 25-28 с.;

10. Горбачев В. И. Геометрическое пространство в методологии развития геометрического типа мышления// Наука и школа, №4, 2016 г. 132- 143 с.;

11. Ермак Е. А. Алексеева К. В. Развитие геометрического мышления старшеклассников с использованием дистанционной формы обучения// Информатика и образование, №9, 2013 г. 80-82 с.;

12. Зайкин М.И., Арюткина С.В. и др. Гуманитарные традиции математического образования в России, Сборник статей участников Всероссийской научной конференции с международным участием. -- Под общ. ред. М.И. Зайкина. -- Арзамас: АГПИ, 2012. -- 459 с.

13. Ибрагимова Н. И. Операционализм в формировании геометрических объектов и его влияние на формирование геометрического мышления// Международный журнал экспериментального образования, №12, 2012 г. 82-83 с.;

14. Исаева М. А. О некоторых существующих проблемах изучения геометрических преобразований в школьном курсе геометрии основной школы// Известия Чеченского государственного педагогического института,

№3, 2015 г. 514 с.;

15. Кайгородцева Н. В. Геометрия, геометрическое мышление и геометро-графическое образование// Современные проблемы науки и образования, №2, 2014 г. 160 с.;

16. Кашлач И. Ф. Меньщикова А. С. Роль пропедевтики систематического курса геометрии// Проблемы и перспективы физико- математического и технического образования. Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции, 2014 г. 104-109 с.;

17. Коник О. Ю. Корнеева А. О. Формирование геометрического мышления на уроках наглядной геометрии// Проблемы и перспективы развития образования в России, №21, 2013 г. 31-35 с.;

18. Короткова О. П. Кузнецова Л. Н. О формировании пространственного мышления обучающихся// Применение современных инструментов для диагностики качества освоения образовательных программ, 2016 г. 41-44 с.;

19. Круглова И. А. Проблемы формирования геометрического мышления// Актуальные проблемы преподавания математики, №3, 2015 г. 106-112 с.;

20. Лебедев В.В. Развитие системы эффективного обучения школьников, Монография. М.: Библио-Глобус, 2014 г. - 392 с.;

21. Левитас Г.Г. Методика преподавания математики в основной школе, Учебное пособие. -- Астрахань: Астраханский университет, 2012. -- 179 с.;

22. Макаркина О. В. Адаптивно-интенсивный метод развития геометрического мышления у школьников// В мире научных открытий, №7, 2013 г. 119-130 с.;

23. Маматов М. Ш. Темуров С. Й. Мамхудова Д. М. Проблемные геометрические задачи в развитии самостоятельного аналитического и творческого мышления молодежи// Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук, №9, 2013 г. 215-220 с.;

24. Месут К. И. Интерактивные технологии на уроках геометрии// Вектор науки Тольяттинского государственного университета, №1, 2015 г. 126-128 с.;

25. Мехтиев М. Г. Проблемы обучения геометрии в общеобразовательной школе на современном этапе// Известия Дагестанского государственного педагогического университета, №1, 2012 г. 92-95 с.;

26. Мехтиев М. Г. Измаилова З. Н. О некоторых аспектах обучения геометрии// Вестник Университета, №13, 2012 г. 277-282 с.;

27. Митенева С. Ф. Принципы методической системы обучения геометрии// Современные исследования социальных проблем, №1, 2016 г. 3- 11 с.;

28. Нагорнова А.Ю. (ред.) Актуальные проблемы современного образования: опыт и инновации, Материалы 3-й научно-практической конференции (заочной) с международным участием: 20 -- 21 апреля 2012 г. - Ульяновский государственный педагогический университет (УлГПУ) им. И.Н. Ульянова. -- Ульяновск : УлГПУ, 2012. -- 606 с.

29. Пономарева Е. И. Геометрические построения в виртуальных образовательных средах// Вестник Педагогического университета, №5, 2013 г. 265-268 с.;

30. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математики, Саранск: "Красный Октябрь", 2012. - 144 с.

31. Смирнова В. В. Формирование геометрического мышления школьников// Международный студенческий научный вестник, №3, 2016 г. 300-301 с.;

32. ФГОС ООО: Концепция фундаментального ядра содержания общего образования. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.shkola-48.ru/ru/8/292/376/.

33. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. М.: Просвещение, 2010.

34. Фомина М. Н. Белкин А. С. К вопросу формирования у школьников геометрического мышления на основе знаний геометрической формы// Герценовские чтения, №1, 2012 г. 196-199 с.;

35. Фундаментальное ядро содержания общего образования: проект / под ред. В.В. Козлова, А.М. Кондакова. - М.: Просвещение, 2009. - 48 с.

36. Царькова Д. А. Демченкова Н. А. Формирование геометрического мышления учащихся общеобразовательной школы в процессе обучения математике// Ученый 21 века, №5, 2015 г. 21-29 с.;

37. Шабанова М. В. Системы динамической геометрии в обучении математике: проблемы и пути их решения// Современные информационные технологии и ИТ-образование, №9, 2013 г. 229-237 с.;

38. Шебанова Л. П. Янсуфина З. И. Развитие геометрического мышления учащихся в процессе обучения решению геометрических задач на построение// Математический вестник педвузов и университетов Волго- Вятского региона, №14, 2012 г. 417-422 с.;

39. Шень А. (ред.). Задачи по математике, М.: МЦНМО, 2012. -- 272 с.

40. Ященко Л. А. Развитие геометрического мышления школьников как важнейший фактор формирования универсальных учебных действий// Певзнеровские чтения, №1, 2014 г. 97-101 с.;

Размещено на Allbest.ru

...