Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСТУП

Актуальність теми дослідження.

Сучасна початкова школа не може залишатися осторонь від процесів модернізації освіти, які проходять сьогодні в усьому світі і в Україні зокрема. Початкової ланки освіти стосуються всі світові тенденції й інновації: особистісно-орієнтований підхід, інформатизація, інтеграція тощо.

Концепцією сучасної школи, стало питання всебічного розвитку дитячої особистості, на основі реалізації її природних можливостей, врахування інтересів і потреб. Широкі можливості для розвитку розумових здібностей молодших школярів, а саме: сприймання, пам'яті, мислення, уяви та уявлення, волі, уваги, створює вивчення математики. Ця наука допомагає учням доказово міркувати та пояснювати свої дії, логічно мислити та знаходити вихід із будь-якої ситуації.

Важко знайти таку галузь людської діяльності, де можна було б обійтися без математичних знань, а з кожним роком діапазон їх практичних застосувань все збільшується. Зважаючи на те, що основною метою сучасної школи, як зазначає О. Я. Савченко, є підготовка учнів до життя, до суспільно-корисної праці, особливої ваги слід надавати тим питанням програми, з якими її вихованці не раз зустрічатимуться у своїй життєдіяльності, і одним з цих питань курсу математики є вивчення геометричного матеріалу.

Перебудова шкільної геометричної освіти посідає важливе місце у цих процесах, оскільки геометричні знання і вміння - це один із факторів, що сприяє загальнокультурному розвитку людини, її готовності до неперервної освіти та професійної діяльності.

Мета дослідження - теоретичний розгляд методикопрацювання геометричного матеріалу під час вивчення молодшими школярами освітньої галузі «Математика».

Завдання дослідження:

1. Ознайомитись з методикою навчання математики як наукою та навчальним предметом.

2. Проаналізувати педагогічний досвід з даної проблеми.

3. Визначити методи розвитку в учнів початкових класів просторових уявлень.

4. Визначити сучасний стан досліджуваної проблеми у початковій освіті.

5. Знайти цікаві методи вивчення геометричного матеріалу.

Об'єкт дослідження - особливості вивчення геометричного матеріалу в початкових школах.

Предмет дослідження - процес вивчення геометричного матеріалу молодшими школярами.

Для розв'язання поставленої проблеми були використані такі методи дослідження: теоретичні - аналіз та узагальнення наукової педагогічної літератури, підручників з математики, інтернет-ресурсів, прогнозування та моделювання навчального процесу.

Структура: робота складається зi вступу, двох розділів (перший містить три підрозділи, другий - три підрозділи)та висновків, списку використаної літератури, додатків.



РОЗДІЛ 1.ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ВИВЧЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНОГО МАТЕРІАЛУ В ПОЧАТКОВИХ КЛАСАХ

1.1. Методика навчання математики в початковій школі як наука та як навчальний предмет

Методика навчання математики в початковій школі - це наука про математику як навчальний предмет і закономірності процесу навчання математики учнів молодшого шкільного віку.

Завдання методики навчання математики - дати відповідь на такі питання: навіщо навчати математики (мета навчання), що потрібно вивчати (зміст навчання), як потрібно навчати математики результативно (за допомогою доцільного використання сучасних навчальних технологій), як розвивати та виховувати в процесі навчання математики.

Методика навчання математики як окрема наука зароджувалася здебільшого в працях педагогів. Автором першого відомого в історії підручника з математики «Арифметика, сиречь наука числительная» (1703р.) був російський математик Л. П. Магницький (1669-1739рр.), якому належать відомі слова: «Арифметика - це лічильна мудрість. Без цієї мудрості ні філософа, ні лікаря не може бути». За своєю побудовою підручник не був по-справжньому академічним, оскільки свої думки автор часто викладав у вигляді віршів і символічних малюнків, однак це була перша спроба до систематизації початкових основ математики.

Значний вплив на розвиток шкільного курсу арифметики мала наукова праця Яна Амоса Коменського (1592-1670рр.) «Велика дидактика», де він, висвітлюючи загальні дидактичні вимоги та правила, багато уваги приділив вивченню арифметики. Йоганн Генріх Пестолоцці (1746-1827рр.) - швейцарський теоретик і практик педагогіки, основоположник дидактики початкового навчання - у своїх творах поряд із загально-педагогічними проблемами розробляв питання початкового навчання дітей арифметики.

К. Д. Ушинський (1824-1870) - основоположник російської і української педагогіки - у своїх працях ґрунтовно дослідив методику початкового навчання лічби. Відомий педагог детально розробив принципи наочності, послідовності, свідомості, активності та виховуючого характеру навчання. Він вимагав конкретизувати абстрактні математичні поняття й зробити арифметику знаряддям пізнання навколишньої дійсності, вказував, що навчання повинно будуватися на живому спогляданні, на конкретних образах з додержанням принципу від конкретного до абстрактного. Основними засобами наочного навчання він вважав предмети в натурі, моделі, малюнки, що відображають предмети. Ступінь використання наочних засобів зумовлюється віком дітей - чим молодший вік учнів, тим, на думку вченого, ширше треба застосовувати наочність[5].

Серед українських науковців, які доклали чимало зусиль для розвитку методики навчання математики в початковій школі, слід назвати автора першого навчального посібника для студентів «Методика викладання математики в початкових класах» (1971р.) І.З. Василенка. Особлива роль в умовах Державного суверенітету України належить працям вітчизняних учених М.В. Богдановича та Л.П. Кочиної.

На сучасному етапі розвитку активно відбувається модернізація змісту початкової математичної освіти в Україні з урахуванням досвіду, який існує в країнах Європейського Союзу.

Інтенсифікація дій країн Європейського Союзу з проблеми оволодіння молодшими школярами основами грамотності пов'язується з еволюцією концепту цього поняття та трактування його ролі для суспільно-економічного розвитку Спільноти. В умовах динамічних цивілізаційних змін ЮНЕСКО запропонувала модифіковане визначення грамотності, яке враховує особливості ХХІ ст., зокрема потребу в навчанні впродовж життя та багатовимірність сучасного суспільства[3]. Так, грамотність у новому формулюванні визначається як, здатність розуміти оточуючих, інтерпретувати інформацію, спілкуватися, лічити, використовувати друковані та письмові матеріали у відповідному контексті; «грамотність передбачає постійне навчання для сприяння індивідууму в досягненні цілей, розвитку знань і потенціалу та активної участі в житті суспільства»
(О.І. Локшина).

Вивчаючи досвід шкільної початкової математичної освіти та спеціальні наукові дослідження, які проводяться останнім часом у країнах Європейського Союзу та в Україні, можна стверджувати, що без математичних знань неможливо розв'язати жодної глобальної проблеми людства. Що ж стосується процесів модернізації, які відбуваються на рівні початкової школи, то вони поширюються на осучаснення знань традиційних складових змістової моделі навчання та запровадження нових.

Традиційно математична складова, поряд з мовною, завжди розглядалася базовою для формування основ грамотності в учнів початкових шкіл. Під впливом викликів сучасності ця складова зазнала трансформацій, перетворившись на математично-технологічну, окрім традиційної математики, яка вивчається в усіх країнах ЄС з 1-го класу, вона збагачується на такі предмети або теми, як технології та ІКТ.

В усіх країнах ЄС математика є окремим предметом у розкладі початкової школи, якій відводиться 3-4 години на тиждень; акцент при навчанні робиться на трансляції таких понять, як: число, форма, величини, та на формуванні прикладних навичок застосування теоретичних знань. Що стосується технологій, то лише в Сполученому Королівстві (Англія та Уельс) вони вивчаються на рівні початкової школи. Інші країни дотримуються позиції інтеграції технологічних знань до предметів стандарту початкової освіти, зокрема технологічні знання інтегруються поряд з елементами знань з математики, природознавства, історії тощо.

ІКТ-грамотність розглядається державами ЄС як необхідний інструмент для подальшого успішного навчання кожного учня. Зазвичай, країни дотримуються двох різних підходів при включенні цього предмета до стандарту початкової освіти. Так, знання та вміння ІКТ можуть транслюватися учням як у форматі окремого навчального предмета, так і при навчанні інших предметів. Зокрема вітчизняний компаративіст О.І. Овчарук зазначає, що в більшості країн Європейського Союзу ІКТ використовуються як засіб навчання передусім базових умінь читання, письма та лічби. Українські науковці (В.Ю. Биков, Н.В. Морзе, Л.Є. Пєтухова, О.В. Співаковський, Й.А. Ривкінд, О.Я. Шиман та ін.) поділяють саме такий підхід, і на державному рівні до типового навчального плану введено з другого класу, як окремий навчальний предмет «Сходинки до інформатики». Цю дисципліну включено до освітньої галузі «Технології», яка реалізується через предмети «Трудове навчання» та «Сходинки до інформатики» [9].

У психології термін «розвиток» розуміється як послідовні, суттєво прогресивні зміни в психіці особистості людини, які проявляються як певні новоутворення. Положення про можливість і доцільність навчання в зоні найближчого розвитку дитини, було обґрунтоване ще в 1930-ті рр. видатним російським психологом Л.С. Виготським. На теоретичному (концептуальному) рівні цю ідею поділяють майже в усьому світі. Проблема полягає в її практичній реалізації: як визначити (виміряти) цю зону та яка повинна бути технологія навчання, щоб процес пізнання наукових основ проходив саме в ній, забезпечуючи максимально розвиваючий ефект?

Таким чином, психолого-педагогічною наукою обґрунтована доцільність математичного розвитку молодших школярів, але недостатньо розроблені процесуальні механізми її реалізації. Розгляд поняття «розвиток», як результату навчання, з методологічних позицій, показує, що це цілісний безперервний процес, рушійною силою якого є розв'язання суперечностей, що виникають у процесі змін. Психологи (І.Д. Бех, Г.О. Балл, З.І. Калмикова, В.А. Крутецький, С. Д. Смирнов, Г. А. Цукерман) стверджують, що процес подолання суперечностей створює умови для якісно іншого розвитку, в результаті якого окремі знання й уміння переростають у нове цілісне новоутворення, тобто в здатність оволодівати новим видом діяльності[17].

Перш ніж сформулювати особливості модернізації змісту початкової математичної освіти, зробимо історичний огляд теорії розвиваючого навчання в початковій школі.

Одну з перших спроб практично реалізувати ідеї розвиваючого навчання Л.С. Виготського зробив Л. В. Занков, який у 1950-1960-ті рр. розробив принципово нову систему початкової освіти, що знайшла велике число послідовників. У системі Л.В. Занкова для ефективного розвитку пізнавальних здібностей молодших школярів реалізуються п'ять основних принципів навчання: високий рівень труднощів, ведуча роль теоретичних знань, просування вперед швидким темпом, свідома участь школярів у навчальному процесі, систематична робота над розвитком усіх учнів.

Теоретичне знання та мислення, навчальну діяльність поставили на чільне місце автори іншої теорії розвиваючого навчання - Д.Б. Ельконін і В.В. Давидов. Вони вважали найважливішим зміну позиції учня в процесі навчання. На відміну від традиційного навчання, де учень є об'єктом педагогічних впливів учителя, в розвиваючому навчанні створюються умови, за яких він стає суб'єктом навчання. Сьогодні ця теорія навчальної діяльності визнана в усьому світі однією з найбільш перспективних і послідовних у плані реалізації відомих положень Л.С. Виготського про розвиваючий і випереджаючий характер навчання.

У вітчизняній педагогіці, крім цих двох систем, розроблено концепції розвиваючого навчання З.І. Калмикової, Є.М. Кабанової-Меллер, Г.А. Цукермана, С.А. Смирнова та ін.. Слід також відзначити вкрай цікаві психологічні пошуки П.Я. Гальперіна і Н.Ф. Тализіної на основі створеної ними теорії поетапного формування розумових дій [5].

У руслі розвиваючого навчання з'явилися різні програми та підручники з математики для початкової школи Е.Н. Александрової, І.І. Аргинської, М.В. Богдановича, Л.П. Кочиної, Н.Б. Істоміної, Н.Ф. Віноградової, М.І. Моро, Л. Г. Петерсон та ін. Автори підручників по-різному розуміють розвиток особистості в процесі навчання математики. Одні роблять акцент на розвитку спостереження, мислення та практичних дій, інші - на формуванні певних розумових дій, треті - на створенні умов, які забезпечують становлення навчальної діяльності, на розвитку теоретичного мислення, четверті - на вдосконаленні математичної підготовки шляхом включення елементів логіки тощо.

Модернізація змісту початкової математичної освіти в контексті розвиваючого навчання на сучасному етапі втілює такі ідеї:

– використання Державного стандарту, як основного механізму нормативної регуляції змісту, реалізації його вимог щодо математичного розвитку молодших школярів;

– організацію навчання математики в початковій школі на принципах гуманізації, цілісності, наступності, загальнолюдських і національних цінностей, потреб загальнокультурного розвитку молодших школярів;

– збагачення змісту математичної підготовки молодших школярів мотиваційним, виховним і розвиваючим матеріалом;

– активного впровадження компетентнісного, особистісно-діяльнісного підходів під час навчання молодших школярів;

– варіативності реалізації змісту початкової математичної освіти шляхом упровадження інноваційних технологій, що забезпечує технологізацію змісту та процесу навчання молодших школярів;

– побудови підручників математики для молодших школярів таким чином, щоб вони включали завдання, які спрямовані на формування ключових і предметних (математичних) компетентностей кожного випускника початкової школи;

– інтеграції як провідного принципу навчання та реалізації змісту, де інваріантною складовою є засвоєння знань про цілісність світу, взаємозв'язок між різними математичними явищами, властивостями, придбання індивідуального досвіду, вирішення різних типів навчальних (сюжетних) і життєвих завдань, серед яких є обов'язковими творчі та з логічним навантаженням.

1.2. Структура, зміст геометричного матеріалу в початкових класах та дидактичні вимоги до його вивчення. Розвиток просторових уявлень молодших школярів

Вивчення елементів геометрії передбачено змістовою лінією «Просторові відношення. Геометричні фігури». Головне завдання полягає у розвитку в учнів просторових уявлень, уміння спостерігати, порівнювати, узагальнювати й абстрагувати; формуванні у школярів практичних умінь будувати, креслити, моделювати й конструювати геометричні фігури тощо. У початковому курсі математики в учнів формують уявлення та поняття про геометричні фігури на площині, їх істотні ознаки, вчать розпізнавати геометричні фігури у просторі та їх елементи, співставляти геометричні фігури з навколишніми предметами. Навчальна діяльність, пов'язана із вимірюванням і обчисленням геометричних величин (периметру та площі), дозволяє проілюструвати просторові та кількісні характеристики реальних об'єктів, організувати продуктивну діяльність молодших школярів [15].

Початкова школа - перша ланка середньої загальноосвітньої школи. Вимоги, що стоять перед школою загалом, визначають основні напрямки роботи її початкової ланки. Математика - один з обов'язкових предметів початкової освіти.

У початковій школі геометричний матеріал не складає окремих розділів курсу математики; він пов'язується з арифметичним матеріалом та з вивченням величин і, рівномірно розподілений по всьому курсі, зустрічається майже на кожному уроці.

Геометрична пропедевтика поділяється на такі складові: розвиток просторових уявлень молодших школярів, формування уявлень про лінії і відрізок, креслення і вимірювання довжин відрізків, ознайомлення з многокутниками і кругом, вимірювання периметра і площ многокутників, спостереження геометричних тіл і введення їх назв[3].

На думку психологів: «Рівень розвитку просторового мислення та уявлень вважається одним з основних критеріїв математичного розвитку особистості», а А. Пуанкаре визначав дані процеси, як найбільш істотні засоби людського спілкування. На сьогоднішній день не виникає жодних сумнівів, що питання розвитку просторового мислення та уявлень в молодшому шкільному віці заслуговує великої уваги, адже, як довели психологічні дослідження, саме даний період є сенситивним для формування цих процесів, що пов'язано з перевагою в молодших школярів образних компонентів мислення їх розумової діяльності. У зв'язку з цим і виникла ідея побудови курсу, який базується на стадіях: образ - уявлення - система уявлень - передпоняття, які дають можливість уявити підготовку учнів до виходу в геометричний простір та визначити шляхи подальшого формування понять. Тому в підході до вивчення певного геометричного поняття існує чітка система аналізу, яка забезпечує дотримання принципу наступності: що дітям уже відомо про це поняття з дошкільного періоду їхнього життя, або з попередніх уроків математики в школі, що вони повинні вивчити про це поняття зараз; як воно з часом буде ускладнюватися в початковій школі і на який рівень знань про нього діти повинні вийти, закінчивши початкову школу; як це поняття трактується в 5-6 класах та в систематичному курсі геометрії. Такий аналіз допоможе правильно активізувати попередні знання, визначити опору та новизну даного матеріалу, і, в результаті, підійти до способу його пояснення.

Не означуваними поняттями у курсі геометрії є «точка», «пряма лінія», «площина», на основі яких базуються інші геометричні поняття. Окрім прямої, учні початкових класів знайомляться з кривою та ламаною лініями.
Одним з основних у 1-4 класах є поняття «відрізок», яке вводиться через інше «частина прямої». У посібнику В. О. Погорєлова відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх її точок, які лежать між двома даними. Ці точки названо кінцями відрізка. Питання, чи належать вони самому відрізку, залишається нерозкритим до 6 класу, а молодші школярі повинні знати, що кінці відрізка тільки задають його[7].

Майже з перших уроків математики в початкових класах учні стикаються з вимірюванням відрізків. Не володіючи спеціальною математичною термінологією, діти вже готуються до усвідомлення того, що кожен відрізок має певну довжину, більшу від нуля, та що довжина відрізка дорівнює сумі довжин тих частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

У другому класі починається знайомство молодших школярів з такою геометричною фігурою, як кут. Оскільки, вони ще не знайомі з променем, то означення кута для них не дається, а уявлення про нього у дітей формується в основному під час вивчення многокутників. Як свідчать педагогічні дослідження, кут учні початкових класів розуміють як “відірваний кут многокутника”. Проте, міцно закріпившись в дитячій уяві, таке розуміння створює труднощі під час вивчення кута в 5 класі. Ним тут називають фігуру, утворену двома променями, що мають спільний початок. Така неузгодженість вимагає уточнення уявлення про кут вже з перших уроків ознайомлення з ним.

Ще однією проблемою, з якою стикаються молодші школярі, - порівняння кутів за величиною. Звичайно, у початкових класах не вимагається знаходити величину кутів у градусах, користуючись транспортиром. Але учні 2 класу ознайомлюються з прямим кутом, а тому для порівняння використовують прямий кут косинця.

Аналіз програм і підручників свідчить, що учні початкових класів досить багато дізнаються про многокутники. Враховуючи те, що ще з дошкільного віку дітям знайомі трикутник, чотирикутник, квадрат, шкільний підручник для першого класу оперує цими фігурами. Моделі і зображення геометричних фігур застосовуються як дидактичний матеріал для вивчення чисел і арифметичних дій над ними, для розв'язування задач[14].

У 1-4 класах учні розглядають різні види фігур, уточнюють уявлення про ці фігури, вчаться розпізнавати їх у різних ситуаціях, на малюнках, моделях та навколишніх предметах, визначати знайомі їм геометричні фігури у фігурах складної конфігурації, порівнювати їх, конструювати, обчислювати периметр многокутників та площу прямокутника і квадрата. У зв'язку з тим, що молодші школярі не лише розглядають та порівнюють різні фігури, а й вчаться їх зображати, саме на цьому етапі в них повинні сформуватися елементарні графічні уміння і навички роботи з креслярськими інструментами: олівцем, лінійкою та циркулем. Враховуючи вимоги Державного стандарту, виділимо загальні і окремі геометричні вміння, якими повинні оволодіти учні у процесі вивчення геометричного матеріалу (див. табл. 1.1).

Таблиця 1.1 Геометричні вміння

Загальні вміння	Окремі вміння
Розпізнавати і називати геометричні фігури	1) Пряму, криву, ламану лінії; 2) Вертикальну і горизонтальну лінії; 3) Точки, відрізки, промені; 4) Вертикальні, горизонтальні та похилі відрізки; 5) Кути многокутника; 6) Прямий кут; 7) Вершина, сторона кута; 8) Трикутник з прямим кутом; 9) Трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник, їх елементи; 10) Круг; 11) Центр і радіус кола; 12) Геометричні фігури у просторі.
Вимірювати геометричні фігури	1) Довжину ламаної лінії; 2) Довжину відрізка в сантиметрах; 3) Довжини сторін многокутника; 4) Довжину радіуса кола.
Порівнювати геометричні фігури	1) Довжини відрізків; 2) Довжини сторін трикутника.
Виконувати геометричні побудови	Будувати: 1) Відкладати на прямій відрізки певної довжини; 2) Точки, відрізки, промені; 3) Гострого і тупого кута; 4) З паличок; 5) Многокутників; 6) Прямокутник з заданими сторонами; 7) Заданого радіуса циркулем.
Обчислювати геометричні величини	1) Кількість ланок ламаної лінії; 2) Периметр многокутника; 3) Периметр квадрата.

Формування геометричних понять, умінь і навичок відбувається не шляхом заучування означень, а через розкриття змісту понять у процесі розв'язування системи вправ, спрямованих на формування геометричних умінь (розпізнавати геометричні фігури, порівнювати їх ознаки, виконувати геометричні побудови, вимірювати і обчислювати геометричні величини). Система вправ має включати такі їх види[10]:

Вправи на розвиток простороих уявлень

· орієнтування в розміщенні частин предмета, який розташований перед суб'єктом. Порядкове розміщення предметів. Наприклад: Прочитайте, які числазаписані у правому стовпчику? У середньому? У лівому?

· визначення положення, в якому знаходиться один предмет відносно другого. Наприклад: Яка фігура на малюнку зліва? Яка справа? Яка посередині?

· визначення положення предметів відносно певної особи. Наприклад: Яке дерево зліва від хлопчика? (У цьому завданні краще міркувати, коли відповідає хлопчик: «Зліва від мене росте береза»).

· визначення горизонтального, вертикального і похилого положення.

Наприклад: «Візьміть олівець і розмістіть його в горизонтальному положенні, у похилому, у вертикальному».

Вправи на розпізнавання геометричних фігур

· серед малюнків (наприклад: «Розгляньте малюнок. Скільки на ньому зображено кривих ліній, прямих, відрізків?»).

· серед зображених фігур (наприклад: «Серед зображених фігур обведіть многокутник»).

Вправи на порівняння ознак фігур з метою виявлення істотних

Наприклад: «Напишіть назви точок, які належать кругу; не належать кругу; належать колу; належать кругу, але не належать колу».

Вправи на побудову геометричних фігур

· лінійкою (наприклад: «Накресліть відрізок довжиною 12 см, нижче відрізок довжиною 1 дм 2 см»);

· циркулем (наприклад: «За допомогою циркуля побудуйте коло з радіусом 4см»).

Вправи на вимірювання геометричних величин

· безпосереднє вимірювання відрізків (наприклад: «Визначте довжину ламаної АВСD, зображеної на рисунку»);

· безпосереднє вимірювання многокутника (наприклад: «За допомогою лінійки виміряйте сторони шестикутника»).

Вправи на обчислення значень геометричних величин

· наприклад: «Визначте кількість ланок ламаної лінії на малюнку»;

· периметру (наприклад: «Знайдіть периметр квадрата, якщо відомо, що його сторона дорівнює 5см»).

Вправи комплексного характеру

· вимірювання і обчислення (наприклад: «Обчисліть площу прямокутника зображеного на малюнку»);

· побудова, вимірювання, обчислення (наприклад: «Побудуйте трикутник рівний даному. Обчисліть його периметр»).

школяр математика інноваційний початковий

1.3. Оригаметрія. Використання техніки оригамі на уроках математики в початковій школі

Абсолютною цінністю особистісно орієнтованої освіти є дитина. Глобальною метою такої освіти є людина культури - особистість вільна, гуманна, творча, духовна. Головне в такій особистості - спрямованість у майбутнє, вільна самореалізація, зміцнення віри в себе та свої можливості, досягнення ідеального «Я». Сьогодні в творчих індивідах існує гостра соціальна потреба, тож розвиток творчого мислення школярів - одне з найважливіших завдань сучасної школи.

У минулому математика застосовувалась в обмеженій кількості сфер людського життя і була необхідна порівняно невеликій кількості спеціалістів. На сучасному етапі математика проникла в усі сфери, у яких практикується раціональне мислення, а це потребує відповідної математичної підготовки школярів.

Надзвичайно ефективним є використання на уроках математики техніки оригамі. За допомогою одного з найпростіших і найдоступніших матеріалів - аркуша паперу. Це давнє східне мистецтво дозволяє вчителеві показати, а учням побачити й засвоїти основні елементи графічної грамотності.

Проблема навчання елементів геометрії особливої актуальності набуває в початкових класах. Від її розв'язання залежить не тільки успіх підготовки молодших школярів до вивчення систематичного курсу геометрії, а й підвищення рівня їхніх математичних знань у цілому.

У геометричному матеріалі багато спільного з художнім сприйняттям світу, оскільки важливе місце в геометрії належить образному мисленню. Це можна використати на уроках математики, оскільки мислення молодших школярів - наочно-образне та наочно-дійове[23].

Мистецтво оригамі для вирішення таких завдань підходить якнайкраще. Ще в XIX столітті німецький педагог Фрідріх Фребель заснував курс навчання математики за допомогою оригамі, на основі якого можна було покращити і зміцнити геометричні знання та вміння. Він пропонував своїм учням основи геометрії вивчати не за допомогою лінійки, циркуля та абстрактних понять, а через буквально відчутні реалії зігнутого паперу.Сьогодні навчання геометрії за допомогою оригамі практикується в багатьох школах Японії, США та інших розвинених країн[1].

Концепція математичної освіти стверджує, що знати математику - це вміти її застосовувати (розв'язувати задачі, користуватися математичною мовою, доводити твердження, критично аналізувати свої міркування), але цього не достатньо, необхідно вміти ще й малювати і креслити схеми, графіки, користуватися вимірювальними, креслярськими, технічними і лабораторними пристроями.

Оригамі - мистецтво складання паперу без використання клею та ножиць. Історія виникнення цього дивовижного мистецтва пов'язана з винайденням технології виготовлення паперу. Поступово оригамі поширилось по всьому світу. Особливого розквіту набуло в Японії. Сама назва «оригамі» утворюється з двох японських слів «орі» і «камі», що в перекладі означає «складений папір».

Це мистецтво впевнено і твердо ввійшло в педагогіку і знайшло собі місце у всіх її галузях. Орігамі - ідеальна дидактична гра, що розвиває фантазію дитини, її винахідливість, логіку та просторове мислення, уяву та інтелект. Просторова трансформація плоского аркуша дозволяє школярам легко, граючись, засвоювати складні математичні поняття, розв'язувати задачі з геометрії.

Педагоги багатьох країн давно помітили, що оригамі:

· привчає уважно слухати усні інструкції вчителя;

· навчає виконувати послідовні дії;

· розвиває здатність контролювати за допомогою мозку тонкі рухи рук та пальців (розвиток дрібної моторики);

· покращує просторову уяву і формує вміння подумки оперувати з об'ємними предметами;

· вчить читати схеми, за якими складається фігура;

· знайомить на практиці з основними геометричними поняттями;

· розвиває впевненість у своїх силах і здібностях;

· допомагає розвитку графічної грамотності;

· стимулює розвиток пам'яті;

· вчить концентрувати увагу;

· розвиває творчі здібності і дослідницькі навички;

· підвищує активність роботи правої і лівої півкуль мозку;

· підвищує і стабілізує на високому рівні психоемоційний стан.

Згинання аркуша паперу - найпростіша операція, яка не потребує жодних особливих навичок, крім уяви, і ця проста операція створює своєрідну геометрію, не менш багату, ніж геометрія циркуля та лінійки. На перший погляд здається, що можливості згинання включають у себе геометрію лише лінійки, але це помилка. В деяких випадках згини приховують у собі можливості циркуля, хоча і не дозволяють проводити безпосередньо дугу кола.

Оригамі дає можливість застосовувати графічні вміння та навички учнів у побудові схем, рисунків геометричного характеру на площині та в просторі, причому не користуючись при цьому креслярськими інструментами.

Завдяки оригамі з'являється можливість показати, що математика не суха наука, а краса та гармонія. В оригамі всі геометричні поняття формулюються мовою згинів, без детальних математичних тлумачень[23].

Оригаметрія - це поєднання оригамі та геометрії, яке містить у собі оригінальність іншого підходу до геометричних задач: задачі розв'язуються тільки методом перегину паперу. А скільки дивовижних таємниць криється у звичайному аркуші паперу, який завжди під рукою!

Піфагору ставлять у заслугу, що він поєднав геометрію та арифметику. Шкільна арифметика дуже мало використовує геометрію, а звідси, як наслідок, погані обчислювальні навички школярів та студентів. Оригамі ж спонукає вивчати геометрію разом з арифметикою. У цьому випадку заняття оригамі будуть мати смисл і ціль: геометричні фігури стануть об'єктом дослідження, а числа - його засобом. Властивості чисел будуть вивчатися за допомогою фігур, а фігури за допомогою чисел. Одне і те математичне твердження буде виражатися двома мовами. І перехід від предмета до знань відбуватиметься через перехід із мови фігур на мову чисел та навпаки.

Отже, на уроках математики оригамі дає можливість:

· практично побудувати модель евклідової геометрії і навчитися працювати з нею;

· говорити про одні й ті факти на різних мовах (орігамі, геометрія, арифметика та ін.);

· поєднувати вивчення плоских (просторових) фігур і арифметичних дій;

· переглянути послідовність вивчення геометричного матеріалу в межах додаткової освіти, враховуючи історичні зв'язки та сучасні можливості.

Існує багато типів задач, до яких можна застосувати метод перегинів. Серед них задачі на побудову, на доведення, задачі на знаходження розмірів шуканих фігур, на знаходження площі, периметра фігур тощо. Розглянемо кілька найпростіших задач, щоб проілюструвати красу і можливості зазначеного методу (Додаток А).

Розглянемо фрагмент уроку математики, у якому поєднано геометричний матеріал та оригамі. Школярам пропонується такий алгоритм роботи[9]:

- Візьміть аркуш паперу!

· Якої він форми?(прямокутний)

· Доведіть це, використовуючи лінійку.

· Складіть аркуш навпіл.

· Яку фігуру одержали ? Доведіть.

· Знайдіть нижній кут. Візьміться за нього і, піднявши, підведіть до верхньої сторони прямокутника. Стежте уважно: верхній правий кут повинен скластися навпіл, а сторони повинні рівно збігтися одна з одною.

· Яка фігура білого кольору ? Доведіть.

· Яка фігура кольорова? Доведіть, використовуючи лінійку.

· Згорніть трикутник усередину кольорової фігури.

· Чи можемо ми сказати, що кольоровий - прямокутник? Чому?

· Відірвіть прямокутник.

· Розгорніть.

· Яка фігура перед вами? Доведіть.

· Як називається лінія, що сполучає два протилежні кути квадрата?

· Скільки діагоналей може бути у квадрата? Доведіть.

· Чи могли ми обійтися без лінійки, щоб одержати з прямокутника квадрат?

· Зробіть квадрат із прямокутника, що залишився .

В оригаметрії вважається:

1. Основні поняття: точка, перегин, аркуш, який не має меж. У літературі можна зустріти, що до основних понять відносять квадратний аркуш паперу. Однак, зауважимо, що в ідеалі можна розглядати аркуш паперу нескінченим (як і площину), а перегини дозволяють нам побудувати як квадрат, так і багато інших фігур.

2. Роль точок відіграють вершини кутів аркуша паперу і точки перетину слідів (ліній) перегину між собою та з краями аркуша.

3. Роль прямих відіграють краї аркуша паперу та сліди (складки, лінії) перегинів, які утворюються при його складанні.

З чого ж складається будь-яка задача оригаметрії?

1. Постановка задачі. Аналіз умови, виокремлення даних компонентів, дослідження їхніх властивостей.

2. Розв'язання за допомогою оригамі. Перевірка виконання заданої умови або побудова шуканої фігури.

3. Математичне обґрунтування. Доведення того, що в результаті дійсно отримано фігуру з шуканими властивостями.

У сучасній школі все частіше помітне зниження інтересу учнів до уроків математики. Саме інтегроване вивчення оригамі та геометрії (оригаметрія) є одним з можливих шляхів вирішення цієї проблеми.



РОЗДІЛ 2. МЕТОДИКА ОРГАНІЗАЦІЇ ЗАСВОЄННЯ ГЕОМЕТРИЧНОГО МАТЕРІАЛУ МОЛОДШИМИ ШКОЛЯРАМИ

2.1 Формування певних геометричних компетенцій при вивченні математики в школі

Державний стандарт базової і повної середньої освіти визначив, що основним в українській системі освіти є розвиток компетентностей в учнів. У цьому нормативному документі зазначений перелік компетентностей, якими мають володіти сучасні випускники шкіл, серед них предметні компетентності. При цьому предметні компетентності формуються і розвиваються в учнів засобами конкретних навчальних дисциплін. Особливе місце серед навчальних дисциплін займає математика.

Нова редакція Державного стандарту початкової загальної освіти і нова програма з математики для 1-4 класів, які регламентують наповнення змістової лінії «Просторові відношення. Геометричні фігури», націлюють навчальний процес на запровадження компетентнісного підходу в навчанні молодших школярів. Це передбачає перехід від «навчання усіх усьому» до оволодіння кожним учнем начальними досягненнями на такому рівні, який дозволяє успішно вчитися далі, застосовувати набуті знання і вміння у власному досвіді[15].

Геометричний зміст початкового курсу математики сприяє не тільки опануванню молодшими школярами математичною компетентністю, а ще й формуванню та перевірці елементів ключових компетентностей, наприклад: здатність критично мислити, знаходити різні способи для розв'язування учбової задачі, складати алгоритм виконання дій, аналізувати та відбирати потрібні для розв'язування задач дані чи інформацію, будувати зв'язні висловлювання з використанням математичної термінології, працювати і взаємодіяти в групі чи команді тощо.

Формування поняття про пряму можна почати показом натягнутого тонкого шнура. Щоб учням легше було уявити нескінченність прямої, варто запропонувати їм зігнути аркуш паперу довільної форми і в будь-якому напрямі. Розправивши цей аркуш, учні побачать, що на ньому утворилася пряма лінія. Тут можна сказати, що пряма є нескінченна, а бачимо ми лише її частину. Діти повинні чітко зрозуміти, що пряма складається з безлічі точок, адже це є опорою у вивченні всього геометричного матеріалу. Саме так і починає виклад курсу геометрії О. В. Погорєлов: «Кожну геометричну фігуру можна уявити складеною з точок»[19].

Навчаючи дітей проводити прямі лінії за допомогою лінійки, вчитель спершу демонструє виконання такої роботи на аркуші білого паперу, прикріпленого до класної дошки. Діти мають навчитися будувати вертикальну, горизонтальну і похилу пряму.

Після ознайомлення учнів із прямою лінією вводиться наступне поняття - «відрізок». Вчитель креслить на дошці пряму лінію і позначає на ній рисками дві точки. Після цього пояснює дітям, що частину прямої, обмежену двома точками, називають відрізком прямої або відрізком. Його кінці на малюнку позначають тоненькими рисочками або точками. Якщо на малюнку рисочок (точок) немає, то це зображення прямої.

Ознайомившись з поняттям відрізка, молодших школярів вчать порівнювати їх за довжиною. Спочатку відрізки порівнюють «на око», вживаючи при цьому слова «рівні», «нерівні», «однакові», «довший», «коротший», потім порівнюють за довжиною дві палички (дві смужки), прикладаючи їх одна до одної.

Діставши уявлення про сантиметр, учні вимірюють довжину відрізка за допомогою лінійки. Найпоширенішою помилкою серед учнів (і не тільки початкових класів) є початок вимірювання відрізка не від нульової позначки шкали, а від лівого зрізу (краю) масштабної лінійки. Тому спершу дітей потрібно ознайомити з нею (покажіть початок лінійки, початок її відліку, перший, другий і т. д. сантиметр). Потім учнів вчать виконувати окремі операції: розміщувати аркуш паперу так, щоб руки і лінійка не закривали відрізка, який вимірюємо; встановлювати лінійку так, щоб відрізок містився біля освітленого ребра лінійки, де є поділки; уміщати початок відліку лінійки з початком вимірюваного відрізка; розміщувати чотири пальці лівої руки так, щоб вони притискували середину лінійки до аркуша паперу; називати і показувати кожен сантиметр під час «крокування» олівцем уздовж відрізка.

Ще однією проблемою, з якою стикаються молодші школярі є креслення відрізків за масштабом. Як правило, такі завдання учні виконують під безпосереднім керівництвом учителя. Пояснення здійснюється під час виконання вправ виду:

а) Довжина накресленого на дошці відрізка АО дорівнює 8 дм. Побудуй в зошиті зображення цього відрізка у зменшеному вигляді, приймаючи, що 1 см відрізка в зошиті означатиме 1 дм відрізка на дошці. Якою буде довжина накресленого в зошиті відрізка? У скільки разів відрізок на дошці довший, ніж накреслений у зошиті?

б) Відстань між містами 70 км. Зобразіть цю відстань відрізком у зошиті, приймаючи, що 1 см становить 10 км.

Наводимо приклади завдань, в яких використовується поняття масштабу.

а) Відстань між двома населеними пунктами зображено відрізком КМ. Обчисліть цю відстань, взявши до уваги, що в 1 см вміщається 5 км.

б) Знайдіть відстані між Києвом та Вінницею і Києвом та Житомиром. Порівняйте відстані. Масштаб: в 1 см - 20 км.

За допомогою відрізків подається поняття «ламана лінія». Спершу дітям слід запропонувати розглянути два малюнки: один із зображенням відрізків, другий - ламаних ліній, та визначити їх схожість і відмінність. Потім подається окрема ламана лінія і ставиться запитання: із скількох відрізків складено ламану лінію? Так діти поступово підходять до ознайомлення зі складнішими геометричними формами.

Всім відомо, що у молодших школярів переважає образне, предметне мислення. Тому під час першого ознайомлення з кутом його можна зробити з двох паличок і шматочка пластиліну. Палички - сторони кута, а шматок пластиліну - його вершина. Уже в цей час можна порівнювати кути, накладаючи їх один на одний. Важливо правильно сформувати уявлення про величину кута, щоб діти не вважали, що більшим вийшов кут у того, в кого були довші палички. Зумовлене це тим, що в учнів ще не сформоване поняття променя, і ми користуємося тільки моделлю цього поняття. А моделлю променя є відрізок, який за потреби можна як завгодно далеко продовжити[13].

Моделлю кута можуть також служити дві планки, скріплені цвяшком: розсуваючи і зсуваючи планки, діставатимемо кути різної величини; стрілки годинника; гострі частини ножиць. Діти самі наводять багато цікавих прикладів: це і відкритий дзьоб лелеки, і клешні рака, і гілочки дерев (якщо вони прямі).

На наступному етапі вивчення кутів можна пов'язувати з вивченням многокутників. У свідомості дитини кут уже не буде уявлятися, як відірваний кут многокутника, а учень розумітиме, що його утворюють два промені, яким належать сторони многокутника, що виходять з однієї вершини. Важливо звернути увагу на те, як діти показують кут. Робити це потрібно віялоподібним рухом указки від однієї сторони кута до іншої, встановивши один її кінець у вершині кута.

Ще однією важливою проблемою, з якою стикаються класоводи - формування у школярів уявлення про величину кута, оскільки учні 2 класу ознайомлюються з прямим кутом. Для цього варто розглянути його утворення в процесі перегинання листка паперу. Кожному учневі треба дати аркуш паперу довільної форми. Потім під керівництвом учителя діти складають аркуші вдвічі, притискують лінії згину. Після цього перегинають ще раз, стежачи за тим, щоб частини утвореної раніше лінії перегину з'єдналися. Таким чином у дітей утвориться прямий кут. Якщо папір розгорнути, вони побачать, що дві лінії перегину ділять аркуш на чотири частини. Утворилось чотири прямі кути, які мають спільну вершину.

За допомогою паперової моделі прямого кута учнів відшукують прямі і непрямі кути на предметах з навколишнього оточення і на косинці, який потім використовують для порівняння кутів: чи є він прямим, чи більшим, або меншим від прямого. Зручніше при цьому користуватися косинцем з прозорої пластмаси.

Закріпити навички вимірювання кутів можна за допомогою різноманітних вправ. Більшу увагу потрібно приділяти вимірюванню кутів за допомогою малки. Якщо її немає, то модель можна виготовити з двох смужок цупкого паперу, скріпивши їх дротиками так, щоб вони розсувались. За допомогою малки діти наочно впевнюються, що величина кута залежить не від довжини його сторін, а від їх взаємоположення одна відносно іншої.

У початкових класах многокутники і круг постійно використовуються як дидактичний матеріал. Під час вивчення чисел першого десятка різні фігури виступають лічильним матеріалом; паралельно учні уточнюють зображення окремих фігур, запам'ятовують їх назви. Окремі види многокутників вводяться одночасно з вивченням чисел 3, 4, 5, 6. Наприклад, під час вивчення числа 3 діти ознайомлюються з трикутником, розглядають його елементи: сторони, кути, вершини. Ці поняття конкретизують за допомогою запитань: Скільки в трикутнику кутів? Вершин? Сторін?

Сторони, вершини і кути многокутника потрібно показувати учням на моделях плоских фігур. Важливо, щоб і діти правильно їх показували: вершини - це точки, тому указку слід направляти у відповідну точку; сторони - це відрізки, тому показують їх від однієї вершини до іншої, проводячи указкою вздовж усього відрізка; кут - віялоподібним рухом указки. Треба звернути увагу дітей і на те, що вершина многокутника є і вершиною відповідного кута.

Проаналізувавши досвід роботи з вивчення многокутників у початкових класах, можна запропонувати декілька рекомендацій:

а) Молодші школярі повинні зустрічатися з різними трикутниками. Це сприятиме правильному формуванню уявлень про трикутник та підготує учнів до вивчення його різних видів у 5 класі.

б) Розглядаючи різні моделі, діти повинні вчитися самостійно відтворювати геометричні образи в уяві, на папері.

в) У початкових класах слід використовувати вправи на: виділення знайомих фігур серед інших; порівняння фігур; конструювання фігур.

Ознайомлюючись із чотирикутниками діти мають виділяти серед них прямокутники і окремий від прямокутника - квадрат. Для цього учням пропонується серед деякої кількості чотирикутників вибрати такі, в яких кути прямі. Щоб переконати дітей у тому, що тільки прямокутник може мати всі кути прямі, класовод може запропонувати вправу: Закінчіть фігуру так, щоб вийшов трикутник з усіма прямими кутами. (Після численних спроб діти з'ясовують, що зробити цього не можна). Закінчіть фігуру, щоб дістати п'ятикутник або шестикутник, у якого б усі кути були прямі. (Зробити це теж неможливо). Звідси роблять висновок, що тільки чотирикутник може мати всі кути прямі. І цей чотирикутник називається прямокутником. Варто звернути увагу дітей на форму навколишніх предметів (або їх частин), і знайти серед них такі, що мають форму прямокутника: зошит, книжка, класна дошка, парта тощо[4].

У процесі вимірювання сторін прямокутника діти встановлюють, що його протилежні сторони рівні. На цьому етапі їх слід ознайомити із поняттям квадрата, яке визначається як прямокутник, у якого всі сторони рівні (або рівносторонній прямокутник).

Уявлення про фігури у дітей закріплюється під час вивчення цілого ряду вправ. Вправи різняться рівнем складності, розв'язування кожної потребує відповідного виду мислительної діяльності: репродуктивної, частково-пошукової або творчої. Під час їх використання до кожного учня слід застосовувати диференційований підхід.

Як відомо, дуже ефективним засобом навчання є гра, в процесі якої діти невимушено, мимовільно, з підвищеною активністю засвоюють нові знання. Дуже цікавою є старовинна гра «Танграм», в якій діти можуть складати найрізноманітніші малюнки за зразками, або придумувати їх самі.

У 3 класі вводяться означення периметра многокутника. Як і довжину ламаної лінії, периметри многокутників знаходять в результаті вимірювання довжин їх сторін з наступним додаванням здобутих результатів.

Після введення буквених позначень многокутників учнів слід ознайомити із різними способами обчислення периметра. Якщо довжину прямокутника позначити буквою а, а ширину - буквою в, то ці способи можна записати так: а + в + а + в, а + а + в + в, а · 2 + в · 2, (а + в) · 2. Останній спосіб є найзручнішим, але учні повинні бути знайомі з усіма.

У 4 класі учні знайомляться з поняттям площі, і мають навчитися знаходити площу прямокутника.

При введенні поняття коло і круга можна йти двома шляхами:

а) розглянути спочатку коло, як особливий вид кривої лінії, а потім ввести круг, як фігуру, яку обмежує коло;

б) розглянути круг, виходячи з відомого дітям поняття «кружечок», а коло ввести як лінію, яка обмежує круг.

У зв'язку з тим, що кружечки, вирізані з паперу потрібні для проведення предметної лічби вже з перших уроків математики, перевагу треба надати другому шляху. Вивісивши на дошці наочність, вчитель повідомляє учням, що на малюнку зображено круг. Лінія, яка є межею круга, називається колом. Коло будують за допомогою циркуля. Точка О, в якій міститься голка циркуля, - центр кола. Відрізок ОА - радіус кола.

Навчаючи дітей креслити коло за допомогою циркуля, вчитель спочатку демонструє його побудову на аркуші білого паперу, прикріпленого до дошки. При цьому він ознайомлює їх з інструкцією побудови кола за допомогою циркуля:

а) Розвити ніжку циркуля і вістря олівця на величину заданого радіуса.

Для цього голку треба встановити на нульову поділку лінійку, а вістря олівця - на поділку, числове значення якої дорівнює задній величині радіуса.

б) Встановити голку в задану точку. Для цього правою рукою треба тримати олівець, а пальцем лівої - вістря голки в задану точку.

в) Коло креслять в напрямі за годинниковою стрілкою, нахиливши циркуль трохи вперед у напрямі руху олівця. Починати креслити слід від нижньої точки кола (від себе).

г) Креслити коло треба однією, правою рукою, тримаючи олівець за верхній кінець.

ґ) Лікоть правої руки спочатку відведений від корпусу, а в міру наближення вістря олівця до кінця (і початку) кола поступово наближається до нього.

Спочатку школярі вчаться будувати коло на окремих аркушах паперу (на чернетках). Коли всі вони більш-менш правильно навчаться креслити його, можна дозволити побудову кола в зошиті.

2.2 Нетрадиційні форми роботи під час вивчення математики в початкових класах

Прогресивною мотивацією для школяра молодшого шкільного віку є те, як його зустрічає школа і перший учитель [20]. Тому вчитель має бути гарантом права маленької людини на творчість, індивідуальність, самореалізацію. Педагог повинен зберегти інтерес учнів до навчання, прагнення до пізнання; побудувати місточок між дошкільним та початковим навчанням. Забезпечення сприятливого психологічного середовища, підвищення ефективності навчання неможливе без використання нетрадиційних, інтерактивних методів навчання, без активізації всього навчального процесу.

Організація інтерактивного навчання передбачає моделювання життєвих ситуацій, використання рольових ігор, спільне вирішення проблеми на основі аналізу обставин та відповідної ситуації. Воно ефективно сприяє формуванню навичок і вмінь, виробленню цінностей, створенню атмосфери співробітництва, взаємодії, дає змогу педагогу стати справжнім лідером дитячого колективу [].

Однією з таких інтерактивних форм є створення ігрових ситуацій. Використання ігрових технологій у процесі навчання математики молодших школярів спрямовано на підвищення якості математичної освіти, розвиток пізнавальної активності учнів. В основі ігрових технологій - створення учителем навчальних ситуацій успіху, змагання для емоційного та соціального самоствердження школярів на математичному матеріалі. Завдання вчителя пролягає у розробці ігрових технологій до конкретного фрагменту уроку математики таким чином, щоб ініціювати потяг учнів до знань, бажання пізнавати нове, відшукання способу розв'язування нестандартного математичного завдання тощо. Ігрові методи і форми навчання суттєво відрізняються від традиційних тим, що дають змогу учню безпосередньо стати учасником ситуації чи події. Під час гри в класі створюється доброзичлива атмосфера, бадьорий настрій, що пробуджує в учнів бажання вчитися.

Для зацікавлення учнів, заохочення до вивчення предмету потрібно практикувати години цікавої математики, що є груповими заняттями у початкових класах (Додаток Б). Час проведення для кожного класу різний: у 1 класі - 15-20 хвилин, у 2 класі - 20-25 хвилин, у 3 та 4 класах - до 35 хвилин. У першому класі години цікавої математики проводяться епізодично, тоді як у 2-4 класах - регулярно по 1-2 рази на місяць. Структура годин цікавої математики містить вступну, основну та заключну частини. У вступній частині формується мотивація математичної діяльності молодших школярів, задається атмосфера інтересу, зацікавленості, бажання виконувати завдання та формується позитивна мотивація до діяльності. В основній частині учням пропонуються завдання за певною темою або набір завдань з різних тем. Вони більш складні, ніж у вступній частині і вимагають інтелектуального напруження, наполегливості у відшуканні результату. Це нестандартні задачі, творчі або дослідницькі завдання, задачі підвищеної складності. Третя частина, заключна, містить логічні задачі, загадки, математичні жарти[8].

...