Главная Коллекция "Revolution" Педагогика Одна із проблем при викладанні вищої математики для студентів нематематичних спеціальностей та її можливе вирішення

Одна із проблем при викладанні вищої математики для студентів нематематичних спеціальностей та її можливе вирішення

Розгляд проблеми викладання курсу вищої математики для студентів нематематичних спеціальностей, пов'язана з протиріччям між кількістю годин, виділених на вивчення вищої математики, об'ємом тем та можливістю їх викладу у математично-науковому стилі.

Рубрика Педагогика
Вид статья
Язык украинский
Дата добавления 05.04.2019
Размер файла 194,4 K
рефераты на заказ со скидкой

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний університет кораблебудування ім. адмірала Макарова

ОДНА ІЗ ПРОБЛЕМ ПРИ ВИКЛАДАННІ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТІВ НЕМАТЕМАТИЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ ТА ЇЇ МОЖЛИВЕ ВИРІШЕННЯ

Майборода О. В., к. е. н., доцент

Анотація

викладання вища математика студент

У статті розглядається проблема викладання курсу вищої математики для студентів нематематичних спеціальностей, пов'язана з протиріччям між кількістю годин, виділених на вивчення вищої математики, об'ємом тем та можливістю їх викладу у математично-науковому стилі з урахуванням майбутньої спеціальності студентів.

Ключові слова: вища математика, нематематичні спеціальності, основні теореми диференціального числення, геометричний зміст, механічна інтерпретація, предикати, логічні операції.

Аннотация

Майборода А. В., НУК им. адмирала Макарова, г. Николаев, Украина

ОДНА ИЗ ПРОБЛЕМ ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ И ЕЕ ВОЗМОЖНОЕ РЕШЕНИЕ

В статье рассматривается проблема преподавания курса высшей математики для студентов нематематических специальностей, связанная с противоречием между количеством часов, выделенных на изучение высшей математики, объемом тем и возможностью их изложения в математически- научном стиле с учетом будущей специальности студентов.

Ключевые слова: высшая математика, нематематические специальности, основные теоремы дифференциального исчисления, геометрический смысл, механическая интерпретация, предикаты, логические операции.

Annotation

Mayboroda A., National University of Shipbuilding named after admiral Makarov, Nikolaev, Ukraine

ONE OF THE PROBLEMS AND ITS POSSIBLE SOLUTION WHEN TEACHING HIGHER MATHEMATICS FOR STUDENTS NON-MATHEMATICAL SPECIALITIES

The article deals with the problem of teaching higher mathematics course for students non- mathematical specialities associated with the contradiction between the number of hours allocated to the study of higher mathematics, the volume of themes and the possibility of presenting a mathematical-scientific style considering the students ' future speciality.

Key words: higher mathematics, non-mathematical specialities, the fundamental theorems of the differential calculus, geometric meaning, mechanical interpretation, predicates, logical operations.

Вступ

Протягом багатьох десятиліть склалася певна традиція викладу курсу вищої математики для студентів нематематичних спеціальностей. Специфікою цих курсів є те що об'єм розділів курсу відповідає об'єму курсу вищої математики у традиційному розумінні цього слова [3], але спосіб подання тем відрізняється тим, що всі твердження, теореми, навіть принципові, даються без доведення, а тому і висновки з них та їх практичне застосування формулюються, як алгоритми, не мотивовані логічно.

Автор вбачає в цьому суттєвий недолік при вивчені математики і як світоглядної науки, і як такої, що є інструментом (засобом) більш глибокого розуміння студентом своєї майбутньої не математичної спеціальності.

Аналіз досліджень і публікацій. Цей недолік намагаються вирішити багато сучасних авторів курсів вищої математики [1; 2].

Постановка задачі

Залишаючись на тих засадах, що в математиці найважливішим є уміння логічно вибудовувати і доводити різноманітні предикати, побудовані шляхом логічних операцій із інших предикатів, автор вважає доведення теорем невід'ємною частиною вивчення математики.

У той же час, враховуючи специфіку курсу вищої математики для нематематичних спеціальностей традиційно математичні доведення, на наше переконання, повинні бути підкріплені інтерпретацій- ними формами, що використовують понятійний апарат майбутньої спеціальності студентів.

Як конкретний приклад, що демонструє можливе вирішення цієї проблеми, автор пропонує методичну розробку лекції для студентів спеціальності «Електричні системи і комплекси транспортних засобів».

Виклад основного матеріалу дослідження

Тема лекції: Основні теореми диференціального числення та їх застосування при дослідженні функцій.

Мета: Познайомити з основними теоремами диференціального числення. Показати їх застосування при дослідженні функцій, а також в деяких нестандартних випадках. Формувати цілісне сприйняття матеріалу вищої математики та показувати його зв'язок з фізико-математичними дисциплінами. Виховувати бажання розширювати знання за рахунок самоосвіти і бажання застосовувати теоретичний матеріал для розв'язування практичних задач.

У природі не відбувається нічого, в чому б не можна було побачити закономірностей прояву максимумів або мінімумів.

Л. Ейлер

Вступ.

На попередніх лекціях ми познайомилися з поняттям похідної і дали її означення, з'ясували геометричний і фізичний зміст, вивели формули знаходження похідних основних елементарних функцій, встановили правила диференціювання суми, добутку, частки функцій, формули диференціювання складеної функції, оберненої функції, параметрично заданої функції. Дали означення диференціалу та встановили його властивості, зокрема інваріантність форми для диференціала першого порядку складеної функції. Дали означення похідних і диференціалів вищих порядків.

Давайте переконаємося, що це дійсно так і проактуалізуємо знання на декількох прикладах.

Слайд 1

1. у = x2, у ' =

2. у = 5x, у' =

3. у = x In x, у' =

4. у = arctgx -- yl 1 -- x2, у'(0) =

dy

5. у = sm x, -f-

dx

x=0

6. у = cos x, dy =

Повідомлення теми та мотивація роботи на лекції.

Знаходження похідних, власне техніка диференціювання (те, що ви щойно робили) не самоціль, а лише засіб. Звернемо увагу на два моменти.

Слайд 2.

1. Диференційовані функції мають ряд важливих властивостей не притаманних іншим функціям (взагалі говорячи)

2. Ці властивості можуть бути встановлені засобами самого ж диференційного числення.

Вирішенню цих питань і буде присвячено сьогоднішню лекцію, в першу чергу встановленню умов монотонності і дослідження функції на екстремум.

Говорячи іншими словами: лейтмотивом нашої лекції буде вирішення проблеми, як по відомій похідній f' (x) зробити деякі висновки про поведінку самої функції f (x).

Пригадаємо означення.

Слайд 3.

Озн. 1. Функція f (x) зростає в т. x = c, якщо існує такий окіл (c -- 5; c + 5), що для всіх x є (с -- 5; c + 5): f (x) > f (c), при x > c i f (x) < f (c), при x < c

Озн. 2. Функція f (x) спадає в т. x = c, якщо існує такий окіл (c -- 5; c + 5), що для всіх

x є (c -- 5;c + 5): f (x) < f (c), при x > c i f (x) > f (c), при x < c

Озн. 3. Функція f (x) зростає (спадає) на (a; b), якщо вона зростає (спадає) в кожній точці цього інтервалу.

Озн. 4. Функція f (x) спадає на (a; b), якщо для будь-яких xj і x2 із (a; b) із того, що

xi > x2 ^ f (xi ) < f (x2 )

Озн. 5. Точка x0 називається точкою локального максимуму, якщо існує окіл т. c:(c -- 5; c + 5) так, що для будь-якого x є (c -- 5; c + 5)виконується нерівність

f (x) < f (c)

Озн. 6. Точка x0 називається точкою локального мінімуму, якщо існує окіл т. c:(c -- 5; c + 5) так, що для будь-якого x є (c -- 5; c + 5) виконується нерівність

f (x) > f (c)

Озн. 7. Локальний максимум і локальний мінімум називають локальним екстремумом, або просто екстремумом функції.

Доведемо лему.

Лема 1. (Достатня ознака зростання функції в точці) Якщо функція f (x) диференційована в т. c і f ' (с) > 0, то функція в цій точці зростає.

Доведення.

'(с) = l,m i^xl--

x^c x -- c

За означенням границі

f '(с) -- Є< f (x) -- f (c) < f '(с) + є (1) x -- c

при 0 < |x -- c <5

виберемо є > 0, так щоб f'(с) > є, тобто f ' (с) -- є > 0, тоді із формули (1):

f (x) -- f (c) і якщо x -- c > 0, x > c, то f (x) -- f (c) > 0, тобто f (x) > f (c),

а якщо x -- c < 0, x < c, то f (x) -- f (c) < 0, тобто f (x) > f (c).

А це згідно з означенням 1 і означає, що функція f (x) зростає. Доведено.

Звернемо увагу на те, що Лема 1 виражає достатні умови.

-3.0 -2,5 -2,0 -1.5 -1.0 -0,5

0 ТУ

0,5 1.0 1,5 2,ІЇ 2.5 3,0

с3 /

У

/

-3.0 -2,5 ДО -1,5 -1.0 -0,5

0,5 1.0 1,5 2,0 2.5 3,0

y = X зростає в точці х = 0, але

f'(x) -- 3x 2; f ' (0) -- 0

Лема 2. Якщо функція f (x) диференційована в т. X = C і f '(с) < 0, то функція в цій точці спадає.

Доведення. {Аналогічне попередньому - провести дома самостійно}.

Теорема Ферма. (Необхідна умова екстремуму). Нехай функція f (x) визначена в інтервалі (a; b) і у внутрішній точці С є (a; b) досягає екстремуму, тоді f '(c) = 0.

2. Порушення хоча б однієї умови не гарантує правильності висновку теореми (продемонструємо це на ілюстраціях).

Доведення.

Якщо С -- точка екстремуму, то в ній функція не може ні зростати не спадати, а тому жодна з у мов f '(c) < 0 чи f '(c) > 0 згідно з Леми 1 і 2 не виконується. Отже з необхідністю f '(c) = 0.

Геометричний зміст теореми Ферма зрозумілий з рисунків: Якщо в т. X = C функція досягає найбільшого, або найменшого значення, то дотична до графіка цієї функції точці (c; f (c)) паралельна осі ОХ.

Теорема Ролля. Нехай функція f (x) має такі властивості:

1. визначена і неперервна на відрізку [a; b],

2. існує скінчена похідна на інтервалі (a; b),

3. f (a) = f (b)

Тоді існує c є (a; b) така, що f '(c) = 0

Доведення.

За другою теоремою Вейєрштрасса, функція неперервна на відрізку, досягає на ньому свого найбільшого і найменшого значення.

Нехай а = min f (x) і f3 = max f (x)

x^_a\b~] xg[ a\h\

Розглянемо два випадки:

1. а = (3, для всіх x є [a; b]

Тому f' (x) = c' = 0, Vx є (a, b)

а < 3, тоді через те, що, хоча б одне із значень а або в не співпадають із значенням функції на кінцях відрізка, а значить досягаються в деякій точці C є (a; b), але тоді за т. Ферма

f ' (c) = 0. Доведено.

Зауваження.

Насправді таких точок може бути і більше. Теорема гарантує хоча б одну таку точку.

Слайд 4.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теорему Ролля можна інтерпретувати фізично, наприклад для руху матеріальної точки математичного маятника. геометричний зміст формули (3). Слайд 5.

Размещено на http://www.allbest.ru/

f '(c) = v = 0

Щоб маятник повернувся в початкову точку f (a) = f(b, на траєкторії його руху повинна існувати така точка, де він зупиниться. V = f '(c) = 0.

Крім математичного аналізу т. Ролля має широке застосування в інших розділах математики, наприклад в алгебрі для дослідження існування дійсних коренів рівняння f (х) = 0. Приклад.

Довести, що рівняння х3 -- 3х2 + 6х +1 = 0 має єдиний дійсний корінь. Вказати інтервал, в якому він знаходиться.

Доведення.

Розглянемо функцію f (х) = х3 -- 3х2 + 6х +1. Легко бачити, що f (0) = 1 > 0, f (--1) = --9 < 0, отже за теоремою Больцано - Коші існує а, -- 1 <а < 0, таке що f (а) = 0, тобто а - корінь рівняння f (х) = 0 в інтервалі (--1;0). Покажемо, що інших дійсних коренів немає.

Маємо f '(х) = 3х2 -- 6х + 6 = 3(х -- 1)2 + 3 > 0 і коли був би ще один корінь а *а, тобто

f (а1) = 0, то за теоремою Ролля між коренями а і аі лежав би корінь похідної, що не можливо, оскільки f'(х) > 0. Доведено.

Теорема Лагранжа (теорема про скінчені прирости)

Нехай f (х) задовольняє умови:

1. Визначена і неперервна на [a;b]

2. Диференційована принаймні на (a; b)

тоді існує c є (a; b), така, що

/СЬЬДа) = f, (с)

b -- a

Перед доведенням теореми, з'ясуємо

( -- кут нахилу хорди АВ, що з'єднує кінці графіка функції f (х) в точках (a; f (a)) і

(b; f (b)).

а -- кут нахилу дотичної до графіка функції f (х) в точці С так, що tga = f' (c) і при цьому а = (, а тому і tga = tg( що є іншим записом формули (3).

Тобто (3) стверджує, що на кривій y = f (х) існує така точка P(c; f (c)) в якій дотична до кривої y = f (х) буде паралельна хорді АВ.

Доведення.

Використовуючи знання із геометрії легко запишемо рівняння хорди АВ

,,, f (b) -- f (a).

y = f (a) + (х -- a) (4)

b--a

Нехай наша функція має рівняння

Уі = f (х) (5)

Розглянемо різницю (5) і (4), яка дає деяку нову функцію р(х):

Р(х) = f (х) - У = f (х) - f (а) - --1^ (х - а) (6)

b -- а

р(х) -- це різниця між ординатами графіка функції f (х) та хорди в кожній точці

х є [а; b].

р(х) -- неперервна, як сума неперервних на

[а; b] функцій і диференційована на (а; b), як

сума диференційованих функцій. Тому

ч ч ч f (b) - f (а)

Р(х) = f (х) - V ' J W (7) b - а

Крім того: р(а) = р(Ь) = 0. Таким чином (6) задовольняє умовам теореми Ролля, а отже існує c є (а; b) така, що р'(c) = 0, тоді із (7):

f (c) - f Ф)- f (а) = о b - а

або ж-іа = f (c)

b - а

Доведено.

Зауваження.

1. Як і в т. Ролля порушення будь-якої умови може привести до невиконання наслідку.

2. Формулу (3) також записують у формі

f(b) - f(d) = f'(c) - (b - а) (8)

Порівнюючи її із наближеною формулою (нескінченно малих приростів) {пригадайте означення

диференціала} f (х) - f (хо) - f'(хо) - (х - хо)

Зрозуміла інша назва (8) - формула скінчених приростів.

Строга рівність в (8) досягається за рахунок невизначеності положення т. С, хоча в деяких випадках її вдається знайти.

Формулу (8) можна записати ще і в іншому вигляді, який нам стане в нагоді в подальшому.

Зробимо наступне:

а < c < b, тому 0 < c - а < b - а, а тому існує 0 < © < 1, таке, що c - а = &(b - а), звідки c = а + ©(b - а)

Тоді f' (c) = f'(а + ©(b - а)) і формула (10) приймає вигляд:

f(b) - f(d) = (b - а) - f' (а + ©(b - а))

Теорема Лагранжа теж має красиву механічну інтерпретацію.

...

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены