Главная Коллекция "Revolution" Педагогика Одна із проблем при викладанні вищої математики для студентів нематематичних спеціальностей та її можливе вирішення

Одна із проблем при викладанні вищої математики для студентів нематематичних спеціальностей та її можливе вирішення

Розгляд проблеми викладання курсу вищої математики для студентів нематематичних спеціальностей, пов'язана з протиріччям між кількістю годин, виділених на вивчення вищої математики, об'ємом тем та можливістю їх викладу у математично-науковому стилі.

Рубрика Педагогика
Вид статья
Язык украинский
Дата добавления 05.04.2019
Размер файла 194,4 K
рефераты на заказ со скидкой

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Автомобіль проїхав 100 км за 2 години.

По таким даним можна встановити його середню швидкість: vc = 50 км/год.

Через f - позначимо закон руху, тобто залежність переміщення від часу, через х - v- =Ј, Ах

а - початковий час, b - кінцевий час, тоді Af = f (b) - f (а), Ах = b - а і

v f (b) - f (а)

c b - а

А миттєва швидкість V = f'(х) - показує спідометр.

Тоді знайдеться хоча б одна так точка х = c (момент часу), що f'(c) = Vc, тобто

f,(J) f (b) - f (а)

b - а

Якщо тіло здійснило переміщення f (b) - f (а) за час (b - а) із середньою f (b) - і (а) швидкістю v = -- , то знайдеться

c b - а

такий момент часу c, де миттєва швидкість дорівнює середній.

{Принаймні один раз стрілка спідометра показувала 50 км/год.}

Приклад. Довести нерівність.

|sin х2 - sin х:| < |х2 - х:|, ; х2 R

Доведення.

Розглянемо функцію у = sin х. Нехай для

визначеності х2 > х1. Застосуємо до неї теорему Лагранжа на [х1, х2]:

|sinх2 - sin хх| = |cos c - |х2 - хх| < |х2 - х^, бо |cos c < 1, тому |sin х2 - sin х:| < |х2 - хг\ Доведено.

Сформулюємо і доведемо деякі теореми, які дають можливість виявити важливі властивості функції і є, по суті, наслідками теореми Лагранжа.

Теорема 1. Якщо f (х) диференційована на (а; b) і скрізь на ньому f'(х) = 0, то

f (х) = С на (а; b).

Доведення.

Зафіксуємо х0 є (а; b) і нехай х є (а; b), тоді [х0, х] с (а; b).

Застосуємо т. Лагранжа до функції f ( х) на

[ х0, х]

f (х) - f (х0 ) = (х - х0 ) - f'(c), c є (х0, х) але f'(х) = f'(c) = 0, V х є (а; b)

f (х) - f (ха) = 0, f (х) = f (х0), тобто значення

функції у будь якій точці х дорівнює значенню у фіксованій точці х0, а тому f (х) = С на (а; b).

Доведено.

Теорема 2. (Необхідна і достатня умова монотонності). Для того щоб диференційована (a; b) функція f (x) не спадала (не зростала) на цьому інтервалі, необхідно і достатньо, щоб похідна цієї функції була невід'ємною (недодатною) скрізь на цьому інтервалі.

Теорема 3. (Достатня умова зростання (спадання) функції). Для того, щоб функція f (x) зростала (спадала) на інтервалі (a; b) достатньо, щоб похідна цієї функції була додатною (від'ємною) скрізь на цьому інтервалі.

Приклад 1. Довести arcsin x + arccos x =2

Доведення. Розглянемо функцію:

f (x) = arcsin x + arccos x, x < 1

¦ = 0 ^ f (x) = C, x < 1,

- x 1 -- x

тому досить обчислити значення в одній будь-якій

ґ\ л л

точці, наприклад f (0) = 0 + -- = --. Доведено.

Приклад 2. Дослідити на монотонність.

у = arctgx

Розв'язання. У = > 0,

1 + x2

зростає при Vx є R.

Приклад 3. Дослідити на

У = x -- ex.

D(y): x є R У = 1 -- ex.

Встановимо знаки у' на інтервалах знакосталості.

У = 0: 1 -- ex = 0; ex = 1; x = 0

Зауважимо, що об'єднуючи теорему Ферма та щойно доведені теореми можна сформулювати теореми, які дозволяють встановити характер екстремумів.

Сформулюємо спочатку два означення.

Означення 1. Точки, в яких похідна дорівнює нулю, або не існує - називаються критичними.

Означення 2. Точки, в яких похідна дорівнює нулю називаються стаціонарними.

Пригадаємо, що теорема Ферма вказує на необхідні умови екстремуму.

Теорема (1-а достатня умова екстремуму). Нехай функція f (x) диференційована в околі точки x0, за винятком, можливо, самої точки x, в якій f (x) неперервна. Тоді:

1. якщо при переході через точку x0 похідна f ( x) змінює знак з плюса на мінус, то в точці x0 функція f (x) має строгий максимум.

2. якщо при переході через точку x0 похідна f'(. x) змінює знак з мінуса на плюс, то в точці x функція f(x) має строгий мінімум.

3. якщо при переході через точку x0 похідна f (x) не змінює знаку, то в точці x0 функція f( x) екстремуму не має.

Теорема (2-а достатня умова екстремуму). Нехай функція f ( x) диференційована в околі стаціонарної точки x0, а в самій стаціонарній точці x0 має похідну другого порядку. Тоді:

1. якщо f" (x0 ) > 0, то функція f (x) в точці x0 має мінімум;

2. якщо f" (x0) < 0, то функція f (x) в точці x0 має максимум.

Приклад. № 1. Знайти точки екстремуму функції, встановити їх характер, та знайти інтервали монотонності.

В контексті сказаного вкажемо ще про знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку (абсолютний екстремум).

Згідно з 2-ю теоремою Веєрштрасса функція неперервна на відрізку досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значення. Причому ці значення досягаються в критичних точках, або на кінцях відрізку.

Звідси алгоритм:

1. знайти критичні точки, які належать відрізкові;

2. обчислити значення функції в критичних точках та на кінцях відрізку;

3. вибрати найбільше та найменше значення.

Позначається так: max f (x), або

xe[a;b]

rnn f (x).

xe[a;b]

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції на вказаному інтервалі.

у = x4 -- 2x2 + 5, [--2;2]

Теорема Коші. Нехай функції f (x) і

cp(x) задовольняють умови:

1. визначені і неперервні на відрізку [a, b].

2. диференційовані принаймні на інтервалі (a, Ь);

3. p'(x) Ф 0, V x є (a, b).

Тоді між a і b знайдеться така точка c, що

f (b) -- f (a) f ' (c)

P(b) -- P(a) p (c)

Доведення. - {самостійно} {аналогічно доведенню т. Лагранжа}

Вкажемо напрямок: розглянемо допоміжну функцію

p( x) = f (x) -- ffjl f(*l * '( x) - p(aj)pb) - ppa)

- покажіть, що вона задовольняє умовам теореми Ролля, звідки і отримаєте (9).

Вам пропоную доведення, в якому є скрита логічна помилка. Знайдіть її.

Нехай функції f (x) і p( x) такі, що на відрізку [a, b] задовольняють всім умовам т. Лагранжа, крім того, нехай p(b) -- p(a) ^ 0, і p'(x) ^ 0, V x є (a, b)

Застосувавши до кожної з них т. Лагранжа:

f (b) -- f(a) = f '(c)(b -- a) (*)

p(b) -- p(a) = p' (c)(b -- a) (**)

Розділивши (*) на (**) отримаємо f (b) -- f (a) f' (c)

P(b) -- P(a) '(c)

Питання: чи можна запропоновані міркування прийняти зробивши уточнення і виправивши формулу (***)?

Зауваження:

1. Поклавши в (9) p(x) = x, одержимо формулу

Лагранжа, як частковий випадок формули Коші. Тобто т. Коші є узагальненням т. Лагранжа.

2. Використовуючи т. Коші можна теж отримати ряд важливих результатів, наприклад доводячи правило Лопіталя.

Таким чином зробимо наступні висновки:

1. на сьогоднішній лекції ми виконали поставлені перед нами задачі, а саме сформулювали і довели теореми Ферма, Ролля, Лагранжа та інші важливі теореми диф-го числення, вказали напрямок доведення т. Коші.

2. сформулюйте т. Ферма, т. Ролля, т. Лагранжа, т. Коші?

3. які характеристики функцій були встановлені за допомогою т. Ферма, т. Ролля, т. Лагранжа, т. Коші?

На наступне заняття вивчити теорію, а також виконати всі д/з які були сформовані під час лекції.

Висновки

У лекції реалізовано основні концепції, заявлені автором у вигляді вимог до викладання вищої математики для студентів нематематичних спеціальностей. Основну задачу автор вбачає у розробці систематичного курсу лекцій, що відповідає державній програмі для студентів спеціальності «Електричні системи і комплекси транспортних засобів» у запропонованому ракурсі.

Література

1. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: [учебник для вузов] / Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н.; под ред. проф. Н. Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2002. 471 с.

2. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. М.: Айрис- пресс, 2009. 608 с.

3. Смирнов В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. М.: Наука, 1974. 250 с.

4. Ильин В. А. Математический анализ / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. М.: Наука, 1979. 720 с.

5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3-х т. / Г. М. Фихтенгольц. Т. 1. М.: Физматлит, 2003. 680 с.

6. Давыдов Н. А. Сборник задач по математическому анализу / Н. А. Давыдов, П. П. Коровкин, Б. Н. Никольский. М.: Просвещение, 1973. 256 с.

7. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов, Т. 1. М.: Наука, 1985. 432 с.

8. Данко Л. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. / Л. Е. Данко, А. Г. Попов. М.: Высшая школа, 1974. 416 с.

9. Ляшко І. І. Математичний аналіз: У 2 ч. / І. І. Ляшко, В. Ф. Ємельянов, О. К. Боярчук. Ч. 1. К.: Вища шк. 1992. 494 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены