Размещено на http://www.allbest.ru/

Стерлитамакский филиал "Башкирского государственного университета"

ВЗАИМОСВЯЗЬ РЕЧИ И МЫШЛЕНИЯ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

Яхина А.Р.

Салаватова С.С., профессор, к.п.н.

Стерлитамак, Россия



Содержание

• Введение
• 1. Понятие мышления и речи
• 2. Развитие мышления, как одна из целей обучения математике
• 3. Речь, как неотъемлемая часть мышления
• 4. Математические задачи на развитие логического мышления
• 5. Описание экспериментальной работы по развитию математической речи, связанной с мышлением, в 8 классе
• Заключение
• Список использованной литературы
• Приложение 1
• Приложение 2


Введение

Актуальность исследования. В Федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования нового поколения одной из целей изучения математики, уже в начальных классах - формирование приемов мыслительной деятельности (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение) [ФГОС, 2013, с. 23].

Как указывается исследователями: "Основная задача, которая стоит перед школой - максимально раскрыть способности каждого ученика, а задача учителя - помочь ему стать самостоятельным, творческим и уверенным в себе человеком" [Степанова, Л.А. Виноградова, Б.В. Гнеденко и т.д.]. Развитие информационного общества, инновационные преобразования требуют от современного человека высокого уровня профессиональных и деловых качеств, способностей ориентироваться в сложных ситуациях, быстро и безошибочно принимать решения. Поэтому школа должна вооружить его такими методами познания, которые сформируют его познавательную самостоятельность, активность, инициативность, способность творчески мыслить, находить нестандартные решения, доступно, грамотно и четко излагать свои мысли.

Многие известные ученые (М.В. Ломоносов, Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин) довольно убедительно указывают на взаимосвязь речи и мышления при обучении школьников.

К сожалению, современных работ на эту тему недостаточно. Вследствие этого, как показывает анализ школьной практики, учителя различных дисциплин, в том числе учителя математики, уделяют решению проблемы развития мышления во взаимосвязи с математической речью недостаточно внимания.

Целью данной курсовой работы является рассмотрение роли математики в развитии личности, выявление взаимосвязи между речью и мышлением в процессе обучения математике.

Объект исследования - процесс обучения математике.

Предмет исследования - математические задачи, способствующие развитию мышления во взаимосвязи с речью.

Гипотеза: повышению роли математики в развитии мышления во взаимосвязи с речью способствует использование математических задач на логику.

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы решались следующие задачи:

1. Изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования.

2. Составление комплекса задач для развития логики.

3. Составление плана эксперимента по использованию составленных задач и методики обучения математике, направленной на развитие мышления во взаимосвязи с речью.

В работе использовались следующие методы педагогического исследования: теоретический анализ литературы, наблюдение, констатирующий и формирующий эксперименты.

Практическое значение работы состоит в том, что в ней приведен комплекс математических задач, направленных на развитие логического мышления.

Работа апробировалась в виде публикации статьи "Взаимосвязь мышления и речи в обучении математики" в VIII Международном студенческом форуме - 2016.

Работа состоит из введения, четырех параграфов, списка литературы, приложения.



1. Понятие мышления и речи

Для начала рассмотрим понятие "мышление" и выясним, что оно из себя представляет.

Е.И. Степанова характеризует мышление так: "Это процесс отражения существенных связей и отношений в предметах и явлениях природы и общественной жизни. Благодаря мышлению человек становится способным познавать и обнаруживать причинно-следственные связи и отношения, существующие в окружающем мире. Мышление есть обобщенное и опосредованное познание действительности" [Степанова, 1981].

В книге по психологии Л.А. Венгера: "Мышлением называется отражение связей и отношений между предметами и явлениями действительности, ведущее к получению новых знаний" [Венгер, 1988].

В психологии мышление - это познавательная деятельность человека. Результатом мышления является мысль (понятие, смысл, идея). Мышление противопоставляют "низшим" способам освоения мира в форме ощущения или восприятия, которые свойственны, в том числе, животным [Википедия. - URL: https://ru.wikipedia.org].

В Новейшем философском словаре А.А. Грицанова: "Мышление - категория, обозначающая процессуальность функционирования сознания (познавательную деятельность) - традиционный предмет философствования, присутствующий в его структуре с момента возникновения философии как таковой" [Грицанов, 1998].

Теперь рассмотрим понятие речи.

Речь - исторически сложившаяся форма общения людей посредством языковых конструкций, создаваемых на основе определённых правил. Процесс речи предполагает, с одной стороны, формирование и формулирование мыслей языковыми (речевыми) средствами, а с другой стороны - восприятие языковых конструкций и их понимание [Википедия. - URL: https://ru.wikipedia.org].

В Большом психологическом словаре речь - исторически сложившаяся форма общения людей посредством языка. Речевое общение осуществляется по законам данного языка, который представляет собой систему фонетических, лексических, грамматических и стилистических средств и правил общения. Речь и язык составляют сложное диалектическое единство. Речь осуществляется по правилам языка, и вместе с тем под действием ряда факторов (требований общественной практики, развития науки, взаимных влияний языков и др.) она изменяет и совершенствует язык [Мещерякова, 2009].

2. Развитие мышления, как одна из целей обучения математике

По мнению Л.В. Виноградовой, цели развития учащихся при обучении не менее важны, чем усвоение определенного материала [Виноградова, 2005]. Идея осознания первостепенной важности развивающей функции обучения, наряду обучающей и воспитывающей, не нова. Она высказывалась еще Н.И. Лобачевским, Л.Н. Толстым. К.Д. Ушинский выразил ее следующими словами: "Ни один наставник не должен забывать, что его главная обязанность состоит в приручении воспитанников к умственному труду и что эта обязанность более важна, нежели передача самого предмета". [Ушинский, 1949].

"Со временем учитель должен прийти к тому, что его главное целью является именно ученик, его умственный труд, его личность, а обучение предмету должно уйти на второй план. Каждое новое поколение учителей решает задачу совершенствования своих учеников с учетом их особенностей" [Виноградова, 2005].

"Решение задачи развития учащихся требует от учителя объединения его педагогических, психологических, философских, методических знаний и умений. В своем сознании следует интегрировать в единое целое различные теории, которые описывают один и тот же процесс с разных сторон" [Там же].

Идея развития личности, способностей должна стать ведущей идеей, которая определит общую направленность деятельности учителя [Там же].

"Вообще говоря, проблема развития индивида многогранна, поэтому перед учителем стоит очень серьезная задача. Эта проблема включает в себя развитие всех психологических функций: памяти, внимания, восприятия, представлений, качеств личности. Все эти психические функции, прежде всего, связаны с мышлением. Мышление выступает как необходимая предпосылка всякой другой психической деятельности. Все психические процессы являются окончательным и переработанным итогом мышления. Мышление производит такие психические формы интеллекта как восприятия, представления, память" [Виноградова, 2005].

"Структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют формами мышления. Все формы мышления отражают формы существования реальных объектов. Правильность форм мышления обеспечивает правильное объективное изучение человеком объектов и явлений реальной действительности, обеспечивает прочную и достоверную систему знаний об окружающем нас мире. Понятно, какую большую роль для учителя математики представляет изучение форм мышления, их проявление у учащихся в процессе обучения" [Колягин, 1975].

"С точки зрения формальной логики мышление характеризуется тремя основными формами: понятиями, суждениями, умозаключениями" [Там же].

В учебнике Ю.М. Колягина приводится пример проявления этих форм мышления в математике: "Поясним проявления этих основных форм мышления некоторыми примерами. Рассмотрим следующие предложения, выражающие определенную мысль:

1. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Это предложение выражает то, что называют понятиями.

2. В любом треугольнике АВС сумма его внутренних углов равна 2d.

Это предложение содержит в себе утверждение, возможно нуждающееся в обосновании. Оно выражает продукт мышления, называемый суждением.

3. Если a=b и b=c, то a=c.

Это утверждение характеризуется тем, что по смыслу построения этих условий делается определенный вывод. Это предложение представляет собой умозаключение" [Там же].

Различают три вида мышления:

1. Наглядно-действенное (познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами);

2. Наглядно-образное (мышление с помощью наглядных образов);

3. Теоретическое (в форме абстрактных понятий и суждений) [Темербекова, 2003].

В книге Л.А. Венгера говорится: "Основным видом мышления ребенка служит наглядно-действенное мышление, выполняя пробы, направленные на достижение цели, и замечая результаты своих действий, ребенок приходит к решению стоящей перед ним практической задачи" [Венгер, 1988].

"Уже в наглядно-действенном мышлении ребенка, как правило, принимают участие образы ? представления о том, каким может быть результат того или иного действия. Только при первых попытках решить новую задачу ребенок может действовать вслепую, наугад, добиваясь успеха случайным путем. В дальнейшем возникают представления, которые направляют практические пробы. По мере накопления ребенка опыта практических действий, ведущих к разным целям, его мышление начинает полностью осуществляться при помощи образов. Вместо того чтобы осуществлять реальные пробы, он проделывает их в уме, представляя себе возможные действия и их результаты. Так возникает наглядно-образное мышление" [Там же].

Логическое мышление является высшей ступенью умственного развития ребенка, проходит длительный путь развития. Оно характерно тем, что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений. В сложных мыслительных действиях взрослого имеются элементы всех трех видов мышления, но какой-то один из них обычно преобладает. Так при доказательстве теорем, решении задач доминирует, конечно, теоретический тип мышления, хотя там используются и элементы наглядного действенного и наглядно-образного мышления (построение чертежей, схем, мысленные и практические, их преобразования и т.п.). [Там же].

"Специфика предмета математики такова, что ее изучение существенно влияет на развитие мышления школьников, тесно связанное с формированием приемов мышления в процессе учебной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, обобщение, сравнение и др.) выступают также как специфические методы научного исследования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике как одного из базовых школьных предметов" [Темербекова, 2003].

По Л.М. Веккеру:

а) сравнение вскрывает отношения сходства и различия между соотносимыми объектами;

б) анализ способствует мысленному расчленению целостной структуры объекта на составные части;

в) синтез мысленно воссоединяет элементы в целостную структуру;

г) абстракция и обобщение помогают выделять общие признаки;

д) конкретизация является обратной операцией по отношению к абстрагирующему обобщению [Веккер, 2000].

В учебнике Л.В. Виноградовой приводится конкретный пример, в котором задействуются такие мыслительные операции на уроке математики: "Допустим, необходимо усвоить метод решения уравнений первой степени с одной переменной. Пусть объяснение ведется на примере решения уравнения

3x + 2 = x + 4



Вначале уравнение конкретизируется с помощью рисунка (на рисунке изображены 2 чаши весов, на одних весах находится 3 батона и 2 маленькие гири, на вторых - 1 батон и 4 гири). При этом происходит анализ рисунка и уравнения и сравнение каждой чаши весов с соответствующей частью уравнения. Абстрактное уравнение теперь воспринимается не просто как равенство двух выражений, а в качестве некоторого конкретного числового равенства, выражающего отношения между определенными объектами. На основании интуитивно ясных учащимися свойств числовых равенств от обеих частей уравнения вычитается x, получается равенство

3x - x + 2 = x - x + 4

После приведения подобных в правой части уравнения сравниваем полученное уравнение

3x - 3 + 2 = 4

с исходным. Дальнейший анализ левой части уравнения и сравнение с первоначальным уравнением позволяет обобщить, что в левой части появилось выражение из правой части уравнения, но с противоположным знаком. Следующее обобщение может быть сделано относительно возможности переноса известного члена из левой части уравнения в правую по аналогии с предыдущим. И, наконец, полученное свойство абстрагируется от данного конкретного уравнения и переносится на любое уравнение" [Виноградова, 2005].

О необходимости развития логического мышления в целом, владения учащимися основными мыслительными операциями, о соблюдении необходимых для этого оптимальных условий обучения, пишут многие современные психологи и педагоги, наблюдая, как уже с первого класса школы учащиеся начинают испытывать трудности в обучении из-за низкого уровня развития логического мышления. Практика показывает связь между владением мыслительными операциями и успешностью школьного обучения. Систематическая работа по развитию логического мышления обуславливает реальность переноса умений при решении конкретных учебных заданий на другие школьные предметы [Венгер, 1988].

"Математике приписывают особую роль в развитии логического мышления, однако одна тренировка в решении задач без понимания того, как рассуждаем, не приводит к требуемому уровню развития такого вида мышления. Логические понятия и действия, формируемые у ребенка стихийно, как правило, неполны и часто искажены, поэтому приемам логического мышления нужно специально обучать" [Хотченкова, 2006].

"Решение всякой задачи по математике - это, прежде всего, цепь рассуждений. Вычисления, преобразования, построения, которыми так часто приходится пользоваться для решения задач, невозможны без логических рассуждений. Значит, в математике невозможно обойтись без логики. Для успешного изучения математики надо настойчиво учиться рассуждать" [Там же].

"Мышление человека, и в частности школьника, наиболее ярко проявляется при решении задач. Любая мыслительная деятельность начинается с вопроса, который ставит перед собой человек, не имея готового ответа на него. Иногда этот вопрос ставят другие люди (например, учитель), но всегда акт мышления начинается с формулировки вопроса, на который надо ответить, задачи, которую необходимо решить, с осознания чего-то неизвестного, что надо понять, уяснить" [Хотченкова, 2006].

Например, в книге Д.Б. Эльконина описана методика "Логические ряды" может выполнять развивающую функцию. На занятиях учащимся предлагалось продолжить 4-5 числовых или буквенных рядов, объяснить правило по которому они построены [Эльконин, 1974].

Прием "Задачи со спичками" достаточно часто встречается в различных пособиях по занимательной математике и учебниках для 5-6 классов [Яковлева, 2003]. Во-первых, она вносит разнообразие и элемент занимательности в занятие, во-вторых, способствует стимуляции деятельности обоих полушарий головного мозга, так как действия, выполняемые учащимися, опираются, прежде всего, на нагляднодейственное мышление, но, вместе с тем, задействована и его логическая составляющая.

Также существует методика "Логическая разминка". Она включает в себя решение несложных занимательных задач. Можно предложить детям 34 задачи, затем организовать работу в группах (группы по 4-5 человек) для совместного решения. Через 5-7 минут обсуждения каждая группа должна предложить свой вариант решения задачи. Присутствие игрового момента, организация работы в форме соревнований между группами стимулирует активизацию познавательной деятельности учащихся" [Там же].

Например:

1. Сегодня Петина мама сказала: "Все чемпионы хорошо учатся". Петя говорит: "Я хорошо учусь. Значит, я чемпион". Правильно ли он рассуждает?

2. В некоторой стране есть два города, в одном живут лжецы, в другом - правдивцы. Лжецы всегда лгут, правдивцы всегда говорят правду. Человек А говорит: "Я - лжец". Является ли он жителем этого города?

3. Какой вопрос нужно задать жителю города, чтобы узнать, куда ведет интересующая нас дорога: в город лжецов или в город правдивцев?

4. Шел человек в город и по дороге догнал трех своих знакомых. Сколько человек шло в город?

5. Во дворе играли 5 мальчиков и 4 девочки. Для игры нужно было встать в пары. Сколько мальчиков включилось в игру? [Балдина, Брагина, Веккер, Занков]

"От простого к сложному - таков принцип всякого обучения, а тем более обучения логике и математике. Форма - одно из математических понятий. Представление о форме предмета наиболее легко приобретается ребенком в то время, когда он складывает части в целое, вкладывает в соответствующие пазы или отверстия" [Хотченкова, 2006].

"Интересным материалом для активизации познавательной деятельности учащихся могут служить геометрические загадки самых разных эпох. Разрезать простую геометрическую фигуру (квадрат, ромб, круг, прямоугольник) на множество частей таким образом, чтобы собрать ее вновь является для детей делом довольно сложным и увлекательным. Только немногие из старинных головоломок дошли до наших дней. Проверку временем прошли лишь наиболее интересные и удачные варианты. И сегодня у наших детей есть возможность освоить этот мировой опыт разных культур, отмечают многие авторы" [Гаруля, Кочетов, Котик].

"С развитием математики как науки и методики преподавания математики изменилось содержание, которое вкладывалось в понятие математическое мышление, существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике" [Темербекова, 2003].

"Математическое мышление является одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целенаправленного развития которого невозможно достичь высоких результатов в овладении школьниками системой математических знаний, умений, навыков" [Там же].

"Формирование математического мышления школьников предполагает целенаправленное развитие всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного познания, в органическом единстве с формами проявления мышления, характеризующихся спецификой предмета математики" [Темербекова, 2003].

3. Речь, как неотъемлемая часть мышления

"Все виды человеческого мышления неразрывно связаны с речью. В логическом мышлении речь является единственной формой, в которой происходит мышление, так как оно состоит в установлении связей между значениями слов. Когда мы рассуждаем молча, про себя, мы пользуемся сокращенной внутренней речью, проявления которой можно зарегистрировать при помощи специальных приборов. Но наглядно-образное и наглядно-действенное мышление тоже включает участие внешней или внутренней речи - словесное обозначение выполняемых движений и их результатов, словесную характеристику используемых образов" [Венгер, 1988].

В учебнике Л.А. Венгера также говорится, что одновременно с мышлением развивается и речь. В речи мысль обретает материальную форму, в которой она только и может быть воспринята другими людьми и самим человеком [Там же].

Одним из первых, кто указал на необходимость развития математической речи школьников, был В.В. Репьёв. Он отмечал, что обучение математике является весьма сложным психологическим процессом, так как опирается на многие функции сознания, в том числе и на речь. Речь непосредственно связана со второй сигнальной системой, поэтому её роль весьма существенна. Он писал: "В преподавании математики весьма широко применяются словесные сигналы и символические сигналы. Успех обучения зависит от своевременного обогащения второй сигнальной системы учащихся". Символы и термины должны стать "сигналами второй сигнальной системы", т.е. безотказно восприниматься учениками на уроке, нести именно тот смысл, который подразумевает учитель, поэтому ученик должен знать, как смысл каждого рассматриваемого на уроке термина, так и смысл изучаемых символов. Истинный смысл символов и терминов невозможно раскрыть, если не использовать их в речи" [Репьев, 1958]. "Обучение каждому школьному предмету оказывает помощь в изучении родного языка. В процессе обучения математике учащиеся должны точно и кратко формулировать аксиомы, определения, правила и теоремы, конструировать новые формулировки, последовательно, сжато, но с достаточной полнотой излагать доказательства и решения; исключать пустословие и многословие, сомнительные суждения. Кроме этого, учащимся приходится излагать доказательства теорем и решения задач письменно, поэтому в целом преподавание математики является хорошей школой для развития устной и письменной речи. При правильном преподавании каждый урок математики является хорошим уроком краткой и полной, связной и последовательной речи" [Репьев, 1958].

Ю.М. Колягин в своей работе выделяет цель научить школьников устной и письменной математической речи со всеми присущими ей качествами (простота, ясность, полнота, лаконичность и т.д.) как одну из общеобразовательных целей преподавания математики [Колягин, 1975].

Рассматривая мышление в целом, он также опирается на определение, связывающее мышление человека с речью, т.е. изначально исходит в рассуждениях из того, что эти два понятия неразрывно связаны. Речи отводится столь важное место еще и потому, что она является весьма важным фактором развития любого типа мышления, в том числе и математического; развитие мышления невозможно без развития речи [Там же].

Например, среди компонентов математического мышления Ю.М. Колягин выделяет, в том числе, мышление интуитивное. Для его формирования рекомендует давать ученику возможность говорить на уроке: высказывать догадки, формулировать гипотезы. В целом развитая речь оказывает благотворное влияние на формирование качеств мышления.

Не маловажным также является тот факт, что одним из качеств мышления, образующих математический стиль мышления, Ю.М. Колягин выделяет критичность и самокритичность мышления, что непосредственно связано с рефлексией учеником собственной деятельности [Там же].

О большом потенциале развития речи школьников при обучении математике говорил в своей работе Р.С. Черкасов. Он пишет: "Грамотное преподавание математики уделяет большое внимание развитию речи школьников". Речь школьника рассматривается им как способ выражения мысли. В процессе усвоения математических знаний развиваются, в том числе, и такие навыки и качества выражения мысли, как порядок, точность, ясность, краткость, обоснованность. Неоднозначным, по его мнению, является вопрос о том, когда и на каком материале следует начинать развивать у учеников математическую речь. Ответ на этот вопрос требует учёта многих факторов, на каком материале, в каком объёме следует её изучать. Р.С. Черкасов отмечает, что очень важно при этом избегать формализма в изучении того или иного вопроса. Формализм в получаемых знаниях возникает и тогда, когда ученик просто заучивает материал без понимания, и тогда, когда возникает словесное отставание, т.е. ученик неправильно выражает свои мысли, формулирует математические предложения. "Конкретно в обучении математике формализм в знаниях особенно часто проявляется в том, что учащиеся безошибочно дают формулировку определения того или иного понятия, но не могут им воспользоваться при решении задач, доказательстве теорем" [Черкасов, 1985].

О широких возможностях развития речи на уроках математики говорит А.Г. Мордкович: "Уроки математики (при правильной постановке) способствуют развитию речи обучаемого не в меньшей степени, чем уроки родного языка и литературы. Если на уроках родного языка и литературы учеников обучают собственно речи, то на уроках математики - организации речи, тому, как используя минимум слов, выдать максимум содержания" [Мордкович, 2001]. То есть, по мнению А.Г. Мордковича, развитая математическая речь обеспечивает информативность речи учащихся в целом, является средством, формирующим точность и краткость речи человека.

Г.И. Саранцев также говорит о развивающей функции обучения математике и отмечает специфику математического языка как один из аспектов, определяющих духовное и интеллектуальное становление развития личности [Саранцев, 2012].

Интересный взгляд на изучение математики имеет академик РАО, доктор педагогических наук В.А. Болотов: "Математику нужно учить для того, чтобы понимать существующие тексты любого рода, кроме чисто художественных" [Болотов, 2012].

Практически во всех рассмотренных работах говорится, что необходимость развития математической речи учащихся и изучения ими математического языка объясняется, прежде всего, тем, что отсутствие развитых речевых качеств не позволит ученику осуществлять успешную математическую деятельность, поскольку формулировки целей, планов, обоснований деятельности подразумевают использование самых разных видов речи.

В книге В.В. Репьёва говорится о том, что каждый урок математики при правильном преподавании является уроком краткой, полной, связанной и последовательной речи. В.В. Репьёв выделяет множество аспектов, позволяющих формировать речь на уроках математики, например: необходимость точно и кратко формулировать аксиомы, определения, правила, теоремы; конструировать формулировки определений самостоятельно; сжато и полно излагать доказательства и решения, в том числе и письменно; исключить пустословие и многословие; исключить сомнительные суждения и умозаключения [Репьев, 1958].

"Использование на уроке эвристической беседы способствует развитию устной речи, а самостоятельное конструирование формулировок определений отмечается как одно из важных условий лучшего усвоения и понимания новых понятий" [Там же].

"Усвоение теорем и их доказательств, особенно на первых этапах, зачастую затрудняется непониманием учениками непривычных новых записей оформления условия и доказательства, а потому необходимо дополнительное разъяснение со стороны учителя структуры записей, новых обозначений, кратких записей, поскольку учебники не могут в этом помочь ученикам. Учителю следует разъяснить структуру теоремы, возможность представления любой теоремы в условном виде; ученики должны научиться выделять условия и заключения теорем, формулировать противоположные и обратные утверждения" [Репьев, 1958].

По мнению И.А. Гибша: "Первый и основной источник развития у ученика правильной математической речи - речь учителя, поэтому именно она, в первую очередь, должна отвечать ряду критериев, должна продумываться учителем, чтобы ученики всегда имели образец того, как нужно правильно использовать математические термины в речи. Учителю не стоит забывать, что обращать внимание важно не только на математический аспект речи, но и на её литературность, правильность с точки зрения правил русского языка. Учитель должен обращать внимание на все нюансы математических терминов, объясняя, почему именно так, а не иначе, нужно говорить, давать определение, использовать данный термин, в этом во многом помогает история появления термина, его непосредственный, буквальный смысл" [Гибш, 1995].

"Важно развивать и письменную речь ученика, обсуждать со всем классом допущенные при написании работы ошибки, стремиться, чтобы письменная речь ученика была связной, а не представляла собой набор отрывочных коротких предложений. Здесь важную роль играет решение текстовых задач, способствующее развитию как устной, так и письменной речи учеников" [Там же].

Развитию математической речи посвящены и специальные исследования. В.А. Курдюмова исследовала вопрос, как помочь речевой самостоятельности учащихся. Результаты её исследования сводятся к следующему. Часто ученик совершает ошибки в употреблении терминов не потому, что он не знает их определение, а потому, что не может разделить более общие и более частные признаки объектов, т.е. определение понятия менее точно, чем его использование. Для устранения такого речевого отставания нужно чаще давать задания ученикам на словесное определение предметов и явлений, учителю на уроке использовать наглядные примеры и контр примеры.

Особое внимание Н.А. Курдюмова, как и И.А. Гибш, обращает на текстовые задачи, т.к. при решении ряда таких задач ученик сталкивается с тем, что факты, выражаемые словами-антонимами, непосредственно связаны, и эту связь понять ученику бывает очень трудно. Подробно она говорит об овладении конструкциями-штампами, а так же чётком понимании особых математических терминов, таких как "существует - можно найти", "любой - всякий" и других, причём автор утверждает, что разъяснение смысла этих слов с точки зрения математики возможно на примере любой темы. Однако и изучение конструкций-штампов хорошо в меру, и учитель должен избегать однотипных и однозвучных заданий, заменяя их формулировки на эквивалентные. Важно для развития математической речи и умение слушать, ученик всегда должен иметь возможность рассказать о своих идеях, придуманных им методах решений и доказательствах, хотя часто у учителя нет такой возможности, как и возможности искать с учеником путь решения той или иной задачи, что ведёт к робости ученика при ответах на вопросы учителя и к нежеланию высказываться при коллективном решении какой-либо проблемы.

Многие исследователи в качестве главного условия развития речи школьников на первый план выдвигают речь учителя как образец для речи ученика и эталон, к которому должен ученик стремиться. В.А. Кузнецова отмечает, что сейчас мало внимания уделяется развитию коммуникативных умений учителя, а низкий уровень коммуникабельности отрицательно сказывается на деятельности учителя математики.

Речь учителя должна быть точной, чёткой, к тому же учитель должен понимать мысль учеников, их доводы, уметь убеждать учеников. Для того, чтобы быть подготовленным к педагогической деятельности, учитель должен обладать следующими умениями: логико-информационными и речевыми. Иными словами, преподавание математики не возможно без изучения математического языка. Обучение математике означает и обучение математическому языку [Кузнецова, 2010].

В процессе обучения математике понимание играет ключевую роль. Непонимание того, о чём говорит учитель, приводит к отсутствию интереса к математике, к нежеланию (а иногда и отвращению) заниматься ею. И здесь мы сошлёмся на слова Б.В. Гнеденко: "Для того чтобы познание математики доставляло учащимся удовлетворение, нужно, чтобы он проник в суть идей этой науки и прочувствовал внутреннюю связь всех звеньев рассуждений, что только и позволяет понять глубокую и одновременно прозрачную логику математических доказательств. Если хотя бы раз ученик достигнет ясности в понимании сути дела, проникнет во внутреннюю связь понятий, то ему будет трудно удовлетвориться суррогатом знаний, который даёт заучивание без понимания, зубрёжка без вдохновения. К состоянию полной ясности он станет стремиться сам, без напоминаний и принуждения, поскольку у него появится идеал знания" [Гнеденко, 1991].

Известный математик А.Я. Хинчин, говоря о воспитании культуры мышления школьников, большое внимание уделял полноценности аргументации. Он считал, что в математике нет и не может быть "наполовину доказанных" и "почти доказанных" утверждений; либо полностью аргументация такова, что никакие споры о правильности доказанного утверждения невозможны, либо аргументация полностью отсутствует. Почувствовав, что логическая полноценность аргументации приводит к истине, школьник станет уважать её и будет стремиться не только в математических, но и в любых других дискуссиях использовать её. Также А.Я. Хинчин отмечает, что полноценность аргументации определяет и стиль мышления, выделяя при этом следующие его признаки:

• доведённое до предела доминирование логической схемы рассуждения. Эта черта в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли;

• лаконизм мышления: предельная скупость, суровая строгость мысли и её изложения;

• чёткая расчленённость хода рассуждения [Хинчин, 1985].

Таким образом, говоря о культуре мышления, А.Я. Хинчин имеет в виду и культуру математической речи как средство передачи и озвучивания мысли. В целом, логическая полнота и обоснованность доказательств должна быть показана ученикам на максимально возможном для их понимания уровне, зависящем от их возрастных способностей, общего уровня класса и целей, преследуемых учителем.

Доводы Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчина и других педагогов-математиков позволяют выделить следующие характеристики математической речи школьника: точность, краткость, логическая полнота и обоснованность рассуждений. В математической речи не должно быть слов, не несущих смысловой нагрузки. "Речь должна быть убедительной, краткой, ясной и одновременно изящной, возбуждающей мысль и эмоции. Нужно убедить молодое поколение, что истинная красота и величие слова состоят в простоте, чёткости и доступности" [Гнеденко, 1991]. Разумеется, теми же характеристиками должна обладать и речь учителя, и для него также важно иметь эмоционально окрашенную речь, способную заинтересовать учащихся, вовлечь их в работу над теми или иными вопросами.

В работе Н.Н. Егоровой выделяются два основных условия формирования математической речи - это овладение математическим языком как особой знаковой системой и воспитание культуры мышления средствами математики. Для реализации целей нашей работы необходимо более детально описать каждое из этих условий и добавить новые.

Концепция А.А. Столяра гласит: "Обучение математике есть дидактически целесообразное сочетание обучения математическим знаниям и познавательной деятельности по приобретению этих знаний, т.е. специфической для математики познавательной деятельности" [Столяр, 1986].

В соответствии с этой концепцией А.А. Столяр строит свою модель математической деятельности, три основных аспекта которой таковы:

1. Математическое описание конкретных ситуаций, или деятельность по математизации эмпирического материала (МЭМ).

2. Логическая организация математического материала (ЛОММ).

3. Применение математической теории (ПМТ) [Столяр, 1986].

При этом каждый аспект математической деятельности необходимо сопровождается математической речью.

О.Б. Епишева выделяет теорию учебной деятельности и деятельностный подход к обучению как психологическую основу всех технологий, при этом рассматривает технологии обучения как личностно-ориентированные технологии, направленные на развитие личности в учебном процессе, и поэтому осуществляющие разноуровневое обучение, затрагивающее все компоненты методической системы. Под обучением математике она понимает обучение определённой математической деятельности. Эта деятельность обладает следующими основными особенностями:

• доминирование логического компонента над наглядно-образным и практически-действенным мышлением, преобладание аналитического стиля

• и синтетического характера изложения, высшего уровня обобщённости и абстрактности;

• актуальность уровня мышления, на котором можно его осуществить в каждой конкретной области математики;

• употребление математической речи, использование математического языка. Сюда же О.Б. Епишева включает овладение специфическими методами изображения математических объектов и умение переходить от специфической формы кодирования математической информации к её естественному толкованию.

Математическая речь также рассматривается ею как составляющая часть общих целей математического образования. В частности, ученик должен уметь координировать устную и письменную информацию, понимать её; уметь объяснять процессы мышления в устной и письменной речи; развивать свои умения общаться. При проектировании О.Б. Епишевой технологии обучения одним из реализуемых принципов является личностно деятельностный подход к обучению. Его суть состоит в том, что ученик должен учиться сам, а учитель - включать ученика в деятельность, соответствующую его зоне ближайшего развития. Деятельностный подход к обучению также стал системообразующим фактором в системе принципов проектирования и основанной на ней технологии обучения математике в школе. "Деятельностный подход к обучению означает, что содержанием образования являются не только специальные знания и умения, но и содержание различных видов учебной деятельности" [Епишева, 1999].

Основная идея проектирования предлагаемой О.Б. Епишевой технологии обучения математике состоит в том, что систематическое личностно ориентированное формирование приёмов учебной деятельности учащихся в процессе обучения математике является необходимым и достаточным условием достижения целей математического образования в новой образовательной парадигме" [Там же].

"Для достижения целей развивающего обучения учащихся необходимо специально обучать умению действовать в предлагаемых условиях (не только что, но и как каждый из них будет выполнять определённую ему часть работы)" [Там же].

Для этого в процессе обучения необходимо наличие следующих основных компонентов:

• самостоятельная работа учащихся (главный признак которой состоит не в том, что ученик работает без помощи учителя, а в том, что цель деятельности ученика носит в себе и функцию управления этой деятельностью);

• использование метода проблемного обучения (включающего понятие проблемной ситуации, структуру проблемного урока, уровни проблемного обучения);

• расширение роли задач в обучении (задачи становятся важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается теория, формируются умения и навыки, развивается самостоятельное мышление, активизируется процесс учения).

Таким образом, можно сделать вывод о том, что многие методисты среди целей обучения математике ставят развитие математической речи у школьников, связывая этот процесс с развитием мышления в целом, математического мышления в частности и невозможностью развития отдельных аспектов математического мышления без развитой математической речи.

4. Математические задачи на развитие логического мышления

На сайте "Математика в школе: поурочные планы" [URL: http://unimath.ru/?mode=O&idstructure=110410] представлены следующие задачи:

1. В полдень из Москвы отправляется поезд в Санкт-Петербург со скоростью 80 км/ч. В то же время из Санкт-Петербурга в Москву выходит поезд со скоростью 40 км/ч. Оба поезда идут без остановок. Какой поезд при встрече находится на большем расстоянии от Москвы? Ответ: на одинаковом расстоянии.

2. Три курицы за три дня дают три яйца. Сколько яиц дадут 12 кур за 12 дней? Ответ: 48 яиц.

3. В четырехэтажном доме Ваня живет выше Пети, но ниже Сени, а Вася живет ниже Пети. Кто из мальчиков, на каком этаже живет? Ответ: Вася - на первом, Петя - на втором, Ваня - на третьем, Сеня - на четвертом.

4. Путь от дома до школы Буратино проделал пешком, обратно он двигался той же дорогой, но первую половину пути он проехал на собаке, а вторую половину пути - на черепахе. Известно, что скорость собаки в четыре раза больше, а скорость черепахи - в два раза меньше, чем скорость, с которой Буратино шел в школу. На какой путь - из дома до школы, или из школы до дома - затратил Буратино больше времени? Ответ: Больше времени на путь из школы до дома.

5. Мышке до норки по прямой 20 шагов. Кошке до мышки по той же прямой 5 прыжков. Пока кошка совершит один прыжок, мышка сделает 3 шага, а 1 кошачий прыжок равен по длине 10 мышиным шагам. Мышка находится на прямой между кошкой и норкой. Догонит ли кошка мышку? Ответ: не догонит.

6. Три друга: Алеша, Боря и Витя - учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один - на трамвае и один - на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: "Боря, ты забыл в школе тетрадку!" Кто на чем ездит домой? Ответ: Алеша на трамвае, Боря на автобусе, Витя на троллейбусе.

7. В велогонках приняли участие пять школьников. После гонок пять болельщиков заявили:

1) Коля занял первое место, а Ваня - четвертое;

2) Сережа занял второе место, а Ваня - четвертое;

3) Сережа занял второе место, а Коля - третье;

4) Толя занял первое место, а Вася - второе; 5) Вася занял третье место, а Толя - пятое.

Зная, что одно из показаний каждого болельщика верное, а другое - неверное, найти правильное распределение мест. Ответ: Сережа занял первое место, Вася - второе, Коля - третье, Ваня - четвертое, Толя - пятое.

8. Заполните клетки так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трех соседних клетках, равнялась 15:

6								4
	Ответ: Ясно, что числа, между которыми лежит по две клетки, должны совпадать.
6		4	6		4	6		4	6		4	6
	Разница может быть только в третьем числе, например:
6	7	4	6	7	4	6	7	4	6	7	4	6

8. 9. Число оканчивается цифрой 9. Если ту цифру отбросить и к полученному числу прибавить первое число, то получится 306 216. Найдите это число. Ответ: 278 379.

10. Каким образом можно принести из реки ровно 6 л воды, если имеется только два ведра: одно емкостью 4 л, другое - 9 л. Ответ: решение и ответы предложены в таблице:

4 литра	-	4 л	-	4 л	-	1 л	1 л	4 л
9 литров	9 л	5 л	5 л	1л	1 л	-	9 л	6 л

В сборнике Я.И. Перельмана "Головоломки" также представлены интересные логические задачи для учащихся 5-9 классов:

Задача 1. Маугли попросил обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали орехов поровну, но по дороге поссорились, и каждая бросила в каждую по ореху. Маугли досталось лишь 33 ореха. Сколько орехов собрала каждая обезьяна, если она принесла больше одного ореха?

Задача 2. Бидон емкостью 10 л наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л. в семилитровый бидон, используя при этом еще один бидон, вмещающий 3. л, как это сделать?

Задача 3. Иванов приобретает все нужные ему книги у знакомого ему книготорговца со скидкой 20%. С 1 января цены всех книг повышены на 20%. Иванов решил, что будет теперь платить за книги столько, сколько остальные платили до 1 января. Прав ли он?

Задача 4. На лугу паслись лошади под присмотром пастухов. Если бы вы пожелали узнать, сколько всех ног на лугу, то насчитали бы 82 ноги. А если бы пересчитали головы, то оказалось бы, что всех голов - лошадиных и человеческих - 26.

Сколько на лугу лошадей и сколько пастухов?

Задача 5. На столе лежат в ряд квадрат, круг, треугольник (именно в таком порядке). Одна из фигур красного цвета, другая - желтого, третья - синего. Определите цвет каждой фигуры, если известно, что квадрат не красный. И ещё с одной стороны от синей фигуры лежит жёлтая, а с другой стороны - красная.

Задача 6. В одном подъезде четырёхэтажного дома, но на разных этажах живут четыре мальчика: Серёжа, Игорь, Андрей и Коля. Определите, кто на каком этаже живёт, если известно, что Серёжа живёт выше Игоря, но ниже Андрея. Андрей, когда ему становится скучно, спускается поиграть к Коле, а Серёжа поднимается к Коле, чтобы пригласить его на прогулку.

Задача 7. Шесть плотников и столяр нанялись на работу. Плотники заработали по 20 руб., столяр же - на 3 руб. больше, чем заработал в среднем каждый из семерых. Сколько заработал столяр?

Задача 8. Напишите по порядку девять цифр:

1 2 3 4 5 6 7 8 9.

Вы можете, не меняя расположение цифр. Вставить между ними знаки плюс и минус таким образом, чтобы в сумме получилось ровно 100.

Нетрудно, например, вставить + и - шесть раз, получить 100 таким путем:

12+3-4+5+67+8+9=100.

Если хотите вставить + и - только 4 раза, то тоже получите 100:

123+4-5+67-89=100.

Попробуйте, однако, получить 100, пользуясь знаками + и - всего три раза! Это гораздо труднее. И все же вполне возможно, надо только терпеливо искать решение.

Задача 9. На столе поставлены в ряд бутылка, кружка, чашка, стакан и кувшин, причём точно в таком порядке, в каком они перечислены. В них находятся различные напитки: кофе, чай, молоко, квас и минеральная вода, но неизвестно, какой напиток в какой посуде. Если стакан поставить между чаем и молоком, то по соседству с молоком будет квас, а кофе будет точно в середине. Определите, в какую посуду что налито.

Задача 10. В моем книжном шкафу стоят на полке сочинения Пушкина в 8 томах, том к тому. Приехав с дачи, я с досадой убедился, что летом книжный червь усердно сверлил моего Пушкина и успел прогрызть ход от первой страницы первого тома до последней страницы третьего.

Сколько всего страниц прогрыз червь, если в первом томе 700 страниц, во втором - 640, а в третьем - 670?

Задача 11. На столе лежат в ряд три фигуры: треугольник, ромб, круг и квадрат. Цвета этих фигур: зелёный, жёлтый, синий, красный. В каком порядке лежат фигуры и каков цвет каждой из них, если фигура красного цвета лежит между зелёной и синей? Справа от жёлтой фигуры лежит ромб, круг лежит правее треугольника и ромба, причем треугольник лежит с краю, и, наконец, фигура синего цвета не лежит рядом с фигурой жёлтого цвета?

Задача 12. На обыкновенных весах лежат: на одной чашке - булыжник, весящий ровно 2 кг, на другой - железная гиря в 2 кг. Я осторожно опустил весы пол воду. Остались ли чашки в равновесии?

Задача 13. Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были тех же цветов. Только у Тамары цвета платья и туфлей совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.

Задача 14. В розыгрыше первенства по волейболу команда А отстала от команды Б на три места, команда Е опередила Б, но отстала от Д, команда В опередила команду Г. Какое место заняла каждая из этих шести команд?

Задача 15. Имеется квадратный пруд. По углам его, близ самой воды, растет 4 старых развесистых дуба. Пруд понадобилось расширить: сделать вдвое больше по площади, сохранив квадратную форму. Но вековые дубы трогать не хотят. Можно ли расширить пруд до требуемых размеров так, чтобы все 4 дуба, оставаясь на своих местах, оказались на берегах нового пруда?



5. Описание экспериментальной работы по развитию математической речи, связанной с мышлением, в 8 классе

Данная работа направлена на развитие математической речи школьников. Экспериментальное исследование включает в себя следующие этапы эксперимента:

1. Констатирующий;

2. Поисковый;

3. Обучающий.

Цель констатирующего эксперимента заключается в том, чтобы выяснить в какой степени и как ведётся работа по развитию математической речи учащихся при обучении математике. С этой целью изучается психолого-педагогическая и методическая литература в школе, анализируется опыт работы учителей математики и собственный опыт работы в качестве учителя, проводится анкетный опрос учителей и преподавателей педагогического университета.

Цель поискового эксперимента заключается в создании теоретической и методической концепции развития математической речи школьников при обучении математике. Необходимо ответить на следующие вопросы:

1. что такое математическая речь?

2. каковы её структурные компоненты?

3. каковы возможности её формирования у учащихся?

4. каковы условия процесса формирования?

5. каким условиям должна соответствовать грамотная математическая речь?

6. какова методика развития математической речи школьников?

Сущность педагогического эксперимента заключалась в том, что некоторые условия изменяются, а другие - нет. В нашем эксперименте к неварьируемым условиям относились: информационный компонент содержания учебного материала, установленный программой по математике для 8 класса общеобразовательных учреждений, одинаковое количество времени, отводи мое на его изучение, уровень обученности учащихся контрольных и экспериментальных классов, тексты контрольных работ. В ходе эксперимента обучение проводилось по учебнику [36]. Различной была методика работы по изучению математического материала. Исследовалось гипотетическое предположение о влиянии применяемой методики развития математической речи школьников на качество знаний, уровень развития общей мыслительной культуры учащихся, владение математической речью.

Гипотеза эксперимента: если организовать процесс обучения математике в соответствии с сущностью деятельностного подхода к обучению, который обеспечивает:

• речевую деятельность ученика как субъекта познания;

• единство мышления, языка и речи;

• понимание и осознание смысла изучаемого;

• рефлексию собственной деятельности;

• владение математическим языком и математической символикой;

• владение логической составляющей математической деятельности;

и разработать соответствующую методику, то это будет способствовать развитию содержательной, логичной, точной математической речи школьника, что приведёт к повышению качества его математической подготовки в целом.

Обучение ведется в соответствии с рассмотренной выше методикой. В качестве основных критериев, по которым оценивается математическая речь школьников, рассматриваются следующие:

1. содержательность речи;

2. осознанность, осмысленность речи;

3. доказательность, логичность высказываний;

4. владение математическим языком: его алфавитом, синтаксисом и семантикой.

Результаты экспериментальной работы оцениваются по трём различным направлениям:

• наличие в устной и письменной речи учащихся смысловой компоненты;

• правильное употребление математических терминов, символов; правильное построение устных и письменных высказываний;

• качество знаний и уровень владения учебным материалом при решении задач, которые неявно показывают и уровень мыслительной деятельности школьников.

Для диагностики указанных компонентов необходимо использовать методики, применяемые в школьном обучении. Сравнение результатов проводится по результатам выполнения учащимися диагностических заданий.

...