Теоретические и организационные основы проектной деятельности учащихся

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы проектной деятельности учащихся

1.1 История развития метода проекта

1.2 Понятия, структура, классификация проектной деятельности

1.3 Сущность, цели и задачи проектной деятельности учащихся

1.4 Этапы работы над проектом

Глава 2. Разработка творческого проекта по теме «Фрактальная геометрия»

2.1 Пояснительная записка

2.2 Основная часть

2.3 Экспериментальная часть

Заключение

Список использованной литературы

Приложение



Введение

Современная образовательная политика России определяет цели и основные задачи модернизации образования, среди которых главное - обеспечить современное качество образования на основе сохранения его фундаментального характера и соответствия текущим и будущим потребностям личности, общества и государства. В то же время основную роль играет общеобразовательная школа, модернизация которой предполагает ориентацию обучения не только на учащихся, обучающихся определенному объему знаний, но и на развитие личности, познавательных и творческих способностей.

Обновление образовательной деятельности, достижение нового качества образования связывают с информатизацией образования, оптимизацией методов обучения, активным использованием технологий открытого образования.

Обновление школы требует таких методов обучения, которые:

- сформируют активную, независимую и инициативную позицию

учащихся в обучении;

- разовьют в первую очередь общеобразовательные навыки и умения: исследовательские, рефлексивные, самооценочные;

- сформируют не только навыки, но и компетенции, то есть навыки, непосредственно связанные с опытом их использования на практике;

- будут ориентированы на развитие познавательного интереса учащихся;

- поспособствуют реализации принципов связи обучения с жизнью.

Ведущее место среди таких методов, найденных в арсенале мировой и отечественной педагогической практики, сегодня принадлежит методу проектов. В основе метода проекта лежит идея ориентации учебно-познавательной деятельности школьников на результат, который получается путем решения практической или теоретически значимой задачи.

Эффективность данного метода отобразим на примере темы «Фрактальная геометрия», тем более данная тема уникальна по своему содержанию и нетревиальна для школьников.

До недавнего времени геометрические модели природных объектов строились на основе сравнительно простых форм: прямых, прямоугольников, окружностей, сфер, многогранников. Однако этот набор, как нетрудно заметить, сложно применить для описания сложных объектов, таких как турбулентные потоки жидкости, пористые материалы, форма облаков, кровеносная система, крона дерева и так далее.

Таким образом, новые геометрические концепции и методы были необходимы для описания этих объектов. Одним из таких понятий была концепция фрактала.

Все вышесказанное и обуславливает актуальность выбора темы данной работы.

Для стимулирования интереса школьника к проектной деятельности необходимы методы создания ситуации новизны, актуальности исследуемых проблем позволяющих выявить противоречия связи содержания проектной деятельности с жизнью, осознание общественной и личной значимости освоения компьютерных коммуникаций учащимися в проектной деятельности, что является важным фактором мотивации обучения.

Указанное противоречие помогло сформулировать исследовательскую проблему, современное понимание использования проектной деятельности в школе.

Объект - проектная деятельность в школьном курсе;

Предмет - фракталы.

Цель работы - исследовать теоретические и организационные основы проектной деятельности учащихся и на примере разработки творческой работы по теме «Фрактальная геометрия» показать практическое применение метода проектов.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:

1. На основе анализа литературы уточнить возможности, особенности и педагогические условия использования проектной деятельности.

2. Раскрыть структуру, содержание проектной деятельности, раскрыть методику выполнения проектов.

3. На основе анализа литературы дать представление о понятии фрактала и фрактальной геометрии.

4. Разработать творческий проект по теме «Фрактальная геометрия».



Глава 1. Теоретические основы проектной деятельности учащихся

1.1 История развития метода проекта

Метод проекта не является принципиально новым в мировой педагогике. Он возник в 1920-х годах этого века в Соединенных Штатах. Его также называли методом проблем, и он был связан с идеями гуманистического направления в философии и образовании, разработанными американским философом и учителем Дж. Дьюи, а также его учеником В.Х. Килпатрик. Дж. Дьюи предложил строить обучение на активной основе, благодаря целесообразной деятельности ученика, в соответствии с его личным интересом именно к этим знаниям. Крайне важно было показать детям их собственный интерес к полученным знаниям, которые могут и должны быть полезны им в жизни. Именно здесь берется проблема, взятая из реальной жизни, знакомая и значимая для ребенка, для решения которой ему необходимо применить приобретенные знания и новые, которые еще предстоит приобрести. (20. с. 91)

Метод проекта привлек внимание русских ученых еще в начале 20 века. Идеи для проектного обучения появились в России практически параллельно с разработками американских педагогов. Русский педагог С.Т. Шацкий в 1905 году организовал небольшую группу сотрудников, которые пытались активно использовать методы проектирования в своей педагогической практике.

Позже, уже при советской власти, эти идеи стали довольно широко, но не достаточно преднамеренно и последовательно внедрены в училище, и по решению ЦК ВКП (б) в 1931 г. метод проекта был осужден. С тех пор в России больше не предпринималось серьезных попыток возродить этот метод в школьной практике. В то же время в зарубежной школе он активно и очень успешно развивался (1.с. 47).

«Всё, что я познаю, я знаю, для чего это мне надо и где и как я могу эти знания применить» - вот основной тезис современного понимания метода проекта, который привлекает многие образовательные системы, стремящиеся найти разумный баланс между так называемыми академическими знаниями и практическими навыками. (22. с. 57)

В последнее время метод проектов в нашей стране стал не только популярным, но и «модным», что вызывает обоснованные опасения, потому что там, где начинаются требования моды, ум часто отключается. Теперь мы часто слышим о широком применении этого метода в практике преподавания, хотя оказывается, что речь идет о работе над определенной темой, просто о групповой работе, о каком-то внешкольном мероприятии.

Умение использовать метод проекта является показателем высокой квалификации учителя, его прогрессивных методов обучения и развития студентов. Недаром эти технологии называют технологиями XXI века, которые предусматривают способность адаптироваться к быстро меняющимся условиям жизни человека в постиндустриальном обществе. (23. с. 34)

1.2 Понятия, структура, классификация проектной деятельности

Впервые слово «проект» было использовано в 1908 году заведующим отделом воспитания сельскохозяйственных школ Д. Снежденом в сельскохозяйственном обучении. С помощью проектов было предложено связать работу школ с потребностями сельскохозяйственного производства. Бюро образования узаконило термин «проект» в 1911 году.

Подходы к пониманию сущности этого метода в отечественной и зарубежной педагогике были несколько иными.

Российские ученые связывают методы обучения (в том числе метод проекта) в первую очередь с проблемой личностного развития, подготовки его к жизни и работе.

В отечественной педагогике этот метод рассматривался как средство:

- всестороннего упражнения ума и развития мышления (П.Ф. Каптерев);

- развития творческих способностей (П.П. Блонский);

- развития самодеятельности и подготовки школьников к самостоятельной трудовой жизни (С.Т. Шацкий);

- подготовки воспитанников к профессиональной деятельности (А.С. Макаренко);

- слияния теории и практики в обучении (Е.Г. Каганов, М.В. Крупенина, В.В. Игнатьев, В.Н. Шульгин).

В настоящее время метод творческих проектов становится все более распространенным в общеобразовательных школах и профессиональных училищах России.

Проведенный анализ позволяет определить творческую проектную деятельность школьников как интегративный вид деятельности при создании продуктов и услуг, которые имеют объективную или субъективную новизну и имеют личную или социальную значимость.

Проектная деятельность, как и любая другая, имеет определенную структуру, которая включает в себя цель, мотивы, функции, содержание, внутренние и внешние условия, результат.

Целью проектной деятельности школьников является создание продукта (услуги), обладающего субъективной или объективной новизной и имеющего личную или социальную значимость.

Мотивами деятельности проекта являются социальные и личные потребности в материальных и духовных ценностях.

Деятельность проекта выполняет трансформирующие, исследовательские, творческие, рефлексивные и технологические функции.

Содержание проектной деятельности - подготовка исследовательских подготовительных работ, практическое изготовление продукта, оценка и защита объекта деятельности.

Психологическая структура проектной деятельности - это взаимосвязь внутренних и внешних условий на основе психологических механизмов итерации (усвоение методов трансформации) и экстериоризации (генерация внешних действий).

Результатом деятельности проекта является определенный продукт (услуга) и развитие личности ребенка. (15. с. 118-120)

Наиболее глубокие и содержательные проекты выполняются как правило, в ходе внеклассной деятельности это относится:

- к проектам, выполняемым в ходе проектной недели;

- к среднесрочным ролевым и исследовательским проектам, предполагающим полевой (выездной) этап;

- к продолжительным (годичным) проектам, носящим, как правило, исследовательский характер.

Проект как комплексный и многоцелевой метод, имеет большое количество видов и разновидностей: практико-ориентированный проект, исследовательский, информационный, творческий, ролевой.

По содержанию проекты классифицируются следующим образом:

Интеллектуальные, материальные, экологические, сервисные, комплексные. (9.с. 20)

Учебный творческий проект состоит из пояснительной записки и самого изделия (услуги).

1.3 Сущность, цели и задачи проектной деятельности учащихся

Проектирование как метод познания должно предоставить школьникам практическую помощь в понимании роли знаний в жизни и обучении, когда они перестают быть целью, и становятся средством для подлинного образования, помогая овладеть культурой мышления. Он также направлен на психофизическое, нравственное и интеллектуальное развитие школьников, активацию их склонностей и способностей, необходимых сил и призваний, включение в успешную трудовую деятельность и систему общечеловеческих ценностей, формирование и удовлетворение их деятельности и познавательные потребности и требования, создание условий для самоопределения, творческого самовыражения и непрерывного образования.

Творческий проект - это учебно-трудовое задание, активизирующее деятельность учащихся, в результате которой ими создается продукт, обладающий субъективной, а иногда и объективной новизной.

Цели проектирования. Выполняя проекты, учащиеся должны иметь непосредственное знание жизненного цикла продуктов - от концепции до материальной реализации и практического использования. В то же время важным аспектом проектирования является оптимизация объективного мира, соотношение затрат и достигнутых результатов.

Школьники всех возрастных групп должны на уровне своего понимания знать тактику действий при решении не детерминированных (часто репродуктивных), а вероятностно-статистических (часто только с предсказуемыми результатами и гибкими достижениями) задач, формирующих расширяющиеся представления о содержании проекта различной сложности.

При проектировании человек приобретает опыт использования знаний для решения так называемых некорректных задач, когда при нехватке или избытке данных не существует стандарта решения. Таким образом, возможность получить творческий опыт, т.е. объединить и модернизировать известные решения для достижения нового результата, продиктованого изменением внешних условий.

Проект позволяет улучшить навыки общения, то есть расширить спектр конструктивного и целенаправленного общения, обновленного тем же видом деятельности.

Важной целью проектирования является диагностика, которая позволяет оценивать результаты как динамику развития каждого ученика.

Мониторинг реализации проектных мероприятий позволяет получить данные о формировании жизненного и профессионального самоопределения учащихся. Следует учитывать, что цели проектирования достигаются, когда эффективность педагогических усилий учителя и процесса воспитания и обучения оценивается динамикой роста показателей, которые установлены для учебной группы и (или) для каждого учащегося:

- информационная обеспеченность (представления, знания, тезаурус, понимание);

- функциональная грамотность (восприятие установок и объяснений, письменных текстов, умение задавать конструктивные вопросы, обращаться с техническими объектами, приемы безопасной работы и др.);

- технологические навыки (умение выполнять ранее освоенные трудовые операции, грамотно использовать инструменты и станки, достигать заданного уровня качества, понимать свойства материалов, обеспечивать личную безопасность, рационально организовывать рабочее место и т. д.);

- интеллектуальная готовность (способность к вербализации трудовых операций, понимание учебных (теоретических и практических) задач, достаточность памяти, сравнение объектов по размеру, форме, цвету, материалу и назначению, осознанное восприятие новой информации, умение использовать учебную литературу, и т. д. для рационального планирования деятельности, в том числе совместной деятельности с другими людьми);

- волевая готовность (стремление выполнить поставленные учебные задачи, внимательное отношение к речи учителя и учебной ситуации, поддержание культуры работы, дружеское общение с другими учащимися, готовность выполнять задания (работу) на высоком уровне качества толерантное отношение к комментариям, предложениям и советам, выбор темпа задания, успешное преодоление психологических и когнитивных барьеров, умение запрашивать и получать помощь и т. д.)

Применение метода проекта способствует возникновению такого взаимодействия и взаимоотношений учащихся друг с другом, со взрослыми, в которых реализуются творческие усилия человека для достижения цели, достигается не только запланированный результат, но также активизируется и внутренний мир развивающегося человека.

Выполнение творческого проекта - одна из сторон воспитания. Оно направлено на осознание детьми, подростками, молодежью нравственной ценности трудовых начинаний в жизни. Материально-ценностное отношение к труду включает в себя понимание не только социальной, но и личной значимости как источника саморазвития и условия самореализации личности. В то же время формирующаяся способность человека испытывать радость от процесса и результата труда, игра интеллектуальных, волевых и физических сил становится важным фактором.

На каждом этапе проект должен связывать мысль ребенка с действием и действие - с мыслью, гуманитарную культуру - с технической культурой, работу с творчеством, творческую деятельность с проектом и технологией - с оценкой экономических, экологических и социальных последствий преобразования объективного мира.

Задачи проектирования. Задача проектирования состоит в том, чтобы сформировать систему интеллектуальных и общих трудовых знаний и навыков, воплощенных в конечного потребителя объектов и услуг учащихся, способствовать развитию творческих способностей, инициативы и самостоятельности. В процессе выполнения проектных заданий учащиеся должны приобретать различные навыки (которые, разумеется, будут иметь разные уровни успеха в зависимости от возраста, пола и индивидуальных особенностей). К ним относится осмысленное исполнение следующих умственных и практических действий:

- понимания постановки задачи, сути учебного задания, характера взаимодействия со сверстниками и преподавателем, требований к представлению выполненной работы или ее частей;

- планирования конечного результата и представления его в вербальной форме, т.е. без ограничения фантазии школьники должны дать себе и другим развернутый ответ по схеме: «Я хотел бы...»;

- планирования действий, т.е. определение их последовательности с ориентировочными оценками затрат времени на этапы, распоряжение бюджетом времени, сил, средств;

- выполнения обобщенного алгоритма проектирования;

- внесение коррективов в ранее принятые решения;

- конструктивного обсуждения результатов и проблем каждого этапа проектирования, формулирования конструктивных вопросов и запросов о помощи (советы, дополнительная информация, оснащение и др.);

- выражения замыслов, конструктивных решений с помощью технических рисунков, схем, эскизов, чертежей, макетов;

- самостоятельного поиска и нахождения необходимой информации;

- составления схемы необходимых расчетов (конструктивных, технологических, экономических), представления их в вербальной форме;

- оценивания результата по достижению запланированного, по объему и качеству выполненного, по трудозатратам, по новизне;

- оценивания проектов, выполненных другими;

- понимания критериев оценивания проектов и их защиты, процедуры публичной защиты проектов;

- конструирования представлений о профессиональной проектной деятельности, индивидуальности проектировщика, проявляющейся в результате, готовом изделии;

- расшифровывания замысла, идей, решений проектировщика по «посланию» («знаку», «смыслу»), которым является готовое изделие, появившиеся на рынке.

1.4 Этапы работы над проектом

Работа над проектом включает четыре этапа:

- планирование;

- аналитический этап;

- этап обобщения информации;

- этап представления полученных результатов работы над проектом (презентация).

I. Планирование. Планирование проекта начинается с дискуссии. Это, прежде всего, обмен мнениями и согласование интересов учащихся; продвижение первичных идей, основанных на существующих знаниях и решении спорных вопросов. Затем темы проектов, предложенных студентами, выносятся на обсуждение.

Цели первичного обмена мнениями:

1. Стимулирование потока идей

Для стимулирования потока идей актуален метод мозгового штурма. Преподаватель должен, по возможности, воздерживаться от комментариев, записывать на доске идеи, по мере их выражения, а также возражения, выдвигаемые учениками.

2. Определение общего направления исследовательской работы

Когда определены все возможные направления исследований, учитель предлагает учащимся высказать свое отношение каждому. Затем учитель:

- Выделяет наиболее удачные;

- Определяет сроки, необходимые для получения конечных результатов;

- Помогает ученикам сформулировать 5-6 связанных друг с другом подтем;

- Продумывает вариант объединения выделенных подтем в единый проект для класса (параллели, несколько параллелей и т. д.).

Каждый участник проекта выбирает подтему для будущих исследований. Таким образом, формируются группы, которые работают по одной подтеме. Задача учителя на этом этапе - обеспечить, чтобы в каждой новой группе работали ученики с разными уровнями знаний, креативностью, разными склонностями и интересами.

Затем учащиеся вместе с учителем определяют потенциальные возможности каждого (коммуникативные, художественные, журналистские, организационные, спортивные и т. д.). Учитель должен построить работу так, чтобы каждый мог выразить себя и завоевать признание других. Вы также можете выбрать консультантов, то есть учащихся, которые помогут исследовательским группам в решении различных задач на разных этапах их работы.

II. Аналитический этап. Этот этап самостоятельного проведения исследования, получения и анализа информации, во время которого каждый ученик:

- Уточняет и формулирует собственную задачу, исходя из цели проекта в целом и задачи своей группы в частности;

- Ищет и собирает информацию, учитывая:

· Собственный опыт;

· Результат обмена информацией с другими учащимися, учителями, родителями, консультантами и т.д.;

· Сведения, полученные из специальной литературы, Интернета и т.д.;

Анализирует и интерпретирует полученные данные.

На этом же этапе члены группы должны договориться о распределении работы и формах контроля над подчастями проекта. Каждый ученик может вести «индивидуальный журнал», в котором он будет записывать ход работы. Вы можете вести общий журнал для всех участников проекта. Это поможет учителю (и самому ученику) оценить индивидуальный вклад каждого в работу над проектом, а также облегчить контроль. Введение индивидуального журнала для ученика зависит от конкретных ситуаций и не является обязательным.

Последовательность работы:

1. Уточнение и формулировка задач.

Правильная формулировка целей проекта (то есть проблемы, которую предстоит решить) предопределяет эффективность работы группы. Здесь нужна помощь учителя. Во-первых, члены каждой группы обмениваются уже существующими знаниями по выбранной ими области работы, а также соображениями о том, что еще, по их мнению, необходимо изучать, исследовать, понимать. Затем учитель с помощью проблемных вопросов приводит учащихся к постановке задачи. Если ученики априори знают решение проблемы и легко отвечают на вопросы учителя, задачи для группы поставлены неправильно, поскольку они не соответствуют основной цели проекта - обучению навыкам самостоятельной работы и исследовательской деятельности.

При работе над проектом необходимо, чтобы каждая группа и каждый из ее членов четко понимали свою задачу, поэтому рекомендуется создать стенд для публикации: общие темы проекта, задачи каждой группы, списки членов команды, консультанты, ответственные и т. д. Этот стенд также способствует осознанию ответственности каждого студента за работу, выполненную для других участников проекта.

2. Поиск и сбор информации.

Прежде всего, учащиеся должны определить, где и какие данные они найдут. Затем непосредственно начинается сбор данных и отбор необходимой информации. Этот процесс может осуществляться различными способами, выбор которых зависит от времени, отведенного для этой стадии, материальной базы и наличия консультантов. Школьники (с помощью учителя) выбирают метод сбора информации: наблюдение, анкетирование, социологический опрос, интервьюирование, проведение экспериментов, работа со СМИ, с литературой. Задача учителя заключается в предоставлении, при необходимости, советов о том, как проводить этот вид работы. Здесь необходимо уделить особое внимание обучению учащихся навыкам ведения заметок. На этом этапе они приобретают навыки поиска информации о ее сравнении, классификации; установление связей и проведение аналогий; анализ и синтез; групповая работа, согласование различных точек зрения через:

- Личных наблюдений и экспериментирования;

- Общения с другими людьми (встречи, интервьюирование, опросы);

- Работы с литературой и средствами массовой информации (в том числе через Интернет).

Преподаватель играет роль активного наблюдателя: следит за ходом исследований, их соответствием целям и задачам проекта; оказывает необходимую помощь группам, предотвращая пассивность отдельных участников; подводит предварительные итоги исследования, чтобы подвести итоги заключительного этапа.

3. Обработка полученной информации.

Необходимым условием успешной работы с информацией является то, что каждый член команды четко понимает цель работы и критерии выбора информации. Задача учителя - помочь группе определить эти критерии.

Обработка полученной информации - это, прежде всего, ее понимание, сравнение, выбор наиболее значимых для выполнения задачи. Учащимся потребуется умение интерпретировать факты, делать выводы, формировать собственные суждения. Этот этап является наиболее сложным для них, особенно если они привыкли находить в книгах готовые ответы на все вопросы учителя.

III. Этап обобщения информации. На этом этапе осуществляется структурирование полученной информации и интеграция приобретенных знаний и навыков.

Учащиеся:

- Систематизируют полученные данные;

- Объединяют в единое целое полученную каждой группой информацию;

- Выстраивают общую логическую схему выводов для подведения итогов. (Это могут быть: рефераты, доклады, проведение конференций, показ видеофильмов, спектаклей; выпуск стенгазет, школьных журналов, презентация в интернете и т.д.).

Преподаватель должен обеспечить, чтобы учащиеся делились знаниями и навыками, полученными в ходе различных видов работы, с информацией (опрос и обработка полученных знаний, проведение социологического опроса, интервьюирование, экспериментальная работа и т. Д.). Все необходимые действия на этом этапе должны быть направлены на обобщение информации, выводов и идей каждой группы. Ученики должны знать порядок, формы и общепринятые стандарты для представления полученной информации (правильное составление тезисов, резюме, эссе, порядок выступления на конференции и т. Д.). И на этом этапе учитель должен предоставить учащимся максимальную автономию в выборе форм для представления результатов проекта, поддерживать те, которые позволят каждому ученику раскрыть свой творческий потенциал. Процесс обобщения информации также важен, потому что каждый из участников проекта «передает» знания и навыки, полученные всей группой, потому что в любом случае ему придется участвовать в представлении результатов проекта.

IV. Представление полученных результатов работы (презентация). На этом этапе учащиеся интерпретируют данные и способы достижения результатов; обсуждают и подготавливают итоговую презентацию результатов проекта (в школе, районе, городе и т. д.). Ученики представляют не только полученные результаты и выводы, но также описывают методы, с помощью которых информация была получена и проанализирована; демонстрирует приобретенные знания и навыки. Они рассказывают о проблемах, с которыми пришлось столкнуться при работе над проектом. Любая форма презентации также является образовательным процессом, в ходе которого участники приобретают навыки представления результатов своей деятельности. Основные требования к представлению каждой группы и общей презентации: выбранная форма должна соответствовать целям проекта, возрасту и уровню аудитории, для которой она проводится.

В ходе работы по обобщению материала и подготовке к презентации у учеников, как правило, возникают новые вопросы, при обсуждении которых ход исследования может быть даже пересмотрен. Задача учителя - объяснить им основные правила ведения дискуссий и делового общения; научить их быть конструктивными в критике своих суждений; признать право на существование разных точек зрения на решение одной проблемы. Работая над проектом, учитель не должен забывать, что основными критериями успеха являются радость и чувство удовлетворения всех участников от осознания собственных достижений и приобретенных навыков.



Глава 2. Разработка творческого проекта по теме «Фрактальная геометрия»

2.1 Пояснительная записка

Слово «фрактал» - это то, о чем многие люди говорят сегодня, от ученых до старшеклассников. Он появляется на обложках многих учебников по математике, научных журналов и коробок с компьютерным программным обеспечением. Цветные изображения фракталов сегодня можно встретить повсюду: от открыток, футболок до рисунков на рабочем столе персонального компьютера. Итак, какие цветные формы мы видим вокруг?

Математика - самая древняя наука. Для большинства людей казалось, что геометрия в природе ограничена такими простыми формами, как линия, круг, многоугольник, сфера и т. д. Как оказалось, многие природные системы настолько сложны, что для их использования применяются только знакомые объекты обычной геометрии. Моделирование кажется безнадежным. Как, например, построить модель горного хребта или кроны дерева с точки зрения геометрии? Как описать разнообразие биологического многообразия, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Как представить всю сложность системы кровообращения, состоящей из набора капилляров и кровеносных сосудов и доставки крови к каждой клетке человека. Представить строение легких и почек, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной?

Фракталы являются подходящими инструментами для исследования поставленных вопросов. Часто то, что мы видим в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же шаблона, увеличенного или уменьшенного за определенное количество времени. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть более мелкие ветви и т. Д. Теоретически элемент «ветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно наблюдать, посмотрев на фотографию горного рельефа. Попробуйте пододвинуться немного ближе к изображению горного хребта - вы снова увидите горы. Так появляется свойство самоподобия фракталов.

Изучение фракталов открывает прекрасные возможности, как при изучении бесконечного числа приложений, так и в области математики. Применение фракталов очень обширно. Ведь эти объекты настолько красивы, что их используют дизайнеры, художники, например многие элементы деревьев, облаков, гор и т. д. Рисуют в графике с их использованием. Фракталы даже используются в качестве антенн во многих мобильных телефонах.

Для многих хаологов (ученых, которые изучают фракталы и хаос), это не просто новая область знаний, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и компьютерные технологии - это революция. Это открытие нового типа геометрии, геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но также в природе и повсюду в нашей безграничной вселенной.

Цель работы: создание объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Методы исследования: сравнительный анализ, синтез, моделирование.

Задачи:

- знакомство с понятием, историей возникновения и исследованиями Б.Мандельброта,

Г. Коха, В. Серпинского и др.;

- знакомство с различными видами фрактальных множеств;

- изучение научно-популярной литературы по данному вопросу, знакомство с

научными гипотезами;

- нахождение подтверждения теории фрактальности окружающего мира;

- изучение применения фракталов в других науках и на практике;

- проведение эксперимента по созданию собственных фрактальных изображений.

Предмет исследования: фрактальная геометрия.

Объект исследования: фракталы в математике и в реальном мире.

Гипотеза: - все, что существует в реальном мире, является фракталом.

Методы исследования: аналитический, поисковый.

Актуальность заявленной темы определяется, прежде всего, темой исследования, которая является фрактальной геометрией.

Результатом работы станет создание компьютерной презентации, информационного бюллетеня и буклета.

2.2 Основная часть

История возникновения фракталов

Понятие «фрактал» придумал Бенуа Мандельброт. Слово происходит от латинского «fractus», означающего «сломанный, разбитый».

Фрактал (лат. fractus - дробленый, сломанный, разбитый) - термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Для математических объектов, к которым он принадлежит, характерны чрезвычайно интересные свойства. В обычной геометрии линия имеет одно измерение, поверхность имеет два измерения, а пространственная фигура является трехмерной.

Фракталы, с другой стороны, не являются линиями или поверхностями, но, если можно представить, это что-то среднее. По мере роста размера объем фрактала также увеличивается, но его размер (показатель степени) является дробным значением, а не целым, и поэтому граница фрактальной фигуры не является линией: при большом увеличении становится ясно, что он размыт и состоит из спиралей и завитков, которые повторяются в малом масштабе самой фигуры. Такая геометрическая закономерность называется масштабной инвариантностью или самоподобием. Он определяет дробный размер фрактальных фигур.

До появления фрактальной геометрии наука имела дело с системами, заключенными в трех пространственных измерениях. Благодаря Эйнштейну стало ясно, что трехмерное пространство - это всего лишь модель реальности, а не сама реальность. Фактически наш мир расположен в четырехмерном пространственно-временном континууме.

Благодаря Мандельброту стало ясно, как четырехмерное пространство выглядит, образно говоря, фрактальной гранью Хаоса. Бенуа Мандельброт обнаружил, что четвертое измерение включает в себя не только первые три измерения, но и промежутки между ними.

Рекурсивная (или фрактальная) геометрия заменяет евклидову. Новая наука способна описать истинную природу тел и явлений. Евклидова геометрия имела дело только с искусственными, воображаемыми объектами, принадлежащими к трем измерениям. Только четвертое измерение может превратить их в реальность.

Жидкость, газ, твердое тело - три обычных физических состояния материи, существующих в трехмерном мире. Но каковы размеры клубов дыма, облаков, точнее, их границ, непрерывно размытых турбулентным движением воздуха?

В основном фракталы классифицируют по трём группам:

- Алгебраические фракталы

- Стохастические фракталы

- Геометрические фракталы

Рассмотрим подробнее каждую из них.

Классификация фракталов

Геометрические фракталы

Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая уже стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей.

История фракталов началась непосредственно с них. Этот тип фрактала получается с помощью простых геометрических построений. Обычно при построении фракталов делается следующее: берется аксиома - набор сегментов, на основе которых будет построен фрактал. Затем к ней применяется набор правил, который превращает ее в некую геометрическую фигуру. Затем тот же набор правил применяется снова к каждой части этой фигуры. С каждым шагом фигура будет становиться все более и более сложной, и если мы выполним (по крайней мере, в нашем уме) бесконечное число преобразований, мы получим геометрический фрактал.

Фракталы этого класса являются наиболее очевидными, потому что самоподобие сразу видно в них при любом масштабе наблюдения. В двумерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную линию, называемую генератором. На одном шаге алгоритма каждый из сегментов заменяется генератором в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая.

При кажущейся сложности получаемой кривой ее общий вид определяется только формой генератора.

Примерами таких кривых служат: кривая Коха (см. Приложение 1), кривая Пeано (см. Приложение 2), кривая Минковского (см. приложение 3).

В начале двадцатого века математики искали кривые, которые не имели касательной ни в одной точке. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и, кроме того, с чрезвычайно высокой скоростью (производная равна бесконечности). Поиск этих кривых был вызван не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале двадцатого века квантовая механика развивалась очень быстро. Исследователь М. Браун набросал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление следующим образом: случайно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти кривую, которая лучше всего показала бы движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была соответствовать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую ??кривую.

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс его построения следующий: мы берем один сегмент, делим его на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате получается ломаная линия, состоящая из четырех звеньев длиной 1/3. На следующем шаге мы повторяем операцию для каждой из четырех полученных ссылок и так далее ...

Ограничительной кривой является кривая Коха.

Снежинка Коха. Выполнив аналогичные преобразование на сторонах равностороннего треугольника можно получить фрактальное изображение снежинки Коха (см. Приложение 4).

Также ещё одним несложным представителем геометрического фрактала является квадрат Серпинского. Он построен довольно просто: квадрат разделен прямыми линиями, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Центральная площадь удалена от площади. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Делая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, мы получаем набор, состоящий из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, мы получаем бесконечную последовательность или квадрат Серпинского (см. Приложение 5).

Алгебраические фракталы

Это самая большая группа фракталов. Алгебраические фракталы получили свое название, потому что они построены с использованием простых алгебраических формул.

Получить их можно, используя нелинейные процессы в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором динамическая система находится после определенного числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или, как говорится, аттрактор) имеет определенную область начальных состояний, из которой система обязательно попадает в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы делится на области притяжения аттракторов. Если фаза является двумерным пространством, то, окрашивая области притяжения разными цветами, вы можете получить цветной фазовый портрет этой системы (итерационный процесс). проектный профессиональный самоопределение творческий

Изменяя алгоритм выбора цвета, вы можете получить сложные фрактальные рисунки с причудливыми многоцветными узорами. Сюрпризом для математиков была способность генерировать очень сложные структуры с использованием примитивных алгоритмов.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. Приложение 6). Строят его с помощью комплексных чисел.

В приложении 7 можно увидеть участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 раз.

Множество Мандельброта владеет точками, которые не уходят в бесконечность в течение бесконечного числа итераций (точки, которые имеют черный цвет). Точки, принадлежащие границе множества (именно там возникают сложные структуры), уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки, лежащие вне множества, уходят в бесконечность за несколько итераций (белый фон).

Пример другого алгебраического фрактала - множество Жюлиа. Существует 2 разновидности этого фрактала (см. Приложение 8).

Удивительно, но множества Жулиа формируются по той же формуле, что и множество Мандельброта. Набор Жулиа был изобретен французским математиком Гастоном Жулиа, в честь которого было названо множество.

Интересен тот факт, что некоторые алгебраические фракталы поразительно напоминают изображения животных, растений и других биологических объектов, в результате чего их называют биоморфами. (см. Приложение 9).

Стохастические фракталы

Другой известный класс фракталов - это стохастические фракталы, которые получаются, если в итерационном процессе вы случайно меняете какой-либо из его параметров. В то же время объекты очень похожи на естественные - асимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т. д.

Типичным представителем этой группы фракталов является «плазма» (см. Приложение 10).

Для его построения берется прямоугольник и определяется цвет для каждого угла. Далее идет центральная точка прямоугольника, и она окрашена в цвет, равный среднему арифметическому цвету в углах прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число, тем более «рваным» будет рисунок. Если мы предположим, что цвет точки - это высота над уровнем моря, мы получим вместо плазмы горный хребет. Именно по этому принципу горы моделируются в большинстве программ. Используя плазмоподобный алгоритм, строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура, и фотореалистичные горы готовы.

Если посмотреть на этот фрактал в разделе (см. Приложение 11), то можно увидеть, что этот фрактал является объемным и имеет «шероховатость», именно из-за этой «шероховатости» существует очень важное применение этого фрактала.

Предположим, вам нужно описать форму горы. Обычные фигуры из евклидовой геометрии здесь не помогут, потому что они не учитывают рельеф поверхности. Но, комбинируя обычную геометрию с фракталом, вы можете получить саму «шероховатость» горы. На обычный конус нужно наложить плазму и мы получим топографию горы. Такие операции могут выполняться со многими другими объектами в природе, благодаря стохастическим фракталам природа может быть описана максимально ревльно.

Теперь поговорим о геометрических фракталах.

Фрактальная геометрия природы

Красота фракталов двояка: она радует глаз, о чем свидетельствует, по крайней мере, всемирная выставка фрактальных изображений, организованная группой бременских математиков под руководством Пайтгена и Рихтера. Позже экспонаты этой грандиозной выставки были запечатлены в иллюстрациях к книге тех же авторов «Красота фракталов».

Но есть еще один, более абстрактный или возвышенный аспект красоты фракталов, открытый, по мнению Р. Фейнмана, только для ментального взгляда теоретика, в этом смысле фракталы прекрасны красотой сложной математической задачи. Бенуа Мандельброт указал современникам (и, по-видимому, потомкам) на досадный пробел в евклидовых принципах, в котором, не замечая упущения, почти две тысячи лет человечество постигло геометрию окружающего мира и усвоило математическую строгость изложения. Конечно, оба аспекта красоты фракталов тесно взаимосвязаны и не исключают, а дополняют друг друга, хотя каждый из них самодостаточен.

Фрактальная геометрия природы по Мандельброту - это реальная геометрия, которая удовлетворяет определению геометрии, предложенному в «Эрлангенской программе».

Дело в том, что до появления неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевский - Л. Больяи, была только одна геометрия - та, которая была изложена в «Началах», и вопроса о том, что такое геометрия и какая геометрия есть геометрия реального мира, не возникало и не могло возникнуть. Но с появлением другой геометрии возник вопрос о том, что такое геометрия в целом и какая из многих геометрий соответствует реальному миру. Согласно Ф. Кляйну, геометрия изучает такие свойства объектов, которые инвариантны относительно преобразований: евклидовы - инварианты группы движений (преобразования, которые не меняют расстояния между любыми двумя точками, то есть представляют собой суперпозицию параллельных переносов), и вращения с изменением ориентации или без нее), геометрия Лобачевского-Больяи - инварианты группы Лоренца. Фрактальная геометрия занимается изучением инвариантов группы самоаффинных преобразований, т.е. свойств, выражаемых степенными законами.

Что касается соответствия реальному миру, фрактальная геометрия описывает очень широкий класс природных процессов и явлений, и поэтому мы можем справедливо следовать Б. Мандельброту о фрактальной геометрии природы. Новинка - фрактальные объекты обладают необычными свойствами. Длина, площади и объемы некоторых фракталов равны нулю, а другие превращаются в бесконечность.

Природа часто создает удивительные и красивые фракталы с идеальной геометрией и такой гармонией, что вы просто замерзаете от восхищения. И вот их примеры:

- Морские раковины (см. Приложение 12).

- Молнии (см. Приложение 13) восхищают своей красотой. Фракталы, созданные молнией не произвольны и не регулярны.

- Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora) (см. Приложение 14). Это особый вид является особенно симметричным фракталом.

- Папоротник (см. Приложение 15) так же является хорошим примером фрактала среди флоры.

- Павлины (см. Приложение 16) всем известны своим красочным опереньем, в котором спрятаны сплошные фракталы.

- Лёд, морозные узоры (см. Приложение 17) на окнах это тоже фракталы.

- От увеличенного изображения листочка, до ветвей дерева - во всём можно обнаружить фракталы (см. Приложение 18).

Фракталы везде и всюду в окружающей природе. Вся Вселенная построена по удивительно гармоничным законам с математической точностью. Можно ли после этого думать, что на нашей планете происходит случайное прилипание частиц? Едва.

Применение фракталов

Фракталы все чаще используются в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот некоторые примеры:

Некоторые из самых мощных фрактальных приложений в компьютерной графике. Это фрактальное сжатие изображения. Современная физика и механика только начинают изучать поведение фрактальных объектов.

Преимущества алгоритмов сжатия фрактальных изображений - очень маленький размер упакованного файла и короткое время восстановления изображения. Фрактально упакованные изображения можно масштабировать без пикселизации (плохое качество изображения - большие квадраты). Но процесс сжатия занимает много времени и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет установить степень сжатия, аналогично формату jpeg. Алгоритм основан на поиске больших кусков изображения, похожих на некоторые маленькие кусочки. И в выходной файл записывается только то, на что они похожи. При сжатии обычно используется квадратная сетка (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении изображения, гексагональная сетка лишена такого недостатка.

Компания Iterated разработала новый формат изображения «Sting», сочетающий фрактальное и «волновое» (например, JPEG) сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего качественного масштабирования, а объем графических файлов составляет 15-20% от количества несжатых изображений.

В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному свойству повторения контуров многих объектов природы. Фракталы позволяют аппроксимировать деревья, горные поверхности и трещины с большей точностью, чем аппроксимации по наборам сегментов или полигонов (с одинаковым количеством хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, имеют «шероховатость», и это свойство поддерживается при сколь угодно большом увеличении модели. Наличие равномерной меры на фракталах позволяет применять интеграцию, потенциальную теорию, использовать их вместо стандартных объектов в уже изученных уравнениях.

Кроме того, фрактальная геометрия используется для проектирования антенных устройств. Впервые его использовал американский инженер Натан Коэн, который жил тогда в центре Бостона, где установка внешних антенн на зданиях была запрещена. Коэн вырезал изогнутую фигуру Коха из алюминиевой фольги, а затем приклеил ее на лист бумаги и прикрепил к приемнику. Оказалось, что такая антенна работает так же, как обычно. И хотя физические принципы такой антенны до сих пор не изучены, это не помешало Коэну обосновать собственную компанию и наладить их серийное производство. На данный момент американская компания Fractal Antenna System разработала антенну нового типа. Теперь можно отказаться от использования выступающих наружных антенн в мобильных телефонах. Так называемая фрактальная антенна расположена непосредственно на основной плате внутри устройства.

Существует также много гипотез об использовании фракталов - например, лимфатическая и сердечно-сосудистая системы, легкие и многие другие также имеют фрактальные свойства (см. Приложение 19).

2.3 Экспериментальная часть

Эксперимент №1. Построим свое собственное фрактальное изображение с помощью программы Adobe Photoshop.

В данной программе создаем небольшую подпрограмму или action, ее особенность заключается в том, что она повторяет действия, которые необходимо выполнять, и таким образом у нас получается фрактал.

1) Так называемым пунктом отправления для нашего эксперимента будет создание фона для будущего фрактала. Задаем разрешение 600 на 600.

2) После этого рисуем на этом фоне 3 линии, которые будут являться основой будущего фрактала (рис. 1).

рис. 1

3) На третьем шаге делаем запись скрипта. Продублируем слой (layer > duplicate) и изменим тип смешивания на «Screen» . Назовём его «fr1». Скопируем этот слой («fr1») еще 2 раза (рис.2,3).

рис.2 рис.3



4) Выполняем свободную трансформацию объекта. Здесь необходимо повернуть слой и переключиться на следующий слой, а также повторить с ним аналогичную операцию. После этого переключаемся на последний слой (fr3) и дважды сливаем его с предыдущим (Ctrl+E), причем уменьшая яркость слоя (Image > Ajustments > Brightness/Contrast, яркость = 50%). И снова сливаем с предыдущим слоем, а также обрезаем края всего рисунка, чтобы уничтожить невидимые части. Приостанавливаем запись скрипта. А затем просто запускаем его (рис. 4).

рис.4

5) На данном этапе вырисовывается что-то похожее на фрактал (рис. 5).

рис.5



6) После выполнения ещё несколько шагов скрипта, получится красивое фрактально изображение (рис.6).

рис. 6

Эксперимент № 2.

В эксперименте №2 попробуем построить фрактал с помощью аффинных преобразований.

Здесь же точкой отсчета является круг. Рисуем его. И уже следующим шагом будет его трехкратное копирование, а также уменьшение его копии.

рис.7

Получившиеся маленькие круги расставляем на большой круг в форме правильного треугольника (то есть треугольника, у которого все стороны равны). Затем копируем получившееся изображение, уменьшая и поворачивая его по часовой стрелке. Осталось присоединить то, что у нас получилось к предыдущему изображению (рис.7).

...