Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

г. Санкт-Петербург “Средняя школа №636”

Проектно-исследовательская выпускная работа

на тему: “Цифровые программные визуализации на уроках геометрии (на примере построения сечения)”

Выполнила ученица 10 а класса:

Герасимова Елизавета Денисовна

Руководитель:

Федотова Алла Валерьевна (учитель математики)

Санкт-Петербург

2020

Оглавление

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Основные способы визуализации и виды компьютерных графиков геометрии

1.2 Программные средства, разработанные для уроков математики

1.3 Визуализация геометрических объектов

1.4 Сечение многогранника

1.5 Примеры решения задач

1.6 Сечение многогранника плоскостью

1.7 Рассмотрим примеры решения задач на тему - Построение сечений многранников

Глава 2. Практическая часть

2.1 О программе

2.2 Геометрические задачи в программе GeoGebra

2.3 Построения

2.4 Урок в 10 классе по теме «Построение сечений

2.5 Анкетирование учеников

Заключение

Список использованных источников и литературы

Приложение

Введение

В обеспечении повышения уровня математического образования на сегодняшний день огромную роль играет развитие и использование информационных технологий. С их помощью дети обеспечивают себе быстрый доступ к любой интересующей их информации. Применение данных технологий основательно облегчает вычислительные решения большинства задач, упрощает конструирование различного рода геометрических моделей.

На сегодняшний день система образования встречается с задачей поиска интересных способов обучения. В школьной геометрии особое место занимает наглядность изучаемого материала. Применение компьютерных технологий и средств визуализации облегчит подросткам понимание данного предмета. Геометрическая визуализация позволяет решить трудности пространственного представления.

Преподаватели во все времена стремились усовершенствовать качество обучения. Главная задача педагога - улучшить теоретические знания учеников. Для этого учителям нужно достойно оценивать свою деятельность. Также нужно квалифицированно выбирать эффективные, а главное просты для понимания методы обучения детей. Чтобы достичь желаемого результата учителя безостановочно пытаются быть ознакомленным и проинформированы в последних достижениях науки, техники и культуры.

Развитие компьютерных технологий, охватывающее на данный момент все стороны и сферы общества, включает в себя много приоритетных направлений, к которым можно отнести информатизацию школьного образования. Информатизация способствует развитию интеллектуальной деятельности ученика и учителя.

Система образования поставлена перед проблемой совершенствования её содержания, поиска новых форм, методов и средств обучения, а также специфичных приёмов их использования в учебном процессе. Одним из таких средств обучения является визуализация, значение которой достаточно велико.

Визуализация отвечает современным требованиям. Особое значение приобретает проблема реализации принципа наглядности на основе развития и использования резервов визуального мышления учащихся, которое выделено сегодня одним из приоритетных направлений развивающей функции математики.

Окончательные цель информатизации образования - это обеспечение сферы образования высококачественными новыми моделями для подготовки учеников к жизни в информационном обществе. К тому же обогащение новыми знаниями - это один из путей, ведущий к улучшению человеческой коммуникации.

Актуальность проекта:

В наше время ученики перестали серьёзно подходить к изучению предмета «математика». Особое место занимает понимание геометрии, ориентированное на исследование и осуществлению возможностей ИКТ.

В ходе обучения предмета и знакомства возрастающего поколения с современными методами воплощения информационных деятельностей при провидении исследований математических фигур, объектов, явлений.

Для того, чтобы дети могли успешно сдать экзамены, учителя ищут новые возможности для повышения эффективности учебного процесса.

Проблема проекта:

· Серьезные затруднения возникают при переходе от изучения фигур на плоскости к изучению геометрии в пространстве. Здесь средства визуализации будут способствовать лучшему восприятию понятий стереометрии.

· Соблюдение баланса в использовании средств компьютерной визуализации и других видов наглядности. В связи с этим - важным является изучение положительных и отрицательных сторон подключения компьютеров в школы, а также проблема чрезмерного использования интернета и социальных сетей в процессе обучения.

Методы проекта:

· Изучение литературы и многих других источников информации;

· Использование полученных знаний в школе;

Цель проекта:

· Посмотреть и узнать о программах в области планиметрии

· Изучить новые возможности этих программ для программной визуализации фигур при решении задач по теме «построение сечений»

· Рассказать о новых возможных компьютерных технологиях в процессе изучения предмета «математика» в школе №636 (в аспекте визуализации информационных технологий на уроках геометрии)

· Показать целесообразность применения возможностей планиметрии к решению задач

· Показать и научить одноклассников, как можно выполнять геометрические построения в динамической среде разных программ для успешного усвоения учебного материала

Объект проекта:

· Процесс получения новых знаний в обучении и использования средств информационных технологий (в аспекте визуализации информационных технологий на уроках геометрии)

· Рабочие программы для курсов по геометрии 10 -11 классов

· Среди огромного количества программ, направленных на изучения темы моего проекта, я нашла и выделила самые основные, при изучении которых есть смысл использовать геометрическую визуализацию (качестве таковых я рассматриваю тему «построения сечений»)

Предмет проекта: Рассказать о средствах визуализации ИКТ на уроках геометрии в школе

Для получения ответа на поставленный вопрос необходимо обозначить задачи моего исследования:

1. Изучить интерфейс программ для успешного прохождения тренировочного материала планиметрии, используя различные источники информации, в том числе, Интернет

2. Научиться пользоваться способностями планиметрии программ для конструирования и решения задач по теме

3. Узнать о новых возможностях в построении анимированных фигур в планиметрии, выполнить измерения

4. Изучить метод сечения плоскости

5. Познакомить одноклассников с разными программами, на конкретных примерах показать необходимость её применения для решения задач по данной теме

6. Провести обзор методических материалов в аспекте реализации возможностей новых информационных технологий в изучении предмета -геометрия

7. Обобщение новых знаний, полученных в исследовании проекта

Обзор используемой литературы

В настоящем исследовании в качестве одного из основных теоретических источников используется работа Кузнецова (В.С. Культура математического мышления как социально-значимое явление) В.С. Кузнецов, В.А. Кузнецова, В.С. Сенашенко

Материалы международной научной конференции, в которой рассказывается о подготовке преподавателей в университете при переходе к двухуровневой системе в высшей школе, его принуждающий характер.

Другой важной работой, относящейся к визуализации фигур в обучении геометрии, является Шулайкин Дмитрий Алексеевич, в работе:

«Визуализация геометрических фигур и отношений комплексной плоскости средствами компьютерной графики»

В ней он рассматривает вопросы наглядного представления геометрических фигур и отношений комплексной плоскости на трёхмерных моделях, для рассмотрения которых используется возможности компьютерной графики.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Основные способы визуализации и виды компьютерных графиков геометрии

компьютерная программа визуализация урок

В наше время широкое распространение получил термин - визуализация, т.е. Наглядность визуальных (зрительных) операций. Визуализация - это деятельность, которая обеспечивает представление информации или физического явления в виде, удобном для зрительного наблюдения и анализа, Продуктом этой деятельности - формирование новых образов, создание новых визуальных форм, несущих определенный смысл.

В основе принципа визуализации лежит компьютерная графика, цель которой состоит в создании информационных моделей, представлении знаний, сочетающих в себе символический и геометрический способы мышления, которые способствуют пониманию познания.

Что такое компьютерная графика?

Это область (деятельности) информатики. Здесь компьютер используется как инструмент для создания изображений. Изучает способы работы с изображениями на плоскости. Также выделяют разделы, создания и обработки изображений на экране с помощью специальных программ.

На сегодня существуют: растровые, векторные и фрактальные виды компьютерной графики.

Растровая графика геометрии

Растровое изображение представляет собой сетку пикселей на мониторе компьютера/ноутбука или цветовых точек на листе бумаги.

Основной элемент изображения - пиксель. Пиксель - наименьший единица растрового изображения на экране компьютера, принтера и т.д. Размер экранного пикселя приблизительно 0,0018 дюйма.в векторной - линия (прямая или кривая).

Фрактальная геометрия - это бесконечная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

[https://econet.ru/articles/109078-fraktalnaya-geometriya-geneticheskiy-kod-vselennoy]

Выделяют ещё четвертый вид графики 3D- или трёхмерную. Она отличается от двухмерной графики тем, что подразумевает построение проекции трехмерной модели, фигуры на плоскость.

Также рассматривают способы визуализации. Наиболее известны также, как и виды компьютерной графики, два способа визуализации: растровый и векторный.

Растровая- активно применяется в веб-технологиях.

Например, когда вы фотографируете на смартфон или цифровой фотоаппарат, вы получаете растровое изображение, которое состоит из множества отдельных точек.

Геометрическое моделирование - это моделирование, используемое для решения многих задач: визуализации, построения расчётных сеток. Изучает методы построения математических моделей, плоскостей и геометрических тел, а также умение управлять геометрическими моделями.

Визуализация играет в обучении важную роль, а именно: развитие мультимедиа и визуализации, дети смогли учиться дистанционно. Такое обучение становиться всё более популярным. Люди могут получать образование на расстоянии.

1.2 Программные средства, разработанные для уроков математики

1. Живая Геометрия

- набор инструментов, который предоставляет весь необходимый материал и средства для построения чертежей и их исследования.

Специально разработана, российскими учёными, представляет собой компьютерную программу для работы с геометрическими чертежами и объектами. Она дает возможность понимать и проверять геометрические теоремы. Программа позволяет буквально "оживлять" чертежи, плавно изменяя положение исходных точек фигур.

«Живая математика» относится к программам динамической геометрией или «интерактивным геометрическим системам», её ещё называют виртуальной математической лабораторией. Это не только электронные циркуль и линейка для геометрии, но и помощь в формулировке теорем для последующих доказательств, а также подтверждение уже доказанных теорем и развитие их понимания. Позволяет ученикам увидить закономерности в наблюдаемых геометрических явлениях.

2. Программа «ПланиМир»

- программа, предназначенная для изучения курса планиметрии в средней школе.

Она представляет особый интерес для учителя математики, так как имеет прекрасно разработанный геометрический материал для обучения детей по теме «Построение фигур с использованием циркуля и линейки». Также программа предоставляет методическую разработку для педагогов, что позволяет даже на первом этапе знакомства с программой легко проводить уроки в школах. «Геометрический практикум» составлен по учебникам геометрии.



3. «s 3DSecBuilder»

С помощью этой программы очень удобно выполнять построения пространственных фигур, так как она содержит различные фигуры(заготовки), которые можно увеличивать или уменьшать, поворачивать. Также можно включить «режим анимации» и наблюдать за вращением тела в пространстве. А главное, что эта программа отлично справляется с построением сечений.

3. «GeoGebra»

Данная динамическая среда может создавать конструкции с точками, векторами, линиями, коническими сечениями, а также математическими функциями, а затем динамически изменять их.

Кроме того, в GeoGebra можно напрямую вводить уравнения и изменять координаты. Таким образом, можно легко составлять графики функций, искать символические производные, и использовать полезные команды: корень и последовательность.

В результате компьютерного моделирования геометрические объекты становятся «видимыми». Поучителен и сам процесс создания соответствующего рисунка, что особенно важно при изучении. Программа GeoGebra обладает огромными функциональными возможностями, которые позволяют наглядно и просто обучаться математике.

Динамическая, а главное бесплатная математическая программа для всех уровней образования, включает в себя разделы геометрии, алгебры, статистику и арифметику, а также таблицы, графы в удобном для использования виде.

GeoGebra обладает доступным для всех пользователей интерфейсом и переведена на многие языки мира, включая русский. Работать с нею легко, интересно и увлекательно, с ней можно охватить аудиторию с пятого по одиннадцатый классы.

Возможности программы по математике не ограничиваются только построением графиков и вычислений.

Для решения задач по стереометрии GeoGebra обладает инструментами, позволяющие не только строить пространственные тела, но и находить расстояние между точкой и прямой, между двумя точками, рассчитывать величины углов. Также с телами можно производить изменения точек фигуры, при этом наблюдая изменение формы тела, анимировать и вращать их.

Программа GeoGebra помогает визуализировать пересечение секущей плоскости с гранями многогранника при данных условиях и автоматически выполняет построение образующегося при этом сечения.

Таким образом, если мы создаем в данной программе какой-либо объект, то его можно использовать, как наглядное пособие, для того чтобы правильно донести условия задачи, а также как один из способов решения или проверки правильности решения стереометрических задач.

1.3 Визуализация геометрических объектов

Визуальный поиск - это процесс порождения новых образов, новых визуальных форм, несущих конкретную визуально-логическую нагрузку и делающих видимым значение искомого объекта или его свойства.

Одно из самых важных применений геометрического моделирования - это компьютерная графика. Исходная информация для получения изображения некоторого объекта на экране компьютера поставляется геометрической моделью этого объекта. На практике используются все возможные способы визуализации геометрических фигур и объектов. Самый несложный из них -- отображение линиями. Он позволяет получить общее представление об объекте, его размерах и форме. С помощью компьютера можно легко получить изображение моделируемого объекта, близкое к его фотографии. Геометрической модели или ее частям можно придать любой цвет и освещенность. Кроме того, объект на экране можно заставить двигаться в реальном времени и тем самым получить видеофильм.

Для того чтобы увидеть, как выглядит объект, необходимо смоделировать саму фигуру (это можно сделать с помощью специальных программ). При этом граням модели можно придать необходимый цвет, зеркальность, прозрачность, излучение, фактуру и другие физические свойства взаимодействия со световыми потоками. Модель можно осветить с разных сторон светом различного цвета и интенсивности. Реалистические отображения объектов строятся из отдельных точек определенного цвета и яркости, причем точки должны быть сравнительно небольшой величины и располагаться достаточно близко друг к другу (расстояние между точками не должно превосходить размеры точек).

Растровая графика более информативна, чем векторная, так как позволяет получать тоновые изображения, но требует больше ресурсов и склонна к искажению при редактировании. В обоих случаях мы видим проекции геометрических объектов на выбранную плоскость.

Проекции могут быть построены с помощью линий, перпендикулярных проекционной плоскости, или с помощью линий, проходящих через общую точку. Первые называются параллельными проекциями , вторые -- центральными проекциями или перспективными изображениями. Центральные проекции могут быть созданы на плоскости или криволинейной поверхности. Мы рассмотрим центральные проекции на плоскости.

Центральные проекции геометрических объектов ближе к тому изображению, которое возникает на сетчатке глаза, поэтому они дают более реалистические картины.

1.4 Сечение многогранника

Если у нас есть некоторая плоскость, которая сечет многогранник, то в течение у нас всегда получается многоугольник, все вершины которого лежат на ребрах нашего многогранника, а все стороны которого лежат на гранях нашего многогранника, то есть получается, что этот многоугольник он должен находиться на поверхности нашего многогранника, что нам может помочь для построения сечений:

Во-первых, это базовые аксиомы стереометрии:

1) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3) Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Во-вторых, это некоторый небольшой набор стандартных теорем, которые применяются в той или иной ситуации.

1. Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Две прямые в пространстве скрещиваются, если через них нельзя провести плоскость.

3. Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.

4. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

5. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90).

6. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

7. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90).

1.5 Примеры решения задач

Будем рассматривать построение сечений, на примере куба:

ABCDA1B1C1D1-- это построение сечений по трём точкам.

(см. рисунок 1)

Мы знаем, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, у нас получается только единственный вид сечения, рёбрах даны точки M, N, P нам нужно построить сечение куба плоскостью MNP. (см. рисунки 2-3)

Первый шаг, вы проверяете в задачах - нет ли у вас двух точек, лежащих плоскости одной грани. Если такие две точки, имеются, то вы можете их соединить и получить новую сторону вашего сечения. Мы руководствуемся аксиомой - если у нас две точки лежат некоторой плоскости, то прямая проходящая через эти две точки также лежит в этой плоскости.

Таким образом, мы можем соединить точки M и N получить отрезок PM, который является уже стороной нашего сечения. Второе действие, которое очень часто применяется в таких многогранниках - куб, параллелепипед, призма, в общем, в тех многогранниках, где есть параллельные плоскости -этот способ, который основывается на следующей теореме: если у вас есть две параллельные плоскости, и они пересеченные секущей плоскостью, то линии пересечения этой секущей плоскостью с этими двумя параллельными плоскостями будут параллельны.

Мы видим, что у нас на задней грани есть уже прямая M, а на передний грани у нас есть точка N, задняя и передняя грани, плоскости, содержащие эти грани они у нас параллельны. Значит, что я могу в передней грани через точку M провести прямую параллельна прямой PM. Таким образом, я получу прямую из сечения, по которой у меня плоское сечение пересекает переднюю грань, но меня интересует именно отрезок, по которому эта прямая пересекает грань, поэтому я получу отрезок - NK где, а K это точка из нижней плоскости.

Теперь, что я вижу у меня уже нет никаких двух точек, которые я могла бы соединить. Мне нечего параллельно переносить в какую-то другую грань, соответственно, можно воспользоваться третьим способом: если вы видите, что у вас в плоскости какой-то грани одна точка уже есть, то стоит попробовать получить еще одну точку в этой грани, которая лежит в плоскости вашего сечения и тогда вы уже сможете соединить эти две точки, получить прямую, получить отрезок (сторону)

Это можно сделать продлением прямых. Для начала надо найти точку пересечения прямой PM с прямой CD, пусть это будет точка O. Во-первых, это точка, которая лежит в плоскости нашего сечения, потому что она из прямой PN. Во-вторых, она лежит в плоскости нижней, то есть плоскости основания, потому что она лежит на прямой CD. Получается, что точка O - это точка из нижней плоскости, лежащая в плоскости сечения точка K это тоже точка в нижней плоскости и из плоскости нашего сечения. Значит, я могу спокойно соединить точки K и O. Таким образом, я получу прямую, по которой плоскость моего сечения пересекает нижнюю плоскость. От этой прямой KO, меня интересует отрезок, по которому это прямая пересекает нижнюю грань, то есть отрезок KR.

Теперь я уже вижу, что могу соединить точки R и M, получить еще одну сторону RM, то есть у меня уже есть сторона PM сторона RM и сторона NK. (см. рисунок 4)

Дальше уже не трудно заметить, что все остальные стороны сечения можно получить по второму шагу, по теореме, что: если две плоскости пересечены третьей и эти плоскости параллельны, то линии пересечений тоже будут параллельны.

Таким образом, в левой плоскости я строю отрезок NT, который у меня параллелен отрезку RM. Точку T я уже спокойно соединяешь точкой P и получаю сечение моего куба.

1.6 Сечение многогранника плоскостью

Пусть у нас дана четырехугольная пирамида SABCD, она неправильная, произвольная четырехугольная пирамида. В основание у неё лежит выпуклый четырехугольник ABCD, на диагонали AC отмечена точка O и на ребре AB отмечена точка T. Нас просят через эту точку O провести плоскость параллельную прямым BD и ST и построить сечение пирамиды этой плоскостью. Здесь мы воспользуемся еще одним способом: если нам нужно построить плоскость параллельную каким-либо прямым, то давайте для начала возьмём нашу точку O, одну из двух прямых, параллельно которым нам нужно построить, зафиксируем плоскость, проходящую через эту прямую и через эту точку.

И в этой плоскости нарисуем прямую проходящую через точку O параллельно вот этой прямой. Здесь очевидным образом берется плоскость основания, то есть плоскость ABCD в ней лежит, и точка O, прямая BD. Итак, давайте проводим через точку O прямую MN, которая параллельна прямой BD.

Таким образом, мы получаем точки M и N, которые у нас помимо того, что лежат в основании, они у нас лежат еще в передней и в левый гранях. Теперь в передней грани получили точку M и нужно построить также плоскость, которая будет параллельно моей прямой ST то есть теперь у меня есть передняя плоскость в ней лежит прямой ST. (см. рисунок 5)

У меня теперь есть передняя плоскость и в ней лежит прямая ST и в ней лежит точка M, значит, я через точку M провожу прямую MK, которая параллельна прямой ST и таким образом, я получаю точку K, лежащую на ребре CB.

На этом этапе ваша задача уже сводится по сути к предыдущей. У вас уже есть две прямые или у вас есть три точки, не лежащие на одной прямой через, которые вам нужно провести плоскость. На этом этапе можно уже в принципе забыть о том, что ваша плоскость должна быть параллельна каким-либо прямым, потому что вы уже воспользовались этой информации, но иногда бывает, что можно не забыть, а еще раз этим воспользоваться, чтобы помочь себе построить сечение.

Мы будем строить сечение по-другому, давайте рассмотрим вот такую вот теорему: если у вас есть три плоскости, которые попарно пересекаются, то либо их линии пересечения параллельны, между собой, то есть все три, либо все три линии пересечения пересекаются в одной точке.

Эту теорему очень легко представить на примере стандартных многогранников, то есть вот представьте себе треугольную призму все ее три боковые грани - это три попарно пересекающиеся плоскости, и что мы знаем, что все три линии пересечения параллельны между собой. Для второго случая представьте себе треугольную пирамиду все ее боковые три грани попарно пересекаются между собой и линии пересечения все пересекаются в одной точке, которую мы называем вершиной пирамиды. Здесь нам поможет первая часть нашей теоремы, значит, какие у нас есть три плоскости первая плоскость эта плоскость нашего сечения (см. рисунок 6) вторая плоскость эта плоскость нижнего основания, то есть плоскость ABCD (см. рисунок 7) и третья плоскость эта плоскость BSD (см. рисунок 8)

Мы знаем, что плоскость сечения с плоскостью ABCD пересекается по прямой MN, мы знаем, что плоскость BSD с плоскостью ABCD пересекаются по прямой BD, мы знаем, что MN и BD параллельны - это значит, что плоскость сечения с плоскостью BSD пересекается по прямой, параллельной прямой BD или прямой MN. Именно поэтому через точку K мы проводим прямую в плоскости BSD параллельно прямой BD.

Таким образом на ребре SD мы получаем новую точку P. Мы видим, что можно воспользоваться первым шагом, то есть соединить две точки, лежащие плоскости одной грани, таким образом, мы соединяем точки M и K соединяем точки N и P. (см. рисунок 9)

У нас уже три стороны нашего сечения имеются, осталось совсем немножко. Далее, мы воспользуемся следующим действиям.

Давайте рассмотрим плоскость ASC, в этой плоскости у нас лежит точка O. Я хочу понять в какой точке моя секущая плоскость пересечет ребро SC, для этого я вижу, что мои плоскости BSD и ASC пересекаются по прямой SE, где E - это точка пересечения диагоналей моего основания, это значит, что моя вот это вот прямая KP пересечет плоскость ASC в той точке, в которой она пересекает прямую SE. Давайте эту точку назовем точкой Q, соответственно, точка q - эта точка, которая, во первых, лежит в плоскости нашего сечения, потому что она из прямой KP, а, во-вторых, она лежит в плоскости ASC, потому что она лежит на прямой SE, то есть мы можем сейчас эту точку Q соединить с точкой O и получить прямую, которая лежит в плоскости нашего сечения. (см. рисунок 10)

Если мы этот отрезок OQ продлим до пересечения с ребром SC, мы получим новую точку R, которая также лежит в плоскости нашего сечения, и теперь можно спокойно эту точку R соединить с точками KP, потому что она с ними лежит плоскостях, в одних гранях. Наше сечение закончено, мы получили сечение пирамиды. (см. рисунок 11)

Секущая плоскость тетраэдра - это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра.

Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, пересекающие грани тетраэдра называется сечением тетраэдра.

Построить сечение многогранника плоскостью - это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.

Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать две точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника.

Для того, чтобы успешно решать задачки на сечения, нужно хорошо понимать два факта.

Во-первых, если точки A и B лежат в плоскости, то и вся прямая AB лежит в той же самой плоскости. Во-вторых, очень полезное свойство звучит так: если плоскость альфа параллельна плоскости

бета, и их пересекает некая третья плоскость, например, гамма, то пересекает она их по параллельным прямым. Если с теорий все понятно, то давайте решать задачки. Первая будет совсем простой. Нужно построить сечение куба по трем точкам. Точки будут следующие: А1, В и С1. Посмотрите, на А1 и С1: они лежат в плоскости верхнего основания, значит, вся прямая А1С1 будет лежать там же, получается, А1С1 -- это искомый отрезок сечения. Аналогично А1 В и точно так же С1В, то есть мы нашли такой многоугольник, по которому наша секущая плоскость пересекает куб, а значит, получили ответ.

Теперь решим задачку чуть-чуть поинтересней. У нас есть параллелепипед, сечение будем строить по трем точкам, А1 D1 лежит в плоскости верхнего основания, отрезок А1В лежит в плоскости АВВ1.А вот отрезок ВD1 проводить не стоит, он, скажем так, “сквозной” и не является стороной сечения. Здесь лучше бы заметить, что наша секущая плоскость пересекает параллельные между собой левую и правую грани параллелепипеда, пресекает их по параллельным прямым. Если левую по А1 D1, то правую по ВС. Соединив новые точки, получим искомое сечение А1 ВСD1.

Наконец, самое интересное из нынешних трех задач -- это построить сечение куба по трем точкам. Постараемся решить эту задачу двумя способами. Фантазировать с названиями не будем, вершины, как обычно. Точки: D1, середины ребер - АА1 и, например, СС1. Вот такие три точки, новые пусть будут Е и F. Заметим, что D1 и Е уже лежат на грани куба, проведем отрезок. Аналогично D1,F соединим отрезком. А вот дальше интересно. Е и F пока что не позволяют получить сечение, и нужно уже что-то думать. Первый способ. D1 и Е лежат в одной плоскости, прямая лежит в той же плоскости, а прямая, как известно, бесконечна. Пересечется она с АD. Аналогично D1 F точно также будет пересекаться, но уже с DC. Получили новые точки S и Т, точки эти лежат в одной и той же плоскости, а именно в плоскости основания. Ну, получается, вся прямая ST лежит в той же плоскости. Oтрезки SA, AD, а также DC и CT равны, именно поэтому точка В лежит на прямой ST. Далее соединяем точки Е и В, F и В, благополучно получаем наше сечение.

Давайте теперь попробуем лаконично и грамотно записать построение. Прямая D1Е пересекла прямую АD в точке S. Далее D1F пресекла DC в точке Т, после чего мы привели прямой ST и она наш куб пересекла в точке В. Наконец, мы получили сечение D1ЕВF. Tеперь решим задачку вторым способом. Bот они три точки D1, Е, F. Поначалу мы провели прямую D1Е и D1F. Посмотрите, плоскости DCC1 и ABB1 параллельны, наше cечение пересекает одну из них по D1F, значит, вторую по параллельной прямой, в данном случае это ЕВ, потому что Е и F -- это были середины соответствиях ребер. После чего мы уже получили сечение D1ЕВF как и минуту назад. То есть данный способ оказался достаточно коротким, но в то же время правильным.

1.7 Рассмотрим примеры решения задач на тему - Построение сечений многранников

В основании правильной треугольной призмы ABCD лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы 4. Точка N - середина отрезка A1 С1. 1) Постройте сечение призмы плоскостью BANK. 2) Найдите периметр этого сечения.	Проведём через точку N прямую, параллельную прямой A1 B1, до пересечения с прямой B1 C1 в точке K. Соединим точки NKAB. Трапеция ABNK - искомое сечение.
	Имеем, что A1 N = 3, так как тоска N - середина бедра A1 C1. Значит AN = v16-9 = 5 Далее NK=3 как средняя линия треугольника A1 B1 С1. Следовательно, искомый периметр сечения равен: 6+5+5+3=19

Глава 2. Практическая часть

2.1 О программе

На уроках геометрии учитель в 10 классе ознакомил нас с динамической средой «GeoGebra». Эта программа обладает огромными функциональными возможностями, которые позволяют любому человеку с лёгкостью обучаться математике. «GeoGebra» предназначена для всех школ, она включает в себя разделы геометрии, алгебры, также таблицы, графы в удобном для использования виде. Эта программа даёт возможность учителям легко строить графики функций, различные фигуры намного быстрее, чем делать тоже самое на обычной школьной доске, а школьникам такой формат обучения очень нравится. После того, как я узнала об этой программе, мне захотелось исследовать еще больше возможностей данной среды. Для того, чтобы найти обучающий видеоролик, достаточно просто ввести в браузере «GeoGebra Online». Так можно разобраться абсолютно в любой теме.

Приложение впервые было выпущено австрийским учёным Маркусом Хоэнвартером в 2001 году. Сейчас оно довольно быстро развивается. Написана программа на языках - Java и HTML5, также работает на большом числе операционных систем, это Windows, Mac OS, Android, Linux, Ubuntu. На сегодняшний день программа уже переведена на 39 языков мира, в том числе на русский.

Интерфейс программы GeoGebra (ГеоГебра) очень простой. Напоминает графический редактор. Рассмотрим его основные элементы:

· Кнопка меню (три горизонтальные линии). Используйте для изменения настроек;

· Панель инструментов. Для создания фигур и графиков;

· Панель 3d объектов. Здесь отображаются введенные вами данные;

· Стрелки отменяющие действия;

· Рабочая область. Здесь и происходят все действия. При помощи колесика мыши можно редактировать масштаб экрана;

Возможности:

· Построение кривых

· Построение графиков функций {\displaystyle y=f(x)}y=f(x);

· Построение кривых, заданных параметрически в декартовой системе координат: {\displaystyle x=f(t);y=g(t)}x=f(t);y=g(t);

· Построение конических сечений:

1. Окружность:

-- по центру и точке на ней;

-- по центру и радиусу;

-- по трем точкам;

2. Эллипс -- по двум фокусам и точке на кривой;

3. Парабола -- по фокусу и директрисе;

4. Гипербола -- по двум фокусам и точке на кривой.

Построение геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент Локус).

Вычисления:

· Действия с матрицами:

· Сложение, умножение;

· Транспонирование, инвертирование;

· Вычисление определителя;

· Вычисления с комплексными числами;

· Нахождение точек пересечения кривых;

· Статистические функции:

· Вычисление математического ожидания, дисперсии;

· Вычисление коэффициента корреляции;

· Аппроксимация множества точек кривой заданного вида: полином, экспонента, логарифм, синусоида.

Как скачать

Официальный сайт находится по адресу: http://www.geogebra.org.Программу можно установить на компьютер или скачать приложение на телефон. Также разработчики предлагают online использование. Установка простая, не вызовет сложностей даже у начинающий пользователей.

Запуск программы

После того, как программа GeoGebra будет скачана, нужно нажать на иконку и на компьютере появится окно, главное поле, показано на рисунке. С помощью чертежных инструментов (моделей), которые можно выбрать на панели инструментов. Можно строить чертежи в блокноте, используя мышь. Все соответствующие координаты и уравнения отображаются в окне слева от рабочей области. Поле ввода текста используется для ввода координат с клавиатуры, также для уравнений, команд, функций; все данные автоммтически отображаются на доске после нажатия клавиши ввод (Enter).

2.2 Геометрические задачи в программе GeoGebra

Геометрические построения

С помощью инструментов на "Панели инструментов" Вы можете строить различные чертежи, используя мышь. Одновременно с добавлением чертежа в "Графическое представление" соответствующие координаты появятся и на "Панели объектов". "Строка ввода" служит для непосредственного ввода построений за счёт координат, уравнений, команд, функций... После нажатия на клавишу Enter они сразу появятся в области графического представления и панели объектов.

Разберем вкратце каждую из областей:

1. Главное меню -- это основная область для работы с приложением; для выполнения всех функций

2. Панель инструментов: на этой панели расположены все основные инструменты, которые позволяют выполнять построения при помощи мыши. Достаточно выбрать интересующий вас объект и нажать на графическое представление, фигура сразу появится в рабочей области

3. Отменить/Повторить: две кнопки, верхняя позволяет отменить последние действия, нижняя повторить отменённое действие.

4. Графическое представление (Область геометрии): основная область программы, в которой будут выполняться все построения.

5. Панель объектов (Область алгебры): область в которой будут записаны все математические формулы.

6. Строка ввода: данная область позволяет вводить различные формулы, функции, уравнения, которые сразу отобразятся в панели объектов и на графическом представлении.

Далее рассмотрим каждый из этих пунктов по порядку.

1. Новое окно - клавиши (Ctrl+N)

Этот пункт меню помогает создать новое окно программы GeoGebra, где вы сможете работать в двух окнах.

2. Создать

Данный пункт создаёт новый документ, закрыв текущий.

3. Открыть - клавиши (Ctrl+O)

Этот пункт меню позволяет открывать ранее созданные документы.

4. Открыть Веб-страницу

Если вы сохранили Ваш документ как Веб-страницу, то этот пункт меню откроет её и Вы сможете продолжить работу с Вашим чертежом.

5. Недавно открытые

Показывает список ранее открытых или созданных Вами чертежей.

6. Сохранить - клавиши (Ctrl+S)

Выбрав этот пункт меню, Вы сможете сохранить созданный чертёж.

7. Сохранить как...

Если необходимо сохранить чертёж под другим именем, то вы можете воспользоваться этим пунктом меню.

8. Поделиться

Данный пункт меню позволяет разместить Вашу работу на сайте www.geogebratube.org

9. Экспорт

Этот пункт меню очень полезен для создания рисунков и вставки Ваших чертежей в другие документы.

9.1 Интерактивный чертёж как веб-страница (html)... (Ctrl+Shift+W)

Позволяет сохранить чертёж как веб-страницу, для последующего размещения во всемирной сети.

9.2 Изображение (png, eps)... (Ctrl+Shift+P)

Сохраняет чертёж как изображение, поддерживает множество растровых и векторных форматов.

9.3 Анимированное изображение (gif)...

Создаёт анимированный gif файл. О этом пункте меню пойдёт более подробное объяснение в разделе Ползунок.

9.4 Копировать в буфер - клавиши (Ctrl+Shift+C)

Позволяет скопировать в буфер обмена (временная память) чертёж, для последующего его использования в другой программе.

10. Печать - клавиши (Ctrl+P)

Позволяет вывести на принтер для печати документа.

11. Закрыть - клавиши (Alt+F4)

Закрывает программу.

2.3 Построения

Категория инструментов «Точки»:

Инструмент «Точка». Точка появится на окне, если щелкнуть на графическое окно.

1. Нажать на инструмент - «Поставить точку».

2. Щёлкнуть по мышкой там, где вы хотите поставить точку.

3. «Точка на объекте» - устанавливает точку на определенный объект. В этом случае точка будет находиться на объекте или внутри него, но не за пределами.

4. «Прикрепить / Снять точку». С помощью этого инструмента можно прикрепить свободную точку к объекту или же снять точку с объекта.

Категория отрезок:

1. В инструменте - «Прямая» кликнуть мышкой на белый треугольник.

2. Из списка выбрать - «Отрезок».

3. Поставить две точки - вершины желаемого отрезка.

* «Отрезок» - этот инструмент строит отрезок по точкам началу и концу.

* «Отрезок с фиксированной длиной» - строит отрезок с заданной длиной, т.е. если перемещать отрезок, то длина его не изменится.

Категория луч:

1. В инструменте - «Прямая» щелкнуть по белому треугольнику.

2. Из списка нажать на пункт - «Луч».

3. В области изобразить две точки: первая - начало луча, вторая это точка, через которую будет проведён луч.

* «Луч» - строит луч по указанной начальной точке и точке, лежащей на этом луче.

Прямая:

1. Выберем инструмент - «Прямая».

2.Указать две точки, через которые будет проходить прямая.

* «Прямая» - позволяет построить прямую по двум указанным точкам.

Перпендикуляр:

1. Нажать на инструмент - «Перпендикуляр».

2. Выбрать прямую, луч или отрезок, к которому хотите провести перпендикуляр.

3. Взять точку, через которую пройдёт перпендикуляр.

Параллельная прямая к данной прямой:

1. В инструменте - «Перпендикуляр» щелкнуть по белому треугольнику.

2. Из всплывающего окна нажать на «Параллельная прямая».

3. Выбрать прямую, луч или отрезок, к которому будет проведена параллельная прямая.

4. Кликнуть на точку, через которую пройдёт эта прямая.

* «Перпендикулярная прямая». Для построения перпендикулярной прямой нужно указать точку, через которую она будет проходить, и прямую, к которой будем проводить перпендикуляр.

* «Параллельная прямая» - строит прямую, параллельную данной, через любую точку, которая не принадлежит исходной.

Серединный перпендикуляр к отрезку:

* «Срединный перпендикуляр» - проводит срединный перпендикуляр к отрезку.

1. В инструменте «Перпендикуляр» щелкнуть по белому треугольнику.

2. Из всплывшего списка выбрать - «Серединный перпендикуляр».

3. Выбрать отрезок или две точки, обозначающие отрезок, через который будет проведён серединный перпендикуляр.

Касательная прямая к окружности:

* «Касательная» - строит касательные к различным кривым. Для построения необходимо выбрать точку касательной и окружность (график произвольной функции), к которой будет проведена касательная (или касательные).

1. В инструменте «Перпендикуляр» щелкнуть по белому треугольнику.

2. В всплывшем списке выбрать - «Касательная».

3. Нажать на окружность, к которой будет проведена касательная.

4. Взять точку через которую будет проведена касательная.

Многоугольник:

1. Нажать инструмент «Многоугольник».

2. Взять несколько точек, обозначающих вершины, заканчивая первой точкой.

Треугольник:

- для начала нужно провести серединные перпендикуляры к двум сторонам,

- затем найти точку пересечения этих серединных перпендикуляров,

- после провести окружность по центру и точке

Вписанная окружность в треугольник:

-провести биссектрисы дух углов треугольника

-указать точки пересечения этих биссектрис

-провести перпендикулярную прямую к одной из сторон

-вязть точку пересечения стороны треугольника с этой прямой

-провести окружность по центру и найденную точку

Правильный многоугольник:

1. В инструменте «Многоугольник» нажать на белый треугольник.

2. Из всплывшего списка нажать на «Правильный многоугольник»

3. Далее поставить две точки.

4. В окне ввести число вершин у правильного многоугольника.

Точки пересечения диагоналей многоугольника:

* «Многоугольник» - позволяет построить фигуру по нескольким точкам. Для этого нужно по очереди указать все вершины, а затем соединить с первой.

* «Правильный многоугольник» - строит правильный многоугольник по заданному положению, длине стороны и количеству вершин.

* «Жесткий многоугольник» - позволяет построить многоугольник, аналогичный данному, по указанию всех вершин данного многоугольника или просто выбрав многоугольник. Полученный многоугольник можно перемещать и поворачивать.

* «Векторный многоугольник» - используется для построения произвольного многоугольника, а также построения другого многоугольника, аналогичного данному, в котором вершины одного многоугольника не изменяются, если переместить вершины другого многоугольника в произвольном направлении.

1. Для проведения диагоналей воспользуемся инструментом «Отрезок».

2. После проведения двух (или более) нужных диагоналей в инструменте «Точка» нажать на белый треугольник.

3. Из всплывшего списка выбрать «Пересечение».

4. Выбрать две пересекающиеся диагонали.

Точки по координатам:

1. Нажать на строку ввода.

2. Написать название точки и её координаты (A=(1,7))

Инструменты категории «Движение» - позволяют перемещать объекты, а также изменять их положение.

* Инструмент «Перемещать» - инструмент, с помощью которого можно перемещать объекты на рабочей области.

* Инструмент «Движение относительно точки», который осуществляет движение относительно точки. Для этого нужно выбрать центр и вращать вокруг него объект.

* Инструмент «Пересечение» позволяет точно указать место пересечения двух прямых, окружностей и т.п.

* «Середина или центр». Указав две точки, отрезок, окружность или конику - этот инструмент обозначает середину или центр.

* «Комплексное число» - добавляет комплексное число.

* «Ломаная» - строит ломаную по указанным вершинам.

* «Вектор» - строит вектор. Для этого нужно указать начало и конец вектора.

* «Отложить вектор» - позволяет отложить равный вектор.

* «Биссектриса угла» - делит угол пополам. Для этого нужно указать три точки или две прямые.

* «Поляра или диаметр» - позволяет построить поляру или диаметр в зависимости от выбора элементов: так, выбрав точку и окружность - построится поляра, а выбрав прямую и окружность - диаметр.

* «Аппроксимация» - позволяет приближенно выразить величины и объекты через другие более простые величины или объекты.

* «Локус» - позволяет отображать линии, по которому движется зависимый объект.

Следующий набор инструментов «Окружности и дуги»:

* «Окружность по центру и точке» - для использования этого инструмента нужно указать центр будущей окружности и некоторую точку, которая будет определять радиус.

* «Окружность по центру и радиусу» - в поле нужно поставить точку, которая будет служить центром окружности и в появившемся окне ввести значение радиуса, которую будет иметь наша окружность.

* «Циркуль» - для того, чтобы использовать этот инструмент, сначала нужно выбрать две точки или отрезок, задающий радиус окружности, и центр.

* «Окружность по трем точкам». Указываем на графическом окне три точки (учитывая, что они не должны лежать на одной прямой), наша окружность построится мгновенно, но центр окружности в этом случае указываться не будет.

* «Полуокружность по двум точкам» - рисует полуокружность по заданным двум точкам.

* «Дуга по центру и двум точкам» - строит дугу при указании центра окружности и две точки на ней (начало и конец дуги).

* «Дуга по трем точкам» - этот инструмент строит дугу по указанным трем точкам.

* «Сектор по центру и двум точкам» - строит сектор по центру окружности и двум точкам на ней (аналогично инструменту «Дуга по центру и двум точкам».

* «Сектор по трем точкам» - строит сектор по трем точкам (инструмент, аналогичный инструменту «Дуга по трем точкам»).

Категория инструментов «Кривые второго порядка»:

* «Эллипс» - строит эллипс по трем точкам, две точки которой являются фокусами, а третья принадлежит эллипсу.

* «Гипербола» - строится по двум фокусам и точке, принадлежащей гиперболе (аналогично эллипсу).

* «Парабола» - позволяет построить параболу по указанной точке и прямой - директрисе параболы.

* «Коника по пяти точкам» - изображает кривую второго порядка (эллипс, гипербола, парабола) на плоскости по пяти точками.

Категория инструментов «Измерения»:

* «Угол» - отображает и измеряет угол между прямыми.

* «Угол заданной величины». Указать точку стороны угла, затем его вершину и размер.

* «Расстояние или длина». Нужно указать две точки, отрезок, многоугольник или окружность, чтобы вывести их длину (длину замкнутой кривой) или периметр.

* «Площадь» - выводит на окне площадь фигуры.

* «Наклон прямой» - указывает наклон прямой.

* «Создать список» - создает список по указанным ячейкам элементов.

Следующая категория «Преобразования»:

* «Отражение относительно прямой» - отражает исходный объект относительно выбранной прямой.

* «Отражение относительно точки» - отображает объект относительно точки.

* «Отражение относительно окружности». Укажите точку или другой объект и окружность, относительно которой отображается объект.

* «Поворот вокруг точки» - поворачивает объект вокруг выбранной точки на определенный угол, который указывается пользователем.

* «Параллельный перенос по вектору». Нужно указать исходный объект и вектор переноса.

* «Гомотетия относительно точки». Укажите проектируемый объект, центр и коэффициент гомотетии.

Набор инструментов «Специальные возможности»:

* «Текст». Нажмите на полотно или на точку, чтобы создать надпись.

* «Изображение» - добавляет изображение. Для этого нужно выбрать точку, где будет находиться левый нижний угол изображения.

* «Карандаш» - позволяет писать на полотне. Можно изменять цвет и тип линии карандаша.

* «Фигура от руки» - изображает функцию или геометрическую фигуру, нарисованную от руки.

* «Отношение объектов» - выявляет отношение объектов друг к другу.

* «Исследователь функций» - исследует функцию.

Набор инструментов «Дополнительные элементы»:

* «Ползунок». Создается ползунок с интервалом и шагом. Он закрепляется к определенным объектам и при изменении значений на ползунке, меняется расстояние (угол) между объектами.

* «Флажок». Отображает флажок, который определяет видимость объектов на полотне.

* «Кнопка». Добавляет кнопку на полотне.

* «Окно ввода». Вставляет окно ввода числового значения.

Категория инструментов «Действия над объектами»:

* «Переместить чертеж» - позволяет перетаскивать чертеж.

* «Увеличить» - приближает чертеж при нажатии на экран. Также это действие можно производить при помощи колесика мыши.

* «Уменьшить» - отдаляет чертеж.

* «Показать / скрыть объект» - показывает или скрывает объекты.

* «Показать / скрыть обозначение» - показывает или скрывает обозначения объектов.

* «Копировать стиль». Выбрав объект-источник, указать те объекты, на которые будет применен стиль объекта-источника.

* «Удалить» - удаляет выбранный объект.

Панель инструментов данной динамической среды очень разнообразна. На первый взгляд может показаться, что работать с этой программой тяжело, но при постоянном использовании она окажется для вас очень практичной.

Также можно менять стиль самой рабочей области. Это могут быть и обычный рисунок в клетку, и фигура ромб, и окружность, и белый лист.

2.4 Урок в 10 классе по теме «Построение сечений

Повторение темы «построение сечений» начинается в 10 классе.

Ход урока:

1) Приветствие. Организационный момент.

2) Постановка цели и задачи урока.

3) Программа Геогебра и её применение

4) Пример построения сечения в программе Геогебра

5) Опрос по уроку в гугл форме

Задачи на построение сечений занимают важное место в курсе стереометрии. Решение этого вида задач способствует не только усвоению аксиом стереометрии, но и следствий из них, а также развитию пространственных представлений и конструктивных навыков. Умение решать задачи на построение сечений является основой изучения почти всех тем курса стереометрии.

На уроке я показывала, как научится строить сечения различных геометрических фигур плоскостью, проходящей через три данные точки, такие, что никакие три из этих точек не лежат в одной грани. Для этого я использовала программу GeoGebra.

Была создана группа, где учащиеся могли выкладывать свои проекты для лучшего усвоения темы «Построение сечений».



На моём профиле в онлайн платформе Геогебра было выложено три проекта по теме.

2.5 Анкетирование учеников

Чтобы выяснить, как знают ли учащиеся о новых возможностях представления геометрических фигур, я провела среди них анкетирование.

Анализ результатов опроса старшеклассников:

В анкетировании приняли участие 30 человек. Это ученики 10 класса школы №636.

Анкета содержала следующие вопросы:

1. Имели ли вы представление что такое пространственная фигура?

1. Трудно ли вам было представить пространственные фигуры?

2. Понравился ли вам урок? Оцените по 5бальной шкале:



3. Легко ли вы усвоили данную тему?

4. Проводили ли Вам похожие уроки?

5. Хотели бы вы дальше обучаться по такой программе?

Результат опроса показал, что обучающиеся были заинтересованы проводимым уроком, и для многих урок дал более обширное понятие геометрических объектов через пространственную визуализацию в 3D формате. Урок показался многим новым, и ученики желают в дальнейшем обучаться по этой программе.

...