Предикативная логика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления» ( ФГБОУ ВПО «ВСГУТУ» )

РЕФЕРАТ

На тему: «Предикативная логика»

Выполнила: студентка

Б522-2 группы,

Улан-Удэ

2012 год

Предикативная логика - центральный раздел логики, в котором изучается субъектно-предикатная структура высказываний и истинностные взаимосвязи между ними. Л.п. представляет собой содержательное расширение логики высказываний.

В рамках данного раздела любое высказывание (пропозиция, предложение) рассматривается как некоторый структурно-сложный символ, разделяющийся на субъект, предикат и субъектно-предикатную связку. Субъект указывает на целостное понятие о предмете суждения; предикат -- на к.-л. отдельное свойство, присущее предмету суждения; субъектно-предикатная связка -- на отношение предикации (присущности), имеющее место между предметом суждения и отдельным свойством рассматриваемого предмета.

Напр., в высказывании «Петр есть студент» слово «Петр» является субъектом, «студент» -- предикатом, а слово «есть» -- субъектно-предикатной связкой. Так же, как и в логике высказываний, в Л.п. любое высказывание считается либо истинным, либо ложным. Однако при этом кроме пропозициональных связок «)», «&», «V», «-->», «<-->» используются еще три логических оператора: оператор предикации «<--», квантор общности «V» и квантор существования «Э».

Если с помощью оператора предикации (субъектно-предикатной связки) формализуется внутреннее логическое строение высказываний об отдельных объектах, то с помощью кванторов формализуются высказывания о различных совокупностях объектов. В естественном языке отдаленными смысловыми аналогами этих трех дополнительных операторов являются, соответственно, слова «есть (является)», «все» и «некоторые».

Точный логический смысл этих операторов задается с помощью специальных семантических правил и формальных аксиом, постулируемых в соответствующем логическом исчислении. Наиболее распространено классическое исчисление предикатов, в котором из конечного числа аксиом по специальным правилам вывода могут быть получены общезначимые формулы Л.п., выражающие соответствующие логические законы.

Средствами классического исчисления предикатов могут быть формализованы все основные типы высказываний силлогистики Аристотеля. Кроме классического первопорядкового исчисления предикатов используются и др., более изощренные варианты формализации содержательной теории предикатов. Среди них наиболее известно исчисление предикатов второго порядка, в котором допускается квантификация формул как по предметным переменным, так и по предикатным переменным. Средствами Л.п. может быть формализовано значительно больше естественно-языковых рассуждений, нежели средствами логики высказываний. Вместе с тем Л.п. не может обеспечить формализацию всего естественного языка, поскольку в ней не учитывается ряд важных содержательных положений, относящихся к сфере компетенции металогики.

Логика предикатов -- раздел современной логики символической, изучающий рассуждения и другие языковые контексты с учетом внутренней структуры входящих в них простых высказываний, при этом выражения языка трактуются функционально, т. е. как знаки некоторых функций или же знаки аргументов этих функций.

Важнейшая особенность логики предикатов состоит в том, что т. н. общие имена (напр., “человек”, “город”, “металл”), знаки свойств (“белый”, “умный”, “электропроводный”) и знаки отношений (“старше”, “севернее”, “тяжелее”) рассматриваются как принадлежащие одной категории знаков, а именно, категории предикаторов -- предметно-истинностных функторов. Предикаторы репрезентируют функции, возможными аргументами которых являются объекты некоторого универсума рассмотрения, а значениями -- истинностные оценки (в классической логике -- это “истина” и “ложь”). Напр., предикатор “человек” представляет функцию, которая каждому отдельному человеку сопоставляет оценку “истина”, а каждому отличному от человека существу -- оценку “ложь”. Функция, соответствующая предикатору “севернее”, сопоставляет “истину” каждой такой паре географических точек, первая из которых действительно расположена севернее второй (напр., паре <Петербург, Москва>), всем остальным парам географических точек (напр., парам <Москва, Петербург> и <Москва, Москва>) эта функция сопоставляет оценку “ложь”.

Предикаторы различаются, как говорят, своей местностью: Предикаторы, представляющие предметно-истинностные функции от одного аргумента, называются одноместными, те, которым соответствуют функции от двух аргументов, -- двухместными и т. д. (напр., предикатор “человек” одноместный, а предикатор “севернее” двухместный).

Множество тех объектов универсума (или же множество тех п-ок объектов), которым одноместная (многоместная) предметно-истинностная функция сопоставляет значение “истина”, называется областью истинности соответствующего предикатора. Часто при построении логики предикатов предикаторам в качестве значений сопоставляются области их истинности, т. е. свойства (для одноместных предикаторов) и отношения (для многоместных предикаторов), рассматриваемые с объемной, экстенсиональной точки зрения.

Другой отличительной чертой логики предикатов является использование особого типа логических символов -- кванторов и связываемых ими (квантифицируемых) переменных для воспроизведения логических форм множественных высказываний. Квантифицируемые переменные “пробегают” по множеству всех объектов рассмотрения, а роль квантора состоит в указании на ту часть объектов этого множества, для которых справедливо содержащееся в высказывании утверждение. Наиболее употребимы в логике квантор общности V (в естественном языке ему соответствуют термины типа “всякий”, “каждый”, “любой”, “произвольный”) и квантор существования О (“существует”, “найдется”, “имеется”, “некоторый”). К примеру, логическая форма высказывания “Некто умен” может быть выражена с использованием квантора 3 и переменной х, пробегающей по множеству людей, так: ЗхР(х), где символ С соответствует одноместному предикатору “умный”, а форма высказывания “Каждый знает кого-нибудь” -- посредством формулы х?yR, где Квантифицируемые переменные х и у пробегают по тому же множеству, а символ R соответствует двухместному предикатору “знает”.

Логика предикатов как раздел символической логики включает в себя логические теории разных типов, отличающиеся как выразительными возможностями языков, в которых они формулируются, так и классами выделяемых в них логических законов (см. Закон логический).

В зависимости от типа сущностей, составляющих допустимые в теории области пробега квантифицируемых переменных, различают логику предикатов первого порядка и логику предикатов высших порядков. В первопорядковой логике имеется лишь один тип квантифицируемых переменных -- предметные (индивидные) переменные, возможными значениями которых являются индивиды, отдельно взятые предметы (люди, города, числа и т. п.). В логике предикатов второго порядка дополнительно вводятся переменные, пробегающие по признакам индивидов -- их свойствам и отношениям между ними (эти переменные тоже разрешается связывать кванторами, получая выражения типа WA -- “Для всякого свойства P верно, что A”, 3RA. -- “Существует отношение R, такое что А”); в логике предикатов третьего порядка разрешается квантификация по признакам признаков индивидов и т. д.

Виды логики предикатов

Выделяют также односортные и многосортные системы логики предикатов: в односортной все переменные, принадлежащие к одному и тому же типу, имеют одинаковую область пробега; в многосортной с каждой переменной связывается собственное множество ее возможных значений.

Наконец, данный раздел логики включает как классические, так и неклассические логические теории. В основе классической логики предикатов лежат, прежде всего, общие для всех классических систем логики принципы -- двузначности (всякое высказывание принимает ровно одно из двух значений: “истину” или “ложь”), экстенсиональности (значение сложного выражения зависит только от значений составляющих его выражений), а также идущая от Аристотеля классическая трактовка истины как соответствия наших утверждений действительности. Кроме того, в классической логике предикатов принимаются специфические именно для кванторной теории предпосылки экзистенциального характера -- допущение о существовании объектов в предметной области и существовании денотатов у сингулярных терминов (термин “существование” здесь следует понимать в смысле известного критерия У. Куайна: “существовать -- значит быть возможным значением квантифицируемой переменной”). В неклассических предикатных системах в той или иной форме происходит пересмотр указанных принципов.

Наиболее фундаментальный статус имеет классическая односортная логика предикатов первого порядка. Ее язык задается следующим образом. В алфавит вводится некоторая функционально полная система пропозициональных связок (см. Логика высказываний. Логические связки), напр. {-й, л, v, nj (где -, -- знак отрицания, л -- знак конъюнкции, н -- знак дизъюнкции, э -- знак материальной импликации), а также кванторы V и Э (имеется возможность выбрать в качестве исходного символа языка лишь один из этих кванторов, другой может быть введен по определению). В алфавите содержится также бесконечный список предметных переменных (л*, у, г, х,...). Среди нелогических символов обязательно наличие непустого множества предикаторных констант -- аналога предикаторов естественного языка (будем использовать для них символы P", Q", R", Р,'1,..., где верхний индекс з -- натуральное число, указывающее на местность предикаторной константы). Кроме этого в алфавит могут быть введены нелогические символы других типов: предметные константы (а, Ь, с, а,, ...) -- аналоги собственных имен (знаков отдельных предметов) естественного языка, напр., “Москва”, “Луна”, “медь”, а также предметно-функциональные константы различной местности (f", g", h", f,", ...) -- аналоги предметных функторов (знаков таких функций, аргументами и значениями которых являются индивиды, напр., “+”, “возраст”, “расстояние от... до ...”). Иногда в алфавит языка логики предикатов добавляют пропозициональные переменные (p, q, r, PI, ...) -- аналоги простых высказываний естественного языка, исходя из буквального понимания тезиса о том, что логика предикатов является расширением логики высказываний. Однако данное добавление не является необходимым: при желании в качестве пропозициональных переменных можно разрешить использование нульместных предикаторных констант. Техническими символами алфавита являются левая и правая скобки и запятая.

Выражением языка логики предикатов называется любая конечная последовательность символов ее алфавита. Некоторые из этих выражений являются правильно построенными, а некоторые нет. В логике предикатов имеется два типа правильно построенных выражений -- термы и формулы.

Один из возможных путей расширения выразительных средств логики второго порядка состоит во введении в ее язык предикаторов более высоких ступеней, “предикаторов от предикаторов”. Они выражают свойства свойств или отношений, отношения между свойствами или отношениями. Так, в контексте “Отношение родства симметрично” термин “симметрично” репрезентирует свойство отношения (родства), ав контексте “Щедрость и скупость -- противоположные качества” термин “противоположно” представляет отношение между свойствами (щедростью и скупостью). При указанном подходе натуральные числа 0,1,2,... могут рассматриваться как свойства свойств и определяться средствами второпорядковой логики предикатов следующим образом:

логика предикат высказывание оператор

0(Р)=о{-ЗхР(х), 1(Р)=о{ЗхР(х), 2(Р) =о{3х3у(-х = = у л Р(х) л Р{у} л Уг(Лг) э (г = ч н г = у))) и т. д.

В современной модальной логике, особенно в результате разработки ее точных формальных семантик, удалось снять многие возражения У. Куайна. Так, А. Смульяном была установлена необходимость учета областей действий дескрипций при замене равного равным в модальных контекстах. С. Крипке предложил способ построения богатых систем модальной логики предикатов без формулы Баркан и других парадоксальных законов. Т. Парсонс точными методами продемонстрировал непричастность данных теорий эссенциализму, показал, что можно развивать модальную логику в антиэссенциалистском ключе -- с отрицанием эссенниалистского принципа в качестве аксиомы. Тем не менее проблема адекватной экспликации кванторных модальных контекстов языка, особенно эпистемических контекстов (утверждений о знании, мнении, вере), и по сей день остается актуальной.

Особую важность для логики предикатов, как и для любой логической теории, представляет исследование ее метатеоретических свойств (см. Металогика). В связи с наличием двух способов построения логических теорий -- семантического и синтаксического (в виде исчислений) -- возникает вопрос о соотношении класса общезначимых в семантике формул и множества теорем исчисления. Классическое исчисление предикатов первого порядка семантически непротиворечиво (корректно), т. е. каждая его теорема универсально общезначима. Наличие данного свойства обосновывается стандартным методом: демонстрируется общезначимость всех аксиом исчисления и инвариантность его правил вывода относительно свойства “быть общезначимой формулой”.

Более трудным оказалось доказательство семантической полноты первопорядкового исчисления предикатов, т. е. того, что всякая универсально общезначимая формула является теоремой исчисления. Впервые этот результат был получен К. Гёделем (1930). Позднее Л. Генкин предложил изящный (хотя и неконструктивный) метод доказательства полноты, существенно опирающийся на лемму Исчисление предикатов (как первопорядковое, так и второпорядковое) обладает также свойством синтаксической непротиворечивости, т. е. не существует формулы А, такой, что 1--А и 1---А. Однако, в отличие от классического исчисления высказываний, исчисление предикатов не является синтаксически полным (максимальным, неисполнимым), т. е. к нему можно присоединить в качестве новой аксиомы некоторую недоказуемую формулу так, что полученная система окажется синтаксически непротиворечивой. Синтаксическая неполнота исчисления предикатов имеет серьезное в методологическом отношении следствие: обеспечивается возможность построения на базе данной логической системы нетривиальных прикладных теорий за счет присоединения их собственных постулатов, не обладающих статусом логических законов.

Особую важность применительно к логике предикатов имеет исследование проблемы разрешения. А. Чёрчем был получен фундаментальный результат, свидетельствующий о том, что в общем случае эта проблема не имеет решения: не существует алгоритма, позволяющего для произвольной формулы языка логики предикатов решить вопрос о том, является ли она законом данной теории, т. е. любое адекватное понятие закона логики предикатов существенным образом неэффективно, не содержит алгоритмической процедуры распознавания элементов своего объема.

Создание логики предикатов связано с именами Г. Фреге, Б. Рассела и А. Уайтхеда. Современные формулировки классического первопорядкового исчисления предикатов и его детальный анализ был осуществлен Д. Гильбертом и его учениками В. Аккерманом и П. Бернайсом.

Большую роль в оформлении точной теоретико-множественной семантики логики предикатов сыграли работы А Тарского.

Значительный вклад в установление метатеоретических свойств логики предикатов внесли Л. Лёвингейм, Т. Сколем, К. Гёдель, А. Чёрч, Ж. Эрбран, Л. Генкин.

Серьезные научные результаты в данной области были получены также Г. Гени/еном, Л. Кальмаром, С. Алина, В. Крейгом, У. Куайном, А. А. Марковым, А. И. Мальцевым, П. С. Новиковым, В. А. Смирновым, К. Шютте и многими другими исследователями.

Размещено на Allbest.ru