Модальная логика

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Модальная логика

модальный логика суждение

Логика вносит большой вклад в формирование культуры мышления. Она является некой грамматикой, которая сформировалась под воздействием потребностей постоянных массовых дискуссий. А так же развивает внутренний интеллектуальный потенциал человека и помогает научиться продуктивно использовать способности, которые он получил от природы или приобрел в жизненном опыте.

Логика не только очень тесно связана именно с культурой речи, но и является основой риторики. Она помогает правильно формировать мышление и поведение, что необходимо в сферах управления людьми. А именно эту специальность мы с вами и осваиваем. Поэтому изучая логику, мы научимся правильно вести споры и дискуссии, а так же повысим нашу коммуникабельность в деловом общении и управлении.

Во всех суждениях есть утверждение о том существует та или иная ситуация или нет. Однако бывают такие ситуации в жизни, когда они существуют или отсутствуют случайно или необходимо. Одни поступки и действия людей в обществе приемлемы, некоторые обязательны, а есть и запрещенные. А что же касается суждений о знаниях, про которые мы говорим, то они могут оказаться доказанными или нет, достоверными или не достоверными.

В зависимости от того, имеют ли суждения такие характеристики событий или явлений, они делятся на: (См. схему 1).

Схема 1

Ассерторические - суждения, содержащие информацию, но не содержащие оценки информации.

Например: «Некоторые управленцы ошибаются».

Модальные - суждения, содержащие оценку информации, заключенной в них.

Например: « Иногда студенты на экзаменах получают отличные оценки случайно».

Обычно модальные суждения характеризуют конкретную формулировку мысли, но иногда случается, что мысль не выражается явно, а только подразумевается.

Например: «Некоторые ораторы не умеют врать».

2. Виды модальных суждений

Существует несколько типов модальностей и каждый этот тип делится еще на несколько видов модальности. И они соответствуют модальным операторам, то есть словам, которые характеризуют информацию, заключенную в суждении. Самыми распространенными и важными являются такие виды модальности суждений: (См.: Схема 2).

Схема 2

Алетическая модальность суждений.

Алетические модальности наиболее часто изучаются в логике, где отмечается, обязательность связи между предикатом и субъектом. Иногда суждение может отмечать только фактическую связь предмета с свойствами, относящимися к нему, и не уточнять ее, а иногда такая связь может быть возможной или необходимой. В основном эту модальность используют в науке. Ведь науку интересуют именно закономерные связи явлений или причинная их обусловленность, а так же не возможность и возможность некоторых явлений в определенных обстоятельствах.

Есть три группы деления алетической модальности в традиционной формально логике. (См. схему 3).

Схема 3

В суждение возможности отражает вероятность отсутствия или наличия признаков у предмета - например: «Возможно, на сегодняшней конференции будут выступать иностранцы».

Суждение действительности имеет отсутствие или наличие у предмета какого-то признака - например: «Некоторые ораторы когда-то были студентами».

Суждение необходимости отражает признак, являющийся необходимым и существенным для предмета - например: «Невозможно быть оратором, не умея говорить».

Модальность - одно из самых главных свойств суждения, ведь она выражает уровень существенности какого-то важного признака для этого предмета в суждении. При этом следует учесть, что различие модальных суждений определяется основательностью и реалистичностью способов объяснения и установления реальности, а не субъективными желаниями. Например, в аподиктическомом суждении совсем не обязательно должно присутствовать слово «необходимо».

Аналогично высказывания о принадлежности какого-то признака этому предмету или о вероятности наступления какого-то события опираются на изучение объективной деятельности, на исследование фактов.

Неалетическая модальность суждений.

Неалетическая модальность изучалась позднее. Обычно она имеет три категории суждений - одну нейтральную и две противоположные. Такие как: (См.: Схему 4).

Схема 4

Аксеологические модальности содержат оценку явлений, содержащуюся в суждении: (См.: Схему 5).

Схема 5

Эта модальность показывает отношение человека к духовным и материальным ценностям.

Например: « Хорошо, что я сегодня выступаю на логике» или « Плохо, что коррупция по-прежнему растет».

Существует так же относительная и абсолютная аксиологическая модальность. В схеме №4 представлены функторы абсолютной, а к относительным относятся: «хуже», «лучше», «равноценно» и так далее.

Деонтическая модальность суждений.

Эта модальность характеризует именно наши действия и поступки в обществе. Виды: (См.: Схема 6).

Схема 6

Деонтическая модальность, в зависимости от характера норм, имеет такие разновидности:

Об отсутствии или наоборот наличии какого-то права. Они составляются с помощью слов «запрещено», «разрешено», «вправе».

Например: «Студентам запрещено разговаривать на лекциях и мешать этим преподавателю»;

Об отсутствии или наоборот наличии какой-то обязанности. Составляются с помощью слов «обязан», «необходимо», «должен».

Например: «Студент обязан защитить диплом, чтобы закончить университет».

Эпистемические модальности, отмечают степень изученности высказываний и явлений. Она характеризует степень достоверности знаний. Вспомогательные слова: (См.: Схему 7).

Схема 7

С помощью эпистемической модальности в ходе каких-либо дискуссий, которые в нашей профессии встречаются часто, мы можем грамотно оценить доводы оппонента и определить их убедительность или даже степень вероятности. Такие модальные понятия помогают определить дополнительную информацию, которая присутствует в определенном суждении, помимо его истинности и ложности. Так же понятие высказывания напрямую зависят от субъективных и объективных, а так же внешних и внутренних факторов. Отсюда и выделяют две разновидности эпистемических суждений:

Суждения, основанные и выражающее веру, например, «Верю, что у меня все получится»;

Суждения, более обоснованные и выражающиеся на основе знания, например, «После проверки реферата на плагиат, он показал 100%».

В заключении хотелось бы отметить, что все те модальные понятия, которые мы разобрали, безусловно, помогают более полно и точно выразить всевозможные контекстуальные характеристики суждений. Все расплывчатые и не точные суждения, которые мы даем, с помощью модальной логики приобретают ясность, точность и однозначность, что очень важно для речи настоящего оратора и управляющего. Часто в нашей профессии государственного и муниципального управляющего, мы сталкиваемся с тем, что необходимо дать задания или выступить на конференции так, чтобы люди, до которых мы пытаемся донести суть своей речи, поняли и поддержали ее. А модальная логика помогает нам в этом.

3. Сущность модальной логики

Традиционная или классическая логика, которую мы до сих пор рассматривали, является самой простой и наиболее употребительной логической системой. Она исходит из того, что атомарные (простые) суждения и понятия, из которых строятся рассуждения и которые уже не анализируются, либо истины, либо ложны, но ни то ни другое вместе. Однако многие понятия и суждения повседневных и научных рассуждений не так хорошо укладываются в категории истинных и ложных. Истинностное значение суждения «Вероятно, завтра будет дождь» весьма и весьма не определено. Некоторые логики, начиная с Аристотеля, стали учитывать различие между истинами, являющимися таковыми, так сказать, в силу необходимости, и истинами случайными. Так возникли модальная логика и вероятностная логика.

В отличие от классической логики, приписывающей суждениями и понятием два истинностных значения: истина и ложь, модальная логика оперирует такими истинностными значениями, как «возможно», «необходимо», «невозможно», и т.д. Первую попытку построить модальную логику предпринял Аристотель в своем сочинении «Первая и вторая аналитики» (ей посвящены главы третья и восьмая - двадцать вторая «первой аналитики»). Однако, как подметил Я. Лукосевич (1878-1956), аристотелевское изложение модальной логики не было свободно от недостатков. Ученик Аристотеля Теофраст (370-288 до н. э.) уточнил учение Аристотеля о модальности суждений. Средневековые схоласты развили аристотелевскую модальную силлогистику. Современные исследования в области модальной логики характеризуются стремление построить аксиоматические системы модальной логики. Наиболее известные из них это системы Льюиса, Аккермана и Лукасевича.

Модальная и вероятностная логики - довольно специфические ветви логики. Знакомство с их основами необходимо для понимания методологии научного исследования.

4. Модальность суждений

Под модальностью суждений понимается различия между суждением в зависимости от того, выражают ли они необходимую или вероятностную (случайную) связь между субъектом и предикатом. По модальности суждения делят на три группы: суждения возможности (проблематические), суждения действительности (ассерторические) и суждения необходимости (аподиктические). В суждении возможности отображается возможность наличия или отсутствия признаков у предмета, о котором говорится в данном суждении. Его формула «S возможно есть (не есть) Р». Таким будет, например, суждение «Возможно в Киеве в апреле этого года будет снег». В суждении действительности констатируется наличие или отсутствие у предмета того или иного признака. Его формулы «S есть (не есть) Р». Суждение «Киев стоит на Днепре» - это суждение действительности. В суждении необходимости отображается такой признак, который имеется (отсутствует) у предмета при всех условиях. Его формула «S необходимо есть (не есть) Р». примером суждения необходимости может быть следующее суждение: «Тело, лишенное опоры, падает на Землю».

Суждения возможности, действительности и необходимости делятся по качеству на утвердительные и отрицательные, а также по количеству на частные и общие.

Содержательная типология модальностей строится в зависимости от того, какими факторами обуславливается модальность (термин «модальность» означает обусловленный чем-либо).

В модальной логики различают логические и физические модальности. Логические модальности - это законы логики и математики. В число физических или каузальных (причинных) модальностей входят все законы экспериментальных наук. Так, суждение «Не верно, что Р и не_Р», «2+2=4» и т.п. выражают логические модальности, а суждения «PV=RT», «U=IR» и т.п. - физические.

Различают также абсолютные и относительные модальности. К абсолютным модальностям относят законы логики, математики, других наук необходимые сами по себе, независимые от чего бы то ни было. Это скажем, суждения «А=А», «2+3=5», «S=Vt» и т.д. Относительные модальности являются таковыми, необходимо или не необходимо зависимы от чего-либо.

Такими модальностями будут, например, суждения: «Прямоугольник является квадратом, если его стороны равны», «Вода кипит при 100⁰ С при атмосферном давлении 760 мм ртутного столба» и т.п.

Логические и физические модальности, независимо от того абсолютны они или относительны, объединяются в алетевтические модальности.

Модальности, характеризующие допустимые (или недопустимые) поступки людей, называются деонтологическими. Они выражаются в суждениях, в которых употребляются такие слова (модальные операторы), как «обязательно», «разрешено», «запрещено», «имеют право» и др. Примерами таких модальностей будут суждения: «На Украине пропаганда войны запрещена», «Граждане Украины имеют право исповедовать любую религию или никакую, быть атеистами» и т.п. Деонтологические модальности являются предметом изучения таких наук как этика, юриспруденция.

Модальности, характеризующие доказательность каких-либо суждений, называются эпистемологическими. В суждениях эпистемологической модальности употребляются такие слова (модальные операторы), как «доказуемо», «опровержимо». Примерами таких модальностей могут быть суждения: «Доказуемо, что на Марсе есть жизнь», «Опровержимо, что свет имеет волновую природу» и т.д.

Эпистемологические модальности по своим свойствам близки к алетевтическим модальностям, при чем оператору «доказуемо», соответствует оператор «необходимо», оператору «опровержимо» - оператор «невозможно».

Наконец, иногда различают модальность de dicto («о речи») относящиеся к суждению в целом и de re («о вещи»), которые относятся к предикату. Так, суждение «Возможно, что на Марсе есть жизнь» будет суждением de dicto, а суждение «На Марсе возможна жизнь» - de re. Однако в большинстве современных системах модальной логики модальности интерпретируются как «абсолютные» логические модальности de dicto.

5. Модальная силогистика

Модальная силлогистика Аристотеля является крайне сложной логической системой как по своему содержанию, так и по числу модусов (их по меньшей мере 137) Аристотель последовательно рассматривает силлогизмы, в которых одна из посылок является проблематической (символически обозначается Р_r) или аподиктической (А_Р), или ассерторической (А_s). Возможное в сочетании этих посылок: 1) А_р А_р; 2) А_р А_s; 3) А_s А_р; 4) Р_r Р_r; 5) Р_r А_s; 6) А_s Р_r; 7) Р_r А_р; 8) А_р Р_r. Это следует читать так: «1) большая посылка аподиктическая, меньшая - аподиктическая; 2) большая посылка аподиктическая, меньшая - ассерторическая и т.д.». В каждом из этих случаев он строит модусы, подбирая в качестве посылок общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные суждения. Руководствуясь аналогией с расположением терминов в посылках І, ІІ, ІІІ фигур категорического силлогизма, он решает задачу, какой вывод вытекает из данного сочетания посылок.

Так, подбирая посылки по аналогии с расположением посылок в 1 модусе 1 фигуры АМРASM>АSP мы получаем задачу: если всякому у необходимо присуще х и всякому z необходимо присуще у, то в этом случае мы не вправе заменить вопросительный знак общеутвердительным аподиктическим суждением. Мы должны довольствоваться ассерторическим суждением: всякому z присуще х. Еще например, подбирая в четвертой группе (Р_r Р_r ) посылки согласно модусу АМРYSM>YSP ІІІ фигуры получаем: если всякому у может быть присуще х и некоторым у может присуще z, то? Ответом будет вывод некоторым z может быть присуще х.

В ряде случаев трудно бывает сразу интуитивно решить, какой должен быть вывод при данном подборе посылок, являющимися модальными высказываниями и требуется тщательное изучение этих случаев.

В формализованных аксиоматических системах модальной логики эти вопросы решаются с помощью простой процедуры следования (правда, для введения этой процедуры требуется очень сложный символический язык, который вряд ли смогут понять нематематики).

Имеют место следующие содержательные правила для умозаключений модальности. В каждом истинном модус можно заключать:

от необходимости к действительности;

от невозможного к недействительному;

от необходимого и действительного к возможному;

от невозможного и недействительного к не необходимому.

Нельзя заключать:

от возможного к действительному;

от действительного к необходимому;

от не необходимости к недействительности;

от недействительности к невозможности.

6. Нормальные модальные логики, модальные шкалы Крипке

Будем рассматривать модальный язык

L

m = L

CL ? {2},

который включает в себя все связки классической пропозициональной логики и дополнительно оператор необходимости 2.

Оператор возможности 3 считаем определяемым посредством

3ц := ¬2¬ц .

Интуитивное прочтение оператор необходимости может быть различным. В частности, 2ц может означать:

- необходимо истинно, что ц (алетическая модальность);

- всегда будет истинно, что ц (временнґая модальность);

- должно быть так, что ц (деонтическая модальность);

- известно, что ц (эпистемическая модальность);

- считается, что ц (эпистемическая модальность);

- доказуемо в арифметике Пеано, что ц (логика доказуемости);

- после завершения программы имеет место ц (динамические логики).

Упражнение (неформальное). Какие из следующих выражений будут истинны при различных прочтениях 2ц:

2ц > ц, 2ц > 22ц, 2 (ц > ц), 2ц > 3ц, 2ц > 3ц ,

2 (ц > ш) > 3 (2ц > 2ш), (3ц ? 3ш) > 3 (ц ? ш), 2 (2ц > ц) > 2ц?

Отмеченная неоднозначность прочтения оператора необходимости обуславливает широкий спектр приложений модальной логики: философская логика, юриспруденция, лингвистика, теоретическая информатика и математика.

Мы будем изучать модальный язык, прежде всего, как средство описания реляционных структур, т. е. структур с отношениями.

Модальная шкала Крипке (или просто шкала) -- это пара F =?W, R?, где W -- непустое множество возможных миров, R ? W2 -- произвольное отношение достижимости.

Для {u, v} ? W запись uRv может читаться как “мир v достижим из мира u”,

“мир v допустим относительно мира u” или даже “мир v является возможной альтернативой мира u”.

Определение 3. Модель языка L

m -- это пара µ = ?F, v?,

где F -- шкала (в только что указанном смысле), а v : P rop > 2

W -- некоторая оценка пропозициональных переменных. Говорим в данном случае, что µ -- модель над шкалой F.

Выполнимость L

m-формул в мирах модели µ (того же языка) определяется по индукции следующим образом:

1021. µ, x p ?? x ? v(p);

2. µ, x ц ? ш ?? µ, x ц и µ, x ш;

3. µ, x ц ? ш ?? µ, x ц или µ, x ш;

4. µ, x ц > ш ?? µ, x 2 ц или µ, x ш;

5. µ, x ¬ц ?? µ, x 2 ц;

6. µ, x 2ц ?? ?y ? W (xRy ? µ, y ц).

7. Свойства бинарных отношений и модальные формулы

Интересен тот факт, что, как мы увидим чуть позже, многие свойства бинарных отношений можно неким образом выделить с помощью модальных формул. Ниже приведены две таблицы, первая из которых содержит список наиболее значимых из таких свойств, а вторая -- отвечающие им L

m-формулы.

1. Рефлексивность:

?x (xRx)

2. Симметричность:

?x ?y (xRy ? yRx)

3. Сериальность:

?x ?y (xRy)

4. Транзитивность:

?x ?y ?z ((xRy и yRz) ? xRz)

5. Евклидовость:

?x ?y ?z ((xRy и xRz) ? yRz)

6. Частичная функциональность:

?x ?y ?z ((xRy и xRz) ? y = z)

7. Функциональность:

?x ?!y (xRy)

8. Слабая плотность:

?x ?y (xRy ? ?z (xRz и zRy))

9. Слабая связность:

?x ?y ?z ((xRy и xRz) ? (yRz или y = z или zRy))

10. Слабая направленность:

?x ?y ?z ((xRy и xRz) ? ?t (yRt и zRt))

8. Свойства отношений достижимости

В дальнейшем, если отношение R шкалы ?W, R? рефлексивно, симметрично, и т. п., то мы иногда говорим, что сама шкала рефлексивна, симметрична, и т. п.

1. T: p > p

2. B: p > p формула Брауэра

3. D: p > 3p деонтический принцип

4. 4: p > p аксиома системы Льюиса S4

5. 5: p > p аксиома системы Льюиса S5

6. DC: p >p обращение деонтического принципа

7. ?p - p

8. p > p

9. L: ((p ? p) > q) ? ((q ? q) > p) формула Леммона

10. G: p > p формула Гиша

9. Наименьшая нормальная модальная логика K

Ранее мы обозначили через K наименьшую логику в классе всех нормальных модальных логик. Таким образом, K -- это наименьшее множество формул, содержащее все тавтологии, формулу 2 (p > q) > (2p > 2q) и замкнутое относительно правил подстановки, modus ponens и нормализации RN (ц 2ц). Отсюда, разумеется, немедленно извлекается аксиоматизация логики K.

Логика K -- это наименьшее множество L m - формул, содержащее формулы

1. p > (q > p),

2. (p > (q > r)) > ((p > q) > (p > r)),

3. (p ? q) > p,

4. (p ? q) > q,

5. (p > q) > ((p > r) > (p > (q ? r))),

6. p > (p ? q),

7. q > (p ? q),

8. (p > r) > ((q > r) > ((p ? q) > r)),

9. (p > q) > ((p > ¬q) > p),

10. p > (p > q),

11. p ? p,

12. 2 (p > q) > (2p > 2q),

и замкнутое относительно правил подстановки, нормализации и modus ponens.

Логика K -- это наименьшее множество L m-формул, содержащее Аксиомы 1-11 классической логики Cl, модальные аксиомы

21. (2p ? 2q) > 2 (p ? q),

22. 2 (p > p),

и замкнутое относительно правил подстановки, modus ponens и правила монотонности

(RM) ц > ш 2ц > 2ш

Отсюда, в частности, легко получить

(2p1 ? . . . ? 2pn) > 2 (p1 ? . . . ? pn) ? K.

Кроме того, для модальности 3 имеем

3 (ш1 ? . . . ? шm) > (3ш1 ? . . . ? 3шm) ? K.

Доказательство. Рассмотрим только случай m = 2 (затем по индукции рассуждение легко переносится на случай произвольного m ? 2). Построим квази-вывод формулы 3(ц ? ш) > (3ц ? 3ш) в K:

1. ц > (ц ? ш) (классическая тавтология);

2. 2 (ц > (ц ? ш)) (по RN из 1);

3. 2ц > 2 (ц ? ш) (по аксиоме K и MP из 2);

4. 2ш > 2 (ц ? ш) (выводится аналогично 3);

5. (2ц ? 2ш) > 2 (ц ? ш) (по правилу разбора случаев из 3 и 4);

6. 2 (ц ? ш) > (2ц ? 2ш) (по правилу контрапозиции из 5);

7. 2(ц ? ш) > (2ц ? 2ш) (по законам Де Моргана и правилу замены из 6).

Осталось заметить, что формула 7 представляет собой расшифровку сокращенной записи 3(ц ? ш) > (3ц ? 3ш).

Правило замены

ц - ш

ч (ц) - ч (ш)

является производным в логике K.

Размещено на Allbest.ru

...