Решение проблем логических парадоксов

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ПОЗИТИВИЗМ ХХ ВЕКА

ПАРАДОКС БЕРТРАНА РАССЕЛА. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМ ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Парадокс -- это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Наиболее резкая форма парадокса -- антиномия, рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого.

Особой известностью пользуются парадоксы в самых строгих и точных науках -- математике и логике. И это не случайно.

Логика -- абстрактная наука. В ней нет экспериментов, нет даже фактов в обычном смысле этого слова. Строя свои системы, логика исходит в конечном счете из анализа реального мышления. Но результаты этого анализа носят синтетический характер. Они не являются констатациями каких-либо отдельных процессов или событий, которые должна была бы объяснить теория. Такой анализ нельзя, очевидно, назвать наблюдением: наблюдается всегда конкретное явление.

Конструируя новую теорию, ученый обычно отправляется от фактов, от того, что можно наблюдать в опыте. Как бы ни была свободна его творческая фантазия, она должна считаться с одним непременным обстоятельством: теория имеет смысл только в том случае, когда она согласуется с относящимися к ней фактами. Теория, расходящаяся с фактами и наблюдениями, является надуманной и ценности не имеет.

Но если в логике нет экспериментов, нет фактов и нет самого наблюдения, то чем сдерживается логическая фантазия? Какие если не факты, то факторы принимаются во внимание при создании новых логических теорий?

Расхождение логической теории с практикой действительного мышления нередко обнаруживается в форме более или менее острого логического парадокса, а иногда даже в форме логической антиномии, говорящей о внутренней противоречивости теории. Этим как раз объясняется то значение, которое придается парадоксам в логике, и то большое внимание, которым они в ней пользуются.

ПОЗИТИВИЗМ ХХ ВЕКА

XX век принес существенные изменения в социально-экономическую и политическую жизнь мира. Одним из важнейших признаков нового столетия являлось ускорение темпов развития, увеличение роли науки в общественной жизни Философия: конспект лекций: учеб. пособие / В.О. Бернацкий; под общ. ред. Н.П. Маховой. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2008. - 352 с.. Однако, процесс технизации общества привел к формированию техногенной цивилизации, со всеми вытекающими проблемами. XX век также ознаменовался двумя крупнейшими войнами в истории человечества, холодной войной, а также ростом экологических проблем. Оказалось, что развитие техники - не является залогом решения всех проблем. Наоборот - появились гораздо более серьезные проблемы (напр. оружие массового поражения). Развитие экономики привело к появлению феномена общества потребления. Все это не могло не породить различные попытки объяснения путей дальнейшего развития, а также новое понимание роли и места человека и человеческой цивилизации в мире.

Осмыслением положительной роли научно-технического процесса, а также структуры, а также механизма функционирования научного знания в XX веке занимались представители обновлененного позитивизма. Как известно, позитивизм в своем развитии проходит три стадии: «первый позитивизм» - 40- 70-е годы XIX века, «второй позитивизм», или эмпириокритицизм - 70-годы XIX века - начало XX века, «третий позитивизм», или неопозитивизм - 20-50-е годы XX века Алексеев П.В., Панин А.В. Философия: Учебник. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2003. - 608 с..

Неопозитивизм -- третий этап в развитии позитивизма в 20-х годах ХХ века. В его основе лежит убеждение в возможности решения философско-методологических вопросов науки, абстрагируясь от философии как метафизики (здесь имеется в виду философско-идеалистическое учение о сверхчувственных принципах бытия) и опираясь лишь на положительные знания. Особую популярность он приобрел в среде научной интеллигенции в 30-40- е годы. В его рамках выделяют логический и лингвистический позитивизм. Логический позитивизм (Р. Карнап, М. Шлик) -- первоначальная форма неопозитивизма - исходил из отказа от философских категорий в решении проблемы формализации и соотношения эмпирического и теоретического уровней научного познания. Неопозитивисты рассматривали проблему развития научного познания как формально-логическую и сводили анализ науки к анализу языка науки, толкования математики и логики как формальных преобразований в научном знании и его языке. Однако уже в 50-е годы стало понятно, что абстрагирование от так называемых метафизических проблем имеет свои границы. Классические философские понятия оказались очень значительными для методологии и теории познания и особенно для осмысления антропологической проблематики, связанной с проблемой человека, с его предназначением в мире, с вопросами жизни и смерти. Даже в наифундаментальных научных теориях были найдены метафизические конструкции. Все это обусловило поворот неопозитивизма к анализу языковых образований, к разграничению правильного и неправильного применения языка, которое, по мнению представителей лингвистической философии, приводит к появлению неверифицируемых метафизических конструкций. Основоположником лингвистического позитивизма был австрийский философ Людвиг Витгенштейн Алексеев П.В., Панин А.В. Философия: Учебник. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2003. - 608 с.. Он отказался от устаревшего способа анализа предложений по субъектно-предикатной форме и пошел по пути разграничения смысла и значения языковых выражений и логического анализа языка. По Витгенштейну, смысл присущ лишь предложениям, которые отражают фактические ситуации. "Имена" - это только знаки "объектов". Мир является лишь совокупностью комбинаций «объектов» и «фактов». Логические формы не выражаются в языке, поэтому рациональными способами в мир нельзя заглянуть. Философия, по мнению Витгенштейна, не решает вопрос истины. Она лишь анализирует, проясняет логическую структуру языка и устраняет бессмысленные предложения.

В результате критического пересмотра методологических принципов неопозитивизма и отказа от радикального эмпиризма всего позитивистского направления в целом возникает постпозитивизм. Основные его идеи сформулированы на рубеже 50-60-х годов К. Поппером и Т. Куном и развиты в работах И. Лакатоса и С. Тулмина. В противовес неопозитивистским концепциям, концентрировавшим внимание исключительно на проблемах языка, т. е. на проблемах точного выражения уже имеющегося знания, постпозитивисты предлагают новую программу, суть которой заключается в выдвижении на первый план исторического анализа науки, т. е. исследования "роста" научного знания. Постпозитивисты убеждены, что теоретическое мышление непосредственно участвует в процессе познания, зачастую даже опережая эмпирический опыт. Ведь даже для того, чтобы зафиксировать какое-то явление как "чисто эмпирический (т.е. чувственно воспринимаемый ) факт", человек должен обратить на него свое внимание, выделить его из бесчисленного множества других явлений, предпочесть его всем другим, иначе говоря, отнестись к нему как более важному, более значительному, более ценному, чем все другие. Поэтому постпозитивисты отказываются от позитивистского идеала "беспредпосылочного знания", говоря не о противопоставлении, а, наоборот, о взаимопроникновении эмпирического и теоретического, о "теоретической загруженности" эмпирических фактов Алексеев П.В., Панин А.В. Философия: Учебник. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2003. - 608 с..

логический парадокс рассел позитивизм

ПАРАДОКС БЕРТРАНА РАССЕЛА. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМ ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ

Самым знаменитым из открытых уже в прошлом веке парадоксов является антиномия, обнаруженная Бертраном Расселом и сообщенная им в письме к Г. Ферге. Рассел открыл свой парадокс, относящийся к области логики и математики, в 1902г. Эту же антиномию обсуждали одновременно в Геттингене немецкие математики 3. Цермело (1871-- 1953) и Д. Гильберт. Идея носилась в воздухе, и ее опубликование произвело впечатление разорвавшейся бомбы Мирошниченко П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2000. - С. 512-514. . Этот парадокс вызвал в математике, по мнению Гильберта, эффект полной катастрофы. Нависла угроза над самыми простыми и важными логическими методами, самыми обыкновенными и полезными понятиями. Оказалось, что в теории множеств Кантора, которая с восторгом была принята большинством математиков, имеются странные противоречия, от которых невозможно, или, по крайней мере, очень трудно, избавиться. Парадокс Рассела особенно ярко выявил эти противоречия. Над его разрешением, так же, как и над разрешением других найденных парадоксов канторовской теории множеств, трудились самые выдающиеся математики тех лет. Сразу же стало очевидным, что ни в логике, ни в математике за всю долгую историю их существования не было выработано решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения антиномии. Явно оказался необходимым отход от привычных способов мышления. Но из какого места и в каком направлении? Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - гл. II, § 4.5.

Насколько радикальным должен был стать отказ от устоявшихся способов теоретизирования? С дальнейшим исследованием антиномии убеждение в необходимости принципиально нового подхода неуклонно росло. Спустя полвека после ее открытия специалисты по основаниям логики и математики Л. Френкель и И. Бар-Хиллел уже без всяких оговорок утверждали: «Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных (то есть имевших хождение до XX столетия) способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшихся, заведомо недостаточны для этой цели». Современный американский логик X. Карри писал немного позднее об этом парадоксе: «В терминах логики, известной в XIX в., положение просто не поддавалось объяснению, хотя, конечно, в наш образованный век могут найтись люди, которые увидят (или подумают, что увидят), в чем же состоит ошибка» Мирошниченко П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2000. - С. 512-514..

Парадокс Рассела в первоначальной его форме связан с понятием множества, или класса. Можно говорить о множествах различных объектов, например, о множестве всех людей или о множестве натуральных чисел. Элементом первого множества будет всякий отдельный человек, элементом второго -- каждое натуральное число. Допустимо также сами множества рассматривать как некоторые объекты и говорить о множествах множеств. Можно ввести даже такие понятия, как множество всех множеств или множество всех понятий. Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является оно своим собственным элементом или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем обычными. Например, множество всех людей не является человеком, так же как множество атомов -- это не атом. Необычными будут множества, являющиеся собственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента.

Поскольку оно множество, о нем тоже можно спрашивать, обычное оно или необычное. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, должно содержать само себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что наше множество представляет собой обычное множество, приводит, таким образом, к противоречию. Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также необычным: необычное множество содержит само себя в качестве элемента, а элементами нашего множества являются только обычные множества. В итоге приходим к заключению, что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычным множеством.

Итак, множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Это явное противоречие. И получено оно на основе самых правдоподобных предположений и с помощью бесспорных как будто шагов. Противоречие говорит о том, что такого множества просто не существует. Но почему оно не может существовать? Ведь оно состоит из объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, причем само условие не кажется каким-то исключительным или неясным. Если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие между возможными и невозможными множествами? Вывод о не существовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делает наше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не способно породить какие-то новые парадоксы.

Парадокс Рассела замечателен своей крайней общностью Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - гл. II, § 4.5. . Для его построения не нужны какие-либо сложные технические понятия, как в случае некоторых других парадоксов, достаточно понятий «множество» и «элемент множества». Но эта простота как раз и говорит о его фундаментальности: он затрагивает самые глубокие основания наших рассуждений о множествах, поскольку говорит не о каких-то специальных случаях, а о множествах вообще.

Другие варианты парадокса Парадокс Рассела не имеет специфически математического характера. В нем используется понятие множества, но не затрагиваются какие-то особые, связанные именно с математикой его свойства.

Это становится очевидным, если переформулировать парадокс в чисто логических терминах. О каждом свойстве можно, по всей вероятности, спрашивать, приложимо оно к самому себе или нет. Свойство быть горячим, например, неприложимо к самому себе, поскольку само не является горячим; свойство быть конкретным тоже не относится к самому себе, ибо это абстрактное свойство. Но вот свойство быть абстрактным, являясь абстрактным, приложимо к самому себе.

Назовем эти неприменимые к самим себе свойства неприложимыми. Применимо ли свойство быть неприложимым к самому себе? Оказывается, не приложимость является неприложимой только в том случае, если она не является таковой. Это, конечно, парадоксально. Логическая, касающаяся свойств разновидность антиномии Рассела, столь же парадоксальна, как и математическая, относящаяся к множествам, ее разновидность.

Рассел предложил также следующий популярный вариант открытого им парадокса Катречко С.Л. Расселовский парадокс брадобрея и диалектика Платона-Аристотеля // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2002. - С. 239- 242.. Представим, что совет одной деревни так определил обязанности брадобрея: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот брадобрей бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.

Рассуждение о брадобрее опирается на допущение, что такой брадобрей существует. Полученное противоречие означает, что это допущение ложно, и нет такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами. Обязанности брадобрея не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что его не может быть, звучит несколько неожиданно. Но этот вывод не является все-таки парадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять деревенский брадобрей, на самом деле внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобного парикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой в ней нет человека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своего рождения Мирошниченко П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2000. - С. 512-514..

Рассуждение о брадобрее может быть названо псевдопарадоксом. По своему ходу оно строго аналогично парадоксу Рассела и этим интересно. Но оно все-таки не является подлинным парадоксом.

Другой пример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение о каталоге. Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя? Нетрудно показать, что идея создания такого каталога неосуществима; он просто не может существовать, поскольку должен одновременно и включать ссылку на себя и не включать.

Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс. Допустим, что в какой-то момент был составлен каталог, скажем К1, включающий, все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием К1 появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то очевидно, что К1 не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов -- самого себя. Включив в К1 это упоминание о нем самом, получим каталог К2. В нем упоминается К1, но не сам К2. Добавив к К2 такое упоминание, получим КЗ, который опять-таки не полон из-за того, что не упоминает самого себя. И далее без конца.

Можно упомянуть еще один логический парадокс -- "парадокс голландских мэров", сходный с парадоксом брадобрея. Каждый муниципалитет в Голландии должен иметь мэра, и два разных муниципалитета не могут иметь одного и того же мэра. Иногда оказывается, что мэр не проживает в своем муниципалитете. Допустим, что издан закон, согласно которому некоторая территория S выделяется исключительно для таких мэров, которые не живут в своих муниципалитетах, и предписывающий всем этим мэрам поселиться на этой территории. Допустим, далее, что этих мэров оказалось столько, что территория S сама образует отдельный муниципалитет. Где должен проживать мэр этого Особого Муниципалитета S? Простое рассуждение показывает, что если мэр Особого Муниципалитета проживает на территории S, то он не должен проживать там, и наоборот, если он не проживает на территории, то он как раз и должен жить на этой территории. То, что этот парадокс аналогичен парадоксу брадобрея, совершенно очевидно.

Рассел одним из первых предложил вариант решения “своего” парадокса. Предложенное им решение, получило название "теории типов": множество (класс) и его элементы относятся к различным логическим типам, тип множества выше типа его элементов, что устраняет парадокс Рассела (теория типов был использована Расселом и для решения знаменитого парадокса "Лжец"). Многие математики, однако, не приняли расселовское решение, считая, что оно накладывает слишком жесткие ограничения на математические утверждения Катречко С.Л. Расселовский парадокс брадобрея и диалектика Платона-Аристотеля // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2002. - С. 239- 242..

Аналогично обстоит дело и с другими логическими парадоксами. «Антиномии логики, -- пишет фон Вригт, -- озадачили с момента своего открытия и, вероятно, будут озадачивать нас всегда. Мы должны, я думаю, рассматривать их не столько как проблемы, ожидающие решения, сколько как неисчерпаемый сырой материал для размышления. Они важны, поскольку размышление о них затрагивает наиболее фундаментальные вопросы всей логики, а значит, и всего мышления» Вригт Г.Х. фон. Логика и философия в XX веке // Вопр. философии. 1992. № 8..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Парадоксы - это неожиданные утверждения, противоречащие здравому смыслу или общепризнанным научным теориям. Очень часто их рассматривают как ошибки, хотя в большинстве случаев они таковыми не являются. Обычно парадоксы построены на логически верных заключениях (в отличие от паралогизмов), и их противоречивый результат не является преднамеренным (этим они отличаются от софизмов).

Парадоксы известны науке уже более двух тысяч лет. Впервые данное явление стали изучать ещё в Древней Греции. В античные времена были описаны многие парадоксы и для некоторых из них ученые до сих пор не могут найти объяснения и решения. Открываются парадоксы и в наши дни. Обычно подобные открытия сопровождаются кризисами в науке, разрушением старых, проверенных временем теорий и попытками создать новые, которые способны объяснить появившиеся противоречия.

Количество существующих парадоксов по-настоящему огромное. Они присутствуют везде - и в повседневной жизни, и в науке. Практически в каждой научной области исследования существуют свои парадоксы. Даже такие точные, строгие и непротиворечивые науки как логика и математика не смогли остаться «непарадоксальными».

Кажется странным, что, несмотря на своё столь широкое распространение, парадоксы обычно воспринимаются как ошибки и расцениваются как что-то негативное и пагубное для науки. Обычно парадоксы возникают там, где имеются изъяны в научных идеях и недостатки в теориях. В этом случае парадоксы говорят о несовершенстве научной концепции и необходимости её переосмысления. Следовательно, парадоксы могут способствовать смене научных парадигм и благоприятно влиять на развитие науки в целом.

В заключении можно отметить, что парадоксы в науке имеет парадоксальную (противоречивую) природу. С одной стороны они обозначают кризис старого научного знания (чем и объясняется негативное отношение к данному явлению многих ученых), с другой - они способствуют развитию нового, это доказывает их полезность и даже определенную необходимость. Здесь можно наблюдать выбор между покоем и развитием. Если наука, как ей и полагается, предпочитает развитие, значит, ученые должны принять парадоксы как данность и попытаться использовать то знание, которое они дают, несмотря на его непривычность и противоречивость устоявшимся правилам. Именно такое понимание парадокса предполагается как оптимальное для развития науки в настоящее время.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - гл. II, § 4.5.

2. Мирошниченко П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2000. - С. 512-514.

3. Катречко С.Л. Расселовский парадокс брадобрея и диалектика Платона-Аристотеля // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. - СПб., 2002. - С. 239- 242.

4. Алексеев П.В., Панин А.В. Философия: Учебник. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2003. - 608 с.

5. Философия: конспект лекций: учеб. пособие / В.О. Бернацкий; под общ. ред. Н.П. Маховой. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2008. - 352 с.

6. Вригт Г.Х. фон. Логика и философия в XX веке // Вопр. философии. 1992. № 8.

Размещено на Allbest.ru