Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТРЕСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт социально-гуманитарных технологий

Кафедра философии

Исторические аспекты математического моделирования

Выполнил:

Князев Александр Геннадьевич,

Аспирант,

Кафедра геологии и разработки

Нефтяных месторождений,

Институт Природных Ресурсов

Томск 2015



Содержание

Введение

1. Эволюция моделирования

2. Философские аспекты моделирования

3. Модель

4. Математическая модель

5. Процесс математического моделирования

6. Свойства математических моделей

7. Классификация математических моделей

8. Математическое моделирования разработки месторождений

Литература



Введение

Математическое моделирование занимает в современной науке на столько важную роль, что интерес философии науки к этой теме вполне объясним и закономерен. Однако моделирование - это не изобретение последних веков. Современное моделирование имеет тысячелетнюю историю эволюции от примитивных моделей на заре человечества до сложнейших моделей современности, включающих применение сложных систем интегральных и дифференциальных уравнений и неравенств, которые невозможно решить аналитическими методами.

В реферате предпринята попытка рассмотреть эволюцию моделирования с древнейших времён и до нашего времени, отразить ключевые этапы этого пути и дать описание особенностей математических моделей на современном этапе, а так же их основные характеристики.

Так как источником информации для реферата были публикации и труды в основном западноевропейских и американских авторов, возможно некоторое несоответствие между определениями, принятым в российской (советской) истории и философии науки.



1. Эволюция моделирования

Слово «модель» образовано от латинского слова «modus» и означает сравнение с чем либо, или измерение чего либо. В общем смысле это слово описывает типичное поведение разумного человека по копированию явлений окружающего мира. Более того, общепринятой (среди антропологов) теорией является такая, которая утверждает, что именно способность создавать абстрактные модели явилась наиболее важной чертой, давшей человеку разумному подавляющее преимущество перед другими менее развитыми человеческими расами, как человек-неандерталец [7].

Хотя абстрактное представление реальности используется человечеством со времён Каменного века (наскальные рисунки), настоящий прорыв в моделировании произошёл в периоды культур древнего Ближнего Востока и античной Греции.

Первыми распознаваемыми моделями были числа. Счёт и запись чисел в виде засечек на костях задокументированы с периода 30000 лет д.н.э. Следующими областями, в которых началось бурное развитие моделей стали Астрономия и Архитектура. Первые известные модели датируются периодом 4000 лет д.н.э. Общеизвестно, что за 2000 лет д.н.э. как минимум три культуры (Вавилонская, Египетская и Индийская) достигли высокого уровня развития математики, и использовали математические модели для улучшения повседневной жизни. При этом большинство математиков использовали алгоритмы, разработанные для решения узкоспециализированных задач ирригации, землепользования, торговли и сбора налогов [9].

С возникновением Эллинской философии, в математике появляется дедуктивный метод, что приводит к появлению первых элементов математической теории. Начиная с «Рассказов Милета» в 600 году д.н.э. геометрия становится важным аппаратом для анализа окружающего мира, а на базе аналитической геометрии начинается развитие математики независимой от её приложения к окружающему миру [15]. Считается, что именно Милет первым сформулировал и доказал следующие геометрические теоремы:

1. Вертикальные углы равны.

2. Имеет место равенство треугольников по одной стороне двум прилегающим к ней углам.

3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

4. Диаметр делит круг на две равные части.

5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Именно на базе «Рассказов Милета» Пифагор разработал другие элементы теории чисел, и что наиболее важно - ввёл в математику доказательства, что дало новые результаты даже с известными теоремами [20]. За последующие после него 300 лет другие философы и математики Древней Греции, такие как Аристотель, ввели новые элементы в теорию чисел, что вывело математику на новый уровень. Обобщение всего этого опыта было сделано Эвклидом в его работе «Элементы» - многотомном труде, содержащим описание всех известных математических проблем того времени и путях их решения.

Труд Эвклида несколько столетий использовался для изучения математики, и примерно в 250 году д.н.э. Эратосфен, один из первых «прикладных математиков», использовал его что бы рассчитать расстояние от Земли до Луны, от Земли до Солнца, и окружённость земли.

Другой важный шаг на пути к современным математическим моделям был сделан в 250 году н.э. Диофантом Александрийским в его книге «Арифметика». В ней он заложил основы символьной алгебры, и приблизился к понятию «переменная» [3].

В астрономии Птолемей, вдохновлённый идеями Аристотеля о возможности описать небесную механику с помощью окружностей, к 150 году н.э. создаёт математическую модель солнечной системы с окружностями и эллипсами, позволяющей предсказывать движение солнца, луны и других известных планет. Точность модели была такой, что позволила е использование до 1619 года, когда Иоганн Кеплер предложил новую, более реалистичную модель, которая после корректировки в соответствии с законами Ньютона и Эйнштейна используется и в настоящее время [25].

На модели Иоганна Кеплера можно остановится подробнее, так как это первая задокументированная математическая модель в современном понимании этого термина.

После процесса на Галилеем, в науке стало обязательным использование математических методов для описания, объяснения и прогноза поведения рассматриваемых явлений и объектов [16]. Работа Кеплера по движению небесных тел выделила математическую модель как один из самых важных аспектов. Кеплер первым предложил модель солнечной системы в которой число сфер содержащих планеты было к запутанной системе, определяемой пятью Платоновыми телами. Эта модель базировалась на общепризнанном мнении, что вселенная Бога-творца должна показывать высокую степень математической гармонии. И, как было сказано, данная модель довольно точно отражала поведение реальных небесных тел. Позже, когда Тихо Браге получил более точные результаты наблюдений, Кеплер на их базе предложил другие математические модели, которые включали то, что сейчас мы называем «Тремя законами Кеплера о движении планет» в которых сферические орбиты были заменены эллиптическими [6].

Если взглянуть на работу Кеплера с высоты современной методологии, то можно отметить следующее.

1. Кеплер начал свою работу с предположения того, на что должна быть похожа солнечная система внешне. На его взгляд Бог должен был расположить шесть планет таким образом, что бы их пространственное расположение соответствовало пяти твердыням Платона.

2. Используя доступные данные (работы Коперника), он нашёл наилучшую модель, дающую порядок расположения небесных тел.

3. Конфликт с позже полученными Тихо Браге данными показал Кеплеру неадекватность его модели. Тогда Кеплер стал рассматривать новый касс моделей, при этом считая главным фактором присутствие математической гармонии в движении этих планет.

4. Затем Кеплер провёл новый цикл моделирование системы. Он пробовал различные типы алгебраического описания движения небесных тел и в конце концов сформулировал свои три известных закона.

В современных терминах работу Кеплера следует считать итеративным математическим моделированием.

Разработка моделей окружающего мира, основанных на математических зависимостей было настолько критичной задачей для человечества, что одинаковые методы были независимо разработаны в Китае, Индии и Персии. Одним из известных математиков своего времени являлся Абу Абдалла ибн Мусса Аль Харизми (вторая половина VIII века). Его имя сохранилось в современном слове «алгоритм». В своих двух главных работах - «Книга об индийском счёте (Арифметический трактат, Книга о сложении и вычитании)» и «Краткая книга об исчислении алгебры и аль-мукабалы», он собрал много математических моделей и проблем, решаемых по алгоритмам, для использования в реальных задачах в области коммерции, исследования и ирригации. Так же в этих книгах был введён термин «алгебра» [14].

В Западном обществе с момента угасания Древней Греции и до XI века в математике наблюдалось затишье. Первым великим математиком Западной европы можно считать Леонардо Фибоначчи (1170-1240). Будучи сыном торговца, Фибоначчи совершал много поездок на Восток, где ознакомился с восточной математикой. В своей торговой деятельности он начал на практике применять методы, описанные в книгах Аль-Харизми, что позволило ему достичь значительных коммерческих успехов. И именно он, первым из европейцев, понял преимущество арабских цифр перед римскими, которые тогда использовались в Западной и Центральной Европе. В своей основополагающей книге «Liber Abaci» он представил в Европе индийскую (арабскую) нумерацию, и ввёл понятие «ноль» как абстрактную модель «ничего». Книга была написана как алгебраическое руководство для коммерческого использования, и детально объясняла арифметические правила использования численных преобразований для различных измерений и конвертирования денег [11].

Позже, художник Джотто ди Бондонне (1267-1336) и скульптор Эпохи Возрождения Филиппе Брунеллески (1377-1446) начали развивать геометрические принципы перспективы. Именно ими, на ряду с математическими, были введены в пользование визуальные модели [19].

В более поздние века, по мере развития математики, сложность моделей возрастала. Однако важно отметить, что вопреки работам Диофанта и Аль-Харезми, систематическое использование переменных было введено только Виетом (1540-1603). Однако полноценное понимание использование переменных в математических моделях стало возможным только спустя 300 лет, после работ Кантора и Рассела [10].

Физика и описание законов природы стали основной движущей силой в развитии математической теории моделирования. Позже фокус сместился на экономические задачи, после чего начался бурный рост количества прикладных задач, требующих использования математических моделей и их анализа [21].

Таким образом можно утверждать, что с древнейших времён и до 30-х годов XX века развитие математики происходило именно как моделирование реальных проблем через комбинаторику и символьное выражение накопленного человечеством опыта [5]. Некоторые из этих проблем были систематизированы и связанны воедино, что и заложило базис моделирования ситуаций через математику. Именно это было начальной точкой с которой началось развитие дедуктивного метода огромного количества абсолютно разных, но взаимодействующих формальных структур. Эти структуры были получены в результате большого количества последующих шагов как множественные абстрактные наблюдения за явлениями окружающего мира, проблемами, возникающими при этих явлениях и взаимодействием возникающих проблем между собой. Именно эти наблюдения стали результатом последующей деятельности человека, результаты которой в большей или меньшей степени требовали знаний различных разделов математики. К примеру:

Счёт - требовал развития арифметики и теории чисел.

Измерения - потребовали развития реальных чисел, интегрального и дифференциального исчисления и математического анализа.

Обработка материалов - потребовала развития геометрии и топологии.

Архитектура - потребовала развитие теории групп и принципов симметрии.

Прогнозирование - потребовало развитие теории вероятности, статистики и теории измерений.

Транспортировка - потребовала развития механики, интегрального и дифференциального исчисления, динамики.

Расчёты - потребовали развитие алгебры и числового анализа.

Доказательства - потребовали развитие математической логики.

Группы - потребовалось развитие теории множеств и комбинаторики.

Вся перечисленная выше человеческая деятельность, по определению, абсолютно взаимонесвязана. Действительно, все эти области если и взаимодействуют между собой внешне, то крайне сложно и неявно. Однако если детально рассмотреть каждую из них, то выяснится, что между всеми вышеперечисленными сферами человеческой активности существуют множественные пересекающиеся связи, зависимости и взаимодействия.

Рисунок 1. Источники концепций абстрактной алгебры.

На основании намного более детальных схем, чем (рис. 1) дающих представление об истоках и взаимосвязях математических идей, можно заключить, что математика изначально возникла как моделирование реальной ситуации через упрощение рассматриваемого объекта и действия над ним (вычитание, сложение, умножение, сравнение размеров и т.д.). Позже это моделирование потребовало развитие концепции простого числа и его трансформации, которое была связана со строгой координатной системой (арифметика Пино, Евклидова геометрия, система вещественных чисел, теория поля и т.д.). Когда запись этих систем была формализована, были открыты другие свойства базовых концепций, что привело к расширению математического моделирования в существующих и вновь возникающих областях человеческой деятельности.

К примеру, понятие групп, не смотря на аксиоматику очень простое. И показывает общность свойств движения (угловой и плоский перенос групп), симметрии (группы кристаллов), и алгебраических преобразований (группы Галуа, группы Ли в дифференциальных уравнениях).

С этой точки зрения математика является формальной, но не формалистической, так как объекты, изучаемые в математике, являются результатом человеческой деятельности и используются что бы понять эту деятельность.

Так исторически сформировались базовые принципы математического моделирования, которые мы (с некоторыми уточнениями) используем и в современном мире. В дополнение к этой схеме активно стал использоваться математический аппарат статистики, который позволил использовать регрессию для адаптации реальных данных к результатам моделирования. Это позволило заметно снизить влияние погрешности измерений на конечный результат.

После работ Кеплера стало очевидным, что этап математического моделирования, на котором происходит подтверждение адекватности модели является абсолютно критическим для всего процесса.

2. Философские аспекты моделирования

Тот факт, что моделирование по сути есть инструмент познания, делает его неотъемлемой частью общей проблемы познаваемости мира и человека, которая является ключевым вопросом философии. С античных времён и до первой половины XX века математика в целом и математическое моделирование в частности, были предметом интереса двух глобальных философских доктрин - Платонизма и Эмпиризма [13].

Возникший в античной Греции платонизм полностью поддерживался математиками того времени, так как соответствовал их представлениям о геометрии и её роли в мироздании. Платонизм был популярен среди математиков и более позднего периода, потому что он прекрасно соответствовал результатам, получаемым при работе с аксиомами и множествами. Эмпиризм в свою очередь так же поддерживался математиками, принимающими постулат, что математика есть часть общей науки, работающая напрямую не с абстрактными задачами, а с процессами и объектами реального мира. Тем не менее ни одна из этих доктрин не давала удовлетворительного анализа природы математики [26].

Более того, к XX веку возник так называемый «кризис оснований», причиной которому послужили накопившиеся парадоксы. К примеру - парадокс Рассела о том, что «множество всех множеств не содержит себя в качестве своего элемента». В результате этого кризиса, в дополнение к двум имевшимся доктринам возникли три конкурирующих школы философии математики - Логицизм, Интуиционизм и Формализм [6].

Базой для логицизма стало открытие и формализация математической логики. Согласно принципу, сформулированному Расселом, истинность математических суждений доказывается эмпирическими фактами, и математика имеет смысл только в том случае, что она будет отражать реальное положение дел. Главной проблемой логицизма стала невозможность объяснить, что же считать реальным положением дел, что считать фактами и как устанавливать их достоверность.

Интуиционизм возник как школа для математиков, работающих с числами, считающих числа фундаментом математики а интуицию - основой топологии. Философская база интуицизма была сформулирована Брауэром, и представляла собой полную противоположность логицизму - считалась, что математика полностью самодостаточная дисциплина и её основания лежат в ней самой, а все неконструктивные абстракции должны быть устранены из математики. математический философский милет

Формализм возник при развитии самоочевидных, не требующих доказательства методов. Его принципы были сформулированы Гилбертом, и содержали два требования:

а.) Аксиоматизация основных математических дисциплин;

б.) Доказательство непротиворечивости аксиоматических теорий в рамках метаматематики.

В целом, в качестве основных вопросов на которые нацелена философия математики можно выделить следующие:

а.) Проблемы интуиции - непосредственное чувственное или интеллектуальное созерцание.

б.) Где следует искать это созерцание - внутри самой математики, или в других областях из которых математика должна быть выведена.

Обе проблемы до сих пор являются актуальными, и в значительной мере продолжают определят содержание дискуссий философии математики [17].

3. Модель

Базовое определение модели: «модель - это упрощённая версия объекта, процесса или явления из окружающего мира» [22].

Характерные черты моделей могут различаться в зависимости от целей моделирования. Они могут быть разными по уровню формальности модели, по уровню неявности модели, по уровню детализации и уровню соответствия [24].

При построении модели за базу берётся объект или процесс из реального мира, который нам интересен. В модели данный реальный объект или процесс заменяется другими упрощёнными объектами или процессами. Модель структурирует наши знания об объекте или процессе из реального мира, и происходит отсев наиболее важных характеристик. При этом следует понимать, что модель будет представлять лишь некоторую часть моделируемого объекта или процесса из окружающего мира. И, соответственно, возможность использования модели ограничивается набором её практического использования [12].

Модели могут использоваться для следующих практических задач [1]:

Объяснение явления (процесса). Большинство теорий разрабатываются в соответствии со следующими категориями физики: Неньютоновская механика, термодинамика, Теория относительности Эйнштейна, квантовая механика, и многие другие. Помимо физики существуют теории в Экономике, Биологии, Медицине и многих других сферах. Наблюдаемые в рамках этих теорий явления могут быть объяснены на моделях без их реализации в реальном мире.

Прогнозирование. После того как модель, объясняющая явление создана, она может быть использована для следующего шага - прогноз поведения рассматриваемого явления в требуемом временном промежутке. На данном шаге на модели отрабатывается влияние различных переменных и их важность.

Принятие решений. После моделирования явления при различных условиях, из всех вариантов делается выборка трёх наиболее важных: пессимистичный, оптимальный и оптимистичный. На основании этих вариантов принимается решение о реализации моделируемого явления в реальном мире по заданным параметрам.

Общение. Отдельная область использования моделей, в большинстве случаев - визуальных.

4. Математическая модель

Математическая модель - это описание объекта или процесса из реального мира на формальном математическом языке. Преимуществом математической модели является то, что её анализ может быть произведён с заданной точностью в рамках математических теорий и алгоритмов [2].

Как было отмечено выше, математические модели имеют долгую историю. Таким образом, за прошедшие столетия многие задачи были сформулированы математически. Тем не менее, для получения результатов многих моделей требовалось огромное количество расчётов, что ограничивало их качественный анализ и приводило к использованию на практике сильно упрощённых вариантов.

Разработка таких алгоритмов, как метод Рунге-Кутта и преобразование Фурье, сделало сложные модели доступными для расчёта на компьютерах. С появлением в 1945 году первого компьютера ENIAC математическое моделирование позволило получить решение практических задач огромного размера. Дальнейшее развитие компьютерных технологий, увеличение размеров хранилищ данных и скорости расчётов привело к активному использованию математических моделей в военном деле и промышленности. На этом этапе в математическом моделировании возник отдельный класс - задачи оптимизации [18].

Успех в решении задач окружающего мира путём математического моделирования на ЭВМ увеличил спрос на более качественные и сложные модели. Это потребовало изучения уже непосредственно самого процесса моделирования. На этом этапе в прикладной математике возникли самостоятельные разделы, посещённые разработке теорий и алгоритмов работающих на моделях. К примеру - «Исследование операций» [23].

Структура математических моделей со временем претерпела изменения, так как математическое сообщество достигло глубокого внедрения принципов математической и формальной логики. Внедрение переменных, функций пространства и всех элементов теории математических структур сделало математические модели максимально формальными [4].

Современные математические модели включают концепции, к примеру:

Переменные: они представляют неизвестные или изменяющиеся элементы модели, учитываемые или нет при принятии решений, неизвестную функцию, описанную в частных дифференциальных уравнениях, неизвестный оператор в неком уравнении в пространстве бесконечной размерности, используемые в формулировке квантовой теории поля и тд.

Зависимости: различные члены уравнения, являющееся независимыми друг от друга но связанные уравнениями или неравенствами.

Данные: вся числовая информация, требуемая для данной модели.

Отвечающая реальности (адекватная) математическая модель является большим научным достижением. Она позволяет провести детальное изучение рассматриваемого объекта и дать надёжный прогноз его поведения в различных условиях. Но не редко стремление в адекватности модели приводит к её усложнению [6].

Одни и те же математические модели часто применяются в абсолютно разных областях [27]. К примеру, закон Ньютона о притяжении двух материальных точек и закон Кулона о взаимодействии двух точечных электрических зарядов при соответствующем выборе размерностей физических величин выражаются одинаковой формулой Пуассона. Этот пример характеризует такое свойство математических моделей, как универсальность. Именно благодаря этому свойству математические модели могут использоваться в различных областях науки и на их стыке, что ускоряет их совместное развитие.

5. Процесс математического моделирования

Рисунок 2. Процесс математического моделирования.

Исходной точкой процесса математического моделирования служит технический объект (ТО), под которым подразумевается конкретный физический процесс, явление или ситуация [28]. На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого ТО к его расчётной схеме (РС). При этом, в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели выделяют те свойства, условия и особенности ТО, которые вместе с характеризирующими их параметрами должны найти отражение в РС, и, наоборот, аргументируют упрощения и допущения, позволяющие не учитывать в РC качества ТО, влияние которых в данном случае предполагаются несущественными. Иногда, вместо РС используют термин «концептуальная модель».

При разработке ТО успешное проведение первого этапа основном зависит от профессионального уровня инженера. Полнота и правильность учёта в РС свойств ТО, существенных с точки зрения поставленной задачи, являются в дальнейшем главной предпосылкой получения достоверных результатов. И наоборот - сильная идеализация ТО ради получения простой РС может обесценить все последующие этапы исследований.

Второй этап - это формальное, математическое описание РС. Описание даётся в виде математических соотношений, устанавливающих связи между параметрами, характеризующими РС ТО, и называется математической моделью (ММ).

На третьем этапе проводят качественную и количественную оценку построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, устранение которых потребует уточнения или пересмотра РС. Количественные оценки могут стать основанием для упрощения модели. Некоторые параметры или соотношения, не смотря на то, что были учтены в РС, могут быть исключены. На этом же этапе производится калибровка ММ. В неё закладываются параметры с известным результатом. Полученные результаты сравниваются с эталонными. Кроме того, на этом этапе можно построить несколько ММ для одного и того же ТО, отличающихся различным уровнем детализации. То есть происходит упорядочение ММ по признаку их сложности. Сравнение результатов таких ММ может улучшить знания о ТО. Кроме того, такое сравнение позволяет оценить достоверность результатов последующего вычислительного эксперимента: если более простая ММ правильно отражает некоторые свойства ТО, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным на более сложных ММ. Итогом данного этапа является выбор рабочей ММ ТО.

Четвёртый этап заключается в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента.

Пятый этап - создание работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники.

Получаемые на шестом этапе в результате работы программы результаты вычислений, сопоставляются с данными количественного анализа упрощённого варианта ММ рассматриваемого ТО. Выявляются недочёты в алгоритме и самой программе. При необходимости осуществляется их модификация и доработка, корректируется РС и соответствующая ей ММ.

После устранения всех выявленных недостатков данная модель становится рабочим инструментом для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемых данных практических рекомендаций для совершенствования ТО. Это является седьмым, завершающим этапом математического моделирования.

6. Свойства математических моделей

Для эффективного применения математических моделей они должны обладать следующими свойствами.

Полнота математической модели. Данное свойство характеризует способность модели отразить в приемлемой мере именно те характеристики и особенности ТО, которые являются для нас ключевыми с точки зрения поставленной цели проведения вычислительного эксперимента.

Точность математической модели. Данное свойство характеризует возможность математической модели обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи математической модели значений рассчитанных параметров ТО.

Адекватность математической модели. Способность математической модели рассчитать выходные параметры ТО с относительной погрешностью не превышающей заданного значения. В более общем значении под адекватностью математической модели подразумевают правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик ТО, которые нам важны в данном конкретном случае.

Экономичность математической модели. Характеристика, оценивающая затраты на вычислительные ресурсы, необходимые для реализации математической модели на ЭВМ.

Устойчивость математической модели. Характеризует устойчивость модели к качеству входных данных, их погрешности, и возможности минимизировать влияния неопределённых данных на конечный результат вычислительного эксперимента.

Продуктивность математической модели. Характеристика возможности располагать входящими данными высокой достоверности. При этом точность входных данных должна быть выше, чем точность параметров, получаемых в результате вычислений. В противном случае модель может считаться непродуктивной, и может быть использована только для оценки характеристик некоторого класса ТО с гипотетическими исходными данными.

Наглядность математической модели. Желательная, но не обязательная характеристика. Данная характеристика позволяет ориентировочно предвидеть результат расчётов и облегчает контроль правильности получаемых результатов.

Данные характеристики являются не полными, и следует помнить, что фактически математические модели обладают намного большим количеством характеристик [8].

На практике большинство характеристик модели находится во взаимном конфликте, и выбираемый весовой фактор каждой характеристики - всегда поиск компромисса инженером, создающим модель. Самый базовый конфликт, это так называемый «конфликтный треугольник» между точностью модели, ценой модели и быстродействием модели. На практике, желание сделать модель максимально точной приводит к её удорожанию за счёт требуемых вычислительных мощностей. Так же к удорожанию модели за счёт требуемых вычислительных мощностей приводит желание добиться максимального быстродействия модели. Таким образом снижение цены модели возможно только за счёт точности или быстродействия. В свою очередь, если требуется достичь максимального быстродействия модели с целью анализа множества альтернатив, возникает необходимость пожертвовать точностью моделей. Так же в условиях ограниченности в вычислительных ресурсов приходится жертвовать точностью и быстродействием модели. Нахождение оптимального сочетания характеристик модели и их правильная балансировка является интуитивным процессом, и зависит от опыта и квалификации инженера [23].

7. Классификация математических моделей

В основе квалификации математических моделей лежат их различные признаки и особенности. По отражению в математических моделях особенностей технического объекта, их делят на структурно-математические и функциональные. В структурно-математической модели отображается устройство ТО и связи между его составляющими. В функциональной математической модели отображаются происходящие в ТО физические, механические и информационные процессы. Математические модели, отображающие как устройство ТО, таки иго функционирования называются комбинированными, или структурно-функциональными.

Структурные математические модели, в свою очередь делятся на топологические и геометрические. Первые отображают состав ТО и связи между его элементами. Эти модели используются на начальной стадии исследования сложного по структуре ТО, состоящего из большого числа элементов для уточнения их взаимосвязи. Геометрическая модель содержит сведения о форме и размерах ТО и его элементов.

Функциональные модели состоят из соотношений, связывающих между собой внутренние, внешние и входные параметры. Функционирование сложного ТО нередко удаётся описать лишь с помощью совокупности его откликов на некоторые известные внешние воздействия. Такую разновидность функциональной модели называют имитационной математической моделью, или - «чёрным ящиком». Данная модель лишь имитирует внешнее проявление функционирования ТО, не раскрывая и не описывая протекающие внутри его процессы.

Если связи между внешними и выходными параметрами ТО в такой модели можно описать в форме алгоритма, то такая модель относится к алгоритмической математической модели. Алгоритмическими математическими моделями могут быть как функциональные, так и структурные модели.

Если связи между параметрами ТО можно выразить в аналитической форме, то говорят об аналитических математических моделях. При построении иерархии математических моделей одного и того же ТО обычно стремятся к тому, что бы упрощённый вариант математической модели был представлен в аналитической форме,допускающей точное решение. Это позволяет использовать его для тестирования результатов.

По способу получения математические модели делят на теоретические и эмпирические. Первые получают в результате изучения технического объекта и протекающих в нем процессов, а вторые - как следствие обработки результатов наблюдений внешнего проявления этих свойств и процессов.

При математическом моделировании достаточно сложного технического объекта описать его поведение одной математической моделью не удаётся. А если такую модель и удаётся построить, то она оказывается слишком сложной для количественного анализа. К таким моделям применяется принцип декомпозиции. Данный принцип состоит в том, что технический объект разбивается на более простые блоки и элементы, допускающие их независимое исследование, с последующим учётом взаимного влияния блоков и элементов друг на друга. В свою очередь принцип декомпозиции можно применить к каждому выделенному блоку вплоть до уровня достаточно простых элементов.

8. Математическое моделирования разработки месторождений

Эффективность разработки месторождений, с математической точки зрения, представляет собой эффективность перемещения и преобразования ограниченного числа субстанций, таких как масса, заряд, энергия импульса, информация. Эти процессы определяются фундаментальными законами природы, которые изучаются в таких разделах науки как физика, химия, гидродинамика и прочие. И именно изучение этих разделов науки обеспечивает появление новых технологий. Особенностью нефтяных и газовых месторождений является то, что на момент начала их разработки всегда существует высокий уровень неопределённости в данных, необходимых для эффективного извлечения углеводородного сырья. Данный уровень неопределённости относится ко всем дисциплинам, вовлечённым в процесс: геологии, проектированию, материаловедению, логистике, динамике, экономике и т.д. Учитывая изначально высокий уровень начальных инвестиций в разработку месторождений, с целью снижения рисков инженерами активно используется математическое моделирование разработки. При проектировании разработки с применением моделей обычно рассматривают несколько возможных вариантов, ведущих к наиболее эффективной работе месторождения. Эти варианты называются альтернативами. Этот инструмент позволяет принять наиболее приемлемое, с учётом имеющейся на данный момент неопределённости решение.

В последствии, по мере разработки месторождения и поступления новой информации, происходит уточнение модели - порученная информация сравнивается с результатами моделирования и принимается решение об адекватности модели. Если отклонение превышает ожидаемое, модель признается неадекватной, что требует построения новой модели. Если отклонение находится в рамках ожидаемого, модель признается адекватной, и происходит её корректировка с целью ещё большей минимизации этого отклонения. Процесс обновления модели является итеративным и осуществляется в течении всего периода жизни месторождения.



Литература

1.Apostel, L. «Towards the Formal Study of Models in the Non-Formal Sciences», D. Reidel, Dordrecht, 1961.

2.Bertrand R. «Mathematical logic as based on the theory of types», Amer. J. Math., vol. 30 1908.

3.Bogen J. and Woodward J. «Saving the Phenomena», Phil. Rev., vol. 97, pp. 303-52, 1988.

4.Breiman, L. «Statistical modeling: the two cultures», Statistical Science, vol. 16, pp. 199-215, 2001.

5.Burton, D. M. «The History of Mathematics», McGraw-Hill, Boston, 2007.

6.Cartwright N. «How the Laws of Physics Lie», Oxford University Press, 1983.

7.Cartwright N. «Nature's Capacities and Their Measurement», Oxford University Press. 1990

8.Casti, J. L. «Reality Rules» (Vol. I and II). Wiley, New York, 1978.

9.Davis P. J. and Hersh R. «The Mathematical Experience. Birkhauser», Boston, 1992.

10.Dretske F. «Contrastive Statements», Philosophical Review, 1973.

11.Ernest P. «Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics», SUNY Press, New York, 1997.

12.Garfingkel A. «Forms of Explanation», Yale University Press, 1981.

13.Goodman N. D. «Mathematics as an objective science», vol. 86 pp. 540-555, 1979.

14.Hand D. J. «Measurement Theory and Practice», Hodder Arnold, London, 2004.

15.Hao Wang, «From Mathematics to Philosophy», London, Routledge and Kegan Paul,1971.

16.Heisenberg W. «Physics and Philosophy: The Revolution in Modern Science. Lectures delivered at University of St. Andrews, Scotland, Winter 1955-56», 1958.

17.Putnam H. «Philosophy of mathematics, in Current Research in the Philosophy of Science, Michigan, 1979.

19.Kitcher P. «The Nature of Mathematical Knowledge», Oxford University Press, 1985.

18.Kreps D. M. «Game Theory and Economic Modelling», Cambridge University Press, 1990.

20.Lakatos I. «Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery», Cambridge University Press, 1976.

21.Mac Lane S. «Mathematical models: a sketch for the philosophy of mathematics», The American Mathematical Monthly, vol. 88, No 7, pp. 462-472, 1981.

22.Manzano M. «Model theory», Oxford University Press, Oxford, 1999.

23.Morton A. «Mathematical Modelling and Contrastive Explanation», 1990.

24.Quine W. V. «Ontological Relativity and Other Essays», Columbia University Press, New York, 1969.

25.Redhead M. «Models in Physics», Phil. Sci., vol. 31, pp. 154-63. Washington, 1980.

26.Troelstra A. S. «A History of Constructivism in the 20th Century», ITLI Prepublication Series ML-91-05, University of Amsterdam, 1991.

27.von Forster H. «On Constructing a Reality», W. W. Norton, New York, 1984.

28. Зарубин В. С. «Математика в техническом университете - Математическое моделирование в технике», том 21. Издательство МГТУ им. Баумана, Москва, 2003.

Размещено на Allbest.ru

...