Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЮРИДИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

РЕФЕРАТ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛОГИКА»

ТЕМА: «КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ"

студентка

Сергеева А.Е.

преподаватель:

Павлюкевич В.И.

Минск 2014



Содержание

Введение

1. Язык и семантика КЛВ

2. Основные законы КЛВ

3. Логические отношения между формулами КЛВ

4. Основные способы умозаключений КЛВ

Заключение

Список использованных источников



Введение

Слово «логика» происходит от древнегреческого «логож», что переводится как «разум», «мысль», «суждение». Логика является одной из самых древних наук.

Первоначально она разрабатывалась в связи с запросами практики судопроизводства. От логической доказательности речи обвиняемого или обвинителя часто зависело решение суда - особенно в сложных и запутанных правовых ситуациях. Неумение четко и ясно формулировать свои мысли, изобличать подвохи и «ловушки» своих оппонентов могло стоить оратору очень дорого. Этим пользовались так называемые софисты - платные учителя мудрости. Непросвещенной публике они могли «доказать» что белое - это черное, а черное - это белое, после чего за большие деньги обучали своему искусству всех желающих.

Известен следующий случай. Однажды знаменитый софист Протагор повстречал способного, но бедного юношу по имени Эватл. Они заключили договор, согласно которому Эватл должен был заплатить за обучение не сразу, а после первого выигранного им судебного процесса. Но обещанных денег Протагор так и не увидел, поскольку юноша после обучения ни разу не появился в суде. Тогда учитель обвинил его в неблагодарности и подал на него в суд. «Если судьи признают, что я прав, - рассуждал Протагор, - он заплатит мне по решению суда, а если они его оправдают, то это будет первый выигранный им судебный процесс, и тогда он заплатит согласно договору». Но Эватл привел свои доводы: «Если я выиграю, то ничего платить не буду, ведь победитель побежденному платить не обязан; если же я проиграю, значит он плохо меня учил, и тогда я не должен ему платить по договору.» Складывается впечатление, что оба они правы - но ведь этого быть не может!

Внешне правильное рассуждение, содержащее какую-то скрытую уловку, называется софизмом. В процессе аргументации умение разоблачать софизмы необходимо, но все же недостаточно. Особенно если речь идет о научной аргументации, целью которой является не победа в споре, а отыскание истины.

Быстро развивавшаяся античная наука была вторым важным источником возникновения логики. В рамках философии, физики, геометрии, биологии постепенно вырабатывались самые разнообразные познавательные приемы, которые нужно было методологически обосновать, обобщить и систематизировать.

Этим занимались многие мыслители, но как стройная научная теория логика впервые сформировалась в IV веке до н.э. в трудах выдающегося древнегреческого философа Аристотеля (384-322 до н.э.).

Логические трактаты Аристотеля - «Категории», «Об истолковании», Первая и Вторая «Аналитики», «Топика» и «О софистических рассуждениях» - были объединены его последователями под общим названием «Органон». Слово «органон» по-гречески означает «орудие», и для самого Аристотеля логика выступает прежде всего как орудие, инструмент любого рационального познания.

С другой стороны, аристотелевскую логику часто называют «каноном», то есть правилом, образцом. Она не только объясняет, как должна строиться любая наука, но и сама показывает пример строгой научности и рациональности. Примечательно, что логическая система Аристотеля является первой в истории человечества формальной аксиоматической теорией - идеал, к которому стремятся все точные науки.

Целью работы в реферате является изучение классической логики высказываний.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Рассмотреть язык и семантику КЛВ.

2. Изучить основные законы КЛВ.

3. Дать характеристику логическим отношениям между формулами КЛВ.

4. Изучить основные способы умозаключений КЛВ.

В ходе изучения классической логики высказываний основным методом работы стал метод теоретического анализа литературы по этой теме.

Реферат состоит из введения, основной части, заключения, списка использованных источников (включает ____ позицию).

Общий объем реферата составляет ____ страниц.



1. Язык и семантика КЛВ

Логика высказываний (пропозициональная логика) - это теория, изучающая логическую структуру сложных суждений без учета структуры простых суждений, входящих в их состав.

Несмотря на то, что отдельные фрагменты этой теории разрабатывались еще античными мыслителями, как стройная система она сложилась лишь к концу XIX в. Её аксиоматизацию впервые осуществил немецкий логик Готлоб Фреге.

При выявлении логических форм контекстов естественного языка в этой теории происходит абстрагирование от содержаний простых суждений, от их внутренней структуры, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные. Алфавит логики высказываний включает в себя три вида символов:

1) пропозициональные переменные - p, q, r, s, ...

2) пропозициональные связки - , &, ?, ?, ?, ?.

3) скобки - ( , ).

Пропозициональные переменные (от лат. «propositio» - высказывание) замещают собой простые высказывания. Например, высказывание «идет дождь» можно обозначить символом p, высказывание «светит солнце» - символом q, и т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы объединять простые высказывания в более сложные. Их аналогом в естественном языке чаще всего выступают грамматические союзы.

- отрицание («не»; «неверно, что», «неправда, что» и т.п.)

& - конъюнкция («и», «а», «но», «хотя» и т.п.)

? - дизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)

? - строгая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и т.п.)

? - импликация («если, то», «значит», «вытекает» и т.п.)

? - эквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)

Значимые выражения в языке КЛВ называются формулами. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.

Определение формулы. (1) пропозициональные переменные являются формулами; (2) если А и В - формулы, то А, А & В, А ? В, А ? В, А ? В, А ? В - тоже формулы; (3)ничто другое не является формулой.

Формула, входящая в состав некоторой более сложной формулы, называется ее подформулой и выделяется скобками. Часто используется соглашение об опускании скобок. Считается, что каждая следующая связка в приведенном выше перечне связывает слабее, чем предыдущая. Так, например, дизъюнкция связывает переменные слабее, чем конъюнкция, эквиваленция - слабее, чем импликация, и т.д.

Приоритет 1 2 3 4 5 6

Связки & ? ? ??

Упражнение. Расставьте пропущенные скобки в следующих формулах:

а) p ? q & r ? s & q ? p ? s ? q ? r

б) p & q ? r & s ? q ? p ? s ? q & r

Переводить высказывания с обычного языка на естественный не трудно. Пусть, например, р означает «Ромео любит Джульетту», q - «Джульетта любит Ромео», r - «Джульетта красивая», s - «Ромео храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:

- «Ромео храбрый и любит Джульетту» s & p

- «Неверно, что Джульетта некрасивая

или Ромео ее не любит» (r ? p)

- «Если Джульетта красива, а Ромео храбр,

то они любят друг друга» (r & s) ? (p & q)

Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:

1) Принцип бивалентности. Каждая пропозициональная переменная, замещающая собой простое предложение, может быть либо истинной, либо ложной. Истинность будем обозначать как 1, ложность - как 0.

2) Принцип композициональности. Истинностное значение сложной формулы есть функция от истинностных значений входящих в нее переменных.

Таким образом, каждая пропозициональная связка трактуется как истинностно-истинностная функция. Для наглядности воспользуемся таблицей:

p q p p & q p ? q p ? q p ? q p ? q

1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 1 1 0

00 1 0 0 0 1 1

Математические аналоги логических функций:

Лог. функция символ Мат. функция символ

1 отрицание x инверсия 1 - х

2 конъюнкция x & y умножение х · у

3 дизъюнкция x ? y сложение х + у

4стр. дизъюнкция x ? y не равно х ? у

5 импликация x ? y меньше или равно х ? у

6 эквиваленция x ? y равно х = у

Рассмотрим на примере, как строится таблица истинности для произвольной формулы. Пусть нам дано высказывание: «Если Ромео и Джульетта любят друга, то неверно, что по крайней мере один из них не любит другого». Его переводом на язык КЛВ будет формула: (p & q) ? ( p ? q).

Алгоритм построения таблицы истинности:

1) Определить число строк (оно вычисляется по формуле k = 2n, где k - количество строк, а n - число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу).

2) Задать все комбинации совместной истинности/ложности пропозициональных переменных (для этого существует очень простой метод. Колонку под первой переменной делим пополам - половину раз пишем 1, половину - 0; для каждой следующей переменной чередование 1 и 0 в столбцах учащается в два раза).

3) Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и формулы в целом (используя данное выше табличное определение пропозициональных связок).

p	q	p	q	p & q	p ? q	(p ? q)	(p & q) ? (p ? q)
1	1	0	0	1	0	1	1
1	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	0	1	0	1
0	0	1	1	0	1	0	1

В этой таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит лишь две переменные - p и q. Первые два столбца задают все возможные комбинации совместной истинности и ложности этих переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний (результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.

В зависимости от того, каким является результирующий столбец таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные, тождественно-ложные и логически случайные.

Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула, принимающая значение «1» во всех строках таблицы.

Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула, принимающая значение «0» во всех строках таблицы.

Логически случайной (собственно выполнимой) называется формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение «1», а в некоторых - «0».

В приведенном примере формула является тождественно-истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами, данная формула выражает собой логический закон.

2. Основные законы КЛВ

Законом логической теории является формула, принимающая значение «истина» при любой допустимой в данной теории интерпретации нелогических символов в ее составе.

В КЛВ понятие закона совпадает с понятием тождественно-истинной (общезначимой) формулы. Наиболее часто в практике рассуждений используются следующие законы КЛВ:

1) Закон тождества

А ? А

Если высказывание истинно, то оно истинно.

2) Закон непротиворечия

(А & А)

Два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными.

3) Закон исключенного третьего

А ? А

Из двух противоречащих друг другу высказываний по крайней мере одно истинно.

4) Закон двойного отрицания

А ? А

Двойное отрицание высказывания равнозначно его утверждению.

5) Закон утверждения консеквента

А ? (В ? А)

Заведомо истинное высказывание вытекает из чего угодно.

6) Закон отрицания антецедента (или Закон Дунса Скота)

А ? (А ? В)

Из заведомо ложного высказывания вытекает что угодно.

7) Законы Де Моргана

(А & В) ? А? В

Отрицание конъюнкции равнозначно дизъюнкции двух отрицаний.

(А ? В) ? А & В

Отрицание дизъюнкции равнозначно конъюнкции двух отрицаний.

8) Закон контрапозиции

(A ? В) ? (В ? А)

Если из одного высказывания вытекает второе, то из отрицания второго вытекает отрицание первого.

9) Закон транзитивности импликации

((A ? В) & (В ? С)) ? (А ? С)

Если из одного высказывания вытекает второе, а из него - третье, то и из первого высказывания вытекает третье.

10) Законы дистрибутивности ? относительно & и наоборот.

А ? (В & С) ? (А ? В) & (А ? C)

А & (В ? С) ? (А & В) ? (А & C)

Они позволяют пронести дизъюнкцию внутрь конъюнктивной формулы, а конъюнкцию внутрь дизъюнктивной.

11) Законы взаимовыразимости связок

(А ? В) ? (A ? В)

((A ? В) & (B ? A)) ? (A ? В)

((A ? В) & (B ? A)) ? (А ? В)

С помощью этих законов можно значительно упрощать формулы, выражая одни связки посредством других.

3. Логические отношения между формулами КЛВ

Иногда в процессе рассуждения бывает важно установить, в каких логических отношениях находятся те или иные высказывания. Допустим, при расследовании ограбления банка были получены показания трех свидетелей. Один говорит: «Если виновен Браун, то виновен и Джонс», другой: «Если виновен Джонс, то виновен и Браун», а третий - «Виновен только один из них: либо Браун, либо Джонс». Могут ли они все трое лгать? Могут ли они все трое говорить правду?

Для решения этой задачи достаточно построить совместную таблицу для показаний трех свидетелей. Пусть р означает, что виновен Браун, а q - что виновен Джонс.

		1-й свидетель	2-й свидетель	3-й свидетель
p	q	р ? q	q ? p	p ? q
1	1	1	1	0
1	0	0	1	1
0	1	1	0	1
0	0	1	1	0

Из данной таблицы видно, что свидетели не могут все трое говорить правду, но не могут и все трое лгать. Более того, оказывается, что даже двое свидетелей не могут вместе лгать - в каждой строке только одна формула является ложной, а две - истинными.

В качестве фундаментальных логических отношений в КЛВ выделяют отношения совместимости по истинности, совместимости по ложности и логического следования.

Формулы А и В совместимы по истинности (символически А(1)В), если и только если в их совместной таблице истинности существует хотя бы одна строка, где они вместе принимают значение «1».

Формулы А и В совместимы по ложности (символически А(0)В), если и только если в их совместной таблице истинности существует хотя бы одна строка, где они вместе принимают значение «0».

Из формулы А логически следует формула В (символически А?=В), если и только если во всех строках, где А принимает значение «1», В тоже принимает значение «1».

На основе фундаментальных отношений могут быть определены все остальные возможные отношения между двумя отдельно взятыми суждениями:

1. Отношение противоречия (контрадикторности). Формулы А и В находятся в отношении противоречия, если и только если они несовместимы по истинности и несовместимы по ложности.

2. Отношение противоположности (контрарности). Формулы А и В находятся в отношении контрарности, если и только если они совместимы по ложности и не совместимы по истинности.

3. Отношение подпротивоположности (субконтрарности). Формулы А и В находятся в отношении субконтрарности, если и только если они совместимы по истинности и не совместимы по ложности.

4. Отношение логической эквивалентности. Формулы А и В находятся в отношении логической эквивалентности, если и только если из формулы А логически следует формула В, а из формулы В логически следует формула А.

5. Отношение логической независимости. Формулы А и В находятся в отношении логической независимости, если и только если они совместимы по истинности, совместимы по ложности и не следуют логически друг из друга. логика высказывание истинность антецедент

6. Отношение логического подчинения. Формула В логически подчиняется формуле А, если и только если из формулы А логически следует формула В, но не наоборот.

Для наглядности данные определения можно свести в таблицу:

Отношение	А и В совм. по ист.	А и В совм. по ложн.	Из А лог. следует В	Из В лог. следует А
А противоречит В	-	-	-*	-*
А контрарно В	-	+	-*	-*
А субконтрарно В	+	-	-*	-*
А не зависит от В	+	+	-	-
А эквивалентно В	+*	+*	+	+
А подчиняет В	+*	+*	+	-
В подчиняет А	+*	+*	-	+

Примечание: символ * означает: «при условии, что А и В являются собственно выполнимыми» (если это условие не выполнено, то в ячейках с * могут стоять противоположные отметки, а формулы могут находиться друг к другу в нескольких логических отношениях одновременно).

Используя знания о совместимости или несовместимости некоторого множества суждений по истинности или ложности, иногда можно достаточно точно установить истинностное значение входящих в них пропозициональных переменных. Например, рассмотрим следующую задачу, построенную в стиле известного логика Р. Смаллиана:

Благородный рыцарь оказался в ловушке у коварного короля. Перед ним коридор, в который выходят три двери. Известно, что за каждой дверью кто-то есть - может быть, принцесса, а может быть, - тигр. Король дал рыцарю единственную подсказку: принцесса может оказаться только за той дверью, на которой написана истина, а тигр - только за той, на которой ложь.

Вот какие надписи были на этих дверях:

Если здесь принцесса, то в соседней комнате тигр	Слева и справа одинаковые существа	Если здесь тигр, то в соседней комнате принцесса

Какую дверь должен открыть рыцарь, если хочет найти принцессу, а не стать добычей тигра?

Примем следующие обозначения:

р - за первой дверью принцесса,

q - за второй дверью принцесса,

r - за третьей дверью принцесса.

Теперь, используя эти переменные, можно формализовать содержание каждой надписи:

Учитывая подсказку короля, мы знаем, что первая надпись истинна, только если за первой дверью принцесса (р), вторая - если за второй дверью принцесса (q), а третья - если за третьей дверью принцесса (r).

Тем самым, имеют место следующие эквивалентности:

1) p ? (р ? q)

2) q ? (р ? r)

3) r ? (r ? q)

Построим совместную таблицу для этих трех формул.

p q r q р ? q р ? r r r ? q 1 2 3

1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0

1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0

По условию задачи, формулы 1-3 должны быть истинны. В таблице видно, что они могут быть вместе истинными лишь в четвертой строке. Значит, в этой строке и надо искать ответ: р = 1, q = 0, r = 0. Другими словами, принцесса находится в первой комнате, а в остальных двух - тигры.

4. Основные способы умозаключений КЛВ

1) Условно-категорические умозаключения. Это двухпосылочные умозаключения, которые содержат импликативную посылку А ? В. Другая посылка, а также заключение могут быть либо антецедентом (А), либо консеквентом (В) первой посылки, либо отрицанием того или другого (А или В). К числу правильных условно-категорических умозаключений относятся:

Таким образом, правильными являются умозаключения от утверждения антецедента (А) к утверждению консеквента (В) и от отрицания консеквента (В) к отрицанию антецедента (А).

Примеры:

1) Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождь идет. Значит, крыши мокрые.

2) Если наступает осень, с деревьев опадают листья. Листья еще не опали. Значит, осень не наступила.

2) Разделительно-категорические умозаключения. Эти умозаключения также являются двухпосылочными, причем в них имеется дизъюнктивная посылка (А ? В) или строго дизъюнктивная посылка (А ? В). Другая же посылка и заключение совпадают с одним из дизъюнктов (А или В) или с его отрицанием (А или В).

К числу правильных разделительно-категорических умозаключений относятся:

А ? В, А - modus tollendo ponens

В (отрицающе-утверждающий способ) и

А ? В, А - modus ponendo tollens

В (утверждающе-отрицающий способ).

Примеры:

1) В машине кончился бензин или она сломалась. Машина не сломалась. Значит, кончился бензин.

2) В прошлую субботу подозреваемый был либо в городе, либо на даче. Он был на даче. Следовательно, в городе его не было.

3) Условно-разделительные (лемматические) умозаключения. Эти умозаключения содержат несколько импликативных и одну дизъюнктивную посылку. В дизъюнктивной посылке разделяются определенные варианты развития событий, каждый из которых имеет свое следствие. Рассмотрев и сравнив эти следствия, мы приходим к одному общему заключению. Если число рассматриваемых вариантов равно двум, такие умозаключения называются дилеммами:

A ?C, B ? C, A ? B - простая конструктивная дилемма,

C

A ? B, A ? C, B ? C - простая деструктивная дилемма,

A

A ? C, B ? D, A ? B - сложная конструктивная дилемма,

C ? D

A ? С, B ? D, C ? D - сложная деструктивная дилемма.

A ? B

В простых дилеммах заключение представляет собой простое суждение, в сложных - разделительное. В конструктивных дилеммах заключение является утвердительным, в деструктивных - отрицательным.

Если рассматривается три возможных варианта положения дел, такие умозаключения называются трилеммами, если больше - полилеммами.



Заключение

Мы рассмотрели классическую логику высказываний по четырем составляющим: 1) язык и семантика КЛВ, 2) основные законы КЛВ, 3) логические отношения между формулами КЛВ, 4) основные способы умозаключений КЛВ.

Алфавит логики высказываний включает в себя три вида символов:

1) пропозициональные переменные;

2) пропозициональные связки;

3) скобки.

Значимые выражения в языке КЛВ называются формулами. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.

Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:

1) принцип бивалентности;

2) принцип композициональности.

Рассмотрели алгоритм построения таблицы истинности, в результате увидели, что выделяют три вида формул: тождественно-истинные, тождественно-ложные и логически случайные.

Законом логической теории является формула, принимающая значение «истина» при любой допустимой в данной теории интерпретации нелогических символов в ее составе.

В КЛВ понятие закона совпадает с понятием тождественно-истинной (общезначимой) формулы. Наиболее часто в практике рассуждений используются следующие законы КЛВ: 1) Закон тождества; 2) Закон непротиворечия; 3) Закон исключенного третьего 4) Закон двойного отрицания; 5) Закон утверждения консеквента; 6) Закон отрицания антецедента (или Закон Дунса Скота) 8) Закон контрапозиции; 9) Закон транзитивности импликации; 10) Законы дистрибутивности ? относительно & и наоборот; 11) Законы взаимовыразимости связок.

С помощью этих законов можно значительно упрощать формулы, выражая одни связки посредством других.

В качестве фундаментальных логических отношений в КЛВ выделяют отношения совместимости по истинности, совместимости по ложности и логического следования.

На основе фундаментальных отношений могут быть определены все остальные возможные отношения между двумя отдельно взятыми суждениями:1. Отношение противоречия (контрадикторности).

2. Отношение противоположности (контрарности).

3. Отношение подпротивоположности (субконтрарности).

4. Отношение логической эквивалентности.

5. Отношение логической независимости.

6. Отношение логического подчинения.

Основными способами умозаключений КЛВ являются: 1) условно-категорические умозаключения; 2) разделительно-категорические умозаключения; 3) условно-разделительные (лемматические) умозаключения.



Список использованных источников

1. Гетманова А.Д. Логика. М., 1998.

2. Горбатов В.В. Логика / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. - М., 2004. - 92 с.

3. Ивлев Ю.В. Логика. М., 1997.

4. Логика: пособие для учащихся.-М.:Просвещение.1996.-206 с.

5. Свинцов В.И. Логика. М., 1987.

Размещено на Allbest.ru

...