Основные операции нечеткой логики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основные операции нечеткой логики

И.З. Батыршин

В основе теории нечетких множеств (или нечеткой логики в широком смысле) лежат операции, обобщающие операции объединения, пересечения и дополнения обычных множеств. Эти действия определяются, соответственно, операциями дизъюнкции, конъюнкции и отрицания над значениями обобщенных характеристических функций, называемых функциями принадлежности нечетких множеств. В качестве множества значений этих функций L обычно берется интервал вещественных чисел [0,1], хотя в общем случае L может быть линейно упорядоченным множеством (например, множеством вербальных оценок) или решеткой. Значения из L могут интерпретироваться в зависимости от интерпретации нечеткого множества как значения принадлежности (множеству), соответствия (понятию), истинности, правдоподобности, возможности, предпочтения и т.д. Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания задаются на L как обобщения соответствующих булевых функций со значениями в {0,1}. Нечеткие конъюнкции, дизъюнкции и отрицания определяются системами аксиом, обобщающих соответствующие тождества булевой алгебры. Эти аксиомы задают классы функций, принимающих значения из [0,1]. В нечеткой логике исследуются свойства этих функций и методы их генерации. В зависимости от области приложений используются те или иные классы основных нечетких операций.

В данной работе обсуждаются различные подходы к определению основных операций нечеткой логики. Здесь нечеткая логика понимается не как обобщение многозначной логики, а в широком смысле как синоним теории нечетких множеств.

Операции Л. Заде

Обычное подмножество A универсального множества X можно задать характеристической функцией _A: XL, где L = {0,1}. Операциям пересечения, объединения и дополнения множеств ставятся во взаимно однозначное соответствие операции над их характеристическими функциями, определяемые поэлементно (для всех xX):

(_AB)(x)=_A(x)_B(x), (1)

(_AB)(x)=_A(x)_B(x), (2)

_(A)(x) = _A(x), (3)

где , и - булевы функции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, задаваемые следующими тождествами:

00 = 01 = 10 = 0, 11 = 1, (4)

00 = 0, 01 = 10 = 11 = 1. (5)

0 = 1, 1 = 0, (6)

Для отношения включения множеств выполняется

AB тогда и только тогда, когда _A(x)_B(x) для всех xX.

Таким образом, понятие множества можно заменить понятием характеристической функции, т.е. вместо булевой алгебры множеств рассматривать булеву алгебру характеристических функций и т.д.

Нечеткое подмножество A универсального множества X задается функцией принадлежности _A: XL, где L = [0,1]. Для каждого xX величина _A(x) интерпретируется как степень принадлежности элемента x нечеткому множеству A. Операции над нечеткими множествами задаются аналогично операциям над характеристическими функциями (1) - (3), где в качестве операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания на [0,1] берутся обобщения соответствующих операций на {0,1}. Очевидно, что разумные обобщения этих операций на L= [0,1] также должны удовлетворять тождествам (4) - (6). В [42] Л. Заде предложил следующее обобщение этих операций:

xy= min(x,y), (7)

xy = max(x,y), (8)

n(x) = 1- x, (9)

где n - операция нечеткого отрицания.

Обычно в нечетких моделях с нечеткими множествами ассоциируются некоторые лингвистические метки, например, МОЛОДОЙ, ДАЛЕКО, ОЧЕНЬ БЫСТРЫЙ и т.д. [1]. Но при исследовании алгебраических свойств нечетких множеств удобно отождествлять их с функциями принадлежности. Поэтому там, где это не будет вызывать недоразумений, под нечетким множеством A будет пониматься функция A: XL, и величина A(x) будет интерпретироваться как степень принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

Таким образом, операции пересечения, объединения и дополнения нечетких множеств будут определяться с помощью операций (7) - (9), заданных на L=[0,1], следующим образом:

(AB)(x)=A(x)B(x), (10)

(AB)(x)=A(x)B(x), (11)

( A)(x) = n(A(x)). (12)

Аналогично, имеем

AB тогда и только тогда, когда A(x)B(x) для всех xX.

Как обычно, пишут A B, если AB и AB.

Cвойства алгебры нечетких множеств

Пусть F(X) - множество всех нечетких подмножеств множества X. Обозначим и U следующие нечеткие множества

(x) = 0 и U(x) = 1 для всех xX. (13)

нечеткий множество триангулярный



Нетрудно убедиться, что <F(X),,> является дистрибутивной решеткой, а <F(X),,,,,U> является алгеброй Клини, т.е. дистрибутивной решеткой с операцией отрицания , удовлетворяющей тождествам:

( A) = A (инволютивность), (14)

(AB) = AB, (AB) = AB, (законы Де Моргана), (15)

A = , A=, AU=U, AU=A, (граничные условия) (16)

(AA) (BB) =AA, (условие нормальности). (17)

Условие нормальности (условие Клини) часто записывают в виде:

AA BB. (18)

Алгебра нечетких множеств в общем случае не является булевой, так как для нее не выполняются следующие законы:

AA = , AA = U. (19)

Дистрибутивные решетки с операцией , удовлетворяющие тождествам (14) - (16) называются алгебрами Де Моргана, а алгебры Клини называются также нормальными алгебрами Де Моргана. Алгебры Клини и Де Моргана играют важную роль при изучении неклассических логик [17, 24, 30, 33]. В работах [2, 7] было показано, что метрические алгебры Клини могут быть охарактеризованы в классе алгебр Де Моргана с помощью мер нечеткости, вводимых на этих алгебрах.

Мерой нечеткости на алгебре Клини <F, ,, ,,U > называется функция d: FR, где R - множество вещественных чисел, удовлетворяющее условиям [2, 7]:



Q1. d() = 0;

Q2. d(A) = d(A);

Q3. из AA BB следует d(A)<d(B);

Q4. d(AB) + d(AB) = d(A) + d(B).

Функция v: FR, определенная на алгебре Де Моргана и удовлетворяющая на F условиям:

v(AB) + v(AB) = v(A) + v(B),

из A B следует v(A)<v(B),

называется положительной оценкой на F [4]. Положительная оценка определяет метрическую алгебру Де Моргана F с метрикой:

(A,B) = v(AB) - v(AB).

Положительная оценка и определяемая ею метрика называются симметричными, если на F выполняется условие v(A) + v(A) = v() + v(U).

В [2, 6] показано, что метрическая алгебра Де Моргана является алгеброй Клини тогда и только тогда, когда на F может быть задана мера нечеткости d, причем, эта алгебра является булевой тогда и только тогда, когда d всюду на F равна нулю.

Таким образом, мера нечеткости, введенная первоначально как характеристика нечеткости нечеткого множества [18], характеризует алгебры Клини в классе метрических алгебр Де Моргана. В качестве простейшей меры нечеткости нечеткого множества A может быть взята функция d(A) = v(AA), где v - положительная оценка, такая, что v()=0. Например, при конечном X = {x₁,…, x_n}, мощность нечеткого множества генерирует меру нечеткости (энтропии) .

В общем случае, если <L,,,n,0,1>- алгебра Клини, где 0 и 1 обозначают соответственно наименьший и наибольший элементы в L, то и алгебра нечетких множеств <F, ,, ,,U >, определяемая соотношениями (10) - (13), также будет алгеброй Клини.

Элемент W алгебры Де Моргана F будет называется центральным, если он удовлетворяет условию:

W = W. (20)

Можно показать, что алгебра Де Моргана с центральным элементом W нормальна. т.е. является алгеброй Клини, тогда и только тогда, когда W является единственным центральным элементом в F.

Можно показать также, что в метрических алгебрах Клини центральный элемент имеет максимальное значение меры нечеткости. Например, в рассматриваемой алгебре нечетких множеств центральным элементом является нечеткое множество W с функцией принадлежности W(x) = 0.5 для всех xX. Если на алгебре Клини F с центральным элементом W задана симметричная метрика, то мера нечеткости на F может быть задана как расстояние от центрального элемента:

d(A) = 0.5(,U) - (A,W).

В общем случае, в алгебрах Клини центральный элемент может и отсутствовать. Например, определенная выше алгебра F(X) нечетких множеств A:XL будет иметь центральный элемент, если такой элемент имеется в L. Если в качестве L взять, например, L= {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}, определив операции на L так же, как это определялось выше на [0,1], то F(X) будет алгеброй Клини без центрального элемента.

Обобщением понятия центрального элемента в данном случае может служить понятие центральной подалгебры или фокуса алгебры. Интервальной подалгеброй (подрешеткой) [8] алгебры Де Моргана <F, ,, , , U > называется интервал [C,D]F, который является подалгеброй F по операциям ,, . Можно охарактеризовать алгебры Клини в классе алгебр Де Моргана с помощью понятия интервальных подалгебр следующим образом.

Теорема 1. Алгебра Де Моргана F является алгеброй Клини тогда и только тогда, когда пересечение любых ее двух интервальных подалгебр не пусто, и F является булевой алгеброй тогда и только тогда, когда она содержит лишь одну непустую интервальную подалгебру (совпадающую с F).

Интервальная подалгебра, содержащаяся во всех других интервальных подалгебрах алгебры Клини F будет называться центральной подалгеброй (фокусом) алгебры Клини, а алгебра Клини, содержащая фокус, будет называться фокальной алгеброй Клини. Можно доказать также следующую теорему.

Теорема 2. Алгебра Де Моргана F является фокальной алгеброй Клини тогда и только тогда, когда в F существует элемент W, удовлетворяющий на F тождеству:

(AA) (WW) =W. (21)

Из (21) следует, что фокус имеет вид [W,W]. При W = W фокальная алгебра Клини является алгеброй Клини с центральным элементом, а при W = - булевой алгеброй.

В метрической фокальной алгебре Клини все элементы фокуса имеют одинаковое максимальное значение меры нечеткости. Хотя в рассмотренном выше примере алгебры нечетких множеств, определенных на L= {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}, отсутствует центральный элемент, его роль может играть центральная подалгебра [W,W], где W(x)=0.4 и W(x) = 0.6 для всех xX. Все нечеткие множества из этого интервала имеют одинаковое максимальное значение меры нечеткости.

Аксиоматизация операций Заде

В работе [16] было показано, что введенные Заде операции конъюнкции и дизъюнкции однозначно определяются следующей системой аксиом:

xy = yx, xy = yx (коммутативность),

(xy)z = x(yz), (xy)z = x(yz) (ассоциативность),

x(yz) = (xy)(yz), x(yz) = (xy)(xz) (дистрибутивность),

и непрерывны

xy zy и xy zy если x z, (монотонность),

xx < yy и xx < yy если x < y, (строгая монотонность)

xy min(x,y), max(x,y) xy

11 = 1, 00 = 0

Для операции отрицания было предложено ввести следующие аксиомы:

n(0) = 1, n(1) = 0,

n непрерывно,

n(x) < n(y), если y < x,

n(n(x)) = x,



По-видимому, нельзя предложить разумные аксиомы, однозначно определяющие операцию отрицания.

Работа [16] сыграла большую роль в обосновании операций нечеткой логики. Вместе с тем в ряде приложений теории нечетких множеств возникала потребность использования более «мягких» операций конъюнкции и дизъюнкции, поскольку результат операций min и max совпадал со значением одного из операндов и как следствие не учитывал изменения значения другого операнда в определенном диапазоне значений. В качестве такой «мягкой» операции конъюнкции еще в работе Л.Заде [42] была предложена операция умножения. Им же в работе [43] впервые были введены недистрибутивные и двойственные связки:

T(x,y) = xy, S(x,y) = x+y-xy,

T(x,y) = max{x+y-1,0}, S(x,y) = min{x+y,1},

где T и S - операции конъюнкции и дизъюнкции соответственно. В работе [5] было показано, что операции min и max следуют из дистрибутивности, монотонности по обоим переменным и граничных условий:

x1 = 1x = x 0x = x0 = x.

Аналогичный результат был получен в [38]. Свойство дистрибутивности играет важную роль в логике, в частности при преобразованиях формул в дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Однако, необходимость использования в нечетких моделях более «мягких» по сравнению с операциями min и max операций конъюнкции и дизъюнкции привело к необходимости удаления свойства дистрибутивности из определения этих операций.

Триангулярные нормы, триангулярные конормы и инволютивные отрицания

Удаление свойства дистрибутивности из определения операций конъюнкции и дизъюнкции привело к введению в нечеткую логику понятий триангулярных норм и конорм (t-норм и t-конорм), активно изучавшихся в теории статистических метрических пространств и теории ассоциативных функций [5,6, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 34 - 36, 38 ,39].

Обычно t-нормы T и t-конормы S определяются как функции T, S: [0,1][0,1][0,1], удовлетворяющие следующим условиям:

T(x,1) = x, S(x,0) = x (граничные условия),

T(x,y) T(u,v) и S(x,y) S(u,v) если x u, y v (монотонность),

T(x,y) = T(y,x), S(x,y) = S(y,x) (коммутативность),

T(T(x,y),z) = T(x,T(y,z)), S(S(x,y),z) = S(x,S(y,z)) (ассоциативность).

Простейшими примерами этих операций являются следующие:

T_c(x,y) = min{x,y}, S_c(x,y) = max{x,y},

T_p(x,y) = x y, S_p(x,y) = x + y - xy,

, ,

T_b(x,y) = max{0,(x+y -1)} S_b(x,y) = min{1,(x+y)}.

Отметим, что t-нормы, как ассоциативные функции, можно сгенерировать несколькими способами, например, T(x,y) = ^-1(T₀((x),(y))), где - любая возрастающая биекция :[0,1] [0,1] такая, что (0)= 0, (1)= 1, ^-1 - обратная функция для , T₀ - некоторая t-норма, например, T(x,y)= xy. Параметрические классы T-норм в общем случае достаточно сложны из-за необходимости использования обратных функций для их конструирования. Приведем пример простейшей параметрической T-нормы:

T(x,y) = 1 - [(1- x) ^p + (1- y) ^p- (1- x) ^p (1- y) ^p] ^1/p,

Параметрическим конъюнкциям двойственным образом могут быть поставлены в соответствие параметрические дизъюнкции.

Обобщенные нечеткие конъюнкции

В работе [11] были предложены методы построения более простых параметрических классов операций конъюнкции, основанные на удалении аксиом ассоциативности и коммутативности из определения T-норм. Условие ассоциативности часто не является необходимым в нечетких моделях, а некоммутативность может позволить учесть разный характер переменных, используемых в нечетких моделях, при фиксированности их позиций в правилах. В [11] операцией нечеткой конъюнкции называется функция T: [0,1][0,1][0,1], удовлетворяющая условию монотонности и условию T(x,1) = T(1,x) = x. Нечеткой дизъюнкцией называется монотонная функция, удовлетворяющая условию S(x,0) = S(0,x) = x. Показано, в частности, что если T₁, T₂ - конъюнкции, s - монотонная функция s:[0,1][0,1][0,1], удовлетворяющая условию s(1,y)= s(x,1) = 1, то функция T(x,y)= T₂(T₁(x,y),s(x,y)), будет конъюнкцией. Примерами простейших неассоциативных конъюнкций, построенных таким путем, являются следующие:

T(x,y) = (x+y - xy)min(x,y),

T(x,y) = max(x,y)xy,

T(x,y) = xy(x+y - xy).

Для получения параметрических классов конъюнкций было предложено несколько методов их генерации, в частности:

T(x,y) = T₂(T₁(x,y),S(g₁(x),g₂(y))),

где T₁ и T₂ - произвольные конъюнкции, S - произвольная дизъюнкция, g₁, g₂: [0,1][0,1] - неубывающие функции такие, что g₁(1)= g₂(1)=1. Приведем примеры параметрических конъюнкций (p,q 0):

T(x,y) = min(x,y)max{1-p(1-x),1-q(1-y), 0},

T(x,y) = min(x,y)max(x^p,y^q)},

T(x,y) = (xy)min(1,x^p+y^q),

T(x,y) = xy(x^p+y^q -x^py^q).

В работе [12] были предложены методы генерации более общего класса конъюнкций, называемых G-конъюнкциями и определяемых условием монотонности и условиями T(0,0) = T(0,1)= T(1,0)= 0, T(1,1) = 1. Такие конъюнкции могут быть сгенерированы следующим образом

T(x,y) = f(T₁(g(x),h(y))),

где T₁ это G-конъюнкция, а f, g, h:[0,1][0,1] - неубывающие функции такие, что f(0)= g(0)= h(0)=0, f(1)= g(1) = h(1) = 1. Примерами G-конъюнкций являются следующие функции (p,q 0):

T(x,y) = min(x^p,y^q),

T(x,y) = x^py^q.

В работе [9] были рассмотрены обобщения этих конъюнкций на случай, когда в качестве параметров могут использоваться произвольные вещественные числа. Таким образом, введение в рассмотрение обобщенных классов операций нечеткой конъюнкции позволило предложить более простые параметрические классы этих операций. Ряд введенных параметрических операций конъюнкции использовался в задачах оптимизации нечетких моделей по параметрам операций [3, 9-13]. На тестовых примерах показано, что оптимизация нечетких моделей по параметрам операций конъюнкции может быть использована вместо или в дополнение к оптимизации параметров функций принадлежности и позволяет уменьшать ошибку аппроксимации данных нечеткими моделями по сравнению с традиционными подходами к построению оптимальных нечетких моделей.

Несмотря на то, что основные операции нечеткой логики были введены более, чем 35 лет тому назад, до сих пор продолжаются активные попытки найти новые классы этих операций, интересные либо с теоретической либо с практической точки зрения. Основные исследования ведутся в рамках t-норм и t-конорм, уже ставших классическим объектом исследований в нечеткой логике. Кроме этого ведутся интенсивные исследования по обобщению этих операций. Это обобщение ведется в следующих направлениях: пересмотр аксиоматики этих операций, в частности исследование неассоциативных операций конъюнкции; введение классов операций, включающих в себя свойства этих операций; рассмотрение в качестве множества значений истинности вместо интервала [0,1] линейно и частично упорядоченных множеств [23, 31, 32, 39, 40 - 41]. Свойства инволютивных и неинволютивные отрицаний исследовались в работах [14,15, 21, 37]. Полученные новые классы операций находят применение как в чисто теоретических исследованиях, так и в нечетком моделировании.

Работа выполнена при частичной поддержке АН РТ.

Литература

Аверкин А.Н., Батыршин И.З., Блишун А.Ф., Силов В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/ Под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.

Батыршин И.З. Меры энтропии и метрические свойства алгебры нечетких множеств // Нечеткие системы: моделирование структуры и оптимизация. - Калинин: КГУ, 1987. - С. 4-16.

Батыршин И.З. Параметрические классы нечетких конъюнкций в задачах оптимизации нечетких моделей// Исследования по информатике. Вып. 2. ИПИАН РТ. - Казань: Отечество, 2000. - С. 63-70.

Биркгоф Г. Теория решеток. - М.:Наука, 1984.

Alsina C., Trillas E., Valverde L. On Some Logical Connectives for Fuzzy Sets Theory// J. Math. Anal. Appl. -1983. -Vol. 93. - P.15 - 26.

Aczel J. Lectures on Functional Equations and Their Applications. - New York: Academic Press, 1966.

Batyrshin I.Z. On Fuzzinesstic Measures of Entropy on Kleene Algebras// Fuzzy Sets and Systems. -1990. - Vol. 34, №1. - P.47-60.

Batyrshin I.Z. Measures of Fuzziness and Interval Subalgebras of Kleene Algebras// Uncertainty measures. 13th Linz Seminar on Fuzzy Set Theory (Linz, Austria, 1991), p.12-13.

Batyrshin I.Z. Generalized Parametric Conjunction Operations in Fuzzy Modeling // Fuzzy Control. Theory and Practice/ Ed. by R. Hampel, M. Wagenknecht, N. Chaker. - Heilderberg; New York: Physica-Verlag, 2000. (Advances in Soft Computing). - P. 88-97.

Batyrshin I., Bikbulatov A., Kaynak O., Rudas I. Functions Approximation Based on the Tuning of Generalized Connectives // Proceedings of EUROFUSE - SIC '99 (Budapest, 1999), p.556-561.

Batyrshin I., Kaynak O. Parametric Classes of Generalized Conjunction and Disjunction Operations for Fuzzy Modeling // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. - 1999. - Vol. 7, №5. - P. 586-596.

Batyrshin I., Kaynak O., Rudas I. Generalized Сonjunction and Disjunction Operations for Fuzzy Control // Proceedings of 6th European Congress on Intelligent Technologies & Soft Computing . Vol. 1. (EUFIT'98. - Aachen, 1998). - P. 52-57.

Batyrshin I., Motygullin A., Panova A. Generalized Conjunctions and Modifiers in Optimization of Mamdani Models// Proceedings of East-West Fuzzy Colloquium 2000 (Zittau, Germany, 2000), p.77 - 81.

Batyrshin I., Wagenknecht M. Noninvolutive Negations on [0,1]// J. Fuzzy Mathematics. - 1997. - Vol. 5, №4. - P.997-1010.

Batyrshin I., Wagenknecht M. Contracting and Expanding Negations on [0,1]// J. Fuzzy Mathematics. 1998. - Vol. 6, №1. -P.133-140.

Bellman R.E., Giertz M. On the Analytic Formalism of the Theory of Fuzzy Sets// Inform. Sci. -1973. - Vol. 5. -P.149-156.

Brignole D., Monteiro A. Caracterisation des algebres de Nelson par des egalites. - Proc. Japan. Acad. -1967. - Vol. 43, №4. - P.279-285.

De Luca A., Termini S. A Definition of a Non-Probabilistic Entropy in the Setting of Fuzzy Sets Theory// Information and Control. -1972. - Vol. 20. - P.301-312.

Dombi J., Vas Z. Basic Theoretical Treatment of Fuzzy Connectives// Acta Cybernet. -1983. -Vol. 6. - P. 191-201.

Dubois D., Prade H. A Review of Fuzzy Set Aggregation Connectives// Inform. Sci. -1985. -Vol. 36. - P.85-121.

Esteva F., Trillas E., Domingo X. Weak and Strong Negation Functions for Fuzzy Set Theory// Proc. 12th Int. Symp. on Multiple-Valued Logic, (Norman, 1981), p. 23-26.

Frank M. J. On the Simultaneous Associativity of F(x,y) and x + y -F(x,y) // Aequat. Math. -1979. - Vol. 19. - P.194-226.

Jenei S. Fibred Triangular Norms// Fuzzy Sets and Systems. -1999. - Vol. 103. - P.67-82.

Kalman J.A. Lattices with Involution// Trans. Amer. Math. Soc. -1958. - Vol. 87.- P.485- 491.

Kimberling C. On a Class of Associative Functions// Publ. Math. Debrecen. -1973. -Vol 20. - P.21-39.

Klement E. P. Construction of Fuzzy -algebras Using Triangular Norms// J. Math. Anal. Appl. -1982. - Vol. 85. - P. 543-565.

Knopfmacher J. On Measures of Fuzziness// Journal of Mathematical Analysis and Applications. -1975. -Vol. 49. -P.529-534.

Ling C.H. Representation of Associative Functions// Publ. Math. Debrecen. -1965.-Vol.12. - P.189-212,

Menger K. Statistical Metric Spaces// Proc. Nat. Acad. Sci. USA.-1942. -Vol.28. -P.535-537.

Rasiowa H. An Algebraic Approach to Non-Classical Logics.-Amsterdam: North-Holland, 1974.

Roychowdhury S. New Triangular Operator Generators for Fuzzy Systems// IEEE Trans. Fuzzy Syst., 1997. - Vol. 5. - P.189-198,

Rudas I. J., Kaynak M. Entropy-Based Operations on Fuzzy Sets// IEEE Trans. Fuzzy Syst. 1998. - Vol. 6. -P.33 - 40.

Skala H.J. On Many-Valued Logics, Fuzzy Sets, Fuzzy Logics and Their Applications// Fuzzy Sets and Systems. - 1978. -Vol.1. - P.129 - 149.

Schweizer B., Sklar A. Associative Functions and Statistical Triangle Inequalities// Publ. Math. Debrecen.-1961. - Vol. 8. - P.169 - 186.

Schweizer B., Sklar A. Associative Functions and Abstract Semigroups// Publ. Math. Debrecen. -1963. - Vol.10. - P.69-81.

Schweizer B., Sklar A. Probabilistic Metric Spaces. -Amsterdam: North-Holland, 1983.

Trillas E. Sobre funciones de negacion en la teoria de conjunctos diffusos// Stochastica. -1979. - Vol. 3. - P.47-59.

Weber S. A General Concept of Fuzzy Connectives, Negations and Implications Based on t-norms and t-conorms// Fuzzy Sets and Systems. -1983. - Vol.11. -P.115-134.

Yager R.R On a General Class of Fuzzy Connectives// Fuzzy Sets and Systems -1980. - Vol. 4. - P. 235-242.

Yager R.R., Rybalov A. Uninorm Aggregation Operators// Fuzzy Sets and Systems. -1996. -Vol.80. - P.111-120.

Yager R.R. Uninorms in Fuzzy Systems Modeling// Fuzzy Sets and Systems.- 2001.- Vol.122. -P.167 -175.

Zadeh L.A. Fuzzy Sets// Inform. Contr.. - 1965. -Vol. 8. -P.338-353.

Zadeh L.A. A Fuzzy-Algorithmic Approach to the Definition of Complex or Imprecise Concepts// Internat. J. Man-Mach. Stud. -1976. -Vol. 8. -P. 249 - 291.

Размещено на Allbest.ru

...