Неясність та некласичні значення істинності: багатозначні теорії неясності

Размещено на http://allbest.ru

6

Київський міжнародний університет

Неясність та некласичні значення істинності: багатозначні теорії неясності

Шарко О. В.,

кандидат філософських наук, викладач

Україна, Київ

Більшість виразів природної мови є неясними (vague). Загальноприйнятою є думка, що явище неясності (vagueness) створює серйозні складнощі для класичної логіки та семантики, для перспективи побудови теорії значення природних мов.

Вирази, що мають спірні випадки застосування (так загалом характеризують неясність), видаються ні істинними, ні хибними, дієвість щодо них закону виключеного третього та інших класичних законів ставиться під сумнів, а парадокс сориту (клас парадоксів на кшталт парадоксу «Купа» або «Лисий») ставить під питання правильність багатьох фундаментальних правил виводу (наприклад, математичної індукції або modus ponens).

Очевидно, що принцип двозначності є проблематичним для мов, які містять неясні вирази. Висловлювання з неясними предикатами, що застосовуються до спірних випадків, здається, неможливо класифікувати як істинні, або як хибні (але промовляючи їх усе-таки сказано, що щось має місце). Це може спонукати до пошуку такої схеми класифікації висловлювань, яка має більше ніж два значення істинності.

Можливо, щоб враховувати неясність, необхідне третє значення істинності «ні істинний, ні хибний» або цілий спектр нових значень істинності на кшталт «істинний до такого-то ступеню». Оскільки людське мислення здебільшого відбувається в рамках мов, що містять неясні вирази, то цілком природним буде пошук логічної системи, яка спирається на нову багатозначну схему класифікації висловлювань, подібно до того як класична система спирається на двозначну схему.

Застосування багатозначної логіки було однією з перших спроб формального підходу в дослідженні явища неясності. Багатозначні системи, що застосовуються до феномену неясності, можуть сильно різнитися одна від одної у багатьох аспектах (наприклад, кількість значень істинності, семантика логічних сполучників та кванторів, поняття правильності міркування та, відповідно, набір логічних законів).

Що стосується кількості значень істинності та того, як їх розуміти, то в багатозначних теоріях зазвичай обирається одна з двох можливостей: або приписується всім спірним випадкам одне проміжне значення, яке інтерпретується як «невизначено (неясно)» (це веде до тризначної логіки), або обирається логіка з нескінченою кількістю значень, в якій множина значень зазвичай представлена дійсними числами в проміжку [0, 1], де 0 відповідає повній хибі, 1 відповідає повній істині, а проміжні значення інтерпретуються як ступені (degree) істини (тому такі теорії називаються «ступеневими теоріями» (degree theories')).

Тризначні теорії неясності. Більшість запропонованих багатозначних теорій неясності є істинно- функціональними (truth-functional), тобто вони, як і класична логіка та семантика, приймають принцип, згідно з яким значення істинності складного речення залежить лише від значень його речень-складників.

Можливих істинно-функціональних систем є багато, однак, не всі вони можуть бути серйозними кандидатами на роль теорії неясності: «лише проста багатозначність системи не дає гарантій, що така система є придатною для виконання завдання [яке стоїть перед теорією неясності]» [7, с. 182]. Зокрема, будь-яка логіка неясності повинна бути «нормальною» в тому значенні, що коли складне речення має складники, які є або повністю істинними, або повністю хибними, тоді його значення повинно співпадати із значенням, яке воно отримало б у класичній системі.

Таке обмеження виникає, оскільки вважається, що класична логіка є неадекватною лише коли має справу із спірними випадками, які характерні для неясних предикатів, оскільки тоді предикати мають проміжні значення істинності. Однак це не повинно породжувати складнощів для класичної логіки, якщо відсутня подібна невизначеність та всі значення істинності є класичними.

Перші спроби розвинути багатозначну логіку для дослідження явища неясності застосовували тризначну логіку (наприклад, С. Галден «The Logic of Nonsense» (1949)). З-поміж сучасних дослідників, які використовують тризначну логіку, можна назвати М. Тая [6]. Розглянемо застосування тризначної логіки для пояснення неясності на прикладі його теорії.

М. Тай приймає три значення істинності: істинно, хибно та невизначено (indefinite), і застосовує тризначну логіку у першу чергу для вирішення парадоксу сориту, що породжується неясністю предикатів. Відповідно до семантики, яку він приймає, логічні сполучники ~, Л, V, ^ є істинно-функціональними. М. Тай також приймає обмеження, що стосується «нормальності» системи, згідно з яким якщо складне висловлювання має складники, що є або істинними, або хибними, то його значення істинності має співпадати із значенням, яке воно отримало б у класичній системі. Він наводить міркування стосовно окремих сполучників, які направлені на те, щоб виокремити логіку, яка, як він стверджує, належним чином схоплює неясність - а саме, тризначна логіка Кліні.

Наприклад, «кон'юнкція є істинною, якщо обидва кон'юнкти є істинними, хибною, якщо якийсь з кон'юнктів є хибним, у всіх інших випадках вона є невизначеною» [6, с. 287].

Визначення логічних сполучників М. Тай дає такі (Т - істина, F - хиба, І -невизначено):

Тай зазначає, що його теорія не дає класичних тавтологій, тобто формул, що завжди є істинними. Наприклад, закон виключеного третього не є тавтологією, оскільки pV~p є невизначеним, коли р невизначене. Класичний закон тотожності також є невизначеним, коли р невизначене (хоча є не таким очевидним, що істинність положення «Якщо р, то р» повинно бути поставлене під питання лише тому, що є неясним). Однак, М. Тай зазначає, що ці і інші класичні закони принаймні ніколи не є хибними. І для позначення цього він використовує термін «квазі-тавтологія».

Квантори в теорії задаються таким чином: є істинним, якщо Fx є істинним для деяких значень х, є хибним, якщо Fx є хибним для всіх значень х, і є невизначеним в усіх інших випадках; є істинним, якщо Fi є є істинним для всіх значень х, є хибним, якщо Fx є хибним для деяких значень х, і є невизначеним в усіх інших випадках.

М. Тай приймає таке визначення правильності міркувань, згідно з яким головним є збереження істинності, тобто якщо засновки є істинними, то і висновок повинен бути істинним. Це дозволяє йому розглядати типове міркування, що породжує парадокс сориту, як правильне, тому хибність його висновку вказує на те, що один із засновків не є істинним, тобто є або хибним, або невизначеним. Він стверджує, що насправді індуктивний засновок соритичного міркування є невизначеним, оскільки висловлювання «Якщо Fx то Fx+1» буде невизначеним, коли х. та х+1 є спірними випадками предикату F.

Ступеневі теорії неясності. Для обгрунтування використання нескінченої кількості значень, що повинні відповідати ступеням істинності, приводять міркування на кшталт: «Якщо F є типовим неясним предикатом, тоді одна річ може бути більш F, ніж інша. А якщо щось може бути F у різному ступені, тоді «х є F» може бути істинним у різній мірі: якщо, скажімо а є F у ступені 0.5, то ні «а є F», ні «а є не-F» не можуть одночасно бути істинними, радше обидва є істинними в ступені 0.5».

Для ілюстрації уявімо пляму, яка чорніє і при цьому поступово переходить від білого до чорного кольору. У кожний момент цього переходу пляма є чорнішою, ніж у попередній, тобто чорнота має різні ступені. Пляма є чорнішою в більшому ступені, ніж вона була за секунду до того (навіть якщо різниця є занадто малою для того, щоб бути поміченою неозброєним оком). Припустимо, що проміжок часу має стільки ж моментів, скільки існує дійсних чисел у проміжку між 0 та 1, тоді існує щонайменше стільки ж ступенів чорноти, скільки існує дійсних чисел у проміжку [0,1], тобто нескінчена кількість. На початку переходу плями від білого до чорного кольору висловлювання «Пляма є чорною» є повністю хибним, оскільки пляма біла. У кінці переходу, це висловлювання є повністю істинним, оскільки пляма чорна. У середині - висловлювання є істинним лише до того ступеню, до якого пляма є чорною. Таким чином істина також має різні ступені: існує стільки ж ступенів істинності, скільки є дійсних чисел у проміжку між 0 та 1. Ці числа і використовуються для позначення ступенів істинності.

У цій ситуації, застосування семантики зі скінченною кількістю значень істинності мусить розподіляти поступовий і неперервний процес чорніння на скінченну послідовність дискретних сегментів, що відповідають різним значенням істинності, які речення «Пляма є чорною» може мати. Однак кожний окремий вибір цих сегментів видається довільним. Тому ступеневі теорії здаються більш прийнятним, оскільки вони обіцяють уникнути цієї довільності у виборі.

Технічна частина ступеневих теорій переважно Грунтується на працях Л. Заде, присвячених нечіткій {fuzzy) логіці та нечіткій теорії множин {«Fuzzy sets» (1965), «Fuzzy logic and approximate reasoning» (1975)). Однак сам Л. Заде мав на меті застосування нечіткої логіки до проблем програмування та обчислення. Застосування логіки з нескінченою кількістю значень істинності для дослідження явища неясності можна знайти в працях Дж. ТоГена [2], К. Мачіни [4], Д. Еджінгтон [1]. Розглянемо більш детально теорію запропоновану К. Мачіною в статті «Truth, belief and vagueness» (1976) [2].

К. Мачіна приймає нескінчену кількість значень істинності, що представлені множиною дійсних чисел у проміжку [0,1] і які відповідають ступеням істинності. Семантика, яку він обирає є істинно-функціональною, або, як її ще називають, коли значеннями істинності є ступені істинності, ступенево-функціональною {degree-functional). К. Мачіна пропонує такі визначення логічних сполучників (вони співпадають із системою Я. Лукасевича):

К. Мачіна надає перевагу такому визначенню правильності міркувань, яке тлумачить правильність як збереження істинності таким чином: міркування є правильним, коли висновок є принаймні настільки ж істинним, наскільки істинним є найменш істинний засновок.

Він також пояснює, як це поняття правильності може бути так узагальнене, що міркування, яке не є правильним, може бути оцінене відповідно мірі, до якої воно зберігає ступінь істинності: коли міркування не є (повністю) правильним, тоді чим менше різниця в істинності між найменш істинним засновком та висновком, тим у більшому ступені правильним є міркування.

Використовуючи таке визначення правильності, можна оцінити правильність міркувань, що ведуть до парадоксу сориту. Розглянемо версію парадоксу, яка складається із серії засновків-імплікацій на кшталт «Якщо Fx, то Fx+1». У спірних випадках значення істинності Fx.+1 буде нижчим, ніж у Fx.. Однак, у типовій серії сориту, в якій відмінність суміжних членів є достатньо малою, різниця в послідовних значеннях істинності завжди буде малою і тому, зважаючи на визначення імплікації, яке дає К. Мачіна, «Якщо Fx ., то Fx.+1» буде принаймні майже істинним для кожного і.

Отже, оскільки перший засновок Fx0 є істинним у повній мірі, усі засновки будуть (принаймні) майже істинними. Оскільки в парадоксі сориту відбувається перехід від майже істинних засновків до висновку Fxn, який є повністю хибним, то міркування є неправильним.

Неясність вищого порядку, чіткі межі та проблема штучної точності. Вважається, що явище неясності вищого порядку створює найбільші складнощі при побудові багатозначної теорії неясності (див. [З, с. 112-124; 7]). Складнощі, які виникають у зв'язку з явищем неясності вищого порядку, зазвичай розглядають як головну причину переходу від тризначних логік до логік з нескінченою кількістю значень.

Зокрема, традиційна тризначна логіка неспроможна моделювати ієрархію спірних випадків поза першим рівнем. Спірний випадок спірного випадку (спірний випадок другого порядку), який розташований між спірними та певними випадками, не вписується в тричлену класифікацію (так само як не вписується в двочлену класифікацію спірний випадок першого порядку).

Стандартний тричленний підхід, сформульований за допомогою точної метамови, замінює чітку межу між істиною та хибою (що наявна в класичній логіці) на дві чіткі межі: одну між істиною та спірними випадками, а іншу між спірними випадками та хибою.

Тому, наприклад, буде існувати такий волосок, видалення якого буде мати значення для того, чи вважати застосування стосовно когось предикату «лисий» сумнівним, або вважати цю людину лисою.

Однак, визнання існування подібних чітких меж у спірних випадків є недопустимою рисою для будь- якої теорії неясності. Більше того, виникає питання, що може визначати точне розташування (унікальних) чітких меж у спірних випадків?

Таким чином, визнання того, що спірні випадки мають невизначене значення істинності проблеми не вирішує, а лише переносить її на інший рівень. Не вирішує проблему також теза про те, що «невизначено» насправді є не значенням істинності, а провалом в значеннях істинності: чіткі межі між значеннями істинності та істиннісно-значними провалами так само є неприйнятні.

Аналогічні проблеми виникають також для будь- якої логіки з конечною кількістю значень істинності: для кожної з них характерними є чіткі межі та стрибкоподібні переходи в значеннях істинності.

Наприклад, для того, щоб змоделювати неясність першого та другого порядків, можна використати п'ятизначну логіку, де два додаткових значення істинності відповідають двом різновидам спірних випадків спірних випадків (одного - спірного випадку між істиною та областю спірних випадків, іншого - спірного випадку між областю спірних випадків та хибою).

Однак п'ятизначна логіка зіштовхується з тими самими запереченнями (проти можливості існування чітких меж між спірними випадками спірних випадків), які висувались проти тризначної логіки у зв'язку із неможливістю існування чіткої межі у спірних випадків першого порядку. Неперервність області означування, здається, вимагає нескінечної кількості значень істинності.

Однак, хоча ступеневі теорії передбачають неперервний, поступовий перехід від абсолютної істини до абсолютної хиби, вони врешті-решт не уникають визнання існування чітких меж. Зокрема, залишається чіткий поділ на висловлювання, що мають значення істинності 1 (тобто абсолютно істинні висловлювання), та всіма висловлювання, що мають значення істинності менше за 1.

Як наслідок, має існувати, наприклад, остання особа в соритичній серії, яка є високою в ступені 1, і, отже, не залишається простору для спірних випадків вищих порядків між такими особами та спірним випадком застосування предикату «є високий».

Таким чином, подібно до тризначних теорій, ступеневі теорії порушують вимогу (яку повинен дотримуватися будь-який опис неясності) уникнення будь-яких чітких меж у неясних виразів.

Складнощі, які постають перед ступеневими теоріями у зв'язку із неясністю вищого порядку, пов'язують із іншою проблемою: звинуваченням у тому, що ступеневі теорії нав'язують точність у формі, яка є ще більш неприйнятною, ніж класичне приписування істини або хиби.

Хоча теорія уникає визначеності стосовно того, чи застосовується F до а, однак вона робить це таким чином, що нав'язується визначеність стосовно ступеню, до якого застосовується F до а. Зокрема, якщо семантика багатозначної логіки описується за допомогою точної метамови, то всім висловлюванням завжди приписується точне значення істинності, оскільки метамовні висловлювання, що приписують ступінь істинності, самі будуть або істинними, або хибними.

Наприклад, метамовне твердження «Висловлювання «Ця куртка червона» є істинним у ступені х» буде (абсолютно) істинним для одного значення х, та (абсолютно) хибним для всіх інших значень х. Таким чином, х буде точним та (унікально) правильним значенням, яке можна приписати висловлюванню «Ця куртка червона». Аналогічно, усі інші приписування предикату «є червоний» будуть отримувати унікальне, точне значення ступеню істинності.

Однак видається недоречним асоціювати неясний предикат «є червоний» з будь-якою точною функцією, що зв'язує предмети із ступенями істинності, оскільки тоді виникає питання, що може визначати функцію, яка встановлює, що куртка є червоною до ступеню 0.322, а не 0.321.

Цю проблему називають «проблемою штучної точності» {problem of artificial precision) [5]. Коротко охарактеризувати проблему штучної точності для сту- пеневих підходів можна так: є штучним/неймовірним/ недоречним пов'язувати кожен неясний предикат із функцією, що приписує по-одному окремому значенню істинності (дійсне число в проміжку між 0 та 1) кожному з об'єктів (ступенем наявності певної властивості у об'єкта, що позначається предикатом); відповідно, є штучним/неймовірним/недоречним пов'язувати кожне неясне висловлювання в природній мові з окремим нечітким значенням істинності (ступенем істинності висловлювання).

У літературі щодо проблеми неясності (див. [З, с. 112-124; 5]) можна зустріти шість типів відповідай на проблему неясності вищого порядку та проблему штучної точності, які виникають перед ступеневими теоріями.

1) Нечіткий епістеміцизм. Прибічники даного підходу у відповідь на проблему штучної точності стверджують, що кожне неясне висловлювання (наприклад, «Петро є високим») насправді має унікальне нечітке значення (наприклад, 0.4), однак ми цього значення не знаємо (або не знати можемо). Отже, складність при приписувані унікального значення істинності неясним висловлюванням пояснюється нашим незнанням.

Таким чином, базова нечітка теорія неясності може бути збережена, разом із припущенням, що кожне неясне висловлювання отримує унікальне нечітке значення істинності (подібним чином епістемічна теорія неясності дозволяє зберегти класичну логіку та семантику для неясних мов). Відповідно, згідно з нечітким епістеміцизмом, неясності вищого порядку (подібної до неясності першого порядку) не існує та приймається точна метамова.

2) Ступінь істинності як порядкова шкала (інструменталізму приписувані істинності). Цей підхід полягає в тлумаченні приписування нечітких значень істинності як такого, що вказує лише на відносний порядок цих значень. Відповідно, приписування висловлюванню «Петро є високим» ступеню істинності 0.5, а висловлюванню «Іван є високим» ступеню істинності 0.6 не означає унікально правильного приписування значень істинності: ми могли б приписати будь- які інші значення істинності, важливим є лише те, що перше висловлювання має менший ступінь істинності ніж друге.

3) Логіка неясності як модель. За такого підходу ступенева (нечітка) теорія неясності розглядається суто як модель семантики неясних мов, а унікальне приписування нечітких значень є лише артефактом цієї моделі (тобто тим аспектом моделі, що не має на меті репрезентувати щось наявне в об'єкті моделювання). логіка семантика неясність істина

Відповідно, проблема штучної точності не є справжньою проблемою, оскільки унікальне приписування нечітких значень істинності не є тим аспектом моделі, що повинен відповідати чомусь реально існуючому в неясних мовах.

4) Неясна метамова. Головна ідея цього підходу полягає в тому, щоб надати семантику неясної мови, що приписує дійсні числа в якості значень істинності, а потім стверджувати, що метамова, в якій відбуваються приписування цих значень істинності сама підлягає тлумаченню в термінах запропонованої семантики неясних мов.

5) Отже, твердження «Ступенем істинності висловлювання «Петро є високим» є 0.4» не є просто істинним або хибним: воно також отримує проміжне значенні істинності. Отже, не лише одне речення, що має форму «Ступенем істинності висловлювання «Петро є високим» є х» є істинним, а всі інші хибними, радше, багато з них є істинними до деякого ступеня. Отже, можна сказати, що кожному неясному висловлюванню в природній мові приписується не єдине унікальне нечітке значення істинності, і таким чином вирішується проблема штучої точності.

6) Нечіткі множини. Цей підхід залучає таку логічну систему, в якій значення істинності є не реальні числа в проміжку [0,1], а, радше, ступеневими функціями (degree functions). Цей підхід подібний до попереднього тим, що існує ієрархія тверджень, кожне з яких не каже остаточного значення істинності висловлювання (наприклад, висловлювання «Петро є високим»).

Головна відмінність полягає в тому, що неясні метамови залучають ієрархію приписувань простих значень істинності, а нечіткі множини залучають єдине приписування складного значення істинності (тобто значення істинності, що має внутрішню ієрархічну структуру).

7) Теорія багато--оцінювання (plurivaluationism) заперечує, що існує унікальна виділена модель. Іноді (у випадку неясних висловлювань) може існувати багато прийнятних моделей, жодна з яких не є унікально пов'язаною із питанням справжнього значення та істинності деякого висловлювання.

Теорію багато-оцінювання треба відрізняти від теорії над-оцінювання. Згідно з теорією багато-оцінювання, промовляння неясного твердження відбувається у зв'язку із багатьма моделями («допустимими моделями»), а не однією «виділеною» моделлю.

Натомість теорія над-оцінювання залучає одну виділену модель, яка є некласичною, та класичні розширення цієї моделі. Відповідно, за теорією багато-оцінювання, не існує жодного унікально правильного приписування значення істинності до висловлювання «Петро є високим». Натомість існують численні, однаково правильні приписування: кожна є правильною у допустимій моделі. Таким чином вирішується проблема штучної точності.

Висновок

Багатозначні теорії приписують реченням у спірних випадках некласичні значення істинності: або одне проміжне значення «невизначено», або якесь із нескінченної множини значень, які можна представити множиною дійсних чисел у проміжку [0,1], де 1 відповідає повній істині, а 0 - повній хибі. Тому для пояснення міркувань, що містять неясні вирази, багатозначні теорії застосовують відповідні некласичні системи логіки (тризначну або нечітку логіку).

Явище неясності вищого порядку створює найбільші складнощі при побудові багатозначної теорії неясності. Складнощі, які виникають у зв'язку з явищем неясності вищого порядку, зазвичай розглядають як головну причину переходу від тризначних логік до логік з нескінченою кількістю значень. Зокрема, традиційна тризначна логіка неспроможна моделювати ієрархію спірних випадків поза першим рівнем. Однак, хоча ступеневі теорії передбачають неперервний, поступовий перехід від абсолютної істини до абсолютної хиби, вони врешті-решт не уникають визнання існування чітких меж.

Список використаних джерел

1. Edgington D. Vagueness by degrees / D. Edgington H Vagueness: A Reader / Ed. by R. Keefe and R Smith. - Cambridge: MIT Press, 1996. - P.294-316.

2. Goguen J. A. The logic of inexact concepts / J. A. Goguen // Synthese. - 1969. - V.19. - P.325-373.

3. Keefe R. Theories of Vagueness / R. Keefe. - Cambridge: CUP, 2000. - 233 p.

4. Machina K. F. Truth, belief and vagueness / K. F. Machina // Vagueness: A Reader / Ed. by R. Keefe and P. Smith. - Cambridge: MIT Press, 1996. - P.174-203.

5. Smith N. Fuzzy logic and higher-order vagueness / N. Smith // Logical Models of Reasoning with Vague Information / Ed. by Petr Cintula, Chris Fermuller, Lluis Godo & Petr Hajek [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www-personal.usyd.edu. au/~njjsmith/papers/SmithFuzLogHOVag.pdf

6. Туе М. Sorites paradoxes and the semantics of vagueness / M. Tye // Vagueness: A Reader / Ed. by R. Keefe and P. Smith. - Cambridge: MIT Press, 1996. - P.281-293.

7. Williamson T. Vagueness / T. Williamson. - London: Routledge, 1994. - 325 p.

Анотація

Неясність та некласичні значення істинності: багатозначні теорії неясності. Шарко О. В., кандидат філософських наук, викладач, Київський міжнародний університет (Україна, Київ), sharko-oleg@ukr.net

Явище, яке відоме під назвою «неясність», є однією з найбільш досліджуваних проблем в сучасній аналітичній філософії та логіці. Думка про те, що для моделювання явища неясності можна використовувати багатозначну логіку, віднаходимо вже на початку виникнення дослідницької програми, що зосереджена на аналізі явища неясності. Однак в останній час на перший план виходять інші теорії неясності, наприклад, теорія над--оцінювання.

Annotation

Vagueness and non-classical truth values: many-valued theories of vagueness. Sharko О. V., PhD, lecturer of Kyiv International University (Ukraine, Kyiv), sharko-oleg@ukr.net

The problem of vagueness is arguably one of the most discussed topics in modern analytic philosophy and logic. The idea to use many-valued logic -when trying to model vagueness of natural languages was one of the first attempt to construct a formal theory of vagueness. But recently other theories (for example, supervaluationism) took the center stage. The purpose of these article is to analyze the interpretation of vagueness and resolution of the problem of vagueness by three-valued and degree theories, as well as to analyze the prospects of many-valued theories as adequate theories of vagueness. Also in the focus of the article 'was the problem of higher--order vagueness and its reflection in many-valued theories as it constitutes one of the main hurdles for the project of constructing a formal theory of vagueness in general and many-valued theory of vagueness in particular.

Keywords: vagueness, sorites paradox, many-valued logic, fuzzy logic, higher- order vagueness.

Размещено на Allbest.ru