Понятие "Доказательства" в методологии греческой натурфилософии и математики в V-IV веках до Рождества Христова

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1

УДК 61; 930.1

Понятие «Доказательства» в методологии греческой натурфилософии и математики в V - IV вв. до Р. Х.

The concept of "Evidence" in the methodology of Greek natural philosophy and mathematics in V - IV B.C.

Балалыкин Дмитрий Алексеевич профессор, заведующий кафедрой истории Первого МГМУ

Давыдов Борис Вячеславович преподаватель кафедры истории медицины, истории Первого МГМУ

Аннотация

Статья посвящена важнейшему для историков науки вопросу: как складывалась традиция методов доказательства на раннем этапе развития греческой натурфилософии в V - IV вв. до Р. Х.? Предметом анализа авторов данной статьи становится одна из наиболее сложных задач для ученых протононаучного этапа: значение математической логики и натурфилософской теории в зарождении понятия «доказательства» в естественных науках. Принципы доказательной медицины были оформлены окончательно в галенизме. Как становится ясным из статьи, причинно-следственные связи между развитием математики, медицины и натурфилософии, в целом, гораздо менее прояснены применительно к V-IV вв. до Р. Х.

Ключевые слова: греческая натурфилософия, доказательство, галенизм, история науки, история медицины

The article is devoted to the most important question for historians of science: How the tradition of methods for proving was formed at an early stage of development of Greek natural philosophy in the V - IV centuries B.C.? The subject of analysis of this article is the one of the most challenging tasks for scientists of prescientific stages (before XVII century): the meaning of mathematical logic and the theory of natural philosophy in the origin of the concept of "evidence" in the natural sciences. Principles of evidentiary medicine has been finally formed in galenism. According to the article causal relationship between the development of mathematics, natural philosophy and medicine in general, are less clarified in relation to V-IV centuries B.C.

Key words: Greek natural philosophy, evidence, galenism, history of science, history of medicine

математическая логика натурфилософия доказательство

В Античной традиции мы встречаем огромное внимание к искусству риторики. Еще в дописьменных обществах красноречие играло важную роль не только в сфере коммуникации, ставя искусного оратора на ту или иную ступень общественного признания [17]. Способность к привлекательному для аудитории, доказательному рассуждению имело и важное юридическое значение: в обществе родоплеменной демократии результат судебных решений определялся умением в выгодном свете представить свое дело, опросить свидетелей и т.п. В условиях демократии древнегреческого полиса публичное обсуждение жизненно важных вопросов являлось основным механизмом выработки консенсусных решений. На совокупность социальных и культурологических факторов, вытекающих из этого обстоятельства, не часто обращают внимание историки науки. Между тем, выработка системы доказательств того или иного утверждения, возникшая как насущная потребность общественной жизни в рамках специфического уклада древнегреческого общества в VI - IV вв. до Р.Х., имела большое значение для развития натурфилософии того времени [14].

Для историков науки имеют значение следующие вопросы: как складывалась традиция методов доказательства на раннем этапе развития философии? В современной историографии эта проблема исследована недостаточно. С одной стороны, в специальной литературе стало общепринятым связывать зарождение естественных наук с явлениями ранней греческой натурфилософии - ионийской физики, пифагорейской школе и пр. [2,8]. С другой стороны, понятие «доказательство», как научно-обоснованного, истинного суждения возникает в специальной литературе применительно к работам греческих ученых позднее IV века до Р. Х. - в развитии идей Платона и Аристотеля [1]. Задачи данной статьи - попытаться восполнить этот пробел. Первое последовательное дедуктивное рассуждение обнаруживается у Парменида, разграничивающего чувственное восприятие и абстрактную аргументацию [15,24]. Однако у него отсутствует даже четкая терминология для определения понятия «доказательство». Понимание «доказательства» софистами весьма нечеткое, хотя вполне подходящее для решения практических социальных проблем жизни полиса - например, в рамках утверждения, что факты изучаемого в суде дела и мотивы его участников точно установлены. Г. Е. Р. Ллойд указывает на использование Антифоном и Лисием терминов apodeiknomi, epideiknomi, apophaino [21]. Однако в источниках отсутствуют свидетельства о наличии в философской культуре софистов и близких к ним мыслителей формализации критериев доказательства [8].

Влияние такой культуры мы встречаем и в «Корпусе Гиппократа», несмотря на то, что его автор всячески подчеркивал свое несогласие с софистами. Главная причина негативного отношения Гиппократа к современным ему натурфилософам как раз и состояла в отрицании последними объективной познаваемости материального мира, столь очевидного для врача Косской школы. Отметим, что Гиппократ уверенно вводит в оборот термин «необходимость», описывая причинно-следственные связи между причиной болезни и ее симптомами, самим заболеванием и способами его лечения. Так, в работе «О природе человека» он рассуждает о необходимости применения тех или иных лекарств, доказывая это последующим выходом из человеческого тела тех или иных жидкостей под влиянием лечения (тем самым восстанавливается нарушенный патологией естественный баланс - «свет» организма) [3].

Д. А. Балалыкин, А. П. Щеглов и Н. П. Шок в своей работе подвергли анализу вопросы единства философской теории и медицинской практики во взглядах Галена [2]. Великий римский врач, создатель первой в истории медицины единой анатомо-физиологической системы прямо указывал на важнейшее значение знания математики и геометрии для деятельности образованного врача. В таком важном нарративном источнике, как работа Галена «О том, что лучший врач также и философ», мы видим свидетельство исключительной исторической значимости вопроса взаимовлияния натурфилософии и математики. Предметом анализа авторов данной статьи становится один из наиболее сложных вопросов античной протонауки: значение математической логики и натурфилософской теории в зарождении теории «доказательства» в естественных науках.

Историки науки находят большую часть иллюстраций античного подхода к доказательству в математике того времени. Однако, по мнению В.

Р. Кнорр (1975), несмотря на популярность тех или иных имен авторов аксиом и теорем - историческая реконструкция доэвклидовой математики остается сомнительной [19]. А. Сабо (1964, 1969) задает важнейший для интерпретации истории естественных наук в V-IV вв. до Р. Х. вопрос о влиянии философов элейской школы на возникновение идеи доказательства в математике [29,30]. По его мнению, прямых свидетельств «за» или «против» не существует. В целом в историографии выделяют 4 основных направления теоретических исследований в этой области.

Во-первых, это теория чисел, включая деление чисел на четные и нечетные, анализ некоторых элементарных положений о четных и нечетных числах, исследование плоскостных (треугольник, квадрат, прямоугольник, пятиугольник) и объемных (куба, пирамиды) геометрических фигур, получаемых при соответствующей расстановке точек [15].

Во-вторых, так называемую геронову традицию измерительной геометрии, занимавшуюся, например, проблемами измерения площади различных фигур на плоскости. Подобная измерительная геометрия практиковалась и в Египте, и в Вавилоне. Понятно, что греки заимствовали элементы этих традиций до Евклида, но как именно и когда - неизвестно [15,19].

В-третьих, существовала неизмерительная геометрия, представленная несколькими попытками решить три самые известные частные проблемы доплатоновской науки (квадратуру круга, трисекцию угла и построение куба двойного объема), в частности трудами Гиппократа Хиосского.

Наконец, есть и четвертая область исследований -- применение математики к музыке, которая увенчалась работами Архита Тарентского, современника Платона. Точкой пересечения интересов Архита к математике и музыке являлось его исследование по средним пропорциям [16,29].

Благодаря разнообразию объектов исследования, методы работы и представления о «доказательстве» в разных областях греческой математики были далеко неодинаковы и значительно различались по строгости. Так например, когда Прокл пишет, что Фалес якобы «доказал» (apodeixai) положение о том, что диаметр делит круг пополам, нам стоит сомневаться не только в том, что это сказал именно Фалес. Интересно, каким образом это утверждение могли доказывать ранние греческие математики? Прокл утверждает, что свои сведения о Фалесе заимствовал у Евдема. К этому утверждению надо подходить крайне осторожно, так как Фалес, возможно, вообще не оставил письменных трудов (даже Аристотель высказывается о нем с крайней осторожностью).

Следует обратить внимание на простой и ясный метод «аксиомы равенства» (седьмое общее утверждение Эвклида). Она гласит: «вещи, совпадающие друг с другом, равны друг другу» - и применяется в доказательстве теоремы 14-й «Начал» о равенстве двух треугольников по двум сторонам и углу между ними. На том же представлении могло основываться определение прямой как «того, что лежит вровень с точками, помещенными на нее». В ранних исследованиях четных и нечетных чисел понятие доказательства также, видимо, было нестрогим. До того, как теория чисел обрела аксиоматическую основу, утверждения, подобные «сумма множества четных чисел сама является четным числом», могли доказываться простым подсчетом на счетных палочках или нарисованных точках (так, например, полагает О. Бекер) [10].

О прикладной значимости геометрии напоминает нам фрагмент из диалога «Теэтет», в котором Сократ просит раба решить задачу по удвоению площади квадрата. Этот эпизод дает некоторое представление о геометрических методах в ранней античной науке. Платон в этом тексте выводит свою теорию знания как припоминания, но иллюстрирует он ее с помощью геометрии -- по тогдашним понятиям, элементарной. Сократ задает рабу ряд вопросов, утверждая, что не дает ему инструкций по решению предложенной задачи. При этом, как часто замечают, его вопросы носят наводящий характер. Сначала раб пытается решить задачу неправильными способами, а затем ему говорят, что он может указать на нужную линию, если он не может вычислить ее длину. Здесь, несомненно, имеется в виду несоизмеримость диагонали и стороны квадрата. В то же время Сократ этим признает, что раб может решить задачу просто по чертежу [4,5].

Иногда математики ранней античности использовали эвристические или практические методы, довольствуясь нестрогим и неформальным понятием о «доказательстве» [22]. В историографии есть мнение, что первые попытки структурированных дедуктивных доказательств предпринимались еще в V веке [20]. Г. Е. Р. Ллойд следующим образом анализирует этот вопрос, рассматривая знаменитый пример о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата [21]. В этой форме греческая математика решала то, что мы называем проблемой иррациональности квадратного корня из 2. Г. Е. Р. Ллойд указывает: «Хотя в других случаях часто есть смысл и даже необходимость различать открытие самой теоремы, с одной стороны, и нахождение доказательства, с другой, задача о несоизмеримости такова, что доказать ее решение можно только с помощью логической дедукции. В ср. введение к «Методу» Архимеда мы видим, что отношение объемов конуса и цилиндра, а также пирамиды и призмы было открыто Демокритом, а их доказательство было предложено только Евдоксом. Примерные значения квадратных корней из 2 и 3 зафиксированы в вавилонских источниках, но нет данных о том, знали ли вавилоняне, что отношение 1 и корня из 2 нельзя выразить в целых числах, а если знали, то придавали ли этому значение. Мы не можем сказать, кто первым предложил свое доказательство или который из возможных методов он использовал. Но из рассказа Платона о трудах Феодора мы можем понять, что во время жизни последнего математики уже знали решение этой задачи. Работал Феодор, видимо, на рубеже V и IV веков. И в той же книге Платон указывает, что Феодор сам исследовал дальнейшие несоизмеримые величины вплоть до стороны квадрата площадью 17 футов, то есть до корня квадратного из 17. То, что Феодор начал со стороны квадрата площадью в три фута, говорит о том, что квадрат площадью в два фута был уже изучен. Метод самого Феодора много обсуждался в литературе» [11,21].

Вопрос о том, как именно была изначально доказана несоизмеримость диагонали и стороны, остается дискуссионным. Одна интерпретация гласит, что это открытие было сделано благодаря применению антиферезиса -- алгоритма, выведенного у Евклида для целых чисел в гл. 7, 1-3 и для однородных величин в гл. 10, 2-4. Также Аристотель указывает на применение метода косвенного доказательства. Он использует в качестве примера доказательство того, что сторона и диагональ квадрата несоизмеримы. Сначала принимается за истину, что они соизмеримы, а затем из этого выводится невозможное следствие «нечетные числа равны четным» [9]. Доказательство такого типа появляется в «приложении» к 10 главе у Эвклида.

Таким образом, в историографии сложилось мнение о том, что к IV в. до Р. Х. был хорошо известен, по крайней мере, один метод строгого доказательства: редукционистский (по Г. Е. Р. Ллойду - reductio).

Кроме того, к концу V в. были предприняты первые попытки систематизировать отдельные сферы геометрии. Прокл указывает, что автором книги «Начал» был Гиппократ Хиосский, а несколько позднейших математиков, в том числе Архит и Теэтет, «увеличили количество теорем и расположили их более научным образом» [12]. Эвклид, по мнению Прокла, был лишь их достойным преемником. Труд Гиппократа Хиосского обычно датируется 430 г. до Р. Х.. Теэтет, бывший немного младше Платона, умер в 369 г. Сравним эти даты с общепринятой в специальной литературе датировкой «Корпуса Гиппократа» (Гиппократа Косского). Мы видим, что ко времени издания «Корпуса Гиппократа» в натурфилософии еще не сложилась методология эмпирического анализа и доказательства. В настоящей работе мы подчеркиваем, что история развития математики лишь подтверждает этот тезис.

Аристотель поясняет использование самого термина, именуя «началами» те положения геометрии, которыми пользуется большинство философов. Г. Р. Морроу (1970) считает, что у Платона начала и их сочетания разграничиваются также по математическим критериям [24].

Симпликий приводит длинную цитату из второй книги «Истории геометрии» Евдема о работе Гиппократа по квадратуре полумесяца. В издании Дильса в этом месте разделены предполагаемые цитаты из Евдема и собственные добавления автора, хотя его деление принято не всеми [7].

Евдем, в частности, пишет, что Гиппократ «для начала задал в качестве первой теоремы для квадратур то, что подобные круговые сегменты соотносятся как квадраты их оснований. Это он доказал, продемонстрировав, что квадраты диаметров окружностей соотносятся так же, как сами окружности».

Далее, по очереди, приводятся квадратуры полумесяцев с внешней дугой, которая больше, меньше или равна полуокружности, а затем квадратура суммы полумесяца и круга. [7,18]

Изучив этот самый сложный и подробный (из сохранившихся) пример математического сочинения пятого века, Г. Е. Р. Ллойд приходит к нескольким фундаментальным выводам [21]. Во-первых, Гиппократ использует строго доказательные методы - хотя доказательство теоремы о том, что круги соотносятся как квадраты их диаметров, сомнительно.

Далее Г. Е. Р. Ллойд исходит из доказанности большого числа теорем, которые соответствуют не только 1 и 2 главам у Евклида (например, расширение теоремы Пифагора на тупо- и остроугольные треугольники), но также большей части 3 и 4 глав (круг и вписанные многоугольники) и главе 6 [21,22]. В In Ph. 61.12 и далее «подобные сегменты» - это те, «которые составляют одинаковую часть соответствующего круга, как например полукруг подобен полукругу, а треть круга -- трети круга». Как замечает Т. Е. Хит (1921 г.) и мн. другие, идея «части» здесь используется на основе представления о пропорциях, существовавшего до Евдокса, которое, строго говоря, применимо только к соизмеримым величинам [15,16].

Систематизация геометрии, которую начал Гиппократ Хиосский, несомненно, была важным явлением: само понятие строгого математического доказательства, как принято сейчас считать, было достоянием именно греческой, а не египетской или вавилонской математики. Тем более важным для истории науки является вопрос об источнике или стимуле этой новеллы. В литературе существуют разные мнения по этому вопросу: одни авторы считают ее естественным результатом взаимодействия философии, математики и медицины; другие - прямым следствием влияния Элейской школы. Для истории медицины важно разделить общий вопрос о методах доказательства в натурфилософии и частный вопрос аксиоматических оснований математики. Это тем более важно, что состояние источниковой базы не позволяет это сделать на основании прямого анализа оригинальных текстов [23].

Можно предположить, что даже с учетом фрагментарности сохранившихся источников, строгие дедуктивные доказательства появляются сначала в философии, а затем в математике. До Парменида мы не видим применения принципа строгого доказательства в математике [25]. Следует отметить, что ключевой для любой абстрактной науки вопрос об использовании разума, а не чувств, в качестве критерия истинности, был также предложен элеатами. Кроме того, между основными методами аргументации у философов

Элейской школы и ранних греческих математиков существуют очевидные и естественные параллели. Особенно это касается одного из главных методов греческой математики -- доказательства от противного, или reductio.

Таким образом, существует вероятность прямого положительного влияния элеатов на историю математики. При этом оно ограничивается введением идеи о строгой дедуктивной аргументации и не охватывает такие специфически математические методы, как алгоритм взаимовычитания, антиферезис или работу с площадями фигур. Впрочем, А. Сабо указывает на другие аспекты влияния философии, особенно на идею единства и бесконечной делимости [29,30].

Ко времени Эвклида четко различаются три типа исходных принципов (так называемых отправных точек математической аргументации): определения, постулаты и общие утверждения. Г. Е. Р. Ллойд считает, что общие утверждения -- это принципы, приложимые к математике вообще, а постулаты -- фундаментальные положения эвклидовой геометрии [21,22].

Они соответствуют, в основном, трем видам общих недоказуемых исходных посылок в формальной логике Аристотеля: определениям, гипотезам и аксиомам. Гипотезы у Аристотеля отличаются от определений как утверждения о существовании или несуществовании определяемых предметов. Мы также видим, что анализ Платоном понятия «гипотеза» имеет фундаментальное значение для совершенствования аргументации. Более того, математические рассуждения, содержащиеся в диалоге «Теэтэт», показывают важность тщательных определений математических понятий. Платона интересует разграничение соизмеримых и несоизмеримых величин, или точнее, величин, соизмеримых в длину, и величин, соизмеримых в квадратах [5,26,27].

Не вполне понятно, имелось ли ясное представление об этих отправных точках у самих элеатов. Нет никаких данных о том, что сами элеаты использовали термин «гипотеза», понимая под ним нечто большее, чем просто предположение. Аристотель называет поиск общих определений одним из главных достижений Сократа (Метафизика, 1078b27 и далее) [28]. При этом любые попытки сформулировать общие законы мышления, такие как закон противоречия и закон исключенного третьего, безусловно, датируются лишь IV веком до Р. Х. [1,21,22]. Большинство авторов едины во мнении об отсутствии причин утверждать о влиянии философии на становление строгих аксиоматических основ математики. Здесь важно понимать глубину исследования проблемы доказательства внутри самой доплатоновской математики.

Некоторые утверждения, идеи и даже определения ранней греческой математики определяются в истории науки как фундаментальные. Такому определению противоречит дошедшее до нас значительное число конкурирующих определений таких терминов, как «точка» и «число». Исчерпывающий обзор широкого разброса мнений по этому вопросу дал Дж. Клейн [18].

В этой связи возникает резонный вопрос: как такое множество исходных положений могло сочетаться и образовывать полноценную, непротиворечивую аксиоматическую основу математики? Естественно, это не могло не повлиять на понятийную основу других естественных наук, в частности на медицину [28].

В понимании Платона «гипотеза» не означает абсолютного утверждения. Так, в «Государстве» (510с и далее) Платон иллюстрирует понятие «гипотезы» математическим примером, говоря, что математики «в каждом исследовании задают как гипотезу чет и нечет, геометрические фигуры и три вида углов и другие подобные факты». Они «не заявляют ни между собой, ни с другими людьми, что эти вещи ясны всем, но, начиная с них, разбирают все остальные положения непротиворечивым образом и приходят к тому, что собирались изучить» [6].

Платон, очевидно, указывает на некие базовые положения, использованные в математике как исходные пункты дедукции. Свидетельство Платона тем убедительнее, что он критиковал использование гипотез, пытаясь показать, что эта процедура (dianoia) хуже, чем noesis. В последнем случае ничто не рассматривается как должное, а мысль развивается в направлении «негипотетического начала», на основании которого познается весь мир, в том числе гипотезы геометров. Его рассказ о dianoia указывает на роль неких первичных принципов в математике, точные признаки этих принципов в некоторых отношениях остаются неясны. Платон упоминает «чет и нечет», «фигуры» и «три вида углов» [15,16].

Таким образом, Платон сообщает важнейшую вещь: греки признавали необходимость неоспоримых принципов для создания основ математики; однако его работы также подтверждают, что понимание этих основ оставалось нечетким.

Несомненно, мы бы иначе оценивали достижения Платона, будь у нас больше сведений о достижениях всей плеяды греческих математиков, наиболее выдающимся среди которых был Евдокс. Однако Платон совершенствовал научный метод как непосредственно (развивая понятия гипотезы и доказательства), так и косвенно - пробуждая интерес к началам математики. Большинство ученых считают, что полный анализ принципов доказательства дал только Аристотель, возражая Платону [13,26]. Стагирит оспаривал возможные толкования идеи о «необъяснимом начале», приведенной в «Государстве», утверждая, что не все верные утверждения могут быть доказаны. При этом исходные посылки доказательств невозможно определить, даже будучи уверенным в том, что они истинны. Как известно, Аристотель составил первую сохранившуюся классификацию этих недоказуемых исходных посылок.

По нашему мнению, общий вопрос о взаимоотношениях математики и философии в ретроспективном анализе возникновения идеи доказательного познания в естественных науках не разрешен до конца в специальной литературе. Невозможно переоценить значимость доказательств математической логики для утверждения принципов доказательной медицины. Не случайно гораздо позднее Гален указывал на необходимость знания врачом математики и геометрии [2].

Прежде всего отметим прямое утверждение Галена о необходимости знания и использования в нуждах повседневной врачебной деятельности естественно-научных дисциплин: астрономии, геометрии, физики и т.д. Гален непосредственно связывает кризис в современной ему медицине с низким уровнем общетеоретической подготовки врачей: «С большинством врачей происходит тоже самое, что испытывает большая часть атлетов, когда горячо желая победить на олимпийский играх (дословно - стать олимпийцами авт.) они никоим образом усердно не упражняются и ничего не делают для достижения победы. Врачи же, прославляя Гиппократа, как первого в искусстве врачевания, делают все, за исключением того, что необходимо бы было сделать для уподобления ему. Так [Гиппократ] ясно полагает, что астрономия и геометрия, оказывающие большую услугу медицине, требуют необходимой подготовки»; «Именно этот путь исследования помогает выявить непосредственно саму природу тела, одновременно состоящую в первую очередь из первоэлементов, полностью смешанных друг с другом, во вторую воспринимаемых чувствами составных частей, состоящих из того, что называется однородными частицами, и в третью очередь органических частей» [2].

Именно в галенизме принципы доказательной медицины были оформлены окончательно. Как становится ясным из вышеизложенного, причинно-следственные связи между развитием математики, медицины и натурфилософии в целом гораздо менее прояснены применительно к V-IV вв. до Р. Х. При этом большинство ученых едины в своем утверждении, что подлинное взаимодействие между этими дисциплинами началось к концу IV в. (а не V в.) до Р. Х; после трудов Платона и Аристотеля (а не трудов философов элейской школы).

Литература

1. Балалыкин Д. А. Зарождение медицины как науки в период до XVII века. - М.: Весть, 2013. - 256 с.

2. Балалыкин Д.А., Щеглов А.П., Шок Н.П. Единство философской теории и медицинской практики во взглядах Галена // Философия науки. - 2014. - № 1. - С. 70?85.

3. Гиппократ. Сочинения / Пер. В.И. Руднева, комм. В.П. Карпова. Кн. 1. Избранные книги. ? М.: Биомедгиз, 1936. ? 736 с.

4. Платон. Собрание сочинений. В 4 т. Т. 1. Общ. ред. А.Ф. Лосева, В.Ф. Асмуса, А.А. Тахо-Годи. Автор вступительной статьи и статей в примечаниях А.Ф. Лосев. Перевод с древнегреческого Вл.С. Соловьева, М.С. Соловьева, С.Я. Шейнман-Топштейн и др. Примечания А.А. Тахо-Годи. - М.: Мысль. Редакция по изданию библиотеки «Философское наследие», 1990. ? Академия наук СССР. Институт философии. Серия Философское наследие. Т. 112, диалог «Менон», 82b-85d, 84а1; 84е4 и далее; Платон (Prm. 128d5, 136a4.)

5. Платон. Собрание сочинений. В 4 т. Т. 2. Общ. ред. А.Ф. Лосева, Я.Ф. Асмуса, А.А. Тахо-Годи. Перевод с древнегреческого С.А.Ананьина, С.К.Апта, Т.В. Васильевой и др. Примечания А.Ф. Лосева и А.А. Тахо-Годи. - М.: Мысль. Редакция по изданию библиотеки «Философское наследие», 1993. ? Российская Академия наук. Институт философии. Серия Философское наследие. - Т. 116, диалог «Теэтет», 147d, 201е

6. Платон. Собрание сочинений в 4 т. Т. 3. Общ. ред. А.Ф. Лосева, Я.Ф. Асмуса, А.А. Тахо-Годи. Автор вступительной статьи и статей в примечаниях А.Ф. Лосев. Перевод с древнегреческого С.С. Аверинцева, А.Н. Егунова, Н.В. Самсонова. Примечания А.А. Тахо-Годи. - М.: Мысль. Редакция по изданию библиотеки «Философское наследие», 1994. Российская Академия наук. Институт философии. Серия Философское наследие. - Т. 117, диалог «Государство». - С. 79?420.

7. Симпликий, In Ph. 60.22 - 69.34; In Ph. 61.5

8. Трубецкой С. Н. Курс истории древней философии. ? М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС; Русский Двор, 1997. ? 576 с.

9. Barnes J. Aristotle's Posterior Analytics. - Oxford, 1975.

10. Becker O. Die Lehre vom Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente (Quellen and Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik b, 3, 4, Berlin). 1936. ? Р. 533?553.

11. Bluck R. S. Plato's Meno. - Cambridge, 1961. ? Р. 75.

12. Cornford F. M. Mathematics and dialectic in the Republic VI?VII (Mind NS XLI (1932), 37?52, 173?190) in Allen 1965.- Р. 61?95.

13. Einarson B. On certain mathematical terms in Aristotle's logic // American journal of Philology. ? 1936. ? 57. - Р. 33?54, 151?172.

14. Finnegan R. Oral poetry. - Cambridge, 1977. ? Р. 170?188.

15. Heath T. E. A history of Greek Mathematics. 2 vols. - Oxford, 1921. - Р. 76?84.

16. Heath T. E. A history of Greek Mathematics. 2 vols. - Oxford, 1921. - Р. 213?246.

17. Hoebel A. Adamson The law of Primitive Man. - Cambridge: Harvard University Press, Mass, 1964. - Р. 93.

18. Klein J. Greek mathematical thought and the Originof Algebra trans. E. Brann of Die griechische logistic and die Entstehung der Algebra, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Phisik b 3, 1 (1934). Р. 18?105; b 3, 2 (1936). Р. 122?235. - Cambridge: M.I.T. Press, Mass, 1968.

19. Knorr W. R. The evolution of the Euclidean Elements. - Dordrecht and Boston, 1975.

20. Lee H. D. P. Geometrical method and Aristotle's account of first principles // Classical Quaterly. - 1935. - 29. - Р. 113?124.

21. Lloyd G.E.R. Magic Reason and Experience: Studies in the Origin and Development of Greek Science. - Cambridge: Cambridge University Press, 1979. - 335 p.

22. Lloyd G.E.R. Polarity and Analogy. Two types of argumentation in early Greek Thought. - Cambridge: Cambridge University Press, 1966. - Р. 139?141, 162?164.

23. Mahoney M. S. Another look at Greek geometrical analysys // Archive for History of Exact Sciences 1968-1969. V. - Р. 318?348

24. Morrow G. R. Plato and the mathematicians: an interpretation of Socrates. Dream in the Theaetetus (201e-206c) // Philosophical Review. - 1970. - 79. - Р. 309-333.

25. Mueller I. Greek mathematics and Greek logic. In: Ancient logic and its Modern Interpretations, ed. J. Corcoran. Dordrecht and Boston, 1974. - Р. 35- 70.

26. Robinson R. Analysis in Greek Geometry (Mind NS XLV (1936), 464- 73) in Essays in Greek Philosophy (Oxford, 1969).- Р. 1-15.

27. Robinson R. Plato's Earlier Dialectic (ist ed. 1941), 2nd ed. Oxford, 1953. - Сh. 8.

28. Scholz H. The ancient axiomatic theory (originally “Die Axiomatic der Alten”, Blatter fur deutsche Philosophie IV (1930), 259-278) in Barnes, Schofield, Sorabji 1975. Р. 50-64.

29. Szabo A. Anfange der griechischen Mathematik. - Wien and Munchen, 1969. Ch. 2.

30. Szabo A. (1964-6). The transformation of mathematics into deductive science and the beginnings of its foundation on definitions and axioms. Scripta Mathematica XXVII, 27-48a,- Р. 113-139.

1 . Balalykin D. A. Medicine origin as sciences during the period till the XVII century. - M.: Message, 2013. - 256 pages.

2 . Balalykin D. A. A.P. Goldfinches, Shock N. P. Edinstvo of the philosophical theory and medical practice in Galen's views//science Philosophy. - 2014 . - No. 1. - Page 70?85.

3 . Hippocrates. V. I. Rudnev Composition / Lane, lump. V. P. Karpova. Book 1. Chosen books. ? M.: Biomedgiz, 1936. ? 736 pages.

4 . Platon. Collected works. In 4 t. T. 1 . General edition of A.F. Losev, V. F. Asmus, A.A. Takho-Godi. The author of introductory article and articles in notes A.F. Losev. The translation from Ancient Greek Vl. S. Solovyova, M. S. Solovyov, S. Ya. Sheynman-Topstein, etc. Notes A.A. Tagus-wait. - M.: Thought. Edition according to the Philosophical Heritage library edition, 1990. ? Academy of Sciences of the USSR. Philosophy institute. Series Philosophical heritage. T. 112, dialogue "Menon", 82b-85d, 84а1; 84е4 and further; Platon (Prm. 128d5, 136a4. )

5 Platon. Collected works. In 4 t. T. 2 . General edition of A.F. Losev, Ya.F. Asmus, A.A. Takho-Godi. The translation from Ancient Greek S.A.Ananyin, S.K.Apt, T.V. Vasilyeva, etc. Notes A.F. Loseva and A.A. Takho-Godi. - M.: hought. Edition according to the Philosophical Heritage library edition, 1993. ? Russian Academy of Sciences. Philosophy institute. Series Philosophical heritage. T. 116, "Teetet's" dialogue, 147d, 201е

6 . Platon. Collected works in 4 t. T. 3 . General edition of A.F. Losev, Ya.F. Asmus, A.A. Takho-Godi. The author of introductory article and articles in notes A.F. Losev. The translation from Ancient Greek S. S. Averintsev, A.N. Egunov, N. V. Samsonov. Notes A.A. Tagus-wait. - M.: Thought. Edition according to the Philosophical Heritage library edition, 1994. Russian Academy of Sciences. Philosophy institute. Series Philosophical heritage. T. 117, dialogue "State". - Page 79?420.

7 . Simpliky, In Ph. 60.22 - 69.34 ; In Ph. 61.5

8 . Trubetskoy S. N. Course of history of ancient philosophy. ? M.: Гуманит. prod. VLADOS center; Russian Yard, 1997. ? 576 pages.

9. Barnes J. Aristotle's Posterior Analytics. - Oxford, 1975.

10. Becker O. Die Lehre vom Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente (Quellen and Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik b, 3, 4, Berlin). 1936. ? Р. 533?553.

11. Bluck R. S. Plato's Meno. - Cambridge, 1961. ? Р. 75.

12. Cornford F. M. Mathematics and dialectic in the Republic VI?VII (Mind NS XLI (1932), 37?52, 173?190) in Allen 1965. - Р. 61?95.

13. Einarson B. On certain mathematical terms in Aristotle's logic // American journal of Philology. ? 1936. ? 57. - Р. 33?54, 151?172.

14. Finnegan R. Oral poetry. - Cambridge, 1977. ? Р. 170?188.

15. Heath T. E. A history of Greek Mathematics. 2 vols. - Oxford, 1921. - Р. 76?84.

16. Heath T. E. A history of Greek Mathematics. 2 vols. - Oxford, 1921. - Р. 213?246.

17. Hoebel A. Adamson The law of Primitive Man. - Cambridge: Harvard University Press, Mass, 1964. - Р. 93.

18. Klein J. Greek mathematical thought and the Originof Algebra trans. E. Brann of Die griechische logistic and die Entstehung der Algebra, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Phisik b 3, 1 (1934). Р. 18?105; b 3, 2 (1936) - Р. 122?235. - Cambridge: M.I.T. Press, Mass, 1968.

19. Knorr W. R. The evolution of the Euclidean Elements. - Dordrecht and Boston, 1975.

20. Lee H. D. P. Geometrical method and Aristotle's account of first principles // Classical Quaterly. - 1935. - 29. - Р. 113?124.

21. Lloyd G.E.R. Magic Reason and Experience: Studies in the Origin and Development of Greek Science. - Cambridge: Cambridge University Press, 1979. - 335 p.

22. Lloyd G.E.R. Polarity and Analogy. Two types of argumentation in early Greek Thought. - Cambridge: Cambridge University Press, 1966. - Р.

139?141, 162?164.

23. Mahoney M. S. Another look at Greek geometrical analysys // Archive for History of Exact Sciences 1968-1969. V. - Р. 318?348

24. Morrow G. R. Plato and the mathematicians: an interpretation of Socrates. Dream in the Theaetetus (201e-206c) // Philosophical Review. - 1970. - 79. - Р. 309-333.

25. Mueller I. Greek mathematics and Greek logic. In: Ancient logic and its Modern Interpretations, ed. J. Corcoran. Dordrecht and Boston, 1974. - Р. 35- 70.

26. Robinson R. Analysis in Greek Geometry (Mind NS XLV (1936), 464- 73) in Essays in Greek Philosophy (Oxford, 1969). Р. 1-15.

27. Robinson R. Plato's Earlier Dialectic (ist ed. 1941), 2nd ed. Oxford, 1953. - Сh. 8.

28. Scholz H. The ancient axiomatic theory (originally “Die Axiomatic der Alten”, Blatter fur deutsche Philosophie IV (1930), 259-278) in Barnes, Schofield, Sorabji 1975. - Р. 50-64.

29. Szabo A. Anfange der griechischen Mathematik. - Wien and Munchen, 1969. Ch. 2.

30. Szabo A. (1964-6). The transformation of mathematics into deductive science and the beginnings of its foundation on definitions and axioms. Scripta Mathematica XXVII, 27-48a, - Р.113-139.

Размещено на Allbest.ru