Понятия "Единое-Многое" и "Множество" в ретроспективе философской мысли

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

О ПОНЯТИЯХ «ЕДИНОЕ-МНОГОЕ» И «МНОЖЕСТВО» В РЕТРОСПЕКТИВЕ ФИЛОСОФСКОЙ МЫСЛИ

Сарумов Алексей Андреевич

Савченко Валерий Нестерович, д. ф.-м. н.,

профессор Дальневосточный федеральный университет

Аннотация

В статье провед?н сжатый философско-научный и историко-философский анализ проблемы понятия «Единого-Многого» и родственного ему понятия «множество» в контексте теоретико-множественного подхода. Описаны некоторые парадоксы и множественные апории античности в контексте современного философского и естественнонаучного мировоззрения. Установлено, что анализируемые понятия не нашли окончательного решения, более того, поле приложения их в науке расширяется, образуя, например, такое новое понятие как «родовая множественность», введенное в научный оборот французским философом и математиком Аленом Бадью.

Ключевые слова и фразы: мощность; теоретико-множественный подход; Платон; Аристотель; Парменид; Зенон; Кантор; Бадью; парадокс.

Abstract

The article conducts a terse philosophical-scientific and historical-philosophical analysis of the problem of the notion ЇSingle-Many? and related to it the notion Їthe multiple? in the context of set-theoretic approach. Some paradoxes and multiple aporia of antiquity are described in the context of modern philosophical and natural scientific worldview. The article ascertains that the analyzed notions did not find definitive solutions; moreover, the field of their application in science is expanding, forming, for example, such a new notion as Їthe generical multiple? introduced into scientific circulation by French mathematician and philosopher Alain Badiou.

Key words and phrases: power; set-theoretic approach; Plato; Aristotle; Parmenides; Zeno; Cantor; Badiou; paradox.

Проблемное поле философии (да и науки тоже) на протяжении тысячелетий полно неразрешимых вопросов, таких как соотношения конечное-бесконечное, целое-часть, предельное-беспредельное, определяемоенеопределяемое, единое-многое и др. После Пифагора, утвердившего в философии и науке категорию числа, у Евклида в «Началах» (в «Элементах» - так перевели Брокгауз и Ефрон с латиницы греческое «Stoicheia») появляется новый термин для характеристики числа - множество (еще не понятие, не категория, как стало в наше время), поскольку находим у него такое расширение понятия числа: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц» [Цит. по: 7, с. 10-11] (курсив наш - А. С., В. С.). Почти через 2 тысячи лет Галилей, в 1638 г. (кстати, заведовавший кафедрой математики в Пизанском университете), замечает, что следует отличать конечные и бесконечные множества, и ставит вопрос о способах их различения. Затруднения он усматривает в том, что «рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем ему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это неправильно, так как такие свойства как большая или меньшая величина и равенство не применимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой» [Цит. по: 9, с. 81]. Различение множеств было установлено посредством определения нового понятия о них - мощности, введ?нного Георгом Кантором в 1877 г. в предложенной им, так называемой теории множеств. С этого времени понятия «элемент», «множество», «мощность» или связка элемент-множество-мощность приобретают права «гражданства» в науке, встречая массу приверженцев и противников. Сначала привед?м предельно широкое, практически философское определение множества Кантором, а затем несколько цитат из высказываний великих математиков современности, подтверждающих возникшую полемику о множествах и их месте в науке.

Кантор: «Под множеством мы понимаем любое объединение в одно целое М определ?нных вполне различимых объектов m нашего восприятия или мысли (которые называются элементами множества M)».

Давид Гильберт: «Никому не изгнать нас из рая, открытого Кантором».

Никола Бурбаки (единый псевдоним Жана Дальсарта, Андре Вейля и Анри Картана) (1949 г.): «…Все математические теории можно рассматривать как расширение общей теории множеств… Я утверждаю, что на этом фундаменте можно построить вс? здание сегодняшней математики».

Пол Коэн (доказавший самую важную теорему в теории множеств): «Анализируя математические рассуждения, логики пришли к убеждению, что понятие множества является самым основным в математике».

Рене Том (автор теории катастроф): «…Старая надежда Бурбаки увидеть математические структуры естественно возникающими из иерархии множеств, из их подмножеств и из их комбинаций является, несомненно, лишь иллюзией» [Цит. по: 3, с. 15].

В связи с вышеизложенным, в данной статье мы ставим своей целью показать в ретроспективе непреходящий (неослабивающий) интерес к понятию «множество» и родственного ему понятия «единое-многое», породивших сложнейшие научные и философские вопросы об их правомочии в современной научной картине мира, и, более того, прояснить, как философская мысль в лице нашего современника Алена Бадью [2; 13] нашла давней идее множества новые поля приложения.

Итак, теоретико-множественный подход в научной картине мира, как отмечалось, в качестве инструмента исследования использует понятие множества, а множество - это совокупность каких-то элементов. Элементы, в свою очередь, могут быть также представлены в виде некоторых множеств. Такие представления в античности породили, как известно, популярнейшую проблему философии - проблему «Единого-Многого», первоначально для конечных множеств, а в наше время и для бесконечных множеств. Умы философов на протяжении долгого времени были заняты вопросами: что есть Единое, что есть Многое, возможно ли Единое как таковое, возможно ли Многое само по себе, Многое ни есть ли Единое и наоборот. Так, мнения философов, разумеется, разделились.

С. Л. Катречко [6] указал на шесть типов философских систем, решающих проблему Единого-Многого, предложенных классиком русской философии А. Ф. Лосевым: 1) Есть только Единое и Многого не существует (элеаты); 2) Единое и Многое образуют систему противоположностей (Гераклит); 3) Существует механизм порождения из Единого Многого и наоборот - сходство с воззрениями Гераклита; 4) Единое и Многое существуют совместно, независимо друг от друга; 5) Единое и Многое имеют место быть - сходство с предыдущей системой, без упоминания о независимости; 6) Вс? есть многое, Единого не существует (атомизм).

Отдельно С. Л. Катречко и А. Ф. Лосев отметили систему Эмпедокла, которая, рассматривая две противоположные силы - Любовь и Вражду, имеет сходства со второй, третьей и четв?ртой системами, это можно установить пут?м несложных логических рассуждений. Мы проанализируем существующие мнения, учитывая современное мировоззрение.

Обратимся, для начала, к понятию Единого. В философских словарях в первую очередь говорится, что Единое - фундаментальное понятие философии и математики. Пифагорейцы мыслили Единое, как начало числа - условия возможности любого знания. Согласно воззрениям милетцев, Единое можно понимать как «одно», не допуская множественности в себе, и как нечто, составленное из частей, объединяя которые Единое становится Единым (сохраняется множественность в составе Единого). Во втором случае непроизвольно возникает желание заменить «Единое» на «Целое» - понятие, о котором говорил Гераклит в своей антитезе «Единое-Многое» [4]. По Гераклиту, Единое понимается как нечто исчислимое. Платон рассматривал Единое как сущность, что соответствовало воззрениям элеатов. Платон считал, что Единое является предпосылкой бытия и познания. Отлично от элеатов, он показал (см. «Парменид» [10; 14]), что любое высказывание о Едином сразу делает его Многим.

Изучая платоновское решение проблемы Единого-Многого, П. П. Гайденко отметила, что по Платону,

«существует только Единое, а многого нет; истинно только сверхчувственное, а чувственное - сфера мнения» [5]. Парменид говорил, что бытие едино, а множественность это небытие. В диалоге Платона «Парменид» продемонстрировано удивление Сократа тому, что Зенон и Парменид по-разному говорят об одном (по мнению Сократа). Зенон утверждал существование Единого, Парменид - отрицал существование Многого. Так, элеаты отстаивали единство Бытия, считали Бытие нераздельным, неизменным и вечным. Они также считали, что познание этого невозможно с использованием математического подхода. Тем не менее, по словам В. Ф. Асмуса [1, с. 40-45], элеаты отрицали не движение и множественность мира, а только их мыслимость.

Аристотель не признавал Единое сущностью и считал, что существование Единого самого по себе повлекло бы за собой «несуществование» ничего иного. Плотин мыслил Единое как самостоятельное неделимое начало, а согласно философии неоплатонизма, Единое понималось как начало множества. Боэций отрицал существование всего, что не едино, считая, что «Бытие и Единое обратимы». Николай Кузанский утверждал, что «Единое есть вс?». Декарт в теологическом контексте признавал Единое высшим совершенством, присущим одному Богу, а Шеллинг и Гегель видели начало единства в «Я», выступающим, согласно их учению, абсолютным субъектом.

В. С. Соловь?в, говоря об истине (см. «Критика отвлеч?нных начал» [12, с. 691-692]), ч?тко обозначил, что истина есть - Единое. Полное определение истины он выразил в предикатах: сущее, единое, вс?. На вопрос, что есть Единое, В. С. Соловь?в ответил: «Прежде всего, оно есть, конечно, ЇНемногое?, но если оно есть только Немногое, т.е. простое отрицание Многого, тогда оно имеет Многое вне себя, тогда оно существует вместе или рядом со Многим, т.е. оно уже не есть Единое, а только Одно из Многого или часть (элемент) Многого, тогда одно существует так же самостоятельно, как и другое (Многое), и то, и другое, то есть и Единое, и Многое могут иметь одинаковое притязание на истину; но в таком случае истина распадалась бы и противоречила бы себе. Итак, Единое, как истина, не может иметь Многое вне себя, т.е. оно не может быть чисто отрицательным единством, а должно быть единством положительным, т.е. оно должно иметь Многое не вне себя, а в себе или быть единством многого; а так как Многое, содержимое единством, или Многое в Одном есть Все, то, следовательно, положительное, или истинное, Единое есть Единое, содержащее в себе Все, или существующее как единство всего. Истинно-сущее, будучи Единым, вместе с тем и тем самым есть и Все, точнее, содержит в себе Все, или истинно-сущее есть Всеединое» [Там же]. (Нам представляется, что «Немногое» в цитированном фрагменте Соловь?ва правильнее было бы писать либо как «Не-многое», либо как «Не многое»).

Обращаясь к современному мировоззрению людей, не увлеч?нных философией как наукой, можно смело утверждать, что на вопросы, что есть Единое, и что есть Многое, последуют какие-то ответы, а вероятность того, что кто-то отвергнет категорию Единого или Многого ничтожно мала. Так, представления Единого, в конечном сч?те, будут сведены к абстракциям и будут регламентированы определениями, подразумевая начало некого множества, соответственно неоплатонизму. Так, любое Единое может быть сопоставлено с «Одно», например - один человек, один стул, одна страна и так далее. Вс? перечисленное можно разбить на части, и вс? перечисленное является элементами множеств. Таким образом, можно придерживаться позиции, согласно которой Единое и Многое имеют равные права на существование, равные права на истину. Возникает вопрос, не будет ли мыслимое деление вещи на части лишать е? смысла. Например, человек состоит из частей тела, но каждая часть, взятая отдельно, не имеет самостоятельного значения.

Другой пример, ртутный термометр - физический прибор, предназначенный для измерения температуры. В рамках идеализации, имея лишь материю и форму, термометр можно назвать термометром, но отдельно взятая ртуть не в силах показать температурную величину в градусах, как не в силах это сделать «стекляшка» без ртути. Отсюда следует, что Единое - термометр, но никак не {форма + ртуть}. Тем не менее, мы имеем дело с Двоицей, которая, по Пифагору, служит началом множественности. Рассматривая Единое в контексте атомизма, в поиске неделимого сегодня также можно столкнуться с трудностями. Если у Демокрита неделимым началом был атом, то сегодня и атом можно представить как множество. Невольно вспоминается апория «Дихотомия» Зенона [15], где речь ид?т о делении пополам, ведь после того, как был раздел?н атом, а вслед за ним и электрон, - истина нашего мира стала не ближе, а дальше.

Наконец, привед?м пример, когда Единое есть Единое и есть Многое в зависимости от «места его нахождения». Рассмотрим множество натуральных чисел, в котором единица есть его элемент - единый и неделимый. Однако при рассмотрении множества вещественных чисел единицу можно представить как множество. В таком случае Единое рассматривается как Целое, единица может быть составлена, например, из дробей (внутренняя множественность). Таким образом, как мы сказали выше, представление Единого регламентируется определением. К тому же данный пример наводит на вопрос - возможно ли Единое само по себе, без Многого.

Переходя к множеству в контексте античной проблемы Многого, попытаемся установить, из чего оно состоит. Наиболее простой ответ - множество состоит из элементов. Если каждый элемент представляет собой Единое, тогда это Единое нужно мыслить либо как Одно, либо как неделимое самостоятельное начало. В противном случае мы вновь имеем дело с множеством, но уже внутри другого множества, и так вопрос повторяется снова и снова. Такой процесс имеет шанс не быть заверш?нным. Выйти из замкнутого алгоритма можно пут?м обращения к понятию Целого, тогда нас устроит утверждение, что множество состоит из элементов, каждый из которых - Единое, но в одном случае «Одно», в другом «Целое», в третьем, например, «Атом». Рассуждая о Многом, Платон поднимает вопрос: возможно ли Многое без Единого. Сам Платон считал, что Многое без Единого было бы сопоставимо с хаосом, а значит с Небытием. Множественность, по Платону, - это множество единых (а по Евклиду «число есть множество, сложенное из единиц», а сами числа образуют как сч?тные, так и несч?тные множества).

Множественность критикует Зенон, считая, что Бытие не может быть множественным. Зенон отвергал актуальную бесконечность, но при этом понимал, что к конечному множеству вещей всегда можно добавить новые вещи - в противоречие с понятием конечности. Проблема Единого-Многого была обозначена в апориях Зенона, наиболее известные из которых - Ахиллес и Черепаха, Дихотомия. Эти апории предполагают непрерывность и бесконечную делимость пространства и времени (но странно, что он не осознавал того, что сумма отрезков бесконечно делимого целого конечна; но тогда не возникает самой проблемы, а проблема должна была быть).

Действительно, известны математические методы, согласно которым парадокс бесконечности в данных апориях можно обойти. Так, например, можно рассмотреть бесконечный ряд (временных интервалов) и показать, что он сходится, а значит, Ахиллес догонит и обгонит черепаху. Если же рассматривать пространствовремя как дискретную категорию, то парадоксы бесконечности вовсе исчезают (Бурбаки). Однако Бернайс и Гильберт обратили внимание на то, что в реальности немыслимо завершение бесконечной последовательности, что легко «случилось» в рамках математической модели. Выходит, математика устраняет парадокс и в то же время подтверждает его наличие. В первом случае это обусловлено сходимостью ряда, во втором - невозможностью практической реализации математической модели. Выдающийся математик М. Клайн по этому поводу замечает: «Природа и математическое описание природы - не одно и то же, прич?м различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию… Природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура е? не обладает особой правильностью» [8, с. 401-402]. множественный апория мировоззрение философский

Зенон рассматривал реальное движение, но в этом случае можно обратиться к физическому эксперименту.

Из школьного курса физики известны задачи, где требуется установить, через какое время объект А настигнет объект В. Возвращаясь к апории Зенона, отметим следующее: если Черепаха движется со скоростью х, а Ахиллес со скоростью 10х, то расстояние в 1000 шагов Ахиллес пройд?т за время t. Следовательно, от начала отсч?та за время 2t Ахиллес пройдет 2000 шагов, а Черепаха - 200 шагов (или 1200 с точки отправления Ахиллеса). Действительно, будет именно так, обладая навыками компьютерного моделирования, можно продемонстрировать данный эксперимент, тогда не понадобится ни Ахиллес, ни Черепаха.

В пользу множественности отда?т свой голос современный французский философ Ален Бадью. В сво?м «Философском манифесте» [2, с. 66-72; 13] он раскрывает проблему, связанную с категорией истины, противоположно В. С. Соловь?ву. По словам А. Бадью, для того, чтобы существовала истина, необходимо «заявить о Единстве множественности… Предложить доктрину истины, совместимую с неустранимой множественностью бытия-как-бытия. Истина может быть только особым производством некоей множественности» [2, с. 67]. Здесь А. Бадью на первый план выдвигает категорию «родовой множественности», способную обеспечить восприятие истины как множественного результата особой процедуры. А. Бадью отмечает, что понятие родовой множественности предложил американский математик П. Дж. Коэн в процессе математической деятельности, решая проблему мощности множеств, бывшую камнем преткновения математиков в течение всего ХХ века.

А. Бадью пишет, что «понятие родовой множественности закрыло первый этап той онтологической теории, которая со врем?н Г. Кантора носит имя теории множеств… (Понятие родового) указывает на статус определенных множественностей, которые одновременно вписываются в ситуацию и вполне обоснованно затевают в ней неизбежно свободный от любого именования случай. Такое множественное пересечение установленной обоснованности какой-либо ситуации и событийной случайности, которая е? дополняет, и есть в точности место истины данной ситуации. Эта истина является результатом бесконечной процедуры, и о ней только и можно сказать, что, если предположить завершенность этой процедуры, она Їокажется? родовой или неразличимой» [Там же, с. 68-69].

Мы провели философско-научный и историко-философский анализ проблемы понятия «ЕдиногоМногого» и понятия «множество» в контексте теоретико-множественного подхода. Было установлено, что анализируемые понятия не нашли окончательного решения, что, несомненно, обусловливает неослабевающий интерес к понятию «множество» и родственного ему понятия «единое-многое», породивших сложнейшие научные и философские вопросы об их правомочии в современной научной картине мира [11].

Список литературы

1. Асмус В. Ф. История античной философии: учебное пособие для гуманитарных вузов и факультетов. М.: Высшая школа, 1965. 320 с.

2. Бадью А. Манифест философии / сост. и пер. с франц. В. Е. Лапицкого. СПб.: Machina, 2003. 184 с.

3. Бурундуков А. С. Фундаментальные структуры: эмпирические системы. Владивосток: Дальнаука, 2005. 304 с.

4. Вольф М. Н. О тр?х базовых антитезах онтологии Гераклита // Гуманитарные науки в Сибири. 2006. № 1. С. 22-26.

5. Гайденко П. П. Проблема единого и многого и решение ее Платоном [Электронный ресурс]. URL: http://philosophy.ru/ library/gaid/gaid.html (дата обращения: 6.07.2013).

6. Катречко С. Л., Лосев А. Ф. Проблема Единого -- Многого в античной философии. Основные типы ее решения в натурфилософии [Электронный ресурс]. URL: http://philosophy.ru/library/katr/katr_losev_natura.doc (дата обращения: 7.07.2013).

7. Кессельман В. С. Удивительная история математики. М.: ЭНАС-КНИГА, 2013. 232 с.

8. Клайн М. Математика. Утрата определ?нности / пер. с англ. Ю. А. Данилова; под ред. И. М. Яглома. М.: Мир, 1984. 424 с.

9. Петров Ю. П. История и философия науки. Математика, вычислительная техника, информатика. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 448 с.

10. Платон. Парменид: собр. соч.: в 4-х т. / коммент. А. Ф. Лосева. М.: Мысль, 1993. Т. 2. 539 с.

11. Сарумов А. А., Савченко В. Н. Теоретико-множественное видение мира и реальности. Саарбрюккен: Lambert Academic Publishing, 2013. 109 с.

12. Соловь?в В. С. Критика отвлеч?нных начал: собр. соч.: в 2-х т. М.: Мысль, 1988. Т. 1. 895 с.

13. Badiou A. Manifeste pour la philosophie. Paris: SEUIL edition, 1989. 91 р.

14. Plato. Parmenides / With Comments by R. E. Allen. New Haven: Yale University Press, 1997. 351 p.

15. Zeno's Paradoxes [Электронный ресурс] // Stanford Encyclopedia of Philosophy. URL: http://plato.stanford.edu/ entries/paradox-zeno/ (дата обращения: 8.07.2013).

Размещено на Allbest.ru