Проблема неявного знания в математике

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Башкирский государственный университет

Проблема неявного знания в математике

Султанова Линера Байраковна, д. филос. н., доцент

В современную философию понятие неявного знания было введено представителем постпозитивизма,американским философом науки М. Полани. Понятие неявного знания, по Т. Куну, парадоксально, нокорректно [2, с. 246-254]. Основные свойства неявного знания - личностность и неспецифицируемость [5].Трансляция неявного знания от поколения к поколению и от субъекта к субъекту осуществляется посредством коммуникации (общения) - либо устно, либо путём «следования правилу» или на образцах (например, на образцах решения задач) [6, с. 54].

В общем виде проблема обоснования неявного знания в науке, иначе говоря, проблема неявного знания внауке, может быть сформулирована как необходимость выявления скрытых,латентных элементов знания приобосновании конкретных научных теорий. Сложность решения этой проблемы вызвана отсутствием рациональных гносеологических механизмов этой процедуры, а также тем, что далеко не все неявные элементы вообще подлежат выявлению. В частности, М. Полани, разработавший основные принципы концепции неявного знания в философии науки, считал, что неявное знание принципиально не может быть трансформировано в явное [5].

Приисследовании проблемы неявного знания в общегносеологическом аспекте важно понимать, что хотянеявное знание имеет место и в литературе, и в философии, поскольку любая человеческая деятельность содержит нерациональные элементы, проблема неявного знанияимеет значение только в науке, а в математике проявляется наиболее ярко.

Почему? Прежде всего потому, что в математической науке требования к строгости обоснования неизмеримо выше, чем в любой другой науке - каждый шаг математического рассуждения должен быть дедуктивно обоснован, так как признаётся только пошагово строгое доказательство. И только после проведения обоснования конкретной математической теории и признания этого обоснования математическим сообществом, математическое доказательство включается в компендиум математической науки.

Понимание этой специфики математического знания пришло к самим математикам только в начале двадцатого века, в процессе преодоления кризиса оснований. Впервые на значение неявныхпредпосылок в математическом обоснованииобратил внимание А. Чёрч в двадцатых годах прошлого века [7, с. 214]. Однако и по сей день далеко не все математики разделяют подобную точку зрения, хотя изучение истории математики, особенно анализ эволюции конкретных математических идей и доказательств, под которой будем понимать историю их формирования и последующего обоснования, не оставляют ни малейших сомнений всправедливости этого утверждения. В этом можно убедиться, обратившись к работам отечественных исследователей по современной философии математики [6, с. 135-156].

Представляется, что все сложности понимания или непонимания реальной сущности математического доказательства обусловлены инерцией мышления математиков, которая и заставляет многих считать математику идеальной наукой, ориентированной на логику. В самом деле, такая «идеальная» математика просто не может содержать какие-либо неявные элементы, а, следовательно, такая математика не может иметь никаких философских или собственно научных проблем, связанных с обоснованием строгости математических доказательств.

Однако сегодня всем известно, что в математике были обнаружены парадоксы, связанные с необходимостью введения в математическое рассуждение бесконечности в каком-либо виде, например, членов бесконечного ряда, и что эти парадоксы мешают сведению математики к логике, в которой такой необходимости нет. Это было замечено и активно обсуждалось математиками ещё в первой трети двадцатого века, в связи с программой логицизма и обнаруженном в ней парадоксе Рассела [4]. И сегодня необходимо ясно понимать, что математика - это ни при каких обстоятельствах не логика, и что математикагораздо ближе к философии, чемвообще принято думать. Во всяком случае, математика, как и философия, имеет дело с бесконечностью.

Конечно же, возникает законный вопрос -откудаже берутся в строгом и обоснованном математическом рассуждении неявные элементы? Дело в том, что непосредственно в результате математического открытия мы получаем отнюдь не строгое и полностью обоснованное математическое утверждение, как многие думают, а интуитивную (в очень большой степени) догадку, которой ещё только предстоит в результате долгой и сложной исторической эволюции трансформироваться в строго доказанное математическое знание, то есть вдискурсивный мыслительный объект, имеющий пошаговую структуру, генетически сходный с алгоритмом. Этот эволюционный процесс можно назвать исторической алгоритмизацией интуитивного математического умозаключения [6, с. 108-123]. Это исторически длительный процесс, который может растянуться не только на десятилетия, но и на столетия, что в итоге и обнаруживается при рациональной реконструкции истории обоснования основной теоремы алгебры [Там же, с. 147-148].

При исследованиях специфики неявного знания в математике возникает вопрос об особом статусе аксиом евклидовойгеометрии. Дело в том, что хотя аксиомы и принимаются без доказательства как интуитивные очевидности и по этой причине не должны были расцениваться как полноценное, то есть полностью обоснованное математическое знание, но, тем не менее, хорошо известны философам и учёным ещё со времён древнегреческой математики, интерсубъективны и сформулированы во всех учебниках евклидовой геометрии. Вообще неявное знание в геометрию «проникает», прежде всего, в процессе необходимого обращения к чертежам (или рисункам) при решении задач, причём не просто нестандартных, сложных задач, не имеющих доступных алгоритмов решения, но вообще практически при решении всех геометрических задач. Например, вгеометрии практически невозможно избежать соединения точек, разделённых какой-либо линией, в частности, стороной геометрической фигуры. Тот факт, что при этом отрезок, соединяющий данные точки, обязательно пересечёт эту линию, никоим образом не следует из аксиом и долгое время признавался в геометрии не только без доказательства, нодаже нигде не был сформулирован. Вообще этот факт относится к разряду геометрических очевидностей, на которых не фокусируется внимание и доказательством которых пренебрегают. Однако идеал математической строгости, к которому устремляются математики уже вовторой половине девятнадцатого века, категорически требует строгого доказательства такого рода очевидностей.

Отдельного рассмотрения требуют причины непреодолимого, буквально маниакального стремления к строгости у математиков второй половины девятнадцатого века. Действительно, почему вдруг очевидности в качестве истинных утверждений перестали устраивать математиков? Ведь Декарт считал интуитивные очевидности даже более убедительными в плане истинности, чем утверждения, полученные дедуктивным путём. Однако именно о необходимости повышения надёжности в математике писал в двадцатых годах прошлого столетия Г. Вейль [1, с. 91]. Возможно, в этот период математики стали обращать внимание набурный рост математического знания и формирование новых областей математики, между которыми необходимо было установить прочные связи. Кроме того, слишком очевидной стала недостаточная строгость многих фундаментальных теорем. Вообще, представляется, что причины были чисто психологическими, внешними по отношению к самой математической науке, а внутренних необходимых причин, обусловленных развитием собственно самой математической науки, в общем-то, в то время и не было.

Повышение уровня строгости математических теорий потребовало не только существенного уточнения интуитивных утверждений, но и доказательства всех неявных лемм. Однако вполне очевидно, что прежде чем доказывать интуитивные утверждения, необходимо их выявить, обнаружить и сформулировать. А каким образом подступиться к решению этой задачи - во многом непонятно, поскольку рационального механизма выявления скрытых лемм в математике не найдено. Видимо, поэтому многие математики пользуются очевидностями, а задумываются над их обоснованием единицы. Разумеется, когда представление об уровне строгости в математике изменилось, в особенности после крушения программ обоснования математики впервой половине двадцатого века, и стало ясно, что проблема обоснования оснований в математике стоит очень остро, многие математики стали проявлять интерес к неявным леммам, вообще к неявным элементам знания и стремились ввести их в формальный контекст математической науки.

В частности, французский математик-интуиционист Г. Вейль обратил внимание на один онтологически очевидный источник неявного знания в математике. Г. Вейль отметил, что уже сам способ написания и узнавания математических символов требует апелляций к опыту, что впоследствии не может не порождать неформализуемый элемент в математических теориях [Там же, с. 77]. Г. Вейль употребил понятия, входящие в область определения термина «инструмент» [Там же, с. 90], применительно к онто-гносеологическим основаниям математики раньше М. Полани, цитировавшего соответствующие работы Г. Вейля. Это косвенно подтверждает идею о существенном значении проблемы неявного знания именно для математической науки, высказанную здесь ранее.

Впоследствии И. Лакатос убедительно обосновал, что скрытые леммы не только существуют, но и играютважнейшую роль в развитии математики [3, с. 3]. А в отечественной философии науки была теоретически разработана проблема неявного знания в математике [6].

В итоге можно заключить, что знание, неявное в контексте конкретной науки, иначе говоря, невыразимое именно на языке этой конкретной науки, на основе её понятийного аппарата, может быть вполне явным в философском контексте. В математике же большое значение имеет не только интуитивно выраженное, нестрогое знание, или знание, включающее в себя неопределяемые понятия, как, например, аксиомы Евклида, ноизнание полностью невербализованное, присутствующее только на неявном ментальном плане. Такое знание имеет вид скрытых лемм и в процессе развития математической науки, по мере своего выявления, формализуется и включается в общий контекст доказательства. Исходя из этого, можно сформулировать такой закон математического обоснования: очевидности, не содержащиеся в аксиомах, должны быть доказаны.

математика знание неявный

Список литературы

Вейль Г.Математическое мышление / пер. с англ. и нем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 400 с.

Кун Т.Структура научных революций // Кун Т. Структура научныхреволюций: сб. / пер. с англ. М.: АСТ; Ермак, 2001. С. 5-311.

Лакатос И.Доказательства и опровержения / пер. с англ. И. Н. Веселовского. М.: Наука, 1967. 152 с.

Мирошниченко П. Н.Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика: проблемы теории,истории и применения в науке: материалы VI Общерос. науч. конф. (г. Санкт-Петербург, 22-24 июня 2000 г.). СПб.,2000. С. 512-514.

Полани М.Личностное знание / пер. с англ. М.: Прогресс, 1985. 344 с.

Султанова Л. Б.Неявное знание в развитии математики. Уфа: РИЦ БашГУ, 2009. 260 с.

Чёрч А.Математика и логика // Математическая логика и её применения: сб. ст. / пер. с англ.; под ред. Э. Нагела,П. Саппса, А. Тарского. М.: Мир, 1965. 341 с.

Размещено на Allbest.ru