Математические доказательства и логические выводы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Университетский колледж ОГУ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ

Нахтигал М.С.

Общей чертой математики и философии является тот факт, что и та, и другая являются теориями (или наборами теорий) - то есть плодом размышлений, набором понятий, соединенных рассуждениями. Еще одна общая черта - и философия, и математика предельно абстрактны. Размышления Кантора о дискретных и плотных в себе множествах соответствуют тому же уровню обобщения опыта, что и размышления Гегеля о чистом и наличном бытии. Теоремы Евклида о равенстве треугольников - тому же уровню обобщения опыта, что и рассуждения Шпенглера о судьбе как движущей силе истории. О других общих чертах математики и философии мы поговорим, когда будем рассматривать их кажущиеся различия. Вместо мнимого различия мы вновь и вновь будем обнаруживать сходство. Попытаемся найти различия в самой природе математики и философии, а не социальные и психологические следствия таких различий. Другими словами, не станем изрекать сентенций вида «математика двигает вперед технологии, а философия - нет!» - «да, но что же ваша математика может сообщить, скажем, о добре и зле, о смысле и предназначении - о самых важных вопросах?». Все это верно, но почему это так? В чем разница между этими двумя теориями, приводящая к такому различию в областях их применимости?

Утверждение, что философия, в отличие от математики, - «гуманитарная область», наивно со всех сторон. «Гуманитарный», в изначальном смысле - «изучающий человека или общество». Гуманитарны психология, социология, история. Философия имеет разделы, изучающие человека и общество, и, значит, гуманитарна в этой своей части. Математика также имеет разделы, изучающие человека (теория принятия решений) и общество (теория игр, теория коллективного выбора и т.п.), и, значит, гуманитарна в этой своей части. Можно сказать, что математику интересует не само общество, а математические объекты, его моделирующие, обществом же занимается социология-политология-экономика. Однако с тем же успехом можно сказать, что и философию интересует не сам человек, а философские проблемы, с ним связанные, человеком же занимается психология.

Заблуждением в математике называется утверждение, противоречащее избранным аксиомам. Например, если выбрать систему аксиом Евклида, заблуждением окажется утверждение «сумма углов треугольника меньше 180 градусов», а утверждение «сумма углов треугольника равна 180 градусам» окажется верным. Однако, если выбрать систему аксиом Лобачевского, все окажется ровно наоборот. Математика не считает, что одна геометрия «истинна», а другая нет - всякая непротиворечивая геометрия не хуже любой другой. Какая геометрия лучше согласуется с человеческим опытом - вопрос физики, о которой мы здесь не говорим.

Аналогично, в философии, если принять, скажем, аксиому атеистов «Бога нет», утверждение «Мир создан Богом» окажется заблуждением (намеренно привожу такой примитивный пример, чтобы проиллюстрировать принцип), которое легко опровергается ссылкой на аксиому, а в аксиоматике теистов - наоборот. Конечно, в более сложных случаях в философии труднее что-то опровергать (именно в силу расплывчатости используемых ею понятий, о которой я упоминал в своем тексте), но это возможно в принципе.

А критерии научности - это еще тот вопрос. Кстати, чисто философский.

Закон единства и взаимоисключения (борьбы) противоположностей - один из универсальных законов диалектики. Закон проявляет свое действие в природе, обществе и мышлении.

Все мы сталкивались с такой вещью как магнит. Его главным признаком является наличие неразрывно связанных противоположностей - северный и южный полюс. Они настолько неотрывно связанны друг с другом что сколько не пытайся их разделить - ничего из этого не выйдет. Разрезая его на две, три и более частей - мы будем получать все те же магниты.

Противоположности и есть те внутренние стороны, тенденции, силы предмета, которые исключают, а вместе с тем и предполагают друг друга. Отношение неразрывной взаимосвязи этих сторон составляет единство противоположностей.

Противоречивые стороны заключены во всех предметах и явлениях. Все они представляют собой органическую связь, неразрывное единство противоположностей. Противоречивы не только элементарные частицы, но и образованный из них атом. В центре его находится положительно заряженное ядро, вокруг которого движутся отрицательно заряженные электроны. Химический процесс - это противоречивое единство ассоциации (соединения) и диссоциации (разъединения) атомов.

Противоположности имеют место и в живых организмах.

Наследственность - это тенденция организма сохранять приобретенные по наследству свойства, изменчивость же - это его способность вырабатывать новые свойства, совершенствоваться, развиваться.

Психическая деятельность человека характеризуется противоположными процессами возбуждения и торможения, концентрации и иррадиации (распространения) возбуждений в коре больших полушарий головного мозга.

Противоречивые стороны присущи и процессу познания. Человек пользуется такими противоположными и взаимосвязанными приемами исследования, как индукция и дедукция, анализ и синтез и др.

1. В математике + и -. Дифференциал и интеграл.

Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого

?dF(x)=F(x)+C.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

d? f (x)dx = f (x)dx, ? (1)

[? _f ( )x dx] = f ( )_x.

?d x? =? +( )(_{x C}) (2)

Замечание. В формулах (1) и (2) знаки d и ? уничтожают друга. В этом смысле интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными математическими операциями.

Таким образом, противоречивость предметов и явлений мира носит всеобщий, универсальный характер. В мире нет предмета или явления, которые не раздваивались бы на противоположности.

Закон перехода количества в качество

Всякое изменение имеет количественную сторону, то есть сторону, которая характеризуется простым увеличением или уменьшением, которое не меняет природы того, что изменяется. Но количественное изменение - увеличение или уменьшение, не может продолжаться бесконечно. В определенный момент оно всегда ведет к качественному изменению, и тогда в этой критической точке (или «узловой точке», как называл ее Гегель) внезапно скачком наступает качественное изменение.

Например, если нагревать воду, то она не будет бесконечно становиться все горячее и горячее; при определенной температуре она начинает превращаться в пар, претерпевая качественное изменение - жидкость вдруг становится газом. Точно так же к веревке, на которой подвешен груз, можно добавлять все больший и больший груз, но в какой-то момент веревка не выдержит и оборвется. И в паровом котле невозможно бесконечно увеличивать давление пара, на каком-то этапе он обязательно взорвется - стенки котла не выдержат внутреннего давления пара.

Неразрывная взаимосвязь количественных и качественных изменений особенно заметна в ходе развития предметов и явлений. Количественные изменения лишь до известного времени оказываются несущественными и не приводят к коренному изменению предмета, то есть к его качественному изменению. Однако наступает момент, когда количественные изменения перерастают в качественные. Это отмечалось еще древнегреческими философами. Философ Пифагор, изучая звучание струн, нашел, что простое удлинение одной и той же струны приводит к качественному изменению ее звучания, к изменению ее тона математика философия диалектика закон

Зависимость качественных изменений от количественных показывает математика. Уже простой натуральный ряд чисел дает нам не только количественное увеличение или уменьшение, но и качественные различия. Двойка представляет уже иное качество, чем единица. Три отличаются по своему качеству от двух, они имеют иные существенные свойства, например делятся на три и не делятся на два и так далее. 16 не просто сумма 16 единиц, но в то же время квадрат 4 и биквадрат 2. Таким образом, прибавление единицы к данному числу меняет его не только количественно, но и качественно. Но если уже арифметика имеет дело не только с количественными отношениями, но и с различными качествами, то это в еще большей степени относится к высшей математике.

Каждое качественное изменение есть отрицание одного качества и возникновение другого. Этот процесс в целом подчиняется особому закону, получившему название закона отрицания отрицания.

Закон двойного отрицания

Закон двойного отрицания закон двойного отрицания p --> p, если неверно, что неверно р, то верно р. Эту существенную сторону действия закона - отрицание отрицания - можно продемонстрировать как на абстрактном уровне, уровне движения чистой мысли, так и на конкретных примерах. Процесс отрицание отрицания как логический процесс складывается так, что мысль сначала полагается, затем противополагается самой себе и, наконец, сменяется синтезирующей высшей мыслью, в которой борьба снятых ею предыдущих мыслей, как противоположностей, является движущей силой дальнейшего развития логического процесса. На уровне природы действие этого закона раскрывается на примере роста растения. Главное в этой цикличности состоит в том, что в развитии осуществляется повторение прошлого, возвращение к исходному состоянию, «якобы к старому», но на принципиально иной качественной основе. Поэтому процесс развития носит поступательный характер. Поступательность и повторяемость придают цикличности спиралевидную форму. Это означает, что процесс развития представляет собой не прямую, а восходящую линию, обязательно включающую в себя возврат, «якобы к старому», и переходящую на новую, более высокую ступень. Каждая новая ступень богаче по своему содержанию, поскольку она включает в себя все лучшее, что было накоплено на предшествующей ступени. Этот процесс обозначен в гегелевской философии термином «снятие». Таким образом, процесс развития характеризуется поступательным движением расширяющейся спирали.

Список использованных источников

1. Ледников Е.Е. Динамическая логика знания DKpr: ее металогические характеристики // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Философия. Москва. 2009. № 3.

2. Рыбников К.А. История математики. I / К.А. Рыбников. М.: Издательство Московского университета: 1960. 191 с.

3. К. Маркс, Ф. Энгельс, В.И. Ленин О диалектическом и историческом материализме. М.: Политиздат, 1984.

4. Маркс К., Энгельс Ф. Диалектика природы. Соч., т.20. М.: Партиздат, 1873-1882, 1886. С. 339-626.

Размещено на Allbest.ru