Универсальный алгоритм Г. Лейбница и 18-я проблема С. Смейла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Универсальный алгоритм Г. Лейбница и 18-я проблема С. Смейла

Новиков Н.Б.

Аспирант Института психологии РАН

Россия, г. Москва

Аннотация

Ключевые слова: универсальная характеристика, универсальный алгоритм, теорема Геделя о неполноте, неразрешимость проблемы остановки, история математических открытий, правдоподобные рассуждения, искусственный интеллект, 18-я проблема С.Смейла.

Abstract

In 1666, the German mathematician Gottfried Wilhelm Leibniz published his dissertation ”On Combinatorial Art”, which was the beginning of his work on the project of a universal characteristic (universal algorithm). He considered this characteristic as the logic of discovery, i.e. a convincing, indisputable method of finding immutable (eternal) truths. According to Leibniz, such a method should replace substantive reasoning with calculus based on arithmetic and algebra, reducing the search for new knowledge to the formal use of a finite number of mathematical symbols. An analysis of the reasons why the Leibniz project of a universal characteristic (universal algorithm) turned out to be unattainable unexpectedly leads to the 18th problem of S.Smale, formulated by a famous American mathematician in 1997 when setting out a list of important mathematical problems.

Key words:universal characteristic, universal algorithm, Godel's incompleteness theorem, the unsolvability of the stopping problem, the history of mathematical discoveries, plausible reasoning, artificial intelligence, the 18th problem of S.Smale.

1. Универсальный алгоритм Г.Лейбница

Столь грандиозный проект, каким является проект Г.Лейбница по разработке универсальной характеристики (универсального метода познания), не мог возникнуть на пустом месте. Великий математик имел предшественников («вдохновителей»), одним из которых был испанский изобретатель Раймунд Луллий (1235-1315), которого некоторые специалисты считают - и, скорее всего, не без оснований, - провозвестником теории искусственного интеллекта.

Р.Луллий исходил из убеждения, что в каждой области науки имеется небольшое число исходных понятий, с помощью которых выражаются бесспорные, самоочевидные положения, не нуждающиеся в аргументации и доказательствах. Из сочетания этих понятий и сформулированных с их помощью истин и возникает знание. Как же осуществить все возможные сочетания понятий, с помощью которых можно овладеть всем доступным для смертного знанием?

Р.Луллий сконструировал машину, состоявшую из системы кругов, имевших возможность вращаться. Каждый круг был поделен на секторы, окрашенные в разные цвета и помеченные латинскими буквами. Круги соединялись друг с другом, и, приводя их во вращение, можно было получить различные сочетания символов и цветов - так называемую формулу истины. Машины Р.Луллия могли работать в различных предметных областях и давать ответы на всевозможные вопросы, составлять гороскопы, ставить диагнозы болезней, делать прогнозы на урожай. В наиболее позднем варианте машина Р.Луллия состояла из 14 кругов, размеченных буквами и раскрашенных в различные цвета, которые символизировали различные понятия, элементы, стихии, субъекты и объекты знания. Круги приводились в движение системой рычагов. Поворачиваясь, они могли образовывать около 18 квадриллионов (18 ^х 10¹⁵) разнообразных сочетаний буквенных и цветовых «истин». Запросы в машину вводились с помощью поворота внутреннего круга, на котором были начертаны вопросы типа: Что? Почему? Из чего? и т.д. Свой метод поиска нового знания Р.Луллий назвал «Великим Искусством» («Ars Magna»).

Выражаясь современным языком, машина Р.Луллия, по существу, представляла собой механическую экспертную систему, наделенную базой знаний, устройствами ввода и вывода, естественным языком общения.

Другой предшественник Г.Лейбница - французский математик и философ Рене Декарт (1596-1650). В трактате «Правила для руководства ума» (1628) он изложил совокупность принципов, использование которых должно давать достоверное знание о природе. Р.Декарт скептически относился к наблюдению и эксперименту, отдавая предпочтение прямому усмотрению простых (самоочевидных) истин и дедукции, позволяющей выводить из этих истин новые утверждения.

Именно идеи Р.Луллия и Р.Декарта вдохновили молодого Г.Лейбница на выдвижение проекта универсальной характеристики (универсального метода), с помощью которого всё человеческое знание, включая мораль и философские истины, может получаться автоматически (Г.Лейбниц прямо указывал на связь своего проекта с замыслом Р.Луллия).

Рассматривая свою универсальную характеристику как средство для коренного преобразования всего человеческого знания, Г.Лейбниц считал, что это средство должно состоять из двух инструментов: искусственного языка науки (его-то, собственно, он и называет characteristica universalis) и исчисления умозаключений (calculus rationator). Искусственный язык науки должен быть универсальным и совершенным в следующем смысле: он должен служить средством выражения любых мыслей, должен устранять барьеры разноязычной речи, способствуя тем самым распространению научных идей, а также должен стать орудием логического анализа любых проблем. Выражения естественного языка в универсальном языке науки должны быть заменены компактными, наглядными, хорошо обозримыми и однозначно понимаемыми знаками.

Г.Лейбниц имел совершенно ясный план проведения задуманного в жизнь: нужно было свести все понятия к некоторым элементарным понятиям, образующим как бы алфавит, азбуку человеческих мыслей. Когда это удастся сделать, полагал Г.Лейбниц, станет возможным заменить обычные рассуждения оперированием со знаками. Правила такого оперирования должны быть даны во второй части «сверхнауки» - в исчислении умозаключений. Они должны однозначным образом определять последовательность выполнения действий над данными знаками и сами эти действия, так что при правильном их применении ни для каких разногласий не остается места. Эта сокровенная цель всего замысла Г.Лейбница провозглашена им в широко известном тезисе: «Единственное средство улучшить наши умозаключения состоит в том, чтобы сделать их столь же наглядными, как и у математиков, - такими, что их ошибочность можно было бы увидеть глазами, и, если между людьми возникают разногласия, достаточно было бы только сказать «Вычислим!», чтобы без дальнейших околичностей стало ясно, кто прав» [1, с.37].

Г.Лейбниц придавал важное значение представлению логических действий в виде действий над числами, то есть арифметизации логики. Ему принадлежат следующие слова: «Я заметил, что причина того, почему мы за пределами математики так легко ошибаемся, а геометры столь счастливы в своих умозаключениях, состоит лишь в том, что в геометрии и других частях абстрактной математики можно проводить проверку или последовательные доказательства, сводя всё к числам...» [1, с.38].

К настоящему времени отдельные части проекта Г.Лейбница реализованы. Как отмечает Е.М.Вечтомов [2], «заманчивая и великая мечта Лейбница во многом претворена в жизнь - осуществлена настолько, насколько это возможно. Созданы и развиваются математическая логика, теория алгоритмов, искусственные языки программирования, современные компьютеры, компьютерная математика. Продуктивен подход к исследованию разума с помощью структур программирования, что находит практическое воплощение при развитии интеллекта учащихся в рамках когнитивной информатики. Говорят даже о «перевороте в сознании», состоящем в том, что открывается новый способ изучения мышления человека, по типу компьютерного программирования» [2, с. 129].

Однако «универсальная характеристика», т. е. некая стратегия научного исследования, позволяющая автоматически открывать новые истины, так и не была найдена. Другими словами, существенная (главная) часть проекта Г.Лейбница оказалась неосуществимой, и в настоящее время не видно путей для достижения этой цели. В чем причина этого? Почему не удалось создать общий алгоритм, позволяющий постигать законы природы путем механического манипулирования символами определенного, наперед заданного алфавита? Почему истины природы нельзя выводить так же, как, например, некоторые теоремы посредством дедукции выводятся из первичных аксиом?

2. Причины неосуществимости замысла Г.Лейбница

Первое препятствие на пути воплощения мечты Г.Лейбница появилось в 1931 г., когда Курт Гедель доказал теорему о неполноте. Используя формальный математический язык Ь, т.е. некоторый конечный алфавит и правила образования последовательностей букв этого алфавита, пронумеровав все высказывания (формулы) языка Ь, К.Гедель нашел среди них высказывания, недоказуемые в рамках избранного формального языка. Поскольку этот язык относился к арифметике натуральных чисел, полученный результат свидетельствовал о существовании недоказуемых утверждений в этой арифметике. К.Гедель установил: какую бы формализацию понятия доказательства ни предъявить, всегда найдется такое утверждение, что ни оно само, ни его отрицание не может быть доказано в рамках предъявленной формализации [3].

Крупный отечественный математик Ю.И.Манин [4] оценил результат Геделя следующим образом: «Успехи математики и математизированных областей знания приводили многих глубоких мыслителей к надежде на существование нескольких универсальных законов, из которых все остальные истины могут быть выведены чисто теоретически. В европейской традиции эти надежды связаны с именами Лейбница и Декарта. До сих пор их продолжают высказывать некоторые физики, задумывающиеся над структурой наших знаний о природе. После работы Геделя, однако, мы можем быть уверенными в беспочвенности этих надежд. Если даже оставить в стороне вопрос, насколько сложен мир, мы знаем, что метод дедуктивных выводов недостаточно мощен. Его не хватает даже на то, чтобы вывести из конечного числа принципов все истинные утверждения о целых числах, формулируемые на языке школьной алгебры: таков смысл теоремы Геделя» [4, с.80].

Второе препятствие заключалось в теореме, доказанной в 1936 г. Аланом Тьюрингом. Разработав модель машины (позже названной универсальной машиной Тьюринга) и взяв на вооружение метод доказательства, примененный К.Геделем при обосновании теоремы о неполноте, А.Тьюринг приступил к решению весьма непростой задачи. Требовалось решить проблему, относящуюся к основаниям математики и сформулированную Д.Гильбертом в 1928 г.: найти алгоритм, который бы принимал в качестве входных данных описание произвольной математической проблемы и после конечного числа шагов останавливался бы и выдавал один из двух ответов: «Истина!» или «Ложь!». Другая формулировка проблемы: можно ли определить, останавливается ли некоторая машинная программа при любых исходных данных, или в некоторых случаях программа «зацикливается» (работает бесконечно долго)? А.Тьюринг - и независимо от него Алонзо Черч - доказал отсутствие алгоритма, который мог бы решить задачу остановки машины для любой программы. Поскольку остановка машины Тьюринга означает решение задачи и получение ответа, а продолжение ее работы - отсутствие ответа (отсутствие решения задачи), результат А.Тьюринга был назван «неразрешимостью проблемы остановки».

Третье препятствие вытекает из предварительных оценок вычислительных ресурсов, которыми нужно обладать, чтобы иметь в своем распоряжении универсальный алгоритм Г.Лейбница. Если мы хотим, чтобы он давал все знания о Вселенной, он должен заранее владеть этими знаниями, т.е. миллиардами миллиардов аксиом, из которых можно выводить те или иные утверждения. Предположим, что мы намерены чисто теоретически рассчитать полную картину движения некоторого набора частиц, взаимодействующих между собой. Возникает вопрос, сколько времени и сколько бумаги (или машинной памяти) нужно израсходовать для такого расчета? Материальные затраты на расчет тем больше, чем больше частиц в наборе.

По современным данным в видимой части Вселенной содержится не более 10⁹⁰ атомов, а время существования Вселенной в той форме, в которой мы ее наблюдаем, равно 10¹⁸ секунд. Таким образом, если даже всю Вселенную превратить в электронно-вычислительную машину (создать «вселенский компьютер»), делающую 1 операцию за 10^-17 секунд (столько времени требуется электрическому току, чтобы преодолеть расстояние, равное диаметру атома), то машина сделает за всё время существования Вселенной не более 10¹²⁵ операций, или будет иметь не более 10¹²⁵ ячеек памяти. Но такой памяти не хватит уже на то, чтобы записать с приемлемой точностью квантово-механическую волновую функцию системы, состоящей из 1000 частиц. Правда, можно с самого начала не пытаться решать абсолютно точно уравнение Шредингера, а перейти к менее детализированному описанию. Однако и здесь при числе частиц больше 10 000 число уравнений становится больше числа атомов во Вселенной [5].

3. Р.Пенроуз и его аргументы относительно перспектив формального описания интеллекта

Английский математик и физик Р.Пенроуз не стал анализировать вычислительную сложность гипотетического универсального алгоритма, владеющего триллионом аксиом. Он просто рассмотрел два описанных выше результата - теорему Геделя о неполноте и теорему Тьюринга о неразрешимости проблемы остановки и увидел в них то, что налагает определенные ограничения на перспективы формального описания человеческого разума и искусственного интеллекта. В книге [6] Р.Пенроуз отметил, что попытки представить работу человеческого мозга как реализацию неких строгих (детерминированных) алгоритмов, а также попытки создать системы искусственного интеллекта, успешно функционирующие на основе тех же строгих алгоритмов, совершенно беспочвенны. На самых первых страницах своей монографии английский математик и физик подчеркивает: «...В нашей способности познавать - а, следовательно, - и в нашей сознательной деятельности в целом - есть нечто, выходящее за пределы чисто алгоритмических действий.» [6, с.14].

Сторонники концепции сильного ИИ (сильного искусственного интеллекта), уверенные в возможности создать машину, полностью воспроизводящую высшие когнитивные качества человека, не согласились с Р.Пенроузом. Они убеждены, что нет никаких препятствий для того, чтобы наделить компьютер способностью обучаться благодаря приобретенной информации, решать сложные проблемы, действуя в условиях неопределенности. А от способности к решению проблем - недалеко до той формы деятельности, которая составляет уникальную особенность человека, - научное творчество, т.е. способность генерировать новые научные идеи и делать открытия высокой общественной значимости. Осталось лишь выяснить, как человек создает эти новые идеи, какие принципы лежат в основе творческого мышления. Иной исследователь мог бы заметить: нужно выяснить то «нечто, выходящее за пределы чисто алгоритмических действий», о котором пишет Р.Пенроуз.

4. Формулировка 18-й проблемы С.Смейла

Монография Р.Пенроуза [6] привлекла внимание американского математика Стивена Смейла. Трудно сказать, поверил ли он в справедливость аргументов своего коллеги, а именно в то, что теорема Геделя о неполноте и результат А.Тьюринга относительно неразрешимости проблемы остановки запрещают эффективное функционирование систем искусственного интеллекта, действующих на основе строгих алгоритмических процедур. Неизвестно также, разделял ли С.Смейл убеждение Р.Пенроуза в том, что и человеческий разум не может успешно работать, используя лишь строгие предписания (правила обработки информации, в которых каждый последующий шаг обработки однозначно предопределен предыдущими шагами). Как бы то ни было, С.Смейл отождествил теорему Геделя о неполноте с неким пределом интеллекта (пределом алгоритмизации интеллектуальной деятельности) и, допуская, что помимо этой теоремы, могут существовать и другие подобные пределы, сформулировал вопрос, вошедший в его список важных математических проблем под номером 18.

В частности, в 1997 г. он сформулировал проблему: каковы пределы интеллекта - как искусственного, так и человека? Поясняя свой вопрос, С.Смейл пишет [7]: «Пенроуз пытается привести некоторые ограничения для искусственного интеллекта. Фигурирующий в его доказательстве интересный вопрос - это разрешимость множества Мандельброта и выводы из теоремы Геделя о неполноте. Однако необходимо более широкое изучение, которое включало бы более глубокие модели разума, а также компьютера, и проясняющее, что общего между искусственным и человеческим интеллектом, и чем они отличаются. Я бы начал исследования в том направлении, где вместе с теорией действительных чисел, приближениями, теорией вероятностей и геометрией значительную роль играют обучение, решение задач и теория игр» [7, с.297].

Возвращаясь к универсальной характеристике (универсальному алгоритму) Г.Лейбница, следует отметить, что вопрос С.Смейла допускает следующую формулировку: каковы объективные факторы, мешающие тому, чтобы научное творчество было механическим использованием совокупности строгих алгоритмов, подобных универсальному алгоритму Г.Лейбница? Или вот еще одна аналогичная формулировка: каковы реальные особенности творческой деятельности, запрещающие описание научного поиска как развертывание универсального алгоритма Г.Лейбница?

5. Д.Пойа и его концепция правдоподобных рассуждений

Для ответа на этот вопрос нужно обратиться к области исследований, которая, на первый взгляд, не имеет отношения к поставленной проблеме, - истории научных открытий. Действительно, ни Р.Пенроуз, ни С.Смейл никогда не работали в этой области и не рассматривали ее как способ решения определенных математических проблем. А между тем (чему, наверняка, удивился бы и Г.Лейбниц) именно в ней и содержатся сведения, позволяющие пролить яркий свет на то, что интересует нас в данном случае. Весьма любопытно также то, что первые важные исследования в области истории научных (точнее, математических) открытий были проведены математиком (читай - коллегой Р.Пенроуза и С.Смейла), причем достаточно известным математиком, который выполнил свою работу самым блестящим образом! Разумеется, наш герой - Дьердь Пойа (1887-1985) - американский математик венгерского происхождения, проживший долгую жизнь, автор замечательных работ «Как решать задачу» (1959), «Математика и правдоподобные рассуждения» (1975), «Математическое открытие» (1976).

Обратившись к первоисточникам, Д.Пойа внимательно изучил творчество выдающихся математиков, те эвристические средства, которые применялись ими при решении задач, в том числе при разработке новых математических идей и теорий. Ученый установил, что если новая математическая истина доказывается дедуктивно, на основе строгих (силлогистических) рассуждений, то впервые она открывается индуктивно, экспериментально, благодаря так называемым правдоподобным формам аргументации. Стержень этих правдоподобных рассуждений - индукция и аналогия.

Подчеркивая различие между двумя способами интеллектуальных действий, Д.Пойа [8] пишет: «Доказательное рассуждение надежно, неоспоримо и окончательно. Правдоподобное рассуждение рискованно, спорно и условно. Доказательные рассуждения пронизывают науки как раз в той же мере, что и математика, но сами по себе (как и сама по себе математика) не способны давать существенно новые знания об окружающем нас мире. Всё новое, что мы узнаем о мире, связано с правдоподобными рассуждениями, являющимися единственным типом рассуждений, которым мы интересуемся в повседневных делах. Доказательное рассуждение имеет жесткие стандарты, кодифицированные и выясненные логикой (формальной, или доказательной логикой), являющейся теорией доказательных рассуждений. Стандарты правдоподобных рассуждений текучи, и нет никакой теории таких рассуждений, которая могла бы по ясности сравниться с ней согласованностью» [8, с.14-15].

«Заметим, прежде всего, - поясняет свою позицию Д.Пойа, - что индуктивное рассуждение есть частный случай правдоподобного рассуждения. Заметим также (современные авторы почти забыли это, но некоторые старые, такие, как Эйлер и Лаплас, ясно осознавали), что роль индуктивных доводов в математическом исследовании сходна с их ролью в физическом исследовании. После этого вы сумеете обнаружить, что некоторые сведения об индуктивных рассуждениях возможно получить путем наблюдения и сравнения примеров правдоподобных рассуждений в математических вопросах. И, таким образом, открывается дверь для индуктивного исследования индукции» [8, с.17-18].

Д.Пойа обратил внимание на то, что и сама силлогистика - теория логического вывода, включающая в себя классификацию различных форм (модусов) силлогизмов, была открыта Аристотелем индуктивно. «Аристотель подметил, - пишет автор, - что рассуждения соответствуют некоторым схемам. Он наблюдал такие схемы в философских, или политических, или судебных, или повседневных рассуждениях, узнавал эти схемы, когда они встречались, отделял от всего лишнего и формулировал их. Эти схемы - силлогизмы. Примеры, которыми Аристотель находит необходимым подкреплять свои силлогизмы, по-видимому, свидетельствует о том, что он открыл эти силлогизмы с помощью какого-то рода индукции - а как он мог бы открыть их иначе?» [8, с.341].

Разработав формальную теорию силлогистических умозаключений, в которой центральное место отводится категорическому силлогизму, Аристотель попытался формализовать и индукцию, т.е. построить формальную теорию индуктивных умозаключений. Однако здесь его ждало разочарование: индуктивные выводы не допускали столь же строгого и формального описания, как дедуктивные формы мысли (что подкрепляет тезис Д.Пойа о различии между доказательными и правдоподобными рассуждениями).

Д.А.Поспелов [9] констатирует: «Иногда говорят, что дедукция - это рассуждение «от общего к частному», а индукция - «от частного к общему». При таком понимании этих двух процессов возникает иллюзия, что они как будто обратны друг другу, и одну схему рассуждений можно получить из другой прямым обращением. Этой иллюзии поддался и Аристотель. Увлеченный красотой и стройностью воздвигнутого им здания силлогистики, он попытался втиснуть в его объемы и индуктивное рассуждение, ввести схему индуктивного силлогизма. Но здесь его подстерегала неудача. Индуктивные рассуждения никак не хотели отливаться в ту стройную форму, которая так подошла дедуктивным рассуждениям. Попытки адептов учения Аристотеля исправить, уточнить, расширить понятие индуктивного силлогизма остались тщетными» [9, с.87].

Причина неудачи Аристотеля и его последователей - в природе дедуктивных и индуктивных рассуждений. Если в дедуктивной схеме посылки выбраны правильно, являются истинными, то получаемые с их помощью заключения не могут быть ложными. Если они нас чем-то настораживают, вызывают недоумение, то надо еще раз проверить истинность посылок. Убедившись в их правоте, не остается ничего кроме, как принять следующие из них выводы. Если в индуктивной схеме посылки выбраны правильно, являются истинными, то получаемые с их помощью заключения могут быть как истинными, так и ложными. Та или иная точка зрения на заключения зависит от степени субъективной уверенности в достаточности посылок для получения заключения [9].

6. Создание машин, реализующих правдоподобные рассуждения

Несмотря на отдельные трудности, теоретики искусственного интеллекта поверили Д.Пойа и приступили к исследованиям, целью которых было создание вычислительных машин, владеющих принципами (методами) правдоподобных рассуждений. Машины, которые требовалось создать, можно было бы назвать «индуктивными» - в противоположность компьютерам, чья программа ограничена дедуктивными методами обработки информации. Программисты стали изучать работы Д.Пойа, в том числе его книгу «Как решать задачу».

Джозеф Вейценбаум [10] пишет о ней: «Первое издание книги Пойа было опубликовано в 1945 г., т.е. за несколько лет до того, как электронные вычислительные машины стали практическими инструментами исследования. Уже тогда Пойа заложил фундамент и в определенном смысле провозгласил всю ту работу в области решения задач, которая должна была проводиться в последующие 30 лет. Предметом интереса Пойа явились эвристические методы решения задач, т.е. эмпирические правила, которые, будучи примененными, вполне могут привести к решению рассматриваемой задачи или обеспечить некоторый прогресс в ее решении, но не гарантируют получение решения. Таким образом, эвристики не являются алгоритмами и эффективными процедурами; они представляют собой правдоподобные способы подхода к решению специфических задач. Пойа предвосхитил большую часть последующей работы специалистов в области информатики, посвященной решению задач...» [10, с.223].

Современные учебники [11], [12], посвященные системам искусственного интеллекта, изобилуют терминами, образованными от слов «индукция», «индуктивный». В обиход входят такие понятия, как «индуктивное логическое программирование», «индуктивное обучение» (обучение на основе примеров) и т.д.

Вместе с тем авторы этих учебников - специалисты, реально работающие в сфере машинного обучения, - отмечают, что проблема индукции (часто называемая «проблемой Юма» в честь шотландского философа Дэвида Юма (1711-1776)) никуда не делась, она по-прежнему дает о себе знать в моделировании человеческого мышления. Машины, оснащенные функцией индуктивного вывода, часто ошибаются, т.е. порождают неверные гипотезы. Располагая множеством примеров (частных случаев), машина должна выбрать те из них, которые приведут к правильному обобщению. Но как отбросить нерелевантные примеры, оставив лишь те, что соответствуют справедливому умозаключению? Какими критериями следует руководствоваться, чтобы ограничивать пространство поиска нужных фактов, т.е. область примеров, допускающих безошибочную экстраполяцию?

Заключение

Специалисты предлагают различные формализации правдоподобных рассуждений, в том числе методы автоматического порождения гипотез, основанные на синтезе познавательных процедур, т.е. объединяющие индукцию, аналогию и другие приемы мышления в рамках одной системы [13], [14], [15].

Тем не менее, следует понять, что ошибки, обусловленные применением индукции и аналогии, неизбежны; это своеобразная плата за наше стремление выйти за рамки известного, плата за отсутствие универсального алгоритма, в существование которого верил Г.Лейбниц. Как ни удивительно, в этот алгоритм верил и Д.Гильберт. Иначе зачем бы он стал разрабатывать свою знаменитую программу формализации математики?

Правдоподобные рассуждения, исследованные Д.Пойа, способствуют нахождению истины, но не гарантируют ее во всех возможных (мыслимых) случаях. Индукция и аналогия, не допускающие такую формализацию, при которой были бы исключены всякие ошибки, являются пределами алгоритмизации интеллектуальной деятельности, теми пределами, которые имел в виду С.Смейл, формулируя свою 18 -ю проблему [7].

Литература

лейбниц универсальный алгоритм смейл

1. Бирюков Б.В., Тростников В.Н. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики. - М.: «Знание», 1977. - 192 с.

2. Вечтомов Е.М. Философия математики. - Киров: «Радуга-ПРЕСС», 2013. - 316 с.

3. Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней // Математическое просвещение. Серия 3. - 2011. - № 15. - С.35-75.

4. Манин Ю.И. Теорема Геделя // Природа. - 1975. - № 12. - С.80-87.

5. Скоробогатов Г.А. Сколько у природы законов // Химия и жизнь. - 1981. - № 12. - С.50-56.

6. Пенроуз Р. Новый ум короля: о компьютерах, мышлении и законах физики. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 384 с.

7. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия // Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - С.280-303.

8. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М.: «Наука», 1975. - 464 с.

9. Поспелов Д.А. Моделирование рассуждений. Опыт анализа мыслительных актов. - М.: «Радио и связь», 1989. - 184 с.

10. Вейценбаум Дж. Возможности вычислительных машин и человеческий разум. От суждений к вычислениям. - М.: «Радио и связь», 1982. - 368 с.

11. Люгер Дж. Искусственный интеллект: стратегии и методы решения сложных проблем. - М.: «Вильямс», 2003. - 864 с.

12. Рассел С., Норвиг П. Искусственный интеллект: современный подход. - М.: «Вильямс». 2006. - 1408 с.

13. Финн В.К. Правдоподобные выводы и правдоподобные рассуждения // Итоги науки и техники. - Серия «Теория вероятностей, математическая статистика».

- 1988. - Том 28. - С.3-84.

14. Финн В.К. Индуктивные методы Д.С.Милля в системах искусственного интеллекта. Часть I // Искусственный интеллект и принятие решений. - 2010.

- № 3. - С.3-21.

15. Финн В.К. Индуктивные методы Д.С.Милля в системах искусственного интеллекта. Часть II // Искусственный интеллект и принятие решений. - 2010.

- № 4. - С.14-40.

Размещено на Allbest.ru