Элементы квантовой статистики и физики твёрдого тела
Строение кристаллов и четыре агрегатные состояния вещества на Земле. Акустические и оптические колебания кристаллической решётки. Описание колебаний гармонических осцилляторов и понятие о фононах. Определение энергии длинноволнового оптического фонона.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.08.2013 |
| Размер файла | 1,6 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Элементы квантовой статистики и физики твёрдого тела
Акустические и оптические колебания кристаллической решётки. Понятие о фононах.
Строение кристаллов.
В природных условиях Земли вещество встречается в четырех агрегатных состояниях:
1. плазма;
2. газ;
3. жидкость;
4. твердое тело.
Состояние, в котором находится вещество, является результатом конкуренции между силами, стремящимися объединить микрочастицы, и тепловым движением, разрывающим связи.
Твердое тело состоит из большого числа сильно взаимодействующих частиц. Силы взаимодействия удерживают частицы в определенных положениях равновесия, где они совершают малые колебания. Тепловое движение частиц в твёрдых телах имеет характер колебаний около положений равновесия.
Твердые тела могут быть в кристаллическом и аморфном состоянии. Кристаллическое состояние устойчиво (ему соответствует минимум энергии), аморфное - метастабильное, с течением времени аморфные тела кристаллизуются, аморфные тела могут самопроизвольно переходить из аморфного состояния в кристаллическое (например, свежее варенье (аморфное состояние) со временем самопроизвольно переходит в кристаллическое состояние - засахаривается). В кристаллах имеется пространственная периодичность в расположении равновесных положений атомов. Положения равновесия называются узлами кристаллической решетки. Элементарной ячейкой кристалла называется наиболее простая пространственная структура, повторением которой строится весь кристалл.
На рис. 1 показаны структуры кристаллов NaCl и CsCl.
Рис. 1
Одним из основных экспериментальных методов изучения строения кристаллических решеток является рентгеновская и электронная кристаллография, в основе которой лежат явления дифракции рентгеновских лучей.
Кристаллы - характеризуются пространственной периодичностью (кристаллическая решётка) в расположении равновесных положений частиц (атомов, молекул). В кристаллах есть ближний и дальний порядок.
Аморфные тела - характеризуются хаотическим расположением частиц (поэтому аморфные вещества можно считать жидкостями с очень большой вязкостью).
Кристаллические твёрдые тела имеют вполне определённую температуру плавления, аморфные тела такой температуры не имеют, они постепенно переходят из твёрдого состояния в жидкое (в достаточно широком интервале температур).
Кристаллическая структура твёрдых тел зависит от сил, действующих между частицами. Этими частицами могут быть атомы, молекулы или ионы.
По типам связи кристаллы делят на пять классов:
1. ионные кристаллы (NaCl, KCl, MgO, LiF и др.) - в узлах кристаллической решётки расположены ионы, силы связи имеют электростатический характер;
2. кристаллы с ковалентной связью (алмаз, Si, Ge, GaSb и др.) - в узлах кристаллической решётки атомы, валентные электроны которых (соседних атомов) обобществлены, т.е. силы притяжения между атомами носят обменный характер;
3. кристаллы с металлической связью (металлы: Na, Al, Cu, Fe, Zn, Ag и др.) - в узлах кристаллической решётки атомы, взаимное притяжение которых обусловлено коллективным взаимодействием свободных электронов с ионным остовом. Металлическая связь возникает, когда валентные электроны слабо связаны с ядром, а их волновая функция сильно "размазана" в пространстве около ядра. В кристалле происходит ещё большее "размазывание" волновой функции, т.е. увеличение электронного облака, поскольку на каждый валентный электрон действуют положительные ядра других атомов. Волновая функция таких электронов в кристалле равномерно распределена по всему кристаллу. Вычисления показывают, что электрон может быть обнаружен с равной вероятностью в любой точке кристалла. Так квантовая теория объясняет электропроводность металлов (электрон может практически свободно перемещаться по всему кристаллу);
4. молекулярные кристаллы (нафталин, кристаллы многих органических веществ, Ar, Kr, Xe в твёрдом состоянии и др.) - образованы из молекул, связанных друг с другом слабыми ван-дер-ваальсовыми силами или водородной связью. Внутри молекул между атомами действуют более прочные силы обычно ковалентного характера;
5. кристаллы с водородной связью (лёд и др.) - образованы из атомов или молекул, между которыми действуют силы имеющие промежуточный характер между ковалентными силами и невалентным взаимодействием, осуществляющимся с участием атома водорода, расположенного либо между молекулами, либо между атомами внутри молекулы, т.е. когда атом водорода связан силами притяжения одновременно с двумя другими атомами.
Кристаллическая структура -- равновесное состояние системы частиц, отвечающее минимуму потенциальной энергии. В состоянии покоя сумма сил, действующих на каждую частицу кристалла со стороны других частиц, равна нулю.
Температура Дебая.
При температуре, отличной от 0?К, в кристалле возникают сложные колебания. Коллективное движение атомов в кристалле представляет собой звуковые волны.
Вследствие сильного взаимодействия между частицами кристалла характер этих колебаний оказывается очень сложным и точное его описание представляет большие трудности. При рассмотрении колебаний кристаллической решётки прибегают к различным упрощениям. Вместо описания индивидуальных колебаний частиц, рассматривают их коллективное движение в кристалле, как в пространственно упорядоченной системе. Такое упрощение основано на том, что колебание одной частицы, передаётся соседним частицам и в кристалле возбуждается упругая волна, охватывающая все частицы кристалла. Такое коллективное движение называется нормальным колебанием решётки. Число нормальных колебаний, которые могут возникнуть в решётке, равно числу степеней свободы частиц кристалла, т.е. 3N [N - число частиц, образующих кристалл (имеет порядок числа Авогадро ~ 1023), каждая частица обладает тремя (x, y, z) степенями свободы].
Т.к. каждое колебание несёт энергию, то с повышением температуры кристалла в нём будут возбуждаться всё более и более высокочастотные колебания (энергия колебания растёт с ростом частоты ).
Рассмотрим одномерную цепочку из одинаковых частиц (рис. 2). Если а - расстояние между частицами (период кристаллической решётки), то в такой цепочке могут возникнуть колебания от самых низкочастотных (лmax), до самых высокочастотных (лmin), когда соседние частицы движутся в противофазе. Из рис. 2 видно, что . Т.к. , где V - скорость распространения механической волны в кристалле (фактически это скорость звука в кристалле), н - частота колебания, то . Приравнивая энергию колебания (Е = hн) к энергии теплового движения (Е = kТ) получаем:
hнmax= kT
Т = И = (1)
Температура И называется температурой Дебая. При температуре Дебая в кристалле возбуждены все возможные колебания (от самых низкочастотных до самых высокочастотных). Температура Дебая служит границей высоких и низких температур в кристаллах.
Рис. 2
|
металлы |
И, К |
полупроводники |
И, К |
диэлектрики |
И, К |
|
|
Hg Pb Na Au Sn Ag W Cu Fe Al Be |
75 95 160 170 200 230 270 340 360 375 1200 |
Sn (серое олово) Ge Si |
260 250-400 650 |
H AgBr NaCl алмаз |
100 150 280 1850 |
В таблице приведены значения температуры Дебая для некоторых веществ.
Рассмотрим одномерную периодическую цепочку атомов -- одномерный кристалл с одним атомом в элементарной ячейке. Пусть период этой цепочки равен a (рис. 2). В такой цепочке возможны колебания, показанные на рис. 2.
Для характеристики волновых процессов в кристалле удобно пользоваться волновым вектором k, совпадающим по направлению с направлением распространения волны:
, (2)
но т.к. , то . Зависимость щ от k называется дисперсионной кривой и щ = kV. Для колебаний цепочки, показанных на рис. 2 дисперсионная кривая имеет вид:
Рис. 3
Важным её свойством является то, что частота волн, распространяющихся по цепочке, ограничена частотой . Оценка даёт:
с-1 или Гц . (3)
Длина волны электромагнитного излучения такой частоты:
(4)
Электромагнитные волны с такой длиной принадлежат инфракрасному диапазону.
Длинноволновые колебания -- это звуковые волны с линейным законом дисперсии щ = kV. Это и неудивительно: длинные волны ''не чувствуют'' дискретной структуры цепочки, цепочка ведет себя как непрерывная упругая среда. По этой причине скорость звука V зависит только от макроскопических характеристик цепочки: линейной плотности и упругой постоянной цепочки
Рассмотренные нами колебания одномерной цепочки называют акустическими, поскольку при они соответствуют звуковым волнам.
В цепочке с двумя (и более) атомами в элементарной ячейке наряду с акустическому могут распространяться волны другого типа.
Рассмотрим цепочку из атомов двух сортов (рис. 4а).
Рис. 4
В такой цепочке возможно появление двух типов колебаний рис. 4б и рис. 4в. Колебания б) ничем не отличаются от колебаний однородной цепочки: соседние атомы колеблются практически в одной фазе и при k = 0 щ = 0. Это - акустические колебания. Они включают в себя весь спектр звуковых колебаний решётки. Эти колебания играют основную роль в определении тепловых свойств кристаллов - теплоёмкости, теплопроводности, термического расширения и т.д.
В случае в) соседние атомы колеблются в противофазах. Эти колебания можно рассматривать как колебания друг относительно друга двух подрешёток из однородных атомов, вставленных одна в другую. Поскольку смещение соседних атомов друг относительно друга в этом случае больше, то и силы, стремящиеся вернуть атомы в положение равновесия, будут больше, поэтому будет больше и частота этих колебаний.
Если атомы заряжены, то при колебаниях такого типа каждая ячейка представляет собой переменный дипольный момент. Дипольные моменты взаимодействуют с электромагнитным полем, и колебания легко возбуждаются электромагнитными волнами соответствующих частот. Вся эта ветвь колебаний называется оптической. Эти колебания играют основную роль в процессах взаимодействия света с кристаллом. Дисперсионные кривые для оптических и акустических колебаний показаны на рис. 5.
В то время, как для акустических колебаний щ растёт с ростом k и достигает максимума , для оптических колебаний щmax имеет место при k = 0, с ростом k частота этих колебаний уменьшается и становится минимальной при .
Оптические колебания возникают не только в цепочке из разнородных атомов, ни и в том случае, когда цепочка состоит из двух и более простых цепочек, составленных из одинаковых атомов и вставленных одна в другую.
При длинноволновых акустических колебаниях атомы ячейки движутся в фазе и никакого дипольного момента не возникает. Поэтому акустические колебания с электромагнитным полем взаимодействуют слабо.
В общем случае в трёхмерной кристаллической решётке, элементарная ячейка которой содержит s атомов, существует 3s типов нормальных колебаний. Из них три типа акустические: одному типу соответствуют продольные колебания, двум другим - поперечные (со взаимно перпендикулярной поляризацией). Остальные (3s - 3) типов - оптические. При оптических колебаниях происходят сильные смещения атомов элементарной ячейки относительно друг друга.
Понятие о фононах
Колебания кристаллической решётки можно описывать колебаниями гармонических осцилляторов. Согласно квантовым представлениям энергия гармонического осциллятора квантуется и может принимать дискретный ряд значений:
. (5)
Согласно правилам отбора переходы могут осуществляться только между соседними энергетическими уровнями осциллятора (). Следовательно, энергия колебаний кристаллической решётки может меняться порциями - квантами . Этот квант энергии называется фононом. Фононы - это квазичастицы, соответствующие упругим колебаниям кристаллической решетки. Многие процессы в кристаллах протекают так, как если бы фонон был частицей с импульсом и энергией hн. Например, при описании теплопроводности кристалл можно рассматривать как некоторый объём, заполненный фононным газом. Фононы - это переносчики энергии по кристаллу из более нагретых его частей в более холодные. Реальный механизм переноса энергии фононами значительно более сложен, чем механизм переноса энергии частицами идеального газа. Однако такая модель позволяет правильно объяснить некоторые важные свойства твёрдых тел.
Фононы, соответствующие акустическим колебаниям, также называются акустическими.
Максимальная энергия акустического фонона в одномерной цепочке:. Экспериментальные значения в реальных кристаллах составляют 0.03?0.0 4 эВ. Эта величина намного меньше большинства характерных электронных энергий (~ 1 эВ) и близка к тепловой энергии при комнатной температуре (kT ? 0.025эВ).
Частота колебаний оптических фононов всегда выше частоты акустических фононов. Энергия оптических фононов выше энергии акустических. Поэтому при очень низких температурах возбуждаются только акустические фононы.
Фонон - это квазичастица. В отличие от обычных частиц (электрон, протон, фотон и т.д.) фононы не могут существовать в вакууме. Для фононов необходима "среда" (кристаллическая решётка), колебаниями которой они и являются. Фононы являются бозе-частицами: число фононов, соответствующих определенному колебанию (число фононов в одном состоянии), может быть сколь угодно большим (бозе-конденсация).
При высоких температурах ( >> ) число фононов пропорционально температуре. Средняя энергия колебания при этом равна kT. Это известный результат классической статистической механики для средней энергии гармонического осциллятора. Таким образом, пока kT превосходит энергию фонона, квантовые эффекты не играют роли.
Они играют существенную роль при низких температурах. Если << , то среднее число фононов экспоненциально мало. Можно сказать, что колебания, частота которых превосходит величину , ''вымерзают''. Энергия колебания не может быть меньше энергии одного фонона , а если энергия фонона много больше характерной тепловой энергии kT, то такие колебания практически не возбуждаются.
Энергия длинноволнового оптического фонона имеет тот же порядок величины, что и энергия фонона акустического колебания с максимальной частотой (0.05эВ). Энергии оптических фононов большинства полупроводниковых кристаллов лежат в диапазоне 0.03? 0.1 эВ.
Фононы позволяют во многих случаях рассматривать любое твёрдое тело как ящик, в котором заключён газ фононов. Фононы, как частицы обычного газа, движутся от стенки к стенке такого ящика, сталкиваются друг с другом, в результате взаимодействия фононы могут рождаться и исчезать. Газ фононов - это не обычный газ. Число фононов в твёрдом теле не постоянно. Фононов тем больше, чем выше температура, а при приближении к нулю их число также стремится к нулю.
Теплоёмкость кристаллической решётки. Внутренняя энергия и теплоёмкость электронного газа в металлах.
Наиболее важными способами поглощения тепловой энергии твёрдым телом являются:
1) увеличение интенсивности (амплитуды) колебаний атомов;
2) увеличение энергии поступательного движения электронов (возбуждение);
3) увеличение энергии вращательного движения молекул.
Первый механизм присущ всем твёрдым телам, поскольку можно заставить двигаться атомы любого твёрдого тела. Этот механизм наиболее важен из всех трёх. Другие эффекты могут преобладать только в узких температурных интервалах.
Согласно классической теории средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы колеблющегося атома, равна kT ( приходится на среднюю кинетическую энергию колебательной системы и на среднюю потенциальную энергию). Следовательно, кристалл из N атомов будет иметь внутреннюю энергию U = 3NkT. Для одного моля вещества (N = NA) будет:
U = 3NAkT = 3RT. (6)
Поэтому согласно классической теории молярная теплоёмкость будет равна:
. (7)
Это - хорошо известный закон Дюлонга - Пти, согласно которому молярная теплоёмкость всех химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова и равна 3R (R - универсальная газовая постоянная). Этот закон справедлив только при высоких температурах (выше температуры Дебая). При низких температурах теплоёмкость кристаллов убывает, стремясь к 0 при Т = 0?К.
Значение kT для средней энергии колебательного движения в классической теории получено в предположении, что энергия гармонического осциллятора может принимать непрерывный ряд значений. Однако в реальности энергия колебательного движения квантуется. Это приводит к тому, что средняя энергия колебательного движения будет отличной от kT.
Теория теплоёмкости кристаллических тел, учитывающая квантование колебательной энергии, была создана Эйнштейном (1907г.) и усовершенствована Дебаем (1912г.).
Эйнштейн представил кристаллическую решётку из N атомов как систему 3N одинаковых независимых гармонических осцилляторов с частотой н. Энергия каждого осциллятора принимает дискретный ряд значений
.
Эйнштейн предположил, что число осцилляторов с различными энергиями подчиняется распределению Больцмана:
. (8)
Исходя из этого, методами статистической физики, можно вычислить среднюю энергию осциллятора:
< е > = , (9)
здесь - энергия, так называемых, нулевых колебаний (это значение остаётся при , отсюда следствие: абсолютный нуль принципиально недостижим, всегда остаются нулевые колебания).
Полученные выражения позволяют вычислить внутреннюю энергию и теплоёмкость:
U = 3N< е > , (10)
кристалл акустический колебание фонон
При kT >> hн эта формула даёт Cp = 3R, т.е. закон Дюлонга - Пти.
При kT << hн , т.е. с уменьшением температуры теплоёмкость убывает по экспоненциальному закону. Теория Эйнштейна даёт зависимость, качественно согласующуюся с экспериментом. Модель Эйнштейна хорошо описывает вклад в энергию и теплоемкость оптических ветвей фононов, у которых частота слабо зависит от волнового вектора (от скорости распространения) и ее можно считать постоянной. Опыт показывает, что теплоемкость действительно падает с уменьшением температуры, но не экспоненциально, а пропорционально Т3. Дело в том, что при любых, сколь угодно низких температурах в кристалле найдутся колебания, энергия фонона которых меньше kT. Это -- длинноволновые акустические колебания. Именно такие колебания, точнее те из них, частота которых меньше , вносят основной вклад в энергию при низких температурах. Колебания с большими частотами (оптические и более коротковолновые акустические) ''заморожены'': фононов этих колебаний мало.
Правильную зависимость теплоёмкости от температуры, согласующуюся с экспериментом, удалось получить Дебаю. Дебай учёл, что колебания атомов кристаллической решётки не являются независимыми. Смещение одного атома приводит к смещению других атомов. Расчёт колебаний такой системы связанных осцилляторов показывает, что такая система характеризуется набором частот н1, н2, н3, … . Каждая частота определяет одно нормальное колебание кристаллической решётки.
Теория Дебая даёт следующее выражение для теплоёмкости:
(12)
здесь щmax - максимальная частота колебаний, n - число атомов в единице объёма. Зависимость теплоёмкости кристаллов от температуры представлена на рис. 6
Рис. 6
Качественно эту зависимость можно объяснить следующим образом.
1) Область низких температур Т << И.
В этой области возбуждаются, в основном, низкочастотные нормальные колебания, кванты, энергии которых < kT. В области низких температур энергия кристалла увеличивается с ростом Т вследствие действия двух механизмов:
а) роста числа возбуждённых нормальных колебаний (энергия кристалла в этом случае Е ~ Т3);
б) роста средней энергии каждого нормального колебания (энергия нормального колебания Е ~ Т).
В целом с ростом Т энергия решётки растёт Е ~ Т4, откуда С ~ Т3.
2) Область высоких температур Т >> И.
При Т = И возбуждены уже все нормальные колебания решётки и дальнейший рост Т не может привести к увеличению числа нормальных колебаний. Поэтому в области высоких температур изменение энергии кристалла может происходить только за счёт повышения степени возбуждения (рост амплитуды) нормальных колебаний. Поэтому в этой области Е ~ Т и С = const (закон Дюлонга - Пти).
Электронная теплоёмкость кристалла пренебрежимо мала по сравнению с теплоёмкостью решётки. Дело в том, что электронный газ в металле (только там есть свободные электроны) описывается квантовыми законами. При Т = 0 электроны металла занимают все энергетические уровни, вплоть до некоторого максимального (уровень Ферми WF). С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни. Поскольку kT << WF, то это возбуждение затрагивает только малую часть свободных электронов в полосе шириной порядка kT, расположенной непосредственно у уровня Ферми. Оценка вклада электронной теплоёмкости показывает, что она составляет ~ 10-2 от теплоёмкости кристаллической решётки.
Элементы зонной теории кристаллов. Число электронных состояний в зоне. Валентная зона и зона проводимости. Заполнение зон; металлы, диэлектрики, полупроводники
Первой удачной попыткой объяснения электрических и магнитных свойств твёрдых тел, в первую очередь металлов, была теория свободных электронов. Она исходила из представления, что металл содержит свободные электроны, способные перемещаться по всему объёму, подобно молекулам газа, заполняющим сосуд. Эта теория была предложена Друде и усовершенствована Лорентцем и Зоммерфельдом (теория Друде - Лорентца). Эта теория, учитывающая квантовый характер электронного газа, достаточно хорошо объясняет ряд свойств металлов (электро- и теплопроводность, термоэлектронную эмиссию и др.). Однако теория свободных не смогла объяснить свойства твёрдых тел, зависящих от их внутренней структуры.
Дальнейшим этапом в развитии электронной теории явилась зонная теория твёрдых тел.
В твёрдом теле расстояния между атомами настолько малы, что каждый из них оказывается в достаточно сильном поле соседних атомов. Электроны, находящиеся около каждого из них, оказываются в потенциальной яме (рис. 8).
Рис. 7
на рис. 7 а - расстояние между ядрами изолированных атомов.
Из рис. 7 видно, что высота барьеров U для электронов, находящихся на различных уровнях, различна. Она равна расстоянию от этих уровней энергии до нулевого уровня (энергия равна нулю (электрон, оторванный от ядра атома) при n = энергия ионизации атома). Потенциальный барьер препятствует свободному переходу электронов от одного атома к другому.
При уменьшении расстояния r между атомами взаимодействие между ними растёт и при r = a достигает значения, характерного для кристалла (рис. 8).
Рис. 8
Сближение атомов оказывает двоякое действие на потенциальный барьер: оно уменьшает его толщину до величины порядка а и понижает высоту (на рисунке 8 пунктиром показан случай изолированного атома). Самые далёкие от ядра валентные электроны получают возможность практически беспрепятственно переходить от одного атома к другому. Такие обобществлённые электроны называют свободными, а их совокупность - электронным газом.
Из - за уменьшения толщины и высоты потенциального барьера при сближении атомов свободу перемещаться по кристаллу получают не только свободные электроны, но и электроны, расположенные на других, более глубоких, уровнях атомов. Это происходит за счёт туннельного эффекта.
Однако наличие свободных электронов в кристалле является ещё недостаточным условием, чтобы такой кристалл был проводником. Для того, чтобы эти свободные электроны могли перемещаться по кристаллу под действием внешнего электрического поля этого условия ещё недостаточно.
Кроме перечисленных изменений в кристалле по сравнению с изолированным атомом, существенно изменяются и сами энергетические уровни.
Любое твёрдое тело состоит из атомов, т.е. собой совокупность ядер и электронов. В кристаллических твёрдых телах ядра атомов располагаются в узлах кристаллической решётки, обладающей пространственной периодичностью. В аморфных телах расположение ядер хаотично. При сближении атомов и образовании кристалла из отдельных не взаимодействующих между собой атомов происходит расщепление электронных энергетических уровней отдельных атомов и образованию семейства подуровней, называемых зонами (рис. 9).
На рис. 9 Е - энергетические уровни изолированного атома, R - расстояние между атомами, а - равновесное расстояние между атомами в узлах кристаллической решётки.
Наибольшему изменению подвергаются уровни наиболее удалённых от ядра валентных электронов (En). Если кристалл образован из N атомов, то каждый уровень расщепляется на N подуровней (N имеет порядок числа Авогадро N ~ 1023).
Расщепление энергетических уровней изолированных атомов при образовании кристалла можно объяснить на основе квантовой механики.
Состояние электрона в атоме определяется четырьмя квантовыми числами n (главное квантовое число), ? (орбитальное квантовое число), m (магнитное квантовое число) и s (спиновое квантовое число). В многоэлектронных атомах энергия электрона зависит не только от n, но и от ?. В общем случае уровень с данным значением ? является (2? + 1)-кратно вырожденным и на нём может разместиться 2(2? + 1) электронов. При помещении свободного атома в сильное внешнее поле (поле соседних атомов в кристалле) вырождение уровней снимается: каждый уровень расщепляется на (2? + 1) близко расположенных подуровней.
На различные уровни атома влияние внешнего поля не одинаково. Уровни внутренних электронов, сильно взаимодействующих с ядром, испытывают настолько слабое возмущение, что им можно пренебречь. По мере перехода ко всё более внешним электронам энергия взаимодействия их с ядром уменьшается и влияние внешнего поля увеличивается. Наиболее сильное изменение под влиянием поля претерпевают уровни внешних валентных электронов, сравнительно слабо связанных с ядром.
Различие между кристаллом и отдельным атомом состоит в следующем. В то время, как в изолированном атоме данный энергетический уровень Eа (n, ?) является единственным, в кристалле, состоящем из N атомов, он повторяется N раз, т.е. является N-кратно вырожденным. Такое вырождение называют перестановочным. В результате взаимодействия между атомами в кристалле это вырождение снимается и уровень Еа(n, ?) расщепляется на N близко расположенных подуровней, образующих энергетическую зону. Если энергетический уровень имел в атоме (2?+1)-кратное вырождение, то соответствующая ему зона будет состоять из N(2?+1) подуровней.
Расстояние между подуровнями в зоне кристалла обычных размеров очень мало. В кристалле размером 1м3 содержится ~ 1028 атомов. При ширине зоны ~ 1эВ расстояние между подуровнями в зоне равно ~ 10-28эВ. Это расстояние столь мало, что зоны можно считать практически непрерывными (при комнатной температуре энергия теплового движения kT ~ 2.6·10-2эВ, что на ~ 26 порядков больше). Однако тот факт, что число уровней в зоне является всё-таки конечным, играет важную роль в определении характера распределения электронов по состояниям в зоне.
Число электронных состояний в зоне. Валентная зона и зона проводимости. Заполнение зон; металлы, диэлектрики, полупроводники
Существование энергетических зон в кристаллах позволяет объяснить с единых позиций существование металлов, полупроводников и диэлектриков.
Каждая зона содержит ограниченное (хотя и очень большое) число энергетических подуровней. В соответствии с принципом Паули на каждом подуровне может находиться не более двух электронов (с противоположно направленными спинами). При ограниченном числе электронов, содержащихся в твёрдом теле, заполненными окажутся лишь несколько наиболее низких энергетических зон.
При образовании кристаллов из многоэлектронных атомов образуется несколько энергетических зон. Заселённость этих зон определяется заполнением уровней изолированных атомов. Те зоны, которые соответствуют замкнутым (полностью заполненным) оболочкам, всегда будут заполнены целиком и в твёрдом теле.
Зоны разрешённых значений энергии электронов в кристалле разделены зонами запрещённых значений энергии. Разрешённая зона энергий, возникшая из того уровня, на котором в изолированном атоме находятся валентные электроны, называется валентной зоной. При Т = 0 все разрешённые зоны, расположенные ниже (по энергии) валентной, полностью заполнены электронами, а все разрешённые зоны выше валентной полностью свободны от электронов. В самой валентной зоне электроны попарно заполняют энергетические уровни, начиная с самых нижних.
По характеру заполнения зон электронами все тела можно разделить на две большие группы. К первой группе относятся тела, у которых над целиком заполненными зонами располагается зона, заполненная лишь частично (рис. 11). Такая зона возникает в том случае, когда атомный уровень, из которого она образуется, заполнен в атоме не полностью, как это имеет мест, например, у щелочных металлов.
Рис. 11
Частично заполненная зона может образоваться также и вследствие наложения заполненных зон на пустые зоны или частично заполненные зоны, как это имеет место у бериллия и щелочно-земельных элементов. Наличие зоны, заполненной лишь частично, присуще металлам. Свободные электроны в металле совершают хаотическое тепловое движение, однако такое движение ещё не является электрическим током (электрический ток - это направленное движение заряженных частиц - электронов). При наложении даже слабого внешнего электрического поля свободные электроны получают дополнительную скорость направленного движения (дрейфовую скорость), именно она и обусловливает электрический ток в кристалле, т.е. его проводимость. На языке квантовой механики такое увеличение скорости, а значит, и кинетической энергии электронов означает, что электрон переходит на более высокий уровень энергии. Для того, чтобы электрон смог это сделать необходимо чтобы такой близкорасположенный свободный уровень энергии был. Ясно, что такая ситуация реализуется в том случае, если зона заполнена лишь частично. Таким образом, чтобы кристалл был проводником необходимо, чтобы помимо наличия свободных электронов была зона энергии, заполненная лишь частично.
Ко второй группе относятся тела, у которых над целиком заполненной зоной лежит пустая зона, отделённая от неё зоной запрещённых значений энергии.
Наибольший интерес представляет наиболее высокая заполненная зона - валентная зона. Над ней расположена зона запрещённых значений энергии (запрещённая зона), ширина которой равна энергии связи валентных электронов. Над запрещённой зоной расположена зона проводимости - зона разрешённых значений энергии, для электронов, которые обусловливают проводимость кристалла.
Рис. 12
По ширине запрещённой зоны все тела делятся на диэлектрики, полупроводники и проводники.
У проводников ширина запрещённой зоны равна нулю
ДЕ = 0
Рис. 13 (формально, к этому случаю можно свести случай частично заполненной зоны).
У полупроводников ДЕ ~ 1эВ
Рис. 14
У диэлектриков
ДЕ ~ 5эВ и более.
Рис. 15
Понятие о квантовой статистике Ферми-Дирака. Уровень Ферми.
Любое твёрдое тело представляет собой систему или коллектив, состоящий из огромного (порядка числа Авогадро N ~ 1023) микрочастиц. В таких системах проявляются специфические, так называемые, статистические закономерности.
Существует два способа описания состояния коллектива - термодинамический и статистический.
Термодинамическое описание - рассматривают макроскопическую систему, не интересуясь теми частицами, из которых она состоит. Равновесное состояние однозначно определяется заданием совокупности независимых параметров - параметров состояния (основные из них P, V, T). далее термодинамическое описание рассматривает различные преобразования энергии, происходящие в системе.
Статистическое описание - рассматривает статистические закономерности, основной особенностью которых является их вероятностный характер. Они позволяют предсказать лишь вероятность наступления того или иного события.
В принципе, состояние каждой частицы системы можно описать заданием трёх её координат и трёх составляющих импульса. Составляя уравнения движения частиц и решая их, казалось бы, можно получить полные сведения о поведении системы и предсказать её состояние в любой момент времени. Однако такие расчёты не только чрезвычайно сложны (необходимо решить систему из ~ 1023 уравнений), но и бесполезны, т.к. свойства системы, пришедшей в равновесие, не только не зависят от начальных значений координат и импульсов частиц, но и вообще остаются неизменными с течением времени, несмотря на то, что координаты и импульсы частиц непрерывно меняются. Отсюда следует, коллектив, как целое, является системой, качественно отличной от отдельных частиц и его поведение подчиняется иным закономерностям по сравнению с поведением отдельных частиц. Такими закономерностями являются статистические закономерности.
Невырожденные и вырожденные коллективы
В квантовой статистике по характеру поведения в коллективе все микрочастицы можно разделить на две группы: фермионы и бозоны.
К фермионам относятся частицы с полуцелым спином - это электроны, протоны, нейтроны и др.
К бозонам относятся частицы с целочисленным значением спина - это фотоны, фононы, мезоны и др.
В коллективе фермионы проявляют ярко выраженное стремление к "уединению". Если данное квантовое состояние уже занято фермионом, то никакой другой фермион данного типа не может находиться в этом состоянии. Фермионы, поэтому, подчиняются принципу запрета Паули.
Бозоны, напротив, обладают стремлением к "объединению". Они могут неограниченно заселять одно и то же состояние, причём делают они это тем "охотнее", чем их больше уже находится в этом состоянии ("бозе-конденсация").
Для проявления специфики частиц (их фермионности или бозонности) необходимо, чтобы они "встречались" друг с другом достаточно часто. Здесь под "встречей" понимается попадение частиц в одно и то же состояние или, по крайней мере, в достаточно близкие состояния.
Пусть на N одинаковых частиц приходится G различных состояний, в которых может находиться отдельная микрочастица. Мерой частоты "встреч" может служить отношение (т.е. число частиц в данном состоянии). Ясно, что если << 1, то частицы "встречаются" редко. В этом случае число различных вакантных состояний много больше числа частиц (G >> N). В таких условиях специфика фермионов и бозонов проявиться, очевидно, не может, т.к. в распоряжении каждой микрочастицы имеется множество различных состояний (свободных) и вопрос о заселении одного и того же состояния несколькими частицами практически не возникает. Поэтому свойства коллектива как целого не будут зависеть от специфики микрочастиц, из которых он состоит. Такие коллективы называются невырожденными, а условие << 1 - называют условием невырожденности.
Если ? 1 (т.е. G ? N), то вопрос о том, как заселить состояния (поодиночке или коллективно) становится важным. В этом случае специфика частицы проявляется в полной мере, оказывая значительное влияние на свойства коллектива как целого. Такие коллективы называются вырожденными.
Вырожденные коллективы могут образовываться только из квантовомеханических объектов, т.к. только у них параметры состояния изменяются дискретно, вследствие чего число G возможных состояний конечно. У классических же объектов, у которых параметры состояния меняются непрерывно, число состояний G всегда бесконечно большое, поэтому классические объекты могут образовывать только невырожденные коллективы.
В квантовых статистиках могут фигурировать только квантовые объекты, тогда как в классической статистике могут фигурировать и классические, и квантовые объекты. Если уменьшать число частиц в коллективе, то вырожденный коллектив в конце концов превращается в невырожденный. В этом случае независимо от своей фермионной или бозонной природы коллектив будет описываться классической статистикой Максвелла-Больцмана.
В кристаллах при Т = 0 все электроны валентной зоны находятся в низших энергетических состояниях. При этом они в соответствии с принципом Паули располагаются на низших энергетических уровнях (рис. 16).
Рис. 16
При этом оказываются занятыми все уровни до некоторого наивысшего. Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми, а соответствующая ему энергия - энергией Ферми (EF). Распределение электронов по энергетическим состояниям описывается некоторой функцией распределения, которая показывает вероятность нахождения электронов в том или ином энергетическом состоянии. Частицы с полуцелым спином (фермионы) подчиняются статистике Ферми - Дирака. Функция распределения f(E) при Т = 0 имеет вид
Рис. 17
Аналитический вид этой функции задаётся соотношением
(13)
Эта функция распределения называется функцией Ферми - Дирака.
Эта функция точно соответствует графику на рис. 17.
Поведение электронного газа в сильной степени зависит от соотношения между энергией теплового движения kT и энергией Ферми EF:
при kT << EF электронный газ вырожден;
при kT >> EF электронный газ невырожден.
Приравнивая kT = EF, можно найти, так называемую, температуру Ферми . Для металлов TF составляет несколько тысяч градусов (значительно выше температуры плавления), поэтому в металлах газ свободных электронов всегда вырожден и подчиняется квантовой статистике Ферми-Дирака. В полупроводниках электронный газ при комнатной температуре невырожден и подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.
Распределение энергетических состояний в зоне проводимости металлов
Энергетические состояния, т.е. число уровней в пределах зон, распределяются неравномерно: малым значениям энергии соответствует меньшее число состояний, большим значениям энергий - большее число состояний
Рис. 18
Из рис. 18 видно, что число состояний g, приходящихся на интервал 1эВ, растёт с ростом энергии Е (здесь g - число энергетических состояний, приходящихся на единичный интервал энергии, т.е. плотность состояний).
Расчёт показывает, что g ~
Рис. 19
Функция g позволяет определить число электронов, имеющих энергию в заданном интервале энергий. Для этого необходимо учесть вероятность заполнения соответствующих состояний электрона (электрон может быть в данном состоянии, но может и отсутствовать). Поэтому для нахождения числа электронов в выбранном интервале энергий необходимо учитывать также функцию распределения
dW = f(E)dE (14)
Распределение электронов по энергиям при Т = 0 будет иметь вид
Рис. 20
При повышении температуры (Т > 0) часть электронов с верхних заполненных уровней (вблизи уровня Ферми) будет переходить на более высокие уровни за счёт теплового возбуждения (при комнатной температуре Т = 300К kT = 0.02эВ). Переход электронов с низших энергетических уровней крайне затруднён, т.к. для такого возбуждения требуется энергия порядка энергии Ферми 2 - 3эВ. Часть электронов теперь будет находиться на уровнях выше уровня Ферми (рис. 22):
Рис. 21
При этом функция распределения g и f будут иметь вид:
Из рисунков видно, что углы функции распределения при 0?К сглаживаются, причём величина интервала, где функция уменьшается от 1 до 0, имеет порядок kT. Из рис. 22 видно, что при Т > 0 при E = EF = . Таким образом, уровень Ферми можно определить как уровень энергии, вероятность заполнения которого электронами равна . Энергия Ферми (уровень Ферми) слабо зависит от температуры, незначительно увеличиваясь с её ростом.
Для невырожденного электронного газа функция f имеет вид
и называется функцией распределения Максвелла - Больцмана. Вид этой функции показан на рис. 24:
Рис. 24
Умножая эту функцию распределения на g - функцию, описывающую плотность распределения состояний (g~) получим функцию распределения частиц по энергиям в случае невырожденного электронного газа.
Рис. 25
Для вырожденного электронного газа необходимо рассмотреть два случая: когда частицы - фермионы и бозоны.
Для фермионов
Функция распределения Ферми - Дирака
(15)
При Т = 0
При Т > 0 с этими кривыми будут происходить изменения, аналогичные рис. 22 и рис. 23.
Для бозонов
Функция распределения Бозе - Эйнштейна
(16)
График этой функции показан на рис.28, а распределение частиц по энергиям - на рис. 29.
Электропроводность металлов. Основы квантовой теории электропроводности металлов
Согласно квантовомеханическим расчётам, в случае идеальной кристаллической решётки электроны проводимости не испытывали бы при своём движении никакого сопротивления и электропроводность металла была бы бесконечно большой. В случае идеальной кристаллической решетки ее электрическое сопротивление стремится к нулю, но в реальных кристаллах происходит рассеяние электронов на дефектах кристаллической решетки. Это затрудняет упорядоченное движение электронов, вызванное действием электрического поля. При напряженности Е ~ 1В/м средняя скорость направленного движения электронов (скорость дрейфа) порядка 0.1 м/с, их де бройлевская длина волны л = 10-2м, что значительно больше межатомных расстояний в кристаллах (10-10м). В этом случае рассеяние электронов ничтожно мало. Если в решетке кристалла есть нарушения, сравнимые с л, то возникает рассеяние, увеличивающее сопротивление кристалла электрическому току.
Нарушение строгой периодичности решётки (примеси, вакансии, тепловые колебания решётки - фононы) приводит к возникновению сопротивления. Электроны проводимости рассеиваются на атомах примеси и на фононах. Поэтому удельное сопротивление с металлов можно представить в виде:
с = сколеб + спримесн , (17)
где сколеб - сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решётки;
спримесн - сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на примесях.
При Т > 0 сколеб > 0, но спримесн ? 0 и не зависит от температуры.
В отсутствие электрического поля электронный газ в проводнике находится в равновесном состоянии и описывается равновесными функциями распределения. Для вырожденного газа - это функция Ферми - Дирака (рис. 30), для невырожденного - это функция Максвелла - Больцмана (рис. 31). Эти функции симметричны относительно начала координат, т.к. их средняя скорость в любом направлении равна нулю. Этим объясняется тот факт, что в проводнике, содержащем сколь угодно большое число свободных электронов, электрический ток не возникает.
Качественно зависимость с от температуры можно объяснить следующим образом.
Металлы являются вырожденными проводниками, поэтому концентрация n электронного газа в них практически не зависит от температуры. Поэтому зависимость удельной электропроводности у от температуры полностью определяется температурной зависимостью подвижности u электронов вырожденного электронного газа.
В области высоких температур основное значение имеет рассеяние электронов на тепловых колебаниях решётки (фононах). В этом случае подвижность носителей вырожденного газа u ~ . Это приводит к зависимости с ~ , что не согласуется с экспериментом.
В области низких температур основное значение имеет рассеяние на ионизированных примесных атомах. Рассеяние состоит в том, что ионы примеси отклоняют электроны, проходящие вблизи них, и, тем самым, уменьшают скорость их движения. В этом случае для вырожденного газа u ~ . Откуда согласно классическим представлениям зависимость с от Т должна иметь вид:
Рис. 32
Согласно классической теории электропроводности при приложении к проводнику электрического поля Е в нём возникает электрический ток, плотность которого, согласно закону Ома, пропорциональна Е:
ј = уЕ (18)
где у - удельная электропроводность, - удельное сопротивление
у металлов с ? 10-7 ? 10-8ом·м
у диэлектриков с ? 1012 ? 1014ом·м.
Под действием поля электроны приобретают направленное движение и функция распределения их по скоростям изменяется (смещается по направлению движения). Такое направленное движение называют дрейфом электронов, а среднюю скорость этого движения - скоростью дрейфа VД.
Согласно классической теории
(19)
где е - заряд электрона,
n - концентрация свободных носителей,
u - подвижность электронов. т.е. средняя скорость направленного движения в электрическом поле с единичной напряжённостью,
- средняя длина свободного пробега,
- средняя скорость теплового движения.
Классическая теория не объясняла температурную зависимость сопротивления металлов. Согласно этой теории все величины, входящие в формулу (19), за исключением скорости являются постоянными, не зависящими от температуры, а ~ , это следует из классической статистики Максвелла-Больцмана. Поэтому у ~ , а с ~ . Однако, экспериментальные зависимости с(Т) иные: сопротивление металлов в широкой температурной области прямопропорционально температуре (т. е. с ~ Т) (рис. 33):
Рис. 33
...Подобные документы
Гармонические колебания и их характеристики. Скорость и ускорение колеблющейся материальной точки, ее кинетическая и потенциальная энергии. Понятие колебательных систем. Примеры гармонических осцилляторов (математический, физический и пружинный маятники).
презентация [185,7 K], добавлен 24.09.2013Определения и классификация колебаний. Способы описания гармонических колебаний. Кинематические и динамические характеристики. Определение параметров гармонических колебаний по начальным условиям сопротивления. Энергия и сложение гармонических колебаний.
презентация [801,8 K], добавлен 09.02.2017Сведения о колебаниях кристаллических решёток, функции, описывающие их физические величины. Кристаллографические системы координат. Расчет энергии взаимодействия атомов в ковалентных кристаллах, спектра колебаний кристаллической решётки вольфромата бария.
дипломная работа [566,1 K], добавлен 09.01.2014Атомная подсистема твердого тела. Анизотропия и симметрия физических, физико-химических, механических свойств кристаллов. Модель идеального кристалла и независимых колебаний атомов в нем. Классическое приближение. Модель Эйнштейна. Энергия решетки.
презентация [303,4 K], добавлен 22.10.2013Единый подход к изучению колебаний различной физической природы. Характеристика гармонических колебаний. Понятие периода колебаний, за который фаза колебания получает приращение. Механические гармонические колебания. Физический и математический маятники.
презентация [222,7 K], добавлен 28.06.2013Способы представления гармонических колебаний. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Аналитический, графический и геометрический способы представления гармонических колебаний. Амплитуда результирующего колебания. Понятие некогерентных колебаний.
презентация [4,1 M], добавлен 14.03.2016Метод векторной диаграммы. Представление гармонических колебаний в комплексной форме; сложение гармонических колебаний; биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний: уравнение траектории результирующего колебания; уравнение эллипса; фигуры Лиссажу.
презентация [124,5 K], добавлен 24.09.2013Принцып генерирования гармонических сигналов. Спектральный состав и анализ периодических колебаний. Частотный состав непериодического колебания. Распределение энергии в спектре непереодического колебания. Расположение энергетически участков спектра.
реферат [103,5 K], добавлен 05.05.2009Описание движения твёрдого тела. Направление векторов угловой скорости и углового ускорения. Движение под действием силы тяжести. Вычисление момента инерции тела. Сохранение момента импульса. Превращения одного вида механической энергии в другой.
презентация [6,6 M], добавлен 16.11.2014Понятие и физическая характеристика значений колебаний, определение их периодического значения. Параметры частоты, фазы и амплитуды свободных и вынужденных колебаний. Гармонический осциллятор и состав дифференциального уравнения гармонических колебаний.
презентация [364,2 K], добавлен 29.09.2013Изложение физических основ классической механики, элементы теории относительности. Основы молекулярной физики и термодинамики. Электростатика и электромагнетизм, теория колебаний и волн, основы квантовой физики, физики атомного ядра, элементарных частиц.
учебное пособие [7,9 M], добавлен 03.04.2010Понятие и основные черты конденсированного состояния вещества, характерные процессы. Кристаллические и аморфные тела. Сущность и особенности анизотропии кристаллов. Отличительные черты поликристаллов и полимеров. Тепловые свойства и структура кристаллов.
курс лекций [950,2 K], добавлен 21.02.2009Рассчётно-графическая работа по определению реакции опор твёрдого тела. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её траектории. Решение по теореме об изменении кинетической энергии системы. Интегрирование дифференциальных уравнений.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 23.11.2009Главные черты линейных колебаний: одномерная цепочка с одним и двумя атомами в ячейке. Трехмерный кристалл. Фононы. Акустическая и оптическая ветки колебаний. Энергия колебаний и теплоемкость кристаллической решетки: модель Эйнштейна и модель Дебая.
курсовая работа [219,4 K], добавлен 24.06.2008Требования к уровню подготовки учащихся. Методика изучения раздела "Механические колебания и волны". Особенности превращения энергии при гармонических колебаниях. Природа возникновения механических волн и звука, составление компьютерных моделей.
курсовая работа [3,9 M], добавлен 08.10.2013Сложение взаимно перпендикулярных механических гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение; автоколебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Амплитуда и фаза колебаний; резонанс.
презентация [308,2 K], добавлен 28.06.2013Изучение сущности механических колебаний. Характерные черты и механизм происхождения гармонических, затухающих и вынужденных колебаний. Разложение колебаний в гармонический спектр. Применение гармонического анализа для обработки диагностических данных.
реферат [209,3 K], добавлен 25.02.2011Поверхностные акустические волны - упругие волны, распространяющиеся вдоль свободной поверхности твёрдого тела или вдоль его границы с другими средами и затухающие при удалении от границ. Энергетические характеристики ПАВ, составление уравнения Ламе.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 17.01.2012Оптическое волокно, как среда передачи данных. Конструкция оптического волокна. Параметры оптических волокон: геометрические, оптические. Оптические волокна на основе фотонных кристаллов. Передача больших потоков информации на значительные расстояния.
реферат [182,9 K], добавлен 03.03.2004- История возникновения и формирования квантовой механики и квантово-механической теории твердого тела
Экспериментальные основы и роль М. Планка в возникновении квантовой теории твердого тела. Основные закономерности фотоэффекта. Теория волновой механики, вклад в развитие квантово-механической теории и квантовой статистики А. Гейзенберга, Э. Шредингера.
доклад [473,4 K], добавлен 24.09.2019
