Світ симетрії

Гвинтовий рух. Гвинтові структури

Цей рух - поєднання повороту навколо осі і паралельного перенесення вздовж цієї самої осі. Поворотну вісь при цьому називають гвинтовою віссю. Приклад - гвинтова драбина (або сходи), гвинти в техніці, молекули РНК і ДНК. Повітряний гвинт - одна з основних конструкцій сучасного літака.

Якщо рух відбувається від спостерігача, а поворот за годинниковою стрілкою, гвинтовий рух називається правим, якщо проти гвинтової стрілки - лівий (рис.21-22). Обидва рухи - дзеркально-симетричні. Відстань, на яку зміщується точка простору внаслідок одного повороту, називається періодом трансляції.

Найкоротший шлях між двома точками на циліндричній поверхні - це гвинтова лінія. Переконайтеся в цьому, зробивши розгортку циліндра, на якому нанесена гвинтова лінія.

Коли правий гвинт відбивається в дзеркалі, він стає лівим, а лівий, навпаки, стає правим. Обидва гвинти - це два анантиоморфи. Гвинтову лінію ще називають просторовою спіраллю.

Гвинтова структура властива не тільки технічним пристроям, вона часто поширена в природі. Проявляється в розміщенні листків на стеблах, у шишок і рослин, які в'ються (наприклад квасолі, хмелю тощо).

У більшості випадків решітки кристалів володіють кристальною симетрією, хоча часто бувають дзеркально-симетричні решітки. Декілька з них мають гвинтову структуру, наприклад, решітка кварцу. В основі її тетраедр із атомом кремнію в центрі, а у вершинах розташовані атоми кисню. Тетраедри розташовані в напрямі головної осі вздовж гвинтової лінії, яка може бути закручена і вліво, і вправо. Тому існує два енантиоморфічні види кварцу (рис.23), де один із них є дзеркальним відбиттям другого.

Найпоширеніші природні гвинти в молекулах білків. До складу людського організму входять тисячі білків з унікальною структурою. Білки - це органічна речовина, що є основним компонентом клітин елементарних біологічних систем, які лежать в основі існування живих організмів. Усі складові людського тіла містять білки, до яких входять і гормони - регулятори функцій в організмі. Молекула білка складається з атомів вуглецю, водню, кисню і азоту. Кожна така молекула-велетень являє собою сукупність менших підрозділів - амінокислот (органічні кислоти), з'єднаних у ланцюжок - альфа-спіраль Полінга, що закручений по правій спіралі. Молекули волокон сухожилля - це потрійні альфа-спіралі. Скручені між собою, вони утворюють молекулярні гвинти, які входять до складу волокон волосся, рогової речовини тощо.

Молекула життя ДНК

Виняткова роль у світі живої природи належить молекулам дезоксирибонуклеїнової кислоти (ДНК) - молекулам спадковості. Це центральний план життя, бо молекула ДНК відповідає за передачу спадкових ознак від одного покоління клітин до наступного.

Молекула ДНК складається з двох ланцюжків, закручених один навколо одного. Це подвійна права спіраль (рис.24). Ланцюжки спіралі з'єднані між собою різними комбінаціями чотирьох сполук, які називаються нуклеотидами. Кожний нуклеотид утворений з трьох компонентів - пентози (П) (моносахариди, що містять п'ять атомів вуглецю у молекулі), азотної основи (АО) та фосфорної кислоти (Ф), між якими діють міцні хімічні зв'язки (рис. 25). На рисунку нуклеотиди позначені прямокутниками, а зв'язки між ними - штриховими лініями. Існують чотири типи азотистих основ: адеїн (А), гуамін (Г), цитозин (Ц) і тимін (Т). При цьому азотиста основа адеїн одного ланцюга завжди сполучається з тиміном (А-Т), утворюючи подвійний водневий зв'язок. А азотиста основа цитозин з гуаміном іншого ланцюга (Ц-Г), утворюючи потрійний водневий зв'язок. У кожному з цих поєднань обидва нуклеотиди нібито доповнюють (комплектують) один одного. Сполуки адеїну з гуаміном і тиміну з цитозином не реалізуються, тому, якщо відомий порядок розміщення нуклеотидів в одному ланцюзі, то можна встановити порядок нуклеотидів у іншому ланцюзі. Нуклеотиди ДНК у ланцюгах сполучаються між собою зв'язками П і Ф.

Наведена схема ДНК нагадує собою драбину (рис. 26), в якій роль вертикальних жердин відіграють ланцюжки П-Ф-П-Ф-П-Ф..., а роль горизонтального щабля - пари АО.

Певна послідовність нуклеотидів (пар АТ, ТА, ГЦ і ЦГ) і їх число вздовж “драбинок” визначають генетичний код (специфічність кожного гена), тобто індивідуальність кожного живого організму. Хоч існує лише чотири типи “перекладин”, їх величезна кількість на “драбині” дає можливість записати в одній молекулі ДНК всю спадкову інформацію. Вона зберігається під час поділу клітин організму.

Перед тим як поділитися і створити нове покоління собі подібних, клітини в організмі повинні подвоїти ДНК. Насамперед з допомогою специфічних білків “розкручуються” частини подвійної спіралі ДНК (рис. 27,а). Тоді за чітким порядком комплементарності вільні нуклеотиди, що містяться в клітині, приєднуються до відповідних їм нуклеотидів двох первинних ланцюжків спіралі (рис.27,б). Відтак утворюються дві копії молекули ДНК, тобто, коли клітина ділиться, кожна заново створена клітина отримує свою копію ДНК (рис. 27,в).

При цьому треба знати, що кожний пентозо-фосфатний ланцюжок являє собою праву спіраль, тому в цілому молекула ДНК має вигляд подвійної правої спіралі. Вона подібна не на звичайну прямокутну дробину, а на гвинтоподібну драбину (рис. 28).

Слід наголосити, що всі спіралі молекул ДНК в людському тілі є правими. Ліві спіралі ДНК повністю відсутні.

Структура молекул ДНК була введена, відкрита й розшифрована американцем Дж. Уотсоном і англійцем Ф. Кріком у 1953 році.

Многогранники з погляду симетрії

Ще в давнину греки вважали, що Всесвіт симетричний через те, що симетрія прекрасна. Виходячи із міркувань симетрії, Піфагор у V ст. до н.е. Землі приписував сферичну форму, й рухається вона також по сфері навколо „центрального вогню”. Ці ідеї Піфагор поширив на відомі тоді шість планет, Місяць, Сонце і навіть зорі. Всі вони також обертаються навколо того ж “вогню”, що й Земля.

Увагу вчених полонила не лише сферична форма, але й правильні опуклі многогранники. Ще піфагорійці дослідили вражаючий факт - існує не більше п'яти правильних опуклих многогранників різної форми. Їх назвали Платоновими тілами, бо їх детально описав Платон (V-IV ст. до н.е.). Це такі многогранники: тетраедр, октаедр, ікосаедр, гексаедр (куб), додекаедр (рис. 29).

Ідею симетрії, що випливала з факту існування п'яти Платонових тіл, поділяв видатний німецький астроном Й. Кеплер (1571-1630), який прагнув пояснити, чому Сонячна система складається з шести планет (інші планети тоді ще не були відкриті) і чому радіуси їхніх “сфер” (орбіт) відносяться так, як обчислив Кеплер. Учений у сферу (орбіту) Сатурна вписав куб, в який потім вписав сферу Юпітера. В сферу Юпітера вписав тетраедр, а в нього - сферу Марса і т. д. Обчисливши відповідно до цієї схеми радіуси планетних сфер, Кеплер помітив, що відношення цих радіусів непогано узгоджуються з даними, знайденими із спостережень. Він подумав, що цим йому вдалося пояснити принцип побудови Сонячної системи, бо нібито встановлювався зв'язок між існуванням шести планет і п'яти Платонових тіл. Радості Кеплера не було меж, але вона була передчасною. Скоро з'ясувалося, що збіги відношень радіусів планетних орбіт із співвідношеннями, знайденими із схеми правильних многокутників, були випадкові. Та й планет у Сонячній системі виявилося не шість, а дев'ять (або вісім як прийнято в останній час).

Навіть випадок Платонових тіл переконує, що симетрія обмежує різноманітність структур у навколишній природі, скорочує число можливих варіантів. Можливо, цей неординарний висновок стосується також обмежень багатообразності структур молекул і кристалів, а також кількості елементарних частинок і основних законів природи? Як побачимо далі, це справді так.

Симетрія навколо нас

Часто дороговказом при розгляді проблем світобудови стають ідеї симетрії. Так, відомий польський астроном Н.Копернік своє вчення про Сонячну систему будував на висновках піфагорійців про сферичність Землі і рух її по сфері. Тож поняття симетрії охоплює не лише окремі предмети, а й фізичні закони і явища. Водночас не слід надміру перебільшувати роль симетрії в картині Всесвіту, як це ми бачили на прикладі платонових тіл і кеплерівських схем, побудованих на ґрунті п'яти правильних многокутників. У минулі віки дехто з вчених, нестримно захопившись симетрією, нав'язував природі існування якогось „центра світу”, насправді неіснуючого. Сучасна наука розглядає Всесвіт з позиції єдності симетрії і асиметрії, про що говорилося. Так, спостерігаючи хаотичне розсипання зір на нічному небі, ми уявляємо цілком правильні симетричні утворення галактик, де можливі симетричні структури планетних систем. Світ, що нас оточує, - це водночас згромадження в неживій природі безладдя і панування в ній бездоганної точності та симетрії. Купа каміння у підніжжі гори - втілення хаосу, але кожний камінь зокрема - це велика сукупність кристалів - побудов з атомів і молекул, що підпорядковані строгим законам симетрії.

Світ кристалів

Вчені завжди звертали свій погляд не тільки до тіл сферичної форми, але й на правильні опуклі многогранники. Всі тверді тіла складаються з кристалів, більших або менших розмірів. Незалежно від їх величини - це переважно многогранники правильної форми з плоскими гранями й прямими ребрами. Кристали мають різне забарвлення, яке спричинюють різні домішки. Дуже поширений у природі кварц (SiO2 - окис кремнію), може мати різні кольори (в різноманітностях кварцу). Кремінь, простий пісок, точильний камінь - все це кварц. На рис.30 показана форма зовнішнього вигляду кристала кварцу (доладно симетрична), на рис.31 значаться кристали кам'яної солі (а) і арагониту (б) (формула: CaCO3), а на рис.32 зображено три симетричні форми зовнішнього вигляду алмазу: октаедр (а), ромбічний додекаедр (б), гексагональний октаедр (в).

Симетрія зовнішньої форми кристала - прояв його внутрішньої симетрії, коли атоми й молекули розміщені у просторі упорядковано. Вони утворюють просторову (кристалічну) решітку.

Часто властивості кристала визначаються не складом його молекул, який в обох молекул може бути однаковим (молекула складається з тих самих атомів), а просторовим розташуванням атомів, тобто відмінністю будови кристалічних решіток. Класичним прикладом можуть бути той самий алмаз (до краю твердий прозорий діелектрик) і графіт (м'який, як у олівця, непрозорий електропровідник), фізичні властивості яких, як бачимо, різко відрізняються, хоч атоми, з яких побудовані їх решітки, однакові - це вуглець. У решітці алмазу атоми С - центри тетраедра, у вершинах якого знаходяться чотири найближчі сусіди даного атома. Решітці графіту (рис. 33) властива шарувата структура. Кожен шар має поворотну симетрію 6-го порядку. Зв'язок між атомами в межах одного й того ж шару значно сильніший, ніж між атомами різних шарів.

Здатність деяких речовин існувати в станах із різною кристалічною структурою називається поліморфізмом. За певних температурних умов (10000С) графіт може перетворюватися на алмаз, тобто зазнавати поліморфічних перетворень.

Розрахунок дифракційної картини від кришталевої решітки найпростіше здійснюють таким чином. Проведемо через рівновіддалені вузли решітки паралельні площини (атомні шари). Якщо хвиля, що падає на кристал, плоска, то плоскою буде і відбита хвиля, збуджена атомами. Тобто сумарну дію атомів, що лежать в одному шарі, можна подати у вигляді плоскої хвилі, яку відбили розташовані на поверхні атоми згідно з законами відбиття. Вторинні хвилі гаситимуть одна одну в усіх напрямах, крім тих, для яких різниця ходів (рис. 34), де d - відстань між площинами падіння, - доповняльний кут до кута падіння, між сусідніми хвилями дорівнюватиме - довжина хвилі. Тож

.

Це формула Вульфа-Брегга.

Дифракція рентгенівського проміння (її вперше спостерігали в 1913 році) від кристалів має два основні застосування. Вона використовується для дослідження спектрального складу рентгенівського випромінювання і для вивчення структури кристалів. Першу задачу розв'язують, визначаючи з допомогою формули Вульфа-Брегга довжину хвилі . Для цієї мети визначають напрями максимумів (кут для певного значення k) і попередньо обчислюють відстань між сусідніми паралельними відбивними площинами.

Задача. Знайти міжплощинні відстані кристала кубічної системи NaCl. Густина кристала дорівнює і молекулярна маса речовини становить .

Розв'язання. У даному разі об'єм кристала , де - стала Авогадро, - число вузлів решітки (позаяк в молі NaCl міститься атомів і атомів Cl). Тож отримуємо

.

Типи кристалічних решіток

Залежно від форми елементарної комірки (рис.17,б) всі кристали геометрично поділяються на сім кристалічних систем (сингоній), кожна з яких одночасно може включати в себе декілька типів симетрії. За порядком зростання симетрії кристалічні системи бувають такі:

1. Триклінна система, для якої ; . Тут комірка являє собою косокутний паралелепіпед.

2. Моноклінна система. Вона характеризується параметрами: , , , тобто елементарна комірка має форму прямої призми, в основі якої паралелограм (вигляд прямого паралелепіпеда).

3. Ромбічна система. Для неї характерно ; . Елементарна комірка - прямокутний паралелепіпед.

4. Тетрагональна система. Всі кути - прямі (), два ребра рівні між собою (). Це пряма призма в основі якої квадрат.

5. Ромбічна система. В цьому разі всі ребра рівні, а кути теж однакові, але не прямі: , . Елементарна комірка тут куб, деформований вздовж діагоналі.

6. Гексагональна система. В ній виконуються умови , , .

7. Кубічна система. Всі ребра - однакові, а кути - прямі: , . Елементарна комірка - куб.

Якщо точку решітки можна сумістити з іншою, поєднуючи трансляцію цієї точки й відбиття її від площини, паралельної напряму трансляції, то виникає відповідний елемент симетрії, що називають площиною дзеркального ковзання. Сукупність еквівалентних вузлів решітки, які можна поєднати один з одним лише з допомогою паралельного перенесення, утворює так звану трансляційну решітку Браве кристала.

Тож решітка Браве - це паралелепіпед, побудований з допомогою паралельного перенесення якогось із вузлів решітки в трьох напрямах. Такими напрямами можуть бути напрями, паралельні осям симетрії кристала або перпендикулярні до його площини симетрії. У таких паралелепіпедах еквівалентні вузли (атоми) можуть розміщатися не лише у вершинах, а й у центрі граней (гранецентрована решітка Браве) і в центрі діагональної площини (об'ємноцентрована решітка Браве).

Існує 14 типів решіток Браве. Належність до будь-якого типу визначає співвідношення довжини ребер а, в, с (рис.17,а) і кути між ними, які можуть бути різними. Позаяк за осі координат, на яких будують елементарні комірки - паралелепіпеди, вибрано кристалографічні осі кристала, то кожна з решіток Браве належить до однієї з семи зазначених вище кристалічних систем. Усі 14 елементарних паралелепіпедів решіток Браве зображено на рис. 17, б в порядку зростання їх симетрії.

Решітки: 1 - найменш симетрична триклінна з вузлами у вершинах паралелепіпеда, тут і ; 2 - проста моноклінна; 3 - гранецентрована моноклінна; 4 - проста ромбічна; 5 - ромбічна з центрованою основою; 6 - ромбічна об'ємноцентрована; 7 - ромбічна гранецентрована; 8 - гексагональна з вузлами у вершинах правильних шестигранних призм і центрах їх шестикутних основ; 9 - ромбоедрична, елементарний паралелепіпед являє собою куб, деформований уздовж просторової діагоналі (ромбоедр), 10 - тетрагональна проста решітка; 11 - тетрагональна об'ємноцентрована проста решітка; 12 - проста кубічна; 13 - об'ємноцентрована кубічна; 14 - гранецентрована кубічна. Треба сказати, що кубічні решітки мають максимальну симетрію, нею володіють багато важливих для практики кристалічних напівпровідників - Ge, Si та ін.

Трапляються кристалічні решітки, що поєднують кілька решіток Браве, які зміщені одна відносно одної. Так, кристалічна решітка кухонної солі складається з двох решіток Браве (див. рис.35): іони Na (чорні кружальця), іони хлору (білі кружальця). Кожна з яких окремо утворюють кубічну гранецентровану решітку Браве, які зміщені одна відносно одної на половину ребра куба. Відстані називають сталими решітки, або параметрами решітки.

Сукупність всіх елементів симетрії, яку має дана кристалічна решітка, називають просторовою групою цієї решітки. Щоб її визначити, треба назвати відповідну їй решітку Браве і розміщення площин і осей симетрії, тобто ті елементи симетрії, які пов'язані з поворотами і відбиттями.

Фізичні типи кристалічних решіток

Розрізняють також чотири фізичні типи кристалічних решіток. В основі розподілу їх лежить природа й характер взаємодії частинок, розміщених у вузлах кристалічних решіток. Це такі кристали:

1. Іонні - з різних знаків у вузлах решіток іонів. Між ними в основному діють кулонівські сили взаємодії (притягання). Типовим прикладом може служити решітка кам'яної солі NaCl (рис.35). Як видно із рисунка, іони однакового знака розділені іоном протилежного знака. Весь кристал можна розглядати як одну величезну молекулу.

2. Атомні кристали. У вузлах такої кристалічної решітки розташовані нейтральні атоми. Зв'язок між атомами, що об'єднує їх, називається ковалентним. Цей зв'язок також електричний, але вже квантовий (не кулонівський). Він здійснюється електронними парами - по одному електрону від кожного атома. Це вакантні електрони, що найменше зв'язані з ядрами атомів. Прикладом атомних кристалів може бути той же алмаз (рис. 36) і графіт (рис. 33).

3. Металічні кристали. В усіх вузлах кристалічної решітки розміщені додаткові іони металу. Між ними хаотично рухаються електрони, які залишили атоми при утворенні іонів. Вони утримують позитивні іони й не дають їм розлетітися під дією електричних сил відштовхування між іонами. Разом з тим і електрони утримуються іонами й не покидають решітки. Таку решітку мають Al, Au, Cu, Ag, Pb та інші.

Метали мають переважно решітки трьох типів (рис. 37): а) кубічну об'ємноцентровану; б) кубічну гранецентровану (ГЦК - решітка); в) повну гексагональну (ПГГ - решітка). В останньої відношення параметрів .

ГЦК і гексагональну решітки отримують при ущільненій упаковці однакових кульок, розташованих на горизонтальній площині. Уявімо собі два шари таких ущільнених кульок. Якщо подивитися на них зверху, то ямки між кульками першого шару виявляються “наскрізними”, під іншими ямками перебуватиме одна з кульок нижнього шару (ці ямки назвемо “глухими”). Якщо кульки третього шару (центри їх розміщені в горизонтальному напрямі відносно центрів кульок першого шару) вкласти в глухі ямки й таким чином продовжити упаковку наступних шарів, то отримаємо модель ГЦК - решітки (рис. 38, а). Розташування частинок у ГЦК - решітці подано на рис.38,в. Тут вузлами є вершини куба й центри всіх його граней. Коли ж бо кульки третього шару вкласти в наскрізні ямки й так продовжувати упаковку верхніх шарів, то матимемо модель гексагональної решітки (рис. 38, б).

4. Молекулярні кристали. Тут у вузлах кристалічної решітки розташовані молекули, які зорієнтовані певним чином. Сили зв'язку між ними в кристалі тієї самої природи, що й сили притягання між молекулами, але враховуються сили відштовхування між молекулами на близьких відстанях між ними. Молекулярні решітки утворюють такі речовини: . Лід і тверда вуглекислота - молекулярні кристали.

Кристалічна структура речовини пов'язана з мінімумом потенціальної енергії. Частинки кристала займають площини, де їхня постійна енергія мінімальна. Тому при тривалому перебуванні у відповідних умовах аморфна речовина може кристалізуватися. Так, мутніє скло або зацукрується варення.

Допустимі порядки симетрії у кристалах

Об'єкти з центром симетрії мають поворотну симетрію порядку 2, а об'єкти, повернуті на 3600, суміщаються самі з собою, тобто для них існує безліч поворотів першого порядку. Зауважимо, що в кристалах можлива поворотна симетрія тільки 1,2,3,4 або 6-го порядку поворотів, неможлива симетрія 5-го та з порядків. Кути повороту відповідно 3600/n , де n = 1,2,3,4 і 6 - порядок симетрії.

Задача 1. Показати, що поворотна симетрія більше, ніж шостого порядку, неможлива.

Розв'язання. Точки В і С (рис. 39) еквівалентні А (рівновіддалені від А), а вектори - найкоротші вектори, проведені з точки А до еквівалентних сусідів. Проте це не може бути. Бо відстань між В і С коротша, ніж від будь-якої з них до А. Тому повинна існувати сусідня точка D, еквівалентна А, яка ближче до А, ніж до В і С. Тоді вектор мав би виступати в ролі одного з основних векторів. Відтак кут між основними векторами не повинен бути меншим за 600 або ще більшим.

Задача 2. Показати, що симетрія п'ятого порядку неможлива (рис. 40).

Розв'язання. Припустимо, що комірка кристала - правильний п'ятикутник, а А, В - еквівалентні точки. Тоді еквівалентною також буде точка Е, бо якщо еквівалентна точка розташовується на відстані від А при переміщенні вправо, то повинна бути еквівалентною точка й при переміщенні вліво на відстані .

Якщо існують основні вектори , причому і , то повинна існувати еквівалентна точка решітки в D (після другого повороту) під кутом 720 до лінії АС. Причому і (як сторона рівнобедреного трикутника, що лежить проти більшого кута). Але тоді вектор від точки Е до D коротший за вектор і цей останній вже не основний вектор. Отож, п'ятиразової симетрії бути не може.

Задача 3. На рис. 41 обертання набору кружалець на кут 600 навколо центра будь-якого з них переводить рисунок сам у себе. Якого порядку n вісь поворотної симетрії, що на рис.41?

Відповідь. n=6. Існують також інші види симетрії цього типу.

Задача 4. Рис.42 ілюструє поворотну (навколо осі, що проходить через точку О перпендикулярно до площини рисунка) симетрію 4-го порядку. Якими ще типами симетрії володіє ця схема?

Відповідь. Легко бачити, що: 1) відбиття відносно кожної пунктирної лінії R-R відтворює рисунок без змін; 2) якщо відбити рисунок відносно лінії у-у, а потім зсунути на один квадратик вправо чи вліво, то знову отримуємо першопочатковий рисунок. Лінія у-у називається лінією ковзання.

Ще деякі кристало-хімічні і фізичні закономірності кристалів

Кристалохімія як наука вивчає закономірності зв'язків між хімічним складом, структурою, властивостями й морфологією кристалічних речовин, а також процеси й закони утворення їх. У кристалохімії атоми та іони уподібнюють не стискуваним кулям, що є умовним. Це тільки “модель” міжатомних взаємодій. Справжні розміри атомів та іонів менші за ті, що вважають у кристалохімії. Ці частинки також не дотикаються одна до одної і не являються нерухомими, а коливаються відносно положень рівноваги у вузлах кристалічної решітки. Їх кристалохімічний радіус зростає при підвищенні температури.

Найважливішою ознакою фізичної систематики кристалів є число найближчих рівновіддалених частинок, що оточують деяку частинку кристала. Це число називається антуражем. Так, у ГЦК - решітці (рис. 37, б), як неважко збагнути, кожен атом оточений дванадцятьма рівновіддаленими сусідами (антураж такої решітки 12). Антураж простої кубічної решітки становить 6.

Форма і ріст кристалів

У навколишньому світі частіше зустрічаються несиметричні спотвореної форми, а не правильно огранені кристали. В них надмірний розвиток одних граней здійснюється за рахунок і на збиток симетрії розвитку інших граней. Проте яким би не був зовнішній вигляд кристала, кути між його гранями не позбавлені певної величини, яка характерна для даного типу кристалів. Це основний закон кристалізації - закон сталості кутів між гранями - відомий ще з середини XVII ст.

Зовнішній вигляд кристалів визначається умовами його росту. Якщо кристалізацію проводити повільно й обережно, не переохолоджуючи розчину чи розплаву, з якого проводиться кристалізація, добувають кристал у формі правильного многогранника з нормально розвинутими гранями. При недотриманні цих умов, особливо коли спільно переохолоджується рідка фаза кристала, вони набирають химерних форм ниток і голок.

Коли відносна вологість атмосфери висока і повітря переохолоджене, сніжинки ростуть у вигляді променів, які відповідають гексагональній формі кристалів льоду. Потрапляючи в шар повітря з меншою густиною пари або вищою температурою, сніжинка сублімує, гілки її вкорочуються, часто потовщуючись у центральній частині. Різноманітність форм сніжинок відповідає відмінності атмосферних умов, через які вона падає.

Щоб добути з розчину великі монокристали у формі правильних многогранників, зародковий кристалик підвішують усередині насиченого розчину, який повільно випаровують. Коли відсутні конвективні потоки, то форма монокристала, що появляється, залежатиме тільки від хімічного складу речовини, що кристалізується. Кристал, який з'являється, набуває таку форму, за якої поверхнева енергія кристала мінімальна, тобто найменша ізотермічна робота утворення 1см2 поверхні найменша. При цьому конкретне значення енергії відповідає певним формам граней, що обмежують, наприклад, куб чи октаедр або інший многогранник.

Іноді у реальну решітку попадають атоми домішок, тоді в решітці подекуди не вистачає атомів чи їхніх цілих груп. У такому разі можна спостерігати різноманітні викривлення кристалічної структури - дислокації (рис. 43). З дислокаціями пов'язана пластичність, міцність матеріалу і його електричний опір. Зразки руйнуються саме у місцях дислокації. Зміцнення матеріалу досягається або за рахунок створення перешкод переміщенню дефектів зразка, що передбачає спеціальну обробку матеріалу, або за рахунок попередження появи дефектів (вирощують бездефектні кристали).

Симетрія і магнетизм

Рухаючись у полі атомного ядра, електрони збуджують магнітне поле, яке в магнітних матеріалах упорядковане. У феромагнетиках, що намагнічені до насичення, магнітні поля атомів зорієнтовані у напрямі зовнішнього поля.

Особливою різновидністю магнетиків є так звані антиферомагнетики (MnO, Cr, MnS, MnF, FeCl2, FeO, CaO та ін.). Існування антиферомагнетиків було передбачене Неєлем (1932) і Ландау (1933), а експериментально підтверджено методом нейтронографії. Напрями магнітних полів атомів антиферомагнетиків регулярно змінюються від атома до атома, відтак виникає, крім кристалічної, ще й магнітна решітка. На рис. 44,а штрихованими лініями наведена на квадратній решітці елементарна комірка. На рис. 44,б зображена квадратна решітка для антиферомагнетика, де стрілки показують магнітні поля атомів. На відміну від феромагнетиків, електронні спіни антиферомагнетиків зорієнтовані попарно антипаралельно один до одного. В найпростіших випадках електронні спіни утворюють щось подібне на дві просторові підрешітки, вставлені одна в одну, намагнічені в протилежних напрямах.

Кристалічна решітка оксиду марганцю (MnO), як приклад антиферомагнетика (тривимірного), показана на рис. 45. Вона утворена двома однаковими ГЦК-решітками, одна серед яких містить іони марганцю Mn2+, а друга іони кисню O2-.

Позаяк спіни електронів у антиферомагнетиків довільно зорієнтовані один до одного, то антиферомагнетики проявляють себе як дуже слабенькі парамагнетики. Для них існує температура Тн (точка Неєля), при якій антипаралельна орієнтація спінів зникає. У деяких антиферомагнетиків (ербій, диспрозія, сплав марганцю і міді) температур Тн дві, причому антиферомагнітні властивості проявляються тільки на проміжній температурі. Вище верхньої точки Неєля речовина стає парамагнетиком, а при менших, ніж точка Неєля, стає феромагнетиком.

Антиферомагнетики зараз знайшли застосування в логічних елементах і запам'ятовуючих схемах сучасних ЕОМ.

Симетрія світлового променя

Коливання в світлому промені вектора напруженості електричного поля і вектора магнітної індукції напрямлені перпендикулярно до лінії поширення світла. Тож світлові хвилі поперечні. Стан світлового променя, при якому в перпендикулярній до нього площині коливання векторів (а з ним і ) відсутня осьова симетрія щодо променя, називається поляризацією світла. У поляризованому промені одні напрями коливань вектора переважають над іншими. Поляризація світла буває плоскою (лінійною) і частковою. Промінь світла, у якому коливаються в одній площині АВ (яка проходить через промінь ), називається плоскополяризованим (див.рис.46). У плоскополяризованому промені можливі довільні напрями коливань вектора , але один з них є переважаючим. У поздовжній же хвилі коливання відбуваються вздовж напряму поширення хвилі і її властивості відносно якоїсь площини АВ (рис. 46,б), що проведена через напрям її поширення, цілком однакові.

Під час проходження крізь кристали й розчини (оптично активні середовища) плоскополяризованого світлового променя площина поляризації повертається на певний кут (рис. 47). Уявімо собі, що ми дивимося назустріч променю. Кристал, який повертає площину поляризації за годинниковою стрілкою (лівий гвинт), називається правообертаючим (рис.47,а), а якщо повертає проти годинникової стрілки, лівообертаючим (рис. 47,б). Існують оптично активні (ліво-і правообертаючі) кристали кварцу. Напрями повороту площини поляризації визначається енантиоморфною різновидністю кристала. Залежно від того, в якій кристалічній формі перебуває кристал кварцу, він може бути як правообертаючим, так і лівообертаючим. Один із них є дзеркальним відображенням другого.

Обертання площини поляризації плоскополяризованого світла при проходженні його в оптично активних речовинах виявив у 1811році Д. Араго. Поворот спричиняється двома причинами: 1) гвинтовим розташуванням певної структурної групи атомів кристала вздовж його осі (кварцу); 2) асиметрією самих молекул речовини (цукор). Френель показав (1846), що промені, поляризовані по колу з правим і лівим напрямом обертання, поширюються в кристалі з різною швидкістю, отож, мають різні показники заломлення, відтак роздвоюються.

Поряд з кристалами, існують також рідини, які володіють здатністю обертати площину поляризації. До числа таких рідин належить скипидар, водяний розчин цукру, розчин виннокам'яної кислоти тощо. Звідси випливало, зокрема, що ліво-права асиметрія викликається не тільки структурою середовища як цілого, але й структурою молекул середовища.

Симетрія у світі атомів

Симетрія в природі простежується також на атомному й молекулярному рівнях вивчення речовини, куди не проникає промінь зору людини. Проявляється вона у просторово упорядкованих атомних структурах молекул і кристалів. Це видно хоча б із рис.48, де показана будова вуглекислого газу (а) і водяної пари (б). Тут відразу кидається у вічі площина симетрії (дзеркальна симетрія) молекул i - вертикальна пряма. Тож ніщо не зміниться, якщо поміняти місцями парні атоми в молекулі. В кожному випадку парні атоми однаково пов'язані з третім атомом. Аналогічна стрійність (симетрія) властива і складнішим молекулам.

Так, у (метан) (рис. 48,в) атом вуглецю С має зв'язок з чотирма атомами водню Н. Просторовій структурі молекули відповідає тетраедр з атомами Н у вершинах і атомом вуглецю в центрі. Симетрія молекули - це симетрія тетраедра, про яку йшлося при розгляді симетрії многогранників.

Задача. Якими площинами симетрії визначається симетрія молекули метану? Скільки їх? Скількома поворотними осями і якого порядку визначається ця симетрія?

Відповідь. Шістьма площинами, кожна з яких переходить через атом С і два атоми Н (наприклад, площини і на рис. 49); чотирма осями 3-го порядку, кожна з яких проходить через атом С і один із атомів Н (наприклад, вісь КО); трьома осями 2-го порядку (наприклад, і ).

Якщо якийсь атом водню в молекулі метану (це може бути атом у вершині К тетраедра на рис. 49) замінити радикалом ОН, отримаємо молекулу метилового спирту (). Ця молекула має меншу симетрію, ніж молекула : із шести площин симетрії зберігається лише три площини. Ці останні проходять через С, ОН, Н - це площини LKR, KPN, KMT на рис. 50. Водночас залишиться тільки одна вісь третього порядку (із чотирьох) - вісь КO.

У молекулі рівноправними є лише три атоми Н, не як у молекулі метану (), де рівноправними виступають усі чотири атоми Н. Один атом Н у входить у комплект радикала ОН - перебуває в особливому положенні.

Ще більш цікава симетрична структура молекул бензолу - безбарвної леткої рідини (найпростіший вуглеводень). Його молекула складається із шести атомів вуглецю і шести атомів водню (), розташованих в одній площині, утворюючи правильний шестикутник - бензольне кільце (рис. 51,а).

Позаяк атом вуглецю чотиривалентний, то у нього існує чотири електрони, які здійснюють стільки само ковалентних зв'язків з іншими атомами. Це, зокрема, два зв'язки між атомами вуглецю, один зв'язок з атомами водню і ще один - зі всіма п'ятьма атомами кільця водночас. Такий характер зв'язку умовно показано на рис.51,б, де суцільні відрізки прямих - локалізовані зв'язки між парами атомів, а штриховані лінії - не локалізовані зв'язки, коли шість електронів усуспільнюються бензольним кільцем.

На рис. 52,а подана модель етилового спирту, яка має вигляд тетраедра, а на рис.52,б - модель її задзеркального двійника. Легко бачити, що задзеркальний двійник - це результат повороту молекули етилового спирту на 1800 (вісь обертання АВ). Тож молекула етилового спирту не має енантиоморфних різновидів. Так само молекули метану й метилового спирту. Це тому, що при переході від метану до і потім до етилового спирту симетрія молекулярного тетраедра зменшується, залишаючись все-таки центральносиметричною.

Тепер візьмемо молекулу вторинного бутилового спирту (). На рис.53,а показана її тетраедрична модель, а на рис. 53,б - модель її дзеркального двійника, яка дзеркально-асиметрична. Відтак молекула і її дзеркальний двійник - енантиоморфи, їх не можна сумістити з допомогою ніяких поворотів. Одну з молекул на рис.53 називають “лівою”, а другу - правою. Якщо просторова структура молекул не має площини симетрії, то така молекула має два різновиди - стереоізомери.

Стереоізомерія (або просторова ізомерія) - прояв ліво-правої асиметрії у світі молекул. Вона зумовлена неоднаковістю розташування атомів у просторі (при однаковій послідовності зв'язків атомів). Це різні молекули, щось на зразок лівого й правого черевичків. Про існування лівих і правих молекул свідчать спостереження обертання площини поляризації світла.

Ліво-права асиметрія молекул і жива матерія

Відомий французький вчений Луї Пастер зробив правильний висновок, що ліві і праві молекули в неживій речовині зустрічаються однаково часто. Натомість у живій матерії функціонують тільки дзеркально-симетричні молекули одної енантиоморфної форми. Це межа між хімією живої і неживої природи. Так, альфа-спіраль, що лежить в основі білкових молекул, зустрічається завжди як правий гвинт. Так само подвійна спіраль молекул ДНК. Дзеркально-асиметричні молекули клітин бувають тільки лівими, або тільки правими стереоізомерами (наприклад, молекули амінокислот завжди ліві). Виявляється, ліво-права асиметрія - це специфічна особливість живого організму на молекулярному рівні. Його структурні елементи - “гвинти”, причому в одних випадках праві, в інших - ліві.

Дія лівих і правих стереоізомерів тієї самої речовини на організм людини неоднакова. Людина разом з їжею засвоює ті типи стереоізомерів, які відповідають специфіці його власної асиметрії. Так “відбитий” стереоізомер вітаміну С практично не діє на людський організм. Аспаргінова кислота, що правообертаюча, солодка на смак, а лівообертаюча позбавлена смаку, “відбита” форма нікотину (вона не зустрічається в тютюні) помітно менше отруйна.

Дзеркально-асиметричні молекули на якійсь іншій віддаленій планеті (там не наш рослинний світ) можуть не узгоджуватися з дзеркально-асиметричним організмом людини. Солодкі на Землі фрукти інопланетянину можуть видатись отруйними. Так само молоко, яке на якійсь із далеких планет може бути для інопланетянина шкідливим. Особливість людського організму в тому, що він видобуває із оточуючого середовища хімічні сполуки, які переважно симетричні, а тоді виготовляє із них праві та ліві асиметричні сполуки вуглецю. Тіла всіх живих організмів містять асиметричні вуглецеві молекули й асиметричні спіралі білків і нуклеїнових кислот.

Графіки деяких елементарних функцій

Коротко розглянемо типи функцій, графіки яких пов'язані з ідеями симетрії. Цей взаємозв'язок часто спрощує побудову графіків багатьох функцій, сприяє вивченню їх властивостей і полегшує графічне розв'язання систем деяких рівнянь. Розгляд проведемо в такій послідовності.

1. Графік непарної функції. Він симетричний відносно початку координат О. Це очевидно, бо кожній точці (х0, у0) графіка непарної функції (для додатних значень аргумента) відповідає точка (-х0, -у0) (для від'ємних значень аргумента). Тут має місце симетрія відносно центра О. Для побудови графіка непарної функції досить побудувати ту його частину, яка відповідає значенням аргумента . Потім доповнити її другою, що являє собою геометричне місце точок, симетричних відносно початку координат. Для побудови точки (-х0, -у0) можна поступити так: спочатку побудувати точку (-х0, у0) - дзеркальне відбиття точки (х0, у0) відносно осі Оу, а потім точку (-х0, -у0) - дзеркальне відбиття точки (-х0, у0) відносно осі Ох (рис. 54).

Задача. Побудувати графік функції х на інтервалі х є ().

Вказівка. Кожній точці М(х0, у0) знаходимо симетричну відносно початку координат О точку (-х0, -у0). Точки сполучаємо і отримаємо другу частину графіка, симетричну першій. Для неї , (вона розташована у третьому координатному куті) (рис. 55).

2. Графік парної функції (для неї ). Він симетричний відносно осі ординат. Справді, кожній парі значень аргумента, що рівні за абсолютною величиною, але протилежні за знаком, відповідають рівні значення ординат. Тому, будуючи графік парної функції, досить побудувати ту його частину, яка відповідає додатним значенням аргумента, а тоді її доповнити другою частиною, що являє собою геометричне місце точок, симетричних знайденим відносно осі ординат.

Задача. Побудувати графік функції .

Розв'язання. Ця функція парна, бо . Спочатку будуємо графік функції у = х для (частина 1). Тоді добудовуємо частину ІІ як дзеркальне відбиття відносно осі Оу частини І (рис. 56). Тож, щоб із графіка функції отримати графік функції , треба ділянки, що лежать вище осі Ох, залишити без зміни, а ділянки, що лежать нижче осі Ох, відбити відносно цієї осі.

3. Графік функції . Цей графік отримують із графіка функції розтягом в разів уздовж осі Оу (при - стиском).

Задача. Побудувати графік функції , де 0,5; 1,3; -0,5

Розв'язання. При одних тих самих значеннях х функції у два рази менша від значення функції . Тому для побудови графіка досить зменшити всі ординати функцій в два рази вздовж осі ординат (рис. 57).

При =3, гілки параболи у=х2 наближаються до осі ординат. Має місце видовження графіка функції в три рази.

Таким чином можна отримати графік заданої функції, уникаючи числових обрахунків, які часто бувають досить складними.

4. Графік функції . Його отримують із графіка функції дзеркальним відбиттям відносно осі Ох. Це тому, що для тих самих значень аргумента знак функції буде протилежним за знаком і рівним за модулем до функції .

Задача. Побудувати графік функції .

Вказівка. Будуємо графік функції , тоді його дзеркально відбиваємо відносно осі Ох (рис. 58).

5. Графік функції , де - стала. Його отримують із графіка функції зсувом вздовж осі ординат на +. При - зсув угору вздовж осі Оу і при - зсув униз на - .

Задача. Побудувати графік функції .

Відповідь. Побудова графічно представлена на рис. 59: графік функції зсунуто вздовж осі Оу на +1.

6. Графік функції знаходять з допомогою графіка простішої функції паралельним перенесенням його вздовж осі Ох вліво на -. При - перенесення здійснюють вправо на +.

Задача 1. Побудувати графік функції .

Розв'язання. Для того щоб отримати однакові значення функцій і , треба аргументу функцій надати значення на одну одиницю менше, ніж значення аргумента х функції . Відтак, щоб отримати графік функції , треба графік перенести вздовж осі абсцис вліво на -1 (рис. 60). Або перенести вісь ординат на +1.

Задача 2. Як побудувати графік функції , використавши властивості графіків парної функції і паралельне перенесення?

Розв'язання. Позаяк , то спочатку графік функції переносять вздовж осі Ох на -1, а тоді піднімають графік на одиницю осі ординат.

7. Графік функції . У цьому разі ті ділянки графіка функції , що лежать вище осі Ох, залишають без зміни, а ділянки, що лежать нижче осі абсцис, відбивають відносно цієї осі.

Задача. Побудувати графік функції .

Розв'язання. Позаяк , якщо , то графік функції залишається той самий як у функції . Якщо ж , то і графік функції залишається без зміни (рис. 61), симетричний відносно осі Оy.

8. Графік оберненої функції. Функція, у якої змінні х і у помінялися своїми ролями, називається оберненою відносно першопочаткової функції. Пряма й обернена функції виражають одну ту ж саму залежність між величинами х і у. Відрізняються вони між собою лише тим, що у них помінялися ролями х і у, що рівнозначно зміні позначень осей координат. Тому графік оберненої функції знаходять із графіка прямої функції, якщо останній відбити відносно бісектриси першого і третього координатних кутів. Причому, якщо пряма функція зростає (спадає), то обернена функція також зростає (спадає).

Задача 1. Записати взаємно обернену функцію до функції .

Розв'язання. Дану залежність представимо так: . Замінивши в ній х і у місцями, знаходимо . Функції та - взаємно обернені функції аргумента х.

Задача 2. У системі координат ХУ побудувати графіки функцій і . Які їх особливості?

Розв'язання. За точками побудуємо графіки функції і (рис. 62). Графіки симетричні відносно бісектриси І і ІІІ координатного кутів, бо задані функції взаємно обернені (їх побудову можна було спростити, побудувавши спочатку графік одної з них, а другий отримати, використавши їх симетричність). Точка перетину графіка функції з віссю абсцис переходить у точку перетину оберненої функції з віссю ординати (у = 1) і навпаки. Інтервали зростання і спадання кожної з функцій збігаються.

9. Графік прямої пропорціональної залежності (вона виражається формулою , де - задане число) є пряма, що проходить через початок координат 0 симетрично відносно центра 0, бо функція непарна. Якщо , то графік залежності проходить у першому і третьому координатних кутах або в другому й четвертому координатних кутах (симетрично відносно 0), якщо .

Графіком обернено пропорціональної залежності (, де - задане число) є крива лінія, яка складається з двох окремих гілок, розташованих у першому і третьому координатних кутах (симетрично відносно початку координат, бо функція непарна) при або в другому і в четвертому - при . Ця лінія називається рівносторонньою гіперболою.

Задача. Побудувати графік функції .

Розв'язання. Спочатку будують першу гілку в другому координатному куті. Це гіпербола. Потім - другу гілку в четвертому координатному куті. Вона симетрична першій відносно центра 0, бо функція - непарна функція (рис. 63).

Симетрія в мистецькій творчості

Як невіддільна складова духовної культури людства, симетрія заявляє про себе у мистецтві, яке з очевидністю демонструє творчі ідеї. Мистецька творчість, вершина пізнання краси природи й життя, в усіх своїх проявах тяжіє до симетричних форм, без чого тяжіння людини до прекрасного втрачає логічний взаємозв'язок. Це той взірець, найвища мета, через посередність чого людина впродовж віків визначає певний спосіб і характер дії, прямуючи до порядку й бездоганності.

Основні закони композиції творів мистецтва передбачають переносно-тотожне перетворення елементів структури, контрастне і варійоване повторення елементів структури. Коли твір мистецтва викликає у нас якесь захоплення і ми говоримо про його гармонію і красу, ми тим самим торкаємось незмінної невичерпної проблеми - співвідношення між симетрією та асиметрією. Загальне - це симетрія, це структура конкретних об'єктів. Відхід від симетрії у живописі - створення відчуття свободи, розкованості, коли твориться неповторна окрема особистість.

Зразки симетрії відчутні в музичних творах і поезії. У музиці, зокрема, зустрічаємось із рондо, для якої характерне кількаразове повторення основної теми, яка чергується з контрастними епізодами (в куплетній пісні - приспів). У поетичних творах - повторення групи слів, рядка або кількох віршованих рядків наприкінці строфи або групи строф.

Творцем прекрасного в природному довкіллі є сама природа, яка розмаїто і гармонійно поєднує в собі безліч ідеалів симетрії і асиметрії. Вони проявляють себе у формі листиків і квітів низки рослин, дерев, також сніжинок, у розміщенні багатьох органів тварин і людини.

Симетрія допомагає математикам установлювати найрізноманітніші тіла з єдиних геометричних позицій. Тому часто ці ідеї використовують у будівництві і техніці, у мистецтві архітектури. Тут симетрія - один з видів гармонічної композиції і використовується як принцип побудови бордюг і орнаментів.

Задачі і запитання до І розділу

симетрія кристалічна решітка атом

1. Чи прийнятні для дерев (рослин) поняття лівої або правої, фасадної чи тильної сторін? Чому?

2. Про що свідчить збереження біологічних властивостей при переході від одного покоління до другого, що зустрічається у природі?

3. До чого переважно зводиться симетрія величної картинки зоряного неба й непорушна тисячоліттями періодичність небесних явищ у земних умовах?

4. Виконується рівність . Відносно якої точки графік цієї функції симетричний?

5. Пряма при симетрії перетворилася на . Що це за симетрія?

6. Графік якої із заданих нижче функцій симетричний відносно початку координат: ; ; ; ; ; ; ; ; ?

7. Графіки яких із заданих функцій симетричні відносно осі Оу: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; відносно осі Ох: а); б) ; в) ; г) ; д) ?

8. Які з графіків функцій: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; є) , де і , симетричні відносно осі Ох? Оу?

9. Відносно якої осі координат симетричні графіки функцій: , де та , де ?

10. Яку симетрію має фігура, у якої відрізки, промені і відрізки при геометричному перетворенні антипаралельні?

11. Яку симетрію має косокутний паралелепіпед і кристал мідного купоросу (рис.64)? Чи часто об'єкти з такою симетрією зустрічаються в природі і технічних конструкціях?

12. Яка з площин (1-1; 2-2; 3-3), що на рис.65, не являє собою елемент симетрії? Чому?

13. Яка симетрія властива траєкторії снаряда у полі сил тяжіння?

14. Який вигляд матиме предмет при повторному відбитті у дзеркалі?

15. Ви розглядаєте зображення якогось об'єкта у системі двох взаємно перпендикулярних дзеркал. Що ви побачите? Переконайтесь у цьому практично.

16. Світловий промінь падає паралельно до першого з нахилених один до одного під кутом дзеркал. Відбившись від другого, промінь відбивається від першого, а потім від другого дзеркала. Тоді після відбиття від другого і першого ще раз відбивається від другого й повертається так само назад. Визначити кут .

17. Із світної точки А на плоске дзеркало падає пучок проміння. Побудувати зображення точки А. Яке це зображення: дійсне чи уявне?

18. На лівому березі водойми висить на жердині електричний ліхтар S. Знайти точку О на поверхні водойми, відбившись від якої, світло від ліхтаря попаде в очі людини, що стоїть на протилежному березі водойми.

19. Як треба розташувати дзеркало, щоб полярний вектор при відбитті в ньому змінював свою орієнтацію? не змінював?

20. Чи симетричні літери букв П та И? Відносно яких осей?

21. Якою віссю симетрії - горизонтальною чи вертикальною - володіють слова “ЧАЙ” і “КОФЕ”?

22. Визначити опір дротяного каркаса, виготовленого у формі тетраедра (рис.66), кожне ребро якого має опір . Підвідні провідники приєднані до вершин А та С.

23. Визначити загальний опір R зображеного на рис.67 з'єднання резисторів, під'єднаних у коло між точками А та В. Опір кожного резистора дорівнює .

24. З якою силою F взаємодіє точковий заряд q, розташований на відстані r від нескінченної ідеально провідної площини, з індукованим ним зарядом на площині?

25. Двовимірний чи тривимірний енантиоморф на рис.68?

26. Чи являють собою роги памірського барана (рис.69) два енантиоморфи? Чому?

27. Як можна сумістити двовимірні енантиоморфи один з одним, що на рис. 4,а?

28. Якого порядку вісь симетрії фігури, що на рис. 70? Як вона проходить?

29. На “правий” вентилятор, що обертається проти годинникової стрілки, ви дивитися з фасаду. В якому напрямі він викликає потік повітря на спостерігача: за чи проти?

30. Що більше нагадує електрон: шротину, яка лежить, чи кулю, яка вилетіла з гвинтівки?

31. Коли радіус-вектор збігається з переміщенням?

32. З одного боку залізниці розміщені населені пункти А та В. Де потрібно побудувати залізничну станцію довжиною , щоб загальна протяжність дороги була найменшою?

33. Прикладом якої симетрії є ходіння людини в процесі її діяльності?

34. Які обриси матиме куб, якщо його розглядати під певним кутом?

35. Скільки і яких осей симетрії має куб? Які саме і якого вони порядку?

36. Назвіть стереометричну фігуру, що має нескінченне число поворотних осей 2-го порядку й одну поворотну вісь нескінченно високого порядку.

37. Ви з'єднали відрізками прямих центри граней куба, що мають спільне ребро. Який многогранник ви отримаєте? А якщо те саме проробити з октаедром?

...