Світ симетрії

38. Чи можна утворити многогранний кут, приклавши один до одного рівносторонніх трикутників? Чому?

39. Многогранний кут утворено прямокутними трикутниками, в яких вершини прямих кутів збігаються з вершиною многранника. Скільки трикутників для цього треба?

40. Чим можна пояснити той факт, що в природі і техніці дуже часто поширені якраз симетричні форми?

41. Дерево росте на похилій поверхні ґрунту (під кутом ). Як зорієнтований стовбур дерева? Чи залежить ця орієнтація від кута і висоти h Сонця над горизонтом у даній місцевості?

42. На радянській орбітальній станції “Салют-6” здійснили проростання зерен пшениці і гороху. Чи збережеться просторова орієнтація цих пагонів як у земних умовах?

43. Уявіть собі, що з якоїсь далекої планети на Землю прибули інопланетяни. Чи сильно відрізнялися б вони за зовнішнім виглядом від землян?

44. Будь-яке дерево проявляє симетрію конуса (рис.71), тоді як у площині, перпендикулярній до вертикалі, дерева майже нерозрізнені. З'ясуйте це.

45. Багато мікророслин і мікроорганізмів, які живуть у воді, мають сферичну форму. Рухливий чи малорухливий спосіб життя вони ведуть? Чому?

46. Яку симетрію має метелик (рис.72)?

47. Які симетрії властиві сніжинкам, що на рис.73? Чи трапляються серед них цілком однакові (тотожні)? Яка причина?

48. На рис.4,б подано листок дуба, а на рис.74 - клена. Яку симетрію мають обидва листки?

49. Який вид симетрії властивий квітці звіробою (а) і гілці акації (б), що на рис.75?

50. Яку симетрію має гілка глоду, що показана на рис.76?

51. У розмаїтті квітів: польових (незабудка, гвоздика та ін.), плодовитих дерев (яблуня, груша, вишня та ін.), плодово-ягідних (суниця, малина, калина тощо) найпоширеніша поворотна симетрія 5-го порядку. Чому в природі спостерігається такий великий потяг до поворотної симетрії 5-го порядку, яка принципово неможлива в періодичних структурах? Висловіть міркування.

52. Що нагадують вам у природі такі знамениті витвори людський рук, як парашут, літак, підводний човен?

53. Чому з часом мутніє скло або зацукрується варення?

54. Мокра білизна на морозі швидко сохне. Чому?

55. Хімічну формулу метилового спирту записують так: . Чому не ?

56. На рис.77 подано графік залежності потенціальної енергії Е частинки від міжатомної відстані r. Де перебуватиме частинка, якій відповідає відстань r = r0.

57. Записати, чому дорівнює об'єм елементарної комірки в кристалах: а) кубічної сингонії; б) гексагональної сингонії.

58. Виразити відстань d між сусідніми атомами через параметр в кубічній решітці у випадках: а) об'ємноцентрованої решітки; б) гранецентрованої решітки.

59. Скільки атомів припадає на одну елементарну комірку: а) примітивної (найпростішої) решітки кубічної сингонії; б) об'ємноцентрованої решітки ромбічної сингонії; в) гранецентрованої решітки кубічної сингонії; г) гексагональної структури з ущільненою упаковкою?

60. Записати формулу числа z елементарних комірок у одному молі кристала, якщо число однакових атомів у хімічній формулі сполуки дорівнює k (для NaCl k = 1), а число однакових атомів у елементарній комірці становить n.

61. Маса моля кристалічної речовини дорівнює , а густина речовини становить . Чому дорівнює число z елементарних комірок в одиниці об'єму цього кристала, якщо величини k, n (див. попередню задачу) відомі.

62. Визначити формулу параметра кубічної комірки, якщо молярна маса і густина речовини кристала відповідно дорівнюють і . Параметри k, n відомі.

63. Знайти об'єм V комірки кобальту (гексагональна структура з щільною упаковкою). Густина кобальту кг/м3.

64. Скільки елементарних комірок містить золота пластинка масою г. Решітка золота гранецентрована кубічна?

65. Визначити число елементарних комірок в одному молі кристалічної речовини, решітка якої об'ємноцентрована кубічної сингонії.

66. У якого хімічного елемента об'ємноцентрованої кубічної сингонії параметр нм, якщо густина кристала кг/м3? У вашому розпорядженні періодична система хімічних елементів Д. І. Менделєєва.

67. Густина хлористого срібла (AgCl) . Скільки молекул та атомів містить один моль AgCl? Скільки атомів містить 1м3 AgCl? Яка відстань d між сусідніми атомами?

68. Чому дорівнює число найближчих сусідів у кожної частинки (антураж) таких типів решіток: а) хлористого цезію (рис.78); б) кам'яної солі NaCl (рис.35); в) цинкової обманки ZnS (рис.79).

69. Визначити висоту h сферичного сегмента (рис.80) при щільній упаковці куль радіусом r. Чому велична 2r-h не збігається з довжиною вектора , що дорівнює (реальний кристал), де - параметр гексагональної решітки?

70. Із скількох і яких саме елементарних комірок можна скласти правильну шестикутну призму?

71. Відомо, що решітка алмазу утворена двома однаковими, вкладеними одна в одну ГЦК - решітками, причому перша з них зміщена відносно другої вздовж спільної діагоналі на ј її довжини. Знайти найменшу відстань між сусідніми атомами решітки алмазу, число найближчих сусідів у кожного атома і число атомів, що припадають на елементарну комірку. Параметр решітки алмазу відомий.

72. Поясніть деякі властивості графіту, зокрема: а) м'якість; б) непрозорість; в) теплопровідність.

73. Надломи тіла мають неправильні поверхні. Кристалічне чи аморфне це тіло?

74. Кусок металу в цілому не виявляє анізотропії. Можливо, цей метал не кристалічного складу? Поясність.

75. Атоми, що утворюють кристал, перебувають у рівновазі в певних положеннях. Пояснити, як це може бути.

76. Яке походження сил притягання і відштовхування, що діють між частинками в просторовій решітці кристала (див. попереднє запитання)?

77. У вашому розпорядженні аркуш паперу і круговий циліндр. Сконструюйте з допомогою цього невибагливого знаряддя і матеріалів гвинтову лінію.

78. Порядок розташування нуклеотидів у одному ланцюзі такий: ААЦЦТТТГГ. Яка послідовність нуклеотидів буде на відповідній ділянці другого ланцюга?

79. Спосіб захисту спадкової інформації в молекулах ДНК виявився однаковим в усіх живих організмах. На що це вказує?

80. У відбитому чи прохідному промінні спостерігають картину дифракції від: а) дифракційної решітки; б) кристалічної решітки?

81. У випадку дифракції, яку спостерігають у видимому світлі, використовують лінзу, в фокальній площині якої розміщений екран. Для рентгенівських променів використати лінзу не можна. Чому?

82. Період кристалічної структури 2d менший за довжину хвилі рентгенівського випромінювання. Чи спостерігатиметься дифракція цього випромінювання?

83. Відбитий промінь буде повністю поляризований, якщо , де і - кут падіння, n - відносний показник заломлення середовища, від границі якого відбулося відбивання світла. Чому дорівнює кут між падаючим і відбитим променями в цьому разі?

84. Якого типу симетрії позбавлений вектор в промені частково поляризованого світла?

85. Рентгенівські промені від паладієвого антикатода падають на грань кристала NaCl (рис.35), де білі кружальця - центри іонів Na, а чорні - Сl і відбиваються під кутом . Визначити довжину падаючої хвилі.

86. Зовнішня симетрія кристала - результат симетричного розташування частинок, з яких кристал побудований. Про це знали ще у кінці XVIII ст. Чим безпосередньо довести, що це справді так?

Відповіді до задач і запитань розділу І та вказівки до розв'язання

1. Ні.

2. Про інваріантність як прояв закономірностей симетрії в біосвіті.

3. Чергування дня і ночі, пір року, регулярного сходу і заходу небесних світил тощо.

4. Відносно початку координат.

5. Симетрія відносно точки.

6. ; ; ; ; .

7. Оу: а), в); г); Ох: г), д).

8. Симетричні відносно осі Ох: в), є); відносно осі Оу: а), б), в), г), е).

9. Оу.

10. Фігура має центр симетрії.

11. Тільки центральну симетрію. Ні, зустрічаються рідко.

12. Площина 3-3, бо відбиття у ній не поєднує одну половину фігури (прямокутника) з другою.

13. Має площину симетрії.

14. Першопочатковий.

15. Безліч зображень, які віддаляються від поверхонь дзеркал.

16. .

17. Врахувавши, що кут , побудуємо відбиті від довільних точок С і D дзеркала MN промені джерела світла А. Продовживши їх до перетину, знайдемо точку - уявне зображення точки А. Зображення симетричне відносно дзеркала MN. Якщо спостерігача розмістити у відбитому пучку світла (рис.81), то спостерігачу видасться, що промені виходять не з точки А, а з точки . Можливий більше спрощений варіант розв'язання.

18. Людина побачить уявне зображення ліхтаря у точці (рис.82), симетрично розташованій відносно поверхні води: . З'єднавши з оком людини, знаходимо положення шуканої точки О.

19. Полярний вектор змінює свою орієнтацію при відбитті у дзеркалі, що перпендикулярне до нього; у паралельному - ні.

20. Так. П симетрична відносно вертикальної прямої, що проходить через її середину, а И - відносно прямої, перпендикулярної до площини рисунка, що проходить через середину букви, коли повернути всю фігуру на .

21. Слово “ЧАЙ” - вертикальною, а слово “КОФЕ” - горизонтальною.

22. Задана електрична схема симетрична відносно площини , тому точки В і D мають однаковий потенціал (напруга між ними нульова) і по провіднику ВD струм не проходить. Його можна вилучити зі схеми. Тоді загальний опір .

23. Внаслідок симетрії схеми струми в провідниках 1-7 і 7-4, а також 2-7 і 7-3, 6-7 і 7-5 рівні між собою (рис.67). Тому розподіл струмів, а отже опорів шестикутника, не зміниться, якщо вимкнути провідники 2-7, 7-3, 6-7, 7-5 від центра (рис.83). Нова схема еквівалентна вихідній, опір її тепер легко обрахувати. Так, опір її верхньої і нижньої частини дорівнює .

24. , де - електрична стала. Дія індукованого заряду рівнозначна дії точкового заряду, що являється дзеркальним відбиттям заряда q. Це видно з рис.84, де площина не змінює картини силових ліній поля двох зарядів ( і ) на відстані між ними 2r.

25. Тривимірний (S - площина симетрії).

26. Так, бо обидва роги закручені по різних спіралях (один - по лівій, другий - по правій).

27. У площині не можна. Треба здійснити поворот у тривимірнім просторі, як показано на рис.85.

28. Шостого. Вісь симетрії проходить через центр фігури перпендикулярно до площини рисунка.

29. На спостерігача.

30. Кулю, яка летить, обертаючись навколо осі. Це, звичайно, класична аналогія.

31. Якщо початок відліку збігається з початковим положенням точки.

32. Довжина прокладки , бо і її можна виключити із загальної довжини шляху. Визначаємо паралельне переміщення , врахувавши, що довжина вектора точки А, тоді , . Використавши метод симетрії відносно прямої (рис.86), знайдемо пункт N такий, щоб сума була мінімальною. Відклавши від N відрізок NM = у напрямі , дістанемо точку M. Цим знайдемо положення станції MN.

33. Ковзної.

34. Шестикутника.

35. 13: три при повороті осі 4-го порядку; шість осей 2-го порядку, що проходять через середини протилежних ребер; чотири поворотні осі 3-го порядку, що співпадають із внутрішніми діагоналями куба.

36. Це круговий циліндр.

37. Тетраедр. Куб. Вони взаємні.

38. Ні. Якщо , то сума плоских кутів при спільній вершині дорівнюватиме 3600, що є неможливо.

39. Три.

40. Симетрія сприяє їх кількості. Так, стійкість багатьох живих істот забезпечується їхньою симетрією відносно вертикальної площини. Це стосується також машин, мінімальних апаратів, кораблів тощо.

41. Вісь дерева збігається з напрямом сили тяжіння. Ця особливість не залежить від і h.

42. Ні, бо в станції існує стан невагомості.

43. Ні. Структуру інопланетянина обмежує білатеріальна симетрія і виділений напрям пересування, пов'язані з силою тяжіння. Як у живих істот на Землі.

44. Дерево поглинає вологу й поживні речовини з ґрунту (знизу). А всі інші життєві функції виконуються кроною (зверху). Тому ці два напрями суттєво відмінні. У площині, перпендикулярній до вертикалі, зусюдибіч однаково поступає повітря, світло, волога. Внаслідок цього дають себе знати вертикальна вісь конуса і вертикальні площини симетрії.

45. Малорухливий, бо зустрічають великий опір середовища.

46. Дзеркальну.

47. Поворотною симетрією 6-го порядку і дзеркальною симетрією. Ні. Форма сніжинок - наслідок фізичних умов у атмосфері, які в більшості випадків не збігаються.

48. Дзеркальною.

49. Квітка звіробою має поворотну вісь 5-го порядку, гілка акації - дзеркальну й переносну симетрію.

50. Має ковзну вісь симетрії.

51. Це гарантія збереження рослиною своєї індивідуальності, своєрідний засіб боротьби за існування проти окаменіння і кристалізації.

52. Парашут - насінину кульбаби, літак - ширяючого птаха, підводний човен - рибину.

53. Кристалічна (симетричніша) структура речовини пов'язана з мінімумом потенціальної енергії. Тому за певних умов при тривалому зберіганні аморфна речовина (скло чи цукор) може кристалізуватися, тобто переходити в стан з меншою потенціальною енергією (стискуватися). Відтак мутніти.

54. Лід випаровується порівняно у швидкому темпі.

55. Запис означав би, що всі чотири атоми Н в молекулі СН3ОН фізично рівноправні. Насправді рівноправні лише три атоми Н. Четвертий - складова частина радикала ОН.

56. Величина - рівноважна відстань між атомами, якій відповідає мінімум потенціальної енергії.

57. а) ; б) .

58. а) , б) .

59. а) Один атом у вузлі належить восьми коміркам. Так як у вузлах комірки вісім атомів, то одній комірці відповідає атом; б) 2, тобто 1+1; в) 4. На елементарну комірку припадає по одному атому з числа розташованих у вершинах куба й по три - з розміщених у центрах граней (по одному атому на дві грані, що межують між собою). Тож ; г) Вказівка (див. рис.17,б): вузли розміщені у вершинах правильної шестигранної призми й у центрах їх шестикутних основ.

60. , де - стала Авогадро.

61. .

62. .

63. . Вказівка: , де - стала Авогадро.

64. (, n - число однакових атомів у елементарній комірці).

65. .

66. У літію, бо молярна маса речовини кристала , де .

67. ; ; (), .

68. а) 8; б) 6; в) 4.

69. , бо в реальному кристалі атоми або молекули не мають сферичної симетрії (неупорядковано рухаються відносно положень рівноваги, розташованих у вузлах кристалічної решітки).

70. Із трьох елементарних комірок гексагональної сингонії (рис.87).

71. , бо довжина діагоналі просторової решітки дорівнює ; 4; 8.

72. а) Графіт має шарову структуру (рис. 33), всередині кожного шару зв'язки сильніші, ніж між шарами; б) відстань між шарами , де - довжина хвилі світла; в) теплопровідність вздовж шару в чотири рази більша, ніж у перпендикулярному, бо частинки в шарах уздовж шару рухливіші, ніж у перпендикулярному напрямі.

73. Аморфне.

74. Будова металів кристалічна. Метали складаються з неупорядкованої орієнтації окремих дрібних кристаликів, тому куски металу не виявляють анізотропії, що властива кристалам, хоча кристали, які їх утворюють, анізотропні.

75. При стискуванні між атомами тіла виникають сили відштовхування, а при розтягу - сили притягання, які по різному залежать від відстані між ними.

76. При зближенні атомів сили відштовхування між електронами їхніх зовнішніх оболонок переважають за модулем силу притягання між ядрами і електронами зближених атомів. Якщо відстані між сусідніми атомами рівні, сили притягання і відштовхування зрівноважуються, а якщо дещо більші, то переважають сили притягання між ядрами й електронними шарами сусідніх атомів.

77. Виріжемо з аркуша прямокутний трикутник АВС (рис.22). Приклеїмо до поверхні кругового циліндра трикутник по катету ВС так, щоб цей катет збігався з твірною циліндричної поверхні. Тоді будемо обгортати паперовим трикутником циліндр. Гіпотенуза АВ перетвориться на гвинтову лінію.

78. ТТГГАААЦЦ.

79. Очевидно, усі живі організми на Землі походять від спільних предків.

80. а) У прохідному; б) у відбитому.

81. Бо показник заломлення цих променів у кожній речовині практично дорівнює одиниці. Тому інтерференція вторинних хвиль досягається шляхом використання дуже вузьких пучків проміння, які дають на екрані плями малих розмірів.

82. При , взагалі кажучи, ні.

83. .

84. Осьової симетрії (щодо променя). Тут одні напрями коливань вектора переважають над іншими.

85. 0,58А. Вказівка: врахувати, що стала решітки , де - молярна маса NaCl, - стала Авогадро, - густина кристала; тоді .

86. Дифракцією рентгенівського проміння від кристалічної решітки.

Размещено на Allbest.ru