Основные вопросы физики

Размещено на http://www.allbest.ru/

БИЛЕТ 1

1. Предмет механики. Пространство и время в механике Ньютона. Система отсчёта. Кинематика материальной точки. Закон движения. Скорость, угловая скорость, ускорение, угловое ускорение.

Механика -наука о движении и равновесии тел. При построении теории физика заменяет реальные объекты их идеализированными моделями. Движение - это изменение относительного положения тела с течением времени. Впервые принципы механики сформулированы Ньютоном в «Математических началах натуральной философии». Тело или система тел, относительно которых определяется положение остальных тел называется пространственной системой отсчета (ПСО). В качестве ПСО можно взять произвольное твердое тело и связать с ним координатные оси, например, декартовой системы координат. Существует два вида координатных систем: 1) правая, 2) левая. Определяются они с помощью правила буравчика.

Пространство (по Ньютону) - это совокупность физического тела и возможных его продолжений.

Время - это показание каких-то часов (под часами понимается любое тело или система тел, в которых совершается периодический процесс, служащий для измерения времени).

Материальная точка - это тело, размеры которого пренебрежимо малы, что в рассматриваемом движении их можно не принимать во внимание и считать, что все вещество тела как бы сосредоточено в одной точке. Материальная точка - это абстракция, идеализированный образ реально существующих тел. Движение материальной точки будет описано полностью, если известно ее положение в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета. Полное описание движения сводится к нахождению трех координат: x = x(t); y = y(t); z = z(t); или к нахождению векторной функции r = r(t).

.

- мгновенная скорость.

Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки:

,

Понятие угловая скорость и угловое ускорение относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Положение точки М на окружности задается углом , который составляет радиус-вектор точки М с неизменным направлением ОХ. Производная этого угла по времени называется угловой скоростью : . Если = Сonst, то движение равномерно. =/2 - число оборотов в единицу времени (частота обращения).

Первая производная угловой скорости и вторая производная угла по времени - это угловое ускорение:

.

Продифференцируем S=r по времени и получаем:

S'=(r')*+(')*r=*r

S''=(*r)'=r*'+r'*=r (тангенциальное ускорение)+v* (=v²/r -- центростремительное).

2. Стоячие акустические волны. Акустические резонаторы

При наложении распространяющихся навстречу монохроматических волн одинаковой частоты, амплитуды (например, прямой и отражённой) образуются стоячие волны.

s(t,x)=Acos[ (t-x/c)]-Acos[ (t+x/c)]=2Asin[ x/c]sin t

В каждой точке происходит гармоническое колебание с частотой , причём амплитуда зависит от положения точки по закону: А(х)=2А|sin[x/c]|

Акустическая волна - это периодическое возмущение плотности среды, распространяющееся в среде со скоростью звука. Периодические возмущения плотности среды называются акустическими колебаниями. Акустические колебания бывают продольными (колебания вдоль направления распространения волны) и поперечными (колебания в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны).

Стоячая акустическая волна - это акустическая волна, которая является суперпозицией прямой и отраженной волны в ограниченной среде. Распределение амплитуды стоячей волны (пучности и узлы) зависит от физических параметров среды и граничных условий.

Акустический резонатор - это устройство, предназначенное для получения резонанса акустических колебаний в среде, заполняющей устройство. Акустический резонатор имеет ряд собственных резонансных частот, каждая из которых имеет собственную добротность и, соответственно, затухание. Ряд колебаний на резонансных частотах резонатора называются модами резонатора.

Распространенные примеры:

Камертон - устройство для настройки музыкальных инструментов, издающее звук, высота которого соответствует одной из семи нот музыкального ряда.. Для камертона важным является не только долгое ( малое затухание) и чистое звучание, но и возбуждение только одной из мод этого резонатора. Именно форма камертона позволяет возбуждать колебание только одной моды с высокой добротностью. Остальные моды имеют низкую добротность колебаний.

Кварцевый резонатор - это устройство, где в качестве акустической среды используется пластинка кристаллического кварца. Пластинка хорошо отполирована, грани выполнены с высокой степенью параллельности. Длины волн собственных мод колебаний описываются уравнением

L = n _р/2,

где _р- длина волны_, которая может испытывать резонанс при длине резонатора L, n - целое число.

БИЛЕТ 2

1. Инерциальные системы отсчёта. Преобразования Галилея. Инварианты этого преобразования

Система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно называется инерциальной.

Утверждение впервые высказанное Г. Галилеем, о том, что во всех инерциальных системах координат механические явления протекают одинаково, называется принципом относительности Галилея. В дальнейшем в результате изучений других явлений, в частности электромагнитных, справедливость этих положений была признана для любых явлений. В таком общем виде оно называется принципом относительности СТО или просто принципом относительности

Преобразования Галилея. Рассмотрим систему отсчета, либо неподвижную, либо движущуюся с постоянной скоростью и с единым временем. Для этих систем справедлив принцип относительности Галилея. Имеется система отсчета К и система отсчета К', которая движется со скоростью V относительно системы К.

[x; y; z; t x'; y'; z'; t']

Физическая сущность этого преобразования составляет принцип относительности Галилея

t = t'

= ' (длины отрезков одни и те же).

Следующие преобразования отражают механический принцип относительности:

x' = x - vt ; y' = y; z' = z; t' = t

Обратные преобразования:

x = x' + vt ; y = y'; z = z'; t = t'

(из них можно получить закон сложения скоростей)

Уравнения, остающиеся неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, называются инвариантными.

События, одновременные в одной системе, одновременны и в другой, т. е. утверждение об одновременности двух событий имеет абсолютный характер, независимый от системы координат.

Длинна - инвариант преобразований Галилея. Длинной движущегося стержня наз. расстояние между координатами его концов в некоторый момент времени. Следуя из этого инвариантность длинны легко доказывается.

Интервал времени явл. инвариантом преобразований Галилея (t=t₂-t₁=t'₂-t'₁=t')

Сложение скоростей получается из дифференцирования формул преобразования Галилея.

Ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея. Это утверждение доказывается дифференцированием преобразований скорости и учитывая, что t=t'.

БИЛЕТ 3

1. Понятие массы, импульса, силы в механике Ньютона. Законы Ньютона и их инвариантность относительно преобразований Галилея

Масса:

1) Всякое тело оказывает сопротивление при попытках изменить модуль или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. Масса - мера инертности.

2) Изолированная система - система тел, настолько удаленных от всех остальных тел, что они практически не оказывают действия на рассматриваемую систему.

Рассмотрим изолированную систему из двух материальных точек (их скорости много меньше скорости света). v₁,v₂ - приращения скоростей м.т. за одинаковый t. Из опыта: m₁v₁=-m₂v₂, где m₁, m₂ - положительные величины, не зависящие от характера взаимодействия между м.т., от v₁ и v₂, а зависящие только от самих м.т. Тогда m₁, m₂ - инертные массы м.т. 1 и 2.

Импульс: p=m - импульс м.т. Импульс системы м.т. - p=p₁+p₂+...+p_n

Сила: Сила - любая причина, изменяющая импульс движущегося тела (мера взаимодействия). Одно из количественных определений: mr=F.

Законы Ньютона:

I. Существуют такие системы отсчета, в которых изолированная точка движется прямолинейно и равномерно (инерциальные системы отсчета).

II. (уравнения движения м.т.): (m)=F. (в исо)

III. Силы взаимодействия двух м.т. равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей их.

В замкнутой системе из двух м.т. p₁+p₂=const (из m₁v₁=-m₂v₂) p₁=- p₂ F₁=- F₂

Следствие из III (закон сохранения импульса замкнутой системы м.т.): (1) , где (2) - полная внутренняя сила, действующая на j-тую частийу системы м.т.,

(3) - полная внешняя сила, действующая на j-тую частийу системы м.т.

Тогда (4)(5)

Инвариантность:

S - исо, S движется относительно S с V (V<<c).

Замкнутая система - это система, удалённая от остальных тел, на которую не оказывается действие.

Рассмотрим изолированную систему из двух мат. Точек, после взаимодействия их скорости изменятся на V1 V2

Векторы будут связаны так: m1V1 = -m2V2, коэфициенты m1,m2 называются массами

Опр. Величина mv = p называется импульсом материальной точки, импульс системы - это сумма импульсов всех её точек. Импульс замкнутой системы из двух точек неизменен.

Сила.

Под силой в механике Ньютона принимается любая причина изменяющая импульс движущегося тела. Рассмотрим Инерциальную систему отсчёта:

dp/dt = t/dt*(mv) = F

Величина называется силой, действующей на тело, очевидно, сила - векторная величина. Второй закон Ньютона: Таким образом в И.С.О. производная импульса по времени равна силе действующей на тело.

Рассмотрим две точки в И.С.О.:

P1+p2=const,следовательно dp1/dt + dp2/dt = 0

Следовательно F1 = -F2, где F1 и F2 - силы взаимодействия

Третий закон Ньютона: То есть силы взаимодействия двух мат. Точек равны по величине и противополжны по направлению. Действуют они по прямой, соединяющей эти две точки.

Т.к. r = r' + Vt', t=t'

dr/dt = dr'/dt + V = dr'/dt' + V'.

v = v' + V - закон сложения скоростей

dv/dt = dv'/dt = dV/dt , a = a'

Сис. Отсчёта, двигающаяся равномерно и прямолинейно относительно И.С.О. - является И.С.О.

Так как F=F' следовательно сила инвариантна относительно преобразований Галилея. Ускорение тоже инвар.

Следовательно, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобр. Галилея.

2. Кинетическая энергия твёрдого тела. Теорема Кёнига

Опр. Работой силы на перемещении называется проекция этой силы на направление перемещения, умноженная на перемещение. dA = FdS = FdScos.

Если сложить все элементарные работы и перейти к пределу, устремив к 0 длинны всех элементарных перемещений, а их число к , то такой предел обозначается символом: , и наз. криволинейным интегралом вектора F вдоль траектории L. Элементарная работа результирующей 2-х или нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил.

F=dp/dt, ds=v dt A=(v dp)=[p=mv, v dp=mv dv, скалярное произведение самого на себя равно квадрату длинны]=mv²/2. A₁₂=m, речь идёт о работе при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2. Величина K=(mv²/2)=p²/2m наз. кинетической энергией материальной точки. Работа силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки. Кинетической энергией системы наз. сумма кин. эе. м.т., из к-х эта система состоит.

Как преобразовыается кинетическая энергия из одной системы в другую? Скорости связаны соотношением: v=v'+V (Mv²)/2 = (mv'²)/2 + (mV²)/2 + mv'V

или K =K'+(mV²)/2+(p'V), где р'=mv' - импульс материальной точки в системе S'.

Это справедливо и для системы м. т. (мы можем рассмотреть их по две)

K=K'+(mV²)/2 + m(Vv')/

Это теорема Кёнига:

Кинетическая энергия системы м. т. равна сумме кин. энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кин. энергии той же системы в её относительном движении по отнош. К поступательно движущейся системе с началом в центре масс.

3. Движение вязкой жидкости. Силы вязкого трения. Коэффициэнт вязкости. Течение вязкой жидкости по трубе. Формула Пуазейля

Силы вязкого трения. Ньютон установил опытным путем, что при скольжении друг относительно друга двух параллельных плоскостей, пространство между которыми заполнено жидкостью, силы вязкого трения препятствуют этому скольжению (рис. 4.1). Эта сила пропорциональна площади S и изменению скорости на единицу длины в поперечном направлении h/v (градиенту скорости в направлении, перпендикулярном движению) и зависит также от вязкости жидкости :. F=Sv/h. h²<<S. Важно отметить, что частицы жидкости, прилегающие к верхней пластине, движутся вместе с нею со скоростью v (увлекаются пластиной). Напротив, частицы жидкости вблизи нижней (неподвижной) пластины находятся в покое (прилипают к пластине).

Представим, что жидкость между пластинами состоит из плоских параллельных слоев, движущихся равномерно (рис. 4.2). Нетрудно понять, что каждый вышележащий слой увлекает за собой нижний соседний слой с силой F. В свою очередь, этот нижний слой тормозит движение верхнего слоя с той же силой. На каждый слой действуют сверху и снизу две равные, но противоположно направленные силы. Скорость слоев возрастает от нижнего слоя к верхнему линейно (рис. 4.2), а силы трения, действующие на каждый из слоев, одинаковы. Как результат, усилие приложенное к верхней пластине, передается на нижнюю пластину.

Течение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса.



Для анализа течения вязкой жидкости в правую часть уравнения движения (dv/dt)=F-drad p необходимо добавить силу вязкого трения, приложенную к единице объема жидкости. Для простоты ограничимся рассмотрением течения жидкости в направлении оси x, при это единственная компонента скорости vx будет зависеть от поперечной координаты y (рис. 4.3). На верхнюю грань dxdz кубика dxdydz (ось z перпендикулярна плоскости чертежа) в соответствии с F=(Sv/h) в направлении оси x действует увлекающая сила:

,

а на нижнюю грань тормозящая:

.

Равнодействующая сил вязкого трения, приложенная к выделенному кубику, равна F=F'_x+F”_x, a сила, приложенная к единичному объему, составит

.

В общем случае сила вязкого трения, вообще говоря, имеет три компоненты: f={f_x, f_y, f_z}, где f_x=v_x, f_y=v_y, f_z=v_z, где = -- оператор Лапласа, для сокращения записи. Если теперь компоненты силы трения подставить в правые части уравнений:

для соответствующих компонент скоростей, то мы получим систему уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Эти три уравнения могут быть записаны в виде одного векторного уравнения Навье-Стокса:

Течение вязкой жидкости по трубе. Формула Пуазейля. Если мы подсоединим тонкую горизонтальную стеклянную трубу с впаянными в нее вертикальными манометрическими трубками при помощи резинового шланга к водопроводному крану (рис. 4.6). При небольшой скорости течения хорошо видно понижение уровня воды в манометрических трубках в направлении течения (h 1 >h 2 >h 3 ). Это, в свою очередь, указывает на наличие градиента давления вдоль оси трубки -- статическое давление в жидкости уменьшается по потоку. При равномерном прямолинейном течении жидкости силы давления уравновешиваются силами вязкости. Уравнение Навье-Стокса для этого случая запишется в виде:

-grad p+v=0. (4.12)

Распределение скоростей в поперечном сечении потока вязкой жидкости можно наблюдать при ее вытекании из вертикальной трубки через узкое отверстие (рис. 4.7). Если, например, при закрытом кране К налить вначале неподкрашенный глицерин, а затем сверху осторожно добавить подкрашенный, то в состоянии равновесия граница раздела Г будет горизонтальной. Если кран К открыть, то граница примет форму, похожую на параболоид вращения. Приравняем нулю сумму сил вязкости и давления, действующих на цилиндрический объем жидкости радиуса r и длиной dx (рис. 4.8):

(p(x) p(x+dx))r²+2rdx(dv/dr)=0 (4.13)

Отметим, что равнодействующая сил давления направлена по потоку (вдоль оси x), а сила вязкого трения, приложенная к боковой поверхности выделенного цилиндра -- против потока, поскольку dv/dr<0. Произведя сокращение и разделив (4.13) на dx, получаем:

-(dp/dx)+2dv/(rdr)=0 (4.14)

Величина градиента давления dx/dp в (4.14) не зависит от радиуса r, т.к. давление p=p(x) и в поперечном сечении x=const не меняется. Это позволяет проинтегрировать (4.14):

(4.15)

Поток вектора скорости через поперечное сечение трубы, или объем жидкости, протекающей через сечение в единицу времени (на практике употребляют термин «расход жидкости») оказывается равным:

.

Для практических целей расход жидкости определяют по формуле Пуазейля:



Здесь расход воды N_v пропорционален разности давлений p₁- p₂ на концах трубы длиной l.

БИЛЕТ 4

1. Законы описывающие индивидуальные свойства тел: закон всемирного тяготения, закон Гука, законы для сил сухого и вязкого трения

Закон всемирного тяготения. Этим законом определяется сила F притяжения между точечными телами, находящимися на расстоянии r друг от друга, в виде: F=Gm₁m₂/r².

Закон Гука. Для деформируемого, тела при упругих деформациях в области пропорциональности: F=-kx.

Сухое трение. Сила сухого рения покоя возникает на поверхности двух соприкасающихся тел и равна разности сил приложенных к телам. Если 2 поверхности движутся, то сила сухого трения пропорциональна силе нормального давления.

Сила вязкого трения. В случае силы сухого трения при сила, меньших силы трения скольжения 2 поверхности не движутся относительно друг друга, а вслучае вязкого трения какова бы ни была сила - возникнет движение, причем для малх скоростей силя вязкого трения пропорциональня скорости, а на больших скоростях её квадрату.

2. Акустические волны. Связь между давлением, плотностью, скоростью и смещением частиц воздуха в волне. Интенсивность акустической волны

Звуковые (акустические) волны - упругие волны в воздухе, частоты которых лежат в пределах от 20 до 20 000 колебаний в секунду.

Жидкости и газы обладают только объёмной упругостью. В них возможны только продольные волны.

Рассмотрим участок газа, сечения s, длины dx.



₀ s dx ²S/t² = [P_x - P_x+dx] s

₀ ²S/t² = - P/x

При малых изменениях давления у положения p₀:

dP=(P/)₀ dp=c² d

-P/x=-c² d/x=-c² /x[₀ (-S/x)]=c²_o ²S/x²

²S/t² = c^{2 2}S/x² , c²= P/, при =₀

Зависимость от температуры:

P=RT/ P=const =С_р/С_V dP/d= const ^-1= P₀/₀

C²= P₀/₀= RT/

Пусть плоская акустическая волна возбуждается бесконечной пластинкой, колеблющейся в направлении x по закону .

Тогда волна распространяется также в направлении x, смещение частиц, лежащих в любой плоскости, нормальной к этому направлению, происходит по з-ну:

.

Относительное изменение толщины слоя, лежащего между двумя бесконечно близкими пл-тями:

.

Этому изменению расстояния соответствует такое же относительное изменение обьема, заключенного между двумя пл-тями.

(5)

Скорость частиц:

. (6)

Из (5) и (6) (7)

dv/v₀=-d/₀ (8)

dp/d= p₀/₀

Из (8),(9) p= p / = pu/c= cu, т.к. (1). (10)

Интенсивность. Звуковая волна несет с собой потенциальную энергию - энергию упругой деформации газа и кинетическую энергию движущихся частиц газа. Подсчитает потенциальную энергию, заключенную в элементе обьема Sx. Если относительное сжатие в слое есть =dv/v₀, то по (10) сила, действующая на стенку площади S, есть Sp=p. При изменении относительного сжатия на d стенка перемещается на x d и при этом совершается работа dA=Sxpd.

u=Sx p

Плотность энергии упругой деформации _U=p²/2 (14)

Кинетическая энергия этого же обьема T= Sxu²/2 и плотность кинетической энергии _T=u²/2. Из (7) видно, что _U=_T. Тогда плотность всей энергии звуковой волны =p². Т.к. меняется как cos, то ² меняется как cos², значит ²_ср=₀²/2, _ср= p₀²/2. Т.к. (7) выполняется для всяких мгновенных значений з и , то оно справедливо и для амплитудных значений и _ср=(p₀)²c/2 p, где p₀ - амплитуда звукового давления.

Энергия, которая падает за единицу времени на единицу площади, нормальной к направлению распространения звуковой волны, называется интенсивностью звуковой волны.

Интенсивность звука I=_ср c=(p₀)²c/2 p==(p₀)²/2 c (т. к. с²= p/)

Интенсивность звука измеряется в дж/см²с.

БИЛЕТ 5

1. Импульс системы тел. Закон сохранения импульса системы тел и его связь с однородностью пространства. Теорема о движении центра масс. Примеры

СМТ наз. изолированной если отсутствуют внешние силы.

Назовем импульсом или количеством движения материальной точки вектор, равный произведению массы точки на ее скорость: Р=mv

Импульсом или количеством движения системы материальных точек назовем векторную сумму импульсов отдельных материальных точек, из которых эта система состоит:

Закон сохранения импульса. Импульс изолированной или замкнутой системы 2-х материальных точек сохраняется, т. е. остаёьтся неизменным во времени, каково бы ни было взаимодействие между нимим. Это утверждение справедливо также и для изолированной с. м. т., состоящей из сколь угодно большого числа м. т.

Запишем третий закон Ньютона для замкнутой системы, состоящей из произвольного числа материальных точек.

F₁⁽ⁱ⁾+F₂⁽ⁱ⁾+…+Fn⁽ⁱ⁾=0, (1)

где Fn⁽ⁱ⁾ - полная внутренняя сила., действующая на n-ную точку. Обозначим далее символами F₁^(e),F₂^(e),… внешние силы , действующие на материальные точки системы. Тогда на основании второго закона Ньютона можно записать

Сложив почленно эти уравнения и приняв во внимание соотношение (1) найдем

(2)

где р- импульс всей системы,F^(e)-равнодействующая всех внешних сил, действующая на нее. Пусть теперь геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю (Например замкнутая система). Тогда (dp/dt)=0, или p=const.

Закон сохранения импульса является отражением фундаментального св-ва пространства - его однородности.

Теорема о движении центра масс. Ц. м. движется так, как двигалась бы материальная точка с массой m под действием таких же по величине и напр. сил. На ускорение ц. м. влияют только внешние силы.

Теорема о движении центра масс. В нерелятивистской механики импульс системы р может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор R которой выражается через радиусы-векторы r₁,r₂,… материальных точек по формуле

R=(m₁r₁+m₂r₂+…)/m , где m=m₁+m₂+… .Если продифф. Выражение по времени и умножить на m то получится:

,

-скорость центра масс системы. Таким образом, p=mV. Подставив это в (2): Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила - геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. В релятивистском случае потятие ц. м. не является инвариантным понятием, не зависящем от выбора системы координат, и поэтому не применяется. Для материальной точки з. с. импульса означает, что в отсутствии внешних сил она движется с постоянной скоростью по прямой линии. Для СМТ в нерелятивистском случае закон утверждает, что ц. м. движется равномерно и прямолинейно.

Под однородностью пространства понимается эквивалентность всех точек пространства друг другу. Это означает, что если имеется некоторая изолированная система, то развитие в ней не зависит от того, в точках какой области пространства эта система локализована. Если все точки системы сместить на r, то в состоянии системы ничего не изменится, т. е. работа внутренних сил системы =0. r

.

Ввиду независимости взаимодействий каждой из пар точек друг с другом F_ij+F_ji=0. закон созранения импульса изолированной системы материальных точек обусловлен фундаментальным свойством пространства в ИСО -- его однородности. Отсюда можно заключить, что с однородностью пространства связан и принцип относительности.

2. Кручение валов. Модуль кручения. Принцип действия крутильных весов. Опыты с крутильными весами

Кручение валов. Деформации сдвига возникают при скручивании валов машин и механизмов. когда посредством вала передаётся вращательное усилие от одной части механизма к другой.

На рисунке изображены деформируемый вал и деформация сдвига элементарного объема.

Угол зависит от удаления этого объема от оси вала. Касательные напряжения , ответственные за эти деформации, создают в сечении момент упругих сил, равный

М_упр=rf=

Здесь учтено, что площадь элементарного кольца радиуса r и шириной dr равна dS=2rdr, а (r)=(r)G.

Из условия равновесия части вала, находящейся, например, выше от рассматриваемого сечения, следует, что М_упр=М, и М_упр не зависит от выбора сечения вала.

Зависимость (r) должна быть линейной функцией от расстояния r , т.е. (r)=kr, где к можно определить из предыдущих уравнений.

М_упр=

Сдвиговые деформации

(1)

Они пропорциональны моменту внешних сил и обратно пропорциональны четвертой степени радиуса R. Из последнего соотношения легко подсчитать угол кручения , на который повернется верхнее основание стержня относительно нижнего. Из очевидного неравенства

(R)=R с учетом (1) находим

=

где - модуль кручения, зависящий от размеров вала и модуля сдвига материала, из которого вал изготовлен. Для создания жестких валов необходимо увеличивать диаметр и сокращать длину. Можно взять трубу.

В ряде случаев, наоборот, используют валы, изготовленные в виде тонких нитей, например, нити подвеса крутильных весов, использовавшихся Ш. Кулоном в опытах по исследованию электростатического взаимодействия и П. Н. Лебедевым - в опытах по измерению давления света. В этих опытах тонкие кварцевые нити закручивались на заметные углы при действии ничтожно малых моментов сил, что обеспечивало высокую чувствительность крутильных весов.

БИЛЕТ 6

1. Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского

Движение тел с переменной массой.

Уравнение движения тел с переменной не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, и являются их следствиями. Но они представляют большой интерес в связи с ракетной техникой.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Пусть m(t)-масса пакеты в произвольный момент времени t, а v(t)-ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент будет mv. Спустя dt масса и скорость ракеты получат приращение dm и dv( dm-отрицательна). Импульс ракеты станет (m+dm)(v+dv). Сюда надо добавить импульс движения газов, образовавшихся за dt. Он равен dm_газv_газ -масса и скорость газа, образовавшихся за dt. Вычитая из суммарного импульса системы в момент t+dt импульс системы в момент t, найдем приращение этой величины за dt. Это приращение равно Fdt, где F - геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.

(m+dm)(v+dv)+dm_газv_газ-mv = Fdt

Время dt устремим к нулю. Поэтому, раскрывая скобки, отбрасываем dmdv. Далее dm+dm_газ=0 и v_отн=v_газ-v есть скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

mdv = v_отнdm + Fdt , деля на dt

m(dv/dt) =v_отн(dm/dt) + F (1)

Член v_отн(dm/dt) - реактивная сила . Уравнение (1)-уравнение Мещерского или уравнение движения точки с переменной массой.

Пусть теперь у нас F=0, тогда mdv = v_отнdm.

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости v_отн. Тогда проекция v_отн на направление движения будет -v_отн. Тогда

dv/dm = -(v_отн/m)

Пусть скорость газовой струи v_отн постоянна, тогда

v= - v_отн (dm/m) = - v_отн ln(m) + C

Значение С определяется начальными условиями. Если, в начальный момент времени скорость ракеты =0, а масса = m_0, тогда 0 = - v_отн ln(m₀) + C , откуда С = v_отн ln(m₀). Следовательно : v = v_отн ln(m/m₀) или

m₀/m=e^{v / v отн} . (2)

Уравнение (2) - формула Циолковского. Она справедлива для нерелятивистских движений (v и v_отн << c )

Релятивистская формула имеет вид :

, где = v/c .

2. Основы гидро- и аэростатики. Закон Паскаля. Распределение давлений в покоящейся жидкости, находящейся во внешнем силовом поле

Под действием внешних сил в жидкостях и газах, как и в твердых телах, могут возникать внутренние напряжения. Рассматривая жидкости и газы как сплошные среды, мы отметим, что жидкости, не имея определенной формы, сохраняют практически неизменный объем. Во многих важных случаях их можно рассматривать как несжимаемые. Газы же не имеют ни определенной формы, ни фиксированного объема.

В жидкости при сжатии силы отталкивания между молекулами могут быть весьма значительными. По этой причине говорят не о растягивающих и сдвиговых напряжениях _ij, а о давлениях р_ij= _ij как об отрицательных напряжениях. Совокупность давлений р_ij, действующих на площадки, перпендикулярные осям координат и ограничивающие кубический элемент жидкости, называется тензором давлений.

В покоящейся или медленно движущейся жидкости тангенциальные напряжения p_ij (ij), связанные с вязкостью отсутствуют.

Закон Паскаля.

Если пренебречь силами тяготения, действующими на каждый элементарный объем жидкости, то из условия равновесия этого объема следует, что

p₁₁ = p₂₂ = p₃₃ = p (1)

При этом давление p, возникающее вследствие внешнего воздействия, является скалярной величиной и одинаково во всех точках объема, занятого покоящейся жидкостью. Условие (1) автоматически обеспечивает не только равенство нулю суммы сил давления, приложенных к данному объему, но и равенство нулю суммарного момента этих сил.

Для доказательства этого условия рассмотрим неподвижную жидкость, помещенную в цилиндрический сосуд с площадью основания S₁, закрытый сверху поршнем.

Если надавить на поршень силой F₁, то в жидкости будут созданы внутренние напряжения (давления). Рассмотрим условия равновесия элементарного объема жидкости, имеющего форму кубика. На единицу его поверхности будет действовать сжимающая сила f_ii?p_iin_i, направленная противоположно нормали n_i к i-ой поверхности. Поскольку силы, действующие на противоположные грани кубика, равны по величине, то p₁₁=F₁/S₁. Равенство давлений р₁₁ и р₂₂ следует из условия равновесия половины кубика, выделенного более темным цветом и изображенного на фрагменте. Действительно, f₁₁= f₂₂ = f /(2)^0,5. Поэтому р₂₂=р₁₁. Рассматривая равновесие элементарных объемов в различных точках жидкости, получим условие:

p_ii=p=F₁/S₁

которое является математическим выражением закона Паскаля.

Если рассмотренный сосуд соединить при помощи трубки с другим цилиндрическим сосудом с площадью основания S₂, то при открывании крана К внутренние напряжения в соответствии с законом Паскаля передадутся во второй сосуд. На поршень, закрывающий этот сосуд, жидкость будет давить вверх с силой

F₂ = pS₂ = (F₁/S₁ )S₂ .

Жидкость во внешнем поле.

Рассмотрим напряжения, возникающие в жидкости, находящейся в поле внешних сил.

Пусть к элементу жидкости объемом dV=dxdydz приложена внешняя сила FdV ( F - плотность силы).

В результате возникающих внутренних напряжений на нижнюю грань кубика с координатой х и площадью dydz в положительном направлении оси x действует сила давления p(x,y,z)dydz, а на верхнюю грань - p(x+dx,y,z)dydz. При равновесии кубика выполняется равенство

p(x,y,z)dydz - p(x+dx,y,z)dydz + F_xdxdydz = 0

Аналогичные равенства записываются по двум другим осям

p(x,y,z)dxdz - p(x,y+dy,z)dxdz + F_ydxdydz = 0

p(x,y,z)dxdy - p(x,y,z+dz)dxdy + F_zdxdydz = 0

Разделив левые и правые части равенств на элементарный объем получаем условие равновесия в виде дифф. уравнений :

- dp/dx + F_x = 0; - dp/dy + F_y = 0; - dp/dz + F_z = 0

Отсюда следует, что давление не остается постоянным и изменяется в трех направлениях, по которым действует внешняя сила. Если ввести вектор градиента давления

grad p = p = dp/dx e_x + dp/dy e_y + dp/dz e_z ,

где е_{х ,} е_у , e_z - единичные вектора вдоль осей координат : - grad p + F = 0.

Примером служит жидкость в поле тяжести земли. Рассказать про сообщающиеся сосуды.

БИЛЕТ 7

Работа силы. Консервативные и диссипативные силы. Кинетическая энергия материальной точки и системы материальных точек. Изменение кинетической энергии при совершении работы

Работой силы F на перемещении ds называется проэкция Fs на направление перемещения, умноженная на само перемещение: dA = Fds = F*ds*cosx , где x - угол между векторами F и ds. Величина dA называется элементарной работой.

Когда материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, можно мысленно разбить этот путь на бесконечно малые элементы, на каждом из которых сила F постоянна. Интеграл дает работу силы F вдоль кривой L.

Если F = F1 + F2 , то Fs = F1s + F2s и Fsds = F1sds + F2sds , т.е. dA=dA1 + dA2 и A=A1 + A2.

F = dp/dt , ds = vdt.

По определению импульса p = mv, поэтому vdp = mvdv. dv - элементарное приращение вектора v. Если мы условимся пониать под u длину вектора v, то очевидно v*v = u*u. Дифференцируя получим : udu = vdv

где u1 - начальная, аu2 - конечная скорости точки. Величина



Называется кинетической энергией материальной точки, А12 = К2 - К1.

Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит, Под А12 надо понимать сумму работ всех сил (как внутренних, так и внешних) действующих на материальные точки системы. Таким образом, работа всех сил, действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии этой системы.

Консервативными наз. силы, зависящие только от конфигурации системы, и работа которых по любому замкнутому контуру равна 0. Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными. К ним относятся прежде всего диссипативные силы. Диссипативными называются такие силы, полная работа которых при любых движениях в замкнутой системе всегда отрицательна. Примером может служить сила трения или силы сопротивления в жидких и газообразных средах. Все эти силы зависят не только от конфигурации тел, но и от их относительных скоростей, кроме того они направлены против движения тела.

2. Распределение температуры и давления атмосферного воздуха с высотой. Барометрическая формула

По мере увеличения высоты давление и плотность монотонно убывают, а температура монотонно убывает лишь в нижнем десятикилометровом слое, а в более высоких слоях меняется немонотонно. Параметры атмосферы зависят как от географического положения места, так и от времени года. Сложная высотная зависимость температуры атмосферы есть результат совместного проявления процессов тепломассопереноса, инициируемых излучением Солнца.

Атмосфера делится на отдельные участки. Нижний слой атмосферы,называемый тропосферой,содержит 80% массы атмосферы, почти весь водяной пар и облака и характеризуется сильным вертикальным перемешиванием. Сверху тропосфера ограничена тропопаузой, где температура меняется очень мало. Выше расположена стратосфера,где температура повышается, и заканчивает повышаться в стратопаузе. Выше находится мезосфера, где температура опять падает. Выше находится термосфера, в которой температура опять растет до 600-2000 К. Для вычисления изменения атмосферного давления с высотой воспользуемся условием равновесия

Связь между давлением и плотностью задается уравнением состояния идеального газа

,

т. к. влияние влажности на плотность воздуха сущ. лишь в тропиках на поверхности и ошибка <2%.

Получаем ур-ие

.

Которое можно проинтегрировать, если известно Т(х).

В качестве грубого приближения можно использовать среднее значение температуры 250 К.

Интегрируя получим барометрическую ф-лу:

.

По этому же закону изменяется и плотность воздуха: .

Приведенная высота (высота на которой давление падает в е раз):

.

БИЛЕТ 8

1. Работа консервативных сил. Потенциальная энергия. Закон сохранения мех. энергии системы тел и его связь с однородностью времени

Все силы (в макроскопической механике) принято разделять на консервативные и неконсервативные. Если силы взаимодействия зависят только от конфигурации материальных точек системы (от их координат) и работа этих сил при перемещении системы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурацией системы, то такие силы называются консервативными.

Пусть система из положения 1 перешла в положение2 по пути 132. При этом будет совершена работа А132. Если бы система перешла в положение 2 по пути 142, то совершенная работа была бы равна А142, По определению консервативных сил А132 = А142 . Так как силы зависят только от конфигурации системы, то А142 =-А241. Таким образом, А132 + А241 = 0. Но сумма А132 + А241 есть работа, совершенная силами, когда система вернулась в исходное положение 1.В этом случае говорят о работе по “замкнутому пути”. Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю. Примерами консервативных сил могут служить сила тяжести и все центральные силы.

Какое-либо произвольное положение системы условно примем за нулевое. Работа, совершаемая конс. силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое, называется потенциальной энергией системы в первом положении. Потенциальная энергия при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы. Иными словами, потенциальная энергия системы U является функцией только ее координат.

Потенциальная энергия системы определена с точностью до константы. Пусть система перешла из положения 1 в положение 2 по пути 12. Работу А12 можно выразить через потенциальные энергии U1 и U2. Пусть переход совершен через нулевое положение 0, по пути 102.

А12 = А102 = А10 + А02 = А10 + А20.

По определению U1 = А10 + С б U2 = А20 + С

Таким образом А12 = U1 - U2, т.е. работа конс. Сил равна убыли потенциальной энергии.

Та же работа может быть выражена через приращение кинетической энергии:

А12 = К2 - К1 . Приравнивая получим:

К1 + U1 = К2 + U2

Сумма кин. И пот энергий называется полной энергией Е. Е1 = Е2, или Е = К + U = const

В системе с одними только конс. силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить только превращения энергий, но полный запас измениться не может (закон сохр. энергии).

2. Закон Архимеда. Условия устойчивого плавания тел на поверхности и внутри жидкости. Воздухоплавание

На тела, погруженные в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх. Эта сила является результатом действия сил давления. Выталкивающая сила F_А, называемая силой Архимеда, может быть подсчитана при учете распределения давления по глубине и оказывается равной весу вытесненной жидкости. Извлечём из сосуда с жидкостью тело, затем дольём туда жидкости (той же). Мы делим мысленно границы тела в жидкости и поймём, что сумма действ. сил на жидкость внутри условных границ =0 Архимедова сила равна весу вытесненной жидкости. Центр масс погруженного тела может не совпадать с центром объема. Это несовпадение имеет большое значение для устойчивого плавания тел, погруженных в жидкость (в кораблестроении используется термин остойчивость).

Для тел, плавающих на поверхности жидкости, центр их тяжести всегда будет расположен выше центра объема, погруженного в жидкость, и остойчивость плавания достигается выбором подобающей формы корабля и его загрузки. В судостроении форму судна с учетом его загрузки рассчитывают таким образом, чтобы метацентр находился выше центра масс судна . Этот метацентр является центром кривизны кривой , проходящий через центры объемов погруженных частей корпуса корабля., сменяющих друг друга при его боковой качке.

Воздухоплавание. Аэростаты - летательные аппараты легче воздуха. Они поддерживаются в воздухе благодаря подъемной силе заключенного в оболочке аэростата газа с плотностью, меньшей плотности воздуха (водород, гелий, светильный газ). Аэростаты, предназначенные для полетов в стратосферу, называются стратостатами. Аэростаты делятся на управляемые, или дирижабли, снабженные двигателями, и неуправляемые. Неуправляемые аэростаты используются для свободных полетов по ветру ( свободные аэростаты). Для подъёма на большие высоты V порядка 100000-800000 м³. Конструкция аэростата включает оболочку, содержащую легкий газ, гондолу для размещения экипажа и аппаратуры и подвеску, крепящую гондолу к оболочке. Подъемная сила 1 м.куб. водорода у земной поверхности равна приблизительно 1,15 кГ, а гелия - 1 кГ. Избыток подъемной силы уравновешивают балластом. Оболочка заполняется лишь частично, и это позволяет защитить ее от перенапряжения. При подъеме по мере уменьшения давления атмосферы легкий газ в оболочке расширяется, однако подъемная сила остается постоянной. Для спуска открывается газовый клапан в верхней части оболочки. Подъемная сила падает, и аэростат опускается. Поскольку давление атмосферы начинает расти, то оболочка снова теряет форму шара. При приземлении масса легкого газа всегда меньше его начальной массы. Чтобы предотвратить удар гондолы о землю из-за падения подъемной силы, необходимо перед посадкой уменьшить массу аэростата. Это достигается сбрасыванием остающегося балласта.

БИЛЕТ 9

1. Соударение тел. Абсолютно упругий и неупругий удары. Применение законом сохранения для описания столкновения тел

Абсолютно неупругим ударом, называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело.

Сталкивающиеся тела деформируются, возникают упругие силы и т.д. Однако если удар неупругий то, в конце концов все эти процессы прекращаются, и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое твёрдое тело.

v₁ v₂

m₁ m₂

Рассмотрим абс. неупругий удар на примере столкновения двух шаров. Пусть они движутся вдоль прямой, соединяющей их центры, со скоростями v1 и v2. В этом случае говорят что удар является центральным. Обозначим за V общую скорость шаров после соударения. Закон сохр. Импульса даёт:

m1v1+m2v2=(m1+m2)V V=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)

Кин. энергии системы до удара и после:

K1=1/2(m1v12+m2v22) K2=1/2(m1+m2)V

Пользуясь этими выраж. получаем:

K₁-K₂=1/2m?v₁?v₂??v₁-v₂)

где?m =m₁m₂/(m₁+m₂) приведенная масса шаров. Таким образом, при столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кин. энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведённой массы на квадрат относительной скорости.

Абсолютно упругим ударом называется столкновение тел, в результате которого их внутренние энергии не меняются. Пример: Столкновение бильярдных шаров из слоновой кости, при столкновениях атомных, ядерных частиц. Рассмотрим центральный удар двух шаров, движущ-ся навстречу друг другу:

(m₁v₁²)/2+(m₂ v₂²)/2=(m₁u₁²)/2+(m₂ u₂²)/2

и:

m₁v₁+m₂v₂=m₁u₁+m₂u₂

u1=[(m₁-m₂)v₁+2m₂v₂]/(m₁ +m₂)

u2=[(m₂-m₁)v₂+2m₁v₁]/(m₁+m₂)

При столкновении двух одинаковых абсолютно упругих шаров они просто обмениваются скоростями.

2. Стационарное движение жидкости. Линии и трубки тока. Распределение давлений и скоростей в жидкости, текущей по трубе переменного сечения. Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение жидкости в каком-либо консервативном силовом поле, например, в поле силе тяжести. Применим к этому течению закон сохранения энергии. При этом полностью пренебрегаем теплообменом между жидкостью и средой. Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока и рассмотрим часть жидкости, занимающую объём MNDC. Пусть эта часть переместилась в бесконечно близкое положение M₁N₁D₁C₁. Вычислим работу А, совершаемую при этом силами давления. Давление, действующее на боковую поверхность трубки тока, перпендикулярно к перемещению и работы не совершает. При перемещении границы MN в положение M₁N₁ совершается работа

...