Основные вопросы физики

А₁=P₁S₁L₁,

где L₁=MM₁- величина перемещения. Введя объём D_?V=S₁L₁,ее можно представить в виде

А₁=P₁DV₁ или А₁=P(D_?m/r_??, )

где D_?m- масса жидкости в объеме MNN₁M₁. При перемещении границы CD в положение границы C₁D₁ жидкость совершает работу против давления P₂. Для нее, рассуждая аналогично, найдём

А₂ =P₂(D₂m)/r₂ ,

где D₂m- масса жидкости в объеме CDD₁C₁. Но если движение стационарно, то масса жидкости в объеме M₁N₁DC не изменится, следовательно

D_?m=D₂m=Dm,

получим

А=А₁-А₂=(P₁/r_? -P₂/r₂) Dm.

Эта работа = приращению DЕ полной энергии выделенной части жидкости. Ввиду стационарности течения энергия жидкости в объеме M₁N₁DC не изменилась. Поэтому величина DE= разности энергий массы жидкости Dm, в положениях CDD₁C₁ и MNN₁M₁. Находим

DЕ=(e₂-e₁)Dm,

где e - полная энергия, приходящаяся на единицу массы жидкости. Приравняв ?DE к А и сократив на Dm получим: e_?+P₁/ =e₂--+P₂/r_2--. Отсюда следует, что вдоль одной и той же линии тока при стационарном течении идеальной жидкости величина e+P/r остаётся постоянной:

e+P/r=B=const-это отношение называется уравнением Бернулли.

Оно справедливо и для сжимаемых жидкостей. Требуется только, чтобы жидкость была идеальной, а течение- стационарным.

Линия, касательная которой указывает направление скорости частицы жидкости, проходящей в рассматриваемый момент времени через точку касания, называется линией тока. Если поле скоростей, а следовательно, соответствующие ему линии тока не меняются с течением времени, то движ. жидкости называется стационарным или установившемся.

Возьмем произвольный замкнутый контур С и через каждую точку его в один и тот же момент времени проведём линии тока. Они расположатся на некоторой трубчатой поверхности, называемой трубкой тока. Так как скорости частиц жидкости направлены по касательным к линиям тока, то при течении жидкость не может пересекать боковую поверхность трубки тока. Масса жидкости, протекающая за время dt через попер. сечение трубки будет: dm=rvSdt. Если взять 2^А сечения S₁=S₂, то: r₁v₁S₁=r₂v₂S₂, если жидкость не сжимаема, то r₁=r₂--получится: (v₁/v₂)=(S₂/S₁). Скорость жидкости в одной и той же трубке тока тем больше, чем уже поперечное сечение трубки.

БИЛЕТ 10

1. Неинерциальные системы отсчёта (НИСО). Описание движения материальной точки в НИСО. Силы инерции: переносная, центробежная и кориолисова

Неинерциальные системы отсчёта (НИСО). НИСО называется система, движущаяся ускоренно относительно инерциальной. СО связана с телом отсчёта, которое, по определению, принимается за абсолютно твёрдое. Опр 2: в СО, в которых имеются силы тяготения и в к-х не выполняется 1-ый з-н Ньютона, наз. НИСО.

Описание движения мат. точки в НИСО. Чтобы описать движение в некоторой СО, необходимо разъяснить содержание высказывания о том, что такие-то события произошли в таких-то точках в такие-то моменты времени. Для этого надо, чтобы в СО единое время, но в НИСО единого времени в указанном §7 учебника Матвеева смысле не существует. Понятие длительности процессов, начинающихся в одной точке, а заканчивающихся в другой, теряет смысл, поскольку скорость хода часов в различных точках различна. Также трудно определить понятие длинны движущегося тела, если не ясно, что такое одновременность в в различных точках. Эти трудности можно частично обойти, если принять во внимание, что интервал собственного времени не зависит от ускорения. Поэтому анализа пространственно-временных соотношений в некоторой бесконечно малой области НИСО можно воспользоваться пространственно-временными соотношениями ИСО, которая движется с той же скоростью, но без ускорения, как и соответствующая бесконечно малая область НИСО. Такая ИСО наз. сопровождающей. Рассмотрим движения с малыми скоростями, когда все эти трудности не возникают и можно использовать преобразования Галилея, считая, что пространственно-временные соотношения с НИСО таковы же, как если бы она была ИСО.

Силы инерции: переносная и кориолисова. В НИСО ускорения, которые не связаны с силами такого же характера, какие известны в ИСО. В НИСО, так же как и в инерциальных, ускорения вызываются силами, но наряду с «обычными» силами взаимодействия ещё и силы особой природы, называемые силами инерции. 2-ой з-н Ньютона формулируется без изменения, но наряду с силами взаимодействия необходимо учесть силы инерции. Силы инерции берутся такими, чтобы обеспечить в НИСО те условия, которые фактически имеются. 2-ой з-н Ньютона в НИСО: ma'=F+F_ин., где a' - ускорение в НИСО, F - «обычные силы», F_ин - силы инерции. Переносная сила инерции направлена противоположно переносному ускорению НИСО и равна F_ин= - ma₀. Рассмотрим силы инерции во вращающейся СК:

F_ин=m(a'-a)=m(-a₀-a_K)=m²R-2m[ v']=F_цб+F_К. F_цб= m²R - центробежная сила инерции.

F_К=-2m[ v'] - сила инерции связанная с кориолисовым ускорением называется силой Кориолиса. Она перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы угловой и относительной скоростей. Если эти векторы колинеарны, то Кориолисово ускорение равно 0.

БИЛЕТ 11

1. Пространство и время в СТО. Понятия события и интервала. Классификация интервалов

Два события происходят в различных точках СК одновременно, если они происходят в один и тот же момент времени по часам этой СК. В каждой из точек момент события фиксируется по часам, находящемся в соответствующей точке. Будем считать, что события произошли одновременно в неподвижной СК в момент t₀ в точках x₁ и x₂.

2. Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Число Рейнольдса

Число Рейнолдса также определяет относительную роль инерции и вязкости: при больших числах Рейнольдса более важна роль инерции, при малых - вязкости. Силы вязкости, возникающие в потоке, обратно пропорциональны квадрату характерного поперечного размера потока и пропорциональны скорости. Давления р₁ и р₂ по разные стороны изогнутой трубки тока будут разные. Возникающий градиент давления связан с ускорением частиц жидкости уравнением:

(dv/dt)-grad p

Для частицы: F_и-grad p+v=0 силы вязкости значительно меньше сил инерции. В общем случае силы инерции обратно пропорциональны поперечному размеру потока и пропорциональны квадрату скорости. Re=vh/ - число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкости. Re>1 жидкость можно рассматривать как невязкую.

Ламинарным называется такое течение жидкости, когда её частицы двигаются вдоль траекторий параллельных стенам трубы. Особенностью ламинарного течения является его регулярность.

Ламинарное течение может изменится только вследствие посторонних воздействий. При больших скоростях ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное. Турбулентное - это течение, гидродинамические характеристики, которого изменяются быстро и нерегулярно - флуктируют. При ламинарном течении силы вязкости сглаживают боковые движения жидкости, возникающие вследствие флуктуаций и неровностей стенок трубы. При недостаточной вязкости случайные боковые движения жидкости усиливаются, способствуя тем самым возникновению турбулентности. Переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при некотором числе Рейнольдса, получившем название критического: (Re)_КР=(vR/)_кр. Значение (Re)_КР сильно зависит от формы входной части трубы. При установившемся турбулентном течении скорость в данной точке случайным образом меняется со временем, однако средняя скорость v направлена вдоль оси трубы. Она остается постоянной по сечению трубы, и только в очень тонком пограничном слое спадает до нуля у ее стенок. Для турбулентного течения жидкости по трубе p₁-p₂=k<v²>l/R, где к - безразмерный гидравлический коэффициент. Для ламинарного течения: p₁-p₂=8<v>l/R². Повышение скорости прокачки жидкости по трубам при турбулентном течении потребует значительно большнго увеличения перепада давлений, чем при ламинарном. Формулы можно объединить в одну, если принять, что безразмерный гидравлический коэффициент в зависит от числа Рейнольдса: k=k₀+(8/Re). Тогда при Re>Re_кр коэффициент kk₀, и течение турбулентное. Напротив, при Re<1 k8/Re , и первая формула переходит в0 2-ую. На рис. (4.12) изображен график зависимости перепада давления в трубах от скорости течения. При свободном ламинарном течении жидкости (в отсутствие направляющих поверхностей) развиваются неустойчивости, и ламинарное течение переходит в турбулентное. На рис. 4.13. представлено изображение струи жидкости (число Рейнольдса Re = 250).

БИЛЕТ 12

Преобразования Лоренца. Инвариантность интервала при этих преобразованиях. Собственное время. Собственная длинна

механика ньютон сила движение

Преобразования Лоренца обоснованы на принципе относительности (Утверждение впервые высказанное Г. Галилеем, о том, что во всех инерциальных системах координат механические явления протекают одинаково, называется принципом относительности Галилея. В дальнейшем в результате изучений других явлений, в частности электромагнитных, справедливость этих положений была признана для любых явлений. В таком общем виде оно называется принципом относительности СТО или просто принципом относительности) и принципа постоянства скорости света (независимость скорости света от скорости источника и скорости наблюдателя. Это постулат).

Однородность пространства: начало системы координат может быть помещено в любой точке и все геометрические соотношения между любыми геометрическими объектами при этом совершенно одинаковы с теми, которые получаются при помещении начала координат в любую другую точку.

Изотропность пространства: в каждой точке пространства можно ориентировать оси СК произвольным образом. При этом соотношения между геометрическими объектами не имеются.

Однородность и изотропность времени является его главными свойствами в ИСО.

Однородность времени: это одинаковость развития и изменения данной физической ситуации независимо от того, в какой момент эта ситуация сложилась.

Из однородности пространства и времени следует, что преобразования должны быть линейными. x'=Ф1(x,y,z,t),

y'=Ф(x,y,z,t),

z'=Ф3(x,y,z,t),

t'=Ф4(x,y,z,t).

Исходя из изотропности и однородности пространства, мы можем как угодно поворачивать и смещать оси СК. ориентируем оси так:

Начало координат: Пусть в t=0 x=y=z=0 совпадает с x'=y'=z'=0 , тогда А5=0

y' = a1x + a2y + a3z + a4t;

z' = b1x + b2y + b3z + b4t;

Т.к. оси Y,Y' и Z,Z' параллельны след: y=0 y'=0, z=0 z'=0

0 = a1x + a3z + A4t;

0 = b1x + b2y + b4t; что возможно лиш при а1=а3=а4=0

0=в1=в3=в4 След. y'=ay и z'=az

y=y'/a z=z'/a так как масштаб в С.К. изменятся одинаково, значит а=1/а, значит а=1.

Следовательно y'=y; z=z'.

Преобразования для x и t: Вследствие линейности преобразований:

x'=(x-vt) x='(x'+vt)

Докажем, что '=. Пусть некоторый стержей покоится в системе К': x₂'-x₁'=l. В системе К он движется x₁'=(x₁-vt₀), x₂'=(x₂-vt₀) x₂ -x₁=(x₁'-x₂')/=l/..

Пусть теперь тот же стержень в системе К и имеет в ней длину l. x₂-x₁=l. В системе К', принятой за неподвижную, этот стержень двигается с v. x₁='(x₁'+v₀ t'), x₂='(x₂'+v₀ t')

x₂'-x₁'=(x₂-x₁)/'. Согласно принципу относительности обе системы равноправны и длинна одного и того же стержня, движущегося в этих системах с одинаковой скоростью, должна быть одинакова '=. Воспользуемся постулатом скорости света: x'=ct', x=ct.

ct'= t(c-v), ct= t'(c+v) = vt'=(x/)-x'=(x/a)-(x-vt)=vt+x((1/)-) t'=

, x'=, y=y', z=z'.

Обратные преобразования получаются заменой штрихованных элементов на нештрихованные и изменением знака скорости.

Инвариантом преобразований Лоренца явл. пространственно-временной интервал или просто интервал. Интервалом между точками (x₁, y₁, z₁, t₁) и (x₂, y₂, z₂, t₂) наз. величина

s=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²-c²(t₁-t₂)²

- эта величина имеет во всех СК одно и то же значения, т. е. явл. инвариантом преобразований Лоренца.

s²>0 интервал пространственноподобный.

s²>0 интервал времениподобный.

s²=0 интервал нулевой (такой интервал существует между событиями, которые могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью света).

Время, которое измеряется по часам, связанным с движущейся точкой, наз. собственным временем этой точки.

Длинна, которая измеряется прибором, связанным с движущимся стержнем, наз. абсолютной длинной.

2. Обтекание тел идеальной и вязкой жидкостью. Парадокс Деламбера. Лобовое сопротивление. Сила лобового сопротивления при больших и малых числах Рейнолдса

Взаимодействие тела с потоком идеальной жидкости.

Еще Ньютоном была сформулирована получившая название ударной теория, базирующаяся на представлении воздуха в виде отдельных не связанных друг с другом материальны частиц. Согласно этой теории сила давления воздушного потока на площадку S, наклоненную под углом a (углом атаки) к направлению потока, равна: F=Sv²sin². Эта формула легко получается, если подсчитать импульс неупругих ударов составляющих ее материальных частиц. Опытная проверка этой формулы показала, что она неверно описывает зависимость силы F от угла атаки. И только при скоростях потока, значительно больших скорости звука, формула Ньютона оказывается справедливой. Модель воздуха как совокупности дискретных частиц является неверной. Реальные же силы могут быть подсчитаны на основе гидродинамического подхода, учитывающего обтекание тела движущимся потоком континуальной среды. Пусть в движущемся со скоростью v₀ потоке помещены диск и шар одинакового радиуса r (рис. 4.19). В центре диска точке K, называемой критической, поток останавливается (v = 0), и давление, согласно уравнению Бернули, равно: p_k=p₀+(v₀²/2). Из-за поворота трубок тока на 90⁰ давление в других точках на поверхности диска будет таким же, как и в точке К. Поэтому, если позади диска давление равно p₀ , то поток действует на диск с силой F_||=(p_k-p₀)r²=v₀²S/2. Гидродинамическая сила F , которая может трактоваться как сила лобового сопротивления при движении диска со скоростью v0 в потоке, вдвое меньше силы, вычисляемой на основе ударной теории ((1) при sin =1). Если теперь в поток поместить шар, то по ударной теории на него будет действовать та же сила, что и на диск. При гидродинамическом подходе эта сила будет отсутствовать вовсе. Действительно, при симметричном потоке относительно сечения О₁ О₂ давления в произвольной точке М и симметричной точке M' будут одинаковы, поскольку одинаковы скорости потока в этих точках. Равенство нулю результирующей силы при плавном (безотрывном) обтекании идеальной жидкостью шара, цилиндра и другие. называется парадоксом Даламбера. Давление в любой точке потока вблизи поверхности шара можно рассчитать, пользуясь уравнением Бернулли: p_k=p₀+(v₀²/2)-(v²/2). На рис. 4.20 изображено распределение избыточных сил давления _p=p-p₀, действующих по нормали к поверхности шара. Отсутствие сил в точках А и Aґ есть результат равенства скоростей в этих точках исходной скорости потока. При больших числах Рейнолдса сила лобового сопротивления обусловлена разностью давлений, а при малых - вязкостью.

Тело в потоке вязкой жидкости. Лобовое сопротивление. Поток реальной жидкости или газа действует с некоторой силой на тело, помещенное в этот поток. Для осесимметричного тела с осью симметрии, направленной вдоль потока, эта сила также будет направлена вдоль потока.

Она получила название силы лобового сопротивления. Основные физические причины возникновения лобового сопротивления можно установить наиболее просто, если рассмотреть обтекание потоком шара радиуса r. На рис. 4.21. изображена зависимость силы лобового сопротивления от числа Рейнольдса. При малых скоростях течения, когда Re<10² F_||v, т. к. на шар действуют силы вязкости, возникающие вследствие существования тонкого пограничного слоя вблизи поверхности шара (dr/(Re)^1/2). При таких скоростях происходит ламинарное (слоистое) течение жидкости. Вне этого слоя реальная жидкость течет так же, как и идеальная, обтекая шар симметрично. Наоборот, при числах Re ~ 1 говорить о пограничном слое некорректно, т.к. градиенты скорости существенны в области, размеры которой значительно больше радиуса шара.

При малых числах Рейнольдса сила лобового сопротивления для шара подчиняется закону Стокса: F_||=6rv. При Re>10², симметрия обтекания нарушается -- позади шара происходит отрыв линий тока (рис. 4.22). При таких скоростях пограничный слой становится очень тонким, а поперечные градиенты скорости в нем -- большими.

Силы вязкости, которые при этом возрастают, тормозят движение частиц среды, движущихся вдоль поверхности шара, настолько, что они не в состоянии полностью обогнуть шар. Хотя течение в тонком пограничном слое остается ламинарным, позади шара образуются вихри. Симметрия давлений в точках А и A' нарушается. F_||=C_X Sv²/2, где C_X -- коэффициент лобового сопротивления для тела данной формы. Область квадратичной зависимости силы F от скорости v простирается вплоть до чисел Рейнольдса Re~10⁵. При больших скоростях пограничный слой постепенно турбулизуется, и при Re=3 10⁵ он полностью турбулентен. Для ламинарного и турбулентного обтекания тел можно использовать единую формулу для расчета силы лобового сопротивления: F_||=C_X(Re)Sv²/2, в которой коэффициент лобового сопротивления должен зависеть от скорости так, как это изображено на рис. 4.23.

3. Деформации тел. Типы деформаций. Коэффициент Пуассона. Законы Гука для одноосного растяжения и сдвига. Связь между модулями сдвига и Юнга

Деформации тел. Опыт показывает, что под действием приложенных сил тела в той или иной степени меняют свою форму и объем, что на микроскопическом уровне означает относительное смещение атомов, составляющих тело. Такие изменения называются деформациями. В случае твердых тел различают два предельных случая: деформации упругие и деформации пластические.

Упругими называют деформации, исчезающие после прекращения действия приложенных сил.

Пластическими или остаточными деформациями называют такие деформации, которые сохраняются в теле, по крайней мере частично, и после прекращения действия внешних приложенных сил. Если напряжение (сила, отнесенная к единице площади) не превосходит предела упругости, то возникающая деформация будет упругой. Для удобства описания деформаций мысленно разобьем тело на физически малые объемы (иногда их будем называть частицы), содержащие, однако, большое число атомов. В отсутствие деформаций атомы находятся в состоянии теплового равновесия, а все малые объемы -- в механическом равновесии. Тогда сумма сил и моментов сил, действующих на выделенный объем со стороны примыкающих к нему других объемов, будет равна нулю. Изменения положений атомов при деформациях приводят к тому, что в теле возникают внутренние силы, или внутренние напряжения, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Только соседние атомы или молекулы эффективно взаимодействуют друг с другом.

Типы деформаций. Коэффициент Пуассона.

При всем многообразии случаев произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям -- растяжению (сжатию) и сдвигу. При растяжении резинового шнура его поперечный размер d уменьшается до величины d₁. Такое поперечное сжатие характеризуется параметром =(d₁-d)/d=d/d. Продольный размер изменяется на l и характеризуется величиной =(l₁-l)/l=l/l. Опытным путем установлено, что отношениек к приблизительно одинаково для разных деформаций одного и того же материала. Поэтому в теории упругости материал характеризуется коэффициентом Пуассона:

=-(/)

Подсчитаем численное значение коэффициента Пуассона? Чтобы ответить на этот вопрос, подсчитаем изменение объема резинового шнура:

V=ld², V₁=l₁d₁²=l(1+)d²(1+)²= [раскроем скобки и пренебрегём ², 2, ²] V(1++2)

V/V=(V₁-V)/V+2=(1-2).

Законы Гука. В ряде практически важных случаев напряжения определяются только деформациями. Такие тела называются абсолютно упругими телами, или упругими телами. Замечательным свойством таких тел является способность полностью восстанавливать свою форму после снятия внешних усилий, прикладываемых к телу. Рассмотрим, например, растяжение (или сжатие) стержня под действием силы F, приложенной перпендикулярно к торцевой грани с площадью сечения S. При последовательном возрастании нагрузки в начале деформации развиваются равномерно по длине стержня и растут пропорционально нагрузке: =(l₁-l)/l=F/SE=/E.

Величина =F/S называется нормальным напряжением в торцевом сечении стержня. Пропорциональность деформаций соответствующим напряжениям выражает закон Гука. Е - модуль Юнга. Закон Гука окончательно записывают в виде =/Е.

Опыт показывает, что этот закон выполняется лишь в определенном интервале напряжений. При некотором напряжении появляется заметное остаточное удлинение. Это напряжение s называется пределом упругости. Закон Гука выполняется только в части области упругости -- области пропорциональности.

При возрастании нагрузки наблюдается явление текучести, т.е. рост удлинения образца при постоянной нагрузке , называемой пределом текучести. Отметим, что течение материала происходит равномерно по всей длине стержня. За пределами области текучести дальнейшее удлинение стержня сопровождается увеличением . Однако деформации будут распределены уже неодинаково по длине стержня -- в некотором месте можно заметить образование шейки. При напряжении M , называемом пределом прочности, в этом ослабленном сечении происходит разрыв. Аналогичными обладают и деформации сдвига. В области пропорциональности связь между деформацией и касательным напряжением задаётся соотношением: =F/(GS)=/G, где =F/S - касательное напряжение, а G - модуль сдвига.

Установим зависимость G от Е. Обратим внимание на то, что квадратная грань ABCD параллелепипеда (рис. 1.9), находящегося внутри рассматриваемого кубика, превращается при деформации в ромбическую грань A'B'C'D'. Совершенно ясно, что параллелепипед испытывает сдвиговую деформацию, а его объем при этом практически не изменяется. Величину угла сдвига можно легко связать с деформацией удлинения =l/l и коэффициентом Пуассона =-/. Из треугольника A'OD' следует, что:

Поскольку b <<1, то

В последней формуле учтено, что e << 1. Сила F, растягивающая кубик (рис. 1.10), создает нормальное напряжение =F/l². Это напряжение передается на грани AB и BC параллелепипеда, однако силы, действующие на каждую из граней, имеют не только нормальную к грани, но и направленную вдоль грани составляющую F. Касательное напряжение оказывается при этом равным:

(1.24)

Поскольку деформации e в формуле (1.23) пропорциональны напряжениям, а =2, то: =2(1+)/E. Сравнивая последнее равенство с соотношением =F/(GS)=/G и учитывая, что =tg, получаем то, что искали: G = E /2(1+).

Размещено на Allbest.ru