Динаміка космічних тросових систем, стабілізованих обертанням

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Пироженко Олександр Володимирович

УДК 531:534.2

ДИНАМІКА КОСМІЧНИХ ТРОСОВИХ СИСТЕМ, СТАБІЛІЗОВАНИХ ОБЕРТАННЯМ

01.02.01 - Теоретична механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Донецьк - 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті технічної механіки НАН України і НКА України.

Науковий консультант - доктор технічних наук, професор Алпатов Анатолій Петрович, Інститут технічної механіки НАНУ і НКАУ, завідувач відділу системного аналізу та проблем керування.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Лесіна Марія Юхимівна, Донецький національний технічний університет, професор кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук, професор Лещенко Дмитро Давидович, Одеська державна академія будівництва та архітектури МОН України, завідувач кафедри теоретичної механіки;

доктор технічних наук, старший науковий співробітник Лебедєв Дмитро Васильович, Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій та систем НАН та МОН України, завідувач відділу.

Провідна установа: Інститут математики НАН України (м. Київ).

Захист відбудеться " 4 " квітня 2007 р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою:

83114 м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк-114, вул. Р. Люксембург, 74).

Автореферат розіслано "___" ________ 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради О.А. Ковалевський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи. Космічні тросові системи (КТС) є перспективним напрямком розвитку космічної техніки і технології. Проекти використання КТС на даний час розглядаються в багатьох країнах. Ці проекти різноманітні за призначенням й спрямовані на покращення роботи як мікросупутників і традиційних космічних апаратів, так і міжнародної космічної станції і космічних кораблів для міжпланетних перельотів. Реалізація проектів КТС передбачає одержання суттєвого економічного ефекту і нових наукових знань.

Відносно новим напрямком в області КТС є системи, стабілізовані обертанням. Аналіз можливості їх використання показує, що вони дозволяють одержати додаткові вигоди практично на усіх напрямках використання КТС. На даний час нові проекти використання обертових КТС на орбіті широко обговорюються в наукових колах.

Основною відмінністю КТС від традиційних космічних систем є їх велика протяжність, що обумовлює ряд особливостей задач їх динаміки. Наслідком великої протяжності є низька жорсткість зв'язків у системі й суттєве збільшення сил і моментів, що впливають на її рух. Це в свою чергу обумовлює зв'язок досліджень задач динаміки КТС із розв'язанням ряду фундаментальних проблем нелінійної механіки:

проблеми впливу коливань тіл по внутрішніх ступенях свободи на динаміку систем у центральному полі сил;

проблеми еволюції руху протяжних систем на навколоземних орбітах;

проблеми нелінійних резонансів, синхронізації і хаотичних рухів.

Аналіз стану названих проблем на сьогоднішній день свідчить, що їх дослідження, у першу чергу, вимагає побудови якісної картини нелінійної динаміки, тобто визначення основних закономірностей і можливих ефектів нелінійних взаємодій.

Дослідженню динаміки КТС присвячено велику кількість робіт, у тому числі роботи А.П. Алпатова, Ф. Ангрілі, В.В. Бєлецького, А.Є. Закржевського, В.А. Іванова, Є.М. Левіна, Е.С. Лорензіні, А.К. Місра, В.Дж. Моді, С.С. Рупа, Ю.С. Ситарського, Г. Трогера, Г. Тіка, А.М. Яблонського. Значно менше робіт присвячено дослідженню динаміки ротаційного руху КТС. У роботах В.В. Бєлецького, Л.В. Докучаєва, Г.Г. Єфименко, Е.Т. Новікової, Д.В. Панкової визначено ряд закономірностей динаміки руху КТС відносно орбіти в припущенні нерозтяжності нитки. Однак використання такої моделі динаміки КТС виключає можливість досліджувати цілий ряд важливих взаємодій, пов'язаних із пружними коливаннями мас по внутрішніх ступенях свободи. Метою робіт П.М. Байнума, К.С. Еманса, Дж.Р. Кліса було визначення можливості створення стійкого руху КТС, стабілізованої обертанням, і в цих роботах не розглядалися питання нелінійних взаємодій.

Проблему впливу коливань тіл по внутрішніх ступенях свободи на динаміку систем у центральному полі сил було розглянуто в роботах А.А. Аліфова, Т.С. Ван дер Ха, В.І. Гуляєва, М.З. Литвина-Седова, Р.Т. Прінгла, Ф.Л. Черноусько, К.В. Фролова та інших. Однак велика частина досліджень проводилася в припущенні малості амплітуд і квазистатичності коливань системи, обумовлених кінцевою жорсткістю зв'язків. Дослідження ж з динаміки систем при коливаннях тіл по внутрішніх ступенях свободи з великою амплітудою, як і методи дослідження таких систем, дотепер залишаються проблемними.

Проблеми еволюції руху протяжних систем на навколоземних орбітах пов'язані з необхідністю дослідження закономірностей змінення поступально-обертального руху системи, тобто дослідження динаміки в повній, а не в обмеженій постановці задачі. Особливий інтерес представляє визначення закономірностей динаміки систем під впливом дисипативних сил. У роботах В.В. Бєлецького, В.Г. Вільке, К.М. Лебедєва, А.П. Маркєєва, Ю.Г. Маркова, І.С. Міняєва, Є.Н. Синиціна та інших одержано результати, що описують багато із загальних закономірностей еволюції руху систем. Однак, побудова загальної картини еволюції ротаційного руху КТС під впливом дисипативних сил вимагала проведення додаткових досліджень.

Хаотичні режими руху детермінованих систем, явище детермінованого хаосу є суттєвим проявом нелінійної динаміки систем. Незважаючи на велику кількість робіт, наприклад, монографій В.С. Анищенко, П. Берже, І. Помо і К. Видаль, Г.М. Заславського, Р.З. Сагдєєва, А.П. Кузнецова, А. Ліхтенберга, М. Лібермана, Г. Шустера та інших, не знайдено ясних для механіків відповідей на питання: які властивості диференціальних рівнянь обумовлюють появу хаотичних траєкторій; яка фізична природа детермінованого хаосу. Побудова механічних образів явища й визначення умов виникнення хаотичних траєкторій у динаміці КТС вимагала проведення додаткових досліджень.

Розвиток технологій використання КТС пов'язаний з необхідністю проведення значної кількості орбітальних експериментів. Експериментальні дослідження дозволяють не тільки перевірити правильність технічних схем і рішень, але й оцінити правильність і практичну значимість математичних моделей і результатів теоретичних досліджень. В Інституті технічної механіки спільно з Державним конструкторським бюро “Південне” було розроблено малу КТС, стабілізацію руху якої передбачалося здійснювати обертанням. Були проведені в наземних умовах фізичне моделювання та експериментальні дослідження процесів розгортання КТС. Фактично система була готова до проведення орбітального експерименту. На жаль, зважаючи на зовнішні умови, що змінилися, орбітальний експеримент не був проведений.

Таким чином, визначення основних закономірностей динаміки КТС, стабілізованих обертанням, актуальне і пов'язане з вирішенням фундаментальних проблем нелінійної механіки, створенням і розвитком експериментальних методів дослідження динаміки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основні результати роботи здобуто в процесі виконання науково-дослідних робіт, проведених в Інституті технічної механіки НАНУ і НКАУ за замовленнями і за планами ДКНТ, НАНУ, НКАУ, Державного космічного бюро “Південне”. Робота пов'язана з тематичними планами проведення за рахунок бюджету таких НДР: НДР № 18 “Розробка методів і дослідження динаміки керованих просторово розвинених космічних систем із пружними і неутримуючими зв'язками” (номер держреєстрації 01910022700); НДР “Динаміка” № 78/28 78/29 78/32 “Розробка методів проектування великогабаритних КК складної конфігурації” (номер держреєстрації 01930035189); НДР № 143 “Прогрес” “Розробка теоретичних і методичних питань проектно-розрахункових робіт зі створення ракетно-космічної техніки (номер держреєстрації 01940026269); НДР № 192 “Програма” “Програмно-методичне забезпечення реалізації ДКПУ” (номер держреєстрації 01950022477); НДР № 1.3.2.213 “Розробка методів і дослідження динаміки просторово розвинених багатоелементних систем, функціонуючих в екстремальних умовах” (номер держреєстрації 0196U009390); НДР № 2.4.10-98 “Модуль-1” “Проведення досліджень для обґрунтування експериментів в області космічної геліоенергетики” (номер держреєстрації 0198U05571); НДР № 1.3.2.271 “Дослідження вільних і керованих режимів руху трансформованих просторово розвинених механічних систем космічного й наземного базування в умовах широкого спектру впливів” (номер держреєстрації 0101U001600); НДР № 1.3.2.292 “Розробка методичних основ розв'язання задач аналізу динаміки і синтезу алгоритмів систем керування й орієнтації перспективних космічних апаратів” (номер держреєстрації 0102U001657), а також у межах державного контракту “Розробка і впровадження нормативно технічної документації для створення, виготовлення та експлуатації ракетно-космічної техніки. Системні дослідження перспектив розвитку космічних ракетних комплексів і космічних апаратів” (номер держреєстрації 0103U001998). В усіх темах НДР, крім НДР № 1.3.2.289, автор був виконавцем, у темі НДР № 1.3.2.292 автор був відповідальним виконавцем. Робота також виконувалася в межах міжнародних проектів INTAS-94-0644 “Experimental and Computational Analysis of Tethered Space Systems”, INTAS-99-01096 “Theoretical and experimental investigation of multibody space systems connected by hinges and tethers”.

Мета і задачі досліджень. Метою цієї роботи є визначення основних закономірностей динаміки ротаційного руху космічних тросових систем.

Для досягнення поставленої мети в дисертації розв'язано такі задачі:

розвитку методів дослідження збуреного руху космічних систем;

розробки методики виведення рівнянь збуреного руху систем із пружно приєднаною масою і методики розрахунку першого наближення руху систем із суттєво нелінійними коливальними ланками;

розвитку методів дослідження ротаційного руху в'язкопружних систем у ньютонівському полі сил;

визначення закономірностей еволюції ротаційного руху КТС при дисипації енергії в матеріалі нитки;

аналізу закономірностей руху механічних систем під дією дисипативних сил;

визначення закономірностей і умов виникнення хаотичних рухів КТС, обумовлених коливаннями мас по внутрішніх ступенях свободи;

побудови механічного образу хаотичних рухів детермінованих систем і пояснення причин виникнення хаотичних траєкторій з точки зору механіки процесів;

підготовки натурного експерименту шляхом моделювання й експериментальних наземних досліджень процесу розгортання КТС.

Об'єктом досліджень у роботі є космічна тросова система двох твердих тіл, стабілізована обертанням відносно власного центра мас.

Предметом досліджень є динаміка космічної тросової системи двох тіл.

Методи досліджень. Побудова математичних моделей динаміки здійснюється за допомогою методів теоретичної механіки й аналітичної динаміки. Виведення рівнянь динаміки у формі, зручної для дослідження нелінійних взаємодій системи, здійснюється за допомогою розвинутого в роботі розширеного методу оскулюючих елементів. Для аналізу розв'язання рівнянь руху використовуються асимптотичні методи нелінійної механіки і, зокрема, широко використовується метод усереднення. Усі висновки про закономірності динаміки перевіряються за допомогою методів чисельного інтегрування повних рівнянь руху. Для дослідження хаотичних режимів руху було використано методологію експериментальних досліджень, засновану на вимірі характеристик окремих траєкторій і їх сімей. При проведенні експериментальних досліджень процесів розгортання КТС реєстрація даних здійснювалася методом швидкісної кінозйомки й методом фіксації тимчасового проходження окремих точок системи за допомогою безконтактних електромагнітних перетворювачів.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Розвинено розширений метод оскулюючих елементів:

а) вперше представлено узагальнення методу оскулюючих елементів як загального методу дослідження нелінійної динаміки;

б) розроблено методику виведення рівнянь збуреного руху систем, що містять пружно приєднану масу;

в) розроблено схему виведення рівнянь збуреного руху систем із коливальними ланками;

г) запропоновано нові схеми виведення рівнянь збуреного кеплерового руху й побудовано нові їх форми для руху тіл на близьких до кругових орбітах і для руху тіл на сусідніх орбітах.

2. Розвинено методи дослідження й здобуто нові результати з проблеми еволюції руху в'язкопружних систем у ньютонівському полі сил:

а) вперше в загальному випадку поступально-обертального руху поставлено задачу й досліджено вплив дисипації енергії в матеріалі нитки на еволюцію ротаційного руху космічної тросової системи;

б) розвинено методи дослідження динаміки системи в другому наближенні по малим параметрам і створено нову методику побудови першого наближення для подовжніх коливань системи;

в) визначено загальні закономірності еволюції відносного руху системи і зроблено висновок, що під впливом дисипативних сил різної фізичної природи у своєму русі система прагне до положення, в якому втрати енергії мінімальні;

г) вперше розглянуто можливість існування загальної закономірності в русі систем під дією дисипативних сил, що полягає в намаганні систем в кожен момент часу уникнути тертя;

д) визначено загальні закономірності еволюції просторового поступально-обертального руху системи;

е) визначено нову закономірність еволюції поступально-обертального руху системи, що полягає в намаганні руху системи під дією дисипативних сил перейти зі зворотнього обертання в пряме;

ж) дано інтерпретацію еволюції просторового руху системи під дією дисипативних сил, і показано, що змінення в русі системи відповідають намаганню кожного з рухів - орбітального й відносного - зменшити втрати (збільшити прийом) своєї енергії.

3. Розвинено методи досліджень і одержано нові результати з проблеми хаотичних рухів у детермінованих системах:

а) поставлено нову модельну задачу для дослідження причин виникнення хаотичних рухів при коливаннях мас по внутрішніх ступенях свободи;

б) запропоновано новий підхід для дослідження проблеми й розроблено нові методи виміру характеристик окремих траєкторій руху та їх сімей;

в) побудовано новий механічний образ хаотичних режимів руху, на основі якого дано нове пояснення походження хаотичних траєкторій у детермінованих системах;

г) вперше показано можливість випадкової синхронізації рухів під дією дисипативних сил, а також існування стохастичних атракторів для розглянутої системи;

д) побудовано нові механічні образи й визначено загальні закономірності хаотичних траєкторій під впливом дисипативних сил.

4. Розроблено теоретичні основи методичного забезпечення наземних експериментальних досліджень процесу розгортання малої космічної тросової системи:

а) побудовано нові моделі динаміки відділення тіл КТС пружинним штовхачем й одержано аналітичні оцінки впливу конструктивних особливостей штовхача на кінематичні параметри тіл;

б) розроблено нову методику визначення просторового положення твердого тіла по фотографічному зображенню;

в) запропоновано новий алгоритм розв'язання системи нелінійних рівнянь визначення положення й орієнтації твердого тіла, що спирається на розширений метод оскулюючих елементів;

г) розроблено методику визначення сил опору розмотуванню троса КТС.

Практичне значення одержаних результатів полягає в розвитку методів дослідження проблем нелінійної динаміки, визначенні основних закономірностей нелінійної динаміки космічних тросових систем і створенні фізичних моделей і методик експериментальних наземних досліджень процесів розгортання малої КТС.

Результати дисертаційних досліджень використано при розробці фундаментальних держбюджетних НДР, виконаних в ІТМ НАНУ і НКАУ (теми № 78; 143; 192; 1.3.2.213; 1.3.2.217; 2.4.10-98; 1.3.2.271; 1.3.2.292) і впроваджено в низці конструкторсько-дослідницьких робіт, виконаних у ДКБ “Південне” (акт впровадження від 12.07.02), а саме:

- нові форми рівнянь орбітального руху і методичний підхід для дослідження відносних рухів космічних апаратів (КА) і субсупутників використано при розробці аванпроекту з теми “Попередження”;

- математичні моделі роботи пружинного штовхача й методики експериментального визначення кінематичних параметрів при відокремленні субсупутників використано при розробці аванпроектів “Мікросупутник” і “Попередження”;

- аналіз динаміки космічних тросових систем використано при виконанні технічних оцінок можливості створення космічного об'єкта у вигляді з'єднаних гнучким зв'язком основного й додаткового космічних апаратів, які ввійшли до матеріалів ескізного проекту з теми “Попередження”.

Результати досліджень закономірностей нелінійної динаміки КТС, а також методичне забезпечення наземних експериментальних досліджень динаміки КТС ввійшли складовою частиною до міжнародних проектів INTAS-94-0644, INTAS-99-01096.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертаційної роботи одержані автором особисто. При виконанні робіт, результати яких наведено в монографії, статтях й авторському посвідченні (публікації 1, 11-26), здобувачем виконано:

у публікаціях 1, 12, 16, 19, 22, 25 - аналіз особливостей динаміки й закономірностей руху, класифікація задач, експериментальних методів і режимів руху космічних тросових систем;

у публікаціях 1, 14, 15, 17, 18, 20-24 - постановка задач дослідження збуреного руху космічних тросових систем, розробка методів моделювання й дослідження, визначення основних закономірностей динаміки;

у публікаціях 1, 11, 13, 22, 26 - розробка математичних моделей і методів обробки наземних експериментальних досліджень і математичне моделювання процесів розгортання.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на наукових конференціях, конгресах, симпозіумах і семінарах, включаючи:

- XVI наукові читання з космонавтики, Москва, 1992;

- XVII наукові читання з космонавтики, Москва, 1993;

- Міжнародну конференцію з великогабаритних космічних конструкцій (ICOLASS-93), Росія, Новгород, 1993;

- International Aerospace Congress, Russia, Moscow, 1994;

- 48th International Astronautical Congress, Turin, Italy, 1997;

- The Fifth Сhino-Russian-Ukrainian Symposium on Space Science and Technology, Harbin, P.R. China, 2000;

- 8 Міжнародну конференцію “Стійкість, керування і динаміка твердого тіла”, Україна, Донецьк, вересень 2002;

- семінар Інституту механіки Віденського технічного університету під керівництвом проф. Г. Трогера, Відень, грудень 2002;

- Ukraine-Europe cooperation in space research, EC/ESA/NSAU Workshop, Kiev - 2004;

- Ювілейну конференцію, присвячену 80-річчю з дня народження П.В. Харламова “Класичні задачі динаміки твердого тіла”, Донецьк, 23-25 червня 2004;

- 9 Міжнародну конференцію “Стійкість, керування і динаміка твердого тіла”, Україна, Донецьк, вересень 2005;

- 48th International Astronautical Congress, Valencia, Spain, 2006.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 54 наукових праці: одну монографію, 24 статті в наукових журналах, три доповіді на міжнародних конференціях, двадцять п'ять тез доповідей, одержано одне авторське свідотство.

Обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, семи розділів, висновків і додатка. Загальний обсяг дисертації складає 306 сторінок тексту, 84 рисунка, 3 таблиці, список використаних джерел, що містить 185 найменувань на 19 сторінках, і 1 сторінку додатків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі сформульовано мету досліджень, визначено актуальність, новизну, теоретичне значення і практичну цінність роботи.

У першому розділі наведено огляд проблеми динаміки космічних тросових систем. Проведено короткий аналіз історії розвитку КТС і показано, що в даний час розвиток КТС вийшов на етап широких натурних експериментальних досліджень, і область КТС є областю сучасної космонавтики, що інтенсивно розвивається. Розглянуто основні особливості й проекти використання КТС.

Проведено аналіз задач, методів і результатів досліджень, що містить класифікацію задач за проектами і ступенем вивченості; класифікацію експериментальних методів; аналіз фізичних моделей; аналіз методів побудови математичних моделей; класифікацію режимів руху. У ході аналізу, зокрема, показано проблемні питання дослідження динаміки КТС й особливу роль натурних експериментальних досліджень для розв'язання принципових питань створення й функціонування КТС. Запропоновано класифікацію математичних моделей за цілями їх створення: розрахункові математичні моделі, модельні задачі й проблемні моделі. Показано, що при дослідженні задач динаміки необхідне визначення конкретних режимів руху - областей припустимого змінення параметрів руху.

Розглянуто особливості задач динаміки, проекти використання й основні результати досліджень динаміки КТС, стабілізованих обертанням. Показано, що для проведення натурних експериментів із відпрацювання принципових питань розгортання й функціонування КТС доцільно використовувати малі автономні КТС. Публікації вчених з ІТМ НАНУ і НКАУ і ДКБ “Південне” з цього питання (див., зокрема, [27, 31]) мають пріоритет. Історія натурних експериментальних досліджень динаміки КТС підтвердила правильність цих висновків.

На основі аналізу особливостей динаміки й можливостей використання зроблено висновок, що обертові відносно центру мас КТС є перспективною маловивченою областю КТС, що ставить перед дослідниками нові наукові й інженерні задачі. Наведено низку нових проектів можливого використання КТС, стабілізованих обертанням, пріоритет яких підтверджено публікацією [33]. Аналіз раніше здобутих результатів дослідження динаміки обертових тросових систем показав, що розв'язання проблеми побудови повної картини основних закономірностей нелінійної динаміки пов'язано з розвитком методів дослідження збуреного руху, дослідженням еволюції руху з урахуванням впливу дисипації енергії в матеріалі нитки, дослідженням хаотичних режимів руху КТС, і підготовкою й проведенням експериментальних досліджень.

У другому розділі на основі аналізу актуальних проблем і задач динаміки КТС, а також аналізу сучасних методів і моделей досліджень сформульовано задачі теоретичних й експериментальних досліджень.

Показано, що проблеми дослідження динаміки КТС пов'язані з загальними проблемами дослідження нелінійної динаміки космічних систем. Найбільш гостро для задач динаміки КТС постають проблеми, пов'язані з великою довжиною КТС: проблема впливу коливань мас по внутрішніх ступенях свободи на динаміку систем у центральному полі сил; проблема еволюції руху протяжних систем у центральному полі сил з урахуванням взаємовпливу відносного й орбітального рухів; проблема синхронізації і хаотичних рухів. Дослідження цих проблем, в першу чергу, вимагає побудови якісної картини нелінійної динаміки, тобто створення уявлень про основні закономірності й можливі ефекти динаміки систем при нелінійних взаємодіях.

Проведено аналіз математичних моделей і методів дослідження динаміки КТС. Показано можливість ефективного використання моделей динаміки КТС, як систем твердих тіл із пружними і шарнірними з'єднаннями, для розв'язання задач із визначення основних закономірностей руху й вибору оптимальних параметрів систем. Розроблено нову модель динаміки ротаційного руху КТС двох тіл і показано, що рівняння динаміки КТС, як системи зв'язаних твердих тіл, можуть ефективно використовуватися для визначення закономірностей процесів стабілізації, розрахунку й вибору параметрів систем, стабілізованих обертанням. Тут зручно, з точки зору мінімізації помилок при чисельному дослідженні таких систем, використовувати формули перерахунку кінематичних параметрів. Чисельний аналіз розроблених математичних моделей показав, що для широкого діапазону конструктивних і початкових параметрів руху КТС, рух кінцевих тіл відносно своїх центрів мас мало впливає на загальні закономірності просторового руху системи.

Показано, що для побудови якісної картини нелінійної динаміки КТС, стабілізованих обертанням, доцільно використовувати модель двох точкових мас, з'єднаних невагомою пружною ниткою. При дослідженні динаміки такої моделі можна спиратися на потужні, добре розроблені в рамках небесної механіки і динаміки космічного польоту методи. Використовуючи методи малого параметра, можна сподіватися на визначення основних співвідношеннь динаміки системи в аналітичному вигляді.

Динамічні особливості тросів, такі, як згинальна жорсткість, що обумовлює залишкові напруження і деформації слабонавантажених тросів, які виникають внаслідок їх початкового намотування на барабан, вносять додаткові обмеження на стійкість КТС. Для розглянутих малих експериментальних КТС ця особливість тросів є основною причиною неможливості пасивної стабілізації руху КТС за рахунок зовнішніх сил. Єдиним можливим способом побудови стійких режимів руху таких КТС є спосіб динамічної стабілізації шляхом додавання системі досить швидкого обертання відносно центру мас. Прийнята схема створення малої експериментальної КТС визначила елементи КТС і задачі експериментальних наземних досліджень. Аналіз і висновки про можливості стабілізації руху малої експериментальної КТС, а також схему створення і схеми експериментальних наземних досліджень було використано на підприємстві ДКБ “Південне” при розробці КТС.

У третьому розділі розвинено методи дослідження збуреного руху. У динаміці космічних систем типова ситуація, коли крім основних сил і моментів на систему діють збурення. Така ситуація має місце і для орбітального руху, і для багатьох випадків руху відносно центра мас, в задачах орієнтації й стабілізації руху космічних систем. З огляду на логіку створення механічних систем, у незбуреному русі відомі основні закономірності руху. Однак тривалий вплив навіть малих сил може призвести до суттєвої зміни характеристик руху.

Простішою моделлю КТС, що дозволяє досліджувати вплив пружних коливань мас по внутрішніх ступенях свободи на динаміку системи в центральному полі сил, є модель двох точкових мас, з'єднаних невагомим пружним неутримувальним зв'язком. Задача дослідження динаміки такої моделі подібна до обмеженої задачі трьох тіл у небесній механіці. Відмінність полягає в тому, що пружна сила нитки є відмінною від ньютонівської сили тяжіння. Оскільки ньютонівська сила тяжіння представляє собою особливий, у певному сенсі вироджений випадок сил взаємодії тіл, то методи небесної механіки безпосередньо не застосовні для дослідження руху розглянутої моделі КТС, і аналіз її руху вимагає розвитку й розробки нових методів дослідження динаміки.

Метод оскулюючих елементів був розроблений видатними вченими в межах небесної механіки для виведення рівнянь збуреного кеплерового руху. Класичною формою методу оскулюючих елементів є метод Лагранжа змінення довільних постійних. Суть цього методу полягає у фіксуванні перших інтегралів незбуреного руху і варіації довільних постійних цих інтегралів. Такий підхід до виведення рівнянь збуреного руху призводить до громіздких, найчастіше нездійсненних математичних перетворень.

Ідеї методу оскулюючих елементів набули подальшого розвитку в задачах динаміки космічного польоту. Найбільш суттєвий внесок у цей розвиток було зроблено радянською школою механіки і, зокрема, А.Й. Лур'є, Ф.Л. Черноусько, В.В. Бєлецьким. Саме В.В. Бєлецький при дослідженні збуреного руху твердого тіла відносно центра мас усвідомлено відійшов від принципу варіації довільних постійних і ввів загальні критерії вибору еволюційних змінних. На основі аналізу робіт, присвячених дослідженню збуреного руху, узагальнюючи критерії вибору еволюційних змінних В.В. Бєлецького, можна сформулювати, що розширений метод оскулюючих елементів полягає у фіксуванні зручних, у першу чергу, механічно ясних, форм незбуреного руху з подальшою їх варіацією. У цих формах відображуються, фіксуються наші знання закономірностей динаміки системи. Послідовність такого руху від припущення закономірностей динаміки до їх фіксування й уточнення дає потужний метод дослідження нелінійної динаміки систем і в загальному випадку.

Іншими словами, розширений метод оскулюючих елементів подібний до математичних методів побудови наближеного розв'язку рівнянь динаміки таких, як асимптотичні методи нелінійної механіки, метод послідовних наближень і т.д. Також, як і в цих методах, наближений розв'язок рівнянь шукається за допомогою процедури заміни змінних. Принципова відмінність розширеного методу оскулюючих елементів полягає в тому, що процедура заміни змінних здійснюється не за допомогою формальних, однакових для всіх задач правил, а на основі фіксування (в математичній формі) зрозумілих дослідником закономірностей руху конкретної задачі. Процедура заміни змінних тут носить творчий характер і може бути виконана, наприклад, введенням нових узагальнених координат руху системи, співвіднесенням руху системи з іншими системами координат. Важливо, щоб нові форми рівнянь руху містили в собі вже зрозумілі дослідником закономірності рухів, описували відмінності досліджуваного руху від фіксованих дослідником закономірностей.

Фіксуючи зручну для конкретної задачі форму коливань цієї ланки і вводячи механічно зрозумілі нові змінні: амплітуду й фазу коливань, будуються рівняння збуреного руху системи.

У дисертаційній роботі запропоновано схеми побудови нових форм збуреного кеплерового руху, що наочно демонструють переваги розширеного методу оскулюючих елементів. Справа в тому, що для випадку орбіт, близьких до кругових, і орбіт з малим нахиленням класичні рівняння збуреного кеплерового руху (рівняння Ньютона) вироджуються. У небесній механіці в цих випадках вводять формально математичні змінні Лагранжа, розраховуючись за такий підхід зайвою громіздкістю результуючих рівнянь. Тут необхідно зауважити, що розроблений у небесній механіці апарат дослідження цих рівнянь й здобуті результати значно заміщують зайву громіздкість вихідних рівнянь. Однак, для деяких задач механіки космічного польоту, постановка яких є відмінною від задач небесної механіки, класичні форми рівнянь представляються надто складними, і введення нових змінних, що описують орбітальний рух, може бути ефективним.

Так, для орбіт, близьких до кругових, опорною орбітою залишається еліптична, тоді, як доцільно, за опорну орбіту прийняти кругову. У цьому випадку покладемо, що змінення радіуса орбіти описується такими рівностями:

,

де - гравітаційний параметр, р - фокальний параметр орбіти, і будемо розглядати (7) як формули введення нових змінних , . Через постановку задачі і - малі величини, .

При малих нахиленнях орбіт, з точки зору механіка, звичайно просто перейти до іншої трійки кутів, оскільки ейлерові кути в такому випадку дають кінематичні співвідношення, що вироджуються. Побудовані таким чином рівняння збуреного руху відрізняються більш компактною і простою формою запису, дозволяють більш просто одержати вже відомі результати й будувати ефективні розрахункові схеми динаміки для різних задач космічного польоту.

У четвертому розділі розглянуто проблему визначення впливу дисипації енергії в матеріалі нитки на еволюцію ротаційного руху КТС.

Система, що розглядається, є також простішою моделлю космічних в'язкопружних систем. До моменту початку досліджень проблеми, в науковій літературі були суперечливі результати щодо закономірностей руху космічних в'язкопружних систем, і не було методик, що дозволяли б досліджувати рух системи в загальній постановці задачі. У дисертації дослідження проводяться за допомогою методу усереднення. Раніше автором було показано, що в першому наближенні по малим параметрам дисипація енергії в матеріалі нитки призводить лише до монотонного загасання власних пружних коливань і не впливає на змінення орієнтації обертання системи. Малими параметрами в русі системи є квадрат відношення кутової швидкості орбітального руху до кутової швидкості обертання системи відносно центра мас і відношення довжини нитки до відстані від центра мас системи до притягувального центра.

Дослідження проводяться за допомогою побудови другого наближення по малим параметрам. Для цього розвинено методи дослідження динаміки системи в другому наближенні по малим параметрам і створено методику побудови першого наближення для вимушених подовжніх коливань системи. Ця методика спирається на доведене твердження про форму вимушених пружних коливань системи.

Аналіз еволюції руху системи в обмеженій постановці задачі показав, що під дією дисипативних сил система в кожний момент часу намагається змінити орієнтацію обертання таким чином, щоб зменшити розсіювання енергії. Причому ці зміни в русі системи близькі до напрямку найшвидшого спуску для швидкості зменшення кінетичної енергії. Зрештою, система намагається зайняти положення, в якому буде мінімальна швидкість розсіювання енергії її руху. Ці результати майже цілком співпадають з раніше здобутими автором результатами для випадку впливу на систему аеродинамічного дисипативного моменту. Цей збіг дозволив зробити висновок, що під впливом дисипативних сил різної фізичної природи у своєму русі система прагне до положення, в якому втрати енергії мінімальні.

Цей висновок перегукується з відомим положенням, викладеним у “Теоретичній механіці” П. Аппеля, про намагання матеріальних систем уникнути тертя. Однак у П. Аппеля цей висновок сформульовано як результуючу тенденцію в русі систем: швидкості рухів, що обумовлюють дисипацію енергії, зрештою, обнуляються. У розглянутих випадках рух системи в кожний момент часу змінює свої параметри відповідно до цієї тенденції. Здобуті результати, а також аналогічні результати, здобуті при дослідженні руху інших систем під дією дисипативних сил, дають привід для розширеного тлумачення положення про намагання систем уникнути тертя як поточної, постійно діючої тенденції в русі систем під дією дисипативних сил. Таким чином, мають місце передумови для висунення гіпотези про намагання систем уникнути тертя як поточної, постійно діючої тенденції в русі механічних систем.

У роботі розглянуто недоліки й переваги висунення такої гіпотези в механіці.

Зокрема показано, що ця гіпотеза не може бути, очевидно, строго аналітично доведеною в загальному випадку. Дійсно, при розгляді руху системи відносно еволюціонуючої орбіти центра мас показано, що для більшості орбіт ефекти намагання системи уникнути тертя не виявляються в русі системи. Еволюція площини орбіти відбувається швидше, ніж кінетичний момент намагається лягти в неї. Тобто, тенденція уникнути тертя є присутньою в русі системи, але через дію інших причин (гіроскопічних сил) не проявляється в результаті руху. Таким чином, мова може йти тільки про тенденцію в русі механічних систем за наявності дисипативних сил.

Таким чином, гіпотезу про намагання систем уникнути тертя, як поточної тенденції в русі систем, слід було б розглядати як робочу гіпотезу в значенні А. Пуанкаре, що допомагає передбачати закономірності руху механічних систем. Вона могла б бути суттєвою для передбачення закономірностей руху динамічно стабілізованих систем і, зокрема, для систем, стабілізованих обертанням. З неї, зокрема, випливає, що дисипативні сили можуть стабілізувати рух, а не тільки бути допоміжним фактором для його стабілізації. Цей висновок відповідає результатам дослідження В.Н. Челомея по стабілізації експериментальної системи дисипативними силами.

Відомість цієї гіпотези в теоретичній механіці дозволила б уникнути низки раніше припущених помилок при дослідженні конкретних задач, зокрема, при дослідженні впливу дисипативного аеродинамічного моменту і при дослідженні руху в'язкопружного тіла. Гіпотеза про намагання систем уникнути тертя, якщо згадати, що тертям у механіці описується перерозподіл механічної енергії до інших видів енергії, відповідає припущенню, що рух систем прагне до мінімального змінення між видами енергій (тобто видів енергій) у кожний момент часу. Зокрема, це відповідає мінімуму дії за Гамільтоном в теоретичній механіці. При дослідженні руху системи відносно незбуреної орбіти центра мас визначено нову закономірність: намагання системи обертатися перпендикулярно до радіуса-вектора перицентра орбіти.

У роботі розглянуто загальний випадок поступально-обертального руху. Аналіз змінення рухів, обумовлених наявністю в системі дисипативних сил, дозволив зробити такі висновки: під дією дисипативних сил кінетичний момент відносного руху системи зменшується, перерозподіляючись в кінетичний момент орбітального руху; зростає ексцентриситет орбіти; зворотне обертання системи намагається перейти до прямого. Збільшення ексцентриситету орбіти й намагання системи перевести зворотнє обертання до прямого є нетривіальними, далеко не очевидними результатами. Висновок про намагання прямого обертання системи перейти до прямого є новим результатом. Терміни "зворотне" й "пряме обертання" запозичені з небесної механіки й означають, що кут між кутовими швидкостями відносного й орбітального рухів системи тупий або гострий відповідно.

Спроба інтерпретації здобутих результатів з точки зору припущення про намагання систем уникнути тертя, зіткнулася з певними протиріччями. Справа в тому, що змінення в русі системи такі, як збільшення ексцентриситету і перехід системи до прямого обертання, взагалі говорячи, спричиняють збільшення потужності дисипативних сил, тобто змінення параметрів орбітального руху не може бути безпосередньо пояснено намаганням систем уникнути тертя. Аналіз змінень у русі системи дозволив зробити висновок, що ці змінення відповідають намаганню зменшити втрати енергії або збільшити її прийом для орбітального руху. Таким чином, загальна тенденція змінення руху системи під впливом дисипативних сил складається із намагання кожного з рухів - орбітального й відносного - зменшити віддачу енергії (збільшити її прийом) для свого руху.

У п'ятому розділі розглянуто хаотичні режими руху в динаміці космічних тросових систем. Хаотичні режими руху є одним із найбільш суттєвих проявів нелінійної динаміки. Перехід траєкторій руху до резонансів, перехід коливальних рухів до обертальних пов'язані з перетинанням траєкторій, так званих смуг хаосу. За певних параметрів хаотичні траєкторії займають значну область фазового простору траєкторій системи. Таким чином, побудова якісної картини нелінійної динаміки пов'язана з необхідністю дослідження хаотичних режимів руху.

Для досліджень хаотичних рухів КТС при коливаннях мас по внутрішніх ступенях свободи обґрунтовано й поставлено нову модельну задачу. Розглянуто рух у площині кругової орбіти гантелі з періодично змінною довжиною штанги - модель орбітального математичного маятника

Попередній аналіз моделі, що включає й побудову рівнянь першого наближення, показав, що при певних параметрах системи (або z ~ 1, або ) існують траєкторії, що можуть бути віднесені до хаотичних. Для цих траєкторій спостерігаються нерегулярні чергування коливальних й обертальних рухів маятника. На рис. 1 показано смугу хаотичної траєкторії поблизу сепаратриси незбуреного руху, побудовану за допомогою відображення Пуанкаре. Фазовий простір системи (13) можна розглядати як чотиривимірний простір змінних L, , , Фазовий портрет системи будується відображенням Пуанкаре: перетином фазового простору площиною , , де умова з точністю до знака визначається умовою (). По осі абсцис відкладається кут ш у градусах, по осі ординат



де

Тут і далі щ0 = 0,001 c-1.

Наприклад, при русі по хаотичній траєкторії, система, зробивши ряд коливань біля місцевої вертикалі, переходить до зворотного обертання, потім знову робить ряд коливань, потім переходить до прямого обертання і так далі. Зміна методу чисельного інтегрування, кроку інтегрування або малі змінювання початкових даних призводять до зміни послідовності чергувань коливальних і обертальних рухів. Таким чином, при визначених параметрах системи існують траєкторії, поводження яких не відповідає представленням теоретичної механіки про можливі траєкторії, і які більш відповідають опису випадкового процесу, ніж детермінованого. Метою досліджень було визначення причин виникнення таких траєкторій з погляду механіки процесів і визначення їх основних закономірностей.

У дисертації викладено результати аналізу явища детермінованого хаосу за допомогою аналітичних методів побудови наближених розв'язків. Зокрема, з використанням методу послідовних наближень і методу усереднення. Аналіз здобутих результатів і результатів, відомих з літератури, дозволив зробити висновок про неможливість досить повного аналізу хаотичних траєкторій традиційними для механіків математичними методами побудови наближених розв'язків диференціальних рівнянь.

На підставі попереднього аналізу проблеми за методологію подальших досліджень було прийнято методологію “експериментальних досліджень”, де замість експериментальної установки використовується комп'ютер, що здійснює чисельне інтегрування рівнянь руху, візуалізацію траєкторій руху і їх характеристик. Для проведення таких досліджень було розроблено спеціальні методики вимірів характеристик траєкторій і їх сімей.

Як величина, що характеризує енергію кутового руху, розглядалася величина. Тут перший доданок дорівнює подвоєній зведеній кінетичній енергії відносного руху, перпендикулярного до лінії штанги, а другий доданок є подвоєною зведеною потенційною енергією впливу гравітаційного поля на відносний рух системи. Як міру змінення енергії кутових рухів прийнято послідовність максимальних значень послідовності - змінення через період подовжніх коливань для. Для коливальних рухів маятника, як найбільш відповідної уявленню про експериментальні дослідження, розглядалася також обвідна послідовність максимальних значень кута відхилення маятника від місцевої вертикалі. Ці міри змінення енергії маятникових коливань узгоджуються з майже періодичним характером траєкторії регулярних траєкторій.

Введено поняття сімей траєкторій, породжених прямими в області початкових даних:, , , тобто сімей, що породжуються зміненням початкового значення кута відхилення маятника від місцевої вертикалі. Унаслідок аналізу сімей регулярних траєкторій для невеликих кутів відхилення маятника від місцевої вертикалі було зроблено ряд висновків. Зокрема показано, що:

- увесь простір траєкторій розділено на окремі групи резонансів;

- при проходженні через окремий резонанс сім'ї траєкторій, породженої окремою лінією в просторі початкових умов, спостерігаються зміни знака прирощення енергії маятникових коливань так, що на початковому інтервалі часу для траєкторій, що мають первісно менше значення енергії, це прирощення додатний, а для траєкторій з більшим значенням, ніж значення центральної резонансної траєкторії - від'ємний.

Останній висновок пов'язує нелінійний резонанс з образом воронки. Уявимо собі площину сім'ї траєкторій, породженої певною прямою в просторі початкових умов, де по осі відкладається час, а по осі - значення енергії маятникових коливань. Тоді траєкторії руху в резонансах можна зобразити як рух кульки у відповідних воронках (рис. 3), що розміщені уздовж прямої часу симетрично одна за іншою. Картина руху чимось подібна до руху по нескінченній дошці Гамільтона, де замість цвяхів розміщені воронки, і для регулярних траєкторій воронки не перекриваються, тобто рух кульки відбувається весь час в образі однієї і тієї ж воронки.

Нелінійні резонанси визначають структуру фазового простору системи біля області стохастичного шару. Аналіз резонансів для різних параметрів системи дозволив зробити висновок, що їх ширина (максимальне прирощення кута в резонансі) залежить як від порядку резонансу, так і від розміщення резонансу відносно сепаратриси незбуреного руху. Порядок резонансу визначає величину перерозподілюваної енергії між подовжніми й маятниковими коливаннями: зі зниженням порядку резонансу зростає прирощення енергії маятникових коливань. Розміщення резонансу відносно сепаратриси визначає “відгук” системи на прирощення енергії маятникових коливань. Можна стверджувати, що при наближенні до ширина резонансу для одного і того ж прирощення енергії маятникових коливань різко збільшується.

Для розглянутих параметрів системи резонансом найнижчого порядку є резонанс 1:5. На рис. 4 для сім'ї, породженої прямою , що проходить майже через центр резонансу, показано фазовий портрет резонансних траєкторій. З рисунка видно, що фазовий простір резонансних траєкторій подібний до фазового простору системи для малих кутів . Увесь фазовий простір розділено на окремі групи вторинних резонансів - резонансів між зміненням зcуву фази основного резонансу і фазою подовжніх коливань. Ширина вторинних резонансів, подібно до ширини первинних резонансів, залежить від порядку сумірностей і їх віддалення від центра первинного резонансу. Ширина вторинних резонансів залежить також від первинного резонансу - його резонансного співвідношення періодів коливань і далекістю від сепаратриси незбуреного руху. Аналіз показує, що при зменшенні резонансного співвідношення періодів первинного резонансу і при зсуві центра резонансу до сепаратриси незбуреного руху, ширина вторинних резонансів зростає.

Збільшення щільності розміщення резонансів низького порядку і ширини вторинних резонансів при наближенні до стохастичного шару дозволяє зробити висновок, що виникнення хаотичного руху пов'язане з перекриттям резонансів. Хаотична траєкторія, на відміну від регулярної, не належить ні до однієї визначеної сумірності маятникових і подовжніх коливань. Вона проходить через групу резонансів, у своєму русі “перестрибуючи” на сусідні сумірності цієї групи. Побудований вище образ нелінійного резонансу дозволяє побудувати, як здається, наочний образ хаотичної траєкторії. Руху кульки у воронках, що перекриваються, (частини воронок, що перекриваються потрібно прибрати) при відповідному її початковому положенні будуть доступні всі воронки, що перекриваються. При початковому положенні кульки в нижчій частині воронки можливий її невихід до сусідніх воронок. Відповідність побудованого образу реальному руху системи підтверджується чисельними розрахунками.

На основі аналізу рухів поблизу сепаратриси показано, що випадковий процес, який спостерігається при чисельному інтегруванні рівнянь динаміки, породжується неможливістю абсолютно точного їх розв'язання на межі якісно різних рухів. У розглянутому випадку орбітального маятника перекриття резонансів пов'язане з тим, що траєкторія руху багаторазово перетинає межі резонансів і вторинних резонансів: переходить з воронки до воронки, зі складки до складки, перетинаючи окрайки і грані й рухаючись уздовж них. Зрозуміло, що в цьому випадку чисельне інтегрування рівнянь руху буде породжувати випадковий процес.

Під хаотичною траєкторією руху механічних систем слід розуміти траєкторію руху, в якій найменший додатковий вплив призводить до якісних змін у траєкторії. Причому різних якостей траєкторій повинно бути багато, принаймні - дві. У розглянутому випадку якісне розходження - це приналежність до визначеного резонансу, а хаотичні траєкторії - траєкторії, що проходять через області різних резонансів. Ключовою умовою появи хаотичної траєкторії є наявність серед траєкторій так званих сепаратрис - роздільників рухів, що розділяють якісно відмінні режими руху. Тільки при умовах ідеального математичного моделювання сепаратриса є окремою траєкторією. В інших же випадках вона являє собою деяку область фазового простору, де траєкторії руху набувають особливої чутливості до найменших впливів. Таким чином, можна сказати, що хаотична траєкторія механічних систем - це траєкторія, що перетинає безліч сепаратрис.

При русі поблизу сепаратрис, також як і при нестійкому стані рівноваги, має місце стан системи, коли не можна обмежити, виділити кінцеву область (систему) впливу, нехтуючи іншими частинами світу, як такими, що досить мало впливають на рух системи, оскільки найменші впливи можуть мати суттєву роль на рух системи. Тут, оскільки причин може бути нескінченно багато, детермінізм у розумінні, що кожному наслідку є визначені причини, фактично співпадає з принципом випадковості - не можна визначити всіх причин даного наслідку.

У дисертації розглянуто також хаотичні режими руху при впливі на систему дисипативних сил.

Вперше показано, що одним з основних проявів випадкового характеру хаотичних траєкторій є випадкова синхронізація рухів. Тут множина, що притягує траєкторію, має складну структуру, причому рух у ций області, на відміну від руху в раніше розглянутих притягувальних областях, носить нерегулярний (випадковий) характер. Ця область стійка до зміни початкових умов, кроку інтегрування і до малих варіацій параметрів системи.

На основі раніше побудованого образу хаотичних рухів побудовані нові образи хаотичних рухів при дії дисипативних сил. Картина руху в розглянутому випадку подібна до руху кульки в рулетці, де кулька випадково виявляється в одній з лунок - у резонансній воронці. Тільки образ лунки не відповідає руху, що спостерігається. Тут підходить образ саме воронки (воронки, подібної до виру), коли траєкторія може бути або затягнутою до цієї воронки, або викинутою з неї із суттєвим збільшенням енергії.

У шостому розділі розроблено фізичні моделі наземних експериментальних досліджень і методику визначення початкових кінематичних параметрів руху тіл системи після їх відділення від КА. Відповідно до припускаючої системи розгортання КТС відділення першого тіла від КА є початковим етапом процесу розгортання КТС. Початкові кінематичні параметри руху першого тіла - швидкість його руху відносно КА, її можливі відхилення від номінальної, кутова швидкість обертання тіла відносно центра мас -- багато в чому визначають динаміку процесу розгортання й вимоги до конструктивних рішень. Відділення від КА другого тіла завершує створення обертової малої КТС. Кінематичні параметри його відділення від КА є визначальними для руху КТС у робочому режимі. Передбачається, що розгортання КТС здійснюється після точної орієнтації КА.

З метою визначення суттєвих факторів, що впливають на розкид початкових кінематичних параметрів, і з метою визначення схеми проведення експериментальних наземних досліджень було розроблено математичну модель процесу відділення тіл пружинним штовхачем. На основі модельних задач були побудовані аналітичні оцінки впливу конструктивних особливостей штовхача на кінематичні параметри відокремлюваних тіл. Ці моделі й оцінки дозволили здійснити обґрунтований вибір схеми проведення наземних експериментальних досліджень процесу розгортання КТС. Розроблена методика визначення початкових кінематичних параметрів руху тіл системи містить у собі нову методику визначення просторового положення твердого тіла по фотографічному зображенню, що спирається на новий алгоритм розв'язання системи нелінійних рівнянь визначення орієнтації й положення твердого тіла; методики визначення вхідних параметрів і визначення координат точок тіла; методику побудови оцінок швидкості руху центра мас тіла і його кутової швидкості. Методика визначення просторового положення твердого тіла по фотографічному зображенню має суттєві відмінності й переваги для розглянутого випадку від аналогічних методик, що використовуються у фотограмметрії. В основу алгоритму розв'язання системи лінійних рівнянь покладено механічно зрозумілу закономірність зменшення значень кутів орієнтації при наближенні орієнтації рухомої й нерухомої систем координат. З цієї точки зору можна сказати, що запропонований алгоритм спирається на розширений метод оскулюючих елементів.

...