Электрические цепи постоянного тока

В частном случае параллельных проводников силы взаимодействия стремятся сблизить проводники, если текущие в них токи параллельны (рис. 2, а), и удалить их друг от друга, если токи антипараллельны (рис. 2, б). Таким образом, параллельные токи притягиваются, а антипараллельные -- отталкиваются.

А. з. называют также формулу, определяющую силу F , с которой магнитное поле, характеризуемое вектором магнитной индукции B, действует на элементарный отрезок проводника Дl, по которому течёт ток силы I:

F = kIДlЧBЧsinх

где х -- угол между направлениями Дl и B. В системе Гаусса k = 1/с, в системе СИ k = 1. Формула (2) получается из формулы (1), если в ней выделить часть, не содержащую величин, относящихся ко второму элементу тока, и под В понимать магнитную индукцию, созданную первым элементом тока в точке, где расположен второй элемент тока (см. Био - Савара закон).

В случае постоянного тока нельзя изолировать отдельный элемент тока, так как цепь постоянного тока всегда замкнута. Экспериментально можно лишь измерить силовое действие одного замкнутого тока на другой замкнутый ток или же силу, испытываемую одним током в магнитном поле, создаваемом другим током. Эта сила равна векторной сумме сил, действующих на каждый элемент тока со стороны магнитного поля другого тока (при этом магнитное поле есть результирующее поле всех элементов тока). Для равнодействующих сил, испытываемых взаимодействующими замкнутыми токами, принцип равенства действия и противодействия оказывается справедливым.

На А. з. основан эталон единицы силы тока -- ампера, осуществляемый в виде токовых весов (См. Токовые весы).

Рис. 34. к ст. Ампера закон

Рис. 35. Взаимодействие двух элементарных токов: а -- параллельных, б -- антипараллельных. Всеотрезки (векторы) нарис.лежат в однойплоскости

Понятие о переменном токе. Уравнения и графики синусоидальных величин.

Переменный ток -- это ток, направление и величина которого меняется во времени.

В настоящее время переменный ток находит широкое применение в технике, так как он легко трансформируется и передается на большие расстояния при высоком напряжении и малых потерях. Кроме того, электрические машины и другие электротехнические устройства, предназначенные для работы в цепях переменного тока, относительно просты и достаточно надежны в эксплуатации. В электротехнике наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, то есть ток, величина которого изменяется по закону синуса.

Поэтому мгновенное значение синусоидального тока выражается формулой

,

где - амплитуда тока,

Т - период - время, за которое совершается одно полное колебание, с;

f = 1/T - частота, равная числу колебаний за 1 секунду (единица измерения частоты - Герц (Гц) или с^-1 );

.- угловая частота (выражается в рад/с или с^-1 ).

Величина называется фазой. Фаза колебаний - это величина, показывающая, какая часть колебания прошла с начала процесса. Фаза измеряется в градусах или радианах. Величина называется начальной фазой.

В странах СНГ и Западной Европы наибольшее распространение получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, а в США стандартная частота 60 Гц.

Если частота слишком низкая, то увеличиваются габариты электрических машин и, следовательно, расход материалов на их изготовление.

При слишком больших частотах увеличиваются потери энергии в сердечниках электрических машин и трансформаторах.

О переменном токе всё известно, если задано его уравнение или график. Однако в повседневной практике пользоваться уравнениями или графиками токов затруднительно.

Переменный ток обычно характеризуется его действующим значением .

Действующим (эффективным) значением силы переменного тока называют величину постоянного тока, действие которого произведёт такую же работу (тепловой или электродинамический эффект), что и рассматриваемый переменный ток за время одного периода. В современной литературе чаще используется математическое определение этой величины -- среднеквадратичное значение силы переменного тока. Действующее значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного:

.

Большинство измерительных приборов показывают действующее значение измеряемой величины.

Среднее значение синусоидально изменяющейся величины - это её среднее значение за полпериода.

Среднее значение тока:

.

Для сравнения электрических величин, изменяющихся по синусоидальному закону, необходимо знать разность их начальных фаз. Если, например, на каком - либо участке ток и напряжение имеют одинаковые начальные фазы, говорят, что они совпадают по фазе. Если график изменения во времени напряжения на каком - либо участке цепи пересекает координату фазы раньше графика тока , то говорят, что напряжение по времени опережает ток.

На рис. 36 для заданного элемента цепи представлены графики изменения во времени двух электрических величин: напряжения и тока . Из этих двух графиков видно, что они сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол ₁.

Рис. 36

Получение синусоидальной ЭДС. ЭДС в обмотке генератора переменного тока

В линейных электрических цепях синусоидальный ток возникает под действием синусоидальной Э.Д.С. Синусоидальную зависимость можно получить, вращая с постоянной скоростью в равномерном магнитном поле проводник в виде прямоугольной рамки площадью S. Магнитный поток через рамку равен:

,

где - угол между перпендикуляром к рамке и вектором магнитной индукции .

Поскольку при равномерном вращении рамки угол будет изменяться по закону , то формула примет следующий вид:

.

Так как при вращении рамки пересекающий её магнитный поток всё время меняется, то по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться Э.Д.С. индукции

где Е₀ - амплитуда синусоидальной Э.Д.С.

Таким образом, в рамке возникает синусоидальная Э.Д.С., а если рамку замкнуть на нагрузку, то в цепи потечёт синусоидальный ток.

Схема устройства генератора переменного тока

Генератор - это производитель нового состояния энергии. Взаимодействием статора и ротора (неподвижной и активной составляющих двигателя) он преобразует механический поток в электрический. Энергия в механизме движется поступательно и плавно - за счет щеток и роторных колец. При их соприкосновении возникает постоянное трение. Так осуществляется передача энергии между статичным статором и динамичным ротором.

Диоды отвечают за протекание выработанной энергии по одной ветви, а в рабочем состоянии двигателя - за бесперебойное насыщение батареи. От их количества зависит мощность производимой энергии.

Рис. 37. Схема простейшего генератора переменного тока:

1 -- полюс электромагнита; 2 -- катушка возбуждения; 3 -- контактное кольцо; 4 -- щетка генератора; S -- внешняя цепь; 6 -- рамка проводника; 7 -- источник постоянного тока

Принципиальное устройство простейшего генератора переменного тока показано на рис. 37. В этом генераторе концы рамки проводника присоединяются каждый к своему кольцу, а к кольцам прижимаются щетки генератора. Щетки замыкаются внешней цепью через электрическую лампочку. При вращении рамки с кольцами в магнитном поле генератор даст переменный ток, изменяющий через каждые пол-оборота величину и направление. Такой переменный ток называется однофазным. В технике применяются генераторы трехфазного тока, которые по ряду причин являются наиболее удобными для использования. Простейший трехфазный генератор имеет три рамки (обмотки) проводов, сдвинутых относительно друг друга по окружности вращения на 120 °. Трехфазный ток изменяет свою величину и направление через каждые 120° оборота. Время на совершение одного колебания называется периодом, а число периодов в секунду -- частотой переменного электрического тока.

Векторные диаграммы: обоснование, построение векторных диаграмм. Сложение и вычитание синусоидально изменяющихся величин.

На рис. 38 приведена кривая конфигурации переменного тока во времени.

Ток сначала растет от нуля (при фазе 0°) до наибольшего положительного значения + Imax (при 90°), потом убывает, проходит через ноль (при 180°), достигает наибольшего отрицательного значения - Imax (при 270°) и возвращается к нулю (при 360°).

После этого цикл конфигурации тока повторяется.

Кривая изменения переменного тока во времени, приведенная на рис. 1.1, называется синусоидой.



Рис. 38. Кривая изменения переменного тока во времени

Время Т, соответствующее изменению угла на 360°, называется периодом переменного тока. Число периодов за 1 с называется частотой переменного тока. В промышленных установках и в быту в странах Европы употребляется главным образом переменный ток частотой 50 Гц.

Этот ток 50 раз в секунду воспринимает положительное и отрицательное направление. Изменение переменного тока во времени можно записать в следующем виде:

Для варианта, показанного на рис. 38, = 0 градусов.

Анализируя действие электротехнических устройств нужно сопоставлять токи и напряжения, складывать либо вычитать их, определять углы меж ними и выполнять другие операции. Пользоваться при этом графиками неудобно, так как построение синусоид тока и напряжения занимает много времени. Для упрощения принято изображать токи и напряжения в виде векторов (OA' на рис. 38). Один конец вектора закреплен в точке О - в начале координат, а второй вращается против часовой стрелки.

Таким образом, вектор тока или напряжения - это отрезок, равный по величине максимальному значению тока либо напряжения, вращающийся относительно начала координат против движения часовой стрелки с частотой переменного тока. Зная положение вектора в каждый момент времени, можно найти мгновенное значение тока либо напряжения на этот момент.

За время Т, равное периоду переменного тока, вектор совершит полный оборот по окружности (360°), занимая последовательно положения ОА', О А", О А'" и т. д. При частоте переменного тока 50 Гц вектор будет совершать 50 оборотов/с.

Рис. 39. Определение положения вектора на плоскости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 40. Однофазная цепь переменного тока: а - схема цепи; б - векторная диаграмма ЭДС и тока

Мгновенное значение тока либо напряжения в каждый момент времени равно проекции вектора на вертикальную ось. Эта проекция будет становиться то положительной, то отрицательной, принимая наибольшие значения при вертикальном расположении вектора. Для положения вектора тока ОА, изображенного на рис. 39, его мгновенное значение равно ОА" = ОА sin ц. На основании рис. 39 можно также сказать, что ток в данный момент времени имеет положительное значение. Но это еще не дает полного представления о протекании процесса в цепи переменного тока, потому что из рисунка непонятно, что означает положительный или отрицательный ток, а также положительное или отрицательное напряжение.

Для того чтоб векторные диаграммы токов и напряжений давали полную картину, их необходимо сопоставить с фактическим протеканием процесса в цепи переменного тока, т. е. нужно предварительно принять условные положительные направления токов и напряжений в рассматриваемой схеме. Без выполнения этого условия, если не заданы положительные направления токов и напряжений векторная диаграмма не имеет смысла.

Рассмотрим простую однофазную цепь переменного тока, приведенную на рис. 40, а. От однофазного генератора энергия передается в сопротивление нагрузки R. Зададимся положительными направлениями токов и напряжений в рассматриваемой цепи.

Переменный ток будем считать положительным, когда в наружной цепи он проходит от шин генератора к нагрузке (обозначено стрелкой). Построим векторы ЭДС и тока, характеризующие работу рассматриваемой, цепи (рис, 40, б). Вектор ЭДС обозначим вертикальной линией со стрелкой, направленной вверх. Для построения вектора тока запишем уравнение по второму закону Кирхгофа;

IR = Е,

отсюда:

Так как знаки векторов тока и ЭДС в выражении (1.2) совпадают, вектор тока будет совпадать с вектором ЭДС на рис. 40.б.

При построении векторов будем откладывать их равными по величине действительному значению тока и напряжения, что удобно для выполнения различных математических операций с векторами. Действительные значения тока и напряжения в раз меньше соответствующих максимальных (амплитудных).

При исследовании установившихся режимов векторы неподвижны, их длина равна действующим значениям электрических величин.

С помощью векторов можно производить геометрическое суммирование электрических величин.

Рис. 41

Так, на рис. 41 показаны векторы токов и , а также вектор их геометрической суммы .

Векторные диаграммы широко используются при анализе электрических цепей переменного тока.

Цепь переменного тока с активным сопротивлением: выражение тока и мощности при синусоидальном напряжении; векторная диаграмма цепи. Понятие об активной мощности.



Рис. 42

В электрической цепи с резистивным элементом R ток изменяется по синусоидальному закону с начальной фазой , то есть

.

Напряжение на зажимах резистора

;

где - амплитудное значение напряжения на зажимах резистора, - начальные фазы напряжения и тока.

Кривые изменения напряжения и тока (рис. 3.6 б) в один и тот же момент времени t достигают максимального значения и одновременно проходят нулевые значения. Иначе говоря, обе кривые совпадают по фазе (рис. 42 в).

Сдвиг фаз между током и напряжением равен

.

Векторы и совпадают по направлению (угол ).

Сопротивление переменному току будет больше, чем постоянному за счет неравномерного распределения тока в проводе и потерь энергии в окружающую среду. Поэтому в отличие от сопротивления постоянному току сопротивление R в цепи переменного тока называется активным.

Если имеются законы изменения тока и напряжения

,

,

то их произведение равно мгновенной мощности:

.

График этой функции - результат графического умножения графиков тока и напряжения.

Рис. 43

Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности за период Т, которое равно:

.

Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи с сопротивлением R. Действительно, произведение . Следовательно:

.

Единица активной мощности - 1Вт (Ватт).

Цепь переменного тока с индуктивностью: выражение напряжения и мощности при синусоидальном токе; векторная диаграмма цепи; понятие об индуктивном сопротивлении, об индуктивной (реактивной) мощности.

Рис. 44

Изменение тока в цепи с индуктивностью L (рис. 44а) вызывает возникновение Э.Д.С. самоиндукции , которая по закону Ленца противодействует изменению тока. При увеличении тока Э.Д.С. действует навстречу току, а при уменьшении - в направлении тока, противодействуя его изменению. Показанные на рис. 44а положительные направления и имеют место только в течение некоторого узкого промежутка времени. Для тока, изменяющегося по гармоническому закону

и при Э.Д.С. самоиндукции

Чтобы в цепи протекал ток, требуется иметь на зажимах напряжение, уравновешивающее Э.Д.С. самоиндукции, равное ей по значению и противоположное по знаку.

где - амплитуда напряжения.

Произведение обозначается , называется индуктивным сопротивлением и измеряется в Омах:

.

Рис. 45

На участке цепи с индуктивностью L напряжение опережает ток на четверть периода (). На рис. 45 в вектор напряжения опережает вектор тока на 90⁰, а комплекс (вектор) Э.Д.С. самоиндукции находится в противофазе с комплексом напряжения .

Кроме того, можно заметить, что индуктивное сопротивление пропорционально (рис. 45).

Если R =0, то активная мощность в цепи с индуктивностью равна 0:

.

Цепь с емкостью: выражение тока и мощности при синусоидальном напряжении; векторная диаграмма цепи; понятие о емкостном сопротивлении и емкостной (реактивной) мощности.

Рис. 46

В цепи с конденсатором (рис. 46а), включенным на напряжение переменного тока, происходит непрерывное перемещение электрических зарядов.

Мгновенный ток в цепи равен скорости изменения заряда конденсатора:

,

где q - заряд конденсатора, Кл;

С - ёмкость конденсатора, Ф.

Если напряжение на зажимах конденсатора изменяется по синусоидальному закону:

,

то ток в цепи

,

где - амплитуда тока.

Величина , измеряемая в единицах сопротивления и обозначаемая , называется ёмкостным сопротивлением цепи:

.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте приложенного напряжения (рис. 47).

Рис. 47

Ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90⁰ (рис. 47б,в).

Связь между действующими значениями напряжения и тока:

,

Если R =0, то активная мощность в цепи с емкостью равна 0:

.

Выше были рассмотрены идеализированные модели катушек и конденсаторов, у которых R=0. На практике изготовить их такими невозможно, и этими научными абстракциями пользуются для того, чтобы ясно представить себе свойства таких элементов.

Под реактивной мощностью Q принимают произведение напряжения на участке цепи на ток, протекающий по этому участку, и на синус угла ц между напряжением и током:

.

Единица измерения реактивной мощности - вольт-ампер реактивный (ВАр).

Величина, объединяющая активную и реактивную мощность, называется полной мощностью:

.

Единица измерения полной мощности - вольт-ампер (ВА).

Для того, чтобы вычислить полную мощность нужно комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:

.

Можно расписать

.

Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть (Re), а реактивная Q - мнимая часть (Im) произведения

,

.

Комплексным числом называется число вида , где и - действительные числа, - так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью () комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа . i - мнимая единица - это такое число, квадрат которого равен -1:

I² = -1; (-i)² = -1

Если комплексное число , то число z = a - bi называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к и обозначается .

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

.

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать размерность, отмечаем:

- ноль;

- единицу по действительной оси;

- мнимую единицу по мнимой оси.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

, ,

, ,

, , ,

Числа , , - это комплексные числа с нулевой мнимой частью. Они располагаются на действительной оси.

Числа , , - это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат. Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.



Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

- это алгебраическая форма комплексного числа.

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Пример 1

Сложить два комплексных числа ,

Таким способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Вычитание аналогично сложению, вычитаемое нужно взять в скобки, а затем - стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Пример 2

Найти разность комплексных чисел , если ,

У полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть - составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Пример 3:

Найти разность комплексных чисел , если ,

.

Произведение комплексных чисел находится по правилу умножения многочленов. Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Пример 4

Найти произведение комплексных чисел ,

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Пример 4

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, умножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:

,

где - это модуль комплексного числа, а - аргумент комплексного числа.

Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что :

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль - это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или

По теореме Пифагора модуль комплексного числа равен:

.

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или . Формулы для вычисления аргумента имеют следующий вид:

1) Если (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле

.

2) Если (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле

.

3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле

.

Пример 5

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .



Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку (случай 2), то

- число в тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.



Поскольку (случай 1), то

(минус 60 градусов).

Числа и представьте в тригонометрической форме самостоятельно.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме:

,

где - это модуль комплексного числа, а - аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .

Например, для числа предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент: , . Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом:

.

Число в показательной форме будет выглядеть так:

Число - так:

И т.д.

Единственный совет - не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме .

Представление синусоидальных величин комплексными числами

Синусоидально изменяющуюся электрическую величину можно представить комплексным числом и изобразить в виде вектора на комплексной плоскости с прямоугольной системой координат.

Комплексное число состоит из действительной (вещественной) и мнимой частей. По оси ординат откладывают мнимую часть комплексного числа, а ось обозначают +j; по оси абсцисс - действительную часть комплексного числа, а ось обозначают +1.

На комплексной плоскости синусоидальная величина может изображаться в виде модуля и аргумента или в виде двух составляющих вектора, направленных по действительной и мнимой осям.

Например, синусоидальный ток представляют вектором , модулем которого является значение амплитуды тока , а аргументом - начальная фаза , которую можно выражать в радианах или в градусах (рис. 48).



Рис. 48

Составляющей вектора по действительной оси будет , а по мнимой - , то есть

.

Вектор называют комплексной амплитудой тока.

Обычно при расчётах пользуются действующими значениями.

При построении векторных диаграмм точно фиксируют угол сдвига между векторами, а положение их относительно осей комплексной плоскости может быть произвольным, поэтому оси можно не изображать.

При анализе электрических цепей переменного тока приходится иметь дело с умножением и делением электрических величин. В этом случае удобно пользоваться комплексами этих величин, записанными в показательной форме:

,

где - оператор поворота единичного вектора относительно оси действительных величин.

Например, при

Умножение на j означает поворот вектора на +90 градусов (в сторону, противоположную направлению движения стрелки часов).

Умножение на -j означает поворот вектора на угол -90 градусов (по часовой стрелке).

Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть (Re), а реактивная Q - мнимая часть (Im) произведения

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Закон Ома для цепи синусоидального тока в комплексной форме:

,

где Z - комплексное сопротивление, Ом.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX,

.

Закон Ома можно записать иначе.

Разделим обе его части на и перейдём от комплексных амплитуд и к комплексам действующих значений и :

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

.

Последовательное соединение элементов R, L, C в цепи синусоидального напряжения

Рис. 49

В электрической цепи (рис. 49) элементы R, L, C соединены последовательно и подключены к источнику синусоидального напряжения. Ток в такой цепи будет изменяться также по синусоидальному закону.

Вектор напряжения на входе равен сумме векторов напряжений на элементах R, L, C:

.

По закону Ома можно расписать:

.

Отсюда

.

Значит полное сопротивление для цепи на рис. 49

,

,

где - реактивное сопротивление электрической цепи.

Для того, чтобы вычислить полную мощность нужно комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:

.

Можно расписать

.

Из формулы

можно сделать вывод, что мощности P, Q, S связаны следующей зависимостью:

.

Графически эту связь можно представить в виде прямоугольного треугольника (рис. 50) - треугольника мощности, у которого имеются катет, равный Р, катет равный Q и гипотенуза S.



Рис. 50

Отношение Р к S, равное , называется коэффициентом мощности.

.

На практике всегда стремятся увеличить , так как реактивная мощность, которая всегда существует в цепи R, L, C, не потребляется, а используется лишь активная. Из этого можно сделать вывод, что реактивная мощность является лишней и ненужной.

Из формулы следует, что модуль комплексного сопротивления:

.

Рис. 51

Следовательно, Z можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника (рис. 51) - треугольника сопротивлений, один катет которого равен R, другой - X.

При этом

,

.

Зная или , можно определить угол .

Знак угла в выражениях для мгновенного значения тока определяется характером нагрузки: при индуктивном характере нагрузки () ток отстаёт от напряжения на угол и в выражении для мгновенного значения тока угол записывают со знаком минус, то есть ; при емкостном характере нагрузки () ток опережает напряжение на угол и выражение мгновенного значения тока записывают со знаком плюс, то есть .

Ранее были рассмотрены характеры напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке. И было отмечено, что на сопротивлении ток и напряжение по направлению совпадают, на индуктивности напряжение опережает ток на 90⁰, а на ёмкости напряжение отстаёт от тока на 90⁰, то есть должно быть повернуто относительно вектора тока на угол 90⁰ в отрицательном направлении (а на индуктивности в положительном). Это отображено на рис. 52.

При последовательном соединении R, L, C суммарное напряжение будет равно векторной сумме возможны три случая различных значений реактивного сопротивления и, соответственно, три значения суммарного напряжения.

Индуктивный характер напряжения. Соответствует случаю, когда (рис. 52). При этом режиме угол .



Рис. 52

2. Емкостной характер напряжения. Соответствует случаю, когда (рис. 53). При этом режиме .

Рис. 53

Резонанс напряжений. Соответствует случаю, когда (рис. 54). При этом .

Рис. 54

Резонанс напряжений



Рис. 55

Условием возникновения резонанса напряжений в последовательном RLC - контуре является равенство реактивных сопротивлений катушки и конденсатора:

Значения напряжений на индуктивности и на емкости равны по величине и противоположны по фазе, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений.

Полное сопротивление последовательного контура при резонансе минимально и равно активному сопротивлению.

.

Из формулы закона Ома следует, что при ток в контуре максимален и, ввиду чисто активного сопротивления цепи, совпадает по фазе с приложенным напряжением:

.



Рис. 56

Напряжение на индуктивности и на емкости равны и в Q раз превышают приложенное напряжение:

.

Величина Q называется добротностью контура и показывает во сколько раз напряжение на реактивном (индуктивном или емкостном) элементе превышает напряжение на входе схемы в резонансном режиме. В радиотехнических устройствах Q может достигать 300 и более.

Для добротности контура можно записать также следующие соотношения:

,

где с - волновое (характеристическое) сопротивление контура:

.

Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой:

.

А частота, при которой возникает резонанс - соответственно резонансной частотой.

.

Рассмотрим частотные характеристики последовательного контура, то есть характер изменения ёмкостного и индуктивного сопротивлений при изменении частоты питающего напряжения.

Графики этой зависимости приведены на рис. 57.

Рис. 57

Емкостное сопротивление при увеличении частоты уменьшается от бесконечности до нуля по закону обратной пропорциональности.

Индуктивное сопротивление при увеличении частоты увеличивается от нуля до бесконечности прямо пропорционально щ.

Как видно из рисунка при увеличении частоты от 0 до реактивное сопротивление имеет емкостной характер и изменяется от до 0. Вследствие этого ток в цепи возрастает от 0 до , а угол сдвига фаз между напряжением и током изменяется от до 0. Дальнейшее увеличение частоты от до приводит к увеличению реактивного сопротивления X от 0 до , которое будет иметь индуктивный характер.

В результате ток уменьшается от до 0, а угол ц возрастает от до 0. При этом напряжение изменяется пропорционально току.

Важно отметить, что максимум напряжения на конденсаторе имеет место при частоте немного ниже резонансной, а на индуктивности - при частоте немного выше резонансной. Это можно наблюдать по следующим формулам.

;

;

.

Колебательный контур обладает ещё одним замечательным свойством - избирательностью.

Избирательностью называется свойство контура выделять и усиливать сигналы определённой частоты и частот, близких к ней.

Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосой пропускания контура, которую определяют как разность верхней и нижней частот, в пределах которых величина мощности в резисторе R составляет не менее 50% от мощности при резонансе:

.

Рис. 58

На рис. 58 приведена резонансная кривая контура. Из рисунка видно, что чем выше добротность, тем эже полоса пропускания контура.

Резонанс токов

Рассмотрим цепь с двумя параллельными ветвями на рис. 59.

Рис. 59

Такая цепь называется параллельным контуром.

Полной проводимостью называют величину, обратную полному сопротивлению:

где Z -- полное сопротивление; G -- активная проводимость; B -- реактивная проводимость.

Активная и реактивная проводимости определяются по следующим формулам:

,

Где B_L - проводимость катушки

B_C - проводимость конденсатора

Условием возникновения резонанса токов является равенство реактивных проводимостей:

,

При реактивные составляющие токов равны по величине и противоположны по фазе, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи получил название резонанса токов.

Из векторной диаграммы на рис. а видно, что при резонансе ток на выходных выводах контура может быть значительно меньше токов в отдельных ветвях.

При резонансе общий ток в параллельном контуре по фазе совпадает с приложенным напряжением.

Добротность контура показывает, во сколько раз ток в ветви превышает питающий ток и определяется следующим соотношением:

,

В теоретическом случае при токи и сдвинуты по фазе относительно напряжения на углы (рис. 60) и суммарный ток

.

Рис. 60

В этом случае резонансная частота рассчитывается следующим образом:



Трехфазные системы: ЭДС, токов, электрических цепей. Симметричная трехфазная система ЭДС

Трехфазная цепь - это совокупность электрических цепей, в которых действуют ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые по фазе относительно друг друга на угол 120⁰. Обычно эти ЭДС, в первую очередь в силовой энергетике, синусоидальны. Однако, в современных электромеханических системах, где для управления исполнительными двигателями используются преобразователи частоты, система напряжений в общем случае является несинусоидальной. Каждую из частей многофазной системы, характеризующуюся одинаковым током, называют фазой, т.е. фаза - это участок цепи, относящийся к соответствующей обмотке генератора или трансформатора, линии и нагрузке.

Таким образом, понятие «фаза» имеет в электротехнике два различных значения:

фаза как аргумент синусоидально изменяющейся величины;

фаза как составная часть многофазной электрической системы, характеризующаяся одинаковой силой тока.

Совокупность ЭДС, действующих в фазах трехфазной цепи, а также совокупность токов и напряжений в трехфазной цепи называют трехфазной системой, соответственно, ЭДС, токов и напряжений.

Трехфазные системы в настоящее время получили наибольшее распространение. На трехфазном токе работают все крупные электростанции и потребители, что связано с рядом преимуществ трехфазных цепей перед однофазными, важнейшими из которых являются:

- экономичность производства и передачи энергии по сравнению с однофазными цепями;

- самым надежным и экономичным является асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором, обмотки которого подключаются к трехфазному источнику напряжения;

- уравновешенность симметричных трехфазных систем. Это означает, что суммарная мгновенная мощность всех фаз остается величиной постоянной в течение всего периода синусоидальной ЭДС. Уравновешенность системы удлиняет срок службы генератора.

- возможность получения в одной установке двух эксплуатационных напряжений - фазного и линейного.

Трехфазная цепь состоит из трех основных элементов: трехфазного генератора, в котором механическая энергия преобразуется в электрическую с трехфазной системой ЭДС; линии передачи со всем необходимым оборудованием; приемников (потребителей), которые могут быть как трехфазными (например, трехфазные асинхронные двигатели), так и однофазными (например, лампы накаливания).

Симметричной называют трехфазную систему ЭДС, в которой ЭДС в отдельных фазах равны по амплитуде и отличны по фазе друг от друга на углы, равные 120⁰:

e_A=E_msinщt,

e_B=E_msin(щt?120°),

e_C=E_msin(щt?240°)=E_msin(щt+120°).

Комплексы действующих значений этих Э.Д.С.:

Эти три Э.Д.С. можно изобразить на временной и векторной диаграммах:

Рис. 61

На векторной диаграмме рис. 61а вектор Л_A направлен вертикально, так как при расчете трехфазных цепей принято направлять вертикально вверх ось действительных величин. Из векторных диаграмм рис 61 следует, что для симметричной трехфазной системы геометрическая сумма векторов ЭДС всех фаз равна нулю:

Л_A+Л_B+Л_C=0

Последовательность, с которой ЭДС в фазных обмотках генератора принимает одинаковые значения, называют порядком чередования фаз или последовательностью фаз.

Следующий порядок чередования Э.Д.С. называется прямой последовательностью фаз, а чередование называется обратной последовательностью фаз.

В дальнейшем при рассмотрении трёхфазных систем принимается прямая последовательность фаз, которая считается нормальной.

Устройство трехфазного генератора

Генератор переменного тока - электромеханическое устройство, которое преобразует механическую энергию в электрическую

Схема трехфазного генератора переменного тока

Преобразование механической энергии в электрическую происходит в соответствии с явлением электромагнитной индукции. Суть явления состоит в том, что, если изменять магнитный поток, пронизывающий катушку, витки которой выполнены из проводящего материала, например, медного провода, то на выводах катушки появляется электрическое напряжение, равное произведению числа ее витков на скорость изменения магнитного потока. Совокупность таких катушек образует обмотку статора - главную неподвижную часть генератора.

Для образования магнитного потока достаточно пропустить через катушку электрический ток. Эта катушка представляет собой обмотку возбуждения. Обмотка возбуждения с полюсной системой и некоторыми другими деталями образует ротор.

Сталь, в отличие от воздуха, хорошо проводит магнитный поток. Поэтому основные узлы генератора, в которых происходит преобразование механической энергии в электрическую, состоят из стальных участков и обмоток, в которых создается магнитный поток при протекании в них электрического тока (обмотка возбуждения), и возникает электрический ток при изменении этого потока (обмотка статора).

Питание обмотки возбуждения осуществляется от источника постоянного тока или от самого генератора. В последнем случае генератор работает на самовозбуждении, его первоначальное напряжение образуется за счет остаточного магнитного потока, который создается стальными частями ротора даже при отсутствии тока в обмотке возбуждения. Это напряжение вызывает появление электрического тока в обмотке возбуждения, в результате чего магнитный поток усиливается и вызывает лавинный процесс возбуждения генератора.

При работе генератора напротив катушек обмотки статора устанавливается то южный, то северный полюс ротора, при этом направление магнитного потока, пронизывающего катушку, изменяется, что и вызывает появление в ней переменного напряжения. Частота этого напряжения f зависит от частоты вращения ротора n и числа пар полюсов р генератора:

Соединение обмоток трехфазного генератора звездой и треугольником

Фазы генератора могут соединяться в «звезду» или «треугольник».



При соединении в звезду концы обмоток генератора объединяются в одну точку О, которая называется нулевой, или нейтральной.

При соединении обмоток генератора треугольником конец первой обмотки генератора соединяют с началом второй, конец второй с началом третьей, конец третьей- с началом первой.

Основные схемы соединения трёхфазных цепей

Ниже приведены схемы соединения трёхфазного генератора с трёхфазной нагрузкой по схеме звезда: звезда с нулевым проводом (рис. 62); звезда без нулевого провода (рис. 63).



Рис. 62

Рис. 63

Точку, в которой объединяют три конца трёхфазной нагрузки при соединении её звездой, называют нулевой точкой нагрузки и обозначают О'.

Провода, соединяющие точки А, В, С генератора с точками а,b,с нагрузки, называют линейными.

Нулевым проводом называют провод, соединяющий нулевые точки генератора и нагрузки

I_ф - фазный ток - это ток, протекающий от начала к концу фазной обмотки или приемника энергии (или наоборот: от конца - к началу).

Линейными токами I_л называют токи, текущие по линейным проводам (их обозначают ,, )

Фазным напряжением U_ф называют напряжение между началом и концом фазы или между линейным и нулевым проводом (их обозначают ).

Линейным напряжением U_Л называют напряжение между двумя линейными проводами (их обозначают ).

Фазные и линейные напряжения связаны между собой выражениями

Рис. 64

. (4.4)

В симметричной системе фазных напряжений система линейных напряжений тоже симметрична: равны по величине и сдвинуты относительно друг друга на 120⁰ (рис. 64).

Действующее значение линейных напряжений легко определяется по векторной диаграмме (рис. 64) из треугольника, например АОВ:

. (4.5)

Таким образом, получим общее соотношение между линейными и фазными напряжениями в симметричной системе

. (4.6)

Рис. 65

При соединении звездой в точках перехода из генератора в линию и из линии в нагрузку нет разветвлений, поэтому фазные и линейные токи одинаковы между собой в каждой фазе:

. (4.6)

Запомните: соотношения , справедливы только в звезде.

При соединении обмоток генератора треугольником конец первой обмотки генератора соединяют с началом второй, конец второй с началом третьей, конец третьей- с началом первой. (рис. 65)

Геометрическая сумма Э.Д.С. в замкнутом треугольнике равна нулю (рис. 65). В отличие от соединения звездой, где в большинстве случаев применяется четырёхпроводная система, здесь используется три провода (рис. 66).



Рис. 66

Соотношения между фазными и линейными токами легко можно определить, если для каждой узловой точки применить первый закон Кирхгофа:

; (4.7)

При симметричной нагрузке токи во всех фазах одинаковы: линейные токи сдвинуты относительно фазных токов на 90⁰ (рис. 67).

Рис. 67

Действующее значение линейных токов определяется по векторной диаграмме (рис. 67) из треугольника, например АОС:

. (4.8)

Таким образом, получим общее соотношение между линейными и фазными токами

. (4.9)

Из схемы (рис. 66) видно, что фазные и линейные напряжения совпадают:

. (4.10)

Запомните: соотношения ; справедливы только для треугольника.

Методы расчета трёхфазных цепей

Трёхфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока и поэтому расчёт их проводят теми же методами, что и для синусоидального тока.

Аналитический расчёт трёхфазных цепей рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм, что облегчит нахождение углов между токами и напряжениями, поможет найти ошибки при расчёте.

Соединение звездой

Нагрузка в трёхфазной цепи может быть:

симметричной, если сопротивления фаз нагрузки одинаковы по характеру и значению;

несимметричной, если сопротивления фаз нагрузки различны.



Рис. 68

Рассмотрим наиболее общий случай расчёта цепи с нулевым проводом, сопротивление которого Z_N (рис. 68).

Если нужно учесть сопротивления линейных проводов и фаз источника их можно отнести к нагрузке, прибавив к сопротивлениям последнего по правилам сложения комплексных чисел.

Наиболее удобным методом расчёта в данном случае является метод узлового напряжения:

.

Напряжения на фазах нагрузки:

.

Токи в фазах:

,

,.

Ток в нулевом проводе:

.

Для узловой точки 0 или 0' справедливо также уравнение по первому закону Кирхгофа:

.

Уравнение (4.15) можно использовать как проверочное.

На рис. 69 изображена векторная диаграмма цепи.

Рис. 69

При наличии сопротивления в нулевом проводе (Z_N0) нулевая точка приёмника на векторной диаграмме не совпадает с нулевой точкой источника.

Из формулы 4.9 видно, что симметрия фазных напряжений на нагрузке, когда U_N=0, достигается в двух частных случаях.

При симметричной нагрузке, когда комплексы проводимостей фаз равны .

По этой причине ток в нулевом проводе равен нулю, и необходимость в этом проводе отпадает. Поэтому электроснабжение симметричных приёмников осуществляется по трёхпроводной системе.

В четырёхпроводной системе, когда сопротивление нулевого провода равно нулю.

Нулевой провод является уравнительным. Посредством его потенциалы нейтралей источника и приёмника принудительно уравнены, а поэтому звезда векторов фазных напряжений приёмника точно совпадает со звездой фазных напряжений источника.

При несимметричной нагрузке обрыв нулевого провода вызывает значительное изменение токов и фазных напряжений, что в большинстве случаев недопустимо.

Поэтому в нулевой провод предохранители не устанавливаются. Порядок расчёта трёхфазной цепи при соединении звездой, описанный выше, пригоден и при отсутствии нулевого провода.

При симметричной нагрузке необходимость расчёта всех трёх фаз отпадает. Достаточно провести расчёт одной фазы.

При известном линейном напряжении фазное напряжение определим по формуле 4.6:

.

Фазный ток, равный линейному

. (4.16)

Соединение треугольником

Трёхфазная цепь при соединении источника и приёмника треугольником имеет разветвлённую многоконтурную схему (рис. 69).

Расчёт этой сложной цепи значительно упрощается, если не принимать во внимание сопротивление проводов.

В этом случае напряжения на фазах приёмника равны соответствующим напряжениям источника и, как правило, представляют собой симметричную систему.

Если трёхфазная система напряжений, приложенных к приёмнику, известна, то фазные токи в симметричном приёмнике определяются порознь по известным формулам:

. (4.17)

Токи в линейных проводах:

. (4.18)

Если же сопротивления линейных проводов необходимо учитывать, то для расчёта цепи следует преобразовать треугольник сопротивления нагрузки в звезду, определить токи в линейных проводах с учётом формулы (5.13) и затем найти напряжения и токи фаз нагрузки.

При симметричной нагрузке фаз достаточно провести расчёт одной фазы.

Измерение мощности в трёхфазных цепях

Активной мощностью трехфазной системы называют сумму активных мощностей ее отдельных фаз:



При симметричной нагрузке мощности отдельных фаз равны между собой, а общая мощность определяется как

.

На практике мощность трехфазной системы чаще выражают через линейные, а не через фазные токи и напряжения.

.

Для трехфазной системы также справедливы следующие соотношения для полной, активной и реактивной мощностей, соответственно:

.

Существуют несколько методов измерения мощности трехфазной системы, у каждого из них своя область применения.

Способ одного ваттметра

Используют для измерения мощности при симметричной нагрузке, соединенной звездой с доступной нулевой точкой (рис. 703).



Рис. 70

В этом случае общая мощность трехфазной системы равна утроенному показанию ваттметра:

.

Способ трех ваттметров

Применяют для измерения мощности при неравномерной нагрузке, соединенной звездой. В каждый из линейных проводов включается токовая цепь одного из ваттметров, а их цепи напряжения включаются между соответствующим линейным проводом и нулевым проводом системы (рис. 71).

Активная мощность всей трёхфазной системы равна сумме показаний ваттметров:

.



Рис. 71

Способ двух ваттметров

Этот способ универсален - он применяется при симметричной и несимметричной нагрузках и при любом типе соединения. Нулевой провод может быть, а может и отсутствовать - он просто не используется. Токовые обмотки ваттметров включают в какие-нибудь две фазы, а обмотки напряжения между третьей (незанятой) фазой и той фазой, в которую включена токовая обмотка данного ваттметра (рис. 72).

Рис. 72

В этом случае общая мощность трехфазной системы равна алгебраической сумме показаний двух ваттметров.

.

Размещено на Allbest.ru

...