Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації оприлюднено більш ніж на 10 наукових конференціях, симпозіумах, семінарах, зокрема: на Всесоюзних конференціях по статиці та динаміці просторових конструкцій (Київ, 1978 р., 1985 р.); I та II Всесоюзних конференціях по теорії пружності (Єреван, 1979 р., Тбілісі, 1984 р.); II Всесюзній конференції «Змішані задачі механіки деформівних тіл» (Дніпропетровськ, 1981 р.); III Всесоюзному симпозіумі по фізиці акустогідродинамічних явищ та оптоакустиці (Ташкент, 1982 р.); конференції «Аерогідропружність елементів машин та споруд» (Севастополь, 1990 р.); Міжнародній конференції «Моделювання та дослідження стійкості систем» (Київ, 1997 р.) та інш.

хвильовий частотний спектр

У вступі висвітлено проблему розробки методики аналізу та її реалізації для встановлення особливостей стаціонарного та нестаціонарного деформування пружних тіл скінченних розмірів та розповсюдження хвиль в складених циліндричних хвилеводах; обгрунтовано мету роботи; наведено характеристику наукової новизни та практичного значення одержаних результатів.

В першому розділі викладено стан досліджень з питань стаціонарного та нестаціонарного деформування пружних тіл скінченних розмірів та розповсюдження хвиль в пружно-рідинних циліндричних хвилеводах. Проведений огляд наукових праць показує, що наявні дослідження з розглянутих в роботі проблем виконані, головним чином, в рамках прикладних теорій, які неспроможні визначити особливості гармонійних та негармонійних хвильових процесів в діапазоні високих частот.

В області динамічного деформування пружних тіл значні результати отримано в працях І.І. Воровича, В.В. Головчана, О.М. Гомілка, В.Т. Грінченка, О.М. Гузя, В.Г. Карнаухова, О.С. Космодаміанського, В.В. Мелешка, І.К. Сенченкова, В.І. Сторожева, А.Ф. Улітка, М.О. Шульги та інш. На наявність таких специфічних особливостей динамічного деформування пластин і циліндрів, як крайовий, товщинний та радіальний резонанси, що спостерігаються при відносно високих частотах, вказувалось в експериментальних роботах І.П. Голяміної, Олівера, Оноє, Шоу, Букера і Сагара та інш. Безперечно, що аналітичне дослідження цих явищ неможливе на основі прикладних теорій. В більшості теоретичних робіт значна увага приділялась подоланню методологічних та математичних труднощів, що виникають при розв'язку просторових граничних задач, та встановленню можливостей різних підходів. Особливості частотних спектрів та форм коливань пружних тіл скінченних розмірів систематично не вивчались.

Розв'язки просторових граничних задач, що існують в літературі, в основному є наближеними і тому дозволяють одержувати власні частоти в обмеженій області частот. Точні розв'язки просторових граничних задач для пружних тіл скінченних розмірів отримано в роботах В.Т. Грінченка і А.Ф. Улітка на основі математично обгрунтованого методу суперпозиції. Дослідження частотних спектрів та крайової і товщинної мод в прямокутній та круглій пластинах для першої основної граничної задачі теорії пружності при симетричному напруженому стані виконано в роботах В.Т. Грінченка і В.В. Мелешка.

В другому розділі наведено огляд методів аналітичних розв'язків просторових граничних задач теорії пружності. Широке застосування знайшли методи однорідних розв'язків та суперпозиції. Обидва методи використовують набори частинних розв'язків векторного рівняння Ламе в середині області, які володіють необхідним ступенем вільності для задоволення умов на граничних поверхнях тіла. Відміна цих методів полягає в використанні різних наборів частинних розв'язків. В методі однорідних розв'язків використовують частинні розв'язки для нескінченного хвилевода з вільною бічною поверхнею. Метод суперпозиції засновано на ідеї Ламе, згідно якої загальний розв'язок задачі для скінченного тіла будується у вигляді суперпозиції декількох розв'язків.

Огляд наукових праць, в яких розв'язок просторових граничних задач (статичних та динамічних) виконано на основі методів однорідних розв'язків та суперпозиції, наведено в монографіях В.Т. Грінченка, В.Т. Грінченка і В.В. Мелешка та оглядових працях Б.Л. Абрамяна і О.Я. Олександрова, І.І. Воровича, Г.Ю. Джанелідзе і В.К. Прокопова.

В роботі використовується метод суперпозиції. Математичне обгрунтування методу суперпозиції та доведення його еквівалентності методу однорідних розв'язків проведено в роботах Б.М. Кояловича, Б.Л. Абрамяна, В.Т. Грінченка, А.Ф. Улітка, О.М. Гомілка і В.В. Мелешка. Перевага методу суперпозиції полягає в тому, що він дозволяє отримувати точні розв'язки просторових граничних задач для пружних тіл скінченних розмірів та проводити обчислення з будь-якою фізично оправданою точністю.

В третьому розділі викладено дослідження першої основної граничної задачі теорії пружності для циліндра скінченної довжини. Основою аналізу частотних спектрів і форм коливань слугує розв'язок задачі про вимушені осесиметричні коливання циліндра. Розглядаються наступні дві просторові граничні задачі:

,

(i=1,2). (1)

Парній функції f₁(z)?=?f₁(z) відповідає симетричний напружений стан (СНС), непарній f₂(z)?=?f₂(z) антисиметричний (АНС). Функції f₁(z) і f₂(z) вважаються достатньо гладкими. Розв'язок граничної задачі (1) згідно методу суперпозиції обираємо у вигляді суми розв'язків для шару та циліндра. У випадку антисиметричного напруженого стану компоненти вектора переміщень після відокремлення часового множника мають вигляд:

, , , ,

, , , . (3)

Тут V_D, V_S швидкості хвиль розшірення та зсуву, модуль зсуву, m число Пуассона, R радіус, 2H висота циліндра, J₀, J₁, I₀, I₁ функції Бесселя. За такого вибору розв`язку умови для дотичних напружень виконуються тотожньо, а умови для нормальних напружень призводять до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь відносно невідомих x_n і y_j

, . (4)

Нескінченна система 4 є квазірегулярною, невідомі якої мають такі асимптотичні значення

, . (5)

При переході до скінченної системи покладаємо

, . (6)

Досвід розв'язку ряду задач показав, що при виборі N і J доцільно виходити із співвідношення . Аналогічні результати одержані для СНС. На основі співвідношення (6) проводимо коректну редукцію нескінченної системи та поліпшуємо збіжність рядів для переміщень та напружень на граничних поверхнях циліндра. Одержана скінченна система рівнянь відрізняється від системи, отриманої методом простої редукції, лише коефіцієнтами при x_N і y_J. Але ця, здавалось би незначна, різниця обумовлює принципову якісну їх відміну: ця скінченна система дозволяє визначити всі невідомі вихідної нескінченної системи; визначник цієї системи є більш точним частотним визначником.

Частотний інтервал, в якому знаходиться власна частота, визначаємо по ступеню динамічності напруженого стану і його протифазності на кінцях інтервала. Аналіз частотних спектрів проводимо на тлі даних про дисперсійні властивості нормальних хвиль у відповідних нескінченних тілах. Відмінність дисперсійних спектрів шару для випадків СНС і АНС полягає у тому, що від'ємну кривизну має при СНС друга дійсна вітка, при АНС-третя вітка. Вітці з від'ємною кривизною відповідає «зворотна хвиля», яка характеризується протилежними знаками фазової і групової швидкостей. Частоту, при якій дійсна вітка перетинає частотну вісь, називаємо частотою запирання. Критичною частотою називаємо частоту, при якій дійсна вітка з від'ємною кривизною приймає мінімальне значення. При цій частоті комплексна вітка перероджується в дійсну, і в шарі з'являються ще дві біжучі хвилі.

На основі одержаних розв'язків визначено спектри власних частот круглої пластини у випадку планарних (СНС) та згинних (АНС) осесиметричних коливань. Частотний спектр планарних коливань тонких пластин (залежність частоти від величини відносного радіуса 1/h) характеризується наявністю частоти крайового резонансу в інтервалі частот, в якому в шарі існує одна дійсна дисперсійна крива. Проведено оцінку границь застосування класичної теорії та уточненої теорії Релея, як для тонких (0<1/h<10), так і товстих пластин (0<h1). У випадку тонких пластин границі застосування цих теорій обмежуються частотою крайового резонансу.

При згинних коливаннях частотний спектр тонких пластин (рис. 1) характеризується порушенням регулярної залежності частоти від 1/h в околі частоти запирання другої дійсної вітки (=1). На рис. 1 (=0,312) зображено значення власних частот пластини, знайдених згідно точному просторовому розв'язку (штрихові криві), зсувної теорії Тимошенка при k_сд=5/6 (суцільні криві) та методу степеневих рядів при збереженні членів порядку h³ (пунктирні криві). Цифрами позначено номер власної частоти. В розглянутому інтервалі частот (0,81,2) похибка теорії Тимошенка не перевищує 3%, методу степеневих рядів ?5%. Метод степеневих рядів дозволяє визначати власні частоти в інтервалі 0,86. В розглянутому інтервалі частот 1,2 не виявлено частоту крайового резонансу. Аналіз досліджень, проведених в дисертації та в роботах О.М. Гомілка, Н.С. Городецької, В.Т. Грінченка, В.В. Мелешка стосовно згинних коливань напівполоси, дозволяє допустити існування частоти крайового резонансу в області частот, що заходиться дещо нижче критичної частоти третьої дійсної вітки. Частота запирання цієї вітки =3.

У випадку згинних коливань товстих круглих пластин проведено оцінку класичної теорії Кірхгоффа та зсувної теорії Тимошенка. Як для згинних, так і планарних коливань розбіжність даних по формам коливань має місце для тих значень частот, в околі яких власні частоти відрізняються між собою. астотний спектр циліндра на відміну від круглої пластини має однакову структуру для обох типів напружених станів. Це пояснюється тим, що СНС і АНС пов'язані з хвильовими рухами, які описуються одним і тим же дисперсійним рівнянням. В дисперсійному спектрі нескінченного циліндра з вільною бічною поверхнею від'ємну кривизну має друга дійсна вітка.

Частотний спектр циліндра (залежність ₁ від h) зображено на рис. 2 для АНС і коефіцієнта Пуассона =0. Частота запирання другої дійсної вітки _r1=1,841, її критична частота ^* = 1,794.

При =0 частотні криві утворюють два незалежних сімейства: одне з них пов'язане з осьовими переміщеннями точок циліндра (Lмоди), друге-з типами рухів, які характеризуються зв'язаністю радіальних і осьових переміщень (криві 1,2,3,… на рис. 2). Перша крива другого сімейства визначає частоту крайового резонансу (_E=1,67, Eмода) і розміщена в області ₁<^*. Наступні криві, що розміщені в області ₁>^*, утворюють «терасоподібну» структуру. На одних відрізках цих кривих частота зменшується (Aмоди), на інших дещо збільшується (Bмоди) при зростанні h. Наявність останніх із них може бути виявлена тільки при розв'язку задачі в просторовій постановці.

Для 0 поява зв'язаності рухів призводить до зникнення кратних частот. Спектральні криві різних сімейств в околі кратних частот «розштовхуються» між собою і частотний спектр суттєво видозмінюється (рис. 3, =0,2). В цьому випадку _r1 = 2,017, ^*=1,92, _E = 1,68. Порівняння форм коливань для випадків =0 і =0,2 дозволило виділити відрізки спектральних кривих, яким відповідають L, E, A і B моди різних порядків.

Той факт, що частотний спектр циліндра має однакову структуру для випадків СНС і АНС, дозволяє пояснити появу дублетів та триплетів в околі частоти крайового резонансу циліндра, які виявлено в експериментах Букера і Сагара.

В четвертому розділі розглянуто змішані граничні задачі теорії пружності для циліндра скінченної довжини, які характеризуються наявністю локальних особливостей напружень на кутовому колі. Апріорне значення характеру цих особливостей дає можливість визначати асимптотичні значення невідомих нескінченних систем.

Проведено дослідження вимушених осесиметричних коливань циліндра з жорстко закріпленою бічною поверхнею та заданими напруженнями на торцях при АНС. Граничну задачу зведено до нескінченної системи

, . (7)

Тут _n = n/h, _j корені рівняння J₁()=0, вільні члени f_n і _j є коефіцієнтами рядів Фур'є-Діні та Фур'є розкладу функцій, які задають напруження на торці. Асимптотичні властивості невідомих в системі (7) мають вигляд

, , . (8)

Тут a₀, b₀ сталі, найменший додатній корінь рівняння для змішаної статичної задачі для чверті площини. Співвідношення (8) дозволяють замінити всі невідомі з високими номерами в системі (7) їх асимптотичними значеннями

, . (9)

і провести коректну редукцію нескінченної системи.

На основі отриманого розв'язку побудовано частотний спектр (залежність ₁ від h) згинних осесиметричних коливань круглої пластини в діапазоні 0 < h 1. Проведено оцінку класичної теорії Кірхгоффа та зсувної моделі Тимошенка. Границі застосування цих теорій трохи вужчі ніж у випадку пластини з вільним краєм. Вибором коефіцієнта зсуву можна значно розширити застосування теорії Тимошенка.

Для систематизації частотних даних циліндра вивчено дисперсійні властивості нормальних осесиметричних хвиль в нескінченому циліндрі із закріпленою поверхнею. На рис. 4 зображено дисперсійні криві для випадку =0,3. Дійсні і уявні вітки зображено суцільними жирними кривими, проекція комплексних віток на дійсну і уявну площину-штриховими жирними кривими. Такий хвилевод характеризується: наявністю діапазона частот ₁<1,285, в якому відсутні дійсні корені; відсутністю дисперсійних кривих з від'ємною кривизною; жодна комплексна вітка не перетинає дійсну площину.

Особливістю частотного спектра скінченного циліндра (рис. 5, =0,3) є наявність в області частот ₁ < 1,285 спектральної кривої, якій відповідає крайова мода. Тут крайова мода формується тільки за рахунок неоднорідних хвиль. Встановлено відмінності в прояві крайового резонансу в циліндрах із закріпленою та вільною бічними поверхнями. В циліндрі із закріпленою бічною поверхнею переважають форми, які відповідають першій уявній дисперсійній вітці, в циліндрі з вільною поверхнею-першій комплексній вітці. Діапазон сильного збудження неоднорідних хвиль в закріпленому циліндрі є набагато ширшим ніж у вільному циліндрі.

Досліджено вимушені осесиметричні коливання циліндра з вільною бічною поверхнею, торці якого кінематично збуджуються в осьовому напрямку. Розглянуто обидва випадки симетрії деформованих станів. Обчислено власні частоти скінченного циліндра для симетричного та антисиметричного напружених станів. Частотні спектри циліндра характеризуються порушенням регулярної залежності частоти від h в діапазоні частот ₁^*_1r1, =1,904, _r1=2,048 (рис. 6, =0,3; СНС). В цьому діапазоні достовірні значення частот та форм коливань можна одержати при використанні розробленої методики. Оцінено можливості одномірної теорії стержнів та теорії, заснованої на використанні розв'язку Похгаммера-Крі. Проведено аналіз форм коливань та розподілу напружень в околі кутового кола.

Проведені дослідження дозволили виявити вплив конкретних граничних умов на формування частотного спектра круглої пластини та циліндра скінченної довжини.

В п'ятому розділі розглянуто розповсюдження осесиметричних хвиль та стаціонарні коливання порожнистого циліндра з вільними бічними поверхнями. Аналіз результатів дослідження дисперсійних властивостей показав, що із збільшенням відносного внутрішнього радіуса r₁=R₁/R (зменшенням товщини порожнистого циліндра) частота запирання і глибина завалу другої дійсної вітки (при r₁>0,125) зменшується і при r₁0,5 (=0,333) ця вітка має додатнy кривизну; частота запирання третьої дійсної вітки зростає. Це підтверджується даними рис. 7, на якому показано другі дійсні вітки порожнистого циліндра для значень r₁, які змінюються від 0,1 до 0,8 (суцільні криві). Для випадку r₁=0,1 зображена також третя дисперсійна крива. Штрихові криві відповідають суцільному циліндрові. Побудовано дійсні, уявні та комплексні вітки циліндрів із r₁=0,3 та 0,8. Аналітично встановлено асимптотичне значення комплексних коренів на статичній площині (₁=0), яке явно залежить від r₁. Одержані результати показують, що для тонкостінних циліндрів частотний діапазон застосування двомодових теорій оболонок розширюється із збільшенням r₁.

Розглянуто першу основну граничну задачу для порожнистого циліндра скінченної довжини при СНС. Загальний розв'язок одержано із розв'язку для суцільного циліндра при заміні функцій J₀(_jr) та J₁(_jr) відповідно на N₀(_jr) = J₁(_j) Y₀(_jr)  Y₁(_j) J₀(_jr) та N₁(_jr) =J₁(_j) Y₁(_jr)  Y₁(_j) J₁(_jr). Тут _j корені рівняння N_1jr₁) = 0. Виконання граничних умов зводить задачу до нескінченної системи відносно невідомих X_n, Y_n, Z_j

(10)

які мають такі асимптотичні значення

. (11)

На основі отриманого розв'язку визначено частотні спектри порожнистого циліндра скінченної довжини для таких характерних значень r₁: 0,2; 0,5; 0,9. Особливість частотних спектрів для r₁=0,2 та 0,5 (рис. 8, 9) полягає в наявності відрізків спектральних кривих, які характеризуються слабкою залежністю частоти від висоти циліндра, як в околі частоти запирання другої дисперсійної вітки, так і значно нижче. Форми коливань на цих останніх відрізках відповідають крайовому резонансу. Порівняння частотних спектрів та форм коливань суцільного та порожнистого циліндрів виявило ряд розбіжностей в прояві крайового резонансу. Порівняння рис. 3, 8 і 9 показує, що у випадку порожнистого циліндра пологі відрізки спектральних кривих, яким відповідає частота _E, із збільшенням r₁ помітно вкорочуються і стають більш похилими. Відповідно збільшується довжина перехідних відрізків. Ці пологі відрізки з'являються при більших значеннях h. Локалізація переміщень біля торця циліндра зменшується не тільки для точок, розміщених на краю цих пологих відрізків, але і в їх центрі. Помітно збільшується амплітуда переміщень в центральній частині циліндра (z=0). Частота крайового резонансу зменшується із збільшенням r₁ і при цьому наближається до частоти запирання другої вітки. Ці зміни особливо помітні для порожнистого циліндра з r₁=0,5. Тут скоріше маємо перехідну форму коливань між крайовою модою і модами, які відповідають спадаючим відрізкам частотних кривих.

Спектральні криві тонкостінного циліндра (r₁=0,9) мають горизонтальні відрізки тільки в околі частоти запирання другої вітки. Форми коливань на цих відрізках не відповідають крайовій моді.

Проведена оцінка ряду прикладних теорій при визначенні частотних характеристик порожнистих циліндрів. Зокрема оцінено можливості теорій одномірних стержнів, розповсюдження хвиль та теорії Кірхгоффа-Лява для тонкостінних циліндрів. Границі застосування прикладних теорій у випадку товстостінних циліндрів обмежуються частотою крайового резонансу. Із прикладних теорій частоту _E визначає теорія «другого порядку» (McNiven, Shah 1966, 1967).

В шостому розділі розглянуто задачі нестаціонарного деформування суцільного і порожнистого циліндрів скінченної довжини. Методика аналізу нестаціонарного деформування циліндра скінченної довжини заснована на використанні розроблених підходів до розв'язку стаціонарної задачі і побудові ефективних алгоритмів обчислення лишків.

Можливості запропонованої методики показано на задачі про нестаціонарне осесиметричне деформування циліндра під дією осьового навантаження виду frF(t), прикладеного на торцях і симетричного відносно площини z=0. Початкові умови нульові. Використання перетворення Лапласа зводить нестаціонарну задачу до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь (НСАР), яка співпадає із системою для стаціонарного випадку, якщо параметр перетворення s=i. Методика розв'язку нескінченних систем відпрацьована в третьому розділі. Характер залежності коефіцієнтів рядів для від параметра перетворення s вказує на можливість використання теорії лишків при обчисленні інтеграла Фур'є-Мелліна. Полюсами коефіцієнтів рядів є корені визначника НСАР, тобто власні частоти циліндра. Методика визначення власних частот та форм коливань скінченного циліндра також відпрацьована раніше (розділ 3).

Нове питання, яке потребує розв'язку, полягає в знаходженні лишків від невідомих НСАР. Труднощі пов'язані з тим, що розв'язок стаціонарної задачі в явному вигляді відсутній. Лишки для невідомих _j цих систем визначаються із співвідношення

яке вказує на спосіб їх обчислення. Використовуючи теорію лишків та теорему про згортку, компоненти вектора переміщень записуємо у вигляді

, ,

(12)

Практичну збіжність рядів в (12) досліджено на задачі про нестаціонарне деформування стержня під дією раптово прикладеного на кінці навантаження. Порівняння розв'язків задачі по методу Даламбера (точний розв'язок) і Фур'є (розкладання по власним формам) показало, що врахування 20 власних частот, обчислених з точністю до 0,01 забезпечує досить задовільну точність скрізь, за виключенням околиці фронта хвилі. В циліндрі наявність дисперсії призводить до розмивання фронту збурень і тому функції, які його описують, будуть більш гладкими, ніж у випадку стержня.

Конкретні обчислення проведено для випадку циліндра з h=3, =0,3 та навантаження

. (13)

Під дією навантаження (13) в циліндрі генеруються коливання з частотою вимушеної сили та набір власних коливань. Їх амплітудні характеристики визначаються ступенем близькості ₀ з однією із власних частот _k). Гострота резонансних явищ суттєво залежить від величини . Дослідження показали, що використання 15 власних частот забезпечує достовірні дані про формування нестаціонарного стану циліндра. У випадку рівномірно навантаженого торця поля переміщень та напружень формуються за рахунок декількох нижчих власних форм. Із даних рис. 10, на якому зображено нормоване осьове переміщення u_z*() в точці r=0,4, z=0,8h для радіусів навантаження r₂=0,5 (штрихова крива) та r₂=0,1 (суцільна крива) при =1, ₀h = , бачимо, що при r₂=0,1 досить чітко проявляється вклад високочастотних складових.

На рис. 11 зображена зміна осьового напруження на осі циліндра для випадку імпульсного навантаження на торці, що описується функціями

(14)

Крива 1 відповідає перетину z=0,8h, крива 2 z=0,65h для r₂=0,1 і ₁=0,2. Перший пік напружень кривої 1 (=0,3) обумовлений приходом прямої зсувної хвилі, наступні-ефектами відбиття та фокусування хвиль. Другий пік напружень (=0,65) можна пов'язати з приходом хвилі розширення PP, третій (=0,9) з приходом трансформованих хвиль PS, SP і RP, четвертий (=1,2) з приходом хвилі зсуву SS, п'ятий (=1,64) з приходом хвиль SPP, PPS, RPP. Тут P хвиля розширення, S зсуву, R Релєя. При віддаленні точки спостереження від торця циліндра піки напружень зміщуються вправо і зменшуються. Мабуть цим можна пояснити руйнування циліндра на скінченному відрізку осі поблизу торця, яке спостерігалось в експериментах Кольського.

Розроблена методика дозволила дослідити нестаціонарне деформування порожнистого циліндра. Проведені обчислення для випадку h=3; r₁=0,5; m=3 і навантаження (13) на торці показали, що поле переміщень формується за рахунок накладання декількох нижчих власних форм. На рис. 12 зображено зміну в часі осьового напруження в циліндрі в точці r=0,9; z=0,8h (суцільна крива) та в одномірному стержні (штрихова крива), функцію F() штрихпунктирною кривою (A₀=1; =1; ₀h=). У випадку стержня покладено A₀=0,1. Помітна якісна відповідність характеру зміни напружень у циліндрі, особливо в стержні, закону зміни F(). Дані рис. 12 показують, що ступінь динамічності стержня значно більший. Пояснюється це як сильною зміною по радіусу власних форм, які вносять основний внесок у формування поля напружень циліндра, так і різним ступенем узгодження спектрів власних частот циліндра і стержня зі спектром зовнішнього навантаження.

В сьомому розділі досліджено закономірності розповсюдження хвиль у пружно-рідинних циліндричних хвилеводах. Рідина вважається ідеально стисливою, циліндр-ідеальним пружним тілом. Досліджено дисперсійні властивості осесиметричних та неосесиметричних хвиль в циліндрі, заповненому рідиною. На основі трьохвимірних розв'язків побудовано дійсні, уявні та комплексні вітки (залежність постійної розповсюдження від частоти ₂) порожнистих циліндрів з r₁=0,3 та 0,8, заповнених рідиною, для n=0,1 i 2. Взаємодія хвильових процесів в рідині і циліндрі при формуванні нормальних хвиль проявляється у вузьких діапазонах частот, для яких співпадають фазові швидкості парціальних систем. При віддаленні від цих точок хвилі є чисто пружними або рідинними. Парціальними є порожнистий циліндр та рідинний хвилевод із жорсткими стінками. Цей висновок підтверджуєтья даними табл. 1, в якій приведено розподілення середнього за період потоку потужності по поперечному перетину рідинного ядра W₀ і пружного циліндра W₁ для точок, помічених хрестиками на рис. 13. Дослідження показали, що в широкому діапазоні частот і постійних розповсюдження енергія, яка переноситься хвилею, зосереджена в пружному циліндрі або рідині.

Таблиця 1. Розподіл енергії по поперечному перетину хвилевода

На рис. 13, 14 показано дисперсійні криві для стального циліндра, заповненого гасом, при r₁=0,3 та 0,8 і n=0. Дійсні та уявні вітки зображено штриховими кривими, проекції комплексних віток - штрихпунктирними. Тонкі суцільні криві відповідають парціальним системам. Частоти запирання рідинних нормальних хвиль позначено кружечками, пружних хвиль-трикутниками. Комплексні дисперсійні криві починаються на статичній площині і закінчуються для r₁=0,3 (рис. 13) на дійсній площині в точках відносного мінімуму дисперсійних кривих. У випадку r₁=0,8 (рис. 14) комплексні криві закінчуються на уявній площині. Окрім цього, появляється ряд комплексних кривих, які починаються і закінчуються в екстремальних точках уявних дисперсійних кривих.

У випадку хвилевода, оточеного пружним або рідинним середовищем, характер розповсюдження хвиль суттєво змінюється. Випромінювання енергії в оточуюче середовище еквівалентне наявності деякого механізму затухання. Вплив оточуючої рідини на властивості нормальних осесиметричних хвиль досліджено для двох випадків: суцільного циліндра, оточеного рідиною, та порожнистого циліндра, заповненого та оточеного рідиною. Потенціал швидкості оточуючої рідини при врахуванні випромінювання на нескінченність має вигляд

. (15)

Тут - функція Ханкеля, C₂ швидкість звуку рідини. Співвідношення (15) породжує комплексне дисперсійне рівняння. В дозвуковій області, де ₂ є уявне, дисперсійне рівняння стає дійсним і може мати дійсні корені. Наявність таких коренів означає існування невипромінюючих в оточуюче середовище хвиль. Врахування просторового характеру рухів дозволило виявити у випадку циліндра, заповненого та оточеного рідиною, наявність двох таких хвиль при C₂C₀. Аналіз кінематичних та енергетичних характеристик цих хвиль показав, що вони еквівалентні поверхневим хвилям Стоунлі. Розподіл нормованих радіальних переміщень u_r*(r)=u_r/|u_rmax| для стального циліндра з r₁=0,3, заповненого гасом та оточеного водою, на частотах ₂=3 (суцільні криві) та ₂=6 (штрихові криві) зображено на рис. 15. Криві 1 відповідають поверхневим хвилям, пов'язаним з внутрішньою поверхнею, криві 2 із зовнішньою поверхнею порожнистого циліндра.

Вивчено вплив фізичних та геометричних параметрів хвилевода на кінематичні та енергетичні характеристики поверхневих хвиль. Енергетичні характеристики поверхневих хвиль наведено в табл. 2, які відповідають дійсним кореням дисперсійного рівняння ₁ і ₂, для даних рис. 15 при r₁=0,3 та 0,8. Тут W_z є сумарний за період потік потужності через поперечний перетин хвилевода, W_z0 потік потужності, що переноситься внутрішньою рідиною, W_z1 циліндром, W_z2 зовнішньою рідиною. Значення потужності нормовані відносно величини D₂. Видно, що при розповсюдженні поверхневої хвилі, яка відповідає кореню ₁, енергія переносится в основному внутрішньою рідиною, кореню ₂ зовнішньою рідиною. Цей ефект стає більш помітним при збільшенні частоти.

Таблиця 2. Енергетичні характеристики поверхневих хвиль

За виключенням поверхневих хвиль всі інші нормальні хвилі є демпфіруючими. Дисперсійний спектр (залежність від ₂) стального циліндра з r₁=0,3, заповненого гасом і оточеного водою, зображено на рис. 16. Відрізняють три групи комплексних коренів: з малою уявною, малою дійсною та рівновеликими дійсною та уявною складовими. Їм відповідають дійсні, уявні та комплексні корені скінченної в поперечному перетині системи (циліндр з рідиною). На відміну від скінченної системи комплексні корені третьої групи розпадаються на дві криві з різними знаками дійсної частини. Ця відмінність особливо помітна в околі тих значень частот та , де в скінченній системі комплексні вітки переходять у дійсні або уявні. Із зменшенням густини оточуючої рідини ці дисперсійні криві зближуються між собою.

Корені першої групи визначають кількісно демпфірування за рахунок випромінювання. Встановлено нерегулярний характер залежності величини радіаційного демпфірування від частоти, що обумовлено зміною співвідношень амплітуд радіальних і осьових переміщень в нормальній хвилі. Хвилі з превалюючим осьовим переміщенням на зовнішній поверхні циліндра (r=1) практично не випромінюють в оточуюче середовище. Як і у випадку циліндра з рідиною в діапазоні частот, де дисперсійні криві близькі до парціальних рідинних кривих, майже вся енергія переноситься внутрішньою рідиною. На рис. 17 показана залежність величини E_f від частоти для перших трьох нормальних хвиль 1⁺, 2⁺, 3⁺ в діапазоні частот 4,5 ₂ 6,5. Тут E_f є відношення середніх за період потоків потужності через поперечний перетин внутрішньої рідини до сумарної потужності, що переноситься внутрішньою рідиною і порожнистим циліндром. Перша нормальна хвиля (крива 1⁺) при частоті ₂=5,8 стає практично рідинною і при подальшому зростанні частоти величина E_f наближається до одиниці (при ₂=6??E_f=0,958). Друга і третя нормальні хвилі є рідинними на обмеженому відрізку частот. Максимальні значення E_f та ширина частотного діапазону для кривої 2⁺ більші ніж для кривої 3⁺.

В восьмому розділі розглянуто питання збудження хвильового поля точковим гармонійним джерелом на осі циліндра, заповненого і оточеного рідиною. Розв'язок задачі одержано за допомогою перетворення Фур'є. В області відносно малих частот значення шуканих величин можуть бути отримані прямим чисельним інтегруванням. У високочастотній області та дальньому полі доцільний перехід до контурних інтегралів в комплексній площині.

На комплексній площині = +i підінтегральні вирази шуканих величин мають полюси в точках = _j, де _j - корені дисперсійного рівняння, та чотири точки розгалуження _1,2 = k₀, _3,4 = k₂. Тоді інтеграл Фур'є по дійсній осі виражається через суму двох доданків: суму лишків та інтегралів по берегам розрізів. Перехід до контурного інтегрування дозволяє визначити потенціал швидкості зовнішньої рідини в дальньому полі (r 1) і на границі контакту рідини і циліндра (r=1)

(>>1), (16)

(r=1). (17)

Відповідно до (16) напрямленність випромінювання визначається комплексною функцією

. (18)

Кутові залежності потенціала швидкості зовнішньої рідини визначено для стального циліндра з r₁=0,3 і 0,8 та випадків рідин: гас-вода, вода-гас і вода-вода для декількох значень частот. На рис. 18 показано кутові залежності ₂⁰() для випадку гас-вода. Суцільні криві відповідають частоті ₂=2, штрихові - ₂=8. Діаграми напрямленності характеризуються «порізанністю». Наявність вузьких областей прозорості циліндра визначається перш за все нерегулярною залежністю радіаційного демпфірування від частоти. Тільки для тонкостінного циліндра (r₁=0,8) і ₂=2 спостерігається високий рівень випромінювання в широкому діапазоні частот. Із збільшенням густини внутрішньої рідини зростає загальна прозорість циліндра. Характер кутового розподілення величин суттєво залежить від геометричних та фізичних параметрів хвилевода і частоти джерела.

Дослідження енергетичних характеристик хвилевода показало, що залежність величини потужності випромінюваної джерелом енергії від частоти є нерегулярною. Визначено енергетичну вагомість поверхневих хвиль Стоунлі в загальному енергетичному полі хвилевода. Обчислення проведено для даних рис. 18 при r₁=0,3. Середній за період потік потужності в осьовому напрямку біжучих (поверхневих) хвиль W_z і відношення W^*=W_z / W_дж (W_дж потужність джерела) мають такі значення: при ₂=2 W_z=0,191, W^*=0,834; при ₂=4 W_z=0,189, W^*=0, 165; при ₂=6 W_z=0,187, W^*=0,077. Отже, із збільшенням частоти величина енергії, яка переноситься біжучими хвилями, зменшуєтья. Цей ефект більш чітко виявляється по відношенню до внутрішньої поверхневої хвилі. Енергетична вагомість поверхневих хвиль у випадку ₂=2 відображена також суцільною кривою на рис. 18.

Висновки

В дисертації отримано наступні основні наукові та практичні результати:

1. Подальший розвиток одержав метод суперпозиції стосовно стаціонарної змішаної та нестаціонарної граничних задач для циліндра скінченної довжини.

2. Одержано точні розв'язки ряду просторових граничних задач гармонійних коливань суцільного та порожнистого скінченних циліндрів і на основі аналізу цих розв'язків встановлено нові особливості хвильових процесів в області високих частот, зокрема:

частотний спектр згинних коливань круглої пластини із вільним краєм характеризується порушенням регулярної залежності частоти від радіуса в околі частоти запирання другої дійсної дисперсійної кривої, яка має додатню кривизну;

для першої основної граничної задачі частотний спектр циліндра характеризується наявністю частоти крайового резрнансу в області частот, де існує одна біжуча хвиля, а також існуванням частот, значення яких зростає із збільшенням довжини циліндра, в області між критичною частотою «зворотньої хвилі» та частотою запирання цієї хвилі;

перша спектральна крива закріпленого по бічній поверхні циліндра, якій відповідає частота крайового резонансу, розміщена в області частот, в якій відсутні біжучі хвилі. Виявлено відмінності в прояві крайового резонансу в циліндрах із закріпленою і вільною бічними поверхнями. Крайова мода закріпленого циліндра формується на основі тільки неоднорідних хвиль. При цьому суттєвий вклад вносять форми, які відповідають першій уявній дисперсійній вітці, для вільного циліндра-форми першої комплексної вітки. Вплив неоднорідних хвиль в закріпленому циліндрі проявляється в широкому діапазоні частот, які включають другу і третю власні частоти. В циліндрі із вільною бічною поверхнею їх вплив проявляється тільки у вузькому околі частоти крайового резонансу;

частотний спектр циліндра з кінематично збудженими торцями характеризується нерегулярною залежністю частоти від довжини циліндра в області частот запирання другої та третьої біжучих хвиль;

для першої основної граничної задачі проведено кількісну оцінку впливу величини відносного внутрішнього радіуса порожнистого циліндра r₁ на дисперсійні властивості нормальних хвиль та на особливості формування частотного спектра, які проявляються в тому, що збільшення r₁ викликає: пониження частоти запирання другої біжучої хвилі, якій відповідає «зворотна хвиля», і її зникнення при r₁0,5 (=0,3); пониження частоти крайового резонансу скінченного циліндра і її наближення до частоти запирання другої дисперсійної вітки; зменшення локалізації інтенсивних переміщень біля торця циліндра, що обумовлює зникнення крайового резонансу в частотному спектрі тонкостінного циліндра;

для першої основної граничної задачі на основі аналізу частотних спектрів круглої пластини, суцільного та порожнистого циліндрів можна допустити існування зв'язку між наявністю нормальної хвилі із протилежними знаками фазової і групової швидкостей («зворотної хвилі») в дисперсійному спектрі відповідного хвилевода і частотою крайового резонансу в частотному спектрі скінченного тіла в області частот, в якій існує одна біжуча хвиля.

3. Розроблено методику аналізу нестаціонарного просторового хвильового поля в циліндрах скінченної довжини та на її основі проведено кількісну оцінку ефектів фокусування хвиль на осі скінченного циліндра; встановлено кількісні зв'язки між характеристиками негармонійних хвильових полів переміщень і напружень в суцільному і порожнистому циліндрах в залежності від зовнішнього навантаження та величини площадки навантаження. Зменшення площадки навантаження і часу його дії викликає появу високочастотних складових в хвильових негармонійних полях скінченних циліндрів.

4. Встановлено закономірності розповсюдження нормальних хвиль в пружно-рідинних циліндричних хвилеводах, які проявляються в наступному:

для циліндра, заповненого рідиною, типовим є зосередження енергії, що переноситься нормальною хвилею, в пружньому циліндрі або рідині; хвилі із сильним зв'язком рухів існують у вузьких діапазонах частот, в околі яких співпадають фазові швидкості парціальних систем;

в хвилеводах, оточених акустичним середовищем, хвильові рухи є затухаючими; встановлено нерегулярний характер залежності величини демпфірування за рахунок випромінювання від частоти, який обумовлений зміною співвідношення амплітуд радіальних та осьових компонент переміщень в нормальній хвилі; хвилі з переважно осьовим рухом на границі контакту слабо випромінюють в оточуюче середовище; виявлено існування частот, при яких оточуюча рідина не чинить суттєвого впливу на розповсюдження хвиль;