Нелінійна стійкість багатоланкових систем з коченням, дивергентні біфуркації та катастрофи стаціонарних станів

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут механІки ім. С.П. Тимошенка

УДК 531.011

НЕЛіНійНА СТійКіСТЬ БАГАТОЛАНКОВИХ СИСТЕМ З КОЧЕННЯМ, ДИВЕРГЕНТНі БіФУРКАЦії ТА КАТАСТРОФИ СТАЦіОНАРНИХ СТАНіВ

01.02.01 - теоретична механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

ВЕРБИЦЬКИЙ Володимир Григорович

Київ 1998

АНОТАЦІЯ

Вербицький В.Г. Нелінійна стійкість багатоланкових систем з коченням, дивергентні біфуркації та катастрофи стаціонарних станів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 1998.

Дисертація присвячена розробці методів аналізу k-параметричних сімей стаціонарних станів багатоланкових систем з коченням. Подаються нелінійні постановки задач динаміки систем з коченням, які дозволяють врахувати вплив конструктивної схеми, існуючих дефектів її симетрії та зовнішніх силових збурень на одну з найбільш суттєвих в експлуатаційній практиці характеристик множину стаціонарних станів та умови їх стійкості; розвиваються аналітичні та чисельні алгоритми побудови границі статичної стійкості в просторі двох та трьох параметрів, визначається характер безпеки границі та механізм його зміни на основі аналізу перебудови особливостей поверхонь стаціонарних станів (катастроф).

Ключові слова: нелінійна стійкість, багатоланкові системи з коченням, стаціонарні стани, дивергентні біфуркації, катастрофи.

АННОТАЦИЯ

Вербицкий В.Г. Нелинейная устойчивость многозвенных систем с качением, дивергентные бифуркации и катастрофы стационарных состояний. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 1998.

Диссертация посвящена разработке методов анализа k-параметрических семейств стационарных состояний многозвенных систем с качением. Приводятся нелинейные постановки задач динамики систем с качением, которые позволяют учесть влияние конструктивной схемы, имеющихся дефектов симметрии и силовых возмущений на одну из существенных в эксплуатационной практике характеристик множество стационарных состояний и условия их устойчивости; развиваются аналитические и численные алгоритмы построения границы области статической устойчивости в пространстве двух и трех параметров, определяется характер опасности по Н.Н. Баутину границы области устойчивости в пространстве параметров и механизм его изменения на основе анализа перестроек особенностей поверхности стационарных состояний.

Ключевые слова: нелинейная устойчивость, многозвенные системы с качением, стационарные состояния, дивергентные бифуркации, катастрофы.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена розробці нових методів дослідження стійкості багатовимірних динамічних систем, що моделюють багатоланкові колісні екіпажі, в критичному за О.М. Ляпуновим випадку одного нульового кореня, побудові границі області стійкості в просторі параметрів та з'ясуванню механізму зміни характеру безпеки границі в просторі параметрів.

Актуальність і ступінь дослідженості тематики дисертації. Необхідність в проведенні досліджень з тематики дисертації викликана, в першу чергу, широким застосуванням в практиці проектування колісних екіпажів (в тому числі в системах автоматичного проектування) методів аналізу стійкості та керування, а також в недостатній розробці відповідних теоретичних засад та програмного забезпечення (аналіз стаціонарних станів при зміні керованих параметрів, вплив різного роду дефектів, визначення набору характерних внутрішніх параметрів, зміна яких може призвести до якісних змін динамічної поведінки системи) - особливо щодо багатовимірних нелінійних систем з неєдиним стаціонарним станом, якими і є розглянуті в дисертаційній роботі моделі багатоланкових систем з коченням.

Об'єктом досліджень є плоска n+1-ланкова шарнірно з'єднана система, що являє собою узагальнену модель багатоланкового автопоїзду. Перша (ведуча) ланка рухає n ведених ланок. На кожну з них в точці контакту з опорною поверхнею через (приведене) колесо діє слідкуюча сила, що відповідно до концепції І. Рокара залежить від так званого кута бокового відведення ( пружне колесо може без ковзання перекочуватись під малим кутом до своєї площини Ї явище бокового відведення).

І. Рокар схематизував кочення пружного пневматика таким чином, щоб воно входило у рамки теоретичної механіки: колесо розглядається як абсолютно тверде тіло, що має властивість бокового відведення; до активних сил додаються сили опору боковому відведенню, тобто механічна система голономізується.

В дисертаційній роботі використовується нелінійна гіпотеза відведення, що відбиває основні властивості сили опору боковому відведенню як функції кута відведення: лінійність для малих кутів відведення; характер функції насичення для великих значень кутів відведення. Це дозволяє провести аналіз динамічних якостей моделі у широкому колі можливих значень керованих параметрів.

Одним з визначальних факторів при побудові конструктивної схеми багатоланкового автопоїзду є його “керованість”, складовими якої є: шляхова стійкість в прямолінійному та кругових стаціонарних режимах, а також здатність “вписуватися” у відведений габаритний коридор. Наявні системи автоматизованого проектування ще далекі від досконалості і потребують розвинення програмного забезпечення щодо розв'язання задач “глобальної” керованості та стабілізації, розробки алгоритмів всеколісного керування і засобів їх тестування.

Вперше коректні розгорнуті нелінійні диференціальні рівняння руху узагальненої моделі n+1-ланкового автопоїзду отримані відносно недавно (1984 р.) Л.Г. Лобасом. Дослідженням керованості багатоланкових систем у малому околі прямолінійного руху (де придатна лінійна гіпотеза відведення) займались Лобас Л.Г., Гродко Л. Н., Єчеістов Ю. А., Лєвін Н.Е., Аюпов В.В., Маланін В.В., Хачатуров А.А., Фаробін Я.Е., Безбородова Г.Б.,Сахно В.П., Вакуліч А.И., Ellis J., Vlk F., Slibar A., Mallikarjunarao C., Fancher P., Wong J.V. та інші. Підсумком аналізу шляхової стійкості та вписувамості для найбільш узагальненої моделі автопоїзду виявився вираз критичної швидкості прямолінійного руху і значення фазових змінних, що відповідають стаціонарним круговим рухам достатньо великого радіусу (Лобас Л.Г.).

При нелінійному розгляді критичному значенню параметра швидкості на біфуркаційній діаграмі відповідає точка розгалуження стаціонарних станів (біфуркація “виделки”). З огляду на загальні положення теорії особливостей (Уїтні, Р. Том), її реалізація при зміні одного параметра можлива лише за умови симетрії системи. Порушення симетрії призводить до її зникнення натомість з'являється точка “звороту”. Наочну геометричну картину цих змін дає катастрофа “зборки”, яка неусувна в просторі двох параметрів ( у загальному випадку узагальнена зборка Уїтні, яка потребує відповідного збільшення вимірності простору параметрів ).

Задача про топологічну структуру розподілення фазового простору траєкторіями нелінійної динамічної системи (нелінійна гіпотеза відведення) розглядалася лише для моделі однієї ведучої ”ідеальної” ланки ( Pacejka H.B., Kane T.R., Man G.K., Sachs H.K., Chou C.C., Singh M.). Знаходження кругових стаціонарних станів, що відповідають скінченним значенням кута повороту керованих коліс, та аналіз їх стійкості спирались на графічний метод (Певзнер Я.М.). Були відсутні явні аналітичні умови стійкості кругових стаціонарних станів .

Еволюцію стаціонарних станів нелінійної дволанкової та триланкової моделей автопоїзду при зміні одного параметру (кута повороту керованих коліс) чисельним методом продовження по параметру аналізували Zeman K., Тарнопольська Т.І., Ващенко Ю.Л., Барилович Е. Л. Точкам “звороту” на гілці стаціонарних станів відповідає зміна стійкості кругового режиму, яка відбувається через біфуркацію “згортки”, типової при зміні вже одного параметра.

Побудова біфуркаційної множини - множини точок на площині керованих параметрів, наприклад, поздовжньої швидкості центру мас (v) і кута повороту керованих коліс (), яким відповідають точки “звороту”, дала б повну картину зміни шляхової стійкості кругових стаціонарних станів.

Залишались нерозвинені також методи якісного аналізу, які дозволяли б врахувати вплив конструктивної схеми, існуючих дефектів її симетрії та зовнішних силових збурень на одну з суттєвіших в есплуатаційній практиці характеристик множину стаціонарних станів та умови їх стійкості.

Втрата шляхової стійкості прямолінійного руху частковий і найбільш простий для аналізу (відповідна матриця лінійного наближення легко може бути одержана і визначені умови існування нульового власного значення) випадок втрати стійкості кругових стаціонарних рухів достатньо великого радіусу. В останньому випадку необхідно ще визначити значення фазових змінних відповідних стаціонарних станів. Ясно, що значення критичної швидкості, якому відповідає втрата шляхової стійкості кругового режиму при малих кутах повороту керованих коліс, знаходиться в малому околі критичної швидкості прямолінійного режиму. Визначення цієї залежності на площині керованих параметрів (v, ) дало б локальну картину згаданої вище біфуркаційної множини в околі критичної швидкості прямолінійного руху. Найпростіший випадок цієї залежності півкубічна парабола (Troger H., Scheidl R.).

Біфуркації стаціонарних станів в околі прямолінійного руху дволанкової моделі досліджували Лобас Л.Г., Хребет В.Г., Ковальчук В.В., Troger H., Scheidl R., Stribersky A., Kacani V., Zeman K. та інші. Та по цей час відсутні загальна методологія аналізу дивергентних біфуркацій і рецепти побудови біфуркаційних множин в аналітичному вигляді хоча б для випадку однієї ведучої ланки.

Наведений вище аналіз характеризує стан проблеми і ступінь розробки по тематиці дисертації.

Таким чином, як з теоретичної, так і з практичної точок зору тема дисертаційної роботи, що присвячена розробці методів аналізу k-параметричних сімей стаціонарних станів багатоланкових систем з коченням, є актуальною.

Роботи із зазначеної тематики належать до планових досліджень, що проводяться в Інституті механіки імені С.П. Тимошенка Національної академії наук України.

Мета роботи полягає в побудові областей статичної стійкості k-параметричних сімей стаціонарних станів багатоланкових систем з коченням і визначенні характера безпеки границі (по М.М. Баутіну), а саме:

визначення характерних особливостей (катастроф максимально можливого рангу) поверхонь рівноважних станів в околі кратної особливої точки, що виникає в критичному за О.М. Ляпуновим випадку одного нульового кореня;

побудова відповідних їм біфуркаційних множин та виявлення механізму зміни характеру безпеки границі області стійкості в просторі параметрів. Наведені положення реалізовані особисто дисертантом.

Наукова новизна результатів роботи полягає: в ідентифікації катастроф поверхонь стаціонарних станів на основі аналізу порядку точки дотику кривих, що визначають стаціонарні стани системи, на початку координат та в проведенні аналогії між порядком виродження нелінійних членів по критичній змінній (критичний за О.М. Ляпуновим випадок одного нульового кореня) і рангом відповідної катастрофи А_k ; у розробці регулярного методу аналітичної побудови біфуркаційної множини в околі трикратного стаціонарного режиму (півкубічна парабола на площині двох параметрів); у виявлені механізму зміни характеру безпеки (за М.М. Баутіним) у критичному за О.М. Ляпуновим випадку одного нульового кореня на основі аналізу перебудови особливостей поверхонь стаціонарних станів відповідних катастроф; у реалізації наведених методів для певного класу динамічних систем, що моделюють багатоланкові системи з коченням аж до побудови біфуркаційних множин в явній або параметричній формах, їх візуалізації в просторі двох та трьох параметрів , визначення явних з точки зору аналізу впливу параметрів співвідношень, що відповідають за характер безпеки границі області стійкості в просторі параметрів результати отримані вперше для данного класу задач.

Теоретичне та практичне значення одержаних у роботі результатів полягають:

- у спрощенні алгоритму знаходження умов стійкості в критичному випадку одного нульового кореня при деяких обмеженнях на систему і можливості одержання явних, з точки зору впливу параметрів, умов стійкості;

- у виявленні закономірностей побудови біфуркаційних множин в околі симетричного розв'зку в критичному випадку одного нульового кореня та зміні характеру безпеки границі стійкості в просторі параметрів за М.М. Баутіним;

- у розробці методів побудови біфуркаційних множин дво- та трипараметричних сімей стаціонарних станів (знайдені у явній або параметричній формі біфуркаційні множини можуть слугувати тестами при апробації наближених методів);

- у можливості застосування розвинутих методів аналізу при проектуванні, прогнозуванні динамічної поведінки та оптимізації (з точки зору стійкості та поворотності) параметрів багатоланкових автопоїздів, транспортних роботів для автоматизованого виробництва, а також робототехнічних систем спеціального виду;

- розроблені програми, що реалізують чисельний метод побудови біфуркаційних множин для моделей одноланкового та дволанкового екіпажів, можуть бути використані для тестування ефективності алгоритмів всеколісного управління.

Результати досліджень , що проведені в дисертації, увійшли складовою частиною до звітів про науково-дослідні роботи відділу стійкості процесів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України з таких тем:

договір № 274 “Дослідження керованості, стабілізовності та поворотності багатоланкових автопоїздів”, строк виконання 1985р.; договір № 317 “Дослідження стійкості багатоланкового автопоїзду в режимі гальмування”, строк виконання 1986 - 1989 рр.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на таких наукових конференціях: Респ. конф.”Динаміка твердого тіла” (Донецьк, 1990 р.), ”Моделювання складних механічних систем” (Ташкент,1991 р.), V Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука (Київ, 1996р.), Українська конференція “ Моделювання та дослідження стійкості систем (Київ, 1994 р., 1995 р., 1997 р.), II Міжнародна науково - технічна конференція “ Актуальні проблеми фундаментальних наук” (Москва,1994 р.).

У завершеному вигляді дисертаційна робота доповідалась і обговорювалась на семінарі відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України (керівник - чл.- кор. НАН України І.О. Луковський, Київ, 1998 р.), на загально-інститутському семінарі з механіки деформівних систем і загальній механіці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (керівник - академік НАН України О.М. Гузь, Київ, 1998 р.), на семінарі відділу динаміки систем Інституту прикладних проблем математики і механіки НАН України (керівник - чл.- кор. НАН України С.П. Харламов, Донецьк, 1998 р.), на семінарі “Динаміка та отимізація керованих систем” Інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України ім. Я.С. Підстригача (керівник - д.ф.-м.н., проф. В.Є. Берб'юк, Львів, 1998 р.) і здобула позитивну оцінку.

Публікації та особистий внесок здобувача. За результатами дисертації опубліковано 51 наукову працю. Основний зміст роботи відображено в публікаціях [1- 22], в тому числі одній монографії (у співавторстві). В роботі [1] (глави ІІІ - ІV) та працях [6-20], які написані у співавторстві з науковим консультантом, доктором фіз.-мат. наук, професором Л.Г. Лобасом, співавтору належать теоретичні положення, що покладені в основу постановок задач, перевірка та обговорення результатів. Здобувач розробив підходи і розв'язав задачі, побудував алгоритми і отримав чисельні результати. В роботі [21] Л.Г. Лобасу належить загальний задум проведення досліджень, вивід рівнянь руху, вираз для критичної швидкості, автору належить аналітичне дослідження умов виникнення флаттерної втрати стійкості, проведення чисельного моделювання. В роботі [22] Л.Г. Лобасу належить загальний задум проведення досліджень, вираз для критичної швидкості n+1-ланкової системи, дослідження біфуркацій граничного циклу, В.П. Сахно та Є.Л. Бариловічу належить експериментальна перевірка та обговорення результатів , автору належить аналіз дивергентних біфуркацій.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, шести розділів, висновків і списку використаної літератури із 183 найменувань, включає 58 рисунків, розміщених на 54 сторінках. Загальний об'єм дисертації 252 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому консультантові, завідувачу кафедри теоретичної і прикладної механіки Київського інституту залізничного транспорту доктору фіз.-мат. наук, професору Л.Г. Лобасу за постійну увагу до роботи і корисні поради при її написанні.

2. КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику дисертації: розкрито сутність і стан наукової проблеми; обгрунтовано необхідність проведення досліджень і відзначено актуальність теми дисертації; сформульована мета роботи; відзначено новизну одержаних результатів та їх теоретичне і практичне значення.

У першому розділі проведено огляд літератури за темою дисертації. Вказано на літературні джерела, що стосуються основних напрямків досліджень багатовимірних динамічних систем і, зокрема, багатоланкових систем з коченням. Закінчується розділ коротким резюме стосовно необхідності розв'язання поставлених в дисертації питань і сформульовані основні задачі.

У другому розділі подано метод приведення системи скінченних рівнянь, які визначають стаціонарні стани n+1 -ланкового автопоїзда до еквівалентної системи, що дозволяє декомпозицію на n+1 підсистем, незалежних в лінійному наближенні (його реалізація має місце в околі прямолінійного руху). Рівняння, що визначають стаціонарні стани n+1-ланкової системи є моментними умовами рівноваги ведених ланок відносно вертикальної осі (ось проходить через точку зчеплення з попередньою ланкою). До кожної ланки прикладені відповідні реакції Y_i(_i) опорної поверхні , поздовжня сила інерції J_k = -i_k J_k , J_k = m_k u_k , бокова сила інерції J ' _k = -j_k J '_k , J_k = m_k v_k , сила реакції з боку слідуючої позаду ланки . При визначенні поперечних складових сил реакцій, прикладених в точках зчеплення позаду відповідної ланки, не враховуються складові, розклад яких в ряди за ступенями змінних u, , _i починається з членів вище третього порядку:

Y'_n-1= J_n sin_n, Y' _n-2= - Y`_n-1 c_n-1 d_n-1^-1 cos_n-1 + (J_n cos _n+ J _n-1) sin_n-1,

Y'_n-3= - Y`_n-2 c_n-2 d_n-2^-1 cos_n-2 + [(J_n cos _n+ J _n-1)cos _n-1 +J_n-2] sin_n-2 ,...

Починаючи з Y'_n-1 (в точці О_n ), послідовно визначаються всі Y'_n-k . Для поперечної складової сили реакції Y' = j₀ Y', в точці О₁ , одержимо вираз :

Головна частина розкладу функції Y'(,u,₁,...,_n ) у ряд Тейлора в околі точки (0,0,...,0) Rⁿ⁺² має вигляд

(2.1)

З точністю до членів першого порядку знаходимо

(2.2)

В лінійному наближенні сила реакції опорної поверхні Y_k+2( _k+2), що діє на k-ту ведену ланку, врівноважується поперечною складовою сили інерції J'_k . Отже, в стаціонарному русі

. (2.3)

Вираз (2.1) набуває вигляду

. (2.4)

Враховуючи (2.3), з (2.2) знайдемо

(2.5)

Підставивши (2.5) в (2.4), одержимо

Y'= Y'(u,)+...

Отже, задача про стаціонарні стани ( n +1)-ланкової системи з точністю до членів третього порядку зводиться до аналогічної задачі для приведеної ведучої ланки, на яку в точці О₁ діє сила Y' = j₀ Y':

(2.6)

Отже, необхідні умови стійкості нульового розв”язку системи (2.1) - (2.3) порядку 2(n+1) свівпадають з умовами стійкості нульового розв'язку для моделі приведеного ведучого звена (система другого порядку). У символічному запису біфуркації на початку координат при неперервній зміні швидкості поздовжнього руху n+1-ланкової системи можно представити

O^2(n+1),0 + (O₁^2n+1,1 , O₂^2n+1,1 ) O^2n+1,1 ,

O^2(n+1),0 O^2n+1,1 +(O₁^2(n+1),0 , O₂^2(n+1),0 ),

де О^p,q - особлива точка системи. Характеристичне рівняння в її околі має p коренів з від”ємними дійсними частинами і q з додатніми ( p+q = 2(n+1)) .

Критичному значенню параметра швидкості на біфуркаційній діаграмі відповідає точка розгалуження стаціонарних станів (біфуркація “виделки”). Відповідно до загальних результатів теорії особливостей, її реалізація при зміні одного параметра можлива при наявності симетрії системи. Втрата симетрії призводить до її зникнення - з'являються натомість точки “звороту”. Наочну геометричну картину змін, що виникають, дає катастрофа зборки.

У третьому розділі подається регулярний метод побудови біфуркаційної множини в околі трикратного стаціонарного режиму динамічної системи

dx / dt = f(x, v, ) , (3.1)

де x R² , f: R² R₊ R R ² и v R₊ , R , причому

f(-x, v, -) = - f(x, v ,) при всіх v R_{+ .}

Якщо f(x, v, ) - достатньо гладка функція по змінній стану x, то.

x₁ =ax₁+bx₂+a₃₀x₁³+a₂₁x₁² x₂+a₁₂x₁ x₂²+a ₀₃x₂³ +a₅₀x₁⁵+...

x₂ =cx₁+dx₂+b₃₀x₁³+b₂₁x₁² x₂+b₁₂x₁ x₂² + b₀₃x₂³+b₅₀x₁⁵+...

Хай при v = v_kp матриця системи рівнянь лінійного наближення має одне нульове власне значення. Показано, що множина стаціонарних станів в околі симетричного розв'язку системи (3.1) визначається “укороченим” рівнянням

x³ + x + = 0, (3.2)

де 0, = (v ); функція () характеризує асиметрію системи при 0. Зміна характера безпеки границі області стійкості симетричного розв'язку може відбутися лише при зміні знаку коефіцієнту (вираз для відрізняється від g₃ постійним множником).

Загальний вигляд коефіцієнтів визначального рівняння системи (3.2) такий:

 = ( c- da/b),

= [b³(bb₃₀ - da₃₀ ) + ab²(da₂₁ - bb₂₁ ) + a²b(bb₁₂ - da₁₂ ) +a³(da₀₃ - bb₀₃ )] / b⁴.

Якщо в останній вираз підставити співвідношення d = cb / a, що має місце в критичному випадку, то з точністю до постійного множника результат співпаде з g_{3 :}

_kp=[b³(ab₃₀ -ca₃₀) +ab²(ca₂₁ - ab₂₁) + +a²b(ab₁₂ - ca₁₂) +a³(ca₀₃ -ab₀₃)]/ab³ .

Щоб визначити механізм змін у випадку = 0 ( тоді g₃ = 0) , треба до системи (3.2) додати члени п'ятого порядку. В кратних точках поверхні катастрофи (критична множина катастрофи) якобіан системи (3.1) перетворюється в нуль має місце статична зміна стійкості. Рис.3.1, а, б та рис.3.2 , а, б ілюструють побудову поверхні рівноваги і відповідні їм біфуркаційні множини (члени п'ятого порядку можуть вносити нову якість навіть при 0). Попри все, локальна картина біфуркаційної множини ( 0) буде відповідати дискримінантній множині кубічного рівняння (3.2).

Далі наведено аналітичний підхід, що розвиває суто геометричний метод аналізу стаціонарних станів моделі “ідеального” поодинокого екіпажу (Я.М. Певзнер). Стаціонарним станам відповідають точки перетину “нерухомої” кривої (у розглянутому вище методі цією “нерухомою” кривою було її наближення - кубічне або до членів п”ятого порядку) і прямої, положення якої залежить від значень параметрів поздовжньої швидкості та кута повороту керованих коліс:

(3.3)

Вперше в роботі [ 8 ] встановлено, що многовидом стаціонарних станів при зміні параметрів є глобальна зборка (рис.3.1, а ). В околі прямолінійного руху існує трійка стаціонарних станів, малим змінам параметру (кута повороту керованих коліс) може відповідати кінцевий стрибок стаціонарних станів на поверхні рівноваги - “катастрофа” стаціонарних станів . Геометричне місце точок в площині параметрів, яким відповідають ці катастрофічні зміни, є півкубічна парабола з точкою повернення (рис.3.1, в). Її аналітичне представлення розглядається далі (розділ 4) .

Функцію ₂ - ₁ = G(Y), обернену функції Y=Y(₂ - ₁), одержимо як різницю двох функцій ₂ = G₂(Y₂) та ₁ = G₁(Y₁), обернених початковим функціям Y₁=Y₁(₁) та Y₂=Y₂(₂). Тоді визначальне рівняння (3.3) перейде в таке:

(3.4)

На відміну від геометричного методу, “нерухома” крива може знаходитись в аналітичному вигляді, що дає можливість одержати точні розв”язки при аналізі кругових стаціонарних станів. Так, в аналітичній формі значення радіусу повороту має вигляд

,

де

.

Останнє рівняння може мати три розв'язки, яким відповідатимуть як стійкі, так і нестійкі стаціонарні стани. У випадку лінійної постановки радіус задається співвідношенням

.

Нелінійний аналітичний підхід приводить до останньої формули, якщо прийняти лінійну гіпотезу відведення

_i = G_i(Y )= Y/k_i ,

₂ - ₁ = G(Y) =[(k₁ - k₂)/k₁ k₂]Y.

Далі визначається мінімальний радіус повороту, якому відповідає стійкий круговий стаціонарний стан на рівноважній поверхні зборки. В параметричній формі (- <Y< < ) розв'язок має вигляд ( - коефіцієнт кулонового тертя)

(v<v_kp)

Відповідні йому значення параметрів швидкості та кута повороту коліс лежать саме на згаданій вище півкубічній параболі.

Розділ завершує якісний аналіз стаціонарних станів моделі симетричного “ідеального” екіпажу при довільних значеннях кута повороту коліс. Встановлено існування двох гілок стаціонарних станів. Максимальна кількість стаціонарних станів дорівнює п'яти; залежно від початкових умов може реалізовуватись один з трьох стійких кругових режимів.

Четвертий розділ присвячено розвитку графоаналітичного методу на випадок моделі екіпажу з дефектами симетрії: наявність сталої бокової сили, сталого момента сил відносно верикальної осі, асиметрії розподілу мас. На основі розробленого методу розв”язана в нелінійній постановці задача про парирування дії сталої бокової сили та момента, задача про розподіл стаціонарних станів моделі екіпажа з асиметрією центру мас. Розв'язок задачі про парирування сталої сили та момента сил поворотом керованих коліс при лінеаризації співпадає з відомим розв'язком, що був одержаний для лінійної моделі.

Узагальнені рівняння, що визначають стаціонарні стани екіпажу при наявності дефектів симетрії, мають вигляд

(4.1)

Тут - бокове зміщення центру мас; Q - сила; М - момент сил. Визначимо кутову швидкість щ та бокову швидкість центру мас u через кути відведення:

Розглянемо послідовно три випадки, коли з трьох параметрів Q, М і ненульовим є лише один.

І. Q 0. При наявності сили стаціонарні стани є розв'язками системи:

 (4.2)

На площині змінних _{2 - 1} та Y стаціонарним станам відповідають точки перетину “нерухомої” кривої та прямої, положення якої залежить від трьох параметрів v, , Y. Прямолінійному стану відповідає розв'язок

Y(_{2 - 1} ) = - Q.

Для його реалізації необхідно повернути колеса на кут ₀ (пряма 2), причому ₀ > 0 (поворот в сторону дії сили) у випадку k₁ > k₂ (рис.4.1, в) і ₀ < 0 (поворот в сторону, протилежну дії сили) у випадку k₁ < k₂ (рис.4.1, г). Значення кута ₀ визначається виразом

₀ = - (_{2 - 1} )₀,

де (_{2 - 1} )₀ - розв'язок рівняння Y(₂ - ₁ ) = - Q. Розв'язок може бути одержаний в аналітичному вигляді після переходу до обернених функцій ₂ = G₂(Y) та ₁ = G₁(Y):

₀ = (₂ - ₁)₀ = G(Q).

Розв'язок має цікаву геометричну інтерпретацію співпадає з функцією, оберненою до функції Y=Y(2 - 1). Максимальна сила, яку можливо парирувати таким чином, не повинна перевищувати максимально можливу силу зчеплення з опорною поверхнею. У цьому разі дія бокової сили не змінює картини стаціонарних стаціонарних станів системи (кількість стаціонарних станів може дорівнювати 3 або 1), але може суттєво впливати на їх стійкість.

II. M0. У разі дії сталого моменту сил відносно вертикальної осі з'являються якісні зміни залежно від величини момента змінюється нерухома крива. Кількість стаціонарних станів може дорівнювати 4 , 2 або 0 (рис.4.2).

Основні співвідношення мають вигляд:

Y₁= Y₁(₂- ₁): Y₁(₂- ₁)=Y₁(₁) =Y₂(₂) - M.

Значення _о визначається рівнянням ₀ = -(₂-₁)₀ , де (₂-₁)₀ - розв'язок рівняння Y₁(₂-₁)= -Mal^-1. В термінах оберненої функції маємо ₀ =-G.

III.0. Якщо a=b, то в рівнянні змінні ₁ и ₂ легко розділити. Введемо нову функціюY= Y(₂-₁) таку, щоб

З першого рівняння системи (4.2) одержимо визначальне рівняння:

Біфуркації згортки в околі v=v_kp визначаються членами не вище другого порядку:

Відповідний відрізок ряду має вигляд:

Корені визначального рівняння вказують на біфуркацію згортки при v=v₊ , але стаціонарні стани при цьому не зникають.

У п'ятому розділі наводиться геометрична інтерпретація умов стійкості в критичному випадку одного нульового кореня при деяких обмеженнях на лінійну частину. Це дозволяє перейти від глобального аналізу стаціонарних станів до локального: k-кратному стаціонарному стану відповідає k-кратний дотик кривих, що їх визначають, а зміна стійкості симетричного розв'яку пов'язується із зміною порядку кривих в докритичному і критичному положеннях. Аналіз максимально можливого порядку дотику на початку координат кривих, що визначають стаціонарні стани системи, вказує на ступінь визначального поліному та множину “суттєвих” параметрів, що впливають на характер (м'який - жорсткий) втрати стійкості. Друга частина присвячена побудові біфуркаційних множин стаціонарних станів як для симетричної моделі екіпажу, так і з дефектами симетрії.

dx / dt = f(x, v, ), (5.1)

де x R² , f: R² R₊ R R ² и v R₊ , R , причому f(-x, v, -) = = - f(x, v ,) при всіх v R_{+ .}

В координатній формі

x₁=ax₁+bx₂+a₃₀x₁³+a₂₁x₁x₂+a₁₂x₁x₂²+a ₀₃x₂³ +a₅₀x₁⁵+... ,

x₂=cx₁+dx₂+b₃₀x₁³+b₂₁x₁²x₂+b₁₂x₁x₂²+ ₀₃x₂³+b₅₀x₁⁵+... .

Стійкість симетричного розв'язку визначається знаком величини g₃ = (a² +bc)^-3 , де

=a³(a b₀₃ - ca₀₃) +a²b(ca₁₂ - ab₁₂)+ ab²(ab₂₁ - ca₂₁)+ b³(ca₃₀ - ab₃₀).

Хай виконуються умови, за яких рівняння f_i(x₁, x₂)= 0 (i=1, 2) визначають на площині x₁ x₂ в околі точки (0, 0) криві

(5.2)

Кутові коефіцієнти кривих є

Відносне положення кривих (5.2) при критичному значенні параметру визначають коефіцієнти при нелінійних членах ряду

В критичному випадку ₁ = ₂ d = cb/a . Умовою біфуркації народження або збереження порядку слідування кривих (5.2) в докритичному і критичному положеннях є ( g₃ 0)

g ^*= (₁ ^- ₂)^(-) [] < 0 , (5.3)

яка співпадає з умовою стійкості в критичному випадку (доведено, що g₃ g^* > 0).

Це дає можливість одержати явні, з точки зору впливу параметрів, умови стійкості для розглянутого класу задач і з'ясувати механізм зміни характеру безпеки границі області стійкості в просторі параметрів. А саме, зміна характеру безпеки супроводжується зміною порядку дотику між кривими на початку координат і зміною порядку їх слідування. Так, для простішого випадку (g₃0) біфуркація народження двох стаціонарних станів з симетричного розв'язку є умовою м'якої втрати стійкості ( безпечна границя області стійкості в просторі параметрів); біфуркація злиття двох стаціонарних станів з симетричним розв'язком є умовою жосткої втрати стійкості ( небезпечна границя області стійкості в просторі параметрів). Далі цей механізм пов'язується з перебудовою біфуркаційних множин в околі симетричного розв'язку зміна характеру безпеки, наприклад, з g₃< 0 на g₃ > 0 відбувається через реалізацію особливості, що пов'язана з п'ятикратною особливою точкою (“butterfly”). З симетричним розв'язком при цьому зливаються дві пари особливих точок; біфуркаційна множина при докритичних значеннях параметра має характерний переріз, показаний на рис.3.2 , б.

Визначення умов м'якої-жорсткої втрати стійкості прямолінійного руху екіпажу при v = v_kp. Рівняння стаціонарних станів мають вид:



Покладемо v(₂ - ₁ +₂³/3 - ₁³/3 )/ l,

Y_i k_ii - k_i³_i³/(2_i²),

де k_i-безрозмірний коефіцієнт бокового відведення, _i- коефіцієнт кулонового тертя. Рівняння, що визначають стаціонарні стани системи в околі прямолінійного руху, є

a₁ +b₂ + a₃₀₁³ +a₀₃₂³ +...= 0,

c₁ +d₂ + b₃₀₁³ +b₀₃₂³ +...= 0,

₂ = k₁ / k₂,

₁ = ₁(v) = - (k₁b + v²/g) / (k₂a - v²/g).

Кутові коефіцієнти ₁ і ₂ співпадають при

.

При v = v_kp - 0 маємо , а при v = v_kp знаходимо

Границя області стійкості в просторі параметрів безпечна, якщо

Коли k_i 1(тоді можливо користуватися спрощеним виразом v(₂ - ₁)/l), попередня умова зводиться до k₁₁² < k₂₂² ; а k₁> k₂ є умовою існування критичної швидкості. Отож для забезпечення м'якої втрати стійкості необхідна умова ₁ < _{2 .}

Побудова локальної біфуркаційної множини в околі прямолінійного руху. Покладемо =( + ₂ - ₁)v/l + ... . Рівняння для визначення особливих точок мають вигляд

a₀₀ + a₁ + b₂ + a₃₀₁³ + a₀₃₂³ +...= 0, (5.4)

c₁ + d₂ + b₃₀₁³ + b₀₃₂³ +...= 0.

Визначимо величину Y рівнянням

Y = Y₁(₁)=Y₂(₂).

Тоді з другого рівняння (5.4) , враховуючи, що

Y_i( _i)=k_{i i}(1+k_{i i}^-2 _i²)^-1/2,

одержимо

Y = k₁₁ - k₁³₁³/(2₁²)+... , Y = k_{2 2} - k₂³ ₂³/(2 ₂²)+... .

Обернені залежності

₁ = ₁Y +₁`Y<sup>3</sup> +... , <sub>2</sub> = <sub>2</sub>Y +<sub>2</sub>`Y³ +... ,

_i =1/k_i , _i'= 1/(2k _{i i}²) (i=1,2)

дозволяють вилучити ₁, ₂ з першого рівняння (5.4), після чого приходимо до кубічного рівняння відносно Y:

Y³ +3pY +2q =0.

В околі точки (0,0) площини w біфуркаційна крива апроксимується півкубічною параболою

² = w³ +..., w = v_kp²/v² - 1,

де

.

Залежно від знаку маємо зборку або двоїсту зборку, цей результат (зміна знаку ) співпадає з визначеною вище умовою м'якої втрати стійкості.

Прямий метод побудови біфуркаційної множини в околі прямолінійного руху при наявності дефектів симетрії.

Метод базується на розробленому в четвертому розділі графоаналітичному підході. Біфуркаційним значенням параметрів відповідає дотичне положення рухомої прямої відносно “нерухомої” кривої



або

Звідси

.

Рівняння біфуркаційної множини в параметричній формі

(G(Y₁) = ₂ -₁) є

Біфуркаційна множина крива, двоїста до “нерухомої”: точкам перегину останньої відповідають точки загострення біфуркаційної множини. Зміна характеру безпеки границі області стійкості в цьому випадку має цікаву геометричну картину їй відповідає зміна опуклості “нерухомої” кривої в околі початку координат (прихід пари точок перегину або їх народження і вихід з початку координат; для біфуркаційної кривої це відповідає приходу двох точок загострення або їх вихід з початку координат реалізація особливості “butterfly”). Цей метод дає можливість візуалізувати біфуркаційну множину в просторі трьох параметрів.

У шостому розділі досліджено еволюцію стаціонарних станів дволанкової моделі при зміні двох параметрів та v, причому вплив веденої ланки на ведучу ланку моделюється силою і моментом (розглядалося в четвертому розділі), що залежать від положення веденої ланки (кута складання). Встановлено, що орієнтація веденої ланки у внутрішню сторону кругової траєкторії підвищує стійкість системи в порівнянні з окремою ведучою ланкою, а орієнтація у зовнішню сторону діє дестабілізуюче. Для приведеної дволанкової системи характерним параметром, що впливає на характер зміни стійкості прямолінійного руху, є відстань від центру мас веденої ланки до точки зчеплення. В аналітичному вигляді знайдено біфуркаційну множину в околі критичної швидкості прямолінійного руху (півкубічна парабола з точкою загострення (0,v⁺)), тобто знайдено вираз для критичної швидкості кругових стаціонарних станів як функції кута повороту керованих коліс. Цей спосіб побудови біфуркаційної множини з огляду на результат другого розділу розповсюджується на довільну n+1-ланкову систему.

Многовиди стаціонарних станів дволанкової системи.

Рівноважні значення змінних u, , задовольняють системі рівнянь

(6.1)

В [ 10, 11 ] досліджено бифуркації стаціонарних станів окремо взятої ведучої ланки, в [1, 4.4.] - веденої. В [14] оцінюються динамічні якості автопоїзда в порівнянні з відповідними якостями поодинокого тягача. Перші два рівняння (6.1) можна розглядати як рівняння стаціонарних станів окремо взятого тягача, на який від півпричепа у точці зчеплення О₁ діє сила R=i₀X+j₀Y (у рівняння вxoдить лише її поздовжня проекція Y):

 (6.2)

Координати вектора R визначаються виразами

В залежності від величини та знака нового параметру Y можна оцінити стаціонарні режими всієї системи.

Систему (6.2) можливо привести до вигляду, якому буде відповідати деякий приведений тягач та півпричеп з новим розподілом мас. Це дозволяє провести якісний аналіз стаціонарних станів системи за визначеним вище планом (знак нового параметру Y буде визначатися кутом складання ):

Позначимо

Перші два рівняння приймають вигляд



Тим самим маса півпричепу розподіляється на дві точкові маси, одну з яких (m₁₁) можна вважати належною тягачу, а друга (m₁₂) відповідає більш легкому півпричепу, центр мас якого лежить над віссю коліс.

В кругових стаціонарних станах характерними значеннями швидкості є

v_** , v_* , яким відповідають зміни у конфігурації системи (орієнтація півпри-чепу відносно кругової траєкторії у внутрішню або зовнішню сторону відповідно). Маємо (рис.6.1)

v < v_** = (₃ gL₁)^1/2 + > 0 , = arctg[(-u+c)v^-1] .

v>v_* = (k₃'gL₁)^1/2 + < 0 , = arctg[(-u+c)v^-1] .

Залежно від значення параметру швидкості в околі v < v_** або v> v_* будемо мати різні картини якісної поведінки стаціонарних станів ( рис.6.2 , а, б, в; рис.6.2 , г, д, е ведуча ланка не має критичної швидкості, рис.6.3, а, б, в; рис.6.2 , г, д, е, ж ведуча ланка має критичну швидкість).

Чисельний метод продовження за параметром підтверджує одержані якісні результати.

Перейдемо від змінних , u до змінних ₁ , ₂ і позначимо

біфуркаційний безпека екіпаж

Запишемо вказані рівняння так:

де

Стійкість прямолінійного руху ( = 0) дволанкової системи при критичній швидкості [41] . Критична швидкість

Тут k_i - коефіцієнти опору боковому відведенн. В розглянутому випадку b₁ = 0. Оскільки

то при v = v₊ - 0 маємо (₁ -₂)^(-) > 0. Умова F₂⁽³⁾(0) - F₁⁽³⁾(0) < 0 виконується тоді і тільки тоді, коли

 (6.3)

На початку координат фазового простору має місце біфуркація народження, а границя v = v₊ області стійкості в просторі параметрів безпечна. При d₁ < d₁* має місце біфуркація злиття жорстка втрата стійкості.

Біфуркаційна множина стаціонарних станів дволанкової системи [43] визначається співвідношенням:

У висновках сформульовані основні результати теоретичного та прикладного характеру.

I. В дисертаційній роботі вперше розв'язані задачі побудови областей статичної стійкості k-параметричних сімей стаціонарних станів багатоланкових механічних систем з коченням, що включають

розробку метода аналізу стійкості в критичному за О.М. Ляпуновим випадку одного нульового кореня;

визначення особливостей (катастроф) поверхонь рівноважних станів ;

побудову в околі кратного стаціонарного стану біфуркаційних множин та встановлення механізму зміни характеру безпеки границі області стійкості в просторі параметрів.

II. Основні результати роботи полягають у тому, що:

1.Запропоновано метод декомпозиції n+1-ланкової системи з коченням на незалежні в лінійному наближенні підсистеми.

2.Розроблено метод дослідження незбуреного руху в критичному випадку одного нульового кореня в системах з найпростішою симетрією при деяких обмеженнях на лінійну частину.

3.Встановлено механізм зміни характеру безпеки границі області стійкості у просторі параметрів .

4.Розроблено графоаналітичний метод аналізу незбурених рухів одноланкового екіпажу з дефектами симетрії такими, як:

а) бокова сила, що діє на екіпаж;

б) момент сил , що діє в площині руху;

в) ексцентриситет центру мас;

г) моментна гіпотеза бокового відведеня.

5.Ідентифіковано катастрофи k-параметричних сімей стаціонарних станів одноланкової ведучої ланки та розроблено метод побудови глобальних біфуркаційних множин у явному чи параметричному видах для вказаних вище задач.

6.Розроблено “регулярний” метод побудови біфуркаційних множин двопараметричних сімей стаціонарних станів в околі трикратного стаціонарного режиму.

7.Описана еволюція стаціонарних станів дволанкового екіпажу; визначені значення швидкості, які суттєво впливають на конфігурацію системи та її стійкість .

8.Розглянута задача стійкості прямолінійного руху екіпажу з керованим колісним модулем ( враховано вплив жорсткості рульового керування та виносу переднього колеса) .

9.Розглянута задача чисельної побудови глобальної біфуркаційної множини у площині керованих параметрів дволанкової системи .

10.Розроблено метод побудови локальної біфуркаційної множини в околі прямолінійного руху n+1-ланкової системи і визначення критичної швидкості кругового руху залежно від значення кута повороту керованих коліс. Вказан алгоритм знаходження співвідношення між параметрами моделі, що відповідають за характер безпеки границі області стійкості.

Теоретичне та практичне значення одержаних у роботі результатів полягають у:

розвитку нового алгоритму визначення умов стійкості в критичному випадку одного нульового кореня при деяких обмеженнях на систему, який дає можливість одержати явні, з точки зору впливу параметрів, умови стійкості, що неможливо при традиційному підході;

виявленні закономірностей побудови біфуркаційних множин в околі симетричного розв'язку у випадку одного нульового кореня та зміни характеру безпеки (по М.М. Баутіну) границі області стійкості в просторі параметрів на основі зв'язку між порядком виродження нелінійних членів по критичній змінній, кратністю k симетричного розв'язку і рангом відповідної катастрофи A_k-1 ( зміна характеру безпеки границі пов'язана з реалізацією особливостей вищого рангу);

розробці методів побудови біфуркаційних множин дво- та трипарамет-ричних сімей стаціонарних станів в явному або параметричному виді, що дозволяють їх візуалізацію;

можливості використання розвинутих методів аналізу при проектуванні і оптимізації (з точки зору стійкості та “керованності”) параметрів багатоланкових автопоїздів, транспортних роботів для автоматизованного виробництва, а також робототехнічних систем спеціального виду;

розробці програм чисельної побудови біфуркаційних множин, які можуть бути використані для тестування алгоритмів всеколісного управління.

ІІІ. При аналізі розглянутих у роботі нелінійних моделей екіпажів були одержані нові результати якісного та кількісного характеру, що пов'язані з суттєвою в експлуатаційній практиці характеристикою розподілом стаціонарних станів та умовами їх стійкості. Конкретні результати для різних типів екіпажів такі

а) симетричний екіпаж ( одна ведуча ланка):

знайдено аналітичний вираз критичної швидкості кругових стаціонарних станів достатньо великого радіусу (в околі прямолінійного руху існує два кругових стаціонарні стани - випадок загального положення);

в нелінійній постановці розв'язана задача визначення мінімального радіусу, що відповідає стійкому стаціонарному стану;

знайдено явне, з точки зору впливу параметрів, співвідношення, що відповідне за характер безпеки границі області стійкості в просторі параметрів;

при незмінній коструктивній схемі екіпажу характер зміни стійкості (м'який-жорсткий) прямолінійного руху залежить від одного внутрішнього параметра коефіцієнта кулонового тертя передніх коліс з опорною поверхнею; його механізм пов'язаний з “вивертанням” зборки в двоїсту їй зборку через реалізацію особливості “butterfly” в околі прямолінійного руху існує чотири кругових режими;

б) екіпаж з дефектами симетрії:

бокова сила не змінює числа стаціонарних станів моделі, вносячи асиметрію в їх положення на фазовій площині; в нелінійній постановці знайдено розв'язок задачі про парирування сталої сили поворотом керованих коліс і умови стійкості “відновленого” прямолінійного руху;

зовнішний момент сил навколо вертикальної осі суттєво змінює картину розподілу стаціонарних станів з'являються області з 4 та 2 режимами та області, де вони відсутні; остання є мірою “заносонебезпечності”; в нелінійній постановці отримано розв'язок задачі про парирування дії моменту поворотом керованих коліс і умови стійкості “ відновленого”прямолінійного руху;

асиметрія центру мас за впливом на картину стаціонарних станів подібна до впливу моменту сил;

у всіх трьох випадках асиметрії втрата стійкості прямолінійного руху має жорсткий характер.

в) дволанковий екіпаж:

встановлено можливість кінцевого стрибка стаціонарних станів при малих змінах параметра (породжується веденою ланкою);

визначено характерні значення параметра поздовжньої швидкості руху, що впливають на орієнтацію веденої ланки в повороті (у внутрішню або зовнішню сторону траєкторії);

на основі якісного аналізу встановлено, що орієнтація веденої ланки у внутрішню сторону кругової траєкторії підвищує стійкість системи порівняно з окремою ведучою ланкою і дестабілізує систему при орієнтації веденої ланки у зовнішню сторону;

характерним параметром приведеної дволанкової системи, що впливає на стійкість кругових стаціонарних рухів та на характер безпеки границі області стійкості прямолінійного руху в просторі параметрів , є відстань від центру мас веденої ланки до точки зчеплення при проходженні критичного значення параметру реалізується особливість “butterfly”( механізм перебудови вже описано для випадку однієї ведучої ланки);

знайдено в аналітичному вигляді вираз критичної швидкості кругових стаціонарних станів достатньо великого радіусу;

г) n+1-ланковий екіпаж:

засіб аналітичного представлення біфуркаційної множини (його графік - півкубічна парабола з точкою загострення (0,v⁺) ) для дволанкового екіпажу розповсюджено на випадок довільного n+1-ланкового екіпажу.

...