Размещено на http://www.allbest.ru/

Волновая оптика

Электромагнитные волны

Электромагнитными волнами называют распространяющиеся в пространстве возмущения (колебания) электромагнитного поля. Утверждение о существовании электромагнитных волн является непосредственным следствием из уравнений Максвелла. Путем несложных преобразований этих уравнений в дифференциальной форме можно показать, что векторы Е и Н и все их проекции удовлетворяют волновому уравнению:

где ДЕ и ДН оператор Лапласа для Е и Н.

Всякая функция, удовлетворяющая подобному уравнению, описывает волну.

Решением этих уравнений будет уравнение электромагнитной волны. Для случая плоской электромагнитной волны в однородном диэлектрике и вдали от образующих поле зарядов, когда вектора Е и Н зависят только от координаты х и времени t, и все производные по y и z равны нулю, волновое уравнение имеет вид:

Из этих уравнений следует, что электрическое (Е) и магнитное(Н) поля могут распространяться в пространстве, т.е. могут существовать электромагнитные волны. Множитель, стоящий перед производной, представляет собой квадрат фазовой скорости распространения волны:

,

,

где м/с - электродинамическая постоянная.

Решения этих уравнений представляют собой уравнения плоской электромагнитной волны:

где щ =2 рн - циклическая частота волны, н - частота колебаний, л - длина волны. На рис. 1 показан график такой волны.

Свойства электромагнитных волн:

1. Векторы Е и Н совершают колебания в плоскостях, перпендикулярных направлению х распространения волны, следовательно, электромагнитная волна является поперечной.

2. Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и колеблются в одной фазе.

3. Электромагнитная волна является синусоидальной и монохроматической.

Рис. 1

Энергия электромагнитных волн

Распространение электромагнитных волн в пространстве сопровождается переносом энергии, для характеристики которого вводится векторная величина плотности потока энергии j, численно равная количеству энергии, переносимой за 1 с через 1м² площади, перпендикулярной к направлению распространения волны. Плотность потока энергии:

j = w· v,

где v - скорость волны, w - плотность энергии электромагнитного поля, которая складывается из плотности энергии электрического и магнитного полей:

Из уравнений Максвелла следует, что в каждой точке пространства векторы Е и Н изменяются в одной фазе, поэтому в каждый момент времени амплитуды их равны, а, следовательно,

w_E = w_H

w = 2w_E = ее₀E².

Учитывая, что:

,

можно написать:

Скорость электромагнитной волны равна:

v = .

Плотность потока энергии будет:

j= w·v; j = [EH].

Вектор j называют вектором Умова-Пойнтинга.

В зависимости от длины волны л (частоты н), а также от способа излучения и регистрации, электромагнитные волны подразделяются на несколько видов: электромагнитная интерференция дифракция поляризация

Длина волны, м.

1. Радиоволны 10^3-10^-4.

2. Оптическое излучение:

- инфракрасное 5·10^-4-8·10^-7

видимое 8·10^-7-4·10^-7

ультрафиолетовое 4·10^-7-10^-9

3. Рентгеновское излучение 2·10^-9-6·10^-12

4. Гамма-излучение ? 6·10^-12.

Развитие представлений о природе света

Оптикой называется раздел физики, занимающийся изучением природы света, закономерностей его испускания, распространения и взаимодействия с веществом.

На протяжении 25 веков, начиная с Пифагора (YI в. до н.э.) и до начала ХХ века, в воззрениях на природу света противоборствовали два направления: одни считали, что свет - это поток частиц (корпускул), другие - что это распространение волн. К началу ХХ века эти разногласия во взглядах на природу света были разрешены. Было достоверно установлено, что свет, как и всякое электромагнитное излучение, имеет двойственную природу, т.е. обладает свойствами и частицы, и волны. В настоящее время эволюция во взглядах на природу света представляет скорее лишь исторический интерес.

Пифагор считал, что предметы становятся видными благодаря мельчайшим частицам, испускаемым ими и попадающими в глаз наблюдателя. Декарт полагал, что свет - это сжатие, распространяющееся в упругой среде - эфире (т.е. волны). Гук (XYII в.) также считал, что свет представляет собой импульсы сжатия. Марци и Гримальди (XYII в.) также пришли к мысли, что свет представляет собой быстро распространяющиеся волны. Подобные отрывочные сведения были систематизированы в теорию Гюйгенсом и Ньютоном (XYII в.). Гюйгенс отстаивал волновую природу света. Он исходил из аналогии между многими оптическими и акустическими явлениями и считал, что свет - это упругие волны, распространяющиеся в особой среде - "эфире", который заполняет все мировое пространство.

Ньютон, опираясь на громадные успехи, достигнутые в механике, создал теорию света, как истечение световых частиц, летящих прямолинейно согласно законам механики. Наблюдение за движением планет и других небесных тел показывали, что их движение происходит без заметного сопротивления и тем самым ставилось под сомнение наличие "эфира". Это было одним из главных аргументов теории Ньютона против воззрений Гюйгенса. Тем не менее, Гюйгенс создал стройную теорию волновой оптики, в основу которой положил принцип Гюйгенса, который будет рассмотрен позднее.

Ньютоновская корпускулярная теория света господствовала в течение полутора веков вплоть до 1818 г., когда Френель на заседании Парижской Академии наук объяснил прямолинейность распространения света с волновых представлений о его природе. Из теории Френеля вытекал "нелепый" вывод: в центре тени отбрасываемой небольшим круглым диском, должно находиться светлое пятно. Тут же был произведен опыт и оказалось, что такое пятно действительно есть. Это принесло победу и всеобщее признание волновой теории света.

Фарадей в 1846 г. открыл явление вращения плоскости поляризации в магнитном поле. Это указывало на связь между магнитными и оптическими явлениями. Совпадение скорости света в вакууме с электродинамической постоянной:

,

установленные Вебером и Кольраушем в 1856 г., подтверждало наличие такой связи и с электрическими явлениями. Теоретические исследования Максвелла (1865 г.) показали, что изменения электрического и магнитного полей распространяются в пространстве со скоростью света. Это теоретическое заключение было подтверждено в опытах Герца (1888 г.).

Распространяющаяся в среде по Максвеллу свет - это электромагнитная (э/м) волна со скоростью:

где с - скорость света в вакууме, v - скорость в среде с относительной диэлектрической проницаемостью е и относительной магнитной проницаемостью м. По определению показатель преломления:

.

Это соотношение связывает оптические (n), электрические (е) и магнитные (м) характеристики вещества.

Из этого соотношения не следует зависимость показателя преломления вещества от длины световой волны л, а опыты показали, что такая зависимость существует. Это явление носит название дисперсии света n = f(л). Теория Максвелла не могла объяснить этого явления.

Это сделал Лоренц, создавший электронную теорию дисперсии. Однако, как выяснилось, при помощи электронной теории не все опытные факты могут быть истолкованы. Эти затруднения были объяснены теорией света, выдвинутой в 1900 г. М. Планком, которая основывается на идее дискретности всех процессов, в том числе оптических, испускания света, и позволила объяснить явления, противоречащие теории Лоренца. Квантовая теория света развивалась в трудах Эйнштейна, Бора, Гейзенберга, Шредингера, Дирака и др., совершенствуя представления о свете.

На основании современных представлений свет имеет двойственную корпускулярно- волновую природу (корпускулярно-волновой дуализм). Свет обладает волновыми свойствами, которые проявляются в явлениях интерференции, дифракции, поляризации, дисперсии. С другой стороны, свет представляет собой поток частиц - фотонов, движущихся со скоростью света. Эти свойства проявляются в явлениях фотоэффекта и др.

Корпускулярно-волновой дуализм есть проявление наиболее общей взаимосвязи двух основных форм материи, изучаемых физикой - вещества и поля. Развитие представлений о природе света являет собой противоборство мнений (как проявление закона единства и борьбы противоположностей), вследствие чего рождается истинное представление. Оно рождается как достоверное на основе экспериментальных данных, исходя из материалистических представлений о мире.

Глава 1. Интерференция света

Интерференцией света называется наложение световых волн, сходящихся в одной точке, при котором происходит их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других. Необходимым условием интерференции волн является их когерентность. Когерентными называют такие волны, у которых разность фаз возбуждаемых ими колебаний в данной точке пространства остается постоянной во времени. Синусоидальные волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда.

Монохроматическая волна - это строго синусоидальная волна с постоянными во времени частотой н и щ = 2рн, амплитудой А и начальной фазой ц₀. Амплитуда и фаза колебаний могут меняться от одной точки пространства к другой, а частота колебаний одна и та же во всем пространстве.

Реальная волна не является, строго говоря, монохроматической. Спектр ее частот имеет конечную ширину Дщ, т.е. включает циклические частоты от: щ - до щ + .

Такую волну можно приближенно рассматривать как монохроматическую с циклической частотой щ в течение ограниченного промежутка времени Дt много меньшем чем .

Величину:

= ф_ког

называют временем когерентности монохроматической волны. Как понимать время когерентности?

За время ф_ког разность фаз колебаний, соответствующих волнам с частотами в пределах от щ - до щ + , изменяется на р.

Волна с циклической частотой и фазовой скоростью v за это время распространяется на расстояние:

l_ког = v ф_ког = v,

называемое длиной когерентности или длиной гармонического цуга, соответствующего рассматриваемой негармонической волне.

Чем ближе данная волна к монохроматической, тем меньше Дщ и тем больше ф_ког и l_ког.

Так для видимого солнечного света, имеющего сплошной спектр частот от 4·10¹⁴ до 8·10¹⁴ Гц, ф_ког 10^-14с и l_ког 10^-6м. Для лазеров непрерывного действия ф_ког 10^-5с, l_ког 10-³м.

Когерентность колебаний, которые совершаются в один и тот же момент времени в разных точках плоскости Q, перпендикулярной направлению распространения волны, называют пространственной когерентностью (в отличие от временной, когда колебания совершаются в одной и той же точке пространства, но в разные моменты времени).

Пространственная когерентность зависит от условий излучения и формирования волн. Например, световая волна, излучаемая точечным источником, обладает полной пространственной когерентностью. В случае идеальной плоской волны амплитуда и фаза колебаний во всех точках плоскости Q одинаковы, т.е. также имеется полная пространственная когерентность. Пространственная когерентность сохраняется по всему поперечному сечению пучка света от лазера.

В реальной волне, излучаемой множеством независимых атомов протяженного (неточечного) источника, разность фаз Дц в двух точках К ₁ и К ₂ на плоскости Q, - будет случайной функцией времени. В качестве длины пространственной когерентности принимают расстояние l_к между точками К₂ и К₁ плоскости Q, случайные изменения разности фаз в которых достигают значения равного р. Площадь круга радиусом l_к называется размером пространственной когерентности, а цилиндр на этом круге с образующей, равной длине гармонического цуга называется объемом пространственной когерентности.

Пусть две волны одинаковой частоты щ, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления, описываемые следующими выражениями:

A₁ cos(щt + ц₁)

A₂ cos(щt + ц₂),

где А₁ и А₂ - амплитуды, ц₁ и ц₂ - начальные фазы колебаний. Амплитуда результирующего колебания А будет определяться из выражения

А ² = А ²₁ + А ²₂ + 2А ₁А ₂ cos (ц₂ - ц₁).

Если разность фаз Дц = ц₂ - ц₁ остается постоянной во времени, то волны будут когерентными. В случае некогерентных волн разность фаз ц₂ - ц₁ непрерывно меняется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение cos (ц₂ - ц₁) равно нулю. И тогда:

<A>² = <A₁>² + <A₂>².

Это значит, что интенсивность света, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме их интенсивностей в каждой точке пространства.

В случае когерентных волн cos (ц₂ - ц₁) имеет постоянное значение в каждый момент времени (но свое для каждой точки пространства), так что амплитуда будет определяться из выражения:

А² = А²₁ + А²₂ + 2А ₁А ₂ cos (ц₂ - ц₁).

В тех точках пространства, где:

cos (ц₂ - ц₁) > 0,

A² ? A²₁ + A²₂,

cos (ц₂ - ц₁) ? 0, там A² ? A²₁ - A²₂.

Таким образом, при наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других минимумы интенсивности. Особенно отчетливо это проявляется в случае, когда амплитуды колебаний равны А ₁ = А ₂.

Условия максимума и минимума при интерференции волн света можно сформулировать через разность фаз Дц и через разность хода двух волн д.

1. а) Если разность фаз равна четному числу р:

Дц = ц₂ - ц₁= 2кр, (к = 0,1,2,…),

cos (ц₂ - ц₁) = 1

А = А ₁ + А ₂

- это условие максимума.

б) Если разность фаз равна нечетному числу р:

Дц = (ц₂ - ц₁) = =(2к + 1)р, (к = 0,1,2,…),

cos (ц₂ - ц₁) =-1

А = А ₁ - А ₂

- это условие минимума.

2. Известно, что разности фаз Дц = р соответствует пройденный волной путь, равный . С учетом этого:

а) если разность хода двух волн, равна четному числу полуволн:

,

то наблюдается усиление интенсивности света, т.е.

А = А ₁ + А ₂

- это условие максимума,

б) если разность хода двух волн, равна нечетному числу полуволн:

,

то наблюдается уменьшение интенсивности света, т.е.

А = А ₁ - А ₂

- это условие минимума.

В случае, когда А ₁ = А ₂, амплитуда результирующего колебания А равна нулю и в точке схождения двух волн света не будет.

При изучении оптических явлений различают геометрическую L и оптическую l длину пути или хода волн, которые связаны между собой соотношением:

l = Ln,

где n - показатель преломления среды, в которой распространяется свет.

Интерференция в тонких пленках

Интерференция на пленке постоянной толщины. Наиболее типичным и распространенным примером интерференции света является интерференция в тонких пленках (мыльная пленка, масляные пятна, тонкая стеклянная пластинка и др.).

Пусть на тонкую пленку толщиной d (рис. 2) под углом i к нормали падает параллельный пучок когерентных лучей. Пластинка со всех сторон окружена воздухом, показатель преломления которого n₁ = 1. Из пучка выделим два луча 1 и 2 и рассмотрим результат интерференции в отраженном свете. Луч 1, попадая в точку А, частично отражается (отраженный луч на рисунке не показан), частично преломляется (луч АВ) под углом r.

Рис. 2

В точке В этот луч отразится от нижней поверхности пленки и, преломившись в точке С, выйдет из пленки (луч 1'). Луч 2, попадая в точку С, частично отразится (луч 2'), а частично преломится (преломленный луч 2 на рисунке не показан). В точке С сойдутся два луча и будут интерферировать, т.к. они пришли от одного источника когерентных лучей. Найдем оптическую разность хода этих лучей до точки С. Проведем нормаль АЕ к лучам 1 и 2; от источника света до нормали АЕ лучи прошли одинаковые пути, следовательно, разность хода образуется при движении лучей от нормали АЕ до точки С. Путь луча 1 будет равен (АВ + ВС) · n, а путь луча 2 равен ЕС. Таким образом, оптическая разность хода этих лучей до точки С равна:

д = (АВ + ВС) ·n - ЕС.

Из геометрических соображений нетрудно получить выражение для д:

д = 2d.

Окончательное выражение оптической разности хода лучей должно учитывать тот факт, что световые волны при отражении от среды с большим показателем преломления (n>n₁) изменяют фазу на р, т.е. получают дополнительную разность хода, равную . С учетом этого:

д = 2d + .

Видно, что разность хода зависит от толщины пленки d, показателя преломления n, угла падения лучей i и длины волны л. Результат интерференции в тонких пленках определяется следующими условиями:

если:

д = 2d + = , (к = 1,2,3,…),

то наблюдаются максимумы света;

если:

д = 2d + = , (к = 0,1,2,3,…),

то наблюдаются минимумы света.

Анализируя последнее выражение можно заключить:

Если на тонкую пленку падает монохроматический свет, например, зеленый с л = 0,55·10^-6 м, то она в отраженном свете будет либо зеленой, либо темной.

Если на тонкую пленку падает естественный (сложный) свет, то она будет иметь окраску, соответствующую длине волны л, для которой выполняется условие максимума. Однородная окраска будет наблюдаться в том случае, когда толщина пленки всюду одинакова, в противном случае окраска различных мест окажется различной (радужной) и только части пленки, имеющие одинаковую толщину будут окрашены в один цвет.

Полосы равного наклона

Интерференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластину под одинаковыми углами, называются полосами равного наклона.

Лучи 1' и 1'', отразившиеся от верхней и нижней пластинки, параллельны друг другу и пересекаются только в ?, поэтому говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности. Для их наблюдения используют собирающую линзу и экран, расположенный в фокальной плоскости линзы. Лучи, падающие под одинаковым углом, (лучи 1 и 2 на рис. 3), соберутся в точке F на экране.

Рис. 3

Лучи, падающие на пластинку под другим углом (луч 3), соберутся в другой точке Р на экране. Если оптическая ось линзы перпендикулярна поверхности пластины, то полосы равного наклона будут иметь вид концентрических окружностей с центром колец в фокусе линзы.

Полосы равной толщины (интерференция от пластины переменной толщины)

Кольца Ньютона. Пусть на клин (угол б очень мал) падает плоская монохроматическая волна по направлению лучей 1 и 2 (рис. 134). Лучи 1 и 2 после отражения от верхней и нижней граней клина (лучи и , и ) сфокусируются линзой в точках А и А', являющихся изображением точек В и В'. Так как лучи 1' и когерентны, то они будет интерферировать. Оптическая разность хода луча 1:

д = 2d +

при прочих одинаковых условиях будет определяться толщиной d = d₁ в месте падения луча 1 на клин, а луча 2 - толщиной d₂ в месте падения луча 2. Таким образом, на экране возникает система интерференционных полос. Каждая из полос возникает за счет отражения от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину. Эти интерференционные полосы называют полосами равной толщины. На клине это будет чередование темных и светлых полос. Примером полос равной толщины служат кольца Ньютона.

Они наблюдаются при отражении от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластиной и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны R (рис. 5). Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора между линзой и пластинкой. При наложении отраженных лучей возникают полосы равной толщины. При нормальном падении света они имеют вид концентрических окружностей. В отраженном свете при нормальном угле падения:

i = 0, д = 2d + ,

где d - толщина воздушного зазора (n = 1).

Из рис. 5 видно, что:

R² = (R - d)² + r²,

R - радиус кривизны линзы, r - радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор d.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учитывая, что d мало, получим:

.

Тогда разность хода д будет:

.

По условию максимумов:

д =,

= ;

;

- радиус светлых колец. Здесь к - номер кольца (к = 1, 2, 3, …).

По условию минимумов:

д =;

= ;

- радиус темных колец Ньютона.

Методы наблюдения интерференции света

Для осуществления интерференции света необходимо получить когерентные световые пучки, для чего применяются различные приемы. Рассмотрим некоторые из них.

1. Метод Юнга (Юнг в 1802 г. впервые наблюдал интерференцию). Источником света служит ярко освещенная щель s. От нее световая волна падает на две узкие равноудаленные от оси щели s₁ и s₂, параллельные щели s.

Таким образом, щели s₁ и s₂ играют роль когерентных источников. На экране в области ВС наблюдается интерференционная картина. Два луча s₁A и s₂A, сходящиеся в точке А будут интерферировать, образуя максимум освещенности нулевого порядка (рис. 7).



Рис. 7: ДС - ширина полосы света от щели s₁, ВЕ - от щели s₂, ВС - область, перекрываемая обоими пучками

2. Метод зеркал Френеля. Свет от источника s падает расходящимися пучками на два плоских зеркала А₁О и А₂О, расположенных друг относительно друга под углом, отличающимся на ц от 180⁰ (угол ц мал). Световые пучки, отразившиеся от обоих зеркал, можно считать выходящими из мнимых источников s₁ и s₂, являющихся мнимыми изображениями s в зеркалах. Мнимые источники s₁ и s₂ когерентны и исходящие из них световые пучки, встречаясь друг с другом на экране, интерферируют (рис. 8).

Рис. 8

3. Бипризма Френеля. Она состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника s преломляется в обоих призмах, в результате его за бипризмой распространяются световые лучи, как бы исходящие из мнимых источников s₁ и s₂. Таким образом, на экране в области АВ происходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция (Рис. 9).

Рис. 9

Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников

Для рассмотренных случаев расчет интерференционной картины можно провести, используя две узкие параллельные щели, расположенные достаточно близко друг к другу (рис. 10).

Щели s₁ и s₂ находятся на малом расстоянии d друг от друга и являются когерентными источниками света.

Луч от источника s'₂ до произвольной точка А на экране, в которой наблюдается явление интерференции, проходит путь s₂, а от источника s'₁ - путь s₁. Проведем перпендикуляр s'₁С к прямой s'₂А.



Рис. 10

Длина прямой s'₁А равна длине прямой СА, т.к. d " l. Тогда отрезок Д = s'₂C будет разностью хода двух лучей до точки А и будет определять интенсивность света в ней.

д ? s₂ - s₁.

Из треугольника s'₂АВ:

s²₂ = l² +.

Из треугольника:

s'₁АD: s²₁=l²+.

s²₂ - s²₁ = 2х_кd;

(s₂ - s₁)(s₂ + s₁) = 2х_кd; s₂ - s₁ = .

Из условия, что d " l можно считать, что s₂ + s₁ ? 2l, поэтому разность хода равна:

.

Используя условия максимума и минимума, можно записать:

Для максимума:

=к л,

откуда расстояние от центра картины х_кmax до максимума к-го порядка:

х_кmax = , (к = 0, 1, 2, …);

Для минимума:

= ,

х_кmin = , (к = 0, 1, 2, …).

Этими формулами определяют расстояние х_к светлых (max) и темных (min) полос от центра на экране в случае интерференции от двух источников.

На рис. 10 справа показано распределение интенсивности света в интерференционной картине на экране. Если требуется определить расстояние на экране между к-ой и m-ой полосами на экране, то:

- в случае светлых полос:

Дx_m-k = x_m - x_k = (m - k) ,

- в случае темных полос:

Дx_m-k = x_m - x_k = (m - k) .

Расстояние между двумя соседними максимумами и двумя соседними минимумами называется шириной интерференционной полосы и определяется по формуле:

Дx = .

При d ? л интерференционные полосы становятся неразличимы.

По измеренным значениям l, d и Дx можно определить длину световой волны. Интерференционная картина от двух монохроматических источников представляет собой чередование светлых и темных полос, от источников белого света будут наблюдаться радужные полосы.

Глава 2. Дифракция света

Дифракцией света называется совокупность явлений, обусловленных волновой природой света, наблюдаемых при его распространении в среде с резко выраженной неоднородностью (отверстия, щели, края щелей и т.п.), выражающихся в огибании светом препятствий, захождении света в область геометрической тени, отклонении от прямолинейного направления распространения.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света

Дифракцию света можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса, суть которого заключена в следующем.

Каждая точка, до которой доходит волновое движение (свет), к моменту времени t (рис. 11), служит источником вторичных волн. Огибающая этих волн дает фронт волны в следующий момент времени t + Дt.

Рис. 11

Френель дополнил этот принцип. Он ввел понятие о том, что волновое возмущение в любой точке пространства можно рассматривать как результат интерференции вторичных волн от фиктивных источников, на которые разбивается волновой фронт. Френель выдвинул предположение, что эти фиктивные источники когерентны, поэтому излучение от них может интерферировать, т.е. волны могут усиливаться или гаснуть. Рассмотрим действие волнового фронта в какой-либо точке пространства, свободной от препятствий.

Пусть плоский фронт волны W, распространяющейся от точечного, расположенного в бесконечности источника света, в некоторый момент времени находится на расстоянии МО от точки наблюдения М (произвольная точка). Требуется определить амплитуду А световых колебаний в этой точке (рис. 12). Во всех точках фронта волны возникают колебания, которые через некоторый момент достигнут точки М. Для определения суммарной амплитуды колебаний в точке М Френель предложил метод разбиения волнового фронта на зоны. Колебания всех точек волнового фронта происходят в одной фазе, но точки фронта находятся на различных расстояниях от точки М.

Выполним известные построения зон. Пусть r₀ - кратчайшее расстояние от точки М до плоскости W. Увеличивая r₀ на л/2, проведем ряд окружностей радиусами r₀ + л/2; r₀ + 2 л/2; r₀ + 3 л/2 и т.д., которые в пересечении с фронтом W дадут концентрические окружности. В результате на фронте волны образуются кольцевые зоны с радиусами с₁, с₂, с₃ и т.д. - зоны Френеля. Радиусы зон можно определить из геометрических соображений. Из. ДОВМ:

.

Рис. 12

Рис. 13

Так как л "r₀, то:

с²₁ = r₀ л.

Аналогично для 2-й, 3-й и т.д. зон:

с²₂ =2r₀ л; с²₃ =3r₀ л; ………., с²_n = nr₀ л.

Интенсивность света от каждой зоны определяется их площадью. Для оценки амплитуд колебаний определим площади зон s.

s₁= р с²₁ = рr₀л

s₂= р с²₂ - р с²₁ = рr₀л

s₃= р с²_к - р с²_к-1 = рr₀л,

т.е. зоны по площади равновелики, а значит содержат равное число когерентных источников. Колебания, возбуждаемые в точке М источниками из двух соседних зон, противоположны по фазе, т.к. разность хода от них до точки М равна л/2. Поэтому при наложении эти колебания должны взаимно ослаблять друг друга. Следовательно, А - амплитуду суммарного колебания, можно представить в виде знакопеременного ряда:

А = А ₀ - А ₁ + А ₂ - А ₃ +…,

А ₀ - амплитуда колебаний в точке М, возбуждаемых светом от центральной зоны, А ₁ - от первой зоны, А ₂ - от второй зоны и т.д. Этот ряд можно переписать:

.

Можно считать, что результирующая амплитуда в точке М, создаваемых в ней волнами, приходящими от точек зон соседних с к-ой зоной, равна среднему арифметическому амплитуд (к+1) и (к-1) - й зон.

.

Значит выражения в скобках будут равны нулю и при этом условии:

.

Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в точке М такая, как если до нее доходит свет только от половины центральной зоны.

Можно считать, что половина центральной зоны вместе с действием половины второй зоны компенсирует действие 1-й зоны и т.д., т.е. нескомпенсированным остается действие лишь половины центральной зоны. Иными словами, колебания в точке М, вызываемые волновой поверхностью W, имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина центральной зоны. Поэтому и говорят, что свет распространяется как бы в узком канале, сечение которого равно 1/2 центральной зоны, другими словами прямолинейно. Метод зон Френеля позволяет объяснить явление дифракции в ряде случаев.

Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске

Рассмотрим случай, когда на малое круглое отверстие радиусом r падает плоская монохроматическая волна с длиной волны л. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля плоский фронт волны, совпадающий с плоскостью круглого отверстия, можно рассматривать как множество фиктивных источников, испускающих когерентные волны. В точке М, лежащей на оси отверстия, эти волны будут интерферировать (рис. 14).

Рис. 14

Разобьем площадь отверстия на ряд кольцевых зон Френеля. Для этого из точки М последовательно проводятся окружности радиусом ;

; ;

- и т.д. Так как лучи, идущие от крайних точек зоны, имеют разность хода в полволны, то колебания от этих двух точек приходят в точку М в противоположной фазе и гасят друг друга. Для каждой точки каждой зоны найдется точка в соседней зоне с разностью хода в полволны. Поэтому, если число зон, которые укладываются в отверстии, четное, то в точке М будет темное пятно, а если нечетное, то - светлое.

Если отверстие открывается всего лишь на одну зону или небольшое число нечетных зон, то амплитуда колебаний, а значит и интенсивность света в точке М будет больше, чем в случае отсутствия экрана с отверстием. Максимум интенсивности света в точке М соответствует размеру отверстия в одну зону. Число зон Френеля в одном и том же отверстии зависит от r₀. Предположим, что радиус с_к к-ой зоны равен радиусу отверстия. Тогда:

,

откуда число зон Френеля k, укладывающихся на отверстии, будет равно:

и при л = const и r = const, будет функцией расстояния r₀, т.е. k = f(r₀).

При перемещении экрана относительно отверстия число зон Френеля, укладывающееся на отверстии, будет изменяться (при удалении уменьшаться) становясь то четным, то нечетным, а на экране в центре будет то темное, то светлое пятно. Случаю, когда к = 1, соответствует:

.

Доказано, что, начиная с этого расстояния пучок света становится относительно быстро расширяющимся вследствие дифракции света. Расчет амплитуды колебаний, пришедших в другие точки экрана более сложен. Из соображений симметрии следует, что интерференционная картина на экране вокруг центрального светлого или темного пятна должна иметь вид чередующихся светлых и темных колец с центрами в точке М. Если отверстие освещается немонохроматическим светом, то кольца имеют радужную окраску, т.к. число зон Френеля зависит от л. Случай дифракции на круглом отверстии имеет большое практическое значение, ибо все оправы объективов и линз имеют обычно круглую форму.

Поместим между точечным источником света s и экраном непрозрачный круглый диск радиусом r₀, так, чтобы он закрыл m первых зон Френеля (рис. 144). Тогда амплитуда световой волны в точке М будет:

.

Рис. 15

В центре картины при любом (четным или нечетном) m получается светлое пятно. Дифракционная картина в других точках экрана на расстоянии r от точки М будет иметь вид чередующихся концентрических светлых и темных колец. Зависимость интенсивности света I от r дана на рис. 15. Если непрозрачный диск закрывает много зон Френеля, чередование светлых и темных колец наблюдается лишь в узкой области на границе геометрической тени. В этом случае А_m+1 " A₁ и интенсивность света в области геометрической тени (за исключением центральной точки) равна нулю. Если диск закрывает лишь небольшую часть первой зоны Френеля, он совсем не отбрасывает тени - освещенность экрана всюду остается такой же, как и при отсутствии преград. Зависимость между a, b, r_m, m, л для дифракции на круглом отверстии и на диске дается соотношением:

.

Дифракция Фраунгофера. Дифракция на щели

Пусть на щель АВ шириной а падает плоская монохроматическая волна (рис. 16).

Рис. 16

В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля освещенную щель можно рассматривать как множество точечных когерентных источников света, так что от каждой точки щели распространяются световые когерентные лучи по всем направлениям. За щелью поместим собирающую линзу, которая собирает лучи в своей фокальной плоскости. В фокальной плоскости поместим экран.

В направлении главной оптической оси линзы, совпадающей с первоначальным направлением волны (лучей), линза соберет лучи в своем главном фокусе F. Все эти лучи до точки схождения F проходят одинаковые оптические пути, поэтому все эти лучи придут в одинаковой фазе и усилят друг друга. Следовательно, в главном фокусе линзы всегда будет наблюдаться максимум света, который имеет вид ярко освещенной полосы, идущей параллельно щели. Рассмотрим теперь лучи, идущие под углом ц к первоначальному направлению. Эти лучи линза соберет в побочном фокусе Р. Лучи когерентны, поэтому они будут интерферировать. До точки Р лучи, исходящие из разных точек щели, проходят различные пути.

Проведем перпендикуляр АС - новый фронт волны для лучей, идущих под углом ц. От этой плоскости АС до точки Р лучи проходят одинаковые оптические пути, тогда как от щели до нее лучи проходят разные пути. Между лучами, идущими от крайних точечных источников на щели образуется разность хода ВС, равная д = a sinц, где а - ширина щели, равная отрезку АВ.

Воспользуемся методом зон Френеля. На отрезке ВС = д отложим отрезки, равные л/2, и через эти точки проведем плоскости, параллельные АС. Эти плоскости разделят щель на зоны Френеля, которые в данном случае будут представлять собой полоски, параллельные краям щели. Из такого построения ясно, что разность хода лучей, идущих от симметричных точек двух соседних зон Френеля, равна л/2. На щели укладывается k зон Френеля, равное:

.

Если k - четное число (k = 2m), где m = 1, 2, 3, …, то на щели укладывается четное число зон Френеля, которые попарно гасят друг друга. В этом случае в направлении, определяемым углом ц, будут минимумы света. Следовательно, условие минимумов имеет вид:

± где m = 1, 2, …

Если же k - нечетное число (2m +1), то в соответствующих направлениях получим максимум света. Следовательно, условие максимумов света имеет вид:

± где m = 0, 1, 2, …

При неизменной ширине щели максимумы света различной длины волны приходятся на различные углы. Если щель освещается белым светом, то нулевой (центральный) максимум будет белым. По обе стороны от него расположатся максимумы первого и последующего порядков. Они будут цветными, т.к. согласно формуле красный цвет (л = 0,76 мкм) отклонится на больший угол, чем фиолетовый (л = 0,38 мкм). Между ними расположатся полосы остальных цветов спектра.

Дифракционная решетка

Одна щель дает слишком мало света и дифракционные максимумы недостаточно резки. Чтобы получить четкую дифракционную картину, вместо одной щели применяют ряд узких параллельных щелей, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Такое устройство называют дифракционной решеткой.

Пусть на решетку падает пучок параллельных лучей, перпендикулярных плоскости решетки (рис. 17).

Рассмотрим дифракционную картину на примере двух щелей. При увеличении числа щелей дифракционная картина становится более отчетливой. Разность хода крайних лучей от двух соседних щелей в направлении под углом ц равна:

д = с sinц,

с = а + b

- постоянная решетки (период решетки), равная сумме ширины щели а и ширины непрозрачного промежутка b.

Рис. 17

Для каждой щели, взятой в отдельности, будут соблюдаться условия максимума и минимума. Так как все щели решетки одинаковы, то при выполнении условия минимума для одной щели, оно будет выполняться и для всех щелей. Следовательно, там, где наблюдается минимум для одной щели, там будет минимум и для решетки. Дифракционная картина на решетке определяется как результат интерференции волн, идущих от всех щелей. Предположим, что свет после прохождения через решетку распространяется под углом ц к нормальному распространению лучей и первая и вторая щели дают максимум освещенности. Вероятно, суммарная освещенность в данной точке экрана будет зависеть от того насколько отличаются по фазе волны, пришедшие от разных щелей. Если фазы волны отличаются на 2р; 4р; 6р и т.д., т.е. разность хода д от соседних щелей равна целому числу длины волны л, то условие максимумов будет иметь вид:

с sinц = к л,

где к = 0, 1, 2, 3, … - порядок дифракционного максимума. Если пришедшие от разных щелей волны отличаются по фазе на р; 3р; 5р и т.д., то разность хода лучей будет равна л/2; (3/2)л; (5/2)л, т.е. нечетному числу полуволн, и условие минимума будет иметь вид:

с sinц = (2к + 1) .

Эти формулы определяют условия максимумов и минимумов, называемых главными.

Число к дает порядок главных максимумов (к = 0 - нулевой, к = 1 - первого, к = 2 - второго порядка и т.д.). Максимум нулевого порядка один, максимумов другого порядка по два - левый и правый от нулевого. Наибольший порядок главного максимума (или минимума) определяется из условия, что sinц = 1 и будет равен:

.

Полное число главных максимумов равно (2k_max + 1). Кроме главных максимумов и минимумов в дифракционном спектре наблюдаются добавочные максимумы и минимумы. Эти минимумы возникают в тех направлениях, для которых колебания от отдельных щелей решетки можно представить векторами равной длины (рис. 18). Из-за сдвига фаз такие векторы повернутся один относительно другого на один и тот же угол.

Если число щелей N = 3, а сдвиг фаз между исходящими из них лучами равен 120⁰ и 240⁰, векторная диаграмма слагаемых колебаний изобразится так, как показано на рис. 18а и 18б. Если сдвиг по фазе равен 360⁰, то слагаемые колебания дадут добавочный максимум (рис. 18в).

Рис. 18

Сумма векторов, определяющая результирующую амплитуду колебаний, в первых двух случаях равна нулю и будут наблюдаться два добавочных минимума, между которыми будет наблюдаться один добавочный максимум. При наличии N щелей между двумя соседними главными максимумами наблюдается (N - 1) добавочных минимумов и (N - 2) добавочных максимумов. Распределение интенсивности света в дифракционном спектре для решетки, имеющей 4 щели, приведена на рис. 19.

Рис. 19

Если разность хода:

д = с sinц,

то равно разности фаз Дц, откуда:

Дц==с sinц.

Чем больше щелей в дифракционной решетке, тем больше минимумов образуется между соседними главными максимумами и тем более интенсивными будут главные максимумы. Постоянная дифракционной решетки с равна ширине решетки l, поделенной на число щелей N:

.

Это означает, чем больше щелей, тем больше света проходит через решетку и тем резче дифракционная картина. Лучи разной длины волны будут иметь максимумы в различных направлениях по углу ц (фиолетовым концом к центральной белой полосе). Разрешающая способность R дифракционной решетки определяет минимальную разность длин волн Дл = л₁ - л₂, при которой две линии в спектре с близкими длинами волны воспринимаются реально, т.е. разрешающая способность определяется соотношением:

,

где к - порядок спектра, N - число щелей в решетке. Чем больше N и к

,

тем более близкие по длине волны (л₁ и л₂) лучи могут быть разрешены в спектре. Современные дифракционные решетки имеют разрешающую способность до 2·10⁵. Дифракционные решетки используются в спектральных приборах для определения длин волн света, а по интенсивности света для отдельных длин волн определяют содержание атомов химических элементов в исследуемом веществе. Основанный на этом метод анализа называется спектральным.

Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа-Брегга

До сих пор мы рассматривали явления дифракции на линейной дифракционной решетке, у которых источники вторичных волн - щели, расположены в одну линию. Рассмотрим явление дифракции на пространственной или объемной решетке. В качестве таковой могут быть использованы кристаллы, в которых источниками вторичных волн служат атомы или ионы, расположенные в узлах кристаллической решетки, излучающие сферические волны той же частоты, что и падающие. Атомы и ионы располагаются в правильном порядке на определенном расстоянии друг от друга по всем 3-м координатам. При прохождении электромагнитных волн через кристалл атомы становятся источниками вторичных волн, интерференция которых приводит к возникновению дифракционной картины. Дифракционная картина наблюдается в том случае, если длина волны излучения л ? d - постоянной дифракционной решетки. Поэтому дифракционная картина на кристаллической решетке наблюдается при освещении ее излучением с длиной волны л = 10^-11-10^-10 м, т.е. рентгеновскими лучами.

Изобразим 3 атомные плоскости 1, 2, 3 в кристалле (рис. 20).

Рис. 20

Пучок параллельных рентгеновских лучей падает на плоскость под углом скольжения И и отражается под таким же углом. Лучи, отраженные от второго слоя, проходят больший путь, чем отраженные от первого слоя, на величину:

АВ + ВС = 2dsin И,

где d - расстояние между слоями атомов (или ионов) в кристалле, называемому межплоскостным расстоянием. Для того, чтобы лучи, отраженные от соседних слоев, усиливали друг друга, эта разность хода должна быть равна целому числу волн, т.е. кл. Следовательно, максимум интенсивности дифрагированных лучей будет наблюдаться под углами, которые удовлетворяют условию:

2dsin И = кл.

Эта формула называется формулой Вульфа-Брэгга. Явление дифракции рентгеновских лучей используется при исследовании структуры веществ - в рентгеноструктурном анализе.

Глава 3. Поляризация и дисперсия света

Свет естественный и свет поляризованный

Свет представляет собой распространяющиеся в пространстве колебания электрического и магнитного полей, т.е. электромагнитные волны с длиной волны от 0,38 до 0,76 мкм. Электромагнитная волна схематически представлена на рис. 21.

Рис. 21

Векторы Е и Н напряженности электрического и магнитного полей колеблются в одинаковой фазе и во взаимоперпендикулярных плоскостях. В изотропной среде колебания векторов Е и Н проходят перпендикулярно направлению распространения волны, т.е. перпендикулярно световому лучу, поэтому световые волны являются поперечными.

Большинство явлений, наблюдаемых в веществе под действием света (физиологические, фотохимические, люминесцентные, фотоэффект и др.) определяются воздействием на электроны со стороны электрического поля, т.е. определяются вектором Е. Нетрудно показать, что сила воздействия на электрон со стороны электрического поля на несколько порядков больше, чем сила воздействия со стороны магнитного поля. Поэтому, говоря о колебаниях в световом луче, мы будем понимать под ними колебания вектора Е (вектор Е часто называют световым вектором).

Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества атомов и луч естественного света (рис. 22) состоит из множества электромагнитных волн, в которых колебания вектора Е совершаются во всевозможных направлениях перпендикулярных лучу. Свет, в котором колебания вектора Е происходят только в одном направлении, называется плоскополяризованным.

Рис. 22

Плоскость, проходящая через направление колебаний вектора Е и луча называется плоскостью поляризации, а перпендикулярная ей плоскость - плоскостью колебаний. Если колебания в каком-либо направлении ослаблены, то свет будет частично поляризованным.

Прибор или устройство, превращающий естественный свет в поляризованный, называется поляризатором, а прибор, с помощью которого определяется направление поляризации, - анализатором.

Поляризованный свет получают пропусканием естественного через некоторые кристаллы (турмалин, исландский шпат и др.). Таким же свойством обладают искусственно приготовленные пленки (коллоидные), называемые поляроидами. Наиболее распространенными материалом для приготовления поляроидов является гарапатит - соединение иода с хинином.

Механизм поляризации света схематически можно представить так (рис. 23). Пусть вектор Е совершает колебания в плоскости под углом ц к вертикальной оси координат, которая совпадает с плоскостью поляризации. Колебания вектора Е можно разложить на две составляющие по осям Е ₁₁ и Е (рис. 23а).

Рис. 23

Задав направление луча за плоскость чертежа, можно говорить, что составляющая Е ₁₁ колеблется в плоскости поляризации, а составляющая

Е - в плоскости колебаний. После пропускания луча через поляризатор (рис. 23б) в луче сохранится колебание лишь составляющей Е ₁₁; составляющая вектора Е "обрезается" поляризатором и луч оказывается плоскополяризованным. На рис. 152в показаны условные обозначения лучей света - естественного и полностью поляризованного в различных плоскостях. Черточками обозначено направление колебаний вектора Е в плоскости падения луча (плоскость чертежа), а точками - в перпендикулярной ей плоскости (рис. 23в). Относительное количество черточек и точек обозначает степень поляризации в том или другом направлении.

Поляризация света при отражении и преломлении. Закон Брюстера

Одним из способов получения поляризованного света является отражение и преломление света на поверхности диэлектрика.

Рис. 24

Пусть на черное зеркало (в таком зеркале устранено отражение от второй поверхности) падает естественный свет (рис. 24). Естественный луч можно представить как луч, в котором колебания происходят в двух взаимно перпендикулярных направлениях, эти два вида колебаний будут по разному отражаться от диэлектрического зеркала.

Если угол падения света на границу не равен нулю (б ? 0), то отраженный и преломленный лучи оказываются частично поляризованными. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения. При угле падения, удовлетворяющем условию:

,

где n₂₁ - показатель преломления второй среды относительно первой, отраженный луч полностью поляризован, а степень поляризации преломленного луча достигает наибольшего значения, однако он остается поляризованным частично. Это соотношение выражает закон Брюстера. Угол б_полн называется углом Брюстера или углом полной поляризации. Из закона Брюстера и закона преломления:

следует, что при падении луча на поверхность диэлектрика под углом полной поляризации, луч отраженный и луч преломленный взаимно перпендикулярны.

Поляризация при двойном лучепреломлении. Закон Малюса

При прохождении света через некоторые кристаллы луч естественного света разделяется на два (рис. 25).

Рис. 25

Один из этих лучей удовлетворяет закону преломления, а именно, лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к поверхности в точке падения - этот луч называется обыкновенным (о.л). Для другого луча необыкновенного (н.о.л.) отношение не остается постоянным при изменении угла падения.

Даже при нормальном падении необыкновенный луч отклоняется от первоначального направления. Кроме того, этот луч не лежит, как правило, в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к поверхности кристалла в точке падения луча естественного света.

Причина двойного лучепреломления - анизотропия кристаллов. Анизотропная среда - это среда, в которой физические свойства различны в различных направлениях. В частности, в таких кристаллах скорость света различна в различных направлениях.

Особенностью кристаллов является существование в них так называемой оптической оси (это не линия, а направление в кристалле). Свойства кристалла одинаковы во всех направлениях, которые составляют с оптической осью равные углы. Плоскость, проходящая через оптическую ось и луч, называется главным сечением кристалла или главной плоскостью кристалла. По выходе из кристалла оба луча полностью поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях: необыкновенный- в главной плоскости; обыкновенный - в плоскости, перпендикулярной главной плоскости. Так что названия "обыкновенный " и "необыкновенный" имеют смысл только внутри кристалла.

...