Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка

УДАРНА ВЗАЄМОДІЯ ТВЕРДИХ І ДЕФОРМІВНИХ ЗАТУПЛЕНИХ ТІЛ ЗІ СТИСЛИВОЮ РІДИНОЮ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Гавриленко Валерій Володимирович

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка

Національної академії наук України, м. Київ.

Науковий консультант - член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Кубенко Веніамін Дмитрович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

заступник директора з наукової роботи, завідувач відділу.

Офіційні опоненти: доктор фізико - математичних наук, професор

Попов Геннадій Якович,

Одеський державний університет ім. І.І. Мечникова,

Міністерство освіти і науки України,

завідувач кафедри; доктор технічних наук, професор

Бородачов Микола Максимович,

Київський міжнародний університет цивільної авіації,

Міністерство освіти і науки України,

професор кафедри;

доктор фізико - математичних наук,

старший науковий співробітник

Жук Олександр Петрович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

вчений секретар інституту.

Провідна установа: Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, м. Харків.

Захист відбудеться 28.11.2000 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 при Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, Київ, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: Київ, вул. Нестерова, 3.

Автореферат розіслано 27.10.2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор технічних наук, професор І.С. Чернишенко

Загальна характеристика роботи

у межах змоченої поверхні тіла припускається безвідривний контакт поверхонь тіла і рідини (рівність нормальних складових швидкостей тіла і рідини)

на вільній поверхні рідини тиск постійний і для спрощення вважаємо його рівним нулю

рідина на нескінченності знаходиться в стані спокою

Оскільки до початку взаємодії тіла з рідиною остання знаходилася в стані спокою, то будемо мати нульові початкові умови.

Співвідношення (2.1) - (2.5) являють собою постановку задачі про удар твердого тіла по поверхні стисливої рідини, якщо закон руху тіла в рідині заданий (границі змоченої поверхні тіла , на основі яких визначаються гідродинамічні навантаження, відомі).

Якщо розглядається ударна взаємодія з рідиною тонких пружних оболонок, тоді замість граничної умови будемо мати граничну умову, що враховує нормальні переміщення оболонки. Крім того, отриману систему співвідношень треба доповнити системою рівнянь динаміки оболонок, що описують процес їх деформації, де диференціальні оператори і коефіцієнт визначаються для кожного конкретного випадку та вигляду оболонки.

Якщо розглядається задача удару тіла по рідині, поверхня якої покрита тонкою пружною пластиною (тонкою мембраною), тоді граничну умову слід замінити граничною умовою, а нормальні переміщення пластини (мембрани) будуть визначатися з рівняння динаміки пластин (мембран), де вигляд диференціальних операторів визначається для кожного конкретного випадку.

Крім того, отриману систему співвідношень необхідно доповнити співвідношеннями, що дозволяють визначити границі області контакту тіла з рідиною, вигляд яких наведено далі.

В механічному плані сформульована задача є нестаціонарною змішаною (незмішаною) крайовою задачею механіки суцільного середовища з рухливою, наперед невідомою границею, що змінюється за часом.

В математичному плані ця задача являє собою некласичний об'єкт математичної фізики, що не вписується в традиційні класифікації, для дослідження якого потрібна розробка додаткових прийомів і підходів.

Зазначимо також, що сформульована задача містить нелінійність, оскільки в правих частинах диференціальних рівнянь, гідродинамічна сила та момент реакції мають складну функціональну залежність від характеристик, які шукаються в рівняннях.

Розв'язання сформульованої крайової задачі в такій спрощеній, хоча і достатньо загальній постановці, залишається значною математичною проблемою. Тому в подальшому здійснюються наступні спрощення і припущення:

розглядається удар по рідині лише затуплених тіл, що мають слабовикривлені та кусково-гладенькі поверхні;

розглядається лише початковий етап ударної взаємодії тіл з рідиною, для якого характерні малі глибини занурення в порівнянні з розмірами тіл;

швидкість занурення спрямована по нормалі до незбуреної поверхні рідини (вертикальний удар);

розглядаються лише плоскі (симетричні та несиметричні) або осесиметричні задачі;

на початковому етапі, що розглядається, нехтуємо впливом явища формування струменів на процес занурення тіла, припускаючи, що за цей малий відрізок часу процес формування струменів ще не встиг розвинутися;

нехтуємо силою тяжіння тіла в порівнянні з гідродинамічною силою опору зануренню тіла з боку рідини.

Прийняті припущення дозволяють лінеаризувати граничні умови та знести їх із змоченої поверхні тіла та з вільної поверхні рідини на незбурену поверхню рідини .

Слід зупинитися на оцінці межі застосування акустичної моделі рідини та прийому знесення лінеаризованих граничних умов на незбурену поверхню рідини.

Використання акустичного наближення для описання руху рідини накладає обмеження на величину швидкості занурення - вона повинна бути мала в порівнянні з швидкістю звуку в рідині. Так, за оцінкою Б.В. Замишляєва, Ю.С. Яковлєва максимальне значення швидкості занурення в воду при використанні акустичної моделі - 71.9 м/с, а за оцінкою В.Г. Баженова - 200 м/с, при цьому чисельні результати розв'язання задачі удару близькі до експериментальних.

Лінеаризація граничних умов і знесення їх на незбурену поверхню рідини накладає обмеження на величину кутів : вона повинна бути мала. За оцінками Г.В. Логвіновича, Е.І. Григолюка, А.Г. Горшкова результати розв'язання задачі занурення в рідину затупленого твердого тіла з використанням цього прийому достатньо близькі до експериментальних, якщо кути кілеватості або конусності не перевищують .

Варто підкреслити, що всі розглянуті в роботі задачі занурення розв'язано на основі розвиненого чисельно-аналітичного підходу, головна ідея якого полягає в наступному: обмежуючи дослідження пpоцесу початковим малим проміжком часу, замість розв'язку задачі удару для акустичного півпростору шукаємо розв'язок задачі для півсмуги скінченної ширини (плоский випадок). Ширина півсмуги вибиpається за умовою, згідно з якою на протязі цього проміжку часу відбиті від бічних гpаней півсмуги хвилі не досягають області контакту. Це дозволяє вибирати гpаничні умови на бічних гpанях півсмуги довільно, а шукані характеристики процесу розкладати в ряди Фур'є на відрізку, довжина якого дорівнює вибраній ширині півсмуги. Аналогічно для осесиметричної задачі замість акустичного півпростору розглядається акустичний півциліндр скінченного радіусу.

Оскільки всі розглянуті в роботі задачі розв'язані на основі єдиного підходу, то математичні викладки при зведенні розв'язків крайових задач до розв'язків відповідних роз-в'язуючих систем інтегральних рівнянь мають спільний характер, хоча кожна задача вносить свої зміни як у кількість перехідних функцій, так і в їх зовнішній вигляд, а також у зовнішній вигляд розв'язуючих систем інтегральних рівнянь.

У зв'язку с цим на основі даного підходу процес розв'язування кожної з розглянених задач удару та занурення затуплених тіл у стисливу рідину можна розбити на етапи. На першому етапі за допомогою методу Фур'є всі шукані характеристики процесу розкладаються в ряди Фур'є за відповідною ортогональною системою функцій: для плоских задач - за основною тригонометричною системою, для осесиметричних задач - за ортогональною системою поліномів Лежандра. На другому етапі за допомогою методів інтегральних перетворень Лапласа, розділення змінних, теореми про згортку оригіналів двох функцій, встановлюються аналітичні залежності коефіцієнтів розкладів шуканих характеристик в ряди Фур'є через коефіцієнти розкладу гідродинамічного тиску. На третьому етапі за допомогою отриманих аналітичних залежностей і з урахуванням граничних умов будується розв'язуюче співвідношення для гідродинамічного тиску, з якого на четвертому етапі виводиться розв'я-зуюча система рівнянь - нескінченна система або послідовність лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно коефіцієнтів розкладу гідродинамічного тиску. На п'ятому етапі здійснюється чисельна реалізація розв'язуючої системи рівнянь та визначення шуканих характеристик процесу. Зокрема, в роботі чисельна реалізація задачі здійснювалася на скінченному відрізку часу [0; T], який розбивався на pівні частини завдовжки , і в отриманих вузлах pозбиття часового інтеpвалу обчислювалися всі шукані величини. Отримана нескінченна система (послідовність) лінійних інтегpальних рівнянь підлягала редукції. Порядок редукції визначався з міркувань пpактичної збіжності розв'язку. Всі інтегpали обчислювалися за квадpатуpними фоpмулами тpапецій і Сімпсона. Дифеpенціальні рівняння руху тіла апроксимовувалися різницевими. При розв'язанні системи (послідовності) інтегpальних рівнянь, а також дифеpенціальних рівнянь, використовувалися ітеpаційні методи послідовних наближень. Для покращення збіжності pядів Фуp'є застосовувалися - множники Гіббса.

Наприкінці розділу введено безpозміpні змінні, причому тільки вони будуть застосовуватися надалі, а також приведено основні формули інтегральних перетворень і розкладення в ряди Фур'є, які використовуватимуться в роботі.

У третьому розділі сформульована та розв'язана плоска симетрична задача вертикального удару та занурення в стисливу рідину тонких пружних кругових циліндричних оболонок. Постановка цієї задачі випливає із загальної постановки задачі 2-го розділу з урахуванням перерахованих там же спрощень і припущень, а також лінеаризації граничних умов і знесення їх на незбурену поверхню рідини. Таким чином, її розв'язування зводиться до розв'язання змішаної крайової задачі спільно з диференціальним рівнянням поступального переміщення оболонки в рідині.

Рухлива, наперед невідома границя області контакту оболонки з рідиною визначається в процесі розв'язування задачі як перетин поверхні оболонки з недеформованою поверхнею рідини з рівняння.

Надалі сформульовану постановку задачі будемо називати основною. Також назвемо основною для випадків занурення в стисливу рідину твердого тіла постановку задачі, де замість граничної умови маємо граничну умову.

Розв'язання змішаної крайової задачі на основі розвинутого підходу зводиться до спільного розв'язку диференціального рівняння і нескінченої системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно коефіцієнтів розкладу гідродинамічного тиску в ряд Фур'є за косинусами, де перехідні функції визначаються через функції Бесселя першого роду та елементарні тригонометричні функції, а коефіцієнти, визначаються через елементарні тригонометричні функції.

Паралельно розглядалися також інші моделі контакту оболонок з рідиною - моделі "надзвукового" етапу, постановки яких відрізняються від основної постановки граничною умовою на вільній поверхні рідини.

У першій моделі (постановка "жорсткого" екрану) замість граничної умови використовується гранична умова, що забороняє нормальні переміщення точок вільної поверхні рідини. У другій моделі (постановка "деформівного” екрану) замість граничної умови взято граничну умову, яка апроксимує нормальні переміщення точок вільної поверхні рідини нормальними переміщеннями частини оболонки, що не вступила в контакт з рідиною.

На основі розвиненого підходу розв'язання цих незмішаних крайових задач зводиться до спільного розв'язку диференціального рівняння і відповідно нескінченної системи або нескінченної послідовності лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно коефіцієнтів розкладу тиску в ряд Фур'є за косинусами.

Даний підхід дозволяє визначити всі локальні й інтегральні характеристики процесу: кінематичні характеристики, гідродинамічні навантаження, характеристики напружено-деформованого стану оболонки залежно від часу, початкової швидкості занурення, маси та товщини оболонки.

На основі аналізу отриманих окремих результатів можна зробити наступні висновки:

для малих швидкостей занурення (у воду до 10 м/с) вплив стисливості рідини на основні характеристики напружено-деформованого стану оболонки незначний: на рис.2 наведено залежності від часу нормальних переміщень оболонки в центральній точці, де криву 1 отримано на основі розвиненого підходу; криву 2 - на основі чисельних методів з використанням моделі нестисливої рідини (роботи А.Г. Горшкова, В.Г. Богомолова); криву 3 - з використанням моделі стисливої рідини на основі чисельних методів (роботи М.І. Дробишевського);

на початковому етапі розглядуваного часового інтервалу для пружної оболонки гідродинамічні навантаження (гідродинамічний тиск, гідродинамічна сила) нижчі, ніж для твердого кругового циліндра, причому для більш тонких оболонок гідродинамічний тиск на цьому етапі падає швидше, а тому гідродинамічна сила менша;

на наступних етапах подальше деформування оболонки призводить до незначного підвищення гідродинамічного тиску, а далі - до затухаючих його осциляцій;

нормальні переміщення оболонки на розглядуваному часовому інтервалі скупчені в основному в межах області контакту, причому їх максимальні значення досягаються в центральній точці області контакту: на рис.3 наведено розподіли нормальних переміщень оболонки в різні моменти часу, де суцільні лінії відповідають результатам, отриманим на основі розвиненого підходу, а штрихові лінії - результатам М.І. Дробишевського, отриманим з використанням моделі стисливої рідини на основі чисельних методів.

Отримані результати добре узгоджуються з результатами інших авторів, де було можливо зробити порівняння: це роботи А.Г. Горшкова, В.Г. Богомолова, М.І. Дробишевського (рис.2, рис.3).

Слід зауважити, що для всіх розглянених моделей контакту оболонки з рідиною на "надзвуковому" етапі, доки акустичні збурення не вийшли на вільну поверхню рідини, результати розв'язку задачі практично співпадають. З виходом акустичної хвилі на вільну поверхню остання починає рухатися. Стиснення вільної поверхні рідини "жорстким" або "деформівним" екраном вносить певну похибку в розв'язок задачі. Єдиний підхід до розв'язання задачі занурення в рідину оболонки в різних постановках дозволяє оцінити вплив на хід процесу різних граничних умов на вільній поверхні рідини. Проведене порівняння результатів показало, що більш "жорсткі" умови на вільній поверхні в постановках "надзвукового" етапу завищують значення гідродинамічних навантажень, характеристик напружено-деформованого стану оболонки. Але оскільки ця різниця в значеннях характеристик не надто значна, то для отримання інженерних оцінок розвитку процесу можна рекомендувати спрощену методику розв'язання задач занурення оболонок у рідину в постановці "деформівного" екрану, що суттєво дозволяє скоротити затрати комп'ютерного часу (на один порядок і більше).

У четвертому розділі сформульовані та розв'язані плоска симетрична і осесиметрична задачі вертикального удару затупленого твердого тіла по тонкій пружній пластині (мембрані), що лежить на півпросторі стисливої рідини. Рух пластини описувався рівнянням динаміки тонких пружних пластин типу Тимошенка, а рух мембрани - класичним рівнянням динаміки тонких мембран.

Постановка задачі випливає із загальної постановки задачі 2-го розділу з урахуванням там же перерахованих спрощень і припущень, а також лінеаризації граничних умов і знесення їх на незбурену поверхню рідини. Рухлива, наперед невідома границя області контакту тіла з рідиною визначається в процесі розв'язування задачі як перетин контура тіла з недеформованою поверхнею рідини z = 0 з рівняння

На основі даного підходу для цієї крайової задачі отримаємо нескінченну систему лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно коефіцієнтів розкладу гідродинамічного тиску в ряд Фур'є за відповідною системою ортогональних функцій, де перехідні функції визначаються через функції Бесселя першого роду та елементарні тригонометричні функції, а коефіцієнти визначаються через елементарні тригонометричні функції для плоского випадку і через поліноми Лежандра та їх похідні - для осесиметричного випадку.

Загальний підхід до розв'язання задачі дозволяє оцінити, як впливає на шукані основні характеристики процесу наявність на поверхні рідини тонкої пружної пластини або мембрани. Зокрема, гідродинамічні навантаження (гідродинамічний тиск, гідродинамічна сила) для задачі з пластиною або мембраною на поверхні рідини (суцільні лінії на рис.4, що відповідають залежності від часу гідродинамічної сили для різних значень початкової швидкості удару жорсткої сфери по рідині з мембраною на поверхні) вищі в порівнянні з відповідними характеристиками для задачі в основній постановці для твердого тіла (штрихові лінії на рис.4), що пов'язано з протидією пластини (мембрани) зануренню тіла.

Якщо в попередніх задачах глибина рідини вважалася нескінченною, то наприкінці розділу сформульована та розв'язана осесиметрична задача вертикального удару затупленого твердого тіла по поверхні рідини скінченної глибини . Постановка задачі випливає з основної постановки задачі для твердого тіла. Тільки замість граничної умови на нескінченності будемо мати граничну умову на дні басейну.

Для даної змішаної крайової задачі на основі розвиненого підходу також отримана розв'язуюча нескінченна система інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду. Єдиний підхід до розв'язання задачі дозволяє оцінити вплив на хід процесу занурення акустичних хвиль, відбитих від дна басейну.

У п'ятому розділі сформульована та розв'язана задача удару та занурення в стисливу рідину тонкої пружної кругової циліндричної оболонки з урахуванням одного з основних факторів, супутніх процесу удару та занурення затуплених тіл у рідину - зустрічного руху рідини поблизу поверхні оболонки. З виходом акустичних збурень на вільну поверхню рідини остання починає рухатися, відбувається її підняття поблизу поверхні оболонки, яке збільшує її змочену поверхню і тим самим впливає на шукані характеристики процесу.

Постановка задачі занурення оболонки в рідину з урахуванням зустрічного руху рідини відрізняється від основної постановки задачі (3.1) - (3.8), де цей фактор не враховується, тим, що замість співвідношення (3.8), що визначає границі області контакту оболонки з рідиною як точки перетину контура оболонки з незбуреною поверхнею рідини, використовується співвідношення, що базується на виконанні кінематичної умови збіжності поверхні оболонки і збуреної поверхні рідини в межах їх області контакту і яке дозволяє визначити координати точки відриву вільної поверхні рідини від поверхні оболонки.

У зв'язку з уточненням границі області контакту така модель більш точно описує процес удару та занурення пружних оболонок у рідину. Слід підкреслити: хоча використовувана модель акустичного середовища наперед передбачає малі його збурення біля стану спокою, тобто підняття рідини вважається заздалегідь малим, але для затуплених тіл збільшення площі поверхні області контакту може бути значним.

Для цієї задачі на основі розвиненого підходу отримана розв'язуюча нескінченна система інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, де уточнена границя області контакту, що задається величиною, обчислюється за допомогою розробленої методики, яка дозволяє визначати в процесі розв'язування задачі в уточненій постановці координати точки відриву вільної поверхні рідини від поверхні оболонки для подальшого розрахунку шуканих характеристик процесу.

Загальний підхід до розв'язання задачі занурення оболонки в рідину з урахуванням і без урахування зустрічного руху рідини дозволяє оцінити вплив цього фактора на основні характеристики процесу: неврахування зустрічного руху рідини занижує значення гідродинамічних навантажень і характеристик напружено-деформованого стану оболонки (на 10-20 %): на рис.5 наведено розподіли нормальних переміщень на змоченій поверхні оболонки в різні моменти часу, де суцільні лінії відповідають результатам з урахуванням зустрічного руху рідини, штрихові лінії - без його врахування, а штрих-пунктирні лінії - з використанням постановки "деформівного" екрану.

Якщо в попередніх формулюваннях задач передбачався ідеальний контакт між тілом і рідиною, тобто виключалася можливість відриву рідини від тіла, то в шостому розділі сформульовані та розв'язані плоскі симетричні та осесиметричні задачі удару та занурення в стисливу рідину затуплених твердих тіл і тонких пружних оболонок з урахуванням фактора можливого порушення умови нерозривності контакту поверхонь тіла і рідини в межах змоченої поверхні тіла. В задачах занурення в рідину тонких пружних оболонок розглядається кругова циліндрична оболонка (для плоского випадку) і сферична оболонка (для осесиметричного випадку).

Дана постановка задачі буде відрізнятися від основної постановки задачі удару твердого тіла або пружної оболонки лише тоді, коли відрив рідини від поверхні тіла відбувся. Тоді вважаємо, що в межах змоченої поверхні тіла гідродинамічний тиск в межах області контакту, а в межах області відриву, тобто для оболонки замість граничної умови будемо мати граничні умови.

Наперед невідомі рухливі границі області контакту обчислюються в процесі розв'язування задачі: зовнішня границя області контакту визначається величиною з рівняння, внутрішня границя області контакту, вона ж границя області відриву, визначається величиною із співвідношення.

На основі даного підходу розв'язок задачі в постановці, що дозволяє врахувати фактор можливого відриву рідини від поверхні оболонки, зводиться до спільного розв'язку диференціального рівняння і нескінченної системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно коефіцієнтів розкладу гідродинамічного тиску в ряд Фур'є .

Якщо розглядається задача занурення в рідину твердого тіла, то замість граничної умови (3.9) матимемо граничні умови.

На основі даного підходу для задачі в постановці, що дозволяє врахувати фактор можливого відриву рідини від поверхні затупленого твердого тіла, отримаємо нескінченну систему лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно коефіцієнтів розкладу гідродинамічного тиску в ряд Фур'є.

У розв'язуючих системах інтегральних рівнянь перехідні функції визначаються через функції Бесселя першого роду та елементарні тригонометричні функції, а коефіцієнти,, визначаються через елементарні тригонометричні функції для плоского випадку і через поліноми Лежандра та їх похідні - для осесиметричного випадку.

Єдиний підхід до розв'язання задачі занурення тіл в рідину з урахуванням і без урахування фактору можливого відриву рідини від поверхні тіла дозволяє оцінити його вплив на основні характеристики процесу:

на розглядуваному часовому інтервалі вплив цього фактору на інтегральні характеристики процесу незначний, тому можна рекомендувати для затуплених тіл замість розв'язання задачі в уточненій постановці зі складними граничними умовами розв'язувати задачу в основній постановці;

для визначення кінематичних і локальних характеристик необхідно розв'язувати задачу в уточненій постановці: для кругової циліндричної оболонки (h = 0.05) на рис.6 наведено залежності від часу зовнішньої та внутрішньої границь області контакту, а на рис.7 - залежності часу появи відриву від маси оболонки;

час появи відриву істотно залежить від швидкості занурення: чим вища швидкість, тим раніше може проявитися цей фактор (рис.7);

на розглядуваному часовому інтервалі фактор відриву не проявлявся для відносно важких тіл () (рис.7).

Якщо досі розглядалися лише плоскі симетричні або осесиметричні задачі занурення тіл у рідину, які виключали можливість обертання тіл, то в сьомому розділі сформульовані та розв'язані плоскі несиметричні задачі удару та занурення в рідину затуплених твердих тіл з урахуванням як несиметричності котактуючої з рідиною частини контура тіла відносно нормалі, що проходить через центр мас, так і обертання контура тіла навколо його центра мас. Задача розв'язана для циліндричних тіл різної форми (кругового циліндра зі зміщеним центром мас, еліптичного циліндра, зрізаних параболічного циліндра і тупого клина).

Постановка несиметричної задачі випливає із загальної постановки задачі (2.1) - (2.7) 2-го розділу з урахуванням там же перерахованих спрощень і припущень, а також лінеаризації граничних умов і знесення їх на незбурену поверхню рідини. Таким чином, її розв'язування зводиться до розв'язання змішаної крайової задачі спільно з диференціальним рівнянням поступального переміщення тіла в рідині та диференціальним рівнянням обертання контура тіла навколо центра мас.

Рухливі, наперед невідомі границі області контакту визначаються в процесі розв'язування задачі як перетин контура тіла із незбуреною поверхнею рідини з рівняння.

Розв'язування сформульованої змішаної крайової задачі на основі даного підходу зводиться до спільного розв'язку диференціальних рівнянь поступального і обертального рухів тіла та нескінченої системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно коефіцієнтів розкладу гідродинамічного тиску в ряд Фур'є за косинусами і синусами , де перехідні функції визначаються через функції Бесселя першого роду, а коефіцієнти; - через елементарні тригонометричні функції.

Паралельно розглядалася також інша модель контакту твердого тіла з рідиною - модель "надзвукового” етапу в постановці "жорсткого" екрану, де замість граничної умови на вільній поверхні рідини використовується гранична умова.

Для цієї незмішаної крайової задачі на основі розвиненого підходу отримана розв'язуюча нескінченна послідовність лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно коефіцієнтів розкладу гідродинамічного тиску в ряд Фур'є за косинусами і синусами.

Даний підхід дозволяє визначати всі локальні та інтегральні характеристики процесу: кінематичні характеристики, гідродинамічні навантаження залежно від часу, початкової швидкості занурення, маси тіла, кута асиметрії, який характеризує початкову несиметричність контура тіла відносно нормалі, що проходить через центр мас.

Загальний підхід до розв'язання задачі занурення з урахуванням і без урахування несиметричності контура циліндричного тіла відносно нормалі до незбуреної поверхні рідини, що проходить через центр мас, дозволяє оцінити вплив цього фактору на шукані характеристики процесу.

На основі аналізу окремих результатів можна зробити наступні висновки:

несиметричність контактуючої з рідиною частини контуру може істотно вплинути як на розподіл по області контакту гідродинамічного тиску, так і на розміщення і ширину області контакту;

вплив кута асиметрії в діапазоні на інтегральні характеристики незначний, тобто для кутів асиметрії з цього діапазону при визначенні гідродинамічної сили можна використовувати симетричну постановку задачі (значення відрізняються в межах 5 %);

для кругового циліндра зі зміщеним центром мас графік залежності від кута асиметрії максимумів модулів моментів реакції симетричний відносно кута , досягаючи там свого абсолютного максимуму (рис.8);

для еліптичного циліндра графік залежності від кута асиметрії максимумів гідродинамічної сили симетричний відносно кута , досягає там свого абсолютного мінімуму, а абсолютного максимуму гідродинамічна сила досягає при симетричному зануренні, тобто для кутів асиметрії ;

для еліптичного циліндра графік залежності від кута асиметрії максимумів модулів моментів реакції центрально симетричний відносно кута , досягаючи свого абсолютного мінімуму (нульового значення) при симетричному зануренні (для кутів асиметрії); крім того графік досягає свого абсолютного максимуму при деякому куті асиметрії, значення якого залежить від геометричних характеристик еліпса;

при обчисленні гідродинамічної сили для клинів з масою можна використовувати спрощену методику розв'язання задачі з постійною швидкістю занурення, тобто для (рис.10), що значно спрощує реалізацію алгоритму розв'язання задачі;

для зрізаного тупого клина скінченої маси спостерігається зменшення з часом значень чисел Маха його граней, причому тим швидше, чим менша маса клина.

Єдиний підхід до розв'язання задачі занурення з урахуванням і без урахування обертального руху контура циліндричного тіла навколо центра мас дозволяє оцінити вплив цього фактора на основні характеристики процесу. У зв'язку із затупленістю розглядуваних тіл поворот тіла навіть на малий кут може істотно вплинути як на величини шуканих характеристик, так і на розміщення і ширину області контакту. Особливо це спостерігається у випадку занурення затупленого зрізаного параболічного циліндра з великим кутом асиметрії: на рис.9 суцільні лінії відповідають розподілу гідродинамічного тиску з урахуванням обертального руху контура циліндричного тіла навколо центра мас, а штрихові лінії - без його врахування.

Аналітичний розв'язок несиметричної задачі удару по стисливій рідині тупого твердого клина з постійною швидкістю занурення, наведений у монографії А.Я. Сагомоняна, де враховується тільки вплив несиметричності контура клина, але не враховується вплив на хід процесу маси клина (занурення зі змінною швидкістю) і обертання його навколо центра мас, є частковим граничним випадком розв'язку несиметричної задачі занурення для клина нескінченної маси, отриманого на основі наведеного в дисертації підходу.

Можна зазначити, що використання моделі "надзвукового" етапу з "жорстким" екраном на вільній поверхні рідини (штрихова лінія на рис.8) завищує характеристики процесу, що отримані для моделі в основній постановці, хоча різниця між відповідними характеристиками незначна. Тому можна рекомендувати застосовувати спрощену методику для інженерних розрахунків на міцність з використанням моделі процесу з "жорстким" екраном на вільній поверхні рідини, що дозволяє значно зменшити витрати комп'ютерного часу (на один порядок і більше).

У восьмому розділі сформульована та розв'язана плоска несиметрична задача удару та занурення в рідину тонкої пружної кругової циліндричної оболонки, що обертається навколо своєї осі з заданою кутовою швидкістю . Постановка даної несиметричної задачі відрізняється від наведеної в 3-му розділі основної постановки симетричної задачі тим, що гранична умова на змоченій поверхні оболонки враховує кут повороту оболонки навколо своєї осі. Таким чином, її розв'язування зводиться до розв'язання змішаної крайової задачі спільно з диференціальним рівнянням поступального переміщення оболонки в рідині та системою основних рівнянь динаміки тонких пружних оболонок, заснованої на гіпотезах Кірхгофа - Лява, що описує рух кругової циліндричної оболонки, яка знаходиться в стані плоскої деформації.

Наперед невідома, рухлива границя області контакту оболонки з рідиною визначається в процесі розв'язування задачі як перетин поверхні оболонки з недеформованою поверхнею рідини з рівняння.

На основі розвиненого підходу розв'язання змішаної крайової задачі (8.1) - (8.9) зводиться до спільного розв'язку диференціального рівняння (8.6) і нескінченної системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно коефіцієнтів розкладу гідродинамічного тиску в ряд Фур'є за косинусами та синусами, де перехідні функції визначаються через функції Бесселя першого роду та елементарні тригонометричні функції, а коефіцієнти,,, визначаються через елементарні тригонометричні функції.

Паралельно розглядалися також вищенаведені моделі контакту оболонки з рідиною "надзвукового” етапу, постановки яких відрізняються від основної постановки граничною умовою на вільній поверхні рідини. На основі розвиненого підходу для цих незмішаних крайових задач отримано розв'язуючі системи інтегральних рівнянь: для постановки "жорсткого" екрану на вільній поверхні рідини - нескінченну систему лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, а для постановки "деформівного" екрану на вільній поверхні рідини - нескінченну послідовність лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду.

Єдиний підхід до розв'язування задачі з урахуванням і без урахування обертання оболонки навколо своєї осі дозволяє оцінити вплив цього фактору на характеристики процесу.

На основі аналізу окремих результатів можна стверджувати, що обертання оболонки впливає на гідродинамічні навантаження та напружено-деформований стан оболонки:

розподіли гідродинамічного тиску для оболонки, що обертається і не обертається (симетричний удар), з часом все більше відрізняються один від одного, причому в напрямку до границі області контакту, протилежному напрямку обертання оболонки, тиск підвищується, а в напрямку, що збігається з напрямком обертання оболонки, тиск падає;

нормальні переміщення оболонки на розглядуваному часовому інтервалі скупчені переважно в межах області контакту, причому точка досягнення максимального значення нормальних переміщень зміщується по поверхні оболонки в напрямку, протилежному напрямку обертання оболонки, залишаючись при цьому в межах області контакту;