Математичні моделі, методи й алгоритми просторовочасового аналізу магнітних полів та їх застосування в системах діагностики і виявлення

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

05.13.06 - автоматизовані системи управління та прогресивні информаційні технології

Математичні моделі, методи й алгоритми просторовочасового аналізу магнітних полів та їх застосування в системах діагностики і виявлення

Прімін Михайло Андрійович

Київ 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України

Науковий консультант:

доктор технічних наук, професор, член-кореспондент НАН України Войтович Ігор Данилович, Інститут кібернетики НАН України, завідуючий відділом.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор, Ємець Юрій Петрович, Інститут електродинаміки НАН України, провідний науковий співробітник

доктор технічних наук, Корепанов Валерій Євгенійович, Львівський центр Інституту космічних досліджень, НАНУ та НКАУ, завідуючий відділом

доктор технічних наук, професор, Самойлов Віктор Дмитрович, Інститут проблем моделювання в енергетиці НАН України, завідуючий відділом.

Провідна установа: Національний технічний університет України ”Київський політехнічний інститут”.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради О.В. Романов

Анотація

Прімін М.А. Математичні моделі, методи й алгоритми просторово-часового аналізу магнітних полів та їх застосування в системах діагностики і виявлення. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.13.06 - автоматизовані системи управління та прогресивні інформаційні технології. Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2000.

Виконані теоретичні обґрунтування та розроблені математичні моделі, методи та алгоритми просторово-часового аналізу магнітних полів, які базуються на аналітичних методах розв'язання оберненої задачі магнітостатики та забезпечують створення нових інформаційних технологій перетворення магнітометричної інформації у задачах діагностики та виявлення. Розроблені та досліджені схеми вимірювань параметрів магнітного поля об'єкта, запропоновані нові алгоритми аналізу їх просторової структури, які забезпечують підвищення точності при розв'язанні задач виявлення та локалізації джерела сигналу. Розроблені методи та алгоритми перетворення та аналізу магнітокардіосигналу, що реалізовані у системах діагностики найбільш поширених патологій серця людини, висока ефективність яких підтверджена експериментально.

Ключові слова: обернена задача магнітостатики, магнітний диполь, джерело поля, аналітичний метод, магнітокардіографія, градієнтометр, СКВІД, статистичний аналіз, схема вимірювань, просторова структура поля.

Annotation

Primin M.A. Mathematical models, methods and algorithms of spatial-time analysis of magnetic fields and their application in the diagnostic and detection systems - manuscript.

Thesis for the doctor of technical sciences degree by speciality 05.13.06 - automation control systems and progressive information technologies. The Institute of Cybernetics named by V.M. Glushkov of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2000.

Theoretical motivations are executed and mathematical models, methods and algorithms of spatial-time analyses of magnetic fields are designed. These algorithms are based on analytical methods of inverse problem of magnetostatics solution and provide creation of new information technologies of magnetometric data transformation in the problems of diagnostics and detection. Measurement schemes for magnetic field parameters of the object were developed and studied. New algorithms of analysis of spatial field structure, which provide for higher accuracy of solution of field source detection and localization problem, were proposed. Methods and algorithms of transformation and analysis of magnetocardiosignals are developed. They were implemented in the diagnostic systems for the widespread pathologies of human heart. High efficiency of the developed methods was confirmed by experiments.

Key words: inverse problem of magnetostatics, magnetic dipole, field source, analytical method, magnetocardiography, gradiometer, SQUID, statistical analyses, measurement scheme, spatial structure of field.

Аннотация

Примин М.А. Математические модели, методы и алгоритмы пространственно-временного анализа магнитных полей и их применение в системах диагностики и обнаружения . - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.13.06 - автоматизированные системы управления и прогрессивные информационные технологии. Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2000.

Выполнены теоретические обоснования и разработаны математические модели, методы и алгоритмы пространственно-временного анализа магнитных полей, которые основаны на аналитических методах решения обратной задачи магнитостатики и обеспечивают создание новых информационных технологий преобразования магнитометрической информации в задачах диагностики и обнаружения.

Разработаны и исследованы схемы измерений параметров магнитного поля объекта, предложены новые алгоритмы анализа их пространственной структуры, которые повышают точность решения задачи обнаружения и локализации источника поля.

Предложены и исследованы принципиальные конструкции программно-управляемых источников магнитного поля. Применение таких источников поля и разработанных методов и алгоритмов преобразования магнитометрической информации позволило найти решение важной прикладной задачи по определению местоположения измерителя (объекта с измерителем на борту) в системе координат заданного (одного или нескольких) источника поля.

Предложены и исследованы математические модели и алгоритмы решения обратной задачи магнитостатики для источника поля в виде двумерного слоя тока распределенного в плоскости, параллельной плоскости измерений. Для одноканальной и многоканальной магнитометрических систем найдены условия, определяющие как оптимальное количество точек измерения, так и оптимальное (с точки зрения последующей точности решения обратной задачи) расстояние между исследуемым объектом и плоскостью измерений.

Разработаны и предложены математические модели для описания источника кардиомагнитного сигнала, которые учитывают особенности распространения волны возбуждения за время кардиоцикла. Разработаны новые математические модели анализа гомогенности процесса возбуждения периода реполяризации на основе оценивания источника биомагнитного сигнала по двумерному распределению вектора плотности тока.

Предложены алгоритмы анализа решения обратной задачи магнитостатики при исследовании групп пациентов с помощью методов снижения размерности пространства описания.

Разработана структура и созданы программно-инструментальные средства для решения исследовательских и диагностических задач в кардиологии. Предложены и исследованы методы и алгоритмы преобразования и анализа магнитокардиосигнала, которые реализованы в системах диагностики наиболее распространенных патологий сердца человека, а их высокая эффективность подтверждена экспериментально.

Ключевые слова: обратная задача магнитостатики, магнитный диполь, источник поля, аналитический метод, магнитокардиография, градиентометр, СКВИД, статистический анализ, схема измерений, пространственная структура поля.

1. Загальна характеристика роботи

магнітний поле фізичний

Дисертація присвячується розробці математичних моделей, методів і алгоритмів просторово - часового аналізу магнітних полів і суттєво пов'язана з розвитком нових, прогресивних інформаційних технологій у галузі перетворень параметрів магнітних полів об'єктів для систем діагностики та виявлення. Її наповнення являє собою взаємозв'язану сукупність досліджень, направлених на створення теоретичних основ побудови магнітометричних систем різного призначення, методів перетворення та аналізу інформації, яка ними реєструється.

Особливістю цієї галузі досліджень є тісне переплетіння та взаємозв'язок фундаментальних результатів фізики низьких температур (криогенні системи, надчутливі датчики магнітного поля, спеціальна електроніка та технології), електрофізики, математики, автоматизації досліджень і суто прикладних аспектів, які вже сьогодні знайшли практичне застосування в медицині та інших галузях. Не дивлячись на значну різноманітність питань, які розглядаються, тільки такий підхід дозволив ефективно корегувати кожен з напрямків досліджень, оцінювати можливості запропонованих рішень, уникати безвихідних варіантів.

У дисертаційній роботі узагальнені результати робіт автора, виконаних у 1986-2000 рр. і присвячених розробці нових аналітичних методів розв'язання оберненої задачі магнітостатики, дослідженню схем вимірювання параметрів магнітного поля об'єкта, розробці принципів побудови магнітометричних систем різного призначення.

Актуальність теми. За останні роки підвищився інтерес до задач просторового аналізу фізичних полів різної природи. З одного боку, це пов'язано з появою нових вимірювальних систем, створених на нових фізичних принципах, а з іншого - наявністю високопродуктивних обчислювальних засобів, які дозволяють автоматизувати процес вимірювань і виконати обробку даних за час, близький до реального. До цього класу задач можуть належати задачі виявлення та локалізації (визначення місцеположення) джерела магнітного поля за відомими (виміряними) в одній чи декількох точках простору параметрами його магнітного поля чи, наприклад, дослідження магнітних полів біологічного походження.

Прагнення отримати додаткову інформацію про живі системи шляхом аналізу їх магнітних полів призвело до того, що найбільш значні результати в цій галузі отримані при проведенні біомагнітних досліджень (дослідження серця, мозку людини і т. ін.). Причому, як вимірювач у даному випадку використовують магнітометричні системи на основі надпровідних квантових інтерферометричних датчиків (СКВІДів), які являють собою якісно новий крок у вимірювальній техніці. Магнітометричні системи на основі СКВІДів дозволяють вимірювати не тільки абсолютні варіації магнітного поля, але й просторові похідні. Поєднання амплітудних і градієнтних методів вимірювання слабких магнітних полів дозволяє знизити рівень шумового сигналу і, таким чином, виділити “ корисний ” сигнал на фоні магнітних перешкод навіть без застосування спеціальних екранів.

Великий вклад у розвиток теорії і техніки СКВІДів та приладів на їх основі внесли Бондаренко С.І., Васильєв Б.В., Войтович І.Д., Гуляєв Ю.В., Данилов В.В., Дмитренко І.М., Лихарєв К.К., Маслєнніков Ю.В., Матлашов А.М., Махов В.І., Семенов В.К., Снігірьов О.В., Сосницький В.М., Шнирков В.І.. На основі цих фундаментальних результатів практичну спрямованість отримали створені в Україні магнітометричні системи для геофізичних і нейромагнітних досліджень (Харків, ФТІНТ), а магнітометрична система, розроблена в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України під керівництвом І.Д. Войтовича, багато років використовується для дослідницьких і діагностичних цілей у Київському інституті кардіології ім. М.Д. Стражеска.

Вимірювання парамерів магнітного поля досліджуваного об'єкта вирішує лише частину задачі - технічну, оскільки часто є необхідність визначити й місцезнаходження (координати) джерела (об'єкта) та його електромагнітні характеристики. Отримання такої інформації припускає інтерпретацію результатів вимірювань і вимагає розробки математичних моделей та методів відновлення просторово - часової картини розподілення джерел поля за їх відомими (виміряними) параметрами магнітного поля. Через те що максимальні частоти біомагнітних сигналів і сигналів від джерел, для яких ставиться задача виявлення й визначення місцезнаходження об'єкта, знаходиться в діапазоні до 1000 Гц, то сформульована задача обробки даних суттєво є оберненою задачею магнітостатики. Її розв'язання включає в себе: визначення набору характеристик магнітного поля, які повинні бути задані; розміщення в просторі точок спостереження, де задають (вимірюють) характеристики; модель джерела поля; математичний метод визначення параметрів об'єкта за заданими характеристиками. Звідси випливає, що саме на основі математичних моделей і методів розв'зування оберненої задачі магнітостатики може бути виконаний синтез як вимірювальної системи, так і алгоритмів обробки даних вимірювань.

Відомі методи розв'язання оберненої задачі магнітостатики, як правило, є наближеними, багатоступеневими, не враховують особливості вимірювань і конструктивні параметри датчиків вимірювальної системи, вимагають застосування потужних обчислювальних засобів і, таким чином, не відповідають вимогам точності, достовірності й оптимальному рівню затрат при розв'язуванні практичних задач. Можливо це пов'язано з тим, що розробка магнітометричних систем виконується одними авторами, методи цифрової обробки сигналу - другими, розв'язання задач просторово-часового аналізу магнітних полів - третіми, а постановка задач у предметній області - четвертими. Все це свідчить про відсутність цілісної системи знань, що не дозволяє на сучасному рівні сформулювати і тим паче вирішити проблему просторово - часового аналізу магнітних полів у системах діагностики і виявлення об'єктів.

Таким чином, актуальною науковою проблемою, яка розв'язується у дисертаційній роботі, є здійснення нового вирішення задач перетворення інформації в системах діагностики і виявлення об'єктів, яке базується на розробці і дослідженні математичних моделей, методів і алгоритмів просторово-часового аналізу магнітних полів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках наступних тем і програм: тема № 6.3.1 (850), КН 225.05 “Розробка і створення інструментальних засобів та методів розв'язання задачі просторового аналізу слабких магнітних полів для пасивної локації об'єктів і біомагнетизму” (1992-1993 рр.); тема № 6.03.01 / 013 - 92 “Розробка і створення інструментальних засобів для розв'язання задачі обробки, аналізу та відображення слабких магнітних полів різної фізичної природи на основі використання ПЕОМ і реєструючих датчиків за новими фізичними принципами” Держкомітету України з питань науки та технологій (1992-1994 рр., наказ № 39 від 05.03.92); тема В.Г.Є. 225.04 “Розробити і створити на основі перспективних ПОК, які реалізують функції експертних систем для предметних галузей (на прикладі задач електродинаміки), інструментальний комплекс для формування баз наукових знань” (1994-1995 рр.), виконана згідно з Постановою Президії НАН України; спецтема “Вінета - УА” (1993-1994 рр.), виконана згідно з постановою Секції прикладних проблем АН України, “Розробка теорії та створення методів, алгоритмів та інструментальних засобів для виявлення та визначення методами пасивної магнітної локації координат металевих предметів (зброї, боєприпасів, техніки і т. ін.), які наближаються до об'єкта, що охороняється, а також металевих предметів або техніки, які знаходяться або рухаються під водою, під землею чи у повітрі”; тема № І.П. 225.01 “Розробка і створення нових методів та алгоритмів вимірів, та програмних засобів з метою розв'язування задач просторового аналізу слабких магнітних полів” (1996-1997 рр. ); тема № В.Ф. 220.01 “Інтегровані технології та системи реєстрації, обробки та відображення сигналів” (1997-1999 рр.); тема № В.Ф. 220.03 “Дослідження сенсорних елементів та розробка автоматизованих мультисенсорних систем для розв'язання діагностичних задач у медицині та екології” (початок досліджень 1 кв. 2000 р., закінчення - 2003 р.).

Частина наукових результатів була отримана і реалізована в реальних магнітометричних системах за сприянням Об'єднаного фонду Уряду України та Міжнародного Наукового фонду в рамках виконання проекту “Розробка нових методів аналізу слабких магнітних полів: дослідження електромагнітної активності серця під час переходу з одного типу ритму на інший” (грант № K1U100, 1995-1996 рр.).

Мета та задачі досліджень. Метою проведених досліджень є створення комплексу інструментальних засобів (математичних моделей, нових аналітичних методів розв'язання оберненої задачі магнітостатики, алгоритмів просторово-часового аналізу магнітних полів) для розв'язування задач реєстрації та аналізу просторової структури магнітних полів фізичних об'єктів і перевірка їх при розробці одноканальної та багатоканальної магнітометричних систем для магнітокардіографічних досліджень.

Основні задачі, розв'язок яких у даній дисертаційній роботі забезпечив досягнення поставленої мети:

- на основі аналізу структури магнітних полів, сучасних методів обробки та аналізу магнітометричної інформації сформулювати обернену задачу магнітостатики для дипольного джерела поля, розробити математичні моделі та аналітичні методи її розв'язання;

- розробити алгоритми та імовірносні критерії оцінки достовірності виявлення і локалізації об'єкта, виконати чисельне моделювання алгоритмів;

- розробити алгоритми розв'язання оберненої задачі та виконати аналіз обробки даних вимірів магнітометричної інформації, яка отримується розподіленою у просторі магнітометричною системою, знайти алгоритми розв'язання задачі, виходячи з визначення місцезнаходження датчиків поля у системі координат додаткового джерела поля (одного чи декількох);

- розробити математичні моделі і алгоритми розв'язання оберненої задачі магнітостатики для джерела поля у вигляді двомірного розподілення вектора густини струму, що розміщений у площині, яка паралельна площині вимірів, з урахуванням конструктивних параметрів трансформаторів магнітного потоку, градієнтометрів магнітометричної системи;

- розробити структуру програмно-інструментальних засобів магнітокардіографа, алгоритми реєстрації, попередньої обробки і локалізації аритмогенних тканин;

- розробити методи оцінки результатів розв'язання оберненої задачі при дослідженні магнітокардіосигналу: алгоритми виявлення ішемічних змін; моніторинг протікання кардіологічних захворювань, а також створити програмно-інструментальні засоби та перевірити в експериментах основні гіпотези і розроблені на їх основі математичні моделі та методи розв'язання сформульованих задач.

Методи досліджень. Основним методом досліджень є математичне моделювання з подальшою експериментальною перевіркою прийнятих гіпотез. Розв'язання оберненої задачі магнітостатики для дипольного джерела поля отримано аналітичним шляхом за допомогою апарата власних векторів. Такий підхід передбачає відмову від сваволі у виборі системи координат (у заданій системі координат задача не має аналітичного розв'язку); переході у нову систему координат, яка пов'язана з базисними векторами, що збігаються за напрямком з власними векторами матриці просторових похідних вектора магнітної індукції; розв'язання задачі у новій системі координат і “поверненні” розв'язків у задану (лабораторну) систему координат за допомогою оператора (матриці) переходу. При розв'язанні оберненої задачі магнітостатики для джерела поля у вигляді системи струмів, розподіленої у площині, яка паралельна площині вимірів, використано аппарат інтегрального перетворення Фур'є, методи і прийоми чисельного аналізу. Аналіз розв'язків оберненої задачі магнітостатики при дослідженні магнітокардіосигналу виконаний з використанням методів багатомірного статистичного аналізу даних.

Достовірність результатів розв'язання задач забезпечена максимальною відповідністю моделей до їх фізичних аналогів. Невелика кількість припущень при постановці задач практично не спотворює реальну картину досліджуваних явищ, а результати експериментальних досліджень, наприклад, у магнітокардіографії підтверджені іншими (інвазивними) методами.

Наукова новизна одержаних результатів. Сукупність проведених у роботі досліджень та заснованих на них розробок являє собою теоретичне узагальнення, яке полягає в тому, що на основі аналізу запропонованих математичних моделей та нових методів дослідження просторової структури магнітних полів об'єктів різноманітної фізичної природи побудовані математичний апарат та інструментальні засоби, які забезпечують розробку магнітометричних систем для розв'язання задач реєстрації, обробки та перетворення інформації в системах діагностики та виявлення з максимальною швидкістю і достовірністю.

Уперше створені наукові основи для розробки магнітометричних комплексів, виходячи із запропонованих аналітичних методів розв'язання оберненої задачі магнітостатики, а також розроблені нові підходи і алгоритми, які забезпечують їх оптимальний розв'язок. Все це дозволило досягти більш високого рівня ефективності аналізу процесів у різноманітних прикладних областях і є розв'язанням важливої науково - технічної проблеми.

До основних нових наукових результатів, які складають зміст сформульованої проблеми та виносяться до захисту, належать:

Розвиток методів розв'язання оберненої задачі магнітостатики для дипольного джерела поля, які засновані на використанні виявлених дисертантом властивостей вектора магнітної індукції та матриць просторових похідних першого і другого порядку цього вектора в однорідному, немагнітному, непровідному просторі. Уперше розв'язання задачі, які визначають місцезнаходження (координати) джерела поля та його магнітний момент, отримані у вигляді точних аналітичних виразів.

Уперше на основі запропонованого аналітичного методу, який визначає необхідні вхідні дані для розв'язання оберненої задачі, розроблені нові схеми вимірів параметрів магнітного поля об'єкта. При цьому кожний із алгоритмів вимірів дає можливість отримати самостійний, незалежний розв'язок оберненої задачі, а їх об'єднання в просторово - розподілену систему, з одного боку, підвищує надійність всієї вимірчої системи (вихід з ладу одного чи декількох вимірників не несе фатальних наслідків для розв'язання задачі), а з іншого - підвищує точність і достовірність визначення координат об'єкта за рахунок багаторазового її розв'язання.

Уперше запропоновано і теоретично обґрунтовано оригінальний спосіб визначення місцезнаходження вимірників магнітометричної системи (об'єкта з вимірниками на борту), який заснований на розроблених методах перетворення виміряних параметрів магнітного поля заданого джерела (поза об'єктом) магнітометричною системою (може бути розташована на борту об'єкта). Точність визначення координат об'єкта підвищується за рахунок розроблених схем розташування вимірників на об'єкті та зменшення обсягу розрахунків (порівняно з відомими методами).

Уперше розроблено спосіб визначення місцезнаходження дипольного джерела поля та його магнітного моменту, заснований на вимірюванні заданих просторових похідних вектора магнітної індукції в різних точках площини, яка збігається з площиною розташування розподіленої в просторі вимірювальної системи і перетворення цієї інформації за допомогою запропонованих дисертантом аналітичних методів розв'язання оберненої задачі магнітостатики.

Запропоновано новий алгоритм розв'язання оберненої задачі магнітостатики для джерела поля у вигляді двомірного шару струму в площині, паралельній площині вимірів, який відрізняється від відомих тим, що при обробці магнітометричної інформації враховуються конструктивні параметри та схема включення окремих котушок СКВІД-градієнтометрів вимірювальної системи, що підвищує точність визначення просторової структури джерела сигналу.

Уперше розроблено алгоритми отримання вхідних даних (незалежних елементів матриць просторових похідних вектора магнітної індукції) для розв'язання задачі локалізації дипольного джерела магнітного поля за умови, що виміри параметрів поля виконують в однорідному, немагнітному, непровідному просторі в точках площини одноканальної чи багатоканальної магнітометричної системи. Точність розв'язання цієї задачі вища, ніж відомими методами, за рахунок застосування нових алгоритмів аналізу просторової структури виміряного поля та виділення на основі знайдених дисертантом критеріїв точок площини, щодо яких розв'язується обернена задача для дипольного джерела.

Уперше запропоновано і досліджено при розв'язанні задач в кардіології алгоритми оцінювання розв'язку оберненої задачі магнітостатики, засновані на методах зниження розмірності простору опису. На першому кроці розмірність простору опису досліджуваного процесу на виділеному інтервалі кардіоциклу зменшується за рахунок використання розроблених дисертантом алгоритмів параметризації даних знайденого розв'язку, а на другому - використанням покрокових (STEPWISE) алгоритмів багатомірного статистичного аналізу. Отримані практичні результати досліджень груп кардіологічних пацієнтів, які перевищують відомі.

Більше 20 наукових робіт пріоритетно опубліковані в зарубіжних наукових виданнях та матеріалах конференцій. Отримані теоретичні результати перевірені на практиці під час розробки магнітометричних комплексів (одноканального і багатоканального), які використовуються в дослідницьких та діагностичних цілях у кардіологічних клініках. Це дозволило, з одного боку, уточнити області застосування більшості розроблених алгоритмів та підвищити ефективність роботи магнітометричних систем, а з другого - отримати (Franz - Volhard - Klinik, Berlin, Germany) практичні результати при розв'язанні кардіологічних задач, які перевищують відомі.

Практична значимість та реалізація результатів дисертаційної роботи полягає у тому, що розроблені математичні моделі і методи перетворення інформації в магнітометричних системах можуть слугувати теоретичною базою для створення магнітометричних комплексів різноманітного призначення. Застосування нових аналітичних методів розв'язання оберненої задачі дозволяє обґрунтувати необхідні вимірні ресурси (визначити технічні засоби) для виявлення і локалізіції джерела поля (об'єкта). Дослідження показали, що на основі аналітичного методу розв'язку оберненої задачі магнітостатики можна розробляти (з урахуванням заданих вимог чи обмежень) алгоритми отримання вихідних даних і тим самим впливати на склад та зміст технічних засобів. Це дозволяє змінити традиційну уяву про взаємозв'язок “технічні засоби” - “програмне забезпечення” - “задача” і розглядати її в такій послідовності: “задача” - “метод розв'язання і програмне забезпечення” - “технічні засоби”.

Математичні моделі, методи і алгоритми розв'язання задач просторово-часового аналізу магнітних полів використовувалися при виконанні планових науково-дослідницьких робіт Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова, які виконувалися і виконуються під керівництвом і / або безпосередній участі автора. Від ряду організацій отримані документи, які підтверджують упровадження результатів роботи.

Декларація особистого вкладу здобувача в основних роботах, які виконані у співавторстві. Усі наукові результати дисертації отримані дисертантом самостійно. У роботах [17, 913, 15] автору належать постановка задач, розробка математичних моделей, головні ідеї та обґрунтування математичних методів, основні математичні викладки, постановка чисельних експериментів, аналіз результатів; у [14] - постановка задач перетворення магнітокардіосигналу, алгоритми розв'язання прикладних медичних задач, аналіз результатів; у [16] - постановка задачі, аналіз діагностичних параметрів, аналіз результатів досліджень; у [8] - постановка і розв'язання оберненої задачі, алгоритми локалізації аритмогенних тканин.

У більшості перелічених робіт долею участі співавторів було, як правило, більш детальне опрацювання задач, які розв'язуються, розробка програмного забезпечення, виконання розрахунків. Розробка структури програмного забезпечення магнітокардіографа, розробка програмно-інструментальних засобів виконані під керівництвом здобувача та за його безпосередньою участю.

Всім своїм співавторам і колегам автор щиро дякує за співробітництво.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, які складають основний зміст роботи, доповідалися та обговорювалися на наступних міжнародних, республіканських конференціях і семінарах: 16-му та 17-му семінарах з прикладної надпровідникової електроніки та біомагнетизму (Київ, 1992, 1995); 2-й Всесоюзній конференції з теоретичної електротехніки (Вінниця, 1991); 14-й міжнародній конференції з прикладної надпровідності та надпровідникових матеріалів (Київ, 1992); 1-му міжнародному слов'янському конгресі з електростимуляції та клінічної електрофізіології серця (Санкт-Петербург, 1993); Трьохсторонньому німецько-російсько-українському семінарі з високотемпературної надпровідності (Німеччина, 1994, 1996; Росія, 1998); міжнародних конференціях Biomag '93, Biomag '96, Biomag '98 (Австрія, 1993; США, 1996; Японія, 1998); Світовому конгресі з фізики в медицині та біомагнетизму (Франція, 1997, 2000); 21-й щорічній науковій сесії Товариства електрофізіологів Північної Америки (США, 2000); семінарах наукової Ради з проблеми “Кібернетика” (Київ, 1988-2000).

Публікації. За матеріалами досліджень опубліковано 48 робіт. Основні результати дисертаційної роботи викладені в 20, які включають монографію, статті у вітчизняних спеціалізованих журналах “Электронное моделирование”, “Управляющие системы и машины”, міжнародних - “International journal of applied electromagnetics in materials”, “Cryogenics”, “International journal of applied electromagnetics in mechanics”.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з титульного аркуша, змісту, вступу, п'яти розділів, висновку, списку літератури, додатків. Обсяг тексту від титульного аркуша до списку літератури (викладеного на 14 сторінках ) включно 297 сторінок, що містять 66 рисунків і 4 таблиці. Обсяг додатків - 98 сторінок, у тому числі 57 рисунків.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність проблеми, яка вирішується, сформульована мета досліджень, розглянуті наукова новизна і практична значимість отриманих результатів, наведені дані про особистий вклад автора, апробацію роботи і публікації.

У першому розділі розглянуто стан проблеми в області створення математичних моделей, методів і алгоритмів просторово-часового аналізу слабких магнітних полів, сформульована обернена задача магнітостатики для джерела поля у вигляді магнітного диполя.

Через те що дослідження, які виконуються у дисертаційній роботі, спрямовані на аналіз просторової структури стаціонарного магнітного поля, то в першому розділі наведені основні співвідношення теоретичної моделі (випливають із рівнянь Максвела), деякі окремі розв'язки прямої задачі магнітостатики, а також отримані основні співвідношення параметрів магнітного поля дипольного джерела в однорідному, немагнітному, непровідному просторі. Для виявлення основних принципів і закономірностей з метою створення математичної моделі, яка б пов'язувала результати вимірювань параметрів магнітного поля з місцеположенням джерела у просторі та його електромагнітними характеристиками, в першому розділі розглянуто також і особливості об'єктів, які можуть бути подані у вигляді джерела магнітного поля. Якщо джерело поля апроксимовано магнітним диполем з магнітним моментом M і знаходиться на початку координат, то в точці Q з радіусом-вектором r він створює поле, вектор магнітної індукції якого

B(Q)=g(r) М, (1)

де g(r) - функція Гріна.

У роботі показано, що величини В і Вr, виміряні в одній точці простору, однозначно описують магнітне поле єдиного джерела. На основі цього сформульована обернена задача магнітостатики для джерела поля у вигляді магнітного диполя. Вибір як джерела поля магнітного диполя принципіально відрізняє постановку оберненої задачі від відомих і дозволяє, як буде показано, отримати аналітичний розв'язок оберненої задачі.

Вхідними даними для розв'язання оберненої задачі магнітостатики є деякий набір характеристик магнітного поля, значення яких, у даному випадку, знаходять через виміри. Якщо допустити, що джерело поля єдине, а характеристики поля, які вимірюються, є розв'язком прямої задачі магнітостатики для диполя з невідомими параметрами r і М, то із (1) можна отримати систему алгебраїчних рівнянь для визначення шести невідомих величин (r_x, r_y, r_z, M_x, M_y, M_z). Кожне із рівнянь системи лінійне щодо вектора магнітного моменту M і суттєво нелінійне щодо радіуса-вектора r. Наближений розв'язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь отримують у відомих роботах за допомогою чисельних методів. Коротко їх суть у наступному. Задача розв'язання системи n рівнянь

_i (x₁,x₂, ... ,x_n) = b_i (i = 1,2, ... ,n) (2)

з n невідомими x₁, ... ,x_n зводиться до задачі мінімізації деякого функціоналу F, мінімум якого відповідає мінімальній похибці між лівою і правою частинами рівнянь (2). При розрахуванні цієї задачі ітераційними методами невідомим величинам x_i приписують початкові значення і будують послідовні наближення

, (3)

які сходяться до деяких значень _i , за яких виконується умова

_i ( b_i) . (4)

У рівнянні (3): i =1, ..., n; j= 0,1,2…; - характеризує вибір “напряму” j-го кроку ітераційного процесу; - використовується як параметр, мінімізуючий функціонал F.

Якщо в (4) - задана похибка, то значення _i , називається наближеним розв'язком системи рівнянь (2).

У роботі проаналізовані також ітераційний метод розв'язання задачі при вимірюванні вектора магнітної індукції в двох різних точках простору, метод обробки даних, який припускає сполучення різницевих схем та ітераційних методів, і метод найменших квадратів.

Зазначимо, що практично всі відомі ітераційні методи розв'язування оберненої задачі за своєю суттю відрізняються способом побудови функціоналу, мінімізація якого виконується різними способами. Крім того, методи обробки інформації відрізняються й алгоритмами отримання вимірювальної інформації.

Основні особливості ітераційних методів, які дуже суттєві при розв'язуванні задачі локалізації об'єкта: вплив вибору початкового наближення на похибку результатів і на збіжність ітераційного процесу; багатоступінчастість обробки інформації; обов'язкове використання високопродуктивної обчислювальної техніки для отримання розв'язку в реальному масштабі часу.

Аналіз основних, найчастіше застосовуваних методів розв'язання задач просторово-часового аналізу магнітних полів джерел різної фізичної природи, свідчить про ситуацію, яка склалася в цій області, коли визначальним фактором для дослідження процесів у предметній області є технічні параметри магнітометричної системи (кількість вимірювальних каналів, їх тип; просторова геометрія перетворювачів потоку, їх схема включення і т. ін. ). Свого часу тільки невелика кількість дослідницьких груп у світі мала в своєму розпорядженні надчутливу магнітометричну апаратуру на основі СКВІДів. Ураховуючи, що розв'язання задач перетворення інформації в таких системах є занадто важкою проблемою, то, очевидно, і цим пояснюється використання й розвиток у нових магнітометричних комплексах старих традиційних ітераційних методів для обробки даних вимірювань. Іншими словами, схема досліджень процесів у багатьох прикладних областях була побудована таким чином: “технічні засоби ” - “ методи обробки даних ” - “ задача ”. Особливості такого підходу полягають у тому, що і “задача”, і “ метод” не визначають ні склад технічних засобів магнітометричної системи, ні, тим більше, її оптимізацію за тими чи іншими критеріями. Все це може призвести, з одного боку, до невиправдано високих витрат на дослідження, обмежуючи тим самим упровадження таких систем, а з іншого - до неможливості розв'язати поставлену задачу в повному обсязі, чи недостовірного розв'язку задачі. Таким чином, аналіз відомих підходів і методів аналізу просторово-часової структури магнітних полів слугував основою для постановки задач досліджень дисертаційної роботи.

У другому розділі розглянуто і вперше отримано аналітичні розв'язки оберненої задачі магнітостатики для джерела поля у вигляді магнітного диполя. Сформульована і аналітично розв'язана задача по виявленню впливу магнітного шуму на результати розв'язання оберненої задачі магнітостатики для дипольного джерела поля.

Спочатку в задачі проаналізовано властивості вектора магнітної індукції, однорідність якого означає, що при заміні в (1) r r и М М ( - числа) справедлива й заміна

. (5)

Тобто вектор магнітної індукції є однорідною (третього ступеня) функцією радіуса-вектора r. Це означає, що для вектора магнітної індукції В, його перших просторових похідних B / r і радіуса-вектора r справедливі наступні співвідношення Ейлера:

(6)

Якщо відомі (виміряні) відповідні параметри магнітного поля, то з (6) можна знайти r, а використовуючи (1), - вектор магнітного моменту джерела поля. Щоб знайти розв'язок задачі при довільному взаємному розміщенні вектора магнітного моменту щодо радіуса-вектора, запропоновано використати засіб, за якого точна обернена матриця замінюється апроксимаційною. Через те що в однорідному, немагнітному, непровідному середовищі (у точці вимірювань) rotB=0 і divB=0, то матриця D₁ перших просторових похідних вектора магнітної індукції симетрична і не має сліду. Іншими словами, із дев'яти елементів D₁ незалежними є тільки п'ять: три недіагональних дВ_x/ду, дВ_x/дг, дВ_у /дz і два діагональних -- дВ_у /дy і дВ_x/дx. Із симетрії матриці D₁ (Bij = Bi /rj) і умови Tr (D₁)=0 випливає, що її власні значення _i ( i =1, 2, 3), які визначаються характеристичним рівнянням

 (7)

дійсні і різні, а їх сума дорівнює нулю (₁ + ₂ + ₃ = 0).

Це, в свою чергу, означає, що власні вектори u матриці D₁ взаємно ортогональні:

u₁ u₂ = u₁ u₃ = u₂ u₃ = 0.

Після нормування власні вектори можна вибрати як базис, причому в новому базисі матриця D₁ має діагональний вигляд, а координати радіуса - вектора довільної точки простору в новій системі координат (_i, i = 1, 2, 3) пов'язані з координатами радіуса-вектора цієї ж точки в декартовій системі координат XYZ (_j; j = x, y, z) матрицею (оператором) переходу, яка визначена також у другому розділі дисертації.

Якщо в довільній точці простору відомі незалежні елементи матриці D₁ і одна з компонент вектора магнітної індукції, наприклад, B_x, то розв'язок задачі має вигляд

, (8)

де n₁= r₁/r, n₂= r₂/r, n₃= r₃/r -- напрямні косинуси радіуса-вектора r в новій системі координат. Співвідношення (8) за допомогою матриці переходу дозволяють знайти n_x, n_y, n_z, M_x, M_y, M_z у заданій системі координат XYZ, а потім визначити відстань r за виміряною компонентою В_x:

, (9)

що є повним аналітичним розв'язком оберненої задачі.

У дисертаційній роботі показано, що отриманий розв'язок неоднозначний і має чотири фізично можливі значення вектора n у новій системі координат. Цей результат, у свою чергу, дає чотири можливі значення векторів r і M, які знаходяться попарно в різних октантах системи координат XYZ. Щоб усунути “помилкові” розв'язки, необхідно мати додаткову інформацію, наприклад, аналогічні результати розв'язування оберненої задачі для того ж джерела, але в точці спостереження з іншим (відмінним від r) радіусом-вектором. Алгоритм виділення “істинного” розв'язку в даному випадку очевидний, хоча його реалізація має ряд технічних особливостей, пов'язаних з вибором числа точок вимірювання.

Далі в другому розділі розглянуті властивості матриць других просторових похідних вектора магнітної індукції

(10)

Оскільки в непровідному, немагнітному середовищі вектор магнітної індукції є аналітичною функцією координат, для других похідних аналітичних функцій справедлива умова r_ir_j r_jr_i (i,j = x,y,z), таким чином, матриця D₂ симетрична. Крім того, із симетричності і рівності нулю сліду матриці D₁ випливає рівність нулю сліду матриці D₂ .Тому власні значення і власні вектори матриці D₂ володіють тими ж властивостями, що й аналогічні величини для матриці D₁. Отже, для визначення власних значень, власних векторів, а також матриць переходу із нової системи координат у задану (XYZ) можна використати отримані співвідношення, якщо припустити, що В_ijB_x r_i r_{j .} Перелічені властивості матриці D₂ дозволили знайти повний розв'язок оберненої задачі магнітостатики, якщо в довільній точці простору з радіусом - вектором r відомі незалежні елементи матриці других похідних х-ї компоненти вектора магнітної індукції, а також одне із значень перших просторових похідних того ж вектора, наприклад, B_xx. Розв'язування цієї системи має вигляд

(11)

За знайденими в новій системі координат величинами за допомогою матриці переходу отримуємо величини n_x, n_y, n_z, M_x, M_y, M_z у заданій системі координат, а далі - відстань до дипольного джерела

, (12)

що дає повний розв'язок задачі.

У роботі показано також, що повний розв'язок оберненої задачі магнітостатики для дипольного джерела, аналогічний наведеним, існує, якщо в довільній точці простору з радіусом - вектором r вимірюють незалежні елементи матриці других просторових похідних у-ї чи z-ї компонент вектора магнітної індукції і відмінну від нуля компоненту матриці перших похідних, наприклад, дВ_у / ду чи дВ_z / дz. Таким чином, відповідно різним умовам використання отримано три нових варіанти аналітичного розв' язку задачі, виходячи із методу власних векторів, а алгоритм обробки інформації в загальному вигляді можна подати у вигляді трьох послідовних етапів: 1) визначення _i, _i , _i, _i та елементів матриці переходу; 2) знаходження параметрів джерела магнітного поля 3) розрахунок відстані до джерела поля.

При описанні методу розв'язання задачі позначення для вимірних характеристик були вибрані таким чином, що співвідношення для визначення власних значень, власних векторів та матриці переходу є загальними для всіх чотирьох розв'язків. Це означає, що реалізація першого етапу не залежить від режиму вимірів параметрів магнітного поля (вимірюють елементи матриці D₁ чи однієї з матриць D₂), є універсальною і може бути зафіксована програмними або апаратними засобами. Оскільки вектори n і M у новій системі координат є функціями лише власних значень, то для визначення параметрів об'єкта (етап 2)) виміряні характеристики магнітного поля безпосередньо не використовуються. При розрахунку відстані до джерела використовуються характеристики магнітного поля, ступінь однорідності яких на одиницю менше, ніж у характеристик, які використовуються для визначення напрямних косинусів та вектора M. Отже, автоматично знімається неоднозначність, пов'язана з масштабуванням характеристик магнітного поля. Цим самим обумовлений той факт, що при визначенні відстані до об'єкта із чотирьох розв'язків для векторів r і M у більшості випадків фізично можливими залишаються лише два симетричних щодо початку координат (два інші призводять до від'ємних значень відстані).

Використаємо властивість однорідності вектора магнітної індукції B щодо радіуса-вектора r та зробимо припущення, що у двох точках простору Q₁ та Q₂, які не збігаються, вимірюють вектори магнітної індукції В_Q1 и В_Q2 відповідно. Будемо вважати, що радіус - вектор точки Q₁ дорівнює r, a Q₂ . Якщо Q₁ , Q₂ та точка розташування джерела, яка збігається з початком координат, знаходяться на одній прямій, то для радіусів - векторів справедлива тотожність = r ( -- довільне число).

Враховуючи властивості однорідності, для векторів магнітної індукції В_Q1 и В_Q2 запишемо

В_Q2 В_Q1, (13)

або, що теж саме,

(14)

Показано, що для вектора = r + ( -- довільний вектор) співвідношення пропорційності (14) виконується лише в тому випадку, якщо ₁r, тобто r. Тому можна стверджувати, що у випадку виконання (14) для векторів магнітної індукції, які виміряні у двох довільних точках простору, дипольне джерело поля знаходиться на осі, яка проходить через ці точки. Знаючи положення вимірників (вектор R між ними), можна знайти напрямлені косинуси радіуса - вектора r (n_zr_x r, n_yr_y r, n_zr_z r) та відстань до джерела

n_x R_xR, n_y R_yR, n_z R_zR,

(для ); (для ). (15)

Вектор магнітного моменту М може бути знайдений з (1) за відомими r і В і, отже, обернена задача розв' язана.

При обробці вимірної інформації необхідно враховувати, що виміряні характеристики об'єкта мають, в силу принципу адитивності, складові магнітного поля побічних близько розташованих джерел, геомагнітного поля і т.ін. Крім того, можливості вимірювання параметрів магнітного поля джерела обмежені як чутливістю, так і рівнем власних шумів магнітометричної апаратури. Виходячи з цього, треба враховувати, що при практичній реалізації методів характеристики магнітного поля відомі з деякою похибкою - похибкою вимірів. Наявність випадкової похибки вимірів при розв'язанні задачі локалізації призводить до двох основних висновків : поперше, задача реєстрації характеристик магнітного поля об'єкта набуває імовірнісний характер; по-друге, в процесі перетворення вимірної інформації похибка вимірів переходить у похибку кінцевих результатів.

Таким чином, при оцінці імовірнісних характеристик розв'язку задачі локалізації джерела поля використовується поняття достовірності. Під достовірністю в дисертаційній роботі слід розуміти визначення умов, за яких довірча імовірність рояв'язку задачі із заданою похибкою не буде нижче заданого значення. Дисертантом, на основі методів аналізу випадкових даних, отримані умови, достатні для виявлення джерела поля (об'єкта), а також знайдені імовірнісні оцінки точності розв'язку оберненої задачі магнітостатики.

Використовуючи ці результати досліджень, уперше стало можливим завчасно оцінити доцільність і можливість розв' язання задачі локалізації джерела поля, виходячи з реальної магнітометричної ситуації, що особливо важливо при виконанні досліджень за умов індустріальних перешкод (в неекранованому приміщенні).

У третьому розділі виконані дослідження нових схем вимірів параметрів магнітного поля об'єктів при аналітичному розв'язанні оберненої задачі магнітостатики, а також уперше розроблені й запропоновані принципіальні конструкції програмно-керованих джерел магнітного поля, які використані при розв'язанні задачі визначення місцеположення вимірників у системі координат заданого (одного чи декількох) джерел поля.

Отже, якщо для розв'язування оберненої задачі використовувати запропоновані дисертантом аналітичні методи, то, по-перше, сам метод вказує, скільки каналів і які повинна мати магнітометрична система; по-друге, оскільки відомо, які вхідні дані (характеристики поля) необхідні для розв'язування задачі, то можливий і наступний крок - побудова алгоритмів вимірювання, при використанні яких частина даних може бути отримана безпосереднім вимірюванням, а інша - шляхом визначення відповідних похідних. Як приклад, на рис. 1 показана схема вимірів параметрів магнітного поля об'єкта, яка передбачає реєстрацію сигналу трьохканальними СКВІД-градієнтометрами (B_zx, B_zy, B_zz) у чотирьох точках простору, а в п'ятій точці (початок системи координат) - градієнтометром B_zz.

Рис. 1. Схема розміщення вимірників і витків їх трансформаторів магнітного потоку в прямокутній системі координат

Якщо вимірювання виконується за схемою рис. 1, то незалежні елементи матриці других просторових похідних вектора магнітної індукції, необхідні для розв'язання задачі локалізації об'єкта, можна визначити з наступних виразів:

B_xy = [(B_zx)₁ - (B_zx)₂] / 2L; B_xz= [(B_zx)₃ - (B_zx)₄] / 2L;

B_yy = [(B_zy)₁ - (B_zy)₂] / 2L; B_yz = [(B_zy)₃ - (B_zy)₄] / 2L; (16)

B_zz = [(B_zz)₃ - (B_zz)₄ ] / 2L.

У формулі (16) 2L - відстань між вимірниками.

Дисертантом розроблені схеми розташування у просторі вимірників, які як датчики поля використовують градієнтометри однієї (для кожного типу) проекції вектора магнітної індукції та дозволяють знайти місцеположення джерела поля та його магнітний момент. Кожен з цих алгоритмів вимірів дає можливість отримати всі незалежні елементи відповіних матриць просторових похідних вектора магнітної індукції об'єкта і, таким чином, знайти самостійний, незалежний розв'язок оберненої задачі. Об'єднання запропонованих схем вимірів у просторово-розподілену вимірювальну систему, з одного боку, підвищує надійність всієї вимірювальної системи (вихід із ладу одного чи декількох вимірників не має фатальних наслідків для розв'язку задачі), а з іншого боку - підвищує точність та достовірність визначення координат об'єкта за рахунок багаторазового її розв'язку. Позитивним є те, що при розробці алгоритмів вимірів можуть бути враховані різні вимоги, включаючи, наприклад, технологічні обмеження та конструктивні параметри трансформаторів магнітного потоку датчиків. Враховуючи все це, дисертантом запропонована та досліджена магнітометрична система, яка складається з N вимірників. З позицій підвищення надійності та достовірності розв'язання задач виявлення і локалізації об'єкта, запропонована структура процесора та розглянуті особливості алгоритму обробки магнітометричної інформації, а також алгоритм розрахунку вектора переміщення джерела поля.

Вигляд просторової похідної вектора магнітної індукції, яка реєструється СКВІД-градієнтометром у точці вимірювання від точкового джерела поля, визначається просторовим розміщенням котушок трансформатора магнітного потоку та схемою їх включення. З іншого боку, вихідний сигнал градієнтометра можна сформувати, якщо припустити, що конструкція джерела поля являє собою розподілену у просторі (у заданій системі координат) систему витків зі струмом (магнітних диполей), які можна підживлювати струмом у певній послідовності. Такий підхід дозволив сформулювати і розв'язати ще один клас задач - визначення місцезнаходження вимірників (чи, наприклад, об'єкта з вимірниками на борту) в системі координат додаткового (реперного) джерела поля. У роботі запропоновані як принципові конструкції джерел поля, так і послідовність підживки їх струмом, а також алгоритми визначення даних, необхідних для розв'язання задачі. Числове моделювання розв'язку задачі показано на прикладі виконання біомагнітних досліджень.

...