Взаємозв’язки полів спінів 1 і 1/2 та їх роль у побудові квантової електродинаміки в термінах напруженостей

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені Тараса ШЕВЧЕНКА

УДК 539.12: 537.8

ВЗАЄМОЗВ'ЯЗКИ ПОЛІВ СПІНІВ 1 І 1/2 ТА ЇХНЯ РОЛЬ У ПОБУДОВІ КВАНТОВОЇ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ В ТЕРМІНАХ НАПРУЖЕНОСТЕЙ

01.04.02 теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізикоматематичних наук

Симулик Володимир Михайлович

Київ 2000



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті електронної фізики Національної академії наук України, м. Ужгород

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, КРИВСЬКИЙ Іван Юрійович, Інститут електронної фізики НАН України, зав. відділу теорії елементарних взаємодій.

Офіційні опоненти:

Академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор, ПЕЛЕТМІНСЬКИЙ Сергій Володимирович, Національний науковий центр Харківський фізико-технічний інститут НАН України, зав. відділу теоретичної фізики.

Доктор фізико-математичних наук, професор, ТАРТАКОВСЬКИЙ Віктор Костянтинович, Киівський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри квантової теорії поля.

Доктор фізико-математичних наук ЛЕВ Богдан Іванович, Інститут фізики НАН України, провідний науковий співробітник відділу теоретичної фізики.

Провідна організація: Інститут фізики конденсованих систем НАН України, м. Львів.

Захист відбудеться “25” 04 2000 р. о 14.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.08 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (03127, Київ, проспект акад. Глушкова, 6, фізичний факультет, ауд.500).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Автореферат розісланий “23 03 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фіз.- мат.наук, професор Л.В. Поперенко.

спін поле напруженість



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У дисертації викладено та систематизовано результати автора [155] по дослідженню різних аспектів взаємозв'язків між спінорним полем Дірака і електромагнітним полем у термінах напруженостей, а також по вивченню ролі цих взаємозв'язків у побудові квантової електродинаміки в термінах напруженостей електромагнітного поля та розв'язанні задач атомної фізики.

Актуальність теми. Поля спінів 1 та 1/2 є основними тестовими полями у квантовій теорії поля, на основі теорій для них будуються всі відомі теорії вищих спінів. Тому роль взаємозв'язків між цими полями в теорії поля теж визначальна.

Хоча дослідженню полів спінів 1 і 1/2 присвячено численні роботи і монографії з основ квантової теорії поля та квантової електродинаміки, однак питання про їх зв'язки між собою великою мірою залишається відкритим та актуальним, особливо, якщо в ролі поля спіна 1 розглядати електромагнітне поле в термінах напруженостей, а не потенціалів. Цей аспект взаємозв'язків діраківського спінорного та електромагнітного (в термінах напруженостей) полів залишився осторонь від сучасних теорій суперсиметрії та супергравітації, незважаючи на майже піввікову історію багатьох моделей, що об'єднують поля різних спінів. Отже, актуальним є всебічне дослідження зазначених питань.

Незважаючи на постійний інтерес до проблеми дослідження зв'язків між спінорним полем Дірака та електромагнітним полем у термінах напруженостей з часів побудови основ квантової механіки аж до сьогодні, ця проблема залишалась нерозв'язаною, а дослідження несистематизованими. Не було відповідей на питання: чи можна на цій основі розв'язувати конкретні задачі атомної та ядерної фізики, чи можна будувати нові варіанти квантової електродинаміки?

Розвитку цього актуального напрямку, систематизації досліджень та одержанню відповідей на поставлені важливі питання і присвячена дана дисертація. Розділи дисертації безпосередньо досліджують різні аспекти цього напрямку і послідовно розкривають взаємозв'язки між розв'язками рівнянь Дірака та Максвела, взаємозв'язки між симетріями цих рівнянь, взаємозв'язки між законами збереження для електромагнітного та спінорного полів, взаємозв'язки між цими полями на квантовому рівні, взаємозв'язки між лагранжіанами для цих полів, взаємозв'язки між описами спектру атома водню на основі рівнянь Дірака та Максвела. Проведені дослідження дозволяють виконати необхідну систематизацію та дати відповіді на зазначені запитання.

Крім того, вивчення взаємозв'язків між законами збереження для спінорного і електромагнітного полів має і самостійне значення та актуальність цим методом у роботі одержано нові закони збереження для електромагнітного поля. Аналогічно, на основі одержаних автором взаємозв'язків між симетріями рівнянь Дірака та Максвела в роботі знайдено нові алгебри та відповідні їм групи інваріантності для обох зазначених рівнянь, а на основі взаємозв'язків між лагранжіанами для електромагнітного та спінорного полів знайдено нові лагранжіани для електромагнітного поля в термінах напруженостей.

Зазначимо, що дослідники взаємозв'язків між полями Дірака та Максвела довгий час (починаючи з Ч. Дарвіна, який одержав ще у 1928 р. рівняння Максвела з безмасового рівняння Дірака внаслідок підстановки в останнє замість спінора комбінації компонент напруженостей електромагнітного поля) розглядали саме цей найпростіший випадок зв'язок вільних рівнянь Максвела у вакуумі з вільним безмасовим рівнянням Дірака (випадок D(m=0, Ф=0), де D діракіан, m маса, Ф потенціал взаємодії з зовнішнім полем). Вперше дослідження найбільш цікавого для фізики випадку, коли маса не дорівнює нулю, взаємодія не дорівнює нулю, розпочато нещодавно (1990 1992 рр.) у роботах австрійського вченого Г. Саллгофера. Одержані ним результати поставили питання про можливість використання таких взаємозв'язків для розв'язання конкретних задач атомної фізики. Після цоьго послідовні дослідження зазначених питань стали особливо актуальними та невідкладними, назріла потреба у виконаних в дисертації дослідженнях.

Вивчення взаємозв'язків між електромагнітним у термінах напруженостей та спінорним полями актуальне також і тому, що воно має безпосередній стосунок до задачі побудови квантової електродинаміки в термінах напруженостей, а не потенціалів, одержані взаємозв'язки можуть безпосередньо використовуватися при побудові такої моделі. Актуальність задачі побудови квантової електродинаміки (КЕД) в термінах напруженостей коротко полягає у слідуючому. По-перше, така теорія не матиме недоліків стандартної КЕД, які виникають за рахунок використання 4-вектора потенціалу A=(A), зокрема: індефінітності метрики при квантуванні, необхідності штучного вилучення з формалізму “часових” та “поздовжніх” фотонів, залежності квазірелятивістських наближень від вибору тієї чи іншої калібровки, неспостережуваність безпосередньо потенціалів ні на класичному, ні на квантовому рівнях (дискусія відносно ефекту АароноваБома все ще залишається відкритою). По-друге, КЕД в термінах напруженостей матиме безпосередній принцип відповідності з класичною електродинамікою, яка формулюється на основі системи рівнянь Максвела для напруженостей електромагнітного поля. Детальніше про актуальність побудови КЕД в термінах напруженостей див. у монографії [1]. Крім того, наявність взаємозв'язків між електромагнітним полем напруженостей та спінорним полем Дірака дозволяє побудову такої моделі КЕД, в якій, на відміну від стандартного варіанту КЕД, замість спінора Дірака використовуються напруженості (E,H) електромагнітного поля.

Тут приділено основну увагу можливості заміни на (E,H) не вектор-потенціалу, а спінора Дірака , чим ця робота суттєво відрізняється від наших ранніх робіт по побудові КЕД у термінах напруженостей.

Встановлення взаємозв'язків [2,7,33] між законами збереження для спінорного та електромагнітного полів і одержання на цій основі нових конформноподібних серій законів збереження першого порядку (законами збереження першого порядку називаються такі білінійні комбінації польових функцій, що зберігаються, які містять похідні не вище першого порядку і лише від однієї з польових функцій) для електромагнітного поля напруженостей загострило питання про актуальність повного опису класу законів збереження першого порядку для цього поля. Актуальність повного опису такого класу законів збереження полягає в тому, що за своєю структурою ці закони збереження найближчі до добре вивчених законів збереження нульвого порядку (закони збереження нульового порядку це енергія, імпульс, момент імпульсу і т. д. електромагнітного поля всього 15 величин, що зберігаються). Не дивлячись на те, що найпростіші закони збереження першого порядку (zilch-закони збереження) для електромагнітного поля знайдено Д. Ліпкіним ще в 1964 р., повного, систематизованого опису в явному вигляді цього класу законів збереження до наших робіт [17,20,21] виконано не було.

Актуальність вивчення окремо підсистеми роторних рівнянь Максвела для вільного електромагнітного поля, виконаного в роботах [1,26,3739,49], полягає в тому, що саме ці рівняння задають еволюцію електромагнітного поля напруженостей у часі і одержуються в лагранжевому підході в термінах напруженостей на основі найпростішого лагранжіану. Крім того, встановлені у [2,18,19,27,28] взаємозв'язки між симетріями рівнянь Дірака і Максвела підказали наявність нових симетрій окремо взятої підсистеми роторних рівнянь Максвела.

Всебічне дослідження рівнянь Максвела зі струмами градієнтного типу актуальне завдяки встановленим у наших роботах [18,19,23,24,27,28,42] симетрійним властивостям цих рівнянь. Виявилось, що саме цей тип рівнянь Максвела має максимально широкі симетрійні властивості, найширші серед видів рівнянь Максвела, і може описувати з теоретико-групової точки зору не лише бозони, але й ферміони. Про актуальність дослідження поздовжніх електромагнітних хвиль у зв'язку з такими рівняннями Максвела див. у роботах російського вченого Н.П. Хворостенка, який систематично досліджував поздовжні електромагнітні хвилі.

Побудова нового неквантовомеханічного методу розв'язання задач атомної фізики актуальна у зв'язку з труднощами існуючих методів, особливо, при розгляді багаточастинкових задач. Запропонований у дисертації метод, що базується на рівняннях Максвела (а не Дірака чи Шредінгера!) із струмами градієнтного типу у специфічному внутрішньоатомному середовищі, дозволяє залучати до розв'язання широкого класу потенціальних задач квантової механіки апарат та прийоми мікроскопічної електродинаміки середовищ. Поява нового конструктивного методу розрахунків у зазначеній області заслуговує на всебічне вивчення його можливостей та порівняння результатів із результатами відомих квантовомеханічних методів. Така перевага, як можливість класичної інтерпретації атомних систем у теорії, що будується, очевидна вже зараз. Нові моделі атома та електрона, запропоновані в дисертації [35,25,30,43,44,50,5255], викликають значний інтерес внаслідок повної відмови від квантовомеханічних рівнянь та квантовомеханічних ймовірнісних понять. Ці моделі повністю побудовані в рамках мікроскопічної класичної електродинаміки і, таким чином, розширюють область застосування класичної фізики в мікросвіті (точніше, просувають межу такого застосування), що завжди актуально.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано по основних напрямках досліджень Інституту електронної фізики НАН України. Робота виконана у відділі теорії елементарних взаємодій цього інституту і являється частиною досліджень, проведених у даному відділі в рамках таких держбюджетних тем: шифр 1.7.3.2, №01900061096, “Теоретичні дослідження процесів взаємодії атомів та іонів з електромагнітним полем і електронами” (1990 1993 рр.), шифр 1.7.3.2, №0194U019171, “Теоретичні дослідження кореляційних ефектів у високозбуджених станах атомів та процесах взаємодії атомних систем з електронами, позитронами і фотонами” (1994 1996 рр.), шифр 1.7.3.2, №0197U005031, “Теоретичні дослідження міжканальних зв'язків в процесах взаємодії електронів, позитронів і фотонів з атомними системами (1997 1999 рр.), а також у рамках пошукової теми ІЕФ НАН України “Теоретико-алгебраїчні дослідження рівнянь в задачах квантової теорії” (1990 1994 рр.) та конкурсної теми ДФФД України: шифр 1.2.1.1, №0199U003471, “Дослідження унітарного зв'язку між полями цілого та напівцілого спінів” (1997 2000 рр., договір № Ф4/1674, 1997 р., проект №2.4/488).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є одержання різноманітних взаємозв'язків між полями спінів 1 і 1/2, з'ясування ролі взаємозв'язків між спінорним полем Дірака та електромагнітним полем напруженостей в задачі побудови КЕД у термінах напруженостей електромагнітного поля, їх ролі в проблемі опису спектру атома водню в рамках мікроскопічної електродинаміки, а також їх значення в деяких інших задачах сучасної теоретичної фізики.

Крім того, мета роботи полягає в розробці нових методів досліджень взаємозв'язків між рівняннями Максвела і Дірака, які базуються на використанні унітарного оператора, що зв'язує ці рівняння; в розробці нового методу дослідження симетрій, в якому симетрії рівняння для деякого значення спіна виводяться з симетрій іншого рівняння для іншого значення спіна, і в одержанні цим методом нових симетрій рівнянь Максвела і Дірака; нового методу знаходження законів збереження для електромагнітного поля, в якому ці закони збереження легко отримуються із спінорних законів збереження, в знаходженні повного набору законів збереження першого порядку для електромагнітного поля та у виробленні зручної ненетерівської методики для розв'язання задач такого класу; в дослідженні симетрій підсистеми роторних рівнянь Максвела та її ролі в описі вільного електромагнітного поля; в одержанні зв'язків між лагранжевими підходами для електромагнітного та спінорного полів і отриманні на цій основі нових лагранжіанів для електромагнітного поля в термінах напруженостей.

Метою дослідження взаємозв'язків між електромагнітним полем напруженостей та безмасовим спінорним полем Дірака на квантовому рівні є доведення можливості мікропричинного Фермі-квантування системи електромагнітного та скалярного полів, а також мікропричинного Бозе-квантування безмасового спінорного поля. Цій же меті загальнотеоретичного обгрунтування, що рівняння Дірака може описувати бозони, а рівняння Максвела із електричними та магнітними джерелами градієнтного типу ферміони, підпорядкований і теоретико-груповий та симетрійний аналіз зазначених рівнянь. Кінцевою метою є побудова на основі таких рівнянь Максвела нової моделі атома та електрона і розробка на базі цієї моделі нового класично-електродинамічного методу розв'язання задач атомної та ядерної фізики.

Далі, не останньою метою є загальнотеоретичне осмислення та систематизація одержаних результатів, аналіз можливостей побудови квантової механіки без -функції, а КЕД без спінора Дірака.

Основні завдання дисертації полягають у:

знаходженні унітарного зв'язку між рівняннями Дірака та Максвела;

дослідженні зв'язків між розв'язками рівнянь Максвела та Дірака;

встановленні зв'язків між симетріями цих рівнянь;

виявленні зв'язків між законами збереження для електромагнітного та спінорного полів;

одержанні зв'язків між лагранжевими підходами для електромагнітного та спінорного полів;

аналізі зв'язків між цими полями на квантовому рівні;

виведенні зв'язків між стаціонарними рівняннями Дірака (з відмінними від нуля масою та взаємодією з зовнішнім полем) і Максвела (з електричними і магнітними джерелами градієнтного типу у специфічному внутріатомному середовищі);

дослідженні можливостей використання одержаних результатів до побудови КЕД у термінах напруженостей та інших найпростіших моделей теорії поля.

Наукова новизна одержаних результатів полягає, стисло, в тому, що вперше:

систематично та всебічно досліджено морфізми між спінорним та електромагнітним (в термінах напруженостей) полями на основі встановлення унітарного зв'язку між рівнянням Дірака та рівняннями Максвела з електричними і магнітними джерелами градієнтного типу;

морфізми між спінорним та електромагнітним полями успішно застосовано до побудови конкретних моделей теорії поля, а саме: основ квантової електродинаміки в термінах напруженостей та класично-електродинамічної моделі атома;

введено в розгляд нове рівняння в області атомної та ядерної фізики рівняння мікроскопічної класичної електродинаміки у специфічному середовищі, що моделює атом, яке може успішно використовуватись поряд з рівняннями Шредінгера чи Дірака, без апелювання при цьому до ймовірнісної інтерпретації;

знайдено незвідне векторне і тензорно-скалярне зображення групи Пуанкаре P(1,3), а також спінорне (ферміонне) зображення цієї групи, відносно яких інваріантні рівняння Максвела з електричними і магнітними джерелами градієнтного типу, ці зображення узагальнено до широких симетрій; тим самим запропоновано максимально симетричний варіант рівнянь Максвела;

одержано таке унітарне (нелокальне) незвідне зображення групи Пуанкаре, яке дозволяє застосувати теоретико-групову класифікацію БаргманаВігнера до рівняння для незвідного фотонного поля;

доведено можливість двох типів мікропричинного квантувания (як Фермі-, так і Бозе) для системи електромагнітного і скалярного полів; побудовано схему коваріантного гамільтонового квантування електромагнітного поля напруженостей;

завершено повний опис класу законів збереження першого порядку для вільного електромагнітного поля, знайдено явний вигляд всіх 84 лінійно незалежних законів збереження, які утворюють повний набір базисних елементів у цьому класі і у явно коваріантній формі визначають 4 конформноподібні серії величин, що зберігаються; запропоновано зручну методику знаходження конформноподібних серій законів збереження для довільних безмасових полів.

Результати дисертації є новими, оригінальними, одержаними безпосередньо автором. Їх історичні корені і зв'язок з сучасними результатами інших авторів (та відмінність від результатів інших авторів) детально наведено у розділі “Вступ” дисертації при висвітленні актуальності теми в аналізі історії питання.

Практичне значення одержаних результатів роботи полягає у можливості використання розроблених у дисертації методів для розв'язання інших актуальних задач теоретичної фізики, особливо квантової теорії поля: пошуку нових симетрій рівнянь, знаходження нових законів збереження для різних полів, зокрема, конформноподібних серій для безмасових полів, побудови векторних лагранжіанів у тих випадках, коли звичайні скалярні лагранжіани не можуть бути побудовані. Безпосереднє практичне значення має запропонований у роботі метод розв'язання основних квантовомеханічних задач за допомогою узагальнених рівнянь Максвела у специфічному середовищі без апелювання до рівнянь Дірака, або Шредінгера. Це дає можливість застосовувати до розв'язання квантовомеханічних задач апарат класичної мікроскопічної електродинаміки середовищ, що дає новий теоретичний метод дослідження для атомної та ядерної фізики. Не виключено, що для розв'язання дискусійних проблем такий метод може мати деякі переваги у порівнянні з існуючими методами. Такі переваги, як класичність та наочність розгляду, можна вказати відразу.

Результати дисертації можуть бути також використані для класичної інтерпретації великої кількості теоретичних результатів, одержаних на основі використання рівняння Дірака і інтерпретованих до сьогодні в рамках традиційних квантовомеханічних уявлень.

Особистий внесок здобувача. Конкретний особистий внесок здобувача у всіх публікаціях із співавторами є визначальним і включає постановку задачі, вироблення методики розрахунків і виконання всіх конкретних розрахунків, обчислень та доведень. Крім того, автором опубліковано дев'ять самостійних робіт. Наукові результати, що представлені у дисертації, повністю і самостійно отримано автором.

Апробація результатів дисертації.

Результати, викладені в дисертації, опубліковані у 55-х наукових роботах і доповідались на

міжнародних конференціях:

“Проблемы физики высоких энергий и теории полей. XII” (Протвіно, ІФВЕ, 3-7 липня 1989 р.); Научной конференции отделения ядерной физики АН России по фундаментальным взаимодействиям элементарных частиц (Москва, ІТЕФ, 16-19 листопада 1992 р.); “Hadrons 94” (Ужгород, 7-11 вересня 1994 р.); “Symmetry in nonlinear mathematical physics” (Київ, липень 1995 р.); 28^th European group for atomic spectroscopy Conference (Австрія, Грац, 16-19 липня 1996 р.); Second europhysics study conference on photon and electron collisions with atoms and molecules (Белфаст, 23-26 липня 1996 р.); "Mathematical physics today, priority technologies for tomorrow" (Київ, 12-17 травня 1997 р.); “Symmetry in nonlinear mathematical physics” (Київ, 7-13 липня 1997 р.); 29^th European group for atomic spectroscopy Conference (Німеччина, Берлін, 15-18 липня 1997 р.); "Non-euclidean geometry in modern physics" (Ужгород, 13-16 серпня 1997 р.); "The centenary of the electron" (Ужгород, 18-20 серпня 1997 р.); “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 25-28 травня 1998 р.); 31^th European group for atomic spectroscopy Conference (Франція, Марсель, 6-9 липня 1999 р.);

на всесоюзних наукових конференціях:

“Электромагнитные взаимодействия адронов в резонансной области энергий” (Харків, ХФТІ, 13-15 червня 1989 р.), IV школе молодых ученых “Квантовая теория поля и физика высоких энергий” (Ужгород, липень 1989 р.), Школе-семинаре “Теория поля, физика ядра и высоких энергий” (Мінськ, 6-8 вересня, 1989 р.), Конференции по физике элементарных частиц и ядерной астрофизике (Москва, МІФІ, 8-12 лютого 1990 р.); Рабочем совещании по проекту П.13 “Теория” (Протвіно, ІФВЕ, 19-20 квітня 1990 р.); Научной конференции отделения ядерной физики АН СССР (Москва, ІТЕФ, 26-29 листопада 1990 р.);

на наукових конференціях

“Інститут електронної фізики 93” (Ужгород, 29-30 вересня 1993 р.), “Інститут електронної фізики 96” (Ужгород, 18-19 квітня 1996 р.), "Фізика конденсованих систем" (Ужгород, 23 січня 1998 р.), “Елементарні процеси в атомних системах” (Ужгород, 14-15 жовтня 1998 р.;

на оглядових наукових семінарах

НДІ ЯФ МДУ (Москва), ІАЕ ім. Курчатова (Москва), Інституту теоретичної фізики при Університеті ім. В. Гете (Німеччина, Франкфурт на Майні), Науково-дослідницькій лабораторії Металургічного Агенства Австрії (Австрія, м. Браунау), Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України (Київ), Інституту фізики конденсованих систем НАН України (Львів), Відділу теоретичної фізики Інституту фізики НАН України (Київ), кафедри теоретичної фізики Ужгородського держуніверситету, Інституту електронної фізики НАН України (Ужгород).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 55 роботах: одній монографії [1], 30 журнальних статтях [231], 13 статтях у наукових збірниках та збірниках конференцій [3244], 5 препринтах [4549], 6 тезах конференцій [5055].

Обсяг і структура роботи. Дисертація складається із змісту, вступу, дев'яти розділів, висновків, списку літератури та одного додатку. Загальний обсяг дисертації 330 сторінок. Список використаних літературних джерел містить 273 найменування і займає 25 сторінок. Додаток займає 6 сторінок.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі зроблено загальний огляд стану проблеми, виконано історичний аналіз розвитку досліджень з близьких до теми дисертації наукових напрямків, розкрито історичні передумови проведення даних досліджень. Вказано місце та роль дисертації в порівнянні з роботами інших авторів, зв'язок з результатами інших авторів. Визначено відмінність від результатів інших авторів та від наших попередніх досліджень, вказано ступінь новизни результатів дисертації. При цьому розкрито актуальність теми даної роботи, зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами, лаконічно сформульовані основні наукові досягнення автора. Обговорено практичне значення одержаних результатів, визначено особистий внесок автора, проілюстровано апробацію дисертації.

Розділ 1. Рівняння для електромагнітного поля в різних формах і термінах

Цей розділ також носить в основному оглядовий і вступний характер. Введені основні використовувані в роботі поняття і позначення.

Тут наведено різноманітні форми рівнянь Максвела, які використовуються в дисертації (як відомі з літератури, так і запропоновані в наших роботах), проведено порівняльну характеристику опису електромагнітного поля в термінах напруженостей та потенціалів. Для електромагнітного поля в термінах напруженостей і потенціалів коротко порівняно основні симетрійні властивості відповідних рівнянь, застосування варіаційного принципу до електромагнітного поля в цих різних термінах, одержання основних законів збереження за теоремою Нетер.

Коротко розглянуто рівняння Максвела в формі МайоранаОппенгеймера, визначено справжню діракову форму рівнянь Максвела, приведено рівняння для пуанкаре-незвідних компонент електромагнітного поля, дано визначення рівнянь Максвела із струмами та зарядами градієнтного типу, систематизовано різні форми запису рівнянь Максвела за допомогою тензорів вищих рангів, виділено форми рівнянь Максвела, в яких явно представлено залежність від оператора спіну фотона.

Цей огляд опубліковано в [1].

Розділ 2. Зв'язок між розв'язками рівнянь Максвела і Дірака

Зв'язок між розв'язками безмасового рівняння Дірака і Максвела з електричними і магнітними струмами та зарядами градієнтного типу (для електромагнітного (E,H) і двох дійсних скалярних (E⁰,H⁰) полів) доведено на мові амплітуд, що задають загальні розв'язки цих рівнянь.

Рівнянь Максвела із струмами градієнтного типу (2) (або (3)) зв'язані з амплітудами загального розв'язку безмасового рівняння Дірака (1) формулами.

Тут k^j декартові проекції імпульсу. У роботі наведено й обернені формули, а також аналогічні формули для зв'язку між електромагнітними та спінорними амплітудами у випадку вільних рівнянь Максвела.

Знайдено повний набір лінійних перетворень, що зв'язують рівняння (1) і (2):

Рівняння (1) переходить у рівняння (2) після підстановки замість будь-якого з стовпчиків (6). Знайдено аналогічний повний набір для зв'язку (1) з вільними рівняннями Максвела.

Встановлено унітарний зв'язок між рівняннями (1) і (3). Знайдено унітарний оператор (у дійсному лінійному просторі, де задана алгебра Кліффорда Дірака для -матриць, цей оператор має всі властивості унітарного), який зв'язує між собою електромагнітно-скалярне та спінорне поля.

Крім того, одержання точного аналітичного розв'язку (4) рівнянь Максвела (2) або (3) із струмами градієнтного типу за допомогою звичайного методу Фур'є саме по собі являє інтерес. Точно (аналітично) розв'язано цілий клас задач класичної електродинаміки Максвела, коли струми та заряди мають вказаний у (2) градієнтний вигляд (як для звичайної електродинаміки без монополів, так і для електродинаміки із магнітними струмами та зарядами такого виду). Загальний розв'язок (4) містить не лише поперечні, а й поздовжні хвилі для обох зазначених варіантів класичної електродинаміки.

Ці результати опубліковано у роботах [2,3,18,19,2224,29,31,47,48].

Розділ 3. Роль підсистеми роторних рівнянь Максвела в описі вільного електромагнітного поля, її релятивістська інваріантність та додаткові нелокальні симетрії

Цей розділ містить результати як наукового так і методичного значення.

Методичні результати такі. Методом Фур'є знайдено загальний розв'язок роторної підсистеми вільних рівнянь Максвела, тобто шести рівнянь для шести польових функцій напруженостей електромагнітного поля. За аналогією зі стандартними аксіоматичними підходами розв'язок шукався у просторі 3-компонентних комплексних узагальнених функцій Шварца (рівняння розглядались в термінах). Доведено, що множина розв'язків цієї підсистеми складається з двох підмножин

що не перетинаються, де функція (7) це суперпозиція поперечних вільних електромагнітних хвиль, а функція (8) це суперпозиція статичних поздовжніх хвиль. Отже, для опису вільного електромагнітного поля необхідно вирізати підмножину (8), що може бути досягнуто чотирма альтернативними способами: або, по-перше, доповненням роторних рівнянь дивергентними (тобто стандартним методом застосування повної системи рівнянь Максвела), або, по-друге, доповненням роторних рівнянь релятивістськи інваріантною додатковою умовою, або, по-третє, накладанням умови на множину функцій, в якій шукаємо розв'язок, або по-четверте, безпосереднім вирізанням з множини функцій, в якій шукаємо розв'язок, підмножини (8). Зрозуміло, що, якщо додаткову умову накладати на множину функцій, в якій шукаємо розв'язок, тобто як в третій і четвертій можливостях, то також (як і в першому і другому випадках) можна довести стандартну локальну пуанкаре-інваріантність rot-рівнянь Максвела в таких множинах, точніше, умовну інваріантність цих рівнянь відносно перетворень із стандартного локального зображення групи Пуанкаре.

Основним науковим результатом даного розділу є знаходження нового унітарного (нелокального) незвідного зображення групи Пуанкаре, відносно якого інваріантні як підсистема роторних рівнянь Максвела, так і повна система рівнянь Максвела для вільного електромагнітного поля. Генератори алгебри цього зображення мають вигляд:

Тут, а S стандартні матриці спіну 1. Знайдено також відповідне зображення групи конформних перетворень, а також зображення 32-параметричної групи перетворень, відносно яких інваріантні вказані рівняння. Основною перевагою цього нелокального зображення в порівнянні з відомим стандартним локальним зображенням є його унітарність у ”квантовомеханічному” гільбертовому просторі, як і у відповідному оснащеному гільбертовому просторі, в якому скалярний добуток задається звичайною мірою Лебега.

Наукові результати даного розділу опубліковано у роботах [1,26,3739,49].

Розділ 4. Зв'язок між симетріями рівнянь Максвела і Дірака

Тут знайдено дві додаткові, бозонні, симетрії безмасового рівняння Дірака, а саме, локальні зображення групи Пуанкаре, що задаються, відповідно, зображеннями D(1,0)(0,0) та D(1/2,1/2) групи Лоренца SL(2,C) (це тензорно-скалярне та векторне зображення групи Пуанкаре).

Тут 44-матриці Дірака, ⁴⁰¹²³, а С оператор комплексного спряження: C=*.

Даний результат суттєво відрізняється від подібного результату інших авторів, одержаного для 8-компонентного рівняння Дірака (тобто для більш високозвідного групового об'єкту), доповнює цей результат одержанням зазначених додаткових симетрій у іншому просторі просторі 4-компонентних комплексних спінорів, точніше, у просторі 4-компонентних комплексних узагальнених функцій Шварца. Зазначимо, що при цьому вперше одержано незвідне векторне зображення групи Пуанкаре, вінносно якого інваріантне безмасове рівняння Дірака. Це зображення групи Пуанкаре задається незвідним векторним зображенням D(1/2,1/2) групи Лоренца SL(2,C). Доведення відповідних теорем у просторі 4-компонентних узагальнених функцій Шварца було виконано за допомогою іншого математичного апарату. Нагадаємо, що саме в просторі 4-компонентних (а не 8-компонентних) комплексних спінорів, як правило, розглядається рівняння Дірака. Для випадку m0 знайдено відповідні зображеня групи P(1,2).

Особливо важливим видається одержання на цій основі відповідних симетрій рівнянь Максвела з джерелами градієнтного типу, встановлення взаємозв'язків між симетріями рівнянь Дірака та Максвела, розробка методики знаходження симетрій рівнянь Максвела (як вільних, так і з джерелами), стартуючи з симетрій рівняння Дірака, на основі унітарного оператора, що зв'язує безмасове рівняння Дірака з рівняннями Максвела з джерелами градієнтного типу. Доведено, що рівняння Максвела з електричними і магнітними джерелами градієнтного типу інваріантні не лише відносно бозонних зображень P^TS та, P^V а і відносно ферміонного (а саме, стандартного спінорного) зображення P^S групи Пуанкаре, яке задається зображенням D(1/2,0)(0,1/2) групи Лоренца SL(2,C). Знайдено відповідне ферміонне зображення конформної групи C(1,3). Тим самим доведено з теоретико-групової точки зору, що рівняння Максвела з електричним і магнітним струмами градієнтного типу можуть описувати не лише бозони, а й ферміони. Крім того, знайдено симетрію таких рівнянь Максвела відносно перетворень, що задаються генераторами 128-мірної алгебри Лі A₁₂₈, ізоморфної алгебрі



C(1,3)C(1,3)C(1,3)C(1,3)C(1,3)C(1,3)C(1,3)C(1,3)A₈,

де A₈ алгебра відомої (для безмасового рівняння Дірака) симетрії ПауліГюршіІбрагімова. Відзначено, що рівняння Максвела з електричними і магнітними джерелами градієнтного типу це різновид рівнянь Максвела з максимально широкими (як бозонними, так і ферміонними) симетрійними властивостями. Ці результати мають природне пояснення, пов'язане зі знайденим у розділі 2 унітарним зв'язком між безмасовим спінорним та електромагнітним полями.

Результати даного розділу опубліковано у роботах [1,2,18,19,23,24,27,28,42].

Розділ 5. Зв'язок між законами збереження для електромагнітного і спінорного полів

У розділі наведено зручну методику одержання законів збереження для електромагнітного поля із законів збереження для спінорного поля. Цей спосіб проілюстровано на багатьох прикладах. Закони збереження енергії, імпульсу та серії zilch-законів збереження першого порядку для електромагнітного поля одержано з законів збереження для безмасового спінорного поля, які є наслідками алгебри A₁₂₈ інваріантності безмасового рівняння Дірака, теореми Нетер для перетворень типу ЛіБеклунда та стандартного лагранжіану для спінорного поля. Показано, що для отримання електромагнітного закону зі спінорного достатньо виконати підстановку в останній будь-якого з наведених у (6) стовпчиків (звичайно, поклавши E⁰=H⁰=0), причому вибір того чи іншого перетворення з (6) не впливає на результат. Одержання таким способом цікавих серій законів збереження першого порядку для електромагнітного поля, з врахуванням одержаних нами раніше [8,12,13] в рамках лагранжева підхода в термінах напруженостей серій законів збереження в цьому класі величин, поставило питання про повний опис цього класу законів збереження для електромагнітного поля, що було виконано в наших наступних роботах і приведено в дисертації у наступному розділі.

Оскільки одержані тут серії законів збереження мають одинакову структуру, то, узагальнюючи цей факт, вдалося запропонувати загальні теореми (про структуру конформних та конформноподібних серій законів збереженн), що дозволяють за мінімальних зусиль будувати всі конформноподібні серії законів збереження для довільних безмасових полів.

Теорема 5.2. Якщо деякий тензор n+m-го рангу по группі індексів (₁₂..._n) задовольняє всі умови (16), то на основі формул (17) з нього можна побудувати набір конформноподобних серій таким чином. Перша серія будується безпосередньо по (17). Далі на основі кожного з її елементів за формулами (17) будуються три додаткові серії, в яких у ролі породжуючого тензора G по черзі використовується кожний з трьох тензорів. Елементи трьох додаткових серій у свою чергу можуть за формулами (17) породжувати ще 9 додаткових конформноподібних серій і так далі, поки у елементів конформноподібних серій законів збереження, що виникають, залишаються індекси, відносно яких мають місце властивості (16). Кількість таких конформноподібних серій залежить від числа n індексів (₁₂..._n), відносно яких мають місце умови (16), або від рангу тензора G, якщо інших індексів (крім цих) у нього немає. Кожне наступне число X⁽ⁿ⁾ конформноподібних серій отримується з попереднього Y по простій формулі, де n вказане число (або ранг тензора G, якщо інших індексів з іншими властивостями у нього немає).

Зручність використання цих теорем ілюструється в наступному розділі дисертації.

Результати даного розділу опубліковано у роботах [1,2,6,7,17,33].

Розділ 6. Загальне дослідження повного набору законів збереження першого порядку для електромагнітного поля

Цей розділ містить загальне, систематизоване дослідження законів збереження першого порядку для вільного електромагнітного поля, тут знайдено повний набір таких законів, їх представлено в явно коваріантній формі, а саме згруповано у чотири конформноподібні серії, основним структурним елементом яких є zilch-тензор Ліпкіна у повністю симетричній формі, запропонованій у наших роботах. Виписано також явний вигляд всіх 84-х лінійно незалежних величин з класу законів збереження першого порядку, що зберігаються.

Клас законів збереження першого порядку для електромагнітного поля повністю описано в роботі двома способами. Перший спосіб має за мету одночасно апробувати запропоновані в попередньому розділі теореми.

Використовуючи в ролі тензора з теореми 5.1 тензор енергії-імпульсу електромагнітного поля, в ролі (17) одержуємо добре відому серію конформних законів збереження Е. Бессель-Хагена для цього поля повний набір найпростіших законів збереження нульового порядку (без похідних від напруженостей) для електромагнітного поля, що складається з 15 лінійно незалежних величин.

Усі конформноподібні серії законів збереження першого порядку для вільного електромагнітного поля одержуються за теоремою 5.2 на основі zilch-тензора Ліпкіна в повністю симетричній формі:

Оскільки тензор третього рангу (19) задовольняє всі властивості теореми 5.2, то на його основі отримуємо чотири конформноподібні серії законів збереження першого порядку для електромагнітного поля

Конформноподібну серію (20) одержано крок за кроком Ліпкіним, Фрадкіним та Фарліе, серію (21) в наших роботах [12,13], серії (22), (23) в наших роботах [17,20,21].

Відкинувши в (20) (23) повтори та виділивши функціонально залежні (на основі рівнянь Максвела та електромагнітних тотожностей останні в зручній тензорній формі наведено в додатку дисертації) один від одного тензори, одержуємо 84 лінійно незалежні величини, які утворюють повний набір законів збереження першого порядку для вільного електромагнітного поля.

Висновок про утворення цими 84 величинами повного набору робиться в рамках цього методу за аналогією з висновком про повноту лінійно незалежних величин у добре вивченому класі законів збереження нульового порядку. Там застосування в теоремі 5.1 тензора енергії-імпульсу, компоненти якого містять усі 4 незалежні явно від x величини, що зберігаються, привело до одержання в єдиній можливій конформній серії (17) повного набору 15 законів збереження Е. Бессель-Хагена. Тут застосування в теоремах 5.1 і 5.2 повністю симетричного zilch-тензора, компоненти якого містять всі 9 незалежних явно від x величин, що зберігаються, теж приводить до одержання в єдино можливих конформноподібних серіях (20) (23) повного набору законів збереження в цьому класі.

Для остаточної переконаності в повноті опису класу законів збереження першого порядку для електромагнітного поля ця задача розв'язана в [20,21,46] і в дисертації також і іншим способом.Не зменшуючи загальності розгляду, умову знаходження повного набору законів збереження першого порядку для вільного електромагнітного поля вдалося звести до вигляду

Важливо підкреслити, що задача знаходження повного набору законів збереження першого порядку (в наведеному підході з використанням повністю симетричного zilch-тензора) виявилась незалежною від задачі знаходження повного набору законів збереження нульового порядку, а також законів збереження інших, більш високих, порядків.

Отже, знайшовши повний набір розв'язків системи (25), легко знайти по (24) відповідний повний набір законів збереження першого порядку цим методом також одержано 84 лінійно незалежні величини, що зберігаються, в цьому класі законів збереження.

Всі 84 лінійно незалежні закони збереження першого порядку для електромагнітного поля виписано в дисертації у явному вигляді в одному з найпростіших представлень, виконано їх класифікацію на підкласи по степенях явної залежності від x. Резюмуючи, відзначимо, що розроблені тут методики досліджень придатні для використання в розв'язанні подібних задач для інших полів вищих спінів.

Про той факт, що число незалежних законів збереження першого порядку для електромагнітного поля дорівнює 84, вказано також у короткій роботі В. Фущича і А. Нікітіна, що свідчить про інтерес до розглядуваної проблеми. Однак дані дослідження започатковано [1,2,7,8,12,13] і завершено [17,20,21,46] в наших роботах.

Результати цього розділу опубліковано у роботах [1,2,610,1214,17,20,21,35,36,46,51].

Розділ 7. Зв'язок між квантованими електромагнітним і спінорним полями

Можливість двох типів мікропричинного квантування (Фермі- і Бозе-квантування) як електромагнітно-скалярного поля, так і безмасового спінорного поля проілюстровано в цьому розділі. Тут наведено також квантування поля напруженостей у дефінітній метриці на основі знайденого в наших роботах векторного лагранжіану в термінах напруженостей.

Підсилено теоретико-груповий висновок розділу 4 про те, що безмасове рівняння Дірака може описувати не лише бозони, але й ферміони, а рівняння Максвела з електричними та магнітними джерелами градієнтного виду не лише бозони, а й ферміони.

Результати даного розділу опубліковано у роботах [1,11,16,23,24,31,45,48].

Розділ 8. Зв'язок між лагранжевими підходами для спінорного і електромагнітного полів

У розділі 8 встановлено зв'язки між лагранжіанами для електромагнітного та спінорного полів. Цим шляхом, зокрема, знайдено векторний лагранжіан для спінорного поля та відповідний варіант повного векторного лагранжіану для системи взаємодіючих спінорного поля та електромагнітного поля напруженостей, що може бути основою побудови квантової електродинаміки у термінах напруженостей.

Знайдено також нові лагранжіани для вільного електромагнітного поля напруженостей, які явно залежать від оператора спіну цього поля і, таким чином, дозволяють проводити узагальнення на поля довільного спіну.

Запропоновано основи лагранжевого підходу до квантової електродинаміки, в якому спінорне поле Дірака замінюється на систему електромагнітного і скалярного полів.

Результати даного розділу опубліковано у роботах [1,2,15,34,40,41].

Розділ 9. Задача про спектр водню на основі рівнянь Максвела

Встановлено взаємозвязки між рівнянням Дірака з відмінними від нуля масою та взаємодією з зовнішнім полем і рівняннями Максвела у середовищі з електричною і магнітною проникностями (тут система одиниць h=c=1), коли струми та заряди мають такий градієнтний вигляд.

Доведено ізоморфізм та унітарну еквівалентність між цими рівняннями (27) і (28) у стаціонарному випадку. На цій основі зроблено висновок про можливість переформулювання всіх задач атомної та ядерної фізики, до яких раніше успішно застосовувалося стаціонарне рівняння Дірака, на мову рівнянь Максвела (28). Розроблено метод розв'язання такого класу стаціонарних задач релятивістської квантової механіки на основі класичної мікроскопічної електродинаміки специфічних середовищ (29). Можливості методу проілюстровано на тестовій задачі про релятивістський спектр атома водню, який одержано, стартуючи з класичних рівнянь Максвела (28), без найменшого апелювання до квантовомеханічних понять. Водневі розв'язки рівнянь Максвела (28) одержані як зручним методом з використанням відомих розв'язків Дірака та знайденого нами ізоморфізму [5], так і на основі безпосереднього відокремлення змінних у рівняннях (28), див., наприклад, [30].

Основою інтерпретації побудованої теорії є чисто класично- електродинамічна модель релятивістського атома. У розроблюваній моделі електрон розглядається як система двох бозонів фотона та безмасового скалярного бозона, причому ця інтерпретація безпосередньо випливає з встановленої в роботі унітарної еквівалентності рівнянь (27) і (28) у стаціонарному випадку. У цій моделі стаціонарні стани електрона у атомі водню аналогічні деяким стоячим хвилям, а саме: вони інтерпретуються як стаціонарні стани електромагнітного (E,H) та безмасового скалярного (E⁰,H⁰) полів, у яких поле (E,H) породжується струмами й зарядами, що визначаються через функцію E рукописне, причому поля (E,H) та (E⁰,H⁰) взаємоузгоджені та взаємозв'язані стаціонарними рівняннями Максвела. Таку модель можна розглядати як певний крок сучасної, послідовної реалізації давньої ідеї про електромагнітну (точніше бозонну, як випливає з роботи) природу матерії.

Даний розділ покликаний проілюструвати можливості практичного використання досліджуваних у роботі взаємозв'язків між електромагнітним та спінорним полями для розв'язання конкретних задач атомної та ядерної фізики.

Результати цього розділу опубліковано у роботах [35,25,30, 43,44,5255].

У висновках наводяться основні результати, висновки та деякі підсумки виконаних досліджень.

У додатку зібрано довідковий матеріал про електромагнітні тотожності у тензорній формі, які широко використовувались у дисертації.



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ

Основні результати

1. Встановлено унітарний зв'язок між безмасовим рівнянням Дірака та рівняннями Максвела з електричними і магнітними джерелами градієнтного типу.

2. Виведено формули, що зв'язують фермі- та бозе-амплітуди загальних розв'язків рівнянь Максвела з електричними і магнітними джерелами градієнтного типу та Дірака з масою m=0.

3. Одержано повні набори лінійних перетворень, які зв'язують а) безмасове рівняння Дірака та вільні рівняння Максвела; б) безмасове рівняння Дірака та рівняння Максвела з струмами й зарядами градієнтного типу; в) стаціонарне рівняння Дірака (з масою m0 і взаємодією 0) і стаціонарні рівняння Максвела з 4-струмом градієнтного типу в середовищі з проникностями (29).

4. Отримано нові додаткові симетрії рівнянь Максвела з електричними і магнітними джерелами градієнтного типу, а саме: спінорне, незвідне векторне і тензорно-скалярне зображення групи Пуанкаре P(1,3) (ці зображення породжені, відповідно, зображеннями, D(1/2,0)(0,1/2), D(1/2,1/2) і D(1,0)(0,0) групи Лоренца SL(2,C)), а також спінорне зображення конформної групи C(1,3), відносно яких інваріантні ці рівняння, доведено інваріантність цих рівнянь відносно перетворень, що породжуються 128-мірною алгеброю Лі A₁₂₈. Знайдено відповідні бозонні симетрії спіну 1 для безмасового рівняння Дірака.

5.Знайдено унітарне незвідне зображення групи Пуанкаре, що задається нелокальними операторами (а також відповідне зображення групи конформних перетворень), відносно якого інваріантна як повна система вільних рівнянь Максвела, так і окремо взята її роторна підсистема.

6. Доведено можливості двох типів мікропричинного квантувания (як Фермі-, так і Бозе): для безмасового спінорного поля Дірака, а також для системи електромагнітного і скалярного полів; побудовано схему коваріантного гамільтонового квантування електромагнітного поля напруженостей, в якій тензор напруженостей відіграє роль канонічної координати поля, а дуальний до нього тензор канонічного імпульсу поля. Одержано нові лагранжіани різної коваріантності, у яких використовуються оператори спінового моменту як для електромагнітного в термінах напруженостей, так і для спінорного полів.

7. Знайдено повний набір законів збереження першого порядку для вільного електромагнітного поля, одержано явний вигляд всіх 84 лінійно незалежних законів збереження, які утворюють повний набір базисних елементів у цьому класі, всі елементи даного класу представлено в явно коваріантній формі у вигляді чотирьох конформноподібних серій величин, що зберігаються, три з яких знайдено вперше. Проведено класифікацію повного набору законів збереження першого порядку для вільного електромагнітного поля у вигляді п'яти підкласів, що не перекриваються, які відрізняються степенями явної залежності від змінних x=(x) координат точок простору-часу: 9 величин, не залежних явно від x; 20 величин, залежних явно від x у першому степені; 26 величин, залежних явно від xx; 20 величин, залежних явно від xxx ; 9 величин, залежних явно від xxxx (принаймні 35 з яких одержано вперше).

8. Встановлено фундаментальну аналогію в розв'язанні задачі про масивну релятивістську частинку в зовнішньому потенціальному полі на основі рівняння Дірака та узагальнених рівнянь Максвела у специфічному середовищі, на базі цього запропоновано класично-електродинамічний підхід до задач атомної та ядерної фізики.

9. Методом відокремлення змінних в узагальнених рівнняннях Максвела в середовищі, що моделює атом в данному підході, знайдено точний аналітичний розв'язок цих рівнянь.

10. В рамках узагальненої мікроскопічної класичної електродинаміки (без апелювання до рівнянь і понять квантової механіки) виведено формулу ЗоммерфельдаДірака для релятивістського спектра атома водню і доведено, що постулати Н. Бора є певними наслідками запропонованої класично-електродинамічної моделі.



ВИСНОВКИ

На підставі проведених досліджень та одержаних результатів зроблено такі висновки.

1. Унітарний зв'язок між спінорним полем Дірака та електромагнітно-скалярним полями існує не лише у випадку вільного безмасового спінорного поля, але й при наявності відмінних від нуля маси та взаємодії з зовнішнім потенціальним полем. Цей зв'язок вдалося використати для аналізу симетрійних властивостей вказаних рівнянь, пошуку нових законів збереження і побудови різних варіантів лагранжевого підходу.

2. Показано, що цілий клас задач електродинаміки з певним виглядом струмів і зарядів розв'язується аналітично і точно: знайдено загальний розв'язок рівнянь Максвела з класом джерел градієнтного типу (як без магнітних джерел, так і з магнітними джерелами) показано, що такий розв'язок містить не лише поперечні, але й поздовжні компоненти електромагнітного поля останні породжуються навіть чисто електричними струмами і зарядами градієнтного типу, причому у середовищі з проникностями ==1.

3. Встановлений зв'язок між симетріями рівнянь Дірака та Максвела дозволив розробити новий метод дослідження симетрій цих рівнянь; даним методом вдалося знайти додаткові симетрії рівнянь Дірака та Максвела з електричними і магнітними джерелами градієнтного типу і довести, що така форма рівнянь Максвела є максимально симетричною, оскільки має не лише бозонні, але й ферміонні симетрії.

4. На основі одержаних зв'язків між лагранжевими підходами для електромагнітного і спінорного полів побудовано нові s-еквівалентні лагранжіани різної коваріантності для електромагнітного поля в термінах напруженостей (як векторні, так і скалярні), які виражаються явно через оператор спіну фотона.

...