Представлення і реалізації квантових і класичних груп в квантових системах полів і частинок

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова

Гаврилик Олександр Михайлович

УДК 539.12.01; 530.182; 519.46

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Представлення і реалізації квантових і класичних груп в квантових системах полів і частинок

01.04.02 - теоретична фізика

Київ - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова Національної академії наук України

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Нікітін Анатолій Глібович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу прикладних досліджень;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Ситенко Юрій Олексійович, Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, завідувач відділу теорії ядра і квантової теорії поля;

доктор фізико-математичних наук Чепілко Микола Михайлович, Київський університет економіки і технології транспорту Міністерства транспорту України, завідувач кафедри фізики і електротехніки.

Провідна установа: Інститут електронної фізики НАН України, м. Ужгород.

Захист відбудеться “20” червня 2002 р. о(б) 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.191.01 в Інституті теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова Національної академії наук України, 03143, м. Київ-143, вул. Метрологічна, 14-б.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова Національної академії наук України, 03143, м. Київ-143, вул. Метрологічна, 14-б.

Автореферат розісланий “17” травня 2002 p.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор фізико-математичних наук Кузьмичев В. Є.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія симетрій обумовлює сучасний розвиток квантової теорії. До найважливіших її розділів належить, з одного боку, теорія представлень груп і алгебр Лі, квантових груп і квантових алгебр, разом із розмаїттям їх фізичних застосувань; з іншого боку - нелінійні реалізації симетрій, в таких польових моделях як нелінійні сигма-моделі. Представлення компактних і некомпактних груп Лі та їх алгебр лежать в основі базових теорій фізики фундаментальних взаємодій - від моделі Вайнберга-Салама і квантової хромодинаміки, до (супер)струнних теорій і супергравітації. Поява і широке впровадження ідей і методів теорії квантових груп, квантових i q-деформованих алгебр та їх представлень дали в останні декаду-півтори новий значний імпульс розвитку теоретичної фізики. Не менш важлива і роль нелінійних сигма-моделей, застосовуваних в таких різних розділах квантової фізики як феромагнетизм чи (де)локалізація електрона у фізиці конденсованих систем, а з іншого боку, теорія суперструн і їх компактифікацій.

Ці напрямки, безсумнівно, потребують подальших досліджень і в плані математичної фізики, і детальної розробки нових фізичних застосувань. Серед згаданого кола проблем недостатньо вивченими є: альтернативні q-деформації алгебр Лі, які б допускали канонічні вкладення і, завдяки цьому, поширення аналога формалізму Гельфанда-Цетліна для розробки теорії представлень; фізичні застосування квантових груп/алгебр вищих рангів, зокрема, в феноменології адронів, квантовій гравітації; властивості квантово-польових нелінійних сигма-моделей на несиметричних фактор-просторах; компактифікації бозеструнних теорій, та інші.

В тематиці дисертаційної роботи представлено, перш за все, обидва напрямки розвитку теорії квантових алгебр і (алгебр) некомпактних груп та їх застосувань: аспекти, пов'язані з вивченням різних квантових деформацій алгебр симетрій, їх представлень і реалізацій, та аспект фізичний, що полягає у пошуку і розробці нових засто-сувань квантових алгебр та некомпактних груп в конкретних задачах квантової фізики. З іншого боку, проведено дослідження ренормгрупових і критичних властивостей нелінійних сигма-моделей на несиметричних однорідних просторах, включно із застосуванням до аналізу певного класу струнних компактифікацій. Дисертаційна робота представляє згадані конкретні важливі напрямки, що і визначає актуальність її тематики.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дослідження, результати яких включені в дисертаційну роботу, виконані згідно з такими науково-дослідними темами Інституту теоретичної фізики НАН України, затвердженими Відділенням фізики та астрономїї НАН України:

1. "Розробка функціонально-аналітичних і теоретико-групових основ теорії квантованих полів", No д.р. 77046715.

2. "Теоретичні аспекти механізмів порушення симетрії в системах взаємодіючих полів", No д.р. 81017836.

3. "Глобальний і симетрійний аналіз калібрувальних полів і систем взаємодіючих частинок", No д.р. 01860032039.

4. "Квантові симетрії калібрувальних та інтегровних взаємодій", No д.р. UA01001034P.

5. "Представлення квантових груп і калібрувальні та інтегровні взаємодії", шифр 1.2.2. No д.р. 0196U001612.

6. "Квантові симетрії і властивості інтегровних та квантово-польових систем", No д.р. 0101U000331.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка фізичних аспектів представлень та нелінійних реалізацій класичних груп Лі і квантових алгебр, їх застосувань в проблемах фізики фундаментальних взаємодій. Меті підпорядковано такі задачі: а) дослідження фізичних аспектів теорії представлень алгебр Лі некомпактних груп, важливих в теорії фундаментальних взаємодій, розробка або пошук конкретних фізичних застосувань - в теорії сильних взаємодій, в розширеній супергравітації; б) побудова і детальний аналіз представлень нових q-деформацій алгебр Лі ортогональних, псевдо-ортогональних та евклідових груп, а також знаходження перспективних застосувань квантових чи q-деформованих алгебр в моделях квантової гравітації і феноменології адронів; в) дослідження ренормгрупових властивостей маловивчених класів нелінійних сигма-моделей (квантовопольових моделей з нелінійно-реалізованими симетріями і самовзаємодією геометричного типу), разом з аналізом критичної поведінки і побудовою нових струнних компактифікацій.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше:

отримано у явному вигляді переплітаючі оператори представлень основної неунітарної серії алгебр Лі групи SO0(n,1), групи U(n,1), необхідних у аналізі нерозкладних представлень основної неунітарної серії цих алгебр, класифікації і унітаризації незвідних; як застосування цих результатів у фізиці адронів, розвинуто послідовний теоретико-груповий підхід, на основі некомпактних груп U(n,1) як динамічних груп для n-ароматових симетрій адронів, до обчислення мас адронів і отримання мас-співвідношень, з використанням незвідних і нерозкладних представлень.

побудовано інфінітезимальні оператори представлень максимально виродженої

основної неунітарної серії груп SO*(2n) та груп SU*(2n), важливих для моделей розширеної N=6 супергравітації, в U(n)-базисі та в Sp(n)-базисі відповідно; знайдено явний вигляд переплітаючих операторів, дано аналіз нерозкладних представлень і розкласифіковано незвідні та унітарні незвідні представлення цих груп;

введено новий клас нестандартних (інших, ніж квантові алгебри Дрінфельда-Джімбо) q-деформованих алгебр Uq(son), що мають важливі переваги перед квантовими алгебрами Дрінфельда-Джімбо, допускаючи q-аналоги усіх дійсних форм і канонічних вкладень, властивих відповідним класичним алгебрам U(son); знайдено незвідні пред-ставлення алгебр U'q(so3), U'q(so4), для їх "некомпактних" аналогів U'q(so2,1), U'q(so3,1) знайдено незвідні та *-незвідні представлення, серед яких є т.зв. "дивні серії" представлень, що зникають в границі q®1; побудовано незвідні представлення класу 1 алгебр U'q(son), дано аналіз звідності і отримано список незвідних та *-незвідних представлень виродженого класу алгебр U'q(son,1), серед яких також є представлення дивної серії;

побудовано скінченновимірні представлення нестандартної деформації U'q(son) алгебри Лі so(n) групи обертань n-вимірного простору, які при q®1 дають усі незвідні представлення алгебри Лі so(n); знайдено основні класи нескінченновимірних представлень алгебр U'q(son,1) та, методом контракції, представлень алгебр U'q(ison), які є нестандартними q-аналогами відповідно алгебр Лі псевдоортогональних груп та алгебр Лі евклідових груп n-вимірного простору (показово, що генератори трансляцій q-евклідових алгебр для різних напрямків некомутативні);

показано, що нестандартні q-деформовані алгебри U'q(son) виникають в квантовій (2+1)-вимірній анти-деСіттерівській (з від'ємною космологічною сталою) гравітації на рімановій поверхні роду g>1, причому n=2g+2, що означає: саме на основі алгебр U'q(so2g+2) слід будувати алгебри квантових спостережуваних; вказано інші застосування нестандартних q-алгебр U'q(son), U'q(son,1);

запропоновано новий підхід, що використовує вищі квантові алгебри Uq(sun) та Uq(un,1) у ролі ароматових симетрій адронів та їх динамічних симетрій; розроблено спосіб обчислення, на основі квантових алгебр, мас адронів (мезонів 1-, баріонів , ) і отримання q-аналогів мас-співвідношень;

для векторних мезонів, які містять важкі кварки, отримано q-аналоги мас-формул і знайдено спосіб жорсткої фіксації значень параметра q через нулі визначального q-полінома, що дозволяє отримувати реалістичні правила сум для мас мезонів без введення змішування синглетів; показано, що визначальні q-поліноми для векторних кварконіїв , , та мають топологічну інтерпретацію, асоціюючи з цими кварконіями певні інваріанти (поліноми Александера) тороїдальних вузлів, і це дає можливість характеризувати аромати топологічно.

виведено q-аналог мас-співвідношення для октета баріонів, розвинуто метод визна-чальних q-поліномів для жосткої фіксації параметра q, на основі якого із різних дина-мічних представлень отримано серію нових правил сум для мас баріонів (1¤2)+, і що є більш точними, ніж мас-формула Гел-Мана - Окубо, а оптимальне має точність ~0.07 %; показано, що використання квантових алгебр для опису ароматової і динамічної симетрій забезпечує врахування у баріонних масах 'непертурбативних' поправок і внесків у маси ефектів за рахунок сильно нелінійної - експоненціальної - залежності від порушення звичайної симетрії SU(3);

виведено q-аналог мас-співвідношення для декуплета баріонів (3¤2)+ і доведено його універсальність - незалежність від вибору динамічного представлення; показано, що при застосуванні еніонної реалізації квантових алгебр Uq(sun) до знаходження мас-співвідношень для баріонів (3¤2)+, структурні кварки баріонів з SU(3)-декуплета в такій реалізації можна розглядати як еніони із параметром еніонної статистики n=1¤14;

знайдено фізичну інтерпретацію параметра деформації в розвинутому підході до

ароматових симетрій на основі q-алгебр Uq(sun): параметр q = exp(i q) у випадку баріонів з декуплета чи октета виражено, відповідно, через кут Кабіббо qC чи його двократну величину: q10 = qC, q8 = 2qC; для qC запропоновано точне значення qC = p¤7; висунуто ідею про можливе пояснення змішування Кабіббо некомутативністю додаткових вимірів;

на основі сигма-модельного опису поширення бозе-струни у фоновій геометрії 26 вимірів проаналізовано нові струнні компактифікації 26-вимірного простору-часу M26 в однорідні простори Kd із крученням за схемою M26 ® M26-d ґ Kd; умова необхідності появи, внаслідок компактифікації, безмасових киральних ферміонів виділяє єдиний варіант - компактифікацію через фактор-простір K12=[G2/SU(3)]ґ[G2/SU(3)] у простір Мінковського M14;

вирахувано геометричні характеристики (тензор Річчі, згортка тензорів Рімана) дій-сних многовидів Штіфеля SO(n)/SO(n-k) і на основі цього знайдено бета-функції в одно- і двохпетльовому наближенні та описано ренормгрупову поведінку нелінійних двовимірних штіфелевих сигма-моделей; виявлено квантоводинамічну анізотропію самовзаємодії і показано, що наявність чи відсутність асимптотичної свободи в таких моделях залежить від фіксації початкової метрики; виявлено новий тип біфуркацій типу "сідло-вузол" в динамічних системах, асоційованих з квазідвовимірними квантовими штіфелевими сигма-моделями, запропоновано біфуркаційний механізм дроблення ефективних констант зв'язку і виявлено властивість тетракритичності в таких сигма-моделях.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертації, мають теоретичний характер, а частина з них має практичні наслідки (для феноменології адронів). Вони є важливими, по-перше, в теорії представлень квантових алгебр і представлень некомпактних груп Лі; по-друге, для модельного вивчення низькоенергетичних характеристик адронів, таких як маси та ін., чи для побудови різних версій квантової гравітації; по-третє, для використання особливих властивостей нелінійних сигма-моделей на несиметричних однорідних просторах при описі конкретних фізичних систем, у побудові бозеструнних компактифікацій з метою отримання низькоенергетичної струнної феноменології.

Особистий внесок здобувача. В дисертаційну роботу увійшли матеріали, більшість з яких опубліковані у вигляді робіт без співавторів. Роботи із співавторами виконані на рівних засадах, а результати, включені до дисертації на основі таких публікацій, одержані автором самостійно. Зокрема, у спільних публікаціях з А.У.Клімиком, присвячених дослідженню представлень груп SO(n), SO0(n,1) та U(n,1), автором отримано матричні елементи представлень скінченних перетворень SO(n), явні вирази для переплітаючих операторів представлень основної неунітарної серії (ОНС) некомпактних груп SO0(n,1), U(n,1), SO*(2n), та SU*(2n), на основі яких проведено аналіз звідних (нерозкладних) представлень ОНС і отримано унітаризовані матричні елементи (узагальнені d-функції Вігнера) представлень SO0(n,1), U(n,1); запропоновано застосування отриманих результатів з теорії представлень груп U(n,1), SO*(2n), та SU*(2n) в рамках схеми динамічної псевдоунітарної симетрії адронів та у розширеній супергравітації. В спільних роботах з А.У. Клімиком, в яких вивчались нові q-деформовані алгебри U'q(son), U'q(son,1), автор знайшов явні формули і дав необхідне доведення для незвідних представлень q-алгебр U'q(so3) та U'q(so4) і представлень класу 1 вищих алгебр U'q(son), а також виконав аналіз нескінченновимірних представлень їх некомпактних аналогів. В роботах у співавторстві з В.А.Широковим автору належать постановка проблеми і формулювання узагальненої моделі динамічної псевдоунітарної симетрії, аналітичні розрахунки мас баріонів в усіх допустимих динамічних представленнях з наступним їх аналізом, спосіб використання нерозкладних представлень в даній моделі, знаходження вищих n-ароматових аналогів мезонного мас-співвідношення Гелл-Манна-Окубо. У роботі, опублікованій спільно з І.І.Качуриком та А.В.Тертичним автором розроблено підхід, що використовує квантові алгебри U'q(sun) в ролі ароматових симетрій адронів, знайдено допустимі динамічні представлення, виконано аналіз результатів обчислень мас баріонів з SU(3)-декуплета в цих представленнях і знайдено (універсальний) q-аналог мас-співвідношення для декуплетних баріонів. У спільних публікаціях із М.З.Іорговим, який виконав і захистив кандидатську дисертацію під керівництвом автора, дисертанту належить постановка задач і вибір шляхів їх розв'язання, аналіз і інтерпретація результатів обчислень.

Апробація результатів дисертації. Матеріали, включені в дисертацію, пройшли апробацію на семінарах відділу математичних методів в теоретичній фізиці та наукових сесіях Інституту теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України (Київ, 1976-2001); доповідалися і обговорювались на семінарах Інституту математики НАНУ (м. Київ), Ужгородського держуніверситету, Лейпцігського університету (Німеччина), Центру теоретичної фізики Масачусетського Технологічного Інституту (США), сесіях Відділення ядерної фізики АН СРСР (Москва), а також доповідалися на численних вітчизняних і міжнародних наукових конференціях та симпозіумах, в тому числі на Міжнародному семінарі "Теоретико-групові методи в фізиці" (Звенигород, 28-30 листопада 1979 р.), Міжнародній конференції "Структура адронів '80. Квантова хромодинаміка" (Смоленіце, Чехословаччина 22-26 вересня 1980 р.), 2-му Міжнародному семінарі "Теоретико-групові методи в фізиці" (Звенигород, 24-26 листопада 1982 р.), Міжнародному симпозіумі "Нерозкладні представлення груп Лі та їх фізичні застосування" (Рим, Італія, 3-6 жовтня 1988 р.), 4-му Міжнародному семінарі "Нелінійні явища у фізиці" (Київ, 9-22 жовтня 1989 р.), 2-му Міжнародному Вігнерівському симпозіумі (Гослар, Німеччина, 15-20 липня 1991 р.), 10-му Міжнародному конгресі з математичної фізики (Лейпціг, Німеччина, 30 липня - 9 серпня 1991 р.), Міжнародній конференції "Сучасні проблеми квантової теорії поля, струн і квантової гравітації" (Київ, 5-12 червня 1992 р.), Міжнародній конференції "Адрони-93" (Новий Світ, 12-18 травня 1993 р.), 3-ій Міжнародній конференції "Математична фізика, теорія струн і квантова гравітація" (Алушта, 12-18 червня 1993 р.), Міжнародній конференції "Фізика в Україні" (Київ, 22-27 червня 1993 р.), 4-ій Міжнародній конференції "Математична фізика, теорія струн і квантова гравітація" (Алушта, 10-20 червня 1994 р.), 8-му Міжнародному симпозіумі "Симетрії в науці" (Брегенц, Австрія, 7-12 серпня 1994 р.), Міжнародній конференції "Адрони-94" (Ужгород, 7-11 вересня 1994 р.), 1-й Міжнародній конференції "Симетрії в нелінійній математичній фізиці" (Київ, 3-8 липня 1995 р.), Міжнародній конференції "Квантові групи і квантові простори" (Варшава, Польща, 27 листопада - 1 грудня 1995 р.), Міжнародному симпозіумі "Математична фізика - сьогодні, передові технології - завтра" (Київ, 12-17 травня 1997 р.), 10-му Міжнародному симпозіумі "Симетрії в науці" (Брегенц, Австрія, 13-18 липня 1997 р.), 2-ій Міжнародній конференції "Симетрії в нелінійній математичній фізиці" (Київ, 7-13 липня 1997 р.), Міжнародній конференції "Неевклідова геометрія в сучасній фізиці" (Ужгород, 13-16 серпня 1997 р.), 2-ій Міжнародній конференції "Неевклідова геометрія в сучасній фізиці" (Ніредьгаза, Угорщина, 7-10 липня 1999 р.), 3-ій Міжнародній конференції "Симетрії в нелінійній математичній фізиці" (Київ, 12-18 липня 1999 р.), 11-му Міжнародному симпозіумі "Симетрії в науці" (Брегенц, Австрія, 1-6 серпня 1999р.), Міжнародній конференції "Суперсиметрія і квантова теорія поля" (Харків, 25-29 липня 2000 р.), 13-ій Міжнародній конференції "Методи теоретичної і математичної фізики" (Київ, 18-23 вересня 2000 р.), Міжнародній конференції за підтримки НАТО "Некомутативні структури в математиці і фізиці" (Київ, 24-27 вересня 2000 р.), 4-ій Міжнародній конференції "Симетрії в нелінійній математичній фізиці" (Київ, 9-14 липня 2001 р.), 16-ій Міжнародній конференції "Фізика високих енергій і квантова теорія поля" (Москва, 6-12 вересня 2001 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 37-и роботах, 26 з яких вийшли у вигляді статей у вітчизняних і провідних зарубіжних наукових журналах і 11 видані як матеріали конференцій.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі окреслено проблематику і обґрунтовано актуальність теми дисертації та зроблено огляд наукової літератури з досліджуваних в дисертації питань, з зазначенням відкритих проблем, сформульовані мета і задачі дослідження. Визначена наукова новизна, наукове та практичне значення одержаних результатів, наведено інформацію про апробацію результатів роботи, її структуру та обсяг, основні публікації та особистий внесок автора в роботи, виконані у співавторстві. Коротко викладено зміст роботи за розділами.

В першому розділі досліджено важливі аспекти теорії представлень некомпактних груп SO0(n,1) і U(n,1), а також SO*(2n) та SU*(2n). Розглянуто застосування псевдоунітарних груп U(n,1) у ролі динамічних для опису порушення ароматових симетрій SU(n), де n=3,4,5. Для повного аналізу представлень основної неунітарної серії некомпактних груп Лі потрібно мати у явному виді переплітаючі оператори представлень. Явні вирази для таких операторів отримано на основі формул дії інфінітезимальних операторів груп SO0(n,1) і U(n,1). Отримані переплітаючі оператори використано для унітаризації операторів скінченновимірних представлень відповідних компактних груп.

Розвинуто узагальнення методу динамічних псевдоунітарних груп для опису мас адронів і отримання мас-формул у випадку врахування чарму, а також кварків 5-го та 6-го ароматів. Для вибору представлення (щоб передбачити маси чармованих баріонів) застосовано додатковий критерій про входження представленнь, пов'язаних як з баріонами, так і мезонами в одне нерозкладне представлення основної неунітарної серії групи U(4,1). Таким є нерозкладне представлення із розкладом

p1 = D33- (...) ® {D12+(...) Е D23-(...)} ® D13+ (...) ,

де символом "Е" чи стрілкою позначено пряму чи напівпряму суму представлень,

і в дужках не виписані компоненти сигнатур. Це фіксує вибір представлення D12+ (p-2,p-4,p-5;p-1,p-3), зв'язаного з баріонами. В ньому проведено обчислення мас октетних і чармованих баріонів і отримано такі мас-формули (символами частинок позначено їх маси):

8(Xc - Sc) = 4 ( Wc - Sc ) = 3 S + 5 L - 8 N,

4(Lc - X'c ) = 9 S -5 L - 4 N,

Wcc - Xcc = 6 S - 5 L - N, 2 ( Xcc + N ) = Sc + 3 X'c .

Із цих формул дано передбачення для мас ще не відкритих частинок Xcc, Wcc через маси вже відомих. Для векторних мезонів, у відповідному представленні, крім правил еквідистантності K* - r = F* - D* = Fb* - Db* та Gb* - Db* = D* - r , отримано класичну формулу Гелл-Манна--Окубо (ГМО) 3 w8 + r = 4 K* , а також і правила сум

6 w15 + 4 r = 9 D^* + K^* , (1)

10 w24 + 8 r = 16 Db* + D* + K* . (2)

Два останні узагальнюють формулу ГМО для мезонів з SU(3)-октета на випадок симетрій SU(4) і SU(5). Знайдено узагальнення формул (1), (2) на випадок довільної кількості ароматів Nf (3 < Nf < Ґ) і відповідну симетрію SU(Nf).

Некомпактні групи SO*(2n) і SU*(2n) при n = 6 і n = 3, відповідно, виникають у ролі прихованої симетрії, що діє в скалярному секторі розширеної N = 6 супергравітації. Побудовано представлення максимально виродженої основної неунітарної серії ps груп SO*(2n) і SU*(2n) через формули дії інфінітезимальних операторів у базисах, породжених звуженнями SO*(2n) Й SU(n) і SU*(2n) Й Sp(n) на максимальні компактні підгрупи. Отримано явні вирази для переплітаючих операторів, вивчено незвідність, описано структуру звідних (нерозкладних) представлень основної неунітарної серії цих груп. Наприклад, у випадку SO*(2n) нерозкладне представлення ps має структуру

DFs * 0

0 D0s * чи D0s *

0 0 Dds 0 Dds ,

в залежності від умови на ціле число s; тут "*" означає ненульові матриці. Як видно, у другому з цих двох випадків скінченновимірні представлення відсутні. Отримано класифікації незвідних представлень, а через унітаризацію на основі переплітаючих операторів також і унітарних незвідних представлень цих груп. Аналогічно отримано умову незвідності і вивчено структуру нерозкладних представлень ps групи SU*(2n). З допомогою переплітаючих операторів знайдено явні формули для інфінітезимальних операторів незвідних представлень компактних аналогів SO(2n) та SU(2n) в аналогічних базисах. Формули дії операторів представлень наведено у часткових випадках SO*(12) і SU*(6), оскільки саме ці групи відповідають прихованій симетрії скалярного сектора N = 6 супергравітації. фізичний алгебра квантовопольовий

В другому роздiлi вивчено нові т.зв. нестандартні q-деформовані алгебри U'q(son), відмінні від стандартних квантових алгебр Дрінфельда і Джімбо і такі, що на відміну від

останніх, допускають q-аналоги усіх дійсних форм і усіх канонічних вкладень, властивих відповідним класичним (недеформованим) алгебрам U(son) та їх дійсним формам. Побудовано незвідні представлення алгебр U'q(son), їх "некомпактних" та неоднорідних аналогів U'q(son-1,1) та U'q(ison), а також описано перспективні фізичні застосування.

q-Деформовані асоціативні алгебри U'q(so(n,C)), визначені у такий спосіб, що має місце ланцюжок вкладень

U'q(so(n,C)) Й U'q(so(n-1,C)) Й … Й U'q(so(3,C)) (3)

(аналогічний відповідним вкладенням класичних алгебр Лі), породжуються елементами Ii,i-1, i = 2, 3, ..., n, на які накладено певні трилінійні співвідношення. Зокрема, алгебру U'q(so(3,C)) генерують два елементи I21, I32 із співвідношеннями

[a]є[a] qє (qa-q-a)¤(q-q-1) )

I212 I32 + I32 I212 - [2]q I21 I32 I21 = - I32 ,

I322 I21 + I21 I322 - [2]q I32 I21 I32 = - I21 . (4)

Компактну чи некомпактні дійсні форми алгебр U'q(so(n,C)) виділяє введення певних *-структур: компактну форму U'q(son) виділяє *-структура

I*i,i-1 = - I i,i-1, i = 2, 3, ..., n , (5)

а "некомпактні" алгебри U'q(son-1,1) - *-структура

I*i,i-1 = - I i,i-1, i Ј n-1, I*n,n-1 = - I n,n-1 . (6)

Незвідні представлення Tl алгебри U'q(son) задаються цілим чи півцілим числом l,

l і 0. У просторі Vl представлення Tl із базисом { | m > , m = l, l-1, … ,-l }, оператори Tl (I21), Tl (I32) діють за формулами

Tl (I21) | m > = i [m] | m > (i =),

Tl (I32) | m > = Al,m | m+1> - Al,m-1 | m-1 > ,

де Al,m= dm ([l + m +1][l-m])1/2, dm є { [m][m+1] )¤ ( [2m][2m+2] }1/2.

Принципово важливим тут є нетривіальний множник dm , який замінив коефіцієнт 1/2 із відповідної класичної (q®1) формули. Доведено, що так задані оператори Tl (I21), Tl(I32), задовільняють трилінійні співвідношення (4), а *-структуру (5) вони задо-вільняють при q = eh або q = eih, із дійсним h.

Нестандартні q-алгебри U'q(so(n,C)) можна описати і білінійними q-комутаторними

співвідношеннями. Так, алгебру U'q(so(3,C)) генерують елементи Tl (I21), Tl(I32), та елемент Tl (I31)є q1/2 I21 I32 - q-1/2 I32 I21 , які задовільняють ще два співвідношення

q1/2 I31 I21 - q-1/2 I21 I31 = I32 ,

q1/2 I32 I31 - q-1/2 I31 I32 = I21 . (7)

Алгебру U'q(so4) визначають генератори I21 , I32 , I43 такі, що [I21 , I43]=0, пара I21, I32 породжує підалгебру U'q(so3), а пара I32 , I43 задовільняє такі ж два співвідношення, як і в (4). На ці три генератори накладено *-структуру, і має місце включення U'q(so4) Й U'q(so3), що дозволяє побудову зручного базиса і реалізацію в ньому незвідних представлень. Представлення Tp,r алгебри U'q(so4) задаються, як і у випадку алгебри so(4), двома числами p, r , що є обидва цілі чи обидва півцілі, і p і | r |. Завдяки U'q(so4) Й U'q(so3), існує базис { | l, m >, p і l і | r |, p = l (mod Z), l і m і - l }. Незвідні представлення Tp,r алгебри U'q(so4) задано явними формули дії операторів Tp,r (I43) у вказаному базисі, при цьому дія операторів Tp,r(Ij,j-1), j = 2, 3, відповідає (під)алгебрі U'q(so3). Аналогічно побудовано незвідні представлення класу 1 алгебр U'q(son).

Для "некомпактних" дійсних форм U'q(so2,1), U'q(so3,1) знайдено незвідні та *-незвідні представлення. Частина з них при q®1 переходить у відомі унітарні представлення (основна, додаткова, а для so(2,1) ще й дискретні, серії); нове - у появі т.зв. дивних серій представлень, що зникають в класичній границі q ®1. Дано аналіз звідності і отримано список незвідних та *-незвідних представлень виродженого класу алгебр U'q(son,1), у якому також є *-незвідні представлення дивної серії.

Побудовано загальний клас скінченновимірних представлень нестандартної q-деформації U'q(son) алгебри Лі групи обертань n-вимірного простору, які при q ®1 містять усі відомі незвідні представлення алгебри Лі so(n). Знайдено загальний клас нескінченновимірних незвідних а також *-незвідних представлень алгебр U'q(son,1), що є нестандартними q-деформованими аналогами алгебр Лі n-вимірних груп Лоренца.

Із алгебр U'q(so(n,C)) методом контракції отримано алгебру U'q(iso(n,C)) , що є деформацією алгебри Лі iso(n, C) евклідової групи n-вимірного простору. Характерно, що в алгебрі U'q(iso(n,C)) і підалгебра обертань, і підалгебра трансляцій на відміну від q-деформацій з інших робіт є нетривіально деформовані, а генератори трансляцій в різних напрямках некомутативні: вони q-комутують. Для нестандартних q-евклідових алгебр U'q(ison), єдиним чином визначених для усіх n і 2, дано як 'трилінійне', так і 'білінійне' формулювання. Важливо, що подібно до канонічних вкладень (1) зараз існує ланцюжок вкладень U'q(iso(n,C)) Й U'q(so(n,C)) Й … Й U'q(so(3,C)) Й U'q(so(2,C)), а також і вкладення U'q(iso(n,C)) Й U'q(iso(n-1,C)) Й … Й U'q(iso(3,C)) Й U'q(iso(2,C)). Завдяки цьому застосовано q-аналог формалізму ГЦ. Побудовано, для загального q, що не є коренем з 1, нескінченновимірні незвідні пред-ставлення алгебри U'q(iso(n,C)), які відповідають відомим представленням класичних евклідових алгебр iso(n,C). Окремо розглянуто приклади q-евклідових алгебр U'q(iso2), U'q(iso3) та U'q(iso4), і наведено їх нескінченновимірні незвідні представлення.

В кінці розділу показано, що введені нестандартні q-деформовані алгебри U'q(son) є перспективними з точки зору фізичних застосувань. Встановлено, що нестандартні q-деформовані алгебри U'q(son) виникають в квантовій (2+1)-вимірній анти-деСіттерів-ській (з від'ємною космологічною сталою) гравітації на рімановій поверхні роду g > 1, причому n=2g+2. Це означає, що саме на основі апарату алгебр U'_q(so_{2g+2}) необхідно будувати алгебри квантових спостережуваних. Вказано на можливі застосу-вання q-алгебр U'q(son) і U'q(son,1) в різних підходах до побудови n-вимірної квантової гравітації, зокрема в q-аналозі підходу спінових мереж в евклідовому варіанті.Важливо ще зазначити, що загальні U'q(son) є необхідними при побудові квантових аналогів симетричних однорідних просторів GL(n,C)/SO(n,C), q-аналога тотожності Капеллі для дуальної пари (sl2, son). Крім того, q-алгебра U'q(so2,1) виникає як алгебра, що генерує спектр, у квантовій задачі із безвідбивним потенціалом.

У третьому розділі викладено результати нового підходу, коли в ролі ароматових симетрій адронів та порушуючих їх динамічних симетрій застосовано квантові чи q-деформовані аналоги Uq(sun) та Uq(un,1) алгебр Лі (псевдо)унітарних груп. На основі квантових алгебр обчислено маси мезонів і баріонів, отримано q-деформовані аналоги мас-формул, нові високоточні правила сум, інші важливі наслідки.

В основі підходу - формалізм Гельфанда-Цетліна, поширений на квантові алгебри.

На початку стисло подано основні відомості про застосовувані квантові алгебри, їх представлення. Порушення ароматових симетрій здійснюється методом динамічних квантових алгебр, з генераторів яких і побудовано мас-оператор. У випадку трьох ароматів, утворений в рамках Uq(su4) мас-оператор M(3) = M0 + a A34A43 + b A43A34 порушує симетрію Uq(su3) до ізоспінової Uq(su2) . Обчислення матричних елементів, таких як < w8 | M(3) | w8 > та ін., дає маси векторних мезонів і показує, що q-залежність входить лише в маси синглетів w8, w15, w24, w35.

Так, mw8 = M0 - 2 a ([2]q/[3]q), але mK* = M0-a, mr = M0. Звідси, для класичної формули ГМО 3 mw8 + mr = 4 mK* отримано її q-аналог:

( [3]q/[2]q) mw8 + (2 - [3]q/[2]q ) mr = 2 mK*. (8)

При q ®1 маємо [3]q = 3, [2]q = 2 і, отже, класичну формулу ГМО. При [3]q = [2]q

наш q-аналог (8) дає mw8 + mr = 2 mK*, що із mw8 є mf співпадає з нонетною формулою Окубо, котра перфектно узгоджується з даними експерименту. Якщо ж [2]q = 0, то отримується друга формула Окубо mw = mr.

При переході до n = 4,5,6 ароматів (мезони з важкими кварками) виведено вищі q-аналоги, котрі при фіксації [n]q - [n-1]q = 0 дають вищі аналоги нонетної формули Окубо. Наприклад, для n = 5 та [2]q5 є2cos(p¤5), mw24 + (9-16¤[2]q5) mr=2 mD*b+(4-8¤[2]q5)( mD* + mK*).

Із mw24 є mU це дає у порівнянні з експериментом точність ” 0.7 %.

Тим самим, знайдено спосіб жорсткої фіксації значень q-параметра через нулі q-поліномів [n]q - [n-1]q і отримання реалістичних правил сум для мас (ПСМ) мезонів без введення кутів змішування. Цим q-поліномам, визначальним для станів mw(n2-1) і векторних кварконіїв , , та , дано топологічну інтерпретацію як поліномів Александера D{(2n-1)1}, тобто, інваріантів тороїдальних (2n-1)1-вузлів; згаданим векторним кварконіям поставлено у відповідність вузли 51, 71, 91, 111, що дає можливість розрізняти аромати топологічно.

При розгляді баріонів (1¤2)+ з Uq(su3)-октета вкладеного в 20-плет алгебри Uq(u4), обчислення із мас-оператором (Aij - дуальні генератори)

M(4) = M8 + a (A35A53 + A35A53) + b (A53 A35 + A53 A35)

в "динамічному" представленні D12+ дає вирази для мас баріонів, такі як mS є < S | M(4) | S > = M8 + {[4]2[5]) a ¤ ( [2] 2 [6] ) + ([2][4] / [6] ) b та ін. (із фоновою масою октета M8), а також q-аналог масс-співідношення

[2]mN+[2]mX¤([2]-1}= [3]mL+([2]2{[2]-1}- [3])mS+{Aq-Bq}Cmass , (9)

де Aq = ([2]-2)[2] 3([4]-[2]), а Cmass - відома комбінація із мас баріонів. Якщо q ® 1, то Aq ® 0, і звідси витікає відома баріонна формула ГМО. З іншого боку, при q=eip/6 маємо нове правило сум

mN + (1+Ц3)mX¤2 = 2mL¤Ц3 + ( 9- Ц3 )mS6 (10)

точність якого ” 0.22% значно вища, ніж у формули ГМО (” 0.58%). Інше динамічне представлення дає q-аналог (9) із Aq, яке генерує ПСМ

mX + ( [2] q7-1) mN = mL+ ( [2] q7-1)mS , [2]q7 = 2 cos(p¤7), (11)

що має надзвичайну точність в 0.07%!

Отже, застосування квантової алгебри Uq(u(4,1)) як динамічної 'знімає виродження': крім класичної формули ГМО, отримуються нові високоточні ПСМ (10), (11) та інші - як правило, різні в різних динамічних представленнях.

Для декуплета баріонів (3¤2)+ виведено q-деформовану мас-формулу

mS* - mD + mW - mX* = [2]q (mX* - mS*) , [2]q = 2 cos q , (12)

у формі "q-середнього" і доведено теорему про її універсальність - незалежність від ви-бору представлення динамічної алгебри. Ця формула гарно виконується, якщо q @ p¤14. Показано, що при застосуванні еніонної реалізації представлень квантових алгебр Uq(sun) та еніонної реалізації мас-оператора до обчислення мас баріонів (3¤2)+ з Uq(su3)-декуплета отримане мас-співвідношення співпадає з формулою (12), виведеною в рамках q-аналога формалізму Гельфанда--Цетліна, а структурні кварки баріонів в такій реалізації можна розглядати як еніони із параметром еніонної статистики n= p¤14.

Виявлено, що стандартна мезонна формула ГМО отримується також і із q-аналога (8) при некласичному значенні параметра деформації q=exp(±i arccos(-1¤2)), яке є другим розв'язком рівняння [3]q ¤[2]q - 3¤2 = 0. Подібний наслідок має і q-аналог мас-формули ГМО для октета баріонів

[3] mL + mS = [2] ( q-1 mN + q mX ) , (13)

альтернативний до q-співвідношення (9) і більш простий порівняно з ним. У виводі q-аналога (13) використано інший мас-оператор, побудований з використанням хопфової структури алгебри Uq(su3). Із формули (13) видно, що класична мас-формула ГМО слідує з неї не лише при q = 1, тобто із звичайних унітарних симетрій SU(4) Й SU(3) Й SU(2)), але також і з квантових симетрій - у особливому випадку q = -1 квантових алгебр Uq(sun), невизначених при q = -1. Запропоновано означити їх як певні операторні алгебри, що і продемонстровано на прикладі випадків n = 2 та n = 3.

Показано, що використання квантових алгебр замість унітарних симетрій SU(n), завдяки кореням з одиниці, несе певну 'непертурбативну' інформацію, а також забезпечує врахування в масах баріонів ефектів, сильно нелінійних по порушенню звичайної симетрії SU3.

Дано фізичну інтерпретацію параметра q у розвинутому підході. Для векторних мезонів він замінює механізм змішування синглетів. У випадку баріонів, q пов'язано з відомим у феноменології слабких розпадів адронів кутом Кабібо: кут q у виразі q = exp(i q) ототожнено з самим кутом Кабіббо qC (баріони (3¤2)+), чи з кутом 2 qC (баріони (1¤2)+ з октета). Для qC це підказує точне значення p¤14. Оскільки квантові групи і квантові алгебри описують варіант некомутативної геометрії на квантових (векторних чи однорідних) просторах, висунуто ідею про те, що змішування Кабіббо може походити із некомутативної геометрії в додаткових вимірах. Тоді точне значення qC = p¤14 кута Кабібо має служити мірою некомутативності того квантового простору у додаткових вимірах (число яких має бути не менше двох), котрий і породжує змішування.

Із ПСМ (11), беручи до уваги p¤7 = 2 qC і відомий зв'язок tan2 qC = (md ¤ms) 1¤2 , виведено нову формулу для відношення мас кварків:

ms ¤md = (3mS -mL -3mN + mX)¤(mS + mL - mN - mX) = 18.63 ± 0.16

Це число порівняно з відомими формулами дає значно кращу точність.

В четвертому розділі вивчено поведінку відносно ренормгрупи (РГ) двовимірних нелінійних сигма-моделей на некомпактних симетричних і компактних несиметричних, але ізотропно-незвідних, однорідних просторах G¤H. Нелінійна s-модель на рімановому многовиді M з дією

S[f] = (1¤2t) тd2x gij(f) ¶m fi(x) ¶m fj(x),

де gij і fi - метричний тензор і ріманові координати в M, а t - безрозмірний параметр (параметр гомотетії метрики) є теорією, перенормовною в узагальненому сенсі (Д.Фрі-дан) коли за рахунок квантових поправок геометрія M змінюється зі зміною масштабу енергій. Ренормгрупові бета-функції сигма-моделі на рімановому многовиді M визначаються геометричними характеристиками многовиду і є розкладами за степенями ефективної ("біжучої") константи зв'язку t.

При описі скалярного сектора розширеної N = 6 супергравітації (6 гравітіно) виникають некомпактні нелінійні s-моделі, поля в яких набувають значення в однорідних просторах SO*(12)¤U(6) чи SU*(6)¤Sp(3). У першому підрозділі з допомогою ізоморфізмів некомпактних груп Лі, інших геометричних властивостей компактних і некомпактних симетричних просторів, знайдено явні вирази ренормгрупових бета-функцій для некомпактних s-моделей на однорідних просторах

SO*(2n) ¤ U(n) та SU^*(2n) ¤ Sp(n)

в двох- і трьохпетльовому наближеннях відповідно, а також бета-функції для s-моделей на інших некомпактних симетричних просторах.

Асимптотична свобода двовимірних нелінійних сигма-моделей, як і 4-вимірних неабелевих калібрувальних теорій, є тією властивістю, що гарантує застосовність пертурбативного підходу. Раніше було відомо, що усі 2-вимірні нелінійні s-моделі на незвідних компактних симетричних просторах асимптотично вільні. Питання про РГ-поведінку сигма-моделей зі значеннями полів у компактних несиметричних ізотропно-незвідних однорідних просторах досліджено в другому підрозділі на прикладі s-моделі на особливому 7-вимірному однорідному многовиді Берже B7=Sp(2)¤SU(2). Однопетльовий коефіцієнт бета-функції двовимірної s-моделі визначається тензором Річчі Rij , 1 Ј i,j Ј dim M. Тому для отримання однопетльової бета-функціі Гел-Мана--Лоу нелінійної s-моделі на многовиді B7 було знайдено усі компоненти тензора Річчі даного многовиду через обчислення, методом секційних кривизн, в алгебрі Лі g групи G із розкладом g = h + m, де h - алгебра Лі підгрупи H, а m реалізує дотичний простір до G¤H у виділеній точці. Було вирахувано прості секційні кривизни K(Zi, Zm), i № m, які дають кривизни Річчі Rij, і секційні кривизни K(ZI + Zj, Zm), з яких отримано позадіагональні компоненти тензора Річчі (тут Zi, i=1,...,7, - елементи ортонормованого базису в m ). В результаті, R11 = R22 = ... = R77 = 27¤2, а усі позадіагональні компоненти Rij = 0, i № j. Отже, матриця однопетльового коефіцієнта бета-функції s-моделі на многовиді Берже B7 пропорційна метричному тензору, і Sp(2) ¤SU(2) є ейнштейновим простором. Із цього слідує, що двовимірна Sp(2)¤SU(2)-значна нелінійна сигма-модель має бета-функцію

b( t; Sp(2)¤SU(2) ) = - 13,5 t2 + O(t3)

і є перенормовною асимптотично вільною польовою моделлю.

Для теорії бозе-струни в D = 26 , що на відміну від суперструн зберігає статус єдиної теорії, важливо дослідити різні компактифікації, необхідні при переході до (3+1)-вимірної феноменології. В роботі вивчено новий клас компактифікацій 26-вимірної теорії замкнутої бозонної струни в однорідні простори Kd (d є dim K) із крученням за схемою

M26 ® M26-d ґ Kd

в рамках s-модельного підходу, із РГ бета-функціями та рівняннями сумісності. У квантовому варіанті узагальненої 2d s-моделі, що описує поширення струни на фоні полів метрики Gmn(X), антисиметричного тензора Bmn(X) (потенціалу кручення) та дилатона f(X), виникає конформна (вейлівська) аномалія у складі трьох членів

bGmn ¶a Xm ¶a Xn + b Bmn eab ¶a Xm ¶b Xn + b f (1¤4) g1¤2 R(2) .

Самоузгодженість поширення струни у фонових полях вимагає відсутності конформної аномалії, bGmn = bBmn = bf = 0, що дає рівняння на фонові поля. У першому наближенні

bGmn = Rmn - (1¤4) Hmls Hnls , bBmn = Сl Hlmn ,

де Rmn , R - тензор Річчі і скалярна кривизна тарджет-простору; Hmnl є 3 ¶[mBnl] є 3-форма, пов'язана з крученням T, і дилатон взято постійним.

Наявність кручення модифікує зв'язність і тензор Рімана; відсутність конформної аномалії в однопетльовому наближенні вимагає, щоб симетрична і антисиметрична частини узагальненого тензора Річчі занулялись. Тому розв'язками є Річчі-плоскі простори; необхідно ще забезпечити bf = 0. Для типового представника класу ізотропно-незвідних однорідних просторів (їх класифікацію дали О.Мантуров і Дж.Вольф) - многовиду Берже B7 вирахувано метричну однопетльову бета-функцію нелінійної \sigma-моделі із крученням заданим своїм коефіцієнтом h:

bG(1)ab = (27¤2 - 3 h2¤2 ) dab

Вибір h = ± 3 зануляє bG(1)ab. Показується, що bBab = 0 для B7, як і для всіх ізотропно-незвідних однорідних просторів. При h = ± 33¤2, bf=0 для B7. Подібний однопетльовий аналіз дається для всіх інших однорідних просторів Мантурова-Вольфа.

Виходячи з виразів для двохпетльових бета-функцій узагальнених s-моделей із полями Gmn, Bmn та дилатонним, досліджено двохпетльовий випадок коли виникає ускладнення через ренормсхемні неоднозначності, описувані (Р.Мецаєв та А.Цейтлін) трьома додатковими параметрами. Це, а також залежність від вибору зв'язності, було враховано при обрахуванні метричної і інших бета-функцій. Обчислення показує, що для деяких зв'язностей і у виділеній ренормсхемі однорідний простір B7 дає нетривіальний розв'язок із ненульовим l , 0 < l <1:

h = ± 3 - d, l = P2(h)}¤{P4(h) ,

де 0 < d 1 і покладено l = a'¤r2, а P2(h)} і P4(h) - конкретні поліноми 2-го та 4-го порядку від h. Тоді 2-петльова умова сумісності bG(2)mn = 0 дає прямий зв'язок між величиною кручення h та 'радіусом' компактифікації. Для інших однорідних просторів Мантурова-Вольфа чи їх добутків розв'язки рівнянь самоузгодженості знаходяться із рішення системи двох рівнянь f(G/H; l, h) = 0, h(G¤H; l, h) = 0, з цілком визначеними скалярними функціями f та h, залежними від G¤H.

Досліджено продакт-компактифікації вигляду Ki ґ Kj, Ki ґ Kj ґ Kl , та Ki ґ Kj ґ Kl ґ Km, із простими факторами Ki = G¤H Мантурова-Вольфа. Не існує компактифікації, яка приводила б до 10 субкритичних вимірів (СКВ). У випадку чотирьох СКВ жоден з компактифікуючих однорідних просторів не дає киральних ферміонів, бо ейлерова характеристика c = 0 для всіх 22-вимірних G¤H. Звідси висновок: повинні існувати принаймні дві стадії компактифікацій на однорідні простори даного типу з тим, щоб отримати реально існуючі 4 виміри з необхідними кіральними ферміонними (кварк-лептонними) поколіннями.

Знайдено єдиний кандидат на роль (першої стадії) струнних компактифікацій -

12-вимірний фактор-простір [G2¤SU(3)] ґ [G2¤SU(3)] із c = 4, що редукує теорію в 14-вимірний простір-час M14 і дає в M14 чотири покоління кіральних ферміонів. Завдяки появі в M14 неабелевого калібрувального поля, породженого G2ґG2 - ізомет-рією компактифікуючого простору, вже в реальному 4-вимірному просторі-часі безмасові киральні ферміони виникатимуть із топологічно-нетривіальних конфігурацій цього калібрувального поля.

У п'ятому розділі досліджено ренормгрупову поведінку двовимірних та (2+e)-вимірних нелінійних сигма-моделей на штіфелевих многовидах і показано, що ця поведінка виявляє якісно нові, важливі для фізичних застосувань, риси. Дійсні многовиди Штіфеля VN,k - це однорідні простори, ототожнювані із фактор-просторами

SO(N)¤SO(N-k) @ VN,k , dim VN,k = k [ N - (k+1)¤2 ]

В першому підрозділі отримано всі ті геометричні характеристики многовидів Штіфеля VN,k , які визначають РГ поведінку нелінійних s-моделей на цих многовидах, - компоненти тензора Рімана, тензор Річчі, згортку двох тензорів Рімана. Ці геометричні величини отримано через обчислення усіх секційних кривизн многовиду VN,k , у дотичному до VN,k просторі із базисом, ортонормованим в метриці Кілінга.

РГ-поведінку штіфелевих s-моделей описує узагальнена (матрична) "бета-функція" bAB від змінного метричного тензора,

L d ¤dL (t -1 gAB) є bAB (t -1 gAB) ,

з початковою умовою t-1gAB |L=L0 = (t-1gAB)0. Її одно- та двохпетльовий матричні коефіцієнти даються відповідно тензором Річчі RAB і згорткою (RR)AB є RACDE RBCDE . В однопетльовому наближенні для матричної бета-функції штіфелевих s-моделей при

(t-1gAB)0 = t-1gст.AB отримано:

bab (t -1 g0) = (1¤2) (N - 2) dab , 1 Ј a, b Ј n

bpq (t -1 g0) = (N - 2 - (k-1)¤2 ) dpq , 1 Ј p, q Ј k(N- k)

а інші компоненти bap = bqb = 0 . Звідси - важливий висновок про квантову анізотропію самовзаємодії в штіфелевих сигма-моделях: оскільки bAB діє на просторі метрик MG/H як градієнт, інфінітезимальне РГ-перетворення переводить стандартну ізотропну метрику gст.AB в неізотропну. Це обумовило введення сім'ї SO(N)-інваріантних метрик із явною анізотропією, g(h) = diag(h, ј, h,1,1, ј,1), де h входить

k(k-1)/2 разів. РГ-поведінка стає двозарядною, а параметр анізотропії h, як і параметр гомотетії t=t(L), залежним від масштабу.

Для двозарядної ренормгрупи природньо перейти від "матричної" бета-функції до двох звичайних (скалярних) бета-функцій

bt ( h , t ) := L dt¤dL , bh ( h , t ) := L dh¤dL .

Із тензора Річчі для анізотропних метрик g(h) на VN,k , для пари РГ бета-функцій штіфелевих s-моделей отримано результат

bt ( h , t ) = - ( N - 2 - h (k-1)¤2 ) t2 ,

bh ( h , t ) = ( N - 1) ( h - h-)( h - h+) t .

де h± залежить лише від N, k і дається явно. При k=2 є один виділений (неізотроп-ний) напрямок, і динамічна система РГ-еволюції має точний розв'язок - формулу для РГ-траєкторій на фазовій площині ефективних зарядів h, t, кожна з яких фіксується парою значень h0, t0 при деякому L0.

На основі пари бета-функцій вивчено особливості РГ поведінки ефективних констант зв'язку (ЕКЗ) зі зміною масштабу імпульсів L. Виявлено, що (A) існують такі

значення анізотропії початкових метрик на VN,k , коли властивість асимптотичної свободи втрачається; (B) при h = h+ чи h = h- , реалізуються однозарядні режими АС по константі t. РГ-поведінку квазідвовимірних штіфелевих s-моделей описує автономна динамічна система з двома "управляючими" параметрами l і m,

L dt¤dL = e t - ( N - 2 - h (k-1)¤2 ) t2 ,

L dh¤dL = (t¤2) [ k-2 - ( 2N - 4 )h + (N - 1) h2 ] .

де m = (N-1)¤2, l = (k-2)¤2. Детально вивчено якісну поведінку цієї системи:існування положень рівноваги, їх стійкість, та біфуркації. Виявлено різні види рівноважних станів - стійкий вузол, сідло, сідло-вузол, а також біфуркації типу "сідло-вузол". Множина біфуркаційних значень параметрів для РГ-еволюційної системи описується кривою

l + 1 = m + 1¤(4 m}

і має додатню m > 0 та від'ємну із m < 0 гілки. При переході через криву в трансвер-сальних напрямках відбувається біфуркація стану рівноваги типу "сідло-вузол" та зміна режимів стійкості.

Запропоновано механізм біфуркаційного дроблення ефективних констант зв'язку hN, tN, через значення координат біфуркаційного положення рівноваги (сідло-вузла) із залежної від N серії:

hN =1-(N -1)-1 , tN = e [N - 2 - (k-1) h¤2]-1.

У квазідвовимірному випадку e > 0, в РГ-поведінці штіфелевих s-моделей виявлено тетракритичну (спільну для чотирьох фаз) точку, визначену перетином кривої-сепаратриси

t(h) = e [ N - 2 - ( k - 1) h¤2]-1 ,

з іншою сепаратрисою - прямою h = h-.

Описано умови, при e ® 0 чи асимптотичні при N ® Ґ, коли та чи інша пара зі згаданих чотирьох фаз зникає. Відзначено, що усі чотири фази "виживають" в границі великих N для моделей на фактор-просторах O(2N)¤O(N) та всіх інших O(mЧN) ¤O(N) - сигма-моделей, де m - ціле фіксоване.

Бета-функції штіфелевих s-моделей отримано також і в двохпетльовому наближенні. В кінці розділу вказано конкретні фізичні системи, до опису критичної поведінки яких можуть бути застосовані штіфелеві s-моделі з їх нетривіальними квантовими властивостями.

Завершують дисертаційну роботу отримані в ній основні результати і висновки.

ВИСНОВКИ

В роботі одержані нові науково обґрунтовані результати в галузі теоретичної фізики, які в сукупності розв'язують важливу наукову проблему розробки і застосування представлень вищих квантових груп в феноменології адронів і в квантовій гравітації, а також проблему з'ясування особливостей ренормгрупової поведінки нелінійних сигма-моделей на несиметричних однорідних просторах і знаходження реалістичних струнних компактифікацій. Зокрема:

З допомогою коефіцієнтів Клебша-Гордана представлень відповідних груп виведено явні вирази для матричних елементів представлень скінченних перетворень з груп SO(n) і SO0(n,1), а також груп U(n) і U(n,1); отримано у явному вигляді переплітаючі оператори основної неунітарної серії представлень алгебри Лі групи SO0(n,1) та алгебри u(n,1); з їх допомогою завершено аналіз нерозкладних, незвідних і унітарних незвідних представлень основної неунітарної серії u(n,1) та запропоновано застосування деяких із цих результатів у фізиці адронів.

Розвинуто послідовний теоретико-груповий підхід, з використанням некомпактних U(n,1)-симетрій у ролі динамічних груп відносно n-ароматових симетрій адронів SU(n), до обчислення мас адронів і аналізу мас-співвідношень. Вперше нерозкладні представ-лення застосовано в феноменології адронів, обчислено маси b-кваркових мезонів і отримано для них нові мас-формули, знайдено n-ароматове узагальнення мезонної мас-формули Гел-Мана і Окубо.

Побудовано інфінітезимальні представлення максимально виродженої серії груп SO*(2n) та груп SU*(2n) (як груп прихованої симетрії для розширеної N = 6 супергравітації), в U(n)-базисі та в Sp(n)-базисі відповідно; знайдено явний вигляд переплітаючих операторів, і з їх допомогою проаналізовано звідні (нерозкладні) та розкласифіковано незвідні і унітарні незвідні представлення цих груп;

...