Представлення і реалізації квантових і класичних груп в квантових системах полів і частинок

Введено новий клас нестандартних (відмінних від квантових алгебр Дрінфельда--Джімбо) q-деформованих алгебр U'q(son), що мають важливі переваги перед стандартними квантовими алгебрами Дрінфельда і Джімбо: вони допускають q-аналоги усіх дійсних форм і усіх канонічних вкладень, властивих відповідним класичним (недеформованим) алгебрам U(son).

Знайдено незвідні представлення алгебр U'q(so3), U'q(so4), а для їх "некомпактних" дійсних форм U'q(so2,1), U'q(so3,1) знайдено незвідні та *-незвідні представлення, серед яких є т.зв. "дивні серії" представлень, що зникають в класичній границі q®1; побудо-вано незвідні представлення класу 1 алгебр U'q(son), дано аналіз звідності і отримано список незвідних та *-незвідних представлень виродженого класу алгебр U'q(son,1), у якому є і представлення дивної серії.

Побудовано загальний клас скінченновимірних представлень нестандартної q-деформації U'q(son) алгебри Лі групи обертань n-вимірного простору, які при q®1 містять усі відомі незвідні представлення алгебри Лі so(n); знайдено основні класи нескінченновимірних представлень алгебр U'q(son,1) та, методом контракції, представлень алгебр U'q(ison), які є нестандартними q-деформованими аналогами відповідно алгебр Лі псевдоортогональних груп та алгебр Лі евклідових груп n-вимірних просторів (показово, що в q-евклідових алгебрах генератори трансляцій у різних напрямках не комутують між собою).

Встановлено, що нестандартні q-деформовані алгебри U'q(son) виникають в квантовій (2+1)-вимірній анти-деСіттерівській (з від'ємною космологічною сталою) гравітації на рімановій поверхні роду g>1, причому n=2g+2: це означає, що саме на основі апарату алгебр U'q(so2g+2) необхідно будувати алгебри квантових спостережува-них; вказано деякі інші застосування нестандартних q-алгебр U'q(son), U'q(son,1);

Розроблено новий підхід, який у ролі ароматових внутрішніх симетрій адронів та відповідних їм динамічних симетрій використовує квантові (чи q-деформовані) алгебри Uq(sun) та Uq(un,1) і уможливлює обчислення мас адронів (мезонів 1-, баріонів , ) та отримання q-аналогів мас-співвідношень на основі квантових алгебр.

Для векторних мезонів, які містять важкі кварки, отримано q-аналоги мас-формул і знайдено спосіб жорсткої фіксації значень параметра q через нулі певних поліномів від q, q-1, що дозволяє отримувати реалістичні правила сум для мас мезонів без введення кутів змішування; показано, що ці q-поліноми, визначальні для векторних кварконіїв , , та мають топологічну інтерпретацію асоціюючи з ними конкретні тороїдальні вузли, і це дає можливість характеризувати різні аромати топологічно - інваріантами відповідних вузлів.

Виведено q-аналог мас-співвідношення для октетних баріонів (1¤2)+, розвинуто метод визначальних q-поліномів, на основі якого із різних динамічних представлень отримано цілу серію нових правил сум для мас баріонів (1¤2)+, кожне з яких виконується точніше, ніж мас-формула Гел-Мана - Окубо, а оптимальне має точність ~0.07 %; показано, що використання квантових алгебр у ролі алгебр ароматової і динамічної симетрій забезпечує врахування у баріонних масах 'непертурбативних' поправок і внесків у маси ефектів за рахунок істотньо нелінійної - експоненціальної - залежності від порушення звичайної симетрії SU(3).

Виведено q-аналог мас-співвідношення баріонів (3¤2)+ з декуплета і доведено його універсальність - незалежність від вибору динамічного представлення; показано, що при застосуванні відомої еніонної реалізації квантових алгебр Uq(sun) до знаходження мас-співвідношень для баріонів (3¤2)+ з SU(3)- декуплета, структурні кварки цих баріонів в даній реалізації можна інтерпретувати як еніони із параметром еніонної статистики рівним n=1¤14.

Знайдено фізичну інтерпретацію q-параметра в розвинутому підході до ароматових симетрій на основі q-алгебр Uq(sun): параметр деформації q = exp(i q) у випадку баріонів з декуплета чи октета виражено, відповідно, через кут Кабіббо qC чи його двократну величину, q10 = qC, q8 = 2qC , що для qC підказує точне значення qC = p¤14; висунуто і обгрунтовано ідею, що змішування Кабіббо може походити від некомутативністі додаткових вимірів.

Знайдено явний вигляд ренормгрупових бета-функцій двовимірних сигма-моделей на некомпактних симетричних однорідних просторах SO*(2n)¤U(n), SU*(2n)¤Sp(n); прямим обчисленням геометричних характеристик (тензор Річчі) знайдено явний вираз для однопетльової ренормгрупової бета-функції двовимірної нелінійної сигма-моделі на несиметричному однорідному просторі Берже Sp(2)¤SU(2) і доведено, що їй властива асимптотична свобода.

На основі сигма-модельного опису поширення бозе-струни у фоновій геометрії виділено новий клас струнних компактифікацій простору-часу 26 вимірів в компактні однорідні простори Kd із крученням за схемою M26 ® M26-d ґ Kd; з урахуванням вимоги про появу, внаслідок компактифікації, безмасових киральних ферміонів виділено єдиний варіант - компактифікацію з фактор-простором K12 = [G2¤SU(3)] ґ [G2¤SU(3)] до 14-вимірного простору Мінковського.

Вирахувано геометричні характеристики (тензор Річчі, згортка тензорів Рімана) однорідних многовидів Штіфеля SO(n)¤SO(n-k) і на основі цього знайдено бета-функції в одно- і двохпетльовому наближенні та описано ренормгрупову поведінку нелінійних двовимірних штіфелевих сигма-моделей; виявлено квантоводинамічну анізотропію самовзаємодії і показано, що наявність чи відсутність асимптотичної свободи в таких моделях залежить від фіксації початкової метрики.

Виявлено новий тип біфуркацій типу "сідло-вузол" в динамічних системах, асоційованих з квазідвовимірними квантовими штіфелевими сигма-моделями, запропоновано біфуркаційний механізм дроблення ефективних констант зв'язку і встановлено властивість тетракритичності в таких сигма-моделях.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гаврилик А.М., Климык А.У. Переплетающие операторы для группы U(n,1) // Укр. Мат. Ж. - 1976. - Т.28. - No.6. - С. 803-807.

2. Гаврилик А.М., Широков В.А. Анализ представлений группы SU(4,1) динамической симметрии адронов и массы очарованных частиц // Ядерная физика. - 1978. - Т.28. - No.1. - С. 199-206.

3. Гаврилик А.М., Клімик А.У. Матричні елементи незвідних зображень груп U(n,1) // ДАН УРСР, сер. фіз. мат. - 1978. - вип.6. -

С. 486-490.

4. Klimyk A.U., Gavrilik A.M. Representation matrix elements and Clebsch-Gordan coefficients of the semisimple Lie groups // J. Math. Phys. - 1979. - V. 20. - No.8. - P. 1624-1642.

5. Гаврилик А.М., Широков В.А. Массы b-кварковых мезонов из динамической псевдоунитарной симметрии // Труды Междунар. Семинара "Теоретико-групповые методы в физике". - Наука, 1980, Т.2. - С. 49-54.

6. Гаврилик А.М., Климык А.У. О представлениях некомпактных глобальных групп симметрии расширенной (N=6) супергравитации // Труды Междунар. Семинара "Теоретико-групповые методы в физике". - Наука, 1983, Т.1. - С. 254-258.

7. Gavrilik A.M. Group-Theoretical Aspects of Generalized Nonlinear Sigma Models //

Proc. Int. Conf. "Nonlinear and Turbulent Processes". - Kiev. - 1983. - P. 183-192.

8. Gavrilik A.M., Klimyk A.U. Infinitesimal Operators and Structure of the Representations of the Groups SO*(2n) and SO(2n) in an U(n) Basis and of the Groups SU*(2n) and SU(2n) in an Sp(n) Basis // J. Math. Phys. - 1984. - V.25. - No.3. - P. 422-430.

9. Гаврилик А.М. О b-функциях нелинейных s-моделей на некоторых некомпактных симметрических пространствах // Укр. Фіз. Ж. - 1984. - Т.29. - No.11. - С. 1737-1742.

10. Гаврилик А.М. Обобщенные киральные модели: ренормгрупповой и топологический аспекты // Физика Многочастичных Систем. - 1985. - Т.7. - С. 11-20.

11. Гаврилик А.М. О функции Гелл-Манна - Лоу киральной модели на однородном пространстве Берже // Теор. Мат. Физика. - 1985. - Т.65. - No.1. - С. 155-160.

12. Gavrilik A.M. Self-interaction anisotropy of Stiefel systems of goldstonions // Mod. Phys. Lett. A. - 1989. - V.4. - No.18. - P. 1783-1788.

13. Gavrilik A.M., Klimyk A.U. Indecomposable and irreducible representations of the groups U(n,1) and dynamical symmetry // Symposia Mathematica. - 1989. - V.31. - P. 127-139.

14. Гаврилик А.М. Геометрия в нелинейных квантово-полевых моделях на многообразиях Штифеля и бифуркации ассоциированных автономных систем // Укр. Мат. Ж. - 1991. - Т.43. - No.11. - С. 1527-1537.

15. Гаврилик А.М. Біфуркаційна поведінка штіфелевих нелінійних квантово-польових моделей і дроблення ефективних констант звязку // Укр. Фіз. Ж. - 1991. - Т.36. - No.12. - С. 1801-1807.

16. Gavrilik A.M., Klimyk A.U. q-Deformed orthogonal and pseudo-orthogonal algebras and their representations // Lett. Math. Phys. - 1991. - V.21. - No.3. - P. 215-220.

17. Gavrilik A.M. The representations of U_q(so_4) and U_q(so_{3,1}) // Теор. Мат. Физика. - 1993. - Т.95. - No.2. - С. 251-257.

18. Gavrilik A.M. Quantum groups, q-deformed meson mass formulas and knot invariants // Proc. Int. Conf. "Physics in Ukraine. Quantum Fields and Elementary Particles" (Kiev, 1993). - P. 38-41.

19. Gavrilik A.M. q-Serre relations in U_q(u_n) and q-deformed meson mass sum rules // J. Phys. A. - 1994. - V.27. - No.3. - P. L91-L94.

20. Gavrilik A.M., Klimyk A.U. Representations of the q-deformed algebras Uq(so2,1) and Uq(so3,1) // J. Math. Phys. - 1994. - V.35. - No.7. - P. 3670-3686.

21. Gavrilik A.M., Kachurik I.I., Tertychnyj A.V. Baryon decuplet masses from the viewpoint of q-equidistance // Укр. Фіз. Ж. - 1995. - Т.40. - No.7. - С. 645-649.

22. Gavrilik A.M. Quantum unitary and pseudounitary groups and generalized hadron mass relations // Symmetries in Science VIII (B.Gruber, ed.). - New York: Plenum. - 1995. - P. 109-123.

23. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Multiparameter deformations of gl(n) algebra in terms of anyonic oscillators // J. Nonlin. Math. Phys. - 1996. - V.3. - No.3-4. - P. 426-431.

24. Gavrilik A.M. Quantum groups in hadron phenomenology // Proc. Int. Conf. "Non-Euclidean geometry in modern physics". - Uzhgorod. - 1997. - P. 183-192.

25. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. q-Deformed inhomogeneous algebras Uq(ison) and their representations // Proc. Int. Conf. "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" II. - Kiev. - 1997. - V.2. - P. 384-392.

26. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Nonstandard q-deformation of the Euclidean algebras and their representations // Proc. Int. Conf. "Non-Euclidean geometry in modern physics". - Uzhgorod. - 1997. - P. 56-63.

27. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. q-deformed algebras Uq(son) and their representations // "Methods of Funct. Anal. and Topology." - 1997. - V.3. - N 4. - P. 51-63.

28. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Representations of the nonstandard algebras Uq(so(n)) and Uq(so(n-1,1)) in Gel'fand--Tsetlin basis // Укр. Фіз. Ж. - 1998. - Т.43. - No.7. - С. 791-797.

29. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Quantum groups as flavor symmetries: account of nonpolynomial SU(3)-breaking effects in baryon masses // Укр. Фіз. Ж. - 1998. - Т.43. - No.12. - С. 1526-1533.

30. Gavrilik A.M. The use of quantum algebras in quantum gravity // Proc. of III Int. Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Kiev, July 1999). - P. 310-314.

31. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. On the Casimir elements of q-algebras U'q(son) and their eigenvalues in representations // Proc. of III Int. Conference "Symmetry in Nonlin. Mathem. Physics" (Kiev, July 1999). - P. 304-309.

32. Gavrilik A.M. Coset-space string compactification leading to 14 subcritical dimensions // Heavy Ion Physics. - 2000. - V.11. - No.1-2. - P. 35-41.

33. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Higher Casimir operators of the nonstabdard q-deformed algebras U'q(son) and their eigenvalues // Heavy Ion Physics. - 2000. - V.11. - No.1-2. - P. 29-34.

34. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Masses of decuplet baryons treated within anyonic

realization of the q-algebras Uq(su(n)) // Укр. Фіз. Ж. - 2000. - Т.45. - No.7. - С. 789-794.

35. Gavrilik A.M. Can the Cabibbo mixing originate from noncommutative extra dimensions? // NATO Science Series V.22 "Noncommutative structures in mathematics and physics". - Kluwer, Dordrecht. - 2001. - P. 343-355.

36. Gavrilik A.M. Quantum algebras in phenomenological description of particle properties // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. - 2001. - V.102. - P. 298-305.

37. Gavrilik A.M. Applying the q-algebras U'q(son) to quantum gravity: towards q-deformed analog of SO(n) spin networks // Укр. Фіз. Ж. - 2002. - Т.47, No 3. - P. 213-218.

АНОТАЦІЯ

Гаврилик О.М. Представлення і реалізації квантових і класичних груп в квантових системах полів і частинок. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, Київ, 2002.

Дисертацію присвячено дослідженню представлень некомпактних груп Лі, квантових алгебр, їх застосувань в фізиці адронів і квантовій гравітації, дослідженню ренормгрупових властивостей нелінійних сигма-моделей на несиметричних однорідних просторах і нових струнних компактифікацій. Вивчено представлення некомпактних груп Лі, пов'язаних з N = 6 супергравітацією. Представлення псевдоунітарних груп застосовано в описі мас адронів, аналізі мас-формул. Введено нові q-деформації алгебр Лі ортогональних і евклідових груп, дано аналіз їх представлень, ролі у квантовій гравітації. Квантові псевдоунітарні групи застосовано у новому підході до ароматових симетрій адронів, отримано нові мезонні і баріонні мас-формули, знайдено топологічний опис кваркових ароматів, зв'язок параметра деформації з кутом Кабібо. Описано нові струнні компактифікації, скейлінгову поведінку штіфелевих нелінійних сигма-моделей.

Ключовi слова: некомпактні групи, квантові групи і алгебри, незвідні представлення, ароматові симетрії, маси мезонів і баріонів, нелінійні сигма-моделі, ренормгрупові бета-функції, однорідні простори, кривизна і кручення, струнні компактифікації.

Гаврилик А.М. Представления и реализации квантовых и классических групп в квантовых системах полей и частиц. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАН Украины, Киев, 2002. Диссертация посвящена исследованию представлений некомпактных групп Ли, квантовых алгебр, их применению в физике адронов и квантовой гравитации, исследованию ренормгрупповых свойств нелинейных сигма-моделей на несимметрических од-нородных пространствах и новых струнных компактификаций. Изучены представления некомпактных групп Ли, связанных с N = 6 супергравитацией. Представления псевдоунитарных групп примененены в описании масс адронов, анализе масс-формул. Введе-ны новые q-деформации алгебр Ли ортогональных и евклидовых групп, дан анализ их представлений, роли в квантовой гравитации. Квантовые псевдоунитарные группы примененены в новом подходе к ароматовым симметриям адронов, получены новые мезонные и барионные масс-формулы, найдено топологическое описание кварковых ароматов, связь параметра деформации с углом Кабиббо. Описаны новые струнные компактификации и скейлинговое поведение штифелевых нелинейных сигма-моделей.

Ключевые слова: некомпактные группы, квантовые группы и алгебры, неприводимые представления, ароматовые симметрии, массы мезонов и барионов, нелинейные сигма-модели, ренормгрупповые бета-функции, однородные пространства, кривизна и кручение, струнные компактификации.

Gavrilik A.M. Representations and realizations of quantum and clasical groups in quantum systems of fields and particles. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01.04.02 - theoretical physics. Bogolyubov Institute for Theoretical physics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2002.

The dissertation is devoted to the investigation of representations of noncompact Lie groups, quantum and q-deformed algebras, their application in hadron physics and quantum gravity; to the study of the renormalization-group properties of nonlinear sigma models on the nonsymmetric homogeneous spaces, to elaborating new string compactifications using sigma model approach. The basic results of this work are as follows. For the Lie algebras of pseudo-orthogonal and pseudounitary groups, the intertwining operators of their principal nonunitary series representations are obtained in explicit form, that enables to complete the analysis of indecomposable representations, to explicitly unitarize the operators of some irreducible representations. For the groups of relevance to N = 6 extended supergravity, the explicit formulas for infinitesimal operators of maximally degenerate principal nonunitary series of representations are found, their intertwining operators derived and used to study the structure of indecomposable representations and unitarization of irreducible ones. Application of pseudounitary groups, as dynamical symmetry groups for flavour symmetries, is developed to treat hadron masses and mass formulas. The case of baryons with charm, and of vector mesons with charm and beauty, is considered in detail. Indecomposable representations containing both baryonic and mesonic dynamical representations were used to select the optimal dynamical representation wherein the masses of baryons with strangeness and/or charm evaluated. The obtained mass formulas agree well with data. New, nonstandard q-deformations of the Lie algebras of the complex orthogonal groups are introduced which differ from the quantum deformations of Drinfeld and Jimbo (and possess with regard to these a number of advantages), and their finite dimensional representations constructed. The analysis of infinite dimensional representations of their 'compact' and 'noncompact' (Lorentz type) real forms is performed, the list of irreducible representations as well as of irreducible *-representations is given. The role of these nonstandard q-deformed algebras in constructing quantum gravities is outlined, both in (2+1)-dimensional anti-de Sitter case and in the context of multidimensional euclidean gravity. On the base of quantum pseudounitary groups, novel approach to the flavour symmetries of hadrons is developed. By its means, new mass formulas for baryons and vector mesons are obtained that show much better precision than previously known mass sum rules (remarkably, there is no need to introduce singlet mixing in the case of vector mesons, contrary to the traditional treatment with usual unitary groups). A procedure to fix the deformation parameter in a rigid way, through zeros of certain defining polynomials in q is found. Due to this, a possibility arises to label distinct quark flavours by means of topological invariants -- namely, by the Alexander polynomials of the respective torus knots assigned to vector quarkonia. Physical meaning for the deformation parameter q is found: it it directly connected with the Cabibbo mixing angle, well-known in the phenomenology of weak decays of hadrons. For this angle, the exact theoretically justified value p¤14 is suggested. New formula expressing (strange to nonstrange) quark mass ratio in terms of the octet baryon masses is deduced: it gives the value ms¤md = 18.63 ± 0.16.

The basic geometric characteristics (Riemann tensor, Ricci tensor) of real Stiefel manifolds have been calculated. On this base, generalized matrix beta-functions of (quasi)two-dimensional nonlinear sigma models on the Stiefel manifolds are found, and the peculiarities of their behaviour under renormalization group are explored. It is found that Stiefel sigma models exhibit the intrinsic anisotropy of self-interaction. When taken into account explicitly, the anisotropy of metric and its homothety (the principal effective coupling) both evolve under renormalization group in a correlated manner. For quasi-two dimensional Stiefel sigma models, the appearance of tetracritical point and unusual bifurcations of the saddle-node type are found. Using sigma model approach, a new class of bose-string compactifications on the non-symmetric, isotropy irreducible coset spaces endowed with torsion, is analyzed. Using the requirement that chiral massless fermions should appear just from the geometry and topology of the compactifying manifold, the unique possibility is singled out leading to 14 subcritical dimensions, with the gauge group G2 ґ G2 (from isometry) and four fermion generations.

Key words: noncompact Lie groups, quantum groups and algebras, irreducible representations, flavour symmetries, masses of mesons and baryons, nonlinear sigma models, renormalization group beta functions, coset spaces, curvature and torsion, string compactifications.

Размещено на Allbest.ru