Розробка аналітико-числових методів розв’язування крайових задач теорії дифракції для конічних, клиноподібних та циліндричних областей

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ РАДІОФІЗИКИ ТА ЕЛЕКТРОНІКИ ім. О. Я. УСИКОВА

УДК 621.3:538.5:517.9

01.04.03- радіофізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

РОЗРОБЛЕННЯ АНАЛІТИКО - ЧИСЛОВИХ МЕТОДІВ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ДИФРАКЦІЇ ДЛЯ КОНІЧНИХ, КЛИНОПОДІБНИХ ТА ЦИЛІНДРИЧНИХ ОБЛАСТЕЙ

ВИКОНАВ:

КУРИЛЯК ДОЗИСЛАВ БОГДАНОВИЧ

Харків - 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Фізико - механічному інституті ім. Г.В. Карпенка Національної академії наук України.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України за адресою: 61085, м. Харків,вул. ,ак. Проскури, 12.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Активне освоєння в сучасній радіофізиці міліметрового (мм) і субміліметрового (субмм) діапазонів електромагнітних хвиль вимагає створення ефективних засобів аналізу фізичних закономірностей їх взаємодії з розсіювачами у резонансній області. Проте за наявності потужної обчислювальної техніки існуючі програмні засоби орієнтовані, в основному, на використання найзагальніших чисельних та асимптотичних методів, які не завжди повною мірою враховують специфіку конкретного розсіювача, дифракційну взаємодію його елементів та оточуючих провідників, а отже вносять неконтрольовані похибки і не забезпечують отримання достовірних результатів. Вирішення цієї проблеми базується на побудові нових еталонних моделей взаємодії електромагнітних полів з елементами радіофізичної апаратури мм і субмм діапазонів, які допускають строгий електродинамічний аналіз. Ключову роль у цьому відіграють структури, утворені з сукупності елементів певних канонічних поверхонь (конічних, біконічних, сферичних, клиноподібних, циліндричних тощо). Наприклад, проблема коректного врахування дифракційного зв'язку елементів конічної форми виникає при конструюванні сучасних широкосмугових щілинних антен, у розрахунках полів відкритих коаксіальних резонаторів, при використанні конічних рупорів як елементів фазованих антенних решіток. Елементи конічної форми містяться в антенах багатоканальних комунікаційних систем, малогабаритних приймальних комплексах супутникових сигналів для телепрограм, у радіотелескопах. Розроблення радіофізичних пристроїв з діелектричними резонаторами (антен, генераторів, фільтрів) у багатьох випадках вимагає повного електродинамічного аналізу разом із металічними вставками канонічної форми, які використовуються для розрідження спектрів коливань вищих типів. Конічні, клиноподібні та циліндричні розсіювачі є моделями елементів конструкцій літальних апаратів, а тому строгий електродинамічний аналіз їх окремих вузлів дозволяє скорегувати наближені методи з метою зменшення поперечників розсіювання або підвищення можливості ідентифікації. Аналіз у ближній зоні полів електродинамічних систем, що складаються з хвилеводних випромінювачів, може застосовуватись при розробленні сучасних технологій використання ефекту надроздільної здатності у мікрохвильових мікроскопах, а також для конструювання опромінювачів гостронаправлених дзеркальних та лінзових антен. Наявність у цих структурах гострих країв та вершин дозволяє, з одного боку використовувати їх як моделі дефектів при проектуванні апаратури неруйнівного контролю, а з другого _ як вимірювальні зонди чи моделі самих об'єктів контролю. Зокрема, задача дифракції на вузькому скінченому конусі, зануреному в діелектричну кулю, з одного боку, може бути використана для моделювання гіпертермії при дослідженні процесів нагрівання біологічних тканин, а з другого - для визначення спектра відкритих діелектричних резонаторів. Згадані поверхні дозволяють також моделювати взаємодію полів з ландшафтними та атмосферними неоднорідностями. Наприклад, основні закономірності та особливості роботи дипольної антени над підвищенням місцевості можна пояснити за допомогою

розв'язку задачі дифракції на біконічній поверхні, одне з плечей якої є напівбезмежним конусом, а друге - скінченим конусом зі зрізаною вершиною. Тому питання про дифракцію хвиль на конічних поверхнях, клинах та циліндрах є практично важливим.

У зв'язку з вище сказаним проблема створення нових еталонних моделей на базі використання елементів конічної, біконічної, клиноподібної та циліндричної форми для пояснення взаємодії електромагнітних полів з елементами радіофізичної апаратури та розроблення аналітико-числових методів їх строгого електродинамічного аналізу є актуальною. Її вирішення суттєво розширює клас еталонних задач радіофізики і теорії дифракції, в яких розсіювачі містять різні типи геометричних сингулярностей, дозволяє отримати достовірні фізичні результати стосовно особливостей формування полів такими структурами у широкому частотному діапазоні, включаючи і резонансний, де наближені та асимптотичні методи є непридатними і є основою для тестування та розроблення нових наближених підходів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є узагальненням результатів досліджень, проведених автором у ФМІ НАН України, які увійшли в наукові звіти держбюджетних тем: “Розробка строгих методів розрахунку електромагнітних полів широкочастотного діапазону у макронеоднорідних тілах і створення на цій основі програмних засобів аналізу шаруватих структур з локальною дефектністю”, №ДР0194U012579 (1992-1994р.р.); “Розробка основ теорії електромагнітного та акусто-емісійного неруйнівного контролю матеріалів з використанням нових підходів до розв'язання задач математичної фізики”, №ДР0194U040232 (1994-1996р.р.); “Дослідження взаємодії електромагнітних та ультразвукових хвиль із макродефектами шаруватого матеріалу для створення нових методик і засобів багатопараметрового неруйнівного контролю”, №ДР0197U013067 (1997-1999р.р.); “Розробка теорії та експериментальних засобів моделювання електромагнітного поля дефектів матеріалу і створення автоматизованої апаратури для його виявлення”, №ДР0100U004864 (2000-2002р.р.), а також тем фінансованих Державним Фондом Фундаментальних Досліджень: “Розробка методів розв'язку сингулярних інтегральних і інтегродиференціальних рівнянь на основі квадратурно-інтерполяційних підходів для векторної теорії дифракції”, №Ф2/401 (1993р.); “Чисельний аналіз нерегулярних хвилеводів з краями та розгалуженнями на основі сингулярних інтегральних рівнянь”, №Ф11.3/92 (1994р.); “Дифракція та поширення електромагнітних хвиль у шаруватих діелектриках з провідниками складного профілю”, №Ф2.4/687 (1997р.). У всіх темах автор відповідав за виконання робіт, пов'язаних з розробленням аналітико-числових методів дослідження дифракції електромагнітних полів.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є:

- розроблення на базі єдиної методології (аналітичної регуляризації) аналітико-числових методів розв'язання задач дифракції на елементах конічних поверхонь, клинів і на циліндричних кавернах;

- отримання на цій основі розв'язків нових задач дифракції електромагнітних хвиль в однорідних та кусково однорідних середовищах і створення ефективних алгоритмів обчислення електродинамічних характеристик відповідних розсіювачів;

- виявленні та дослідженні нових і мало вивчених явищ і закономірностей у хвильових процесах, які виникають при дифракції хвиль на цих структурах, а також розроблення рекомендацій для їх практичного використання.

Для досягнення цієї мети в дисертаційній роботі:

а) розроблено метод “напівобертання” для отримання математично строгих розв'язків задач дифракції електромагнітних хвиль на структурах, які складаються зі співвісних відрізків конічних поверхонь у однорідних та кусково однорідних діелектричних середовищах, на розгалуженнях напівбезмежних конічних хвилеводів відрізками конічних поверхонь та на елементах клиноподібних поверхонь;

б) розвинуто метод Вінера-Хопфа для розв'язання задач дифракції електромагнітних хвиль на напівбезмежних клинах та клинах, розгалужених напівплощиною з різними типами граничних умов на протилежних гранях або їх частинах, на циліндричних кавернах, а також на конусах з краями у квазістатичному наближенні;

в) на основі цих підходів отримано розв'язки нових задач теорії дифракції та проведено всебічний аналіз формування електромагнітних полів досліджуваних структур.

Об'єктом дослідження у роботі є фізичні процеси взаємодії електромагнітних полів із розсіювачами, які містять різні типи геометричних сингулярностей, розміщені в однорідних середовищах та в середовищах з границями розділу.

Предметом дослідження є крайові задачі, що описують взаємодію хвиль з розсіювачами, діаграми спрямованості, поля та їх модова структура, потоки електромагнітної енергії через отвори в конічних поверхнях, моделі дефектів типу тріщин на конічних поверхнях, а також моделі частково поглинаючих покрить.

Методи дослідження. Вирішення поставлених в роботі задач базується на застосуванні строгих математичних методів розв'язання крайових задач теорії дифракції електромагнітних хвиль. У дисертації розглядаються скалярні та векторні задачі дифракції з гармонічною залежністю від часу. Для зображення компонентів поля використовуються скалярні потенціали, а процес дифракції хвиль описується крайовими задачами для рівняння Гельмгольца. В основу дослідження покладено метод зображення розв'язків рядами за власними функціями рівняння Гельмгольца для конічних, біконічних та клиноподібних областей, методи інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва (Мелліна у квазістатичних випадках), метод суматорних та дуальних інтегральних рівнянь. Побудова регуляризаційних операторів включає знаходження в аналітичному вигляді операторів, обернених до операторів типу згортки, а також методи факторизації скалярних та векторних рівнянь Вінера-Хопфа. Всі ці підходи модифікуються у відповідності до задач, що розглядаються в дисертаційній роботі.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що:

1. Розроблено аналітико-числовий підхід, який суттєво розширює можливості строгого електродинамічного аналізу ідеально провідних конічних, біконічних та клиноподібних поверхонь з краями і базується на єдиній ідеї - зведенні суматорних

рівнянь дифракційних задач до безмежних систем лінійних алгебраїчних рівнянь (БСЛАР) другого роду з використанням операторів типу згортки та їх обернених як регуляризаторів. У рамках цього підходу коректно враховуються геометричні сингулярності розсіювачів, наявність границь розділу середовищ і забезпечується знаходження розв'язків із заданою точністю при мінімальних обмеженнях на геометричні розміри. При цьому:

1.1. Запропоновано математично коректний метод розв'язання суматорних рівнянь для задач дифракції електромагнітних хвиль на співвісних елементах конічних поверхонь та на розгалуженні ними конічного хвилевода при осесиметричному збудженні та на клинах з щілинами при синфазному збудженні. Встановлено спільну властивість, яка полягає у тому, що розв'язки цих суматорних рівнянь у статичній границі для структур з одним краєм еквівалентні розв'язкам рівнянь типу згортки.

1.2. Побудована строга теорія розв'язання суматорних рівнянь задач дифракції для ідеально жорсткого та м'якого конусів з краєм при несиметричному збудженні акустичною хвилею.

1.3. Вперше запропоновано конструктивний алгоритм побудови сімейства регуляризуючих операторів і на цій основі розроблено техніку формальної регуляризації БСЛАР у задачах дифракції для конічних та біконічних розсіювачів.

1.4. Запропоновано та апробовано ефективний алгоритм побудови наближених БСЛАР, орієнтований на дослідження розсіяння хвиль конічними та біконічними структурами у високочастотній області.

1.5. Дано обгрунтування формалізму методу інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва при розв'язанні скалярних задач дифракції на елементах конічної, біконічної та клиноподібної форми. Вперше досліджено та з'ясовано особливості застосування цього інтегрального перетворення у векторній задачі дифракції електромагнітної хвилі на конусі з краєм при довільному несиметричному збудженні.

2. На основі запропонованого підходу проведено числове та аналітичне дослідження нових і більш глибокий аналіз відомих задач дифракції електромагнітних хвиль, зокрема за наявності конічних елементів з довільними кутами розхилу, а також сферичних і сегментних границь розділу середовищ. В рамках цих досліджень:

2.1. Вперше всесторонньо вивчено особливості формування поля випромінювання електродинамічної системи “скінчений конус - радіальний електричний диполь - зрізаний напівбезмежний конус” в умовах осесиметричного збудження. При цьому:

виявлено ефективне погашення бокових пелюсток діаграми спрямованості в освітленій області, коли параметри системи забезпечують деякі локальні мінімуми енергії випромінювання, встановлені умови формування екстремумів потужності випромінювання диполя на осі скінченого конічного рупора, виявлено і пояснено ефект її безвтратної передачі в отвір зрізаного конуса при невеликих радіусах апертур, сформульовано фізичні умови покращення апроксимації поля скінченого та зрізаного конусів полем напівбезмежного конуса;

досліджено формування поля синфазного кільцевого - генератора напруги, розміщеного на стінці скінченого конуса як моделі реакції дефекта типу тріщини на зондуюче поле, сформульовані умови однозначного знаходження його координати за значенням модуля поля в області тіні;

встановлено закономірності трансформації власних мод конічного хвилевода на його розгалуженні зрізаним конусом; показано, що в широкому діапазоні зміни кутових параметрів формування практично незалежної від радіуса зрізу амплітуди ТЕМ- моди починається при значеннях цього радіуса порядку ; отримано наближену формула для розрахунку поля ТЕМ- хвилі у біконічній області при малих радіусах зрізу та уточнені границі області її використання.

2.2. Вперше вивчено особливості формування осесиметричного електромагнітного поля, дифрагованого на скінченому конусі в середовищі зі сферичною та секторними границями розділу. При цьому:

виявлено та всебічно досліджено ефекти, пов'язані з різким зростанням амплітуди резонансного коливання - типу в металічних та діелектричних сферичних резонаторах, а також зростання амплітуди резонансного коливання - типу сумісно з ростом амплітуд сусідніх нерезонансних мод у сферичних діелектричних резонаторах при внесенні в них конічних вставок скінчених розмірів; досліджено ефекти, обумовлені формуванням скінчених секторних резонаторів зі сферичних при прямуванні розміщеної в них конічної вставки до сферичної границі.

отримано наближені формули для визначення збурення спектра діелектричних сферичних і секторних резонаторів з конічною вставкою малих розмірів і на цій основі встановлено залежність зміщення резонансних частот від кутового параметра конуса та з'ясовано особливості взаємодії секторних резонаторів через конічну діафрагму;

отримано у квазістатичному наближенні аналітичний розв'язок задачі про розсіяння електромагнітного поля краєм скінченого конуса, розташованого на границі розділу діелектричних середовищ, який коректно враховує особливості компонент поля при зміні параметрів діелектрика, і на цій основі дано наближену оцінку коефіцієнта відбивання вузького закритого скінченого конічного вібратора.

3. Розширено область застосування методу Вінера-Хопфа завдяки: а) поєднанню його з методом розкладу в ряди власних функцій; б) модифікації методів виведення рівнянь; в) використанню апарату факторизації матриць-функцій в нових задачах дифракції. Базуючись на цьому:

3.1. Отримано розв'язок двох нових крайових задач дифракції на клині та на розгалуженні клина бісектральною півплощиною з ідеально провідними та магнітними областями на розсіюючих поверхнях, де:

вперше інтегральне перетворення Конторовича-Лєбедєва використано для зведення задач дифракції до векторних модифікованих рівнянь Вінера-Хопфа, які допускають факторизацію;

побудовано точні розв'язки векторних модифікованих рівнянь Вінера-Хопфа в статичній границі, запропоновано алгоритм виведення БСЛАР другого роду в загальному випадку;

з'ясовані розсіюючі властивості клина, утвореного ідеально провідною і магнітною півплощинами з магнітною і провідною смужками в околі країв; встановлено закономірності збурення поля односторонньо поглинаючого клина, обумовлене присутністю вузьких провідних та магнітних смужок біля ребра клина.

3.2. Отримано розв'язки векторної задачі дифракції для ідеально провідного напівбезмежного циліндра з внутрішньою дисковою перегородкою та для односторонньо закритого скінченого циліндра у скалярному випадку. При їх розв'язанні:

вперше запропоновано техніку виведення модифікованих рівнянь Вінера-Хопфа, яка полягає в отриманні коректного зображення потенціалів поля на поверхні диска з врахуванням взаємодії ТМ- і ТЕ- типів хвиль;

отримано БСЛАР другого роду для векторної задачі і ефективні у високочастотній області наближені скінчені системи лінійних алгебраїчних рівнянь для осесиметричного збудження;

встановлені закономірності формування поля випромінювання з отвору циліндричної каверни при її осесиметричному збудженні ТМ- хвилею, виявлено та досліджено ефекти, пов'язані з концентрацією густини потужності випромінювання в кутових областях.

3.3. Розв'язано задачу про визначення осесиметричного електромагнітного поля кільцевої щілини, розміщеної біля вершини конуса, методом Вінера-Хопфа в поєднанні з інтегральним перетворенням Мелліна в квазістатичному наближенні. Дано обгрунтування цього наближення та встановлені особливості поведінки поля в околі щілини.

Практичне значення одержаних результатів визначається, у першу чергу, новим аналітико-числовим підходом до розв'язання широкого класу задач дифракції на структурах, що містять конічні, біконічні або клиноподібні поверхні з краями, який базується на єдиних принципах, що зближує точки зору в побудові строгої теорії дифракції на кусково координатних поверхнях. Отримані в дисертаційній роботі результати можуть використовуватись як еталонні при розробці та апробації наближених методів. Розв'язки задач про дифракцію на розгалуженні конічного хвилевода відрізками конічних поверхонь закладають основи строгої теорії нерегулярних хвилеводів, а розв'язки задач про розсіяння хвиль скінченим конусом у кусково-однорідних середовищах суттєво доповнюють теорію дифракційної взаємодії провідників із сферичними діелектричними резонаторами, які широко використовуються в сучасній радіофізичній апаратурі. Запропоновані у дисертації модифікації методу Вінера-Хопфа дозволи розширити його застосування для аналізу еталонних задач при моделюванні поглинаючих покрить і з'ясувати особливості взаємодії електромагнітних полів з циліндричними кавернами. Встановлені закономірності поведінки електромагнітних полів, а також створені програмні засоби для їх визначення використані при розробленні пристроїв для неруйнівного контролю і діагностики матеріалів.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. В роботах, опублікованих у співавторстві [1,2,6,8,10, 17,18,21,25,27], здобувачем самостійно розроблено методи розв'язання задач дифракції, проведено аналітичні дослідження, створено програмне забезпечення, отримано числові результати, прийнято участь в обговоренні фізичних результатів і формулюванні висновків; у роботах [4,9,26,28-33] здобувачу належить ідея модифікації методу, постановка задач, проведення аналітичних досліджень, та участь в обговоренні результатів і формулюванні висновків.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на міжнародних конференціях “Mathematical Methods in Electromagnetic Theory” (Алушта, 1991; Львів, 1996; Харків, 1998, 2000), на наукових семінарах “Прямі та обернені задачі теорії електромагнітних та акустичних хвиль” (Львів-Брюховичі, 1990, 1995, 1997, 1999; Тбілісі, 1998), на міжнародних симпозіумах “Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики” (Харків, 1993; Феодосія, 1997), на Всеукраїнській науковій конференції “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1995), на Симпозіумі з електромагнітної теорії (Ямагучі, Японія, 1997; Нікко, Японія 1998, Токіо, Японія 2000), на Генеральній Асамблеї URSI (Торонто, Канада, 1999), на міжнародному робочому семінарі “Прямі та обернені задачі розсіювання хвиль” (Гебзе, Туреччина, 2000), на міжнародних конференціях “PIERS 2001, Progress in Electromagnetics Research Symposium” (Осака, Японія, 2001), “2001 Asia-Pacific Radio Science Conference” (Токіо, Японія, 2001), на міжнародному робочому семінарі “Advance Electromagnetics” (Токіо, Японія, 2001). За результатами дисертаційної роботи прочитано лекції в Чуо Університеті, Токіо, Японія, 1997, 2000, окремі результати роботи лягли в основу лекцій, прочитаних автором у Ніхон та Токіо Університетах (Токіо, Японія, 1997, 2000), а також у Кумамото Університеті (Кумамото, Японія, 1997). Робота [28], що лягла в основу доповіді на міжнародній конференції ”Mathematical Methods in Electromagnetic Theory” (Харків, 1998), була нагороджена премією ім. В.Г.Сологуба за вагомий внесок у розвиток аналітичних методів регуляризації в обчислювальній електродинаміці.

Публікації. За результатами роботи після захисту кандидатської дисертації автором опубліковано: монографій 1, окремих розділів у довідниковому посібнику - 1, статей у наукових журналах і збірниках - 22 (з них самостійних - 14), статей у збірниках праць закордонних наукових інститутів - 1, праць у матеріалах міжнародних конференцій - 8.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів висновків, списку використаних джерел на 26с., рисунків на 48с. Загальний обсяг дисертації 360 с.

Зміст дисертації

Вступ містить загальну характеристику стану проблеми, обгрунтування необхідності проведення досліджень за темою дисертації та їх актуальність. В ньому сформульовані мета та задачі дисертаційної роботи, визначено новизну і практичну цінність отриманих результатів.

У першому розділі проведено огляд літературних даних. Проаналізовано аналітико-числові підходи, які використовуються для дослідження стаціонарних задач дифракції електромагнітних та акустичних хвиль на конічних, клиноподібних та циліндричних поверхнях, а також методи, які використовуються при дослідженні близьких задач, що виникають у теорії пружності. З огляду літератури зроблено висновок, що відомі методи не дозволяють розв'язати сформульовані в дисертації задачі, а саме: врахувати строгими методами дифракційну взаємодію сукупності елементів вказаних канонічних поверхонь її векторний характер та наявність границь розділу середовищ. Для вирішення цієї проблеми в дисертації розроблено нові аналітико-числові підходи до розв'язування стаціонарних задач теорії дифракції, що базуються на ідеї “напівобертання” (розділи II-V) та на ідеях, пов'язаних з використанням методу Вінера-Хопфа (розділ VI). Вони орієнтовані на розв'язання задач дифракції для структур, що містять елементи канонічних поверхонь з різними типами геометричних сингулярностей.

Другий розділ присвячено розробленню математично строгого методу розв'язання парних суматорних рівнянь скалярних крайових задач дифракції на ідеальних (провідних, жорстких та м'яких у випадку звукових хвиль) кругових конусах з краєм (скінчений конус і конус зі зрізаною вершиною), які в загальному випадку містять ряди приєднаних функцій Лежандра з невідомими коефіцієнтами розкладу, де - корені трансцендентних рівнянь (), що характеризують модовий склад поля в конічних областях та вільному просторі. Їх виведення базується на зображенні скалярних потенціалів задач дифракції рядами власних функцій рівняння Гельмгольца в сферичній системі координат і на використанні методу спряження полів (компонент, потенціалів) на уявних сферичних поверхнях, що проходять через краї конусів.

Основна ідея, яка вперше запропонована в дисертації для розв'язання такого типу суматорних рівнянь, полягає в тому, щоб ряди приєднаних функцій Лежандра в цих рівняннях замінити сумами, які враховують скінчену кількість мод ( - у вільному просторі та і - в конічних областях, ) і встановити правило граничного переходу параметрів редукції рядів ,, , при якому розв'язки цих рівнянь забезпечать виконання умов Мейкснера на краях. Спочатку суматорні рівняння досліджено в статичній границі (, - хвильове число). Використовуючи формули перерозкладу, вони зведені до систем лінійних алгебраїчних рівнянь, порядок яких обмежено параметрами редукції рядів. Розв'язки отриманих систем записано в аналітичному вигляді і досліджено при ,, . На основі проведеного аналізу встановлено загальне для даного класу задач правило: розв'язки суматорних рівнянь забезпечать виконання умов Мейкснера, якщо при переході від скінчених сум до рядів у них буде забезпечена рівність відношення параметрів редукції рядів в конічних областях і кутових розмірів цих областей). Цей результат узагальнює правило, що використовується для редукції БСЛАР в задачах дифракції на розгалуженнях плоских хвилеводів напівплощиною.

Доведено, що при виконанні сформульованого правила: а) розв'язання суматорних рівнянь дифракційних задач на конусах з краєм в статичних границях зводиться до обертання рівнянь типу згортки, а розв'язки цих рівнянь отримано в аналітичному вигляді на основі факторизації мероморфних функцій, які визначаються модовою структурою поля; б) відповідні матричні оператори типу згортки та їх обернені утворюють пари регуляризаційних операторів для БСЛАР першого роду задач дифракції на скінченому та зрізаному конусах. Останнє твердження базується на встановленій властивості, яка полягає у тому, що головні частини асимптотик матричних елементів цих систем при великих значеннях індексів прямують до статичної границі, а, отже, утворюють матриці, що допускають обертання в аналітичному вигляді. Матричні оператори типу згортки та відповідні обернені оператори використано для зведення БСЛАР першого роду до БСЛАР другого роду методом “напівобертання” і доведено, що розв'язки останніх знаходяться методом редукції з заданою точністю. Вияснено закономірності формування систем рівнянь для знаходження коефіцієнтів розкладу потенціалів у вільному просторі та конічних областях. В результаті вперше розроблено коректний підхід до розв'язання суматорних рівнянь скалярних задач дифракції на скінченому та зрізаному конусах, який полягає у зведенні їх до БСЛАР другого роду методом “напівобертання”. Перевага запропонованого підходу над відомими методами, полягає у тому, що регуляризаційні оператори враховують усі характерні геометричні особливості конічних розсіювачів (змінну кривизну, особливості у вершині і на краях).

Зв'язок між методом суматорних рівнянь і методом інтегрального перетворення Конторовича-Лєбедєва показано на прикладі осесиметричної задачі дифракції ТМ- хвилі на конусі зі зрізаною вершиною. Для розв'язання цієї задачі використано метод дуальних інтегральних рівнянь. Наведена формальна (вимагає припущення, що хвильове число є уявним) методика їх зведення до БСЛАР першого роду. Вона включає перехід до сингулярного інтегрального рівняння і передбачає розклад невідомої функції (дотичної складової електричного поля на конічній поверхні, що доповнює зрізаний конус до напівбезмежного) в ряд за модифікованими функціями Бесселя. Показано, що системи рівнянь, отримані для даної задачі методом суматорних рівнянь і методом інтегральних перетворень, співпадають при уявних значеннях хвильового числа. Доведено правомірність аналітичного продовження матричних елементів останньої (як функцій хвильового параметра) на область додатніх дійсних значень і обгрунтовано використання формалізму методу інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва для розв'язання задач дифракції на конусах з краєм. Методика використання інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва для виведення БСЛАР задачі дифракції на зрізаному конусі узагальнена на випадок, коли конус має скінчену кількість кругових щілин.

Особливості застосування інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва при розв'язанні несиметричних задач дифракції електромагнітних хвиль на скінченому конусі з'ясовано на основі розв'язання векторної крайової задачі для рівнянь Гельмгольца, сформульованої відносно -х () гармонік Фур'є скалярних потенціалів ТМ- і ТЕ- хвиль дифрагованого поля. Вперше отримано коректні зображення потенціалів векторної задачі. Показано, що вони містить інтеграли Конторовича-Лєбедєва з невідомими трансформантами і лінійні комбінації розв'язків рівняння Гельмгольца (для -х гармонік Фур'є), що відповідають нульовій постійній розділення змінних, з невідомими коефіцієнтами. Задачу зведено до системи інтегральних рівнянь і запропонована схема однозначного переходу до БСЛАР першого роду без апріорних обмежень на співвідношення між невідомими коефіцієнтами в зображеннях потенціалів. Отримана система рівнянь строго враховує взаємодію ТМ- і ТЕ- типів хвиль та допускає перехід до БСЛАР другого роду методом “напівобертання”. Показано, що регуляризаторами вихідних БСЛАР першого роду є матричні оператори типу згортки та їх обернені, елементи яких визначаються типом хвилі і кутом розхилу конуса.

Отримані в даному розділі результати в сукупності дають, строгий в математичному плані, метод аналізу задач теорії дифракції на конічних поверхнях з краями, що базується на ідеї “напівобертання”.

У третьому розділі розширено область застосування запропонованого методу на випадки, коли розсіювачі містять скінчену кількість ідеально провідних співвісних відрізків конічних поверхонь з довільними кутами розхилу, які не формують біконічних областей і утворені з конусів зі спільною вершиною (див. рис.1,а). Показано, що зведення в цьому випадку задач дифракції до систем другого роду базується на використанні регуляризаційних операторів задач дифракції на краях окремих елементів цих розсіювачів. Всебічно досліджено осесиметричну задачу дифракції ТМ- хвилі на структурі, яка складається зі співвісних скінченого і зрізаного конусів (див. рис.1,б). Отримано системи рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів розкладу потенціалів в конічних областях і в сферичній смузі, яка розділяє конуси. Для кожної з систем побудовані регуляризаційні оператори. Встановлено, що матричні оператори типу згортки та їх обернені дозволяють реалізувати метод “напівобертання” і отримати БСЛАР другого роду шляхом ліво- і правосторонньої регуляризації систем рівнянь першого роду. Досліджено системи рівнянь задачі дифракції ТМ- хвилі на конусі з двома азимутальними щілинами. У випадку вузьких щілин отримано якісні оцінки їх взаємного впливу на характеристики поля. Набір отриманих систем рівнянь забезпечує гнучкість даного підходу при розрахунку полів та перевірці результатів моделювання.

Для підвищення ефективності алгоритмів запропонована схема побудови сімейства регуляризаційних операторів. Показано, що його елементами є оператори типу згортки з відповідними оберненими, які враховують модову структуру поля в асимптотичному наближенні (для мод високого порядку). Такий підхід дозволив спростити процедуру знаходження регуляризаційних операторів і розробити техніку формальної регуляризації скалярних задач дифракції на конусах з краями. Базуючись на ідеї врахування модової структури поля в асимптотичному наближенні, розроблено методику виведення наближених БСЛАР другого роду для аналізу полів, розсіяних конусами великих розмірів. Встановлено, що при значенні довжини твірної порядку у широкому діапазоні зміни кута розхилу конуса отримуємо практично рівномірне (по куту спостереження) співпадіння діаграм спрямованості, розрахованих за точними та наближеними рівняннями. Отримані наближені системи рівнянь характерні тим, що при довільній довжині твірної конуса прямують до точних, коли кут розхилу конуса .

На основі розробленого підходу вперше всебічно досліджено формування осесиметричного електромагнітного поля двоелементним розсіювачем (див. .рис. 1,б), який збуджується радіальним електричним диполем розміщеним на осі симетрії. Спочатку вивчаються особливості дифракції хвиль на скінченому і зрізаному конусах. У широкій області зміни їх геометричних параметрів досліджено роль краю у формуванні поля. Проведено порівняння модового складу, діаграм спрямованості, розподілу поля в ближній зоні для конусів з краєм та аналогічними характеристиками напівбезмежних конусів. На основі цих даних уточнено області та умови, при яких допустима апроксимація поля скінченого і зрізаного конусів полем напівбезмежного конуса, зокрема, в апертурі скінченого конічного рупора.

Проведено дослідження особливостей формування енергії випромінювання диполя в присутності скінченого і зрізаного конусів. Виявлено її різке (понад 3 рази) збільшення, коли диполь розміщений ззовні над вузьким скінченим конічним рупором з радіусом апертури порядку , при малій різниці між радіальними координатами диполя і краєм рупора. Показано, що цей ефект обумовлений дифракційним зв'язком диполя з освітленою конічною поверхнею та її краєм. Встановлено, що дифракційна взаємодія диполя з краєм приводить до збільшення випромінюваної енергії приблизно на 20%. Показано, що утворення максимумів потужності випромінювання меншого рівня спостерігається при радіусах апертур конічного рупора, близьких до кратних значень. Далі аналізуються особливості дифракційного зв'язку диполя зі зрізаним конусом. Показано, що для аналогічних ситуацій в зрізаному конусі цей зв'язок проявляється значно слабше, а при різниці між радіальними координатами краю зрізаного конуса і диполя, більшій , енергія, яку випромінює диполь у вільний простір, тільки перерозподіляється між конічними областями, утвореними зрізаним конусом.

Дані про розсіяння окремими краями лягли в основу пояснення поведінки поля в двоелементних структурах. Досліджено вплив параметрів конуса з кільцевою щілиною на перерозподіл енергії випромінювання диполя в суміжні конічні області з'єднані щілиною. Встановлено, що при переміщенні щілини фіксованої ширини (диполь утримується в центрі її нормального до осі конуса січення) вздовж твірної конуса відбуваються перемикання домінантних потоків електромагнітної енергії випромінювання диполя з однієї конічної області в іншу. Показано, що такі ефекти обумовлені осциляційною залежністю випромінюваної енергії від положення щілини на конусі. Встановлено, що аналогічні ефекти мають місце і при зміні кутового параметра конуса і, наприклад, достатньо широкі щілини () можна практично закрити для проходження електромагнітної енергії при певних значеннях кута розхилу конуса (див. поведінку кривої 2 на рис. 2,а при ). Показано, що для конусів з щілинами ширшими за половину довжини хвилі і збуджуваних диполем, розміщеним ближче, ніж на до апертури скінченого конуса, повна енергія випромінювання визначається електродинамічною системою “скінчений конус - диполь”, а ширина щілини тільки регулює її розподіл між конічними областями.

Проведено аналіз особливостей передачі енергії електромагнітного випромінювання з рупора у відкритий отвір зрізаного конуса (конуси розділені вузькою щілиною). Виявлено і пояснено ефект практично безвтратної передачі енергії, випроміненої вузьким конічним рупором у круговий отвір зрізу напівбезмежного конуса, коли радіус апертури рупора має порядок , а різниця між кутами розхилу конусів не перевищує . Показано, що цей ефект обумовлений зростанням енергії випромінювання електродинамічної системи в цілому. Таке зростання енергії відповідає головному максимуму кривої 1 на рис. 2,б і пояснюється дифракційною взаємодією диполя з краями конусів та взаємним впливом країв. Величина головного максимуму кривої 2 на цьому рисунку відповідає енергії випромінювання, яка проходить в отвір зрізу напівбезмежного конуса і її значення практично співпадає зі значенням енергії, яку випромінює конічний рупор у вільний простір. Тобто втрати енергії на випромінювання в бокову щілину компенсуються зростанням енергії випромінювання електродинамічної системи. Проведено дослідження діаграм спрямованості двоелементних конічних структур при значеннях параметрів, які забезпечують утворення екстремумів енергетичних характеристик розсіювачів. Виявлено можливість ефективного погашення бокових пелюсток діаграм спрямованості в освітленій області (головна пелюстка змінюється незначно) при попаданні цієї електродинамічної системи в деякі локальні енергетичні мінімуми.

Досліджено ефекти екранування поля синфазного кільцевого - генератора напруги скінченим конічним рупором (поле прикладене між берегами нескінченно вузького непроникаючого прорізу на внутрішній поверхні конуса). При наближенні джерела до краю конуса виявлено зростання розмаху осциляцій поля в області тіні. Показано, що джерело можна практично повністю екранувати при певних положеннях біля краю конуса. Аналізуються особливості утворення областей в тіньовій зоні, де модуль компоненти поля однозначно залежить від координати джерела, що дозволяє визначити його положення на поверхні конуса за значенням цієї величини. Отримані залежності використано для моделювання поля дефекта типу тріщини та встановлення умов його виявлення.

У четвертому розділі розвинуто метод “напівобертання” для розв'язання скалярних задач дифракції на скінченому конусі в кусково однорідному діелектричному середовищі з довільними сферичною та внутрішніми секторними границями розділу, що не проходять через край конуса. На основі розробленого підходу вперше строгим методом досліджено поведінку полів, розсіяних скінченим конусом зануреним в діелектричну кулю з вершиною в центрі (рис. 1,в) і на конусі з частково заповненими діелектриком конічними секторами (рис. 1,г).

Вивчено закономірності формування поля діелектричної кулі з конічною вставкою при збудженні полем радіального електричного диполя, розміщеного всередині цієї кулі на осі симетрії конуса. Аналізуються випадки, коли випромінювання диполя проходить з оптично більш густого середовища у оптично менш густе і навпаки, а також розглядаються особливості формування поля в сферичному металічному резонаторі. Виявлено ефект “настроювання” металічного резонатора на основний - тип коливання за допомогою скінчених конічних вставок, який полягає у тому, що при певних значеннях параметрів конуса спостерігається різке (на декілька порядків) зростання поля резонансної моди в точці максимуму (див. рис. 3,а). Показано, що цей ефект проявляється, коли висота конуса не перевищує 10% від радіуса резонатора. Встановлено зв'язок, що показаний на рис. 3,б, між висотою і кутом розхилу конуса, при якому цей ефект спостерігається.

Досліджено вплив скінченого конуса на деякі типи резонансних коливань сферичних діелектричних резонаторів (). Показано, що на відміну від металічного, в сферичному діелектричному резонаторі зростання поля резонансного коливання - типу проявляється в присутності коротких конусів з кутом розхилу (див. рис. 4), яке швидко гаситься зі збільшенням довжини твірної конуса. У випадку, коли кут розхилу конуса в діелектричній кулі прямує до , то конус тільки підтримує даний тип коливання. В цьому відношенні вплив близьких до диска конусів на - резонансне коливання діелектричного резонатора є аналогічним впливу такого конуса на - резонансне коливання металічного резонатора. При збудженні - резонансного коливання у сферичному діелектричному резонаторі зі скінченим конусом виявлено ефект, який полягає у стрибкоподібній перебудові поля в ньому при зміні, в вузькому інтервалі, довжини твірної конуса. Показано, що цей ефект обумовлений збудженням у цьому резонаторі резонансної і деяких сусідніх нерезонансних мод з близькими до резонансної або більшими амплітудами.

Виведені наближені БСЛАР другого роду для розв'язування задач дифракції осесиметричного електромагнітного поля на діелектричній кулі з короткою конічною вставкою та на малому конусі, сектори якого частково заповнені діелектриком з різними діелектричними постійними. Отримано наближені розв'язки характеристичних рівнянь цих систем для визначення збурення спектра сферичних діелектричних резонаторів малими конічними вставками та секторних діелектричних резонаторів краєм короткої конічної діафрагми. Виведені формули для визначення зміщень резонансних частот, обумовлених такими конусами. Дано узагальнення цього підходу на випадок, коли скінчений конус поміщено в шарувату діелектричну кулю. Отримано наближену формулу для визначення зміщення резонансних частот електродинамічної системи, яка складається з двох секторних діелектричних резонаторів, що працюють на одній частоті і розділені скінченим конусом, з врахуванням їх взаємодії через край діафрагми. Показано, що спектр електродинамічної системи з двох ідентичних напівсферичних резонаторів, розділених диском, складається з незбуреної частини - спектра напівсферичного діелектричного резонатора на ідеально провідній площині і збурення, яке вносить край диска.

Вперше вияснено особливості взаємодії електромагнітного поля зі скінченим конусом (в квазістатичному наближенні), коли його край виходить на границю розділу діелектричних середовищ. Для цього розглянуто осесиметричну задачу дифракції електромагнітної хвилі ТМ - типу на скінченому конусі, один із секторів якого повністю заповнений діелектриком з параметрами відмінними від оточуючого середовища. Вона зведена до БСЛАР першого роду. Обмежуючись статичною частиною матричного оператора цієї системи, розв'язок отримано в аналітичному вигляді модифікованим методом лишків. Доведено, що він забезпечує виконання умов Мейкснера з врахуванням діелектричних параметрів середовищ. Отримано вирази для коефіцієнтів трансформації мод закритого конуса. У часткових випадках виведені наближені формули для відношення коефіцієнтів відбивання закритого і відкритого конусів, які дають явну залежність цих характеристик від параметрів задачі. Встановлено зв'язок отриманих рівнянь з рівняннями, що виникають в задачах дифракції на розгалуженні плоского хвилевода напівплощиною з діелектричним заповненням однієї з областей.

У п'ятому розділі дисертації ідеї, які запропоновані у попередніх розділах, розвиваються і використовуються для розроблення методів строгого аналізу скалярних задач дифракції на ідеально провідних біконічних та клиноподібних структурах. Вирішення цієї проблеми базується на побудові розв'язків суматорних та інтегральних рівнянь для задач дифракції електромагнітних хвиль на розгалуженні конічної області та на скінченому клині.

Розв'язано задачу дифракції осесиметричного поля ТМ- моди на розгалуженні напівбезмежного конічного хвилевода конусом зі зрізаною вершиною (див рис. 1,д). Методом інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва вона зведена до інтегрального рівняння з сингулярним ядром, що враховує збудження ТЕМ- хвилі в біконічній області. За методикою даною в розділі 2, отримано БСЛАР першого роду. Показано, що статична частина цієї системи також є оператором типу згортки, який сумісно з оберненим утворює регуляризаційні оператори відповідної задачі дифракції. Ці оператори використано для переходу до БСЛАР другого роду. Далі розвивається метод розв'язання суматорних рівнянь. Суматорні рівняння даної задачі містять ряди приєднаних функцій Лежандра і ряди власних функції рівняння Гельмгольца біконічної області. Розроблено аналогічний, як і в розділі 2, підхід для їх строгого розв'язання. Він базується на встановленні правила граничного переходу від сум до рядів, що забезпечує виконання умов Мейкснера. Показано, що при його виконанні розв'язання суматорних рівнянь зводяться до БСЛАР другого роду методом “напівобертання” систем рівнянь першого роду, де матричні оператори типу згортки та їх обернені використовуються як ліво- і правосторонні регуляризатори. Запропоновано схему побудови сімейства регуляризаційних операторів, а також методику виведення наближених БСЛАР для розв'язання задач дифракції на біконічних структурах великих розмірів. Показано застосовність запропонованого підходу для розв'язання задач дифракції на розгалуженні конічної області відрізком конічної поверхні та конусом з щілинам.

Проведено чисельний аналіз трансформації власних мод конічного хвилевода на краю зрізу напівбезмежного конуса і встановлено закономірності збудження ТЕМ- хвилі та вищих мод біконічної області. Встановлено, що в широкому діапазоні зміни кутових параметрів формування практично незалежного від радіуса зрізу значення модуля комплексної амплітуди ТЕМ- хвилі починається при радіусах зрізу порядку (див. рис. 7,а). Показано, що ефективне регулювання значенням цієї величини проводиться за допомогою зміни сингулярності поля в вершині конуса, що видно з порівняння кривих на рис. 7,а і 7,б. Виведена формула для розрахунку поля ТЕМ- хвилі в низькочастотному наближенні та уточнено область її застосування шляхом порівняння результатів обчислень характеристик поля в біконічній області за допомогою отриманої формули і чисельним розв'язком БСЛАР.

Розроблено метод “напівобертання” для розв'язування задач дифракції на клиноподібних розсіювачах, що коректно вирішує питання про врахування особливостей поля на краях і ребрі клина. Розвиток цього методу базується на аналізі задачі дифракції поля нитки синфазного струму на скінченому клині (нитка проходить паралельно до ребра). Для отримання розв'язку модифіковано зображення шуканого потенціалу. Він подається у вигляді інтеграла типу Конторовича-Лєбедєва, що розуміється в сенсі головного значення. На основі цього зображення задачу зведено до системи двох незалежних інтегральних рівнянь відносно суми і різниці невідомих струмів на гранях зі скомпенсованими на контурі інтегрування особливостями. Тобто, отримані рівняння вже містять стандартні інтеграли Конторовича-Лєбедєва і зводяться до двох БСЛАР першого роду. Показано, що регуляризаторами двох отриманих систем є дві пари матричних операторів типу згортки з відповідними оберненими, а, отже, вони зводяться до БСЛАР другого роду методом “напівобертання”. Запропонована техніка виведення цих БСЛАР на основі розв'язання суматорних рівнянь з тригонометричними функціями, а також наведено приклади застосування цього підходу для розв'язання задачі дифракції поля нитки синфазного струму на клині з щілинами (рис. 1,е). У низькочастотному наближенні вивчено особливості впливу зрізу ребра скінченого клина на формування поля ТЕМ- хвилі.

Шостий розділ присвячено строгому електродинамічному аналізу розсіювачів з різними типами геометричних особливостей на основі методу Вінера-Хопфа. В п. п. 6.1, 6.2 розв'язано нові крайові задачі дифракції на клині (рис.8а) та на клині, розсіченому центральною напівплощиною (рис. 8б). На поверхнях цих структур чергуються електричні (D) і магнітні (N) граничні умови. Джерелом збудження є нитка синфазного струму, що проходить паралельно до ребра. Вони формулюються як крайові задачі для рівняння Гельмгольца відносно скалярного потенціалу і методом інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва зведені до векторних модифікованих рівнянь Вінера-Хопфа. В останніх необхідно знайти вектор-функцію, компонентами якої є трансформанти дотичних складових електричного і магнітного полів, заданих на частинах граничних поверхонь. Ці рівняння факторизовано і на основі теореми Ліувілля зведено до систем інтегральних рівнянь, визначених з точністю до констант. Розроблено метод вираження цих констант через невідомі функції у формі, яка забезпечує необхідну поведінку компонент поля на лініях зміни граничних умов. У результаті задачі зведено до БСЛАР другого роду. В статичній границі їх розв'язки отримано в аналітичному вигляді. Вони справедливі для довільних кутів розхилу клинів. З'ясовано закономірності збурення поля клина, утвореного магнітною і електричною гранями (такі клини використовуються для моделювання поглинаючих покрить), при формуванні в околі його ребра магнітної смужки на електричній грані і електричної на магнітній. Показано, що це збурення має векторний характер. Отримані результати використано для визначення впливу такого “дефекта” на розсіювальні властивості поглинаючих покрить клинів.

В п. 6.3 вперше в математично строгій постановці розв'язано осесиметричну задачу дифракції електромагнітного поля ТМ- типу на ідеально провідному скінченому циліндрі, один кінець якого закритий диском (рис. 8,в). Джерелом збудження є синфазний - генератор напруги, прикладеної до берегів безмежно тонкого прорізу при z=d на внутрішній поверхні циліндра. Відповідна крайова задача дифракції сформульована відносно Фур'є - трансформанти шуканого потенціалу . Для її розв'язання модифіковано техніку виведення рівнянь Вінера-Хопфа. Вона полягає в розробленні методики знаходження зображення регулярними в півплощинах комплексної площини (зі спільною смугою регулярності) функціями з врахування граничних умов на поверхнях диска. Задачу зведено до модифікованого рівняння Вінера - Хопфа і методом факторизації отримано функціональні співвідношення, які містять сингулярні інтеграли (з шуканими функціями) вздовж ліній розрізу комплексної площини, що виходять з точок галуження , а також невідомі функції і їх значення в дискретних точках. Отримано нові асимптотичні формули для оцінки цих інтегралів при великих значеннях хвильових розмірів каверни і виведена наближена скінчена система лінійних алгебраїчних рівнянь, орієнтована на знаходження розв'язків задачі для високочастотного випадку. При її виведенні враховано, що особливості компонент поля на протилежних кінцях каверни є різними. Отримано вирази для визначення компонент поля всередині каверни і в зоні випромінювання. На рис. 9 в полярній системі координат показано характерний розподіл модуля - компоненти поля (), розсіяного кавернами великих розмірів. Вивчені закономірності формування поля, випроміненого з каверни, у широкій області зміни параметрів задачі. Досліджено залежності поведінки компонент поля та енергії випромінювання від геометричних розмірів і положення джерела всередині каверни. Визначені області максимальної концентрації енергії випромінювання. Показано, що у зв'язку з дифракцією на краях спостерігається її зростання в напрямках, близьких до твірної циліндра. Виявлено також зростання концентрації енергії випромінювання у вузькому кутовому секторі тіньової області, який охоплює напрям, перпендикулярний до її осі симетрії. Досліджено особливості його формування для коротких і довгих каверн.