Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

"Теоретические основы электротехники"

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ, ПРОИСХОДЯЩИЕ В ЦЕПЯХ И ПОЛЯХ

ВВЕДЕНИЕ

Электротехника является областью науки, которая занимается изучением электротехнических и магнитных явлений и их техническим использованием в практических целях.

Предметом курса «Теоретические основы электротехники» является изучение как с качественной, так и с количественной стороны электромагнитных процессов, происходящих в цепях и полях.

Этот курс, базирующийся на курсах физики и высшей математики, содержит инженерные методы расчета и анализа, применимые к широкому классу современных электротехнических устройств.

синусоидальный ток электрические цепи

ТЕМА 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

1. Электрическая цепь и ее элементы. Основные понятия и определения для электрической цепи

Совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток, называют электрической цепью.

Постоянным током называют ток, неизменный во времени.

Постоянный ток представляет собой направленное упорядоченное движение частиц, несущих на себе электрические заряды. Упорядоченное движение носителей зарядов в проводниках вызывается электрическим полем, созданным в них источниками электрической энергии. Условные обозначения: постоянный ток - I, э.д.с. источника -Е и сопротивление - R. Размерности в системе СИ: [ I ] = A. [E]=B [R]=Ом.

Рис. 1

Изображение электрической цепи на рисунке с помощью условных знаков принято называть электрической схемой.

Условным знаком сопротивления R на электрической схеме является вытянутый прямоугольник. Условным знаком источника, электрической энергии является кружок с изображенной внутри него стрелкой. Стрелка указывает положительное направление э. д. с.

Пассивным называется участок электрической цепи, не содержащий источников электрической энергии.

Активным - участок, содержащий источник электрической энергии.

Электротехнические устройства, производящие электрическую энергию, называются источниками электрической энергии, а устройства, потребляющие ее, приемниками или потребителями электрической энергии. ЭДС (электродвижущая сила) - это напряжение, которое создается между двумя точками электрической цепи за счет действия сторонних сил.

Потребитель энергии и провода, соединяющие приемник с источником энергии, называют внешней цепью. Во внешней цепи ток течет от плюса источника энергии к минусу, а внутри источника - от минуса к плюсу.

Зависимость тока, протекающего по сопротивлению, от напряжения на этом сопротивлении принято называть вольтамперной характеристикой.

Различают два принципиально отличных типа вольтамперных характеристик. В первой из них вольтамперная характеристика представляет собой прямую линию (рис. 1, б), во втором - некоторую кривую линию (рис. 1, в).

Сопротивления, вольтамперные характеристики которых являются прямыми линиями, называют линейными сопротивлениями, а электрические цепи с входящими в них только линейными сопротивлениями принято называть линейными электрическими цепями. Сопротивления, вольтамперные характеристики которых не являются прямыми линиями, называют нелинейными сопротивлениями_, а электрические цепи с нелинейными сопротивлениями называют нелинейными электрическими цепями.

Электрические цепи подразделяются на неразветвленные и разветвленные.

Рис. 2

Простейшая разветвленная цепь изображена на рис. 4. а; в ней имеются три, ветви и два узла. В каждой ветви течет свой ток.

Ветвь - участок цепи, образованный последовательно соединенными элементами и заключенный между двумя узлами.

Узел - точка цепи, в которой сходится не менее трех ветвей. Ветвь - это участок цепи между двумя узлами, по которому протекает общий для всех элементов ток. Для узла выполняется закон сохранения заряда - сколько заряда переносится к узлу втекающими токами, столько же заряда выходит из узла, т.е. в узле заряды не накапливаются и не исчезают.

Если в месте пересечения двух линий на электрической схеме поставлена «жирная» точка (рис. 4, б), то в этой точке есть электрическое соединение двух линей, в противном случае рис. 4, в) линии пересекаются без электрического соединения.

2. Основные законы электрических цепей

Рис. 3

Электрические процессы, протекающие в электрических цепях, подчиняются следующим законам.

Закон Ома для участка цепи. Соотношение между током I, напряжением UR и сопротивлением R участка аb электрической цепи выражается законом Ома

U = RI.

В этом случае U = RI - называют напряжением или падением напряжения на резисторе R, а - током в резисторе R.

При расчете электрических цепей иногда удобнее пользоваться не сопротивлением R, а величиной обратной сопротивлению, т.е. электрической проводимостью: . В этом случае закон Ома для участка цепи запишется в виде:

I = UG.

Закон Ома для всей цепи. Этот закон определяет зависимость между ЭДС Е источника питания с внутренним сопротивлением r0, током I электрической цепи и общим эквивалентным сопротивлением RЭ = r0 + R всей цепи:

.

Сложная электрическая цепь содержит, как правило, несколько ветвей, в которые могут быть включены свои источники питания и режим ее работы не может быть описан только законом Ома. Но это можно выполнить на основании первого и второго законов Кирхгофа, являющихся следствием закона сохранения энергии.

Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в узле электрической цепи. В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю

,

где m - число ветвей подключенных к узлу.

При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла - со знаком «минус».

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями на элементах контура. Контур состоит из ветвей, образующих замкнутый путь для протекания электрического тока. Для замкнутого контура, также выполняется закон сохранения энергии. В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках

где n - число источников ЭДС в контуре;

m - число элементов с сопротивлением R_к в контуре;

U_к = R_кI_к - напряжение или падение напряжения на к-м элементе контура.

Для схемы на рис. 4 второй закон Кирхгофа по второй форме записи имеет вид:

.

Рис. 4

Для записи 2^-го закона Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать условно - положительное направление обходов элементов контура (обычно, по часовой стрелке).

Рис. 5

2. Записать алгебраическую сумму падений напряжений, в которой со знаком «+» берутся те падения напряжения, которые совпадают с направлением обхода контура, и со знаком « - », те падения напряжений которые не совпадают.

3. Записать алгебраическую сумму источников эдс, в которой со знаком «+» берутся те эдс, которые совпадают с направлением обхода контура, и со знаком « - », те эдс, которые не совпадают.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо следить за тем, чтобы были охвачены все ветви схемы: в каждый новый контур, для которого составляется уравнение, должна входить хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже составлены уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми.

Запишем уравнения по II закону Кирхгофа для контуров электрической схемы:

контур I: E = RI + R₁I₁ + r₀I,

контур II: R₁I₁ + R₂I₂ = 0,

контур III: E = RI + R₂I₂ + r₀I.

В действующей цепи электрическая энергия источника питания преобразуется в другие виды энергии. На участке цепи с сопротивлением R в течение времени t при токе I расходуется электрическая энергия. Для постоянного тока

W = I²Rt.

Единица измерения энергии джоуль - [Дж].

Скорость преобразования электрической энергии в другие виды представляет электрическую мощность

.

Из закона сохранения энергии следует, что мощность источников питания в любой момент времени равна сумме мощностей, расходуемой на всех участках цепи.

.

Это соотношение называют уравнением баланса мощностей.

3. Эквивалентные преобразования пассивных участков электрических цепей

Сопротивления в электрических цепях могут быть соединены последовательно, параллельно, по смешанной схеме и по схемам «звезда», «треугольник».

Электрическая цепь с последовательным соединением элементов

Рис. 6

Рис. 7

Последовательным называют такое соединение элементов цепи, при котором во всех включенных в цепь элементах возникает один и тот же ток I (рис. 6).

На основании второго закона Кирхгофа общее напряжение U всей цепи равно сумме напряжений на отдельных участках:

U = U₁ + U₂ + U₃ или IR_экв = IR₁ + IR₂ + IR₃,

откуда следует:

R_экв = R₁ + R₂ + R₃.

Цепь с любым числом последовательно включенных сопротивлений можно заменить простой цепью с одним эквивалентным сопротивлением R_экв (рис. 7). После этого расчет цепи сводится к определению тока I всей цепи по закону Ома

,

и затем рассчитывают падение напряжений U₁, U₂, U₃ на соответствующих участках электрической цепи (рис. 8). Недостаток последовательного включения элементов заключается в том, что при выходе из строя хотя бы одного элемента, прекращается работа всех остальных элементов цепи.

Рис.8

Электрическая цепь с параллельным соединением элементов

Параллельным называют такое соединение, при котором все включенные в цепь потребители электрической энергии, находятся под одним и тем же напряжением (рис. 7).

В этом случае они присоединены к двум узлам цепи а и b, и на основании первого закона Кирхгофа можно записать, что общий ток I всей цепи равен алгебраической сумме токов отдельных ветвей:

I = I₁ + I₂ + I₃, т.е.

,

откуда следует, что

.

В том случае, когда параллельно включены два сопротивления R₁ и R₂, они заменяются одним эквивалентным сопротивлением

.

Из соотношения следует, что эквивалентная проводимость цепи равна арифметической сумме проводимостей отдельных ветвей:

G_экв = G₁ + G₂ + G₃.

По мере роста числа параллельно включенных потребителей проводимость цепи G_экв возрастает, и наоборот, общее сопротивление R_экв уменьшается.

Напряжения в электрической цепи с параллельно соединенными сопротивлениями (рис. 8)

U = IR_экв = I₁R₁ = I₂R₂ = I₃R₃.

Отсюда следует, что

,

т.е. ток в цепи распределяется между параллельными ветвями обратно пропорционально их сопротивлениям.

По параллельно включенной схеме работают в номинальном режиме потребители любой мощности, рассчитанные на одно и то же напряжение. Причем включение или отключение одного или нескольких потребителей не отражается на работе остальных. Поэтому эта схема является основной схемой подключения потребителей к источнику электрической энергии.

Электрическая цепь со смешанным соединением элементов

Смешанным называется такое соединение, при котором в цепи имеются группы параллельно и последовательно включенных сопротивлений. Для цепи, представленной на рис.9, расчет эквивалентного сопротивления начинается с конца схемы. Для упрощения расчетов примем, что все сопротивления в этой схеме являются одинаковыми:

R₁=R₂=R₃=R₄=R₅=R.

Рис.9

Сопротивления R₄ и R₅ включены параллельно, тогда сопротивление участка цепи cd равно:

.

В этом случае исходную схему можно представить в следующем виде:

Рис. 10

На схеме (рис. 10) сопротивление R₃ и R_cd соединены последовательно, и тогда сопротивление участка цепи ad равно:

.

Тогда схему можно представить в сокращенном варианте:

Рис. 11

На схеме (рис. 11) сопротивление R₂ и R_ad соединены параллельно, тогда сопротивление участка цепи аb равно

.

Схему (рис. 12) можно представить в упрощенном варианте (рис. 13), где сопротивления R₁ и R_ab включены последовательно.

Тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы будет равно:

.

Рис. 12

Рис. 13

В результате преобразований исходная схема представлена в виде схемы (рис. 13) с одним сопротивлением R_экв. Расчет токов и напряжений для всех элементов схемы можно произвести по законам Ома и Кирхгофа.

4. Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник»

В сложных цепях встречаются соединения, которые нельзя отнести ни к последовательным, ни к параллельным соединениям. К ним относятся трехлучевая звезда и треугольник сопротивлений. Существует возможность их взаимных эквивалентных преобразований.

Рассмотри преобразование треугольника в звезду.

Рис. 14

По второму закону Кирхгофа для треугольника:

R_ab I_ab+ R_bc I_bc+ R_ca I_ca=0 (1)

Для узлов а и b:

I_ca= I_ab -I_a; I_bc= I_ab +I_b.

Подставим в (1):

R_ab I_ab+ R_bc I_ab+ R_bc I_b+ R_ca I_ab - R_ca I_a=0

I_ab (R_ab+ R_bc+ R_cа) + R_bc I_b - R_ca I_a=0

; (2)

Для звезды U_ab равно разности падений напряжений на R_a и R_b

U_ab= R_a I_a - R_b I_b (3)

Сравним с (2):

;

По аналогии запишем для R_c:

.

Полученные формулы позволяют преобразовать треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду сопротивлений.

Сопротивление одной стороны треугольника равно дроби, в числителе которой произведение двух прилегающих к лучу сопротивлений, в знаменателе сумма всех сопротивлений.

Формулы обратного преобразования (звезды в треугольник) можно получить, заменив все сопротивления проводимостями:

; ;

Типичным примером подобной сложной цепи является мостовая цепь (рис. 14). Сопротивления R₁₂, R₁₃, R₂₄, R₃₄ включены в плечи моста, в диагональ 1-4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3-4 называется измерительной диагональю моста.

Рис. 15

Рис. 16

Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника R₂₄ R₃₄ R₂₃ звездой R₂ R₃ R₄ (рис. 15).

Задача. Определить токи во всех ветвях цепи (рис. 19а) при следующих исходных данных: Е=2,2 В; R₁= 10 Ом; R₂ = 30 Ом; R₃ = 60 Ом; R₄ = 4 Ом; R₅ = 22 Ом; R_в=0.

Рис. 17

Решение. Для расчета этой цепи заменим треугольник сопротивлений, подключенных к точкам А, В и С, эквивалентной звездой, подключенной к тем же точкам (рис. 16. б).

Определим величины сопротивлений эквивалентной звезды:

Зная вес сопротивления, определим токи I₀, I₄ и I₅, которые в эквивалентной схеме имеют такие же значения, как и в исходной схеме. Расчет цепи производим методом свертывания.

; .

Поскольку сопротивления между собой соединены параллельно, их общее сопротивление будет равно:

,

а общее сопротивление схемы:

.

Тогда ток в неразветвленной части цепи, то есть общий ток:

.

Напряжение на параллельном участке, т.е. на сопротивлении R_A4C5, будет равно

.

Значения токов в резисторах R₄ и R₅:

; .

Для определения тока I₃ в исходной схеме составляется уравнение по второму закону Кирхгоффа для контура ACD: . Откуда:

(т.е. ток идет от узла С к узлу А)

По первому закону Кирхгофа для узлов А и С:

Проверим: , что справедливо для первого закона Кирхгофа.

(Ответ: общее сопротивление схемы 11 Ом, общий ток I₀=0,2 А, I₁=0,156A, I₂=0,044A, I₃=0,04 A, I₄=0,16 A).

5. Источник ЭДС и источник тока в электрических цепях

При расчете и анализе электрических цепей реальный источник электрической энергии с конечным значением величины внутреннего сопротивления r₀ заменяют расчетным эквивалентным источником ЭДС или источником тока.

Рис. 18

Источник ЭДС имеет внутреннее сопротивление r₀. Стрелка в кружке указывает направление возрастания потенциала внутри источника ЭДС. Для данной цепи запишем соотношение по второму закону Кирхгофа

E = U + Ir₀ или U = E - Ir₀.

Эта зависимость напряжения U на зажимах реального источника от тока I определяется его вольтамперной или внешней характеристикой. Уменьшение напряжения источника U при увеличении тока нагрузки I объясняется падением напряжения на его внутреннем сопротивлении r₀.

Рис. 19

У идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление r₀ << R_н (приближенно r₀0). Вольтамперная характеристика представляет собой прямую линию, напряжение U на его зажимах U=E не зависит от величины сопротивления нагрузки R_н.

Рис. 20

Источник тока, заменяющий реальный источник электрической энергии, характеризуется неизменным по величине током I_к, равным току короткого замыкания источника ЭДС , и внутренним сопротивление r₀, включенным параллельно. Стрелка в кружке указывает положительное направление тока источника. Для данной цепи запишем соотношение по первому закону Кирхгофа

I_к = I₀ + I.

В этом случае ВАХ I(U) источника тока определится соотношением

I = I_к - I₀ = I_к - U/r₀

и представлена на рис. 21,а.

а б

Рис. 21

Уменьшение тока нагрузки I при увеличении напряжения U на зажимах ab источника тока объясняется увеличением тока I_о, замыкающегося в цепи источника тока . В идеальном источнике тока r₀>>R_н. В этом случае можно считать, что при изменении сопротивления нагрузки R_н потребителя I_о0, а II_к. ВАХ I(U) идеального источника тока представляет прямую линию, проведенную параллельно оси абсцисс на уровне I = I_к = E/r₀ (рис. 21,а).

На практике, особенно при расчете электротехнических устройств, чаще используется в качестве источника питания источник ЭДС с внутренним сопротивлением r₀ и величиной электродвижущей силы Е.

Существуют два основных способа соединения источников питания: последовательное и параллельное. Последовательное включение источников питания (источников ЭДС) применяется тогда, когда требуется создать напряжение требуемой величины, а рабочий ток в цепи меньше или равен номинальному току одного источника ЭДС.

Рис.22

Рис.23

На основании второго закона Кирхгофа можно записать

E₁ + E₂ + E₃ = I(r₀₁ + r₀₂ + r₀₃ + R_н),

Откуда

I=( E₁ + E₂ + E₃)/ (r₀₁ + r₀₂ + r₀₃ + R_н).

Таким образом, электрическая цепь на рис. может быть заменена цепью с эквивалентным источником питания (рис. 22), имеющим ЭДС E_э и внутреннее сопротивление r_э.

Рис. 24

При параллельном соединении источников соединяются между собой положительные выводы всех источников, а также их отрицательные выводы. При параллельном соединении напряжение U на выводах всех источников одно и то же. Можно показать, что

.

Для электрической цепи на рис. 1.22 можно записать следующие уравнения:

I = I₁ + I₂ + I₃; P = P₁ + P₂ + P₃ = UI₁ + UI₂ + UI₃ = UI.

Итак, при параллельном соединении источников ток и мощность внешней цепи равны соответственно сумме токов и мощностей источников. Параллельное соединение источников применяется, в первую очередь, тогда, когда номинальные ток и мощность одного источника недостаточны для питания потребителей. На параллельную работу включают обычно источники с одинаковыми ЭДС, мощностями и внутренними сопротивлениями.

6. Режимы работы электрической цепи

При подключении к источнику питания различного количества потребителей или изменения их параметров будут изменяться величины напряжений, токов и мощностей в электрической цепи, от значений которых зависит режим работы цепи и ее элементов.

Реальная электрическая цепь может быть представлена в виде активного и пассивного двухполюсников.

Рис. 25

Двухполюсником называют цепь, которая соединяется с внешней относительно нее частью цепи через два вывода а и b. Активный двухполюсник содержит источники электрической энергии, а пассивный двухполюсник их не содержит. Для расчета цепей с двухполюсниками реальные активные и пассивные элементы цепи представляются схемами замещения. Схема замещения пассивного двухполюсника П представляется в виде его входного сопротивления .

Схема замещения активного двухполюсника А представляется эквивалентным источником с ЭДС E_э и внутренним сопротивлением R_В, нагрузкой для которого является входное сопротивление пассивного двухполюсника R_вх = R_н.

Рис. 26

Режим работы электрической цепи определяется изменениями параметров пассивного двухполюсника, в общем случае величиной сопротивления нагрузки R_н. При анализе электрической цепи рассматривают следующие режимы работы: холостого хода, номинальный, короткого замыкания и согласованный.

Работа активного двухполюсника под нагрузкой R_н определяется его ВАХ, уравнение которой

U = E_э - Ir_0э.

Эта вольтамперная характеристика строится по двум точкам 1 и 2 (рис. 26), соответствующим режимам холостого хода и короткого замыкания.

1. Режим холостого хода

В этом режиме с помощью ключа SA нагрузка R_н отключается от источника питания. В этом случае ток в нагрузке становится равным нулю, и как следует из соотношения напряжение на зажимах ab становится равным ЭДС E_э и называется напряжением холостого хода U_хх

U = U_хх = E_э.

Рис. 27

Метод измерения ЭДС источника с помощью вольтметра, внутреннее сопротивление которого должно быть бесконечно большим.

2. Режим короткого замыкания

В этом режиме ключ SA в схеме электрической цепи (рис. 27) замкнут, а сопротивление R_н=0. В этом случае напряжение U на зажимах аb становится равным нулю, т.к. U = IR_н, а уравнение (1.12) вольт-амперной характеристики можно записать в виде

Значение тока короткого замыкания I_к.з соответствует т.2 на вольт-амперной характеристике (рис. 27).

Итак, параметры активного двухполюсника E_э и r_0э могут быть определены по результатам режимов холостого хода и короткого замыкания:

E_э = U_хх;

.

При изменении тока в пределах 0 I I_кз активной двухполюсник (эквивалентный источник) отдает энергию во внешнюю цепь (участок I ВАХ на рис. 27). При токе I<0 (участок II) источник получает энергию из внешней цепи, т.е. работает в режиме потребителя электрической энергии. Это произойдет, если к зажимам аb двухполюсника присоединена внешняя цепь с источниками питания. При напряжении U<0 (участок III) резисторы активного двухполюсника потребляют энергию источников из внешней цепи и самого активного двухполюсника.

3. Номинальный режим

Номинальный режим электрической цепи обеспечивает технические параметры как отдельных элементов, так и всей цепи, указанные в технической документации, в справочной литературе или на самом элементе. Для разных электротехнических устройств указывают свои номинальные параметры. Однако три основных параметра указываются практически всегда: номинальное напряжение U_ном, номинальная мощность Р_ном и номинальный ток I_ном.

Изоляция всех элементов цепи рассчитана на номинальное напряжение. Превышение ведет к пробою изоляции. Тепловой режим источников или приемников энергии рассчитан на выделение определенного количества тепла , то есть на определенную мощность . Расчетный по тепловому режиму ток называют номинальным. Работа активного двухполюсника под нагрузкой в номинальном режиме определяется уравнением:

U_ном = E_э - I_номr_0э.

На ВАХ (рис. 27) это уравнение определяется точкой 3 с параметрами U_ном и I_ном.

4. Согласованный режим

Согласованный режим электрической цепи обеспечивает максимальную передачу активной мощности от источника питания к потребителю. Определим параметры электрической цепи (рис. 26), обеспечивающие получение согласованного режима. При подключении нагрузки R_н к активному двухполюснику (рис. 27) в ней возникает ток

.

При этом на нагрузке выделится активная мощность

.

Определим соотношение между сопротивлением нагрузки R_н и внутренним сопротивлением r_0э эквивалентного источника ЭДС, при котором в сопротивлении нагрузки R_н выделяется максимальная мощность при неизменных значениях E_э и r_0э. С этой целью определим первую производную Р по R_н и приравняем ее к нулю:

, ,

Это соотношение соответствует максимуму функции P = F(R_н).

Значение максимальной мощности, которая может выделена в нагрузке R_н:

.

Полная активная мощность, выделяемая активным двухполюсником,

.

Коэффициент полезного действия

.

Для мощных электротехнических устройств такое низкое значение КПД недопустимо. Но в электронных устройствах и схемах, где величина Р измеряется в милливаттах, с низким КПД можно не считаться, поскольку в этом режиме обеспечивается максимальная передача мощности на нагрузку.

7. Основные методы расчета электрических цепей. Метод двух узлов

С помощью законов Ома и Кирхгофа в принципе можно рассчитать электрические цепи любой сложности. Однако решение в этом случае может оказаться слишком громоздким и потребует больших затрат времени. По этой причине для расчета сложных электрических цепей разработаны на основе законов Ома и Кирхгофа более рациональные методы расчета, два из которых: метод узлового напряжения и метод эквивалентного генератора, рассмотрены ниже.

Рис. 28

Метод двух узлов применяется для расчета электрических цепей с двумя узлами, между которыми включены активные и пассивные ветви. По расчетной формуле определяется направление между узлами а и b Uаb - узловое напряжение, а затем по закону Ома рассчитываются токи.

Токи в ветвях определяем по закону Ома:

Рассматриваем точку “a” как узел по первому закону Кирхгофа:

Группируем около U_ab

или в общем виде

После этого находят токи. Здесь принято, что если источник имеет положительное направление E к узлу “a”, то произведение E_kG_k берется со знаком “+”, если к узлу “b” от “a” то со знаком “-”.

8. Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора позволяет произвести частичный анализ электрической цепи. Например, определить ток в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи и исследовать поведение этой ветви при изменении ее сопротивления.

Любой многоэлементный активный двухполюсник, к которому присоединена пассивная или. активна я ветвь, может быть заменен эквивалентным двухэлементным двухполюсником с параметрами Е_эк и R_эк; режим работы ветви, присоединенной к двухполюснику, при этом не изменится.

Докажем эту теорему. Пусть сложная электрическая цепь постоянного тока имеет несколько активных и пассивных ветвей. Выделим из этой цепи ветвь с сопротивлением R, режимом которой мы интересуемся, а остальную часть цепи представим в виде активного двухполюсника (рис. 28, а). Разомкнем ветвь с сопротивлением R (рис. 28, б), при этом между точками A и A' появится напряжение, равное напряжению холостого хода U_х между точками A и В. Если между точками А и А^' включить источник э.д.с. Е', значение которой равно U_Х, а направление соответствует рис. 28, в, то разность потенциалов между точками А и А' не изменится и ток в ветви с сопротивлением R останется равным нулю. Включим последовательно с источником э.д.с. Е' источник э.д.с. Е', значение которой равно Е', но включены они противоположно (рис. 28, г). Схема рис. 28, г эквивалентна исходной схеме рис. 28, а.

Рис. 29

Для определения тока в ветви с сопротивлением R применим к схеме рис. 1 24, е принцип суперпозиции. Найдем этот ток как сумму двух частичных токов: от действия источника э.д с. Е" и от суммарного действия источника э.д с. Е' и всех источников активного двухполюсника. Но ранее было показано, что второй частичный ток равен нулю, поэтому ток в ветви с сопротивлением R определяется действием лишь источника э.д.с. Е" при замене активного двухполюсника пассивным (рис. 28, д).

Таким образом, любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным двухэлементным двухполюсником (в частном случае эквивалентным генератором) с источником э.д с. E_»к⁼U_х резистивным элементом с сопротивлением R_»к равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника R_{и x} (рис. 28, е) Из последней схемы видно, что ток в ветви с сопротивлением R можно определить по формуле

которая и отражает сущность рассмотренного метода эквивалентного активного двухполюсника. Нетрудно показать, что активный двухполюсник можно заменить также источником тока J_эк с внутренней проводимостью g_эк.. В случае, когда к активному двухполюснику подключена не пассивная, а активная ветвь с сопротивлением R и источником э.д с. Ј (рис. 29,а), ток в этой ветви следует определять по формуле

В случае Е>Е_эк активный двухполюсник будет работать в режиме активного приемника.

Метод эквивалентного активного двухполюсника имеет огромные преимущества по сравнению с другими методами анализа сложных электрических цепей в случае, когда необходимо провести не общий, а частичный анализ электрической цепи, связанный с определением значений тока в одной ветви при различных значениях ее сопротивления и э.д.с.

Порядок расчета. Для расчета тока в сопротивлении R следует сначала отключить это сопротивление и определить U_Х на его выводах. Далее исключить все ЭДС в оставшихся частях схемы и найти ее сопротивление относительно выводов отключенного сопротивления. Пример 1. В схеме, изображенной на рис., найти ток через R₃. E₁=72 B, E₂=48 B, R₁=3 Ом, R₂=4 Ом, R₃=12 Ом, I₃-?

Рис. 30

Исключив источники, получим:

9. Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Рис. 31

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа.

Следовательно, метод контурных токов более экономен при вычислительной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньшее число уравнений).

Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме рис.30, в которой два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I₁₁, а в правой (также по часовой стрелке) - контурный ток I ₂₂. Для каждого контура составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением R₅) течет сверху вниз ток (I₁₁-I₂₂). Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке. Для первого контура

(а)

или

(б)

Для второго контура

или

В уравнении (б) множитель при токе 1₁₁, является суммой сопротивлений первого контура, обозначим через R₁₁, множитель при токе 1₂₂ (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) - через R₁₂. Перепишем эти уравнения следующим образом:

Здесь - полное собственное сопротивление первого контура,

- сопротивление смежной цепи между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус,

- контурная ЭДС первого контура, равная алгебраической сумме ЭДС этого контура (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направление которых с направлением обхода контура),

- полное собственное сопротивление второго контура,

- контурная ЭДС второго контура.

Если в схеме больше двух контуров, например три, то система уравнений выглядит следующим образом:

или в матричной форме:

;

; ;

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке.

В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с сопротивлениями R_1, R₂ схемы, найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют токи ветвей. Например, в ветви с сопротивлением R₅ протекающий сверху вниз ток равен разности (I₁₁-I₂₂).

Примечание: если провести из верхнего левого угла определителя диагональ в правый нижний угол и учесть, что R₁₂= R₂₁, то модно увидеть, что определитель делится на две зеркальные половины (свойство симметрии относительной главной диагонали, ).

Пример. Определить токи во всех участках сложной цепи (рис. 37), если: E₁ = 130 В; E₂ = 40 В; E₃=100 В; R₁ = 1 Ом; R₂ = 4,5 Ом; R₃ = 2 Ом; R₄ = 4 0м; R₅=10 Ом; R₆ = 5 Ом; R₀₂ = 0,5 Ом; R₀₁ =R₀₃ = 0.

Рис. 32

Решение. Необходимо составить 3 уравнения по второму закону Кирхгофа для определения контурных токов А, Ai и /_т (направление контурных токов выбрано произвольно и указано пунктирными линиями).

Подставляются числовые значения заданных величин

Решая эту систему, получим контурные токи I₁₁=10 A, I₂₂=2 A, I₃₃=5 A.

Вычислим реальные токи в заданной цепи:

I₁= I₁₁=10 A, I₂= I₂₂=2 A, I₃= I₃₃=5 A, I₄= I₁₁ + I₃₃ =10+5=15 A,

I₅=I₃₃-I₂₂=5-2=3 A, I₆= I₁₁ + I₂₂ =10+2=12 A.

10. Принцип наложения и метод наложения

Принцип наложения формулируется следующим образом:

Ток в какой-либо ветви сложной электрической цепи равен алгебраической сумме частичных токов, вызванных каждой ЭДС схемы в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей.

Принцип наложения положен в основу метода расчета, получившего название метода наложения.

При расчете цепей по методу наложения поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи от каждой из э. д. с., мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов.

Пример. Найти токи в схеме рис. при помощи метода наложения.

Представляем схему в виде двух схем: схемы рис. а и б. Значения сопротивлений и э. д. с. указаны в числах на схемах. В схеме рис., а оставлена э. д. с. Е₁ = 80 , . э. д. с. Е₂ удалена; в схеме рис. б оставлена Е₂ и удалена Е₁.

Рис. 33

Из рис.

а) , .

Из рис.

б) .

По 2-му закону Кирхгофа:

;

Для нахождения результирующих токов алгебраически суммируем частичные токи, приняв за положительные направления для токов в ветвях направления, указанные на рис.:

; ;

Заметим, что методом наложения нельзя пользоваться для расчета выделяемых в сопротивлениях мощностей, как суммы мощностей от частичных токов, поскольку мощность является квадратичной функцией тока (Р=RI²). Так, если через некоторое сопротивление R будут протекать согласно направленные частичные токи I₁ и I₂, то выделяемая в нем мощность равна Р=R(I₁²+ I₂²) и она не равна сумме мощностей от частичных токов:

R(I₁²+ I₂²) RI₁²+ RI₂²

ТЕМА 2. ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

1. Цепи синусоидального тока. Основные понятия

Большинство потребителей электрической энергии работает на переменном токе. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Это объясняется преимуществом производства и распределения этой энергии. Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным заключается в возможности с помощью трансформаторов повышать или понижать напряжение, с минимальными потерями передавать электрическую энергию на большие расстояния, в трехфазных источниках питания получать сразу два напряжения: линейное и фазное. Кроме того, генераторы и двигатели переменного тока более просты по устройству, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока.

Переменными называют э.д.с., токи и напряжения, изменяющиеся с течением времени. Они могут изменяться только по значению или только по направлению, а также по значению и направлению.

В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. В генераторах переменного тока получают ЭДС, изменяющуюся во времени по закону синуса, и тем самым обеспечивают наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок. Кроме того, синусоидальная форма тока и напряжения позволяет производить точный расчет электрических цепей с использованием метода комплексных чисел и приближенный расчет на основе метода векторных диаграмм. При этом для расчета используются законы Ома и Кирхгофа, но записанные в векторной или комплексной форме.

Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т.

Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01ё10 Гц - в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) - до сверхвысоких (3000 ё 300000 МГц - миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50 Гц. Значение переменной величины в любой момент времени называется ее мгновенным значением.

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой: i - мгновенное значение тока i(t); u - мгновенное значение напряжения u(t); е - мгновенное значение ЭДС e(t); р- мгновенное значение мощности p(t).

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m): I_m - амплитуда тока; U_m - амплитуда напряжения; E_m - амплитуда ЭДС.

В электроэнергетике наибольшее применение получил переменный ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону.

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ соответствуют уравнения:

.

Рис. 34

Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени (t=0): и - начальной фазой ( ).

Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть

,

где f- частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз. Для синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ угол сдвига фаз:

.

2. Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

Рис. 35

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки с угловой частотой, равной . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е₁ и е₂ (рис. 34).

Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 35) общий ток i₃ равен сумме токов i₁ и i₂ двух ветвей: i₃= i₁+ i₂ .

Рис. 36

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением и рис. 36

...