Электромагнитные процессы, происходящие в цепях и полях

Рис. 37

Результирующий ток также будет синусоидален:

Определение амплитуды I_3m и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 36 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным

.

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

.

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения I_3m и ₃ из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения i₃ путем формального учета угловой частоты:

.

Для результирующих колебаний:

=,

3. Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов.

Преобразование энергии в электрической цепи

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

В соответствии с выражением для действующего значения синусоидального тока запишем:

.

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз:

Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид:

Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим:

Рис. 38

Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока.

Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 37), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания.

Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна .

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью

.

Принимая во внимание, что

,

получим:

Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому , т.е. на входе пассивного двухполюсника

.

Случай Р=0, теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.

4. Прохождение синусоидального тока через резистор

Рис. 39

Идеальный резистивный элемент не обладает ни индуктивностью, ни емкостью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение

(см. рис. 38),

то ток i через него будет равен

(4.1)

Это соотношение показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. Таким образом, на резисторе напряжение и ток совпадают по фазе.

Из (4.1) вытекает:

; .



Рис. 40

Рис. 41

Полученный результат показывает, что отношение двух комплексов есть вещественная константа. Следовательно, соответствующие им векторы напряжения и тока (см. рис. 41) совпадают по направлению.

Здесь напряжение и ток (см. рис. 40) совпадают по фазе (=0), поэтому мощность p=ui всегда положительна,

Резистор потребляет активную мощность

5. Прохождение синусоидального тока через катушку индуктивности.

Рис. 2

Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. Пусть протекающий через него ток (см. рис. 8) определяется выражением

.

Тогда для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать

Полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на /2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то на его экране (идеальный индуктивный элемент) будет иметь место картинка, соответствующая рис. 43,а.

а б

Рис. 43

Из (5) вытекает:

.

Введенный параметр называют реактивным индуктивным сопротивлением катушки; его размерность - Ом. Как и у емкостного элемента, этот параметр является функцией частоты. Однако в данном случае эта зависимость имеет линейный характер, что иллюстрирует рис. 43,б. Из рис. 10 вытекает, что при катушка индуктивности не оказывает сопротивления протекающему через него току, и при .

Рис. 44

При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на . Поэтому в соответствии с (3) можно записать

.

Участок 1-2: энергия , запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает.

Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, возвращаясь в источник.

6. Прохождение синусоидального тока через конденсатор

Рис. 45

Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение (см. рис. 4), то ток i через него будет равен

Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на /2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то на его экране будет иметь место картинка, соответствующая рис. 46,а.

; .

а б

Рис. 46

Введенный параметр называют реактивным емкостным сопротивлением конденсатора. Как и резистивное сопротивление, имеет размерность Ом. Однако в отличие от R данный параметр является функцией частоты, что иллюстрирует рис. 46,б. Из рис. 46,б вытекает, что при конденсатор представляет разрыв для тока, а при .

Поэтому из (3) вытекает, что

.

Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=0), так как в них не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления Х_L и Х_С , в отличие от активного сопротивления R резистора, - реактивными.

Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью.

В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка- ). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр).

В частности для катушки индуктивности имеем:

, так как .

Рис. 47

Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности:

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:

7. Последовательные соединения R и L элементов

Рис. 48

1) Как указывалось в параграфе 25, катушка любого электротехнического устройства обладает определенным активным сопротивлением R и индуктивностью L. Участок с индуктивностью L будем рассматривать как участок, обладающий индуктивным сопротивлением Х_L.

Пусть ток в ветви на рис.24 . Тогда

.

Здесь

, , .

- сдвиг фаз между током и напряжением. Пределы изменения : 0< < /2, т.е. в этом случае напряжение всегда опережает ток.

Полученному уравнению можно поставить в соответствие соотношение:

.

где - полное сопротивление.

Полученным выражениям соответствует векторная диаграмма на рис. 49,а (треугольник напряжений) и треугольник сопротивлений (рис. 49,б). Треугольники подобны.

а б

Рис. 49

Угол сдвига по фазе между напряжением и вызванным им током можно определить из соотношения:

.

График p(t) (где ) показывает, что активная мощность непрерывно поступает из сети и выделяется в активном сопротивлении в виде теплоты. Она равна

.

Мгновенная мощность, обусловленная энергией магнитного поля индуктивности, циркулирует между сетью и катушкой. Ее среднее значение за период равно нулю:

Рис. 50

Рис. 51

8. Последовательное соединение R и C элементов

Реальный участок цепи с емкостью представляется как участок, обладающий резистивным сопротивлением R и емкостным сопротивлением Х_С (рис.52).

Рис. 52

Пусть ток в ветви на рис.29 . Тогда

Здесь

, ,

.

- сдвиг фаз между током и напряжением. Пределы изменения : - /2< <0, т.е. в этом случае напряжение всегда отстает по фазе от тока.

Полученному уравнению можно поставить в соответствие соотношение:



где

Рис. 53

На основании полученного уравнения могут быть построены треугольники напряжений (см. рис. 52,а) и сопротивлений (см. рис. 52, б), которые являются подобными.

Рис. 54

Угол сдвига по фазе между током и напряжением можно определить из соотношения:

.

Мгновенная мощность цепи:

Средняя мощность за период:

.

Таким образом, среднее значение мощности цепи с R и C, так же, как и в цепи с R и L, представляет собой активную мощность, которая выделяется в виде теплоты в активном сопротивлении R.

Энергетические процессы цепи с R и С можно рассматривать как совокупность процессов, происходящих отдельно в цепи с R и С. Из сети непрерывно поступает активная мощность. Реактивная мощность, обусловленная электрическим полем емкости, непрерывно циркулирует между источником и цепью. Ее среднее значение за период равно нулю.

9. Активная реактивная и полная мощности цепи

Комплексная мощность

В цепи синусоидального тока вырабатываются:

активная мощность:

, Вт.

реактивная индуктивная мощность:

, ВАР

реактивная емкостная мощность:

,ВАР

Реактивная мощность цепи:

, ВАР.

Q - это та мощность, которой приемник обменивается с сетью.

Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью. В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка >0) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка <0). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр).

В частности для катушки индуктивности имеем:

, т.к. .

Реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора:

.

Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности:

, ВА

За единицу активной мощности принят ватт (Вт), реактивной мощности - вольт-ампер реактивный (ВАР), полной мощности - вольт-ампер (ВА).

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности равен косинусу угла сдвига между током и напряжением:

.

Тогда:

, , .

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а . Тогда комплекс полной мощности:

где - комплекс, сопряженный с комплексом :

,

где

Рис. 55

Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей. Рис. 53 соответствует (активно-индуктивная нагрузка)

Реактивные (индуктивная, емкостная) мощности, обусловленные соответственно энергией магнитного поля индуктивности и электрического поля емкости, не совершают никакой полезной работы, но они оказывают существенное влияние на режим работы электрической цепи. Циркулируя по проводам трансформаторов, генераторов, двигателей, линий передач, они нагревают их. Поэтому расчет проводов и других элементов устройств переменного тока производят исходя из полной мощности, которая учитывает активную и реактивную мощности.

Коэффициент мощности имеет большое практическое значение: он показывает, какая часть полной мощности является активной мощностью. Полная мощность и коэффициент мощности наряду с другими параметрами являются расчетными величинами и в конечном счете определяют габаритные размеры трансформаторов, генераторов, двигателей и других электротехнических устройств.

Измерение активной, реактивной, полной мощностей и cos , а также параметров цепи, например R и L, можно произвести с помощью ваттметра, амперметра и вольтметра, включенных в цепь по схеме, изображенной на рис. 54.

Рис. 56

Ваттметр измеряет активную мощность Р цепи. Полная мощность цепи равна произведению показаний вольтметра и амперметра.

Реактивную (индуктивную) мощность и коэффициент мощности цепи (рис. 33) определяют расчетным путем по формулам:

, .

Активное сопротивление находят из формулы:

,

откуда .

Полное сопротивление цепи:

.

Индуктивное сопротивление:

.

Индуктивность L определяют из формулы:

,

откуда

10. Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами R, L и С1 (резонанс напряжений)

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением. При резонансе в электрической цепи малые напряжения, приложенные к цепи, могут вызвать значительные токи и напряжения на отдельных участках. Резонанс в электрической цепи сопровождается периодическим переходом энергии электрического поля емкости в энергию магнитного поля и наоборот.

Рис. 57

Различают два вида резонансных состояний: резонанс напряжений и резонанс токов. В цепи, где R, L, С соединены последовательно, может возникнуть резонанс напряжений, а в цепи, где R, L, С соединены параллельно, - резонанс токов.

Рассмотрим явление резонанса напряжений на примере цепи (рис. 34). Резонанс напряжений наблюдают в цепи при последовательном соединении элементов R, L и C. Для цепи рис.87 имеет место

,

где , .

В зависимости от соотношений величин и возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. X_L > X_C, >, угол ц > 0, . Ток отстает от напряжения на угол ц. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 56 а).

Рис. 58

2. Для варианта X_L < X_C угол ц < 0, . Ток опережает напряжение на угол ц. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 56, б).

3. Для варианта X_L = X_C угол ц = 0, . Ток совпадает с напряжением. Цепь имеет активный характер. Полное сопротивление Z=R наименьшее из всех возможных значений X_L и X_C. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 56, в). Этот режим называется резонанс напряжений (). Напряжения на элементах U_L и U_C могут значительно превышать входное напряжение

Как отмечалось, при резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, т.е. угол = 0, и полное сопротивление цепи равно ее активному сопротивлению:

Z = R= j ( X_L- X_C) =R или .

Это равенство будет иметь место, если X_L = Х_С, т. е. реактивное сопротивление цепи равно нулю: X = X_L - Х_С=0.

Выразив X_L и Х_С соответственно через L, С и, получим:

, откуда или ,

где f -частота напряжения, подведенная к контуру, f_рез - резонансная частота.

Пример. Пусть, например, в цепи на рис.87

U = 220 B, f = 50 Гц, R = 22 Ом, L = 350 мГн, С = 28,9 мкФ.

Тогда: X_L = щL = 2рf L = 2 · 3,14 · 50 · 0,35 = 110 Ом;

X_C = 1 / щC = 1 / (2рf C) = 110 Ом;

Z = R = 22 Ом, ц=0, I = U / R = 220 / 22 = 10 А, ш_u = ш_i;

U_L = U_C = I X_L = 10 · 110 = 1100 В.

В приведенном примере U_L и U_С превышают входное напряжение в 5 раз.

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий остается постоянной.

Рис. 58

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 89 приведены типовые кривые I(f),U_L(f) и U_С(f) для цепи на рис.87 при U=const.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q:

.

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление:

.

11. Параллельные соединения R и С и R и L элементов

1) параллельное соединение резистивного и емкостного элементов

Рис. 59

Для цепи на рис. 59 имеют место соотношения:

;

,

где [См] - активная проводимость;

,

где [См] - реактивная проводимость конденсатора.

Векторная диаграмма токов для данной цепи, называемая треугольником токов, приведена на рис. 60. Ей соответствует уравнение в комплексной форме:

,

где ; - комплексная проводимость,

.

Рис. 60

Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 60 б.

Для комплексного сопротивления цепи на рис.38 б можно записать

Полученный результат аналогичен известному из курса физики выражению для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединенных резисторов.

2) параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов

Рис. 61

Для цепи на рис. 60 можно записать:

;

,

где [См] - активная проводимость;

,

где [См] - реактивная проводимость катушки индуктивности.

Векторной диаграмме токов (рис. 61, а) для данной цепи соответствует уравнение в комплексной форме

,

где ; - комплексная проводимость,

.

Рис. 62

Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 40б. Выражение комплексного сопротивления цепи на рис. 40 б имеет вид:

Полученный результат также аналогичен известному из курса физики выражению для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединенных резисторов.

12. Резонанс токов

Рис. 63

Резонанс токов может возникнуть в параллельной цепи (рис. 41), одна из ветвей которой содержит L и R, а другая - С и R.

Положим, что заданы величины R₁, R₂, L, С, частота f и входное напряжение U. Требуется определить токи в ветвях и ток всей цепи.

В данной схеме две ветви. Согласно свойству параллельного соединения, напряжение на всех ветвях параллельной цепи одинаковое, если пренебречь сопротивлением подводящих проводов.

Задача разбивается на ряд этапов

1. Определение сопротивлений ветвей. Реактивные сопротивления элементов L и С определяем по формулам X_L = щL, X_C = 1 / щC, щ = 2рf.

Полное сопротивление ветвей равны:

, ,

соответствующие им углы сдвига фаз

ц₁ = arctg(X_L / R₁), ц₂ = arctg(X_С / R₂).

2. Нахождение токов в ветвях. По закону Ома:

I₁ = U / Z₁, Ш_i1 = Ш_U + ц₁,

I₂ = U / Z₂, Ш_i2 = Ш_U + ц₂.

3. Нахождение тока всей цепи.

Рис. 64

Ток всей цепи может быть найден несколькими методами: графическим, методом мощностей, методом проекций и методом проводимостей.

Чаще всего используют метод проекций и метод проводимостей. В методе проекций ток I₁ и I₂ раскладываются по две ортогональные составляющие активную и реактивную. Ось активной составляющей совпадает с вектором напряжения U. Ось реактивной составляющей перпендикулярна вектору U (рис. 64).

Активные составляющие токов равны:

, ;

Реактивные составляющие токов равны:

,

В последнем уравнении взят знак минус, поскольку составляющие I_1р (индуктивная) и I_2р (емкостная) направлены в разные стороны от оси U.

Полный ток находится из уравнений:

, ц = arctg(I_р / I_а).

В методе проводимостей также используется разложение на активные и реактивные составляющие. Используя уравнение (2.30) активные составляющие токов записываются в виде:

,

где через G₁ = R₁ / Z₁² обозначена величина, названная активной проводимостью первой ветви. Аналогичным образом получим

,

где G₂ = R₂ / Z₂²; а величину G = G₁ + G₂ называют активной проводимостью всей цепи.

Запишем реактивные составляющие токов

,

где B₁ и B₂ - реактивные проводимости ветвей: B₁ = X_L / Z₁², B₂ = X_C / Z₂².

Для реактивной проводимости всей цепи имеем B = B₁ - B₂.

В этом уравнении взят знак минус, из тех же соображений, как и в уравнении метода проекций. Величина тока I и угол ц находятся из соотношений

, ц = arctg(I_р / I_а).

4. Анализ расчетных данных. В зависимости от соотношения реактивных проводимостей B₁ и B₂ возможны три варианта: B₁ > B₂; B₁ < B₂; B₁ = B₂.

Для варианта B₁ > B₂ имеем I_1р > I_2р, ц > 0. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма изображена на рис. 43 а.

При B₁ < B₂ токи I_1р < I_2р, ц < 0. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма изображена на рис.43 б.

Если B₁ = B₂, то I_1р = I_2р, ц = 0. Цепь имеет чисто активное сопротивление. Ток, потребляемый цепью от источника, наименьший. Этот режим называется резонанс токов. Векторная диаграмма изображена на рис. 43 в.



Рис. 65

Резонансом токов называется такое состояние цепи, когда общий ток совпадает по фазе с напряжением, реактивная мощность равна нулю и цепь потребляет только активную мощность.

При резонансе токов коэффициент мощности равен единице: cos =1. Полная мощность равна активной мощности: S = Р.

Реактивная мощность равна нулю:

Q = Q_L -Qc = 0.

Общий реактивный ток цепи, равный разности реактивных токов ветвей, в этом случае равен нулю:

.

Общий ток цепи имеет только активную составляющую, равную сумме активных составляющих токов ветвей:

.

При резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи рис. 94 резистора ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе в цепи минимален:

, - резонансная частота.

Энергетические процессы в цепи при резонансе токов аналогичны процессам, происходящим при резонансе напряжений.

Реактивная энергия действует внутри цени: в одну часть периода энергия магнитного поля индуктивности переходит в энергию электрического поля емкости, в следующую часть периода энергия электрического поля емкости переходит в энергию магнитного поля индуктивности. Обмена реактивной энергией между потребителями цепи и источником питания не происходит. Ток в проводах, соединяющих цепь с источником, обусловлен только активной мощностью.

Для резонанса токов характерно, что общий ток при определенном сочетании параметров цепи может быть значительно меньше токов в каждой ветви. Например, в идеальной цепи, когда г\ = ri = 0, общий ток равен нулю, а токи ветвей с емкостью и индуктивностью существуют: они равны по модулю и сдвинуты по фазе на 180°. Резонанс в цепи при параллельном соединении потребителей называется резонансом токов.

Резонанс токов может быть получен путем подбора параметров цепи при заданной частоте источника питания или путем подбора частоты источника питания при заданных параметрах цепи.

Размещено на Allbest.ru

...