Моделі задач механіки деформування композитних брусів дискретно-неоднорідної структури

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

"КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ"

Горик Олексій Володимирович

УДК 539.3

МОДЕЛІ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ ДЕФОРМУВАННЯ

КОМПОЗИТНИХ БРУСІВ ДИСКРЕТНО-НЕОДНОРІДНОЇ СТРУКТУРИ

Спеціальність 01.02.04 -

Механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ - 2003

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Полтавському національному технічному університеті імені Юрія Кондратюка Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор

Піскунов Вадим Георгійович, Національний транспортний університет, м. Київ завідувач кафедри опору матеріалів і машинознавства

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Василенко Анатолій Тихонович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, виконуючий обов'язки завідувача відділом обчислювальних методів

доктор технічних наук, професор

Cахаров Олександр Сергійович, Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут", професор кафедри хімічного, полімерного та силікатного машинобудування

доктор технічних наук, професор

Шваб'юк Василь Іванович, Луцький державний технічний університет, проректор з наукової роботи

Провідна установа: Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України, м. Київ

Захист відбудеться 3 червня 2003 р., о 1500 годині, на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.002.01 при Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут" за адресою: 03056, м.Київ-56, пр. Перемоги, 37, корп.№1, ауд.№166.

Із дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут" за адресою: 03056, м.Київ-56, пр. Перемоги, 37.

Автореферат розісланий 24 квітня 2003 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук, доцент О.О. Боронко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЕРТАЦІЇ

брус композитний механіка задача

Актуальність теми. У сучасній техніці набули розповсюдження конструкції композитної структури, в яких сполучаються традиційні матеріали (метал, бетон, деревина) із штучними матеріалами різної будови і фізичної природи - композиційними матеріалами. Конструктивні системи композитної структури, в цілому - композитні конструкції, задовольняють різноманітні властивості: міцність та жорсткість, стійкість та вібропоглинання, тощо.

Сполучення в композитних системах жорстких і маложорстких матеріалів призводить до непридатності покладеної в основу розрахункових положень класичної (технічної) теорії гіпотези плоских перерізів для брусів або прямих нормалей для плит й оболонок. Відмова від цієї гіпотези з метою врахування згинної депланації поперечних перерізів брусів, викривлення нормалі у плитах і оболонках потребує уточнення теорії деформування цих систем на основі гіпотез, які враховують ці ефекти. Основна причина депланації перерізів при згині бруса - податливість поперечним деформаціям зсуву та обтиснення.

Слід зауважити, що у композитних плитах і оболонках здебільшого переважає шарувата структура, тобто неоднорідність виявляється в напряму однієї з осей координат - уздовж нормалі до поверхні. Більш складними з точки зору моделювання є композитні бруси, неоднорідність яких виявляється як у формі поперечних перерізів, так і у структурі по перерізу, тобто залежно від двох осей координат, що належать перерізу. Це положення ускладнює розроблення моделей напружено-деформованого стану (НДС) підвищеної точності для розв'язання задач механіки (згину, коливань, стійкості) брусів із довільним за формою перерізом, структура яких утворена дискретно - фазами різного матеріалу, традиційного і композитного, з суттєво відмінними фізико-механічними властивостями - брусів з дискретно-неоднорідною структурою.

У зв'язку з викладеним розробка уточнених (некласичних) моделей НДС для задач механіки деформування твердих тіл типу композитних брусів дискретно-неоднорідної структури є актуальною проблемою в механіці деформівного твердого тіла.

Одним із сучасних напрямів розвитку моделей задач механіки деформівних композитних систем є застосування ітераційного принципу моделювання, який має аналітичну основу побудови гіпотез. Сформульовані на цій основі моделі дозволяють підвищувати точність та достовірність оцінки НДС і тим самим сприяють створенню надійних методів розрахунку конструкцій. Отже, побудову на ітераційній основі моделей розрахунку конструкцій композитної структури слід визнати актуальним напрямом у сучасній механіці їх деформування. Реалізація ітераційних моделей ефективними математичними методами дозволяє створити методики розв'язання вказаних задач механіки композитних брусів суттєво неоднорідної структури, що знаходять застосування у машинобудуванні, будівництві та інших галузях техніки. Вказаній проблемі та її вирішенню присвячена дана дисертація.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати роботи одержані та реалізовані здобувачем як керівником і безпосереднім виконавцем комплексних держбюджетних наукових тем досліджень у галузі механіки деформівного твердого тіла:

- "Розробка і дослідження математичних моделей напружено-деформованого стану просторових тіл з ускладненими властивостями" (держ. регістр. №0196U000996);

- "Розробка рішень задач механіки деформування структурно-неоднорідних тіл та їх реалізація методами комп'ютерної алгебри" (держ. регістр. №0198U002688);

- "Розробка теорій та методів дослідження міцнісних властивостей елементів конструкцій у вигляді брусів кусково-однорідної структури" (держ. регістр. №0100U001318).

- "Ітераційне моделювання задач міцності, стійкості та коливань призматичних композитних тіл з урахуванням депланації перерізів" (держ. регістр. №0103U001407).

Ці теми виконувалися й виконуються у Полтавському національному технічному університеті імені Юрія Кондратюка за планом фундаментальних досліджень Міністерства освіти і науки України.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є вирішення проблеми розробки та реалізації уточнених моделей напружено-деформованого стану для розв'язування задач механіки (згину, коливань, стійкості) твердих деформівних тіл типу призматичних композитних брусів дискретно-неоднорідної структури на основі ітераційного принципу побудови цих моделей, дослідження впливу згинної депланації перерізів брусів на розв'язки вказаних задач та отримання результатів прикладного значення для різних галузей техніки.

Сформульована мета потребує постановки і розв'язання таких загальних задач дослідження:

- розробка на основі ітераційного принципу моделей НДС призматичних композитних брусів дискретно-неоднорідної структури для розв'язування задач їх деформування при згині, коливаннях і стійкості з урахуванням згинної депланації перерізів внаслідок піддатливості поперечним деформаціям зсуву та обтиснення;

- дослідження властивостей ітераційних моделей - формування їх гіпотез, функцій розподілення компонентів НДС по перерізу бруса, параметрів його жорсткості, крайових умов, а також установлення границь застосування моделей та їх достовірності залежно від узагальнених фізико-механічних і геометричних параметрів бруса та кількості кроків ітераційного процесу;

- моделювання повних дотичних напружень для брусів із різною формою та структурою поперечного перерізу, аналіз і уточнення цих напружень, які є першопричиною згинної депланації поперечних перерізів;

- побудова методики аналітичної реалізації ітераційних моделей для брусів із різними крайовими умовами при дії різноманітних навантажень, порівняння результатів розв'язання задач при послідовних кроках ітерації (установлення збіжності ітераційного процесу);

- дослідження особливостей НДС брусів у зонах закріплень, локальних навантажень залежно від композитної структури, зміни жорсткості за довжиною та ступеня обмежень депланації перерізів;

- постановка та розв'язання прикладних задач механіки деформування композитних брусів для різних галузей машинобудування, будівництва й матеріалознавства.

Об'єктом дослідження є деформівні тіла типу призматичних композитних брусів дискретно-неоднорідної структури.

Предметом дослідження є задачі механіки деформування композитних брусів вказаної структури, дослідження згинної депланації перерізів цих брусів внаслідок деформацій поперечного зсуву й обтиснення та її вплив на параметри деформування в задачах згину, коливань та стійкості залежно від фізико-механічних властивостей матеріалу фаз, характеру неоднорідності та геометрії перерізу, умов закріплення бруса і виду його навантаження.

Методом дослідження є побудовані на ітераційному принципі моделі НДС композитних брусів дискретно-неоднорідної структури, аналітичне інтегрування систем визначальних диференціальних рівнянь високого порядку, до яких зводяться розглядувані задачі механіки залежно від ступеня ітераційного процесу, в поєднанні з числовими розв'язками систем алгебраїчних рівнянь та застосуванням методів комп'ютерної алгебри.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі основні нові результати:

- створена із застосуванням узагальнених функцій методика описання дискретної неоднорідності поперечного перерізу композитного бруса, яка забезпечує неперервність переміщень і жорсткий контакт матеріалу окремих фаз ортотропного матеріалу;

- на основі аналітичного ітераційного принципу розроблено нові уточнені моделі НДС призматичних брусів композитної дискретно-неоднорідної структури для розв'язування задач механіки їх деформування з урахуванням згинної депланації перерізів, викликаної поперечними деформаціями зсуву та обтиснення;

- змодельовані горизонтальні та відповідно повні дотичні напруження у перерізах брусів різної форми та структури з метою визначення міри впливу контуру фаз і перерізу загалом на параметри деформованого стану;

- побудовано нову аналітичну методику, яка реалізує розроблені моделі залежно від кроку ітераційного процесу шляхом прямого інтегрування системи визначальних диференціальних рівнянь при довільних крайових умовах для різних типів навантажень;

- розроблено новий числово-аналітичний метод, так званий "метод кінцевих параметрів", який реалізує модель сполученням інтегрування системи визначальних рівнянь методами комп'ютерної алгебри із розв'язанням системи алгебраїчних рівнянь відносно крайових значень шуканих функцій - кінцевих параметрів для різних умов по кінцях бруса;

- виявлено нові, стабілізовані у процесі ітерацій, особливості НДС композитних брусів різної структури по перерізу та вздовж осі внаслідок урахування депланацій перерізів;

- отримано нові експериментальні дані та розвинені теоретико-експериментальні дослідження на основі відомих експериментів, що в цілому встановлє достовірність побудованих моделей;

- одержано нові розв'язки задач вільних та вимушених коливань композитних брусів та їх загальної стійкості, встановлено параметри критичних сил при втраті стійкості окремих фаз у композитній матриці;

- отримано розв'язки нових прикладних задач механіки композитних брусів, зокрема, розв'язано обернену фізично-нелінійну задачу, яка на основі експериментальних даних щодо деформування шаруватої керамічної системи дозволила дати оцінку її механічних характеристик, тощо.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені ітераційні моделі деформування композитних брусів і запропоновані методи їх реалізації дають змогу отримати розв'язки актуальних прикладних задач у різних галузях техніки, приймати більш економічні та надійні проектно-конструкторські рішення, що створює передумови вдосконалення та впровадження нових конструкційних систем (металополімерних, залізобетонних, дерев'яних, керамічних, тощо) й ефективних нетрадиційних технологій їх виготовлення.

Одержані результати знайшли застосування у деяких науково-дослідних та проектно-виробничих організаціях, до яких належать:

- Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М.Францевича НАН України - використано методику розв'язання оберненої задачі визначення механічних характеристик шаруватого керамічного композита, залежності якої дозволили оптимізувати властивості нових типів конструкційних матеріалів;

- ТОВ "СИМО" (м. Полтава) - впроваджено систему контролю якості конструктивних тришарових панелей типу "Sandwich";

- Облавтодор (м. Полтава) - реалізовано методику розрахунку шаруватих шляхових та мостових конструкцій і визначення технічного стану транспортних споруд.

Результати дисертаційної роботи впроваджено у навчальний процес відповідними розділами авторського навчального посібника з розрахунку інженерних конструкцій та підручника з теорії залізобетону.

Особистий внесок здобувача. Постановка проблеми дисертації, формулювання її теми, мети та основних задач виконано здобувачем спільно з науковим консультантом - доктором технічних наук, професором В.Г.Піскуновим. Визначальна частина теоретичних та практичних результатів дисертації стосовно розроблення ітераційних моделей та їх реалізації належать здобувачу особисто, що знайшло відображення у його шістнадцяти одноосібних працях [1-3, 6-8, 10-12, 18, 25, 27, 29, 33, 35, 40].

Автор висловлює щиру подяку науковому консультантові дисертації -доктору технічних наук, професору В.Г.Піскунову.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень обговорювались й отримали схвалення на таких конференціях, конгресах, симпозіумах та семінарах: Міжнародній конференції "Проблеми теорії і практики залізобетону" (Полтава, 1997); VI Міжнародній конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 1997); ІІ та ІІІ Міжнародних конференціях ICCST/2, ICCST/3 "Композитні матеріали і технології" (Південна Африка, Дурбан, 1998, 2000); конференції "Сталебетонні конструкції. Дослідження, проектування, будівництво, експлуатація" (Кривій Ріг, 1998); Міжнародній конференції "Чисельні й аналітичні методи розрахунку конструкцій" (Росія, Самара, 1998); І Міжнародній науково-практичній конференції з програмування УкрПРОГ'98 (Київ, 1998); 4_ій Міжнародній конференції по застосуванню комп'ютерної алгебри “IMACS ACA'98” (Чехія, 1998); 12-й Міжнародній конференції з композитних матеріалів ICCM_12 (Франція, Париж, 1999); Міжнародній конференції "Моделювання динаміки і стійкості механічних систем" (Київ, 1999); IV та V Міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 1999, 2001); ІІ Міжнародній конференції "Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій" (Львів, 1999); ІІ Білоруському конгресі з теоретичної та прикладної механіки - "Механіка-99" (Білорусь, Мінськ, 1999); ІІІ й ІV Всеросійських семінарах "Проблеми оптимального проектування споруд" (Новосибірськ, 2000, 2002); ХІ та ХІІ Міжнародних конференціях МСМ-2000, МСМ-2002 "Механіка композитних матеріалів" (Латвія, Рига, 2000, 2002); Міжнародному семінарі з композитних споруд - МОК-39 (Одеса, 2000); ІІ та ІІІ Міжнародних конференціях "Прогресивна техніка і технологія" (Київ-Севастополь, 2001, 2002); Міжнародній конференції CERAM-2001 "Передова кераміка - третьому тисячоліттю" (Київ, 2001).

У повному обсязі дисертація доповідалася на семінарі “Статична міцність” Інституту проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України під керівництвом академіка А.О.Лебедєва, на семінарі з опору матеріалів Національного транспортного університету під керівництвом д.т.н., проф. В.Г.Піскунова, на семінарі з технічної механіки Луцького державного технічного університету під керівництвом д.т.н, проф. В.І.Шваб'юка, на науковому семінарі Полтавського національного технічного університету імені Юрія Кондратюка під керівництвом д.т.н., проф. С.Ф.Пічугіна.

Публікації. Матеріали дисертації загалом викладено у 75 наукових публікаціях (50 у фахових виданнях). Із них у авторефераті подано список, що містить 40 основних робіт, серед яких 22 публікації [3-9, 18-28, 33-35, 37] у провідних фахових наукових вітчизняних та зарубіжних журналах і 14 - у фахових наукових збірниках [1, 2, 10-17, 29-32] та 4 доповіді у матеріалах конференцій [36, 38-40].

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, семи розділів, висновків. Загальний зміст викладено на 403 сторінках, у тому числі 72 рисунках, 34 таблицях, списку літературних джерел із 340 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Вступ до дисертації визначає актуальність теми, мету і задачі дослідження та подає її загальну характеристику.

Перший розділ присвячено огляду теорії моделювання задач механіки конструкцій композитної структури - брусів, плит, оболонок з урахуванням впливу депланацій перерізів, викривлення нормалей унаслідок деформацій зсуву та поперечного обтиснення. Відмічено, що врахування поперечних зсувів для брусів (балок) було запропоновано С.П.Тимошенком у задачі їх поперечних коливань, С.Г.Лехницьким - у задачі згину біматеріальних балок, а згодом для задачі згину плит, одношарових і тришарових - Е.Рейсснером (E.Reissner). Цим покладено початок розвитку уточнених, тобто некласичних моделей.

Стосовно неоднорідних конструкцій попередньо була розвинена теорія тришарових систем - роботи О.П.Прусакова, Е.І.Григолюка, П.П.Чулкова, а також А.Я.Александрова, Л.Е.Брюккера, В.І.Корольова, Л.М.Куршина і багатьох учених, у працях яких цей напрям набув сучасного розвитку. Його узагальненням стала дискретно-структурна теорія шаруватих композитних систем, основу котрої заклали В.В.Болотін та Ю.М.Новічков, Е.І.Григолюк та П.П.Чулков, а далі розвинули В.В.Васильєв, Г.А.Ванін, Ю.В.Немировський, В.М.Паймушин, Б.Ю.Победря, а також Р.Крістенсен (R.Kristensen), Я.Редді (J.Reddy) та інші вчені. Особливістю цієї теорії є залежність порядку визначальних рівнянь від кількості шарів.

Початок неперервно-структурної теорії анізотропних шаруватих конструкцій, у якій порядок визначальних рівнянь не залежить від кількості шарів, покладено С.О.Амбарцумяном. Згодом вклад у розвиток цього напряму внесли Я.М.Григоренко і А.Т.Василенко, О.П.Прусаков і А.В.Плеханов,

О.Ф.Рябов, О.О.Рассказов і А.С.Дехтяр, В.Г.Піскунов, В.Є.Вериженко, В.С.Сіпетов і В.К.Присяжнюк, Б.Л.Пелех і В.І.Шваб'юк, Л.Лібреску (L.Librescu).

Точні розв'язки задач напружено-деформованого стану шаруватих композитних систем, їх стійкості, термодеформування розвинули О.М.Гузь, Я.М.Григоренко, Ю.М.Шевченко, Ю.М.Неміш, М.О.Шульга, Л.П.Хорошун, І.Ю.Бабіч, А.Т.Василенко, Н.Д.Панкратова, В.Г.Савченко, І.А.Цурпал, І.С.Чернишенко. Відмітимо також роботи з цієї проблеми, що виконали А.Нур (A.Noor), Н.Пейгано (N.Pagano), М.Савойя (M.Savoia).

Узагальненню точних та наближених моделей шаруватих систем, числових методів присвячено роботи В.А.Баженова, Є.О.Гоцуляка, В.І.Гуляєва, О.С.Сахарова, О.В.Гондляха, П.П.Лізунова, О.І.Оглоблі, В.К.Чибірякова.

Дослідження О.К.Малмейстера, В.П.Тамужа, Ю.М.Тарнопольського, А.В.Розе, А.Е.Богдановича, Г.А.Тетерса, Р.Б.Рікардса зробили внесок у теорію жорстких шаруватих композитів, їх динаміки та стійкості.

Розв'язок контактних задач, у тому числі для шаруватих систем в уточненій постановці, розвинули В.С.Гудрамович, Б.Я.Кантор, С.Н.Кан, Е.М.Кваша, І.А.Колесник, Г.І.Львов, О.М.Шупіков та інші вчені.

Розв'язування проблем міцності, руйнування, динаміки матеріалів та конструкцій різної структури, а також їх випробовувань та технології розвинули Г.С.Писаренко, В.Т.Трощенко, А.О.Лебедєв, М.В.Новиков, В.В.Панасюк, В.В.Матвєєв, М.С.Можаровський, М.І.Бобир, А.Є.Бабенко, М.В.Василенко, О.П.Ващенко, П.П.Ворошко, В.Г.Дубенець, Б.І.Ковальчук, Г.О.Кривов, Б.А.Ляшенко, В.О.Стрижало, В.О.Тітов та інші відомі дослідники.

Ідея теорії ітераційного моделювання в механіці деформівних тіл висловлена С.О.Амбарцумяном, яким для анізотропних пластин і оболонок була створена теорія першої ітерації. Згодом більш точні моделі - для теорії другої ітерації були розроблені О.О.Рассказовим і В.Г.Піскуновим. Надалі ними сформульовано узагальнений ітераційний принцип побудови уточнених моделей фізико-механічних полів у конструктивних системах, на основі якого побудовано деякі моделі вищих ітерацій шаруватих анізотропних пластин і оболонок.

Загалом відмічено, що значного розвитку досягли уточнені, певною мірою ітераційні, моделі шаруватих пластин і оболонок, які підвищують точність та достовірність оцінки НДС. Уточнені моделі для задач механіки деформування брусів композитної структури розвинуто значно меншою мірою, а ітераційні моделі для цих деформівних тіл повністю відсутні. Цим висновком першого розділу дисертації обґрунтовано актуальність її теми, постановку мети і побудови моделей на ітераційній основі.

У другому розділі для реалізації мети дисертації побудовано із застосуванням ітераційного принципу її теоретичну основу - уточнені моделі деформування композитних брусів дискретно-неоднорідної структури з урахуванням згинної депланації перерізів унаслідок податливості поперечним деформаціям зсуву та обтиснення. Брус розглядається як некругове циліндричне тіло сталого за довжиною перерізу - призматичний брус (рис.1), у якого центри жорсткості та згину збігаються в точці . Структуру бруса складають n різних фаз (), властивості яких подано характеристиками ортотропного матеріалу: , , , , , , . Брус зберігає рівновагу під дією зовнішніх нормальних , і тангенціальних , навантажень, зведених до головних площин жорсткості , (або розкладених по них).

Побудову моделей напружено-деформованого стану виконано на основі зазначеного ітераційного принципу, згідно якого закони розподілення поперечних деформацій на деякому певному кроці () ітерації -, приймаються за гіпотезу для наступного кроку .

Для початку ітераційного процесу побудови моделей прийнято гіпотези класичної теорії згину бруса - гіпотези плоских недеформованих перерізів і відповідні до них співвідношення НДС - переміщення, деформації та поздовжні нормальні напруження, окремо для кожної з головних площин.

Далі розглянуто поперечний згин і визначено поперечні нормальні та дотичні напруження. Вони знаходяться з системи рівнянь рівноваги тривимірного тіла, віднесеної до елементарного об'єму матеріалу фази k. Незалежним нормальним поздовжнім напруженням і , що виникають у головних площинах жорсткості, поставлені у відповідність поперечні дотичні напруження- та . Отже, загальну систему рівнянь рівноваги, за відсутності зсувів і відповідних напружень у площині перерізу (, ), розкладено на дві підсистеми рівнянь плоскої задачі, які моделюють поперечний згин в головних площинах жорсткості.

При згині в площині XCZ інтегруванням згаданої підсистеми рівнянь за змінними та одержано як результат класичної теорії (умовної нульової ітерації) поперечні дотичні напруження в брусі, як просторовому тілі -

.

Далі здійснено підстановку у напружень , виражених через тангенціальні u(x) і нормальні w(x) переміщення довільно вибраної поверхні та виконання умови для верхньої границі поверхні бруса z=zв (рис.1). Це дає можливість знайти наступний остаточний вираз для поперечних дотичних напружень:

.

Тут мають місце такі інтегральні функції розподілення складових цих напружень по перерізу вздовж осі залежно від форми і структури бруса:

а також константи - жорсткість поперечного перерізу бруса та - “матеріалізований” статичний момент, за умови рівності якого нулю визначається положення центра жорсткості . У формулах , - матеріальна ширина поперечного перерізу на рівні координати z; А(z) - площа, відсіченої лінією з координатою , нижньої частини поперечного перерізу; - обумовлена на рівні нижньої границі поверхні бруса ширина смуги, з якої зводиться навантаження .

Відмічено, що зведення загальної задачі до розв'язання плоских задач у головних площинах жорсткості надає цим площинам узагальнені (інтегральні) властивості бруса. Тому дотичні напруження в кожній із цих площин, зокрема , визначені згідно з , мають усереднене для всіх фаз матеріалу по ширині перерізу b(z) значення, чим забезпечено умови “жорсткого” міжфазового контакту. Вплив властивостей різних фаз ураховується при цьому “інтегрально” внаслідок того, що під знаком інтегралів у міститься інформація щодо всіх фаз у межах відсіченої частини перерізу A(z).

Аналогічною за послідовністю процедурою інтегрування диференціальних рівнянь рівноваги при врахуванні виразу отримано поперечні нормальні напруження (тут і далі по повторних індексах виконується сумування) -

.

Розподілення складових цих напружень уздовж координатної осі узагальнено відповідними функціями, які мають вигляд

де - інтегральні константи (узагальнені жорсткості).

Отримані співвідношення, зокрема вираз , покладено в основу побудови ітераційної моделі першого кроку, а відповідні його результати далі використано як вихідні гіпотези наступного кроку - другого і т.д. Використавши алгоритм побудови моделі для перших трьох ітерацій, індуктивним методом отримано деформації зсуву в окремих фазах - гіпотезу для довільної ітерації

.

Сюди входить складова, що враховує тангенціальні навантаження -

, .

У прийняті співвідношення ; , які на кожному і-ому кроці т_крокового ітераційного процесу в незворотній відповідності вводять шукані функції - так звані "функції зсуву". Похідні від них характеризують розподілення узагальнених деформацій зсуву уздовж осі бруса, а їх розподіл по перерізу залежно від структури бруса визначають функції:

Дотичні напруження, що відповідають вихідній гіпотезі та є результатом попереднього до ітерації кроку , знайдено згідно із законом Гука з урахуванням у такому вигляді:

.

Функції розподілення дотичних напружень за висотою перерізу, які входять у і , визначаються наступними інтегральними виразами:

З урахуванням гіпотези для поперечних зсувів інтегруванням відповідного співвідношення Коші відносно вибраної при постановці задачі площини з координатою отримано вираз поздовжніх переміщень , а далі - деформацій та напружень у довільній фазі для моделі ітерації -

.

Тут уведено функції розподілення складових поздовжніх деформацій (переміщень), що забезпечують їх неперервність по перерізу - функції депланації -

Функції і визначаються за формулами із заміною в них індексів на та на .

Отже, попередньо отримані співвідношення НДС моделі наближення m, які враховують деформації поперечного зсуву, включаючи безпосередній вплив тангенціального навантаження. Всі наведені співвідношення відносяться до елементарного об'єму матеріалу фази k призматичного композитного бруса дискретно-неоднорідної структури, навантаженого в головній площині XCZ.

Наступний етап - урахування депланації перерізів внаслідок деформацій поперечного обтиснення та поперечних нормальних напружень. Ці напруження отримано відповідно до в двох варіантах, залежно від застосування таких виразів дотичних напружень: виразу , що відповідає гіпотезі для деформацій зсуву моделі наближення m; виразу , що є результатом побудови моделі наближення m.

Реалізація першого варіанта поєднана з гіпотезою про залежність поперечних нормальних напружень тільки від першої (значущої) функції зсуву . У другому варіанті для перетворень виразу нормальних напружень на кожному кроці використано результати попередньої ітерації послідовним виключенням похідних від шуканих функцій зсуву. Остаточний вираз, прийнятий для подальшої побудови моделі, має вигляд

.

Тут маємо функції , які визначаються за формулами , та функції

.

Отримані з врахуванням (15) за законом Гука поперечні деформації разом із поздовжніми деформаціями дозволили знайти уточнені поздовжні та поперечні нормальні напруження. Вираз для поперечних напружень відрізняється при цьому від , отриманого із застосуванням рівнянь рівноваги, тільки загальним множником .

Далі інтегруванням співвідношення Коші з урахуванням деформацій поперечного обтиснення визначено нормальні до осі переміщення як функцію двох змінних і -

де функції координати z забезпечують неперервність переміщень по перерізу.

Вираз використано для наступного уточнення співвідношень НДС - їх узагальнення з урахуванням змінних за висотою перерізу бруса нормальних переміщень. У результаті знайдено узагальнені поздовжні переміщення , деформації , напруження , поперечні нормальні деформації та напруження , а також дотичні напруження . Тобто зроблено своєрідний ітераційний крок стосовно врахування у компонентах НДС впливу поперечного обтиснення.

Загалом, отримано у замкнутому вигляді співвідношення НДС моделі довільної ітерації , що враховують як поперечний зсув, так і обтиснення, при згині бруса у головній площині XCZ. У площин XCY їх одержано аналогічно.

Таким чином, тривимірна задача визначення НДС бруса як просторового призматичного тіла зведена до розв'язання двох двовимірних задач, що моделюють НДС бруса в головних площинах жорсткості. Фактично кожній із цих площин надаються інтегральні (узагальнені) властивості бруса, котрі, в свою чергу, є змінними вздовж поперечної осі або . Функції, що встановлюють ці зміни, відповідають шуканим для кожної з головних площин функціям переміщень , та зсуву , які залежать тільки від поздовжньої координати, зводячи математично задачу до одновимірної стосовно цих функцій.

Подальше розв'язання задачі полягає у визначенні шуканих функцій. Співвідношення НДС дають змогу знайти його компоненти у довільній точці, тобто повернутися до бруса як до просторового тіла. Для визначення шуканих функцій виведено систему рівнянь рівноваги у зусиллях та неоднорідні граничні умови. Застосовано варіаційний принцип Рейсснера та співвідношення НДС ітераційних моделей. Підстановка зусиль, виражених через шукані функції та функції навантажень, у рівняння рівноваги приводить до системи визначальних диференціальних рівнянь відносно функцій та -

.

У індекс розгортає систему рівнянь по вертикалі й установлює кількість її рівнянь, яка дорівнює ; розгортає рівняння системи по горизонталі; - узагальнені функції зовнішнього навантаження; - символ Кронекера; , , - інтегральні характеристики жорсткості при згині, зсуві та їх взаємовпливі. Загальний порядок системи становить .

Шукана функція поздовжніх переміщень знаходиться інтегруванням попередньо відокремленого диференціального рівняння рівноваги з урахуванням уже визначених з рівняння функцій та .

У цілому отримані співвідношення НДС композитних брусів дискретно-неоднорідної структури, відповідні диференціальні рівняння й граничні умови, котрі формулюють крайову задачу відносно шуканих функцій, через які визначаються компоненти вектора переміщень та тензорів напружень і деформацій, складають уточнену модель деформування -го кроку ітерації при згині розглядуваних об'єктів, що враховує депланації перерізів внаслідок впливу деформацій зсуву й обтиснення.

У третьому розділі з метою дослідження впливу форми поперечного перерізу на параметри деформування бруса проведено аналіз розподілення та уточнення моделювання дотичних напружень, які спричиняють депланацію перерізів. При відомих вертикальних дотичних напруженнях , які наведено у розділі 2, розв'язано задачу визначення горизонтальних напружень та відповідних повних напружень у довільній точці симетричного перерізу. У точках контуру перерізу повні напруження діють по дотичній до нього (рис.2). Вважається, що опукла контурна (поверхнева) лінія поперечного перерізу бруса відповідає рівнянню . Виходячи із граничних умов на поверхні бруса, отримано наступну залежність:

,

де - узагальнена функція розподілення дотичних напружень .

Для спрощення дослідження горизонтальних напружень залежно від координати введено допоміжну функцію повних напружень , яка модифікує їх складові такими залежностями:

; .

Для визначення функції використано диференціальне рівняння рівноваги відносно осі , у яке підставлено вирази  та нормальні напруження , де - узагальнена функція їх розподілення. У результаті отримано рівняння

.

Один із можливих розв'язків цього рівняння - - придатний, коли значення нормальних напружень не залежить від координати , що відповідає прийнятим гіпотезам. У результаті одержано лінійну відносно координати залежність для визначення горизонтальної складової дотичних напружень

,

що дозволило зробити такий висновок: у випадку, коли напруження залишаються постійними на лінії , напруження на цій лінії змінюються за лінійним законом відносно координати . Якщо напруження на контурній поверхні відомі з , то для точок перерізу вони визначаються з умови їх рівності нулю у точках :

.

Тут уведено функцію , яка враховує вплив форми контуру перерізу на розподілення дотичних напружень і визначає їх горизонтальну складову, що спрямована перпендикулярно до площини дії навантаження. Епюра горизонтальних напружень є кососиметричною з найбільшими значеннями на контурі. Складова вертикальних дотичних напружень визначається за певною теоретичною моделлю залежно від умов постановки задачі, а повних - відповідно як векторна сума.

Ці вихідні умови поширено на дискретно-неоднорідні бруси, коли кусково-постійним значенням нормальних напружень відповідає лінійно-ламаний характер розподілу горизонтальних дотичних напружень вздовж горизонтальної осі, тобто сталих нормальних і лінійних дотичних у межах окремої фази.

За принципом Лагранжа отримано додаткові співвідношення горизонтальних дотичних напружень , що враховуються в системі диференціальних рівнянь та приводять до зміни жорсткісних зсувних характеристик у , які набувають такого уточненого виразу:

.

За одержаними співвідношеннями виконано аналіз розподілення вертикальних і горизонтальних дотичних напружень у перерізах із характерною непрямокутною формою (круг, еліпс, кільце, трикутник, тощо) та концентричних композитних брусів. Для них визначено значення інтегральних жорсткісних характеристик , які є узагальненою мірою впливу форми перерізу і окремих фаз на параметри деформування бруса.

Установлено, що в еліптичному і круглому перерізах розподілення напружень ідентичні між собою. Екстремальні значення горизонтальної складової в еліптичному перерізі становлять

,

де  - характеристика внутрішнього зусилля. Показник залежить від співвідношення півосей - , в той час як для круга він сталий і дорівнює .

Якщо еліптичний переріз має горизонтальну піввісь більшу, ніж вертикальну , то складова може досягти значення і бути навіть більшою. Наприклад, якщо , то , а якщо , то . Жорсткісна характеристика завжди залишається більшою від , визначеною без урахування , і залежить від співвідношення півосей та . Так, при - , а при - і т.д. Установлено зворотний вплив горизонтальних дотичних напружень на депланаційні ефекти. Так, якщо вертикальні напруження ці ефекти спричиняють, то горизонтальні стримують. Ці обставини враховуються при виборі форм перерізу брусів за умови опору матеріалу дотичним напруженням.

На рис.3 представлена картина розподілу дотичних напружень у круговому двошаровому концентричному перерізі. При побудові відповідних епюр застосовано розроблену модель і гіпотезу про ламано-лінійний закон розподілення горизонтальних дотичних напружень при кусково-постійних нормальних напруженнях , що випливає з .

За аналогією отримано відповідні співвідношення для визначення дотичних напружень у брусах з іншими формами поперечного перерізу, для яких функція впливу контуру та жорсткісні характеристики протабульовані.

Розбіжність між отриманими результатами щодо дотичних напружень і отриманими А.П.Філіним точними методами розв'язування задач теорії пружності підтверджують прийняті гіпотези, зокрема лінійне розподілення горизонтальних напружень відносно координати та усереднене стале вертикальних по ширині перерізу.

Четвертий розділ присвячено дослідженню побудованих ітераційних моделей - аналізу формування їх гіпотез та співвідношень, крайових умов, результатів числового експерименту - розв'язку тестових задач.

Підкреслено, що попередні вихідні гіпотези, які формують класичну модель, залишаються незмінними на кожному черговому кроці ітераційного процесу. Тому приділено увагу особливостям формування аналогічних співвідношень гіпотез для зсувних деформацій, що змінюються на кожному кроці, й для довільного наближення мають вигляд , .

Основною особливістю формування гіпотези є принцип уведення похідних від шуканих функцій зсуву , який подано у таблиці 1.

Загальна кількість шуканих функцій , на кроці становить . Кількість депланаційних функцій, відповідних шуканим та функціям навантажень, становить .

Вплив властивостей матеріалів різних фаз перерізу, його геометрії враховується "інтегрально" - через жорсткісні характеристики вищого порядку, які формують матрицю коефіцієнтів системи визначальних рівнянь  -

.

Їх знайдено інтегруванням за всією площею поперечного перерізу -

, ,

де ; - символи Кронекера; , - підінтегральні функції депланації, що визначають розподіл по перерізу складових тангенціальних переміщень (деформацій). Після переходу до прийнятих раніше індексів функції визначаються за , а жорсткісні характеристики вищого порядку при із - за допомогою заміни на .

У випадку бруса ускладненої структури функції депланації та коефіцієнти жорсткості формуються комп'ютерними методами на довільній ітерації в процесі розв'язування задачі при конкретних крайових умовах.

Крайові умови в загальному вигляді отримані варіаційним методом у розділі 2 разом із системою диференціальних рівнянь. Оскільки кількість ітерацій не впливає на фізичну сутність крайових умов, то їх аналіз виконано на прикладі моделі першої ітерації у формі однорідних умов, розділених на "згинальні" та "зсувні", які узагальнено для довільного кроку ітераційного процесу (табл.2). Цим умовам надано певну сутність, яка висвітлює можливість моделювання наявності чи відсутності тих чи інших в'язей на кінцях бруса.

Для тестування моделей проведено низку числових експериментів. З метою їх виконання побудовано аналітичний розв'язок задачі згину бруса, шарнірно закріпленого по кінцях, під дією навантажень, змодельованих функціями синуса та косинуса. Розв'язання зведено до системи алгебраїчних рівнянь відносно амплітуд шуканих функцій прогину і зсуву .

З урахуванням депланації перерізів від зсуву попередньо виконано порівняння результатів розрахунку ізотропного однорідного бруса () під нормальним синусоїдальним навантаженням із точним розв'язком тривимірної задачі теорії пружності. Дані, наведені в таблиці 3, свідчать про збіг результатів з точним розв'язком за депланаційною моделлю і неадекватність за класичною.

Для теоретичного аналізу впливу зсувних депланацій на компоненти напружено-деформованого стану та збіжності ітераційного процесу розв'язано серії задач, де цей вплив виявляються у “чистому” вигляді. Для цього деформації поперечного обтиснення виключалися () при розумінні умовності отриманих результатів. Перша серія стосується згину трансверсально-ізотропних однорідних брусів прямокутного перерізу () під синусоїдальним навантаженням. Варіювалися співвідношення модуля пружності та модуля зсуву , відносна довжина та кількість ітерацій .

Визначалися найбільші нормальні напруження (крайні волокна середнього перерізу), дотичні напруження (серединні волокна крайових перерізів) і найбільші прогини , а також відношення , , цих величин до отриманих за класичною моделлю, що характеризує міру впливу зсувних депланацій. У скороченому обсязі вказані величини наведено у таблиці 4. Із цих результатів випливають висновки щодо необхідності при певних параметрах бруса застосування ітерацій для отримання збіжних результатів, коли модель вищої ітерації підтверджує з бажаною точністю результати попередньої.

Для виявлення характеру розподілення переміщень уздовж осі бруса та напружень і по висоті перерізу, а також відповідності їх точним розв'язкам, наведено їх епюри (рис.4) з позначенням кроку ітераційного процесу для випадку значного впливу зсувних депланацій: (вуглецево-епоксидний композит), . Необхідно принаймні три ітерації для отримання стабільних результатів. Спостерігається наближення розрахункових значень до отриманих точним, а також числовим розв'язками, з якими практично збігається третя ітерація. Аналогічний аналіз виконано для бруса під тангенціальним косинусоїдальним навантаженням.

Для поглиблення аналізу депланаційного деформування і збіжності при цьому результатів розрахунку виконано другу серію числових досліджень - для тришарових брусів під нормальним синусоїдальним навантаженням. Варіювалися фізико-механічні та структурно-геометричні параметри.

При розрахунках ізотропних брусів тришарової структури для довільних відношень (табл.5) можна обмежитися однією ітерацією, яка є визначальною при , оскільки відбувається незначне уточнення на рівні другої ітерації. Порівняно з "класичними" значеннями напруження максимально збільшуються при , а прогини - при . Перші у і , а другі - у і разу для брусів з відносною довжиною і 5 відповідно.

Анізотропія зовнішніх шарів мало впливає на результати розрахунку, в той час як анізотропія внутрішнього шару виявляє значний вплив на параметри деформування. Вплив зсуву в анізотропних шарах може збільшувати напруження на порядок, а прогини - навіть на два і вище. Найбільший вплив спостерігається у брусах із відношенням .

На рис.5 подано характер розподілення вертикальних переміщень за довжиною () та напружень за висотою перерізу брусів з ізотропними шарами за класичною “0” та ітераційними “1-2” моделями. Співвідношення товщини шарів приймалися такими: і . З огляду на епюри можна зробити висновок про роздільну “роботу” зовнішніх шарів, що не може врахувати класична теорія, котра, як для нормальних напружень, так і для прогинів, дає суттєво занижені результати. В той же час поступове збільшення податливості зсувам (зменшення модуля пружності) тонкого внутрішнього шару дозволяє змоделювати процес розшарування композитної системи за рахунок втрати опору зсувним деформаціям.

Як альтернатива цим висновкам звернуто увагу на тришаровий брус із жорстким проміжним шаром, у якому відбувається локалізація напружень при значеннях, близьких до “класичних”, що може викликати втрату ним міцності.

Для підтвердження результатів, отримуваних за розробленими моделями, виконано зіставлення з експериментальними даними, наведеними А.Я.Александровим щодо згину тришарових брусів (балок-полос) при модулях зсуву ізотропних шарів: зовнішніх "твердих" алюмінієвих - , "м'якого" пінопластового заповнювача . Амплітуда синусоїдального навантаження . Для прикладу геометричні параметри балок та результати розрахунку подано у таблиці 6. З порівняння розрахункових і експериментальних даних випливає висновок про непридатність класичної моделі та адекватність запропонованої для розрахунку досліджуваних брусів.

Розглянуто НДС бруса з урахуванням депланацій перерізів, зумовлених поперечним обтисненням. Для виявлення впливу цих ефектів у “чистому” вигляді взято короткий брус (), податливий у поперечному до осі бруса напряму (, , коефіцієнти Пуассона , ). Для деталізації аналізу результатів (рис.6) їх отримано при синусоїдальному навантаженні з амплітудою на поверхні (суцільні лінії епюр). Результати зіставлені з відповідними точними (пунктирні лінії), отриманими безпосередньо з рівнянь теорії пружності.

Порівняння показує їх якісну й кількісну відповідність. Із збільшенням відносної довжини особливість розрахунків зберігається, а при використанні вищих ітерацій підтверджуються наведені дані, що відповідають першій ітерації.

У п'ятому розділі подано методи реалізації ітераційних моделей деформування бруса - аналітичне інтегрування системи визначальних диференціальних рівнянь, порядок яких залежить від ступеня ітераційного процесу (кількості кроків ), і числово-аналітичний метод, який застосовує процедури комп'ютерної алгебри. Наведено приклади розв'язування окремих задач, що виявляють ефекти напружено-деформованого стану брусів.

Спочатку побудована пряма аналітична методика розв'язування системи , у якій для подальших перетворень виділено перше рівняння

де ; .

Складність розв'язування системи полягає у тому, що вона є "зачепленою" відносно невідомих функцій і , тобто всі невідомі функції входять у кожне із рівнянь даної системи.

Досягнуто розчеплення системи на рівняння відомої класичної задачі відносно функції (тут не розглядається) та систему рівнянь, зачеплену відносно функцій , - зсувну задачу:

Шукана функція загального прогину записана із як сума вертикальних переміщень, викликаних чистим згином і деформаціями зсуву:

.

Систему діагоналізовано для перших трьох кроків ітераційного процесу, результати яких методом індукції узагальнено на випадок моделі довільного наближення таким чином:

;

,

де функції зовнішнього навантаження при мають вигляд:

Тут - визначник ()-го порядку, складений із чисел , а - його алгебраїчні доповнення; ; ; ; ; . Тут і далі , - довільні поліноми першого степеня змінної , причому .

Знайдено загальні розв'язки діагоналізованих систем - з точністю до сталих у вигляді:

,

де , індекси , , … усі різні та набувають значень . Функції навантаження зважаючи на те, що вони формуються заздалегідь, визначаються за відповідними формулами при конкретному . Рівняння для визначення характеристичних коренів мають вигляд

.

Отримана відповідна система алгебраїчних рівнянь відносно сталих і знайдено її розв'язки для конкретних вихідних умов. Зайві сталі, які є наслідком диференціювання діаганалізованих рівнянь, визначаються після підстановки знайденого загального розв'язку в рівняння

,

Наведено розв'язання конкретних задач згину бруса за розробленою методикою, варіативна частина яких залежала від крайових умов, геометричних і фізичних параметрів, а також навантаження. Вертикальні переміщення при цьому визначалися за формулою .

Як приклад на рис.7 подано результати дослідження розподілу напружень у крайовій зоні збурень однорідного, жорстко закріпленого по кінцях трансверсально-ізотропного (, МПа) бруса () прямокутного перерізу під рівномірно розподіленим навантаженням.

Спостерігається збіжність ітераційного процесу від умовної нульової ітерації (класична модель) до стабілізації результатів при якісній відмінності від класичної картини розподілу напружень за висотою перерізу. Модель першої ітерації також неспроможна достовірно описати напружений стан. Стабілізація напружень досягається на другій-четвертій ітераціях, при цьому, віддаляючись від затиснення кількість необхідних ітерацій зменшується.

Зіставлення з результатами теорії пружності знайденими МСЕ (при стабілізації на кроку СЕ, рівному ) показує, що отримані дані (епюри напружень) мають осцилюючий характер при їх збіжності із збільшенням числа ітерацій до розв'язку МСЕ. Формування напружень відбувається додаванням до основного напруженого стану, що відповідає класичній моделі та врівноважує навантаження, самоврівноважених за висотою перерізів напружених станів, які утворюються вищими ітераціями внаслідок впливу деформацій зсуву.

Порівняння з експериментальними даними, одержаними В.І.Корольовим для тришарових довгих зразків з алюмінієво-магнієвими тонкими зовнішніми шарами і пінополістиролом як заповнювачем, наведено в таблиці 7. Навіть для таких довгих () композитних систем прогини за класичною моделлю не адекватні експериментальним даним, у той час як депланаційна модель дає збіг результатів. Деяка розбіжність депланаційної моделі з експериментом пояснюється складністю здійснення у ньому затиснення.

Крім цього, розроблено числово-аналітичний метод - так званий метод кінцевих параметрів, який фактично є одновимірним варіантом методу граничних елементів. За його допомогою можна враховувати загальні крайові умови, розглядати довільну комбінацію навантаження, яке формується за допомогою узагальнених функцій та процедур комп'ютерної алгебри.

На прикладі першого кроку ітераційного процесу показано застосування методу кінцевих параметрів для розв'язування зсувних задач для брусів як однорідної, так і композитної структури. Розв'язок рівняння з урахуванням залежно від змінної , у який уходять тільки кінцеві параметри переміщень при , має вигляд

; ,

де ч, а функція навантаження визначається виразом

.

Диференціюванням виразу тричі за та переходом до відповідних похідних від до границі , отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно крайових значень шуканих функції. В цю систему входять вісім кінцевих параметрів, чотири з яких є відомими граничними умовами, а чотири - знаходяться із цієї системи. Результати розв'язання, залежно від вихідних умов задачі, використовуються у розв'язку . Для типових комбінацій навантаження інтеграли від їх функцій , які входять у систему алгебраїчних рівнянь і у розв'язок , зведено до таблиці, що спрощує розрахунки.

Прикладом реалізації методу кінцевих параметрів є задача згину складеного бруса з двома поперечними пов'язями, які не обмежують горизонтальних переміщень. Схема і результати розрахунку подано на рис.8. Враховуючи якісний характер розрахунків усі вихідні дані представлено у відносних безрозмірних одиницях. Матеріал брусів - трансверсально-ізотропний (), переріз кожного бруса прямокутний (), довжина .

Подано епюри нормальних переміщень верхнього та нижнього брусів. Прогини за класичною теорією суттєво нижчі, ніж за зсувною депланаційною. Для отримання стабілізованих результатів зроблено чотири ітерації, які демонструють збіжність прогинів у середньому перерізі.

У шостому розділі розглянуто задачі визначення впливу депланацій перерізів на параметри стійкості та коливань. Певну увагу приділено втраті стійкості окремих фаз у пружній матриці композита.

Для визначення критичної сили та частот коливань використано систему , у якій уведено еквівалентне навантаження, що формується залежно від вихідних умов задачі (стійкість, власні чи вимушені коливання). В результаті врахування депланації перерізів у цих задачах зведено до зменшення жорсткості при згині на величину депланаційної складової жорсткості на довільній ітерації

.

У - алгебраїчні доповнення визначника порядку -го елемента першого стовпця матриці коефіцієнтів системи , у якій члени і об'єднані виразом .

Крім виявлення критеріїв втрати загальної стійкості, розглянуто питання контролю вірогідності втрати стійкості окремими гнучкими фазами (шарами), що може спричинити руйнування менш жорсткого матеріалу матриці композита. Це відбувається, коли сили, викликані опором середовища, перевищують границю міцності матеріалу матриці.

Визначення критичної сили () стиснутого стрижня (фази) у пружному середовищі матриці подано енергетичним методом із виконанням крайових умов , при для вибраної апроксимуючої функції пружної лінії фази після втрати стійкості між поперечними діафрагмами жорсткості або не по всій довжині. У результаті отримано формулу для визначення критичної сили стиснутої окремої фази за формою з однією півхвилею ()

...