Квантові та ортогональні симетрії в квантовій теорії

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук: "КВАНТОВІ ТА ОРТОГОНАЛЬНІ СИМЕТРІЇ В КВАНТОВІЙ ТЕОРІЇ"

01.04.02 - теоретична фізика

КАЧУРИК Іван Іванович

Київ - 2003



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Технологічному університеті Поділля, м. Хмельницький

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор

Клімик Анатолій Ульянович,

Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова

НАН України, м. Київ, завідувач відділу математичних

методів у теоретичній фізиці

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Нікітін Анатолій Глібович, Інститут математики НАН

України, м. Київ, завідувач відділом прикладних

досліджень.

доктор фізико-математичних наук,

Гайсак Михайло Іванович, Інститут електронної

фізики НАН України, м. Ужгород, провідний науковий

співробітник.

доктор фізико-математичних наук,

Цифра Іван Михайлович, Інститут геофізики

ім. С.І. Субботіна НАН України, м. Київ, провідний

науковий співробітник.

Провідна установа:

Інститут фізики конденсованих систем НАН України, м. Львів.

Захист дисертації відбудеться 23.10.2003 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.191.01 в Інституті теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова Національної академії наук України за адресою: 03143, м. Київ-143, вул. Метрологічна, 14-б.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту теоретичної фізики НАН України ім. М.М. Боголюбова за адресою: 03143, м. Київ-143, вул. Метрологічна, 14-б.

Автореферат розісланий 21.09.2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук

КУЗЬМИЧЕВ В.Є.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Теоретико-груповi (симетрiйнi) методи стали невiд'ємною складовою частиною квантової фiзики. Залучення цих методiв дозволяє, виходячи iз найбiльш загальних даних про симетрiю квантової системи якiсно вивчити її властивостi, не вдаючись до кiлькiсних розрахункiв, а в багатьох випадках суттєво полегшує також i сам розрахунок. На дослiдженнi симетрiї в значнiй мiрi базується сучасний теоретичний розгляд складних фiзичних об'єктiв i структур. Аналiз показує, що хоча в цiлому груповий пiдхiд у квантовiй теорiї має унiверсальний характер, єдиної всеохоплюючої групи симетрiй для фiзики немає. Для конкретних систем (атом, ядро, молекула тощо) характерна наявнiсть цiлого ряду груп i пiдгруп i кожна з них описує якусь область реальностi. А тому не дивно, що список груп фізичних симетрiй неперервно поповнювався, i ця тенденцiя наростає. Задiюються навiть особливi i квантовi групи.

Однак безпосереднє застосування теорiї симетрiй до фiзичних проблем ускладнено наступними двома основними обставинами. По-перше, теорiя симетрiй, зокрема квантових i ортогональних (за винятком компактного випадку), є далеко не завершеною у математичному відношенні. По-друге, що не менш важливо, значна частина отриманих математичних результатів часто сформульованi в такiй формi i термiнах, якi не завжди прийнятнi з фiзичної точки зору. Так, при розв'язаннi багатьох динамiчних задач ми маємо справу з функцiями на групах, або однорiдних просторах. Цi функцiї можуть бути розкладенi по множинi власних функцiй операторiв Казимiра. Такi розклади вiдiграють у квантовiй фiзицi центральну роль i здiйснюються методом гармонiчного (парцiально-хвильового) аналiзу, який тiсно переплiтається з теорiєю представлень груп. Але незважаючи на те, що доведення iснування i абстрактнi форми записiв розкладiв у багатьох випадках є в математичнiй лiтературi, конкретних виразів, якi б могли мати прозору фiзичну iнтерпретацiю, у бiльшостi дiйсних груп Лi, одержано не було. Крiм того, такi безсумнiвно значимi для прикладних цiлей у фiзицi питання, як знаходження явного вигляду коефiцiєнтiв Клебша-Гордана, коефiцiєнтiв Рака, гiперсферичних i узагальнених гiперсферичних гармонiк, iнфiнiтезимальних операторiв i т. п. практично для всiх напiвпростих груп (крім хіба що деяких груп нижчих розмiрностей) не розв'язанi до цього часу, а для квантових груп знаходяться на початковiй стадiї.

Це висуває на переднiй план актуальну проблему розробки добре розвинутого, придатного для застосувань, обчислювального апарату введених у фiзику груп симетрiй. Не менш актуальна iнша проблема - подальше поглиблення i розширення прикладення методiв симетрiй у важливих задачах квантової теорiї. Дана дисертацiя присвячена вирiшенню рiзних аспектiв iз зазначених вище проблем. фізика квантовий адрон

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами i темами. Виконанi з теми дисертацiї дослiдження представляють частину наукової роботи з фундаментальних наук, що велася в Технологiчному унiверситетi Подiлля (ТУП) (м. Хмельницький) за останнi два десятилiття за тематичними планами, що ухвалювались науково-технiчною радою унiверситету. В 1992-1996 р.р. з цього напрямку дослiджень в ТУП пiд керiвництвом автора виконувались двi держбюджетнi роботи за темою "Розробка i застосування у фiзицi фундаментальних взаємодiй математичного апарату теорiї представлень ортогональних i квантових груп", плани яких затверджувались управлiнням науки i технологiй Мiносвiти України (шифри 1Б-94 (№ д.р. 0194U035015), 3Б-96 (№ д.р. 0193U033803)).

Дана наукова тематика розроблялась у тiсному спiвробiтництвi з Iнститутом теоретичної фiзики (м. Київ) за такими науково-дослiдними темами (затвердженими Вiддiленням фiзики та астрономiї НАН України): 1) "Квантовi симетрiї калiбрувальних та iнтегровних взаємодiй" (№ д.р. UAO1001034P); 2) "Представлення квантових груп i калiбрувальнi та iнтегровнi взаємодiї" (шифр 1.2.2, № д.р. 019U001612); 3) "Квантовi симетрiї i властивостi iнтегровних та квантово-польових систем" (№ д.р. 0101U000331). Вона отримала (при конкурсному вiдборi) пiдтримку Мiжнародної наукової фундацiї (МНФ) i Мiжнародної науково-освiтньої програми (МНОП).

У цiлому дисертацiя вiдповiдає приоритетним напрямкам розвитку науки та технiки, затвердженими Постановою ВР України №2705 вiд 16.10.92 р. (п. 3, п. 6) та Наказом Мiносвiти України №340 вiд 02.12.94 р.

Мета i задачi дослiдження. Метою даної дисертацiї є розробка i розвиток фiзико-прикладних методiв теорiї квантових i ортогональних симетрiй та їх застосування до розв'язання конкретних проблем квантової фiзики. Для її реалiзацiї передбачалось розв'язати наступнi задачi:

1. Розробити теорiю парцiально-хвильових розкладiв хвильових функцiй квантових систем, розглядуваних на однорiдних просторах - узагальненому гiперболоїдi i узагальненому конусi, - група рухiв яких є довiльна напiвпроста некомпактна група, i в цьому планi розвинути i застосувати у фiзичних задачах формалiзм парцiально-хвильового аналiзу на iнварiантних поверхнях (гiперболоїдi i конусi) однорідної групи де Сiттера.

2. Одержати у явному виглядi узагальненi гiперсферичнi функцiї для представлень довiльного класу вищих груп симетрiй i застосувати їх до опису багатовимiрної квантовомеханiчної дзиги.

3. Розробити придатний для прикладних застосувань у фiзицi розрахунковий апарат теорiї момента кiлькостi руху в некомутативнiй (квантовiй) геометрiї - -аналог теорiї квантового кутового момента.

4. Дослiдити властивостi спектрiв i знайти в явному виглядi власнi вектори i функцiї перекриття представимих матрицями Якобi самоспряжених операторiв типу Гамiльтона в представленнях груп квантових симетрiй.

5. Застосувати одержанi результати розвитку прикладних напрямкiв теорiї квантових i ортогональних симетрiй до конкретних питань квантової фiзики, зокрема питань, що стосуються проблем спектра мас у феноменологiї адронiв, теоретико-групового описання нестабiльних частинок, вивчення властивостей узагальнених когерентних станiв, двовимiрних парцiально-хвильових розкладiв релятивiстської амплiтуди розсiяння.

Наукова новизна одержаних результатiв. В дисертацiйнiй роботi отримано новi науково-обгрунтованi результати у галузi теоретичної фiзики, якi в сукупностi вирiшують важливу наукову проблему розробки математичних основ теорiї квантових i ортогональних симетрiй та їх застосування до розв'язання задач квантової фiзики. Їх наукова новизна полягає в наступному.

1. Дiстала подальший розвиток теорiя парцiально-хвильових розкладiв хвильових функцiй, розглядуваних на однорiдних або рiманових симетричних просторах, яка тiсно пов'язана з теорiєю представлень груп i вiдiграє значну роль у квантовiй фiзицi при розв'язаннi динамiчних задач. Побудовано розклади функцiй у сферичнiй, гiперболiчнiй, орисферичнiй i трансляцiйнiй системах координат на узагальнених гiперболоїдi i конусi, групою рухiв яких є задана напiвпроста некомпактна група Лi . Вияснено, що системи координат на розглядуваних просторах зв'язанi з рiзними розкладами групи . Данi питання детально розроблено для випадку i важливого випадку, коли є однорiдною групою де Сiттера. Цi розклади застосовано до хвильових функцiй, якi описують частинки змiнної маси. Тим самим здiйснюється класифiкацiя станiв таких частинок по власних значеннях операторiв Казимiра групи де Сiттера, аналогiчно тому як розклад по власних функцiях оператора Казимiра групи обертань дає класифiкацiю станiв квантовомеханiчних об'єктiв за кутовим моментом.

2. Розроблено метод знаходження явного вигляду узагальнених гiперсферичних функцiй для довiльного класу представлень вищих груп симетрiй , , . На цьому шляху одержано вирази хвильових функцiй квантовомеханiчної симетричної дзиги у багатовимiрному просторi. Отримано формулу узагальнених гiперсферичних функцiй -вимiрної групи Евклiда , яка виражає їх через скiнченну суму функцiй Бесселя.

3. Одержано явнi формули iнфiнiтезимальних операторiв представлень важливих з фiзичної точки зору вищих компактних груп , , , , у рiзних базисах; вони можуть служити операторами динамiчних спостережуваних фiзичних систем з вiдповiдними групами симетрiй.

4. Розвинуто прикладнi напрямки теорiї представлень, уведеної в фiзику квантової групи , з метою створення на цiй основi в некомутативнiй (квантовiй) геометрiї обчислювального апарату, аналогiчного фiзичному варiанту теорiї представлень групи - квантовiй теорiї кутових моментiв. Запропоновано простi методи виводу -аналогiв вiдомих у фiзицi формул для коефiцiєнтiв Клебша-Гордана (-ККГ) i коефiцiєнтiв Рака (-КР) квантової групи i вперше дослiджено їх властивостi симетрiї вiдносно "дзеркальних" перетворень. Установлено спiввiдношення, якi генерують групу симетрiї -ККГ iз 72 елементiв. Доведено, що -ККГ можуть бути отриманi як асимптотична границя -КР. Одержано рiзнi асимптотичнi формули як для -ККГ, так i для -КР, зокрема -аналоги асимптотичних формул Едмондса, Рака, Понзано-Редже для -коефiцiєнтiв. Установлено, що -аналог тотожностi Бiденхарна-Еллiота, властивостi ортогональностi -КР i "фундаментальнi" -КР iз спiном 1/2 визначають усi -КР i усi -ККГ.

Виведено двi загальнi рекурентнi формули для -ККГ i -КР i цiлий ряд тричленних рекурентних формул, в яких параметри змiнюються на 1 i 1/2.

Отримано низку породжуючих функцiй i формулу Родрiга для -ККГ, а також рiзницевi рiвняння другого порядку для -ККГ i -КР. Вивчено властивостi квантових чисел (-чисел).

5. Розв'язано задачу знаходження коефiцiєнтiв Клебша-Гордана i коефiцiєнтiв Рака двопараметричної квантової групи , яка знаходить застосування в фiзицi.

6. З єдиних позицiй дослiджено спектральнi властивостi i знайдено спектри операторiв типу Гамiльтона у незвідних представленнях квантових груп симетрiй. Реалiзацiю цих груп здiйснено таким чином, що в просторi їх представлень можна визначити -аналог базису Гельфанда-Цетлiна. Знайдено коефiцiєнти переходу (функцiї перекриття) мiж рiзними базисами представлень. Вони вираженi через вiдомi -ортогональнi полiноми.

7. Одержанi результати в теорiї ортогональних симетрiй застосовано до розв'язання деяких проблем квантової фiзики, зв'язаних з групою де Сiттера . У цьому напрямку розширено та поглиблено вивчення властивостей узагальнених когерентних станiв (КС) групи , зокрема: запропоновано простий спосiб їх побудови; знайдено парцiально-хвильовi розклади для них як функцiй, параметризованих точками 4-вимiрного iмпульсного простору Лобачевського ; виведено аналог рiвняння Шредингера, якому вони задовольняють як функцiї точок конфiгурацiйного простору, канонiчно-спряженого простору i установлена його асимптотична форма; виявлено, що в декартових координатах на десiттер-iнварiантний розклад скалярної хвильової функцiї частинки змiнної маси є розкладом по системi розглядуваних когерентних станiв (вони вiдiграють роль плоских хвиль у просторi ). Дається розклад по незвiдних представленнях групи де Сiттера релятивiстської амплiтуди розсiяння; на цiй основi одержано вирази для амплiтуд розсiяння безспiнових частинки i античастинки при великих значеннях енергiї i показано, що за модулем вони рiвнi мiж собою. У рамках релятивiстської квантової теорiї розвинуто формалiзм гармонiчного аналiзу, зв'язаного з моделлю iмпульсного простору постiйної кривизни (-фундаментальна довжина), група рухiв якого є . Детально проаналiзовано формули розкладу по "плоских (орисферичних) хвилях" простору . Вияснено, що є два типи цих "хвиль" (вони вiдповiдають основнiй i дискретнiй серiям представлень групи рухiв), i що у "класичнiй" границi iз них одержуються плоскi хвилi протилежних частотностей у звичайному -просторi, причому рiзним типам орисферичних хвиль вiдповiдають у цiй границi рiзнi областi -простору. Доведено, що у новiй моделi -простору час - неперевний, а конфiгурацiйний простiр - квантований.

8. У рамках динамiчної квантової групи одержано -аналоги масових спiввiдношень для барiонiв iз -октета, вкладеного у 20-плет "ароматової" групи . Показано, що iз них при нетривiальному значеннi параметра деформації () одержується нове правило сум для барiонiв, яке виконується з бiльшою точнiстю, нiж вiдоме правило сум Гел-Мана i Окубо, що вiдповiдає значенню . Знайдено також, що в деяких допустимих представленнях тої ж таки динамiчної квантової групи виконується одне i те ж -залежне спiввiдношення (правило -еквiдистантностi) для барiонних мас iз -декуплета.

Практичне значення одержаних результатiв. Практична цiннiсть дисертацiйної роботи визначається значенням симетрiй у квантовiй фiзицi i тiєю роллю, яку вiдiграє теорiя груп для їх адекватного описання i фiзичної iнтерпретацiї.

Робота має теоретичний характер. Опрацьованi в нiй питання розширюють базу застосувань у фiзицi теоретико-групових методiв. Проведенi дослiдження дозволяють краще зрозумiти процес руху в напрямку системної розробки цiлiсного математичного апарату теорiї ортогональних i квантових симетрiй, придатного для прямого застосування в розв'язаннi рiзноманiтних фiзичних задач. Тi конкретнi iз них, якi розглянутi в роботi, далеко не вичерпують можливостей практичного використання отриманих результатiв. Вони можуть бути задiянi безпосередньо для розрахункiв у фiзицi елементарних частинок, ядернiй фiзицi, квантовiй теорiї поля, квантовiй хiмiї, а також стати основою нових наукових дослiджень у самiй теорiї симетрiй.

Розробленi в дисертацiї методики розвитку обчислювального апарату теорiї представлень груп можуть бути поширенi на iншi групи i застосованi до iншого типу фiзичних задач. Так, детально описанi в розд. 1 i 2 питання парцiально-хвильового аналiзу, зв'язанi з групою де Сiттера, без великих труднощiв переносяться на узагальнену групу Лоренца . Вони можуть бути використанi в квантовiй електродинамiцi (в її п'ятивимiрнiй трактовцi), в теорiї гравiтацiї, в квантовiй теорiї поля на просторi Лобачевського, для побудови плоскої фiзичної теорiї граничним переходом iз рiманового простору i в цьому аспектi для вирiшення проблеми контракцiї гармонiчного аналiзу на основi групи де Сiттера до гармонiчного аналiзу, зв'язаного з групою Пуанкаре i т. д.

Результати з теорiї представлень квантової групи знайдуть своє застосування для конструкцiї деформованих точно розв'язуваних моделей, для аналiзу симетрiй анiзотропних квантових гармонiчних осциляторiв, при описаннi -ротацiйної моделi i її узагальнень, вивченнi властивостей дiатомних i багатоатомних молекул, розрахунку структур гiпердеформованих ядер. Вони займуть належне мiсце в одному iз основних роздiлiв квантової механiки - квантовiй теорiї кутового момента - при розв'язаннi тих задач, де звичайна -симетрiя деформується до квантової -симетрiї (-симетрiї).

Коло фiзичних задач з квантовою симетрiєю неперервно розширюється. А тому для їх вирiшення розглянутi в дисертацiї питання спектрiв операторiв представлень квантових груп симетрiй також можуть представляти iнтерес. Одержанi на основi -симетрiйного пiдходу масовi формули адронiв демонструють один iз прикладiв практичного застосування квантових груп у фiзицi елементарних частинок.

Частина матерiалiв даної дисертацiї увiйшла в монографiї інших авторів, опублiкованi в Українi i за кордоном, та науковi огляди. Публiкацiї автора цитуються у вiтчизнянiй та зарубiжнiй фiзико-математичнiй лiтературi.

Викладенi в них результати застосовуються також у наукових працях i дисертацiйних дослiдженнях iнших авторiв. Описанi в роботi методи обчислень для конкретних груп можна використовувати при читаннi спецкурсiв i на спецсемiнарах, при написаннi рефератiв, виконаннi курсових i дипломних завдань.

У цiлому приведенi в дисертацiї результати наукового пошуку вiдкривають новi можливостi симетрiйних методiв у сучаснiй квантовiй теорiї.

Особистий внесок автора. Основнi результати дисертацiйної роботи отриманi автором самостiйно. У роботах, опублiкованих у спiвавторствi дисертантом особисто виконано наступне. У монографiї [1] опрацьована i написана частина II; у роботах [3, 13, 16, 17, 24, 32, 36] знайденi необхiднi рекурентнi спiввiдношення, коефiцiєнти переходiв мiж рiзними базисами представлень розглядуваних -деформованих алгебр i результати по власних векторах; у [5] - сформульована задача i здiйсненi вiдповiднi обчислення; у [6] - проведенi всi аналiтичнi обчислення i знайденi тричленнi рекурентнi спiввiдношення для коефiцiєнтiв Рака (-КР) квантової алгебри ; у [7] - виведенi формули iнфiнiтезимальних операторiв представлень груп симетрiї , , , в неканонiчних базисах, а у [26] - iнфiнiтезимальнi оператори групи в -базисi; у [11] і [23] - проробленi розрахунки, що привели до виводу основних формул; у [9] - одержанi теореми додавання та множення для -многочленiв Хана; у [11] - знайденi спектр i власнi вектори операторiв гамiльтонового типу у представленнях -деформованої алгебри i данi явнi вирази генераторiв алгебри у базисi, що вiдповiдає її редукцiї на пiдалгебру ; у [12] - отриманi результати по зв'язку представлень квантових алгебр i з вiдомими -ортогональними многочленами; у [10] - одержанi рекурентнi формули для коефiцiєнтiв Клебша-Гордана (-ККГ) i матричних елементiв представлень квантової алгебри ; у [15] - зробленi обчислення мас -декуплетних барiонiв i для отриманого правила -еквiдистантностi показано, що воно виконується у деяких допустимих представленнях "динамiчної" квантової групи ; у [22] - отримано явнi вирази для операторiв представлень квантової алгебри у базисах, зв'язаних з алгеброю ; у [4, 25] - розроблено усi питання стосовно -вимiрної групи обертань i проведено обчислення вiдповiдних iнтегралiв для групи ; у [27] - на основi теорiї базисних гiпергеометричних функцiй знайдено -аналоги вiдомих у фiзицi формул для -ККГ i дослiджено властивостi симетрiї -ККГ, зокрема вiдносно "дзеркальних перетворень", а у [28] - те ж саме зроблено для -КР; у [30] - установлено асимптотичнi формули для -КР i асимптотичну формулу для -ККГ, яка у класичному випадку () зв'язує ККГ з -функцiєю; у [31] - проведено явнi обчислення дiї операторiв представлення квантової алгебри у базисi типу Гельфанда-Цетлiна; у [34] - здiйснено усi математичнi розрахунки у рамках представлення "динамiчної" квантової групи i виведено нові (-залежні) правила сум для мас -октетних барiонiв.

Апробацiя роботи. Науковi результати доповiдались i обговорювались на наукових семiнарах вiддiлу математичних методiв у теоретичнiй фiзицi Iнституту теоретичної фiзики (IТФ) НАН України (м. Київ), вiддiлу прикладних дослiджень Iнституту математики НАН України (м. Київ), в Ужгородському вiддiлi теорiї адронiв IТФ НАН України, на кафедрi теоретичної фiзики Ужгородського нацiонального унiверситету, на кафедрах фiзики i теоретичної механiки Технологiчного унiверситету Подiлля (м. Хмельницький), на Всесоюзних Осiннiх Школах з аксiоматичного пiдходу i вищих симетрiй у теорiї елементарних частинок (м. Ужгород, 1974 р., 1976 р.), на Всесоюзнiй мiжвiдомчiй нарадi "Груповi методи в фiзицi" (м. Київ, 1977 р.), XIX-ій Всесоюзнiй алгебраїчнiй конференцiї (м. Львiв, 1987 р.), Мiжнароднiй конференцiї "Теорiя представлень i груповi методи в фiзицi" (м. Тамбов, 1989 р.), Мiжнароднiй конференцiї, присвяченiй пам'ятi академiка М.П. Кравчука (м. Київ, 1992 р.), IV-ій Мiжнароднiй конференцiї з математичної фiзики, теорiї струн i квантової гравiтацiї (м. Алушта, 1994 р.), 8-му Мiжнародному симпозiумi "Симетрiї в науцi" (м. Брегенц, Австрiя, 1994 р.), Мiжнароднiй конференцiї "Адрони-94" (м. Ужгород, 1994 р.), Мiжнароднiй конференцiї "Квантовi групи i квантовi простори" (м. Варшава, Польща, 1995 р.), Мiжнароднiй робочiй нарадi "Скiнченновимiрнi iнтегровнi системи" (м. Дубна, 1995 р.), Мiжнароднiй конференцiї "Неевклiдова геометрiя в сучаснiй фiзицi" (м. Ужгород, 1997 р.), Мiжнароднiй конференцiї "Сучаснi проблеми механiки i математики" (м. Львiв, 1998 р.), Мiжнароднiй конференцiї "Розробка та застосування математичних методiв у науково-технiчних дослiдженнях" (м. Львiв, 1998 р.), Мiжнароднiй конференцiї з актуальних проблем сучасної теоретичної фiзики" (м. Ужгород, 1998 р.), Мiжнароднiй конференцiї "Суперсиметрiя i квантова теорiя поля" (м.Харкiв, 2000 р.), Мiжнароднiй науково-технiчнiй конференцiї "Проблеми математичного моделювання сучасних технологiй" (м. Хмельницький, 2002 р.).

Публiкацiї. Основнi науковi результати, включенi в дисертацiю, опублiкованi в 36 роботах (з них 10 написано без спiвавторiв), серед яких - 1 монографiя, 23 статтi, надрукованi у провiдних вiтчизняних i зарубiжних наукових журналах, 2 статтi, що виданi як матерiали Мiжнародних конференцiй, 10 препринтiв Iнституту теоретичної фiзики НАН України (м. Київ).

Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiя складається iз вступу, семи оригiнальних роздiлiв з висновками в кiнцi кожного роздiлу, загальних висновкiв по дисертацiї, перелiку використаних лiтератруних джерел, що мiстить 339 найменувань. Робота викладена на 312 стор.; текстова частина займає 289 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi окреслено проблематику i на основi огляду лiтературних джерел розкрито її сутнiсть i стан, iз зазначенням вiдкритих питань, обгрунтовано актуальнiсть теми, сформульованi мета i задачi дослiдження. Виокремленi наукова новизна, наукове та практичне значення отриманих результатiв, iнформацiя про їх апробацiю, основнi публiкацiї та особистий внесок автора в роботи, виконанi у спiвавторствi, стисло викладено змiст дисертаційної роботи за роздiлами. У вступнiй частинi до кожного роздiлу викладено постановку конкретної проблеми. Кожний роздiл закiнчується пiдсумовуванням результатiв та висновками.

Перший роздiл дисертацiї присвячено розробцi i фiзичному застосуванню парцiально-хвильового аналiзу на узагальненому гiперболоїдi - однорiдному просторi , група рухiв якого розглядається як група симетрiї фiзичної системи ( - максимальна компактна пiдгрупа в ). Парцiально-хвильовий (гармонiчний) аналiз широко застосовується у квантовiй теорiї як метод для вивчення i використання симетрiй. Основою його є теорiя розкладiв (хвильових) функцiй, заданих на просторах, групи рухiв яких у фiзичних задачах вiдiграють роль груп симетрiй квантових систем. Iз некомпактних груп на даний час найкраще просунутий парцiально-хвильовий аналiз для групи Лоренца , особливо в побудовi двовимiрних лоренц-iнварiантних розкладiв релятивiстських амплiтуд, коли сама група є групою рухiв гiперболоїда у 4-вимiрному просторi релятивiстських швидкостей. У сучасних фiзичних теорiях мають вагу вищi групи симетрiї. Так, у квантовiй теорiї поля, що як динамiчна теорiя формулюється (у рамках аксiоматики Боголюбова) поза масовою поверхнею, групою рухiв простору, на якому вона розглядається, є група де Сiттера (або ). В останнiй час все бiльшу увагу привертає теорiя Калуци-Клейна, зв'язана з п'ятивимiрним простором-часом. У побудовi єдиної теорiї елементарних частинок перспективною на даному етапi вважається варiант iз супергравiтацiєю в ()-вимiрному просторi часi, який базується на iдеї Калуци-Клейна. Iз наведеного випливає, що є актуальною потреба в розробцi прийнятного для фiзичних застосувань парцiально-хвильового аналiзу для групи максимально широкого класу, яка була б групою рухiв якнайзагальнiшого многовиду.

У першому роздiлi якраз i вирiшується така задача. Тут уперше вводиться поняття про узагальнений гiперболоїд , як аналог гiперболоїда i розглядується загальний випадок, коли - довiльна напiвпроста некомпактна група, яка дiє на як група рухiв. Формули парцiально-хвильових розкладiв у просторi знаходимо у певнiй системi координат на . Позаяк для рiзних цiлей у фiзицi такi розклади потрiбнi у рiзних базисах, то ми розглядаємо рiзнi параметризацiї узагальненого гiперболоїда , а саме: сферичну, орисферичну, трансляцiйну, гiперболiчну.

Координатнi системи на уводяться груповим способом з допомогою рiзних розкладiв групи : сферична (-система) будується на основi розкладу Картана , трансляцiйна (-система) i орисферична (-система) - на основi розкладу Iвасави , гiперболiчна (-система) - на основi узагальненого розкладу Картана . Тут - деяка комутативна пiдгрупа групи , - нiльпотентна пiдгрупа з алгеброю , - деяка напiвпроста некомпактна пiдгрупа в тої ж розмiрностi, що i . У даному роздiлi описано, як це робиться конкретно. Вiдмiтимо, що однiй i тiй же групi може вiдповiдати декiлька пiдгруп i кожнiй iз них вiдповiдають свої системи координат на .

Перетворенню руху на узагальненому гiперболоїдi у просторi вiдповiдає перетворення хвильової функцiї , яке визначає в квазирегулярне представлення . Виникає задача побудови для кожної системи координат на базисiв простору . Кожнiй iз них вiдповiдає свiй ланцюжок звужень групи на пiдгрупи: -системi - , -системi - , -системi - , -системi - . ( - пiдгрупа в з алгеброю , - iнволютивний автоморфiзм Картана). Iншi пiдгрупи в ланцюжках редукцiй не розглядаємо. Iнтерес представляють базиснi функцiї з роздiленими змiнними, на яких реалiзуються незвiднi представлення тої iз перерахованих пiдгруп, яка характеризує дану систему координат. Такi функцiї є власними функцiями повного набору комутуючих спостережуваних - iнварiантних операторiв групи i її пiдгруп, що спiвставляються iз системою координат. Власнi значення (квантовi числа) цих операторiв характеризують базиснi функцiї.

Наступна задача - основна. Вона полягає у тому, щоб розкласти (так явно, як це можливо) хвильову функцiю квантової системи, симетрiя якої описується групою , по узагальнених "парцiальних хвилях", а це еквiвалентно розкладу її по спiльних власних функцiях повного набору комутуючих спостережуваних, власними значеннями яких характеризуються цi "хвилi". Таким чином, iз основною проблемою тiсно пов'язана задача пошуку рiзних повних наборiв комутуючих спостережуваних, якi визначають базиси в . У дисертацiї це детально проiлюстровано на прикладi групи де Сiттера , яка розглядається як група рухiв гiперболоїда . Повнi набори будуються так, що кожен iз них включає в себе iнварiантнi оператори (оператори Казимiра) групи i її пiдгруп, що вiдповiдають певному ланцюжку звуження групи на її пiдгрупи. Кожному такому набору вiдповiдає одна координатна система на , у параметрах якої роздiляються змiннi у системi диференцiальних рiвнянь, що представляють собою рiвняння на власнi функцiї операторiв спостережуваних, розглядуваних як диференцiальнi оператори на . Власнi значення спостережуваних вiдiграють роль постiйних роздiлення.

У цьому разi формули парцiальних розкладiв застосованi до хвильової функцiї частинки змiнної маси , . Для розкладу цiєї функцiї по незвiдних компонентах, якi є однорiдними функцiями, використано iнтегральне перетворення Меллiна. Iз-за однорiдностi подальший розклад незвiдних компонент зводиться до розкладу на 3-вимiрному многовидi - будь-якому контурi, що по одному разу перетинає кожну твiрну конуса . Одержанi формули розкладу узагальнюють вiдомi формули релятивiстсько-iнварiантного розкладу хвильової функцiї частинки фiксованої маси.

Наша головна мета у третьому роздiлi - одержання у явному виглядi узагальнених гiперсферичних функцiй (УГФ) для представлень довiльного класу вищих груп симетрiй, таких як - група орбертань в -вимiрному евклiдовому просторi , - узагальнена група Лоренца, - -вимiрна евклiдова група. У квантовiй фiзицi УГФ цих груп використовуються для симетризацiї багаточастинкових базисiв, обчислення хвильових функцiй фiзичних систем iз заданою симетрiєю, для вивчення трансформацiйних властивостей хвильових функцiй, для знаходження таких квантовомеханiчних величин, як коефiцiєнти Клебша-Гордана (ККГ), коефiцiєнтiв Рака (КР). Вони виникають у парцiально-хвильовому аналiзi, при розв'язаннi польових рiвнянь руху тощо.

Хоча деякi загальнi властивостi цих величин давно вiдомi, у явному виглядi вони були одержанi лише при . При ефективнi формули для УГФ у представленнях довiльного класу знайденi не були. Пряма процедура отримання їх як власних функцiй повного набору комутуючих спостережуваних приводить у кожному випадку до складної системи диференцiальних рiвнянь, якi важко розв'язати. Отже, необхiдно йти iншим шляхом. Коротко окреслимо той, який вибраний нами у даному роздiлi.

Основна задача полягає в одержаннi (i застосуваннi до опису багатовимiрної кульової квантовомеханiчної дзиги) УГФ для групи . У випадку УГФ найбiльш вiдома як хвильова функцiя квантовомеханiчної симетричної дзиги (це так звана -функцiя Вiгнера). По аналогiї iз цим випадком УГФ для iнтерпретуються як хвильовi функцiї квантовомеханiчної дзиги у просторi . Ми розглядаємо їх як матричнi елементи (МЕ) представлень групи . Метод їх знаходження полягає у використаннi iнтегрального представлення для МЕ представлень так званої основної неунiтарної серiї групи . Це iнтегральне представлення можна розглядувати для МЕ скiнченновимiрних пiдпредставлень представлень основної неунiтарної серiї. (Для МЕ таких представлень воно зводиться до лiнiйної комбiнацiї iнтегралiв типу , де i - невiд'ємнi цiлi числа). Однак в iнтегральне представлення слiд пiдставляти у ролi базисних функцiй МЕ незвiдних представлень групи . Використовуючи МЕ нульового стовпчика представлень класу 1 (гiперсферичнi функцiї групи ), з допомогою iнтегрального представлення можна знайти довiльнi МЕ скiнченновимiрних представлень класу 1 групи . Аналiтичне продовження по групових параметрах приводить до МЕ представлень класу 1 групи . Використовуючи МЕ представлень класу 1 групи i iнтегральне представлення для МЕ представлень групи , таким же чином через три кроки одержуються МЕ представлень класу 2 групи . Маючи МЕ класу 2 представлень групи i повторюючи такi ж кроки, знаходимо МЕ загального вигляду представлень класу 3 i т. д. Наш розгляд показує, що числовi коефiцiєнти у виразi для МЕ на кожному даному кроцi виражаються через такого ж типу коефiцiєнти для МЕ попереднього кроку. На кожному кроцi спiввiдношення мiж ними мають однакову структуру.

Аналiтичне продовження МЕ скiченновимiрних представлень групи до вiдповiдних МЕ представлень групи дає МЕ в неунiтаризованому виглядi. Для їх унiтаризацiї використовується матрична форма оператора унiтаризацiї, причому ця операцiя проводиться на кожному кроцi, коли робиться аналiтичне продовження по групових параметрах.

У даний час все бiльше застосування у квантовiй фiзицi знаходять новi симетрiї - квантовi симетрiї. Вони формулюються на мовi квантових груп, якi розглядаються як деякi деформацiї класичних груп. Параметр деформацiї вiдiграє тут роль, аналогiчну ролi постiйної Планка в квантовiй механiцi. При квантовi групи переходять у класичнi. В некомутативнiй геометрiї квантовi групи замiнюють групи рухiв просторiв евклiдової i рiманової геометрiї. Iз фiзичної точки зору це важливо у зв'язку з тим, що в останнi роки появились вказiвки на те, що геометрiя на дуже малих вiдстанях є некомутативною (квантовою) геометрiєю.

При розглядi квантової теорiї у 3-вимiрному просторi ми маємо справу з групою рухiв , що визначає кутовий момент i його додавання у квантовiй механiцi. Якщо ми працюємо у вiдповiдному квантовому просторi, то приходимо до квантової групи (розглядуваної як деформацiя групи ), що визначає додавання квантового кутового момента у цьому просторi. Застосування квантової групи у задачах фiзики вимагає системної розробки адекватного обчислювального формалiзму - -аналога апарату квантового кутового момента, особливо теорiї коефiцiєнтiв Клебша-Гордана (ККГ) i коефiцiєнтiв Рака (КР), якi тiсно пов'язанi iз тензорними добутками представлень. Для квантової групи ККГ визначаються так, як i у випадку групи Лi . Однак тепер тензорний добуток незвiдних представлень уже не є комутативним. Це призводить до того, що при розглядi -ККГ приходиться застосовувати -аналiз, -гiпергеометричнi функцiї, -ортогональнi многочлени i т. д.

Четвертий роздiл дисертацiї присвячено розвитку теорiї квантового кутового момента в некомутативнiй (квантовій) геометрiї, у тiй її частинi, яка стосується ККГ i матричних елементiв (-аналогiв -функцiй Вiгнера). Крiм того, розв'язуються i деякi практичнi питання -числення, яке тiсно пов'язане з математичним апаратом квантових груп.

Для -ККГ ми спочатку знайшли (методом старших ваг) явний вираз, що представляє собою -аналог формули Рака для класичних ККГ i установили їх зв'язок з базисною гiпергеометричною функцiєю i з вiдомими -полiномами Хана. Далi, виходячи iз даного виразу, на основi теорiї базисних гiпергеометричних функцiй, знайдено iншi форми виразiв для -ККГ, у тому числi -аналоги вiдомих у фiзицi формул. Iз одержаних явних виразiв для -ККГ установлюємо чотири спiввiдношення, якi генерують групу симетрiї -ККГ, що мiстить 72 елементи, включаючи i -аналог симетрiї Редже. Вивчаються i властивостi симетрiї -ККГ вiдносно "дзеркальних перетворень" параметрiв типу ; вони дають можливiсть значно спрощувати обчислення конкретних значень -ККГ. Вiдносно “дзеркальних” перетворень явні формули для -ККГ розподiляються на двi різні групи. При таких перетвореннях кожна формула даної групи переходить або сама в себе, або в якусь формулу тiєї ж групи.

П'ятий роздiл дисертацiї є прямим продовженням попереднього i присвячений розробцi теорiї коефiцiєнтiв Рака (-КР) i тiсно пов'язаних з ними -символiв у квантовiй (некомутативнiй) геометрiї. У звичайнiй квантовiй теорiї момента кiлькостi руху найбiльше значення КР як коефiцiєнтiв перетворення мiж рiзними схемами додавання трьох кутових моментiв. Крiм того (що бiльш важливо), вони утворюють "базис" для коефiцiєнтiв перезв'язування при додаваннi довiльного числа моментiв. Деякими авторами (див.: Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Т. 1, 2: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. Т. 1. - 302 с.; Т. 2. - 346 с.) розвивається та точка зору, що КР у квантовiй теорiї кутового момента є основними об'єктами, оскiльки iз них можуть бути отриманi всi iншi основнi величини цiєї теорiї: ККГ, МЕ, рекурсивнi формули тощо. Ключовим для цього є спiввiдношення Бiденхарна-Еллiотта, якому задовольняють КР i яке не мiстить в собi ККГ. Багато аспектiв такого пiдходу справедливi i для теорiї кутового момента в некомутативнiй геометрiї. Але тут iз -КР не можна одержати (в асимптотицi), наприклад, "квантових" -функцiй (вони виражаються, як це було показано в розд. 4, через некомутативнi змiннi) як це є у класичному випадку, хоч ми й одержуємо (асимптотичне) спiввiдношення, що зв'язує -КР iз величинами, якi при є звичайними -функцiями.

У шостому роздiлi вивчаються спектри i власнi функцiї операторiв типу Гамiльтона. Якщо квантовомеханiчна система допускає симетрiї групи , то, як правило, гамiльтонiан цiєї системи може бути сконструйований iз iнфiнiтезимальних операторiв якогось представлення цiєї групи. Простiр цього представлення є простором станiв даної квантової системи. Тодi установлення енергетичного спектру такої фiзичної системи зводиться до дiагоналiзацiї оператора цього представлення, що є гамiльтонiаном. У багатьох випадках, вивчаючи цi представлення, можна знайти спектр i власнi функцiї гамiльтонового оператора.

На завершення у дисертацiї сформульовано отриманi в нiй основнi результати.



ОСНОВНI РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Основнi результати дисертацiї можна сформулювати таким чином.

1. Розвинуто теорiю парцiально-хвильового (гармонічного) аналiзу на узагальненому гiперболоїдi i узагальненому конусi, група рухiв яких є довiльна некомпактна група Лi. У квантовiй фiзицi такi розклади вiдiграють провiдну роль.

На узагальнених гiперболоїдi i конусi теоретико-груповим методом уведено системи координат (сферична, гiперболiчна, орисферична i трансляцiйна), що асоцiюються з рiзними розкладами групи . Показано, що кожна з них зв'язана з дiагоналiзацiєю повного набору комутуючих спостережуваних, яка вiдповiдає цiлком певному ланцюжку пiдгруп групи .

Знайдено спiльнi власнi функцiї повних наборiв спостережуваних. Цi функцiї утворюють повну систему станiв простору представлення групи . В усiх випадках вони представляються у роздiлених змiнних; при цьому власнi значення спостережуваних (квантовi числа) виникають як постiйнi роздiлення, а координати системи - як змiннi роздiлення.

У кожнiй iз розглядуваних систем координат на узагальненому гiперболоїдi i узагальненому конусi знайдено пряму i обернену формули парцiального розкладу хвильової функцiї системи, симетрiя якої описується групою . Зокрема побудовано "плоскi хвилi" на узагальненому гiперболоїдi i дано формули розкладiв по них.

Парцiально-хвильовi розклади на узагальнених гiперболоїдi i конусi представляють собою узагальнення розглянутого парцiально-хвильового аналiзу на 4-вимiрних гiперболоїдi i конусi з групою рухiв . Останнiй застосовано для одержання формул парцiальних розкладiв хвильової функцiї, яка описує скалярнi частинки змiнної маси. Запропоновано застосування таких формул для десiттер-iнварiантної класифiкацiї станiв нестабiльної частинки. Вияснено, що у декартовому базисi на розклад iде по функцiях, якi вiдiграють роль плоских хвиль дiйсного 4-вимiрного простору Лобачевського , який реалiзується як . Це так званi орисферичнi хвилi у 4-просторi .

2. Гармонічний аналiз на гiперболоїдi використано для розкладу по функцiях, зв'язаних з парцiальними хвилями у сферичнiй системi координат на , релятивiстської амплiтуди бiнарної реакцiї розсiяння безспiнових частинок. На основi цього розкладу знайдено вирази для амплiтуд розсiяння частинки i античастинки при великих значеннях енергiї i доведено, що за абсолютною величиною вони рiвнi мiж собою.

3. У канонiчному базисi одержано в явному виглядi узагальненi гiперсферичнi функцiї для вищих груп симетрiй: групи обертань -вимiрного евклiдового простору i -вимiрної групи Евклiда - групи рухiв простору .

Вияснено, що головна задача при цьому полягає у знаходженнi узагальнених гiперсферичних функцiй (аналогiв -функцiй Вiгнера) групи для довiльного класу представлень. (Вони iнтерпретуються як хвильовi функцiї квантовомеханiчної дзиги у -вимiрному просторi). З їх допомогою знаходяться узагальненi гiперсферичнi функцiї групи (а також i -вимiрної групи Лоренца ). Для одержання "дзигових" функцiй запропоновано метод, який грунтується на застосуваннi iнтегрального представлення матричних елементiв основної серiї представлень групи .

Виведено три рiзнi формули, якi виражають узагальнену гiперсферичну функцiю -вимiрної групи Евклiда через звичайну гiпергеометричну функцiю, вироджену гiпергеометричну функцiю двох змiнних i (в окремому випадку) - через функцiю Бесселя, а також формула, яка виражає її через скiнченну суму функцiй Бесселя i -скалярних факторiв коефiцiєнтiв Клебша-Гордана групи .

4. Одержано формули iнфiнiтезимальних операторiв для важливих класiв представлень вищих груп фiзичних симетрiй у неканонiчних базисах.

5. Розвинуто теорiю квантового момента кiлькостi руху в квантовiй (некомутативнiй) геометрiї, що опирається на теорiю представлень квантової групи : розроблено фiзико-прикладнi аспекти теорiї коефiцiєнтiв Клебша-Гордана (-ККГ).

Знайдено рiзнi формули для -ККГ, у тому числi -аналоги вiдомих у фiзицi формул для класичних ККГ. Усi вони представленi через базисну гiпергеометричну функцiю . Для -ККГ отримано рiзнi породжуючi функцiї, рiзницевi рiвняння другого порядку, формула Родрiга. Знайдено повну групу симетрiй цих величин. Вона включає -аналог симетрiї Редже i симетрiї вiдносно "дзеркальних" перетворень.

Виведено два загальнi рекурентнi спiввiдношення для -ККГ i рiзнi тричленнi рекурентнi формули, що зв'язують -ККГ, у яких параметри змiнюються на 1 i на 1/2. Виведено ряд формул, якi є -аналогами вiдомих у квантовiй механiцi асимптотичних формул, зокрема асимптотична формула, яка при виражає звичайнi ККГ через вiдому у фiзицi "малу" -функцiю групи . Виведено формули додавання i множення -полiномiв Кравчука.

Вивчено властивостi -чисел (квантових чисел теорiї квантових груп).

6. У рамках квантової теорiї кутового момента у квантовiй (некомутативнiй) геометрiї розроблено придатний для фiзичних застосувань обчислювальний формалiзм коефiцiєнтiв Рака (-КР) i -символiв.

Одержано явнi формули для -КР, у тому числi -аналоги вiдомих у фiзицi формул для звичайних КР. Усi вони представленi через базисну гiпергеометричну функцiю .

Для -КР одержано асимптотичну формулу, яка при виражає КР групи через -функцiю. Отримано iншi асимптотичнi вирази для -КР - -аналоги вiдомих у квантовiй фiзицi асимптотичних формул Едмондса, Рака, Понзано-Редже. Показано, що в асимптотичнiй границi -КР стають -ККГ. Сформульовано такий результат: тотожнiсть Бiденхарна-Еллiота для -КР, властивостi ортогональностi -КР i -КР iз спiном 1/2 визначають усi -КР i усi -ККГ. Одержано цiлу низку три- i п'ятичленних рекурентних формул для -КР, а з них (в асимптотичнiй границi) - для -ККГ. Виведено рiзницеве рiвняння другого порядку для -символiв, а з нього - для -ККГ.

Виведено формули для коефiцiєнтiв Клебша-Гордана i коефiцiєнтiв Рака двопараметричної квантової групи .

7. Знайдено спектри, власнi вектори i функцiї перекриття для представимих матрицями Якобi операторiв типу Гамiльтона у представленнях груп квантових симетрiй.

Розв'язано спектральну задачу i знайдено власнi вектори операторiв (типу Гамiльтона) вироджених представлень вищих квантових груп , , , , а також симетричних операторiв невироджених представлень квантової групи Лоренца , квантової групи Евклiда , квантової групи евклiдових обертань . Функцiї перекриття векторiв iз рiзних базисiв виражено через -ортогональнi полiноми.

Вивчено проблему спектра i самоспряжених розширень симетричних операторiв представлень квантових груп i . Показано, що при певних умовах замикання необмежених симетричних операторiв представлень цих груп є самоспряженими операторами. При iнших умовах замикання не є самоспряженими i iндекси дефекту операторiв є (1,1). Для деяких операторiв знайдено явно їх власнi вектори.

8. Розв'язано проблему вкладення -деформованої алгебри у квантову алгебру . Для представлень алгебри iз старшими вагами одержано у явному виглядi матрицю переходу вiд канонiчного базису до базису -незвiдних представлень. Виведено формули дiї операторiв алгебри в -базисi.

9. Дiстала подальший розвиток теорiя узагальнених когерентних станiв (КС) для групи де Сiттера .

Запропоновано простий спосiб побудови системи КС для представлень основної серiї групи . Ця система станiв параметризується точками 4-вимiрного дiйсного простору Лобачевського . До них застосовано формули парцiально-хвильових розкладiв для гiперболоїда . "Радiальна" частина "парцiальних хвиль", по яких iде розклад у сферичнiй системi координат на , є розв'язком диференцiального рiвняння, яке зводиться до рiвняння Шредингера для задачi розсiяння на деякому потенцiалi. Знайдено у явному виглядi парцiальну -матрицю для цiєї задачi i визначено точки, у яких вона має полюси.

Вияснено, що розглядуванi КС є "плоскими хвилями" у просторi . Через них (узагальненим перетворенням Фур'є) здiйснюється перехiд до конфiгурацiйного простору, для якого квадратичний оператор Казимiра групи iнтерпретується як оператор квадрата iнтервалу. В асимптотичнiй границi "плоскi хвилi" стають звичайними плоскими хвилями 4-вимiрного евклiдового простору .

Виведено диференцiально-рiзницеве рiвняння (аналог рiвняння Шредингера), якому задовольняють КС як функцiї точок конфiгурацiйного простору, канонiчно-спряженого простору , i запропоновано можливi шляхи його застосування. У плоскiй границi це рiвняння набуває вигляду рiвняння Шредингера для вiльної частинки у просторi .

10. У рамках релятивiської квантової теорiї розвинуто формалiзм гармонiчного аналiзу, зв'язаного з моделлю iмпульсного простору постiйної кривизни (- фундаментальна довжина), група рухiв якого є . Вiн реалiзується як уявний простiр Лобачевського у 4-х вимiрах. Детально проаналiзовано формули розкладу по "плоских (орисферичних) хвилях" на просторi . Установлено, що є два типи цих "хвиль", якi вiдповiдають основнiй i дискретнiй серiям представлень групи рухiв. Показано, що у "класичнiй" границi iз орисферичних хвиль обох типiв для даного представлення групи , одержуються плоскi хвилi протилежних частотностей у звичайному -просторi, якi для неперервної серії вiдповiдають нееквiвалентним представленням групи Пуанкаре, причому рiзним типам хвиль простору вiдповiдають рiзнi областi -простору. Доведено, що у розглядуванiй моделi -простору час неперервний, а конфiгурацiйний простiр - квантований.

11. Квантову групу застосовано як групу динамiчної симетрiї у рамках проблеми опису спектра мас сильно-взаємодiючих елементарних частинок.

Методом динамiчної квантової групи для барiонiв iз -октета, вкладеного у 20-плет "ароматової" групи , отримано явнi, залежнi вiд параметра деформацiї , вирази для мас баріонів, а з них - -залежне масове спiввiдношення. Показано, що при значенні воно зводиться до класичного результату Гел-Мана-Окубо, а при нетривiальному значеннi параметра деформацiї дає нове правило сум, емпiрична точнiсть якого майже утричi краща, нiж точнiсть правила сум Гел-Мана-Окубо.

Знайдено, що в усiх розглянутих допустимих представленнях динамiчної квантової групи виконується одне й те ж -залежне спiввiдношення (правило -еквiдистантностi) для барiонних мас iз -декуплета, вкладеного у 20-плет квантової групи .



СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

1. Климык А.У., Качурик И.И. Вычислительные методы в теории представлений груп. - К.: Вища школа, 1986. - 224 с.

2. Качурик И.И. Асимптотические соотношения в q-аналоге квантовой теории углового момента // Укр. физ. журн. - 1992. -Т. 37, №2. - C. 294-303.

3. Groza V.A., Kachurik I.I., Klimyk A.U. -Deformed Euclidean algebras and their representations // Теорет. и мат. физ. - 1995. - Т. 103, №3. - C. 467-475.

4. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Matrix elements for the representations of and // Reports on Math. Phys. - 1984. - Vol. 20, №3. - P.49-62.

5. Качурик И.И., Климык А.У. Матричные элементы представлений группы // Докл. АН УССР. Сер. физ. мат. и техн. наук. -1981. - №5. - C. 8-11.

6. Kachurik I.I., Klimyk A.U. On Racah coefficients of the quantum algebra // J. Phys. A: Math. Gen. - 1990. - Vol. 23. - P. 2717-2728.

7. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Infinitesimal operators of group representations in non-canonical bases // J. Math. Phys. - 1988. - Vol. 29, №11. - P. 2377-2383.

8. Качурик И.И. О матричных элементах унитарных неприводимых представлений группы // Укр. мат. журн. - 1983. - Т.35, №1. - С. 91-94.

9. Гроза В.А., Качурик I.I. Теореми додавання та множення -многочленiв Кравчука, Хана i Рака // Доп. АН УРСР. Сер. фiз.-мат. та техн. наук. - 1990. - №5. - C. 3-6.

10. Groza V.A., Kachurik I.I., Klimyk A.U. On matrix elements and Clebsch- Gordan coefficients of the quantum algebra // J. Math. Phys. - 1990. - Vol. 31, №12. - P.2769-2780.

11. Kachurik I.I., Klimyk A.U. General recurence ralations for Clebsch-Gordan coefficients of the quantum algebra // J. Phys. A: Math. Gen. - 1991. - Vol. 24. - P. 4009-4015.

12. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Representations of the q-deformed algebras , and -orthogonal polynomials // Доп. НАН України. Сер. фiз.-мат. та техн. наук. - 1993. - №6. - C. 42-45.

13. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Operator spectra for quantum algebras and -ortho-gonal polynomials //Algebras, groups and geometries. - 1994. - Vol. 11, № 3. - P. 229-252.

14. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Representations of the q-deformed algebra // J.Phys. A: Math. Gen. - 1994. - Vol. 27. - P.7087-7097.

15. Gavrilik O.M., Kachurik I.I., Tertychnyj A.B. Baryon decuplet masses from the viewpoint of -equidistance // Укр. фiз. журн. - 1995. - Т.40, №7. - C.645-649.

16. Klimyk A.U., Kachurik I.I. Spectra, eigenvectors and overlap functions for representation operators of -deformed algebras // Commun. Math. Phys. - 1996. - Vol. 175. - P. 89-111.

17. Kachurik I.I. Representations of -deformed Euclidean algebra and spectra of their operators // J. Nonlin. Math. Phys. - 1997. - Vol.4, №4. - P.516-524.

18. Качурик I.I. -Числа i ортогональнi многочлени // Вiсник державного унiвер-ситету "Львiвська полiтехнiка" (Прикладна математика). - 1998. - №337. - C. 216-219.

19. Качурик I.I. -Числа квантових алгебр, числа Фiбоначчi i ортогональнi многочлени // Укр. мат. журнал. - 1998. - Т.50, №8. - C. 1055-1063.

20. Качурик I.I. Тричленнi рекурентнi спiввiдношення для коефiцiєнтiв Рака квантової алгебри // Науковий вiсник Ужгородського унiверситету (Серiя: Фiзика). - 2000. - №6. - C. 182-190.

21. Качурик I.I. Рoзклади хвильової функцiї частинки змiнної маси по незвiдних представленнях групи де Сiттера (редукцiя ) // Науковий вiсник Ужгородського унiверситету (Серiя: Фiзика). - 2002. - №7. - С. 52-57.

...