Квантові та ортогональні симетрії в квантовій теорії

22. Kachurik I.I., Klimyk A.U. The embedding // J. Phys. A: Math. Gen. - 2001. - Vol. 34. - P.793-805.

23. Gavrilik O.M., Kachurik I.I. Quantum groups as flavor symmetries, diquark-quark model, and the Cabibbo angle // Укр. фіз. журн. - 2003. - Т.48, №6. - С. 513-517.

24. Iorgov N.Z., Kachurik I.I. On symmetries in (2+1)-dimensional quantum gravity // Укр. фiз. журн. - 2002. - Т.47, №6. - С. 519-524.

25. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Representation matrix elements for the groups and : Prepr. /AS Ukraine. Jnt. Theor. Phys.; ITP-79-147E. - K.: 1979. - 42 p.

26. Качурик И.И., Климык А.У. Инфинитезимальные операторы представлений групп и в -базисе: Препр. / АН Украины. Ин.-т. теорет. физики; ИТФ-82-45 Р. - К.: 1982. - 24 р.

27. Kachurik I.I., Klimyk A.U. On Clebsch-Gordan coefficients of quantum algebra : Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-89-48E. - K.: 1989. - 28 p.

28. Groza V.A., Kachurik I.I., Klimyk A.U. The quantum algebra and basic hy-pergeometric functions: Prepr./AS Ukraine. Jnt. Theor. Phys.;ITP-89-51E.-K.:1989.-32 p.

29. Качурик И.И. Рекурентные соотношения для коэффициентов Клебша-Гордана и коэффициентов Рака квантовой алгебры : Препр. / АН Украины. Ин-т теорет. физики; ИТФ-90-37Р.- К.: 1990. - 28 с.

30. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Asymptotic properties of Clebsch-Gordan and Racah coefficients of the quantum algebra : Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-90-7E. - K.: 1990. - 24 p.

31. Gavrilik O.M., Kachurik I.I., Klimyk A.U. Deformed orthogonal and pseudoorthogonal Lie algebras and their representations: Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-90-26E. - K.: 1990. - 17p.

32. Kachurik I.I., Klimyk A.U. Spectra of representation operators of -deformed algebras and -orthogonal polynomials: Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-93-3E. - K.: 1993. - 37 p.

33. Kachurik I.I. Clebsch-Gordan and Racah coefficients of : Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-93-45E. - K.: 1993. - 8 p.

34. Gavrilik O.M., Kachurik I.I., Tertychnyj A.V. Representations of and a -polynomial defining baryon mass relations: Prepr. / AS Ukraine. Int. Theor. Phys.; ITP-94-34E. - K.: 1994. - 14 p.

35. Качурик И.И. Разложение волновой функции состояния переменной массы по неприводимым представлениям однородной группы де Ситтера // Труды Международной конференции "Теория представлений и групповые методы в физике". - М.: Наука. - 1990. - С. 251-262.

36. Klimyk A.U., Kachurik I.I. Spectra of representation operators for quantum algebra // Proc. Int. Workshop on Finite Dimensional Integrable Systems / Ed. by A.N. Sissakian, G.S. Pogosyan. - Dubna: JINR, 1995. - P. 104-111.

АНОТАЦІЇ

Качурик I.I. Квантовi та ортогональнi симетрiї в квантовiй теорiї. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.04.02 - теоретична фiзика. Iнститут теоретичної фiзики iм. М.М. Боголюбова НАН України. Київ, 2002.

Дисертацiя присвячена розвитку прикладних аспектiв теорiї симетрiй та їх застосуванню у квантовiй фiзицi. Розроблено i використано в задачах квантової теорiї гармонiчний (парцiально-хвильовий) аналiз на узагальнених гiперболоїдi i конусi, група рухiв яких - довiльна напiвпроста некомпактна група. Одержано у явному виглядi узагальненi гiперсферичнi функцiї i iнфiнiтезимальнi оператори ряду вищих груп симетрiй. Розроблено фiзико-прикладнi питання теорiї коефiцiєнтiв Клебша-Гордана (-ККГ) i коефiцiєнтiв Рака (-КР) -деформованої (квантової) групи . Зокрема, знайдено для них -аналоги формул класичних ККГ i КР, повнi групи симетрiй, рiзнi рекурентнi формули, рiзницевi рiвняння другого порядку, асимптотичнi спiввiдношення. Показано, що -ККГ можуть бути отриманi в асимптотицi iз -КР. Знайденi ККГ i КР для двопараметричної квантової групи . Установлено рiзноманiтнi властивостi квантових чисел (-чисел). Визначено спектр, власнi вектори i функцiї перекриття для представимих матрицями Якобi операторiв типу Гамiльтона у незвідних представленнях квантових груп. Розв'язано проблему вкладення -деформованої алгебри у квантову алгебру . Дiстала подальший розвиток теорiя когерентних станiв групи де Сiттера . У рамках релятивiстської квантової теорiї розвинуто формалiзм гармонiчного аналiзу, зв'язаного з моделлю iмпульсного простору постiйної кривизни, групою рухiв якого є . Отримано новi масовi формули в адроннiй фiзицi на основi динамiчної квантової групи .

Ключовi слова: симетрiя, група, незвiднi представлення, парцiально-хвильовi розклади, амплiтуда розсiяння, частинки змiнної маси, коефiцiєнти Клебша-Гордана, коефiцiєнти Рака, узагальненi гiперсферичнi гармонiки, квантова група, квантовий кутовий момент, некомутативна геометрiя, спектри операторiв, когерентнi стани, модифiкований iмпульсний простiр, плоскi хвилi, динамiчна симетрiя, адрони, масове правило сум.

Качурик И.И. Квантовые и ортогональные симметрии в квантовой теории. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. Институт теоретической физики им. Боголюбова НАН Украины. Киев. 2002.

Диссертация посвящена развитию математических аспектов теории симметрий и их применению в квантовой физике. Разработан и использован в задачах квантовой теории гармонический (парциально-волновой) анализ на обобщенных гиперболоиде и конусе, група движений которых - произвольная полупростая некомпактная група. Получены в явном виде обобщенные гиперсферические функции и инфинитезимальные операторы ряда высших групп симметрий. Разработаны физико-прикладные вопросы теории коэффициентов Клебша-Гордана (-ККГ) и коэффициентов Рака (-КР) квантовой группы . В частности, найдены для них -аналоги формул классических ККГ и КР, полные группы симметрий, разные рекурентные формулы, разностные уравнения второго порядка, асимптотические соотношения. Показано, что в асимптотике -ККГ могут быть получены из -КР. Найдены ККГ и КР для двупараметрической квантовой групы . Установлены разнообразные свойства квантовых чисел. Определены спектры, собственные векторы и функции перекрытия для представимых матрицами Якоби операторов типа Гамильтона в представлениях квантовых групп. Решена проблема вложения -деформированной алгебры в квантовую алгебру . Получила дальнейшее развитие теория когерентных состояний группы де Ситтера . Развит формализм гармонического анализа, связанный с моделью импульсного пространства постоянной кривизны, группа движения которого . Получены новые массовые формулы в адронной физике на основе динамичекой квантовой группы .

Ключевые слова: симметрия, группа, неприводимое представление, парициально-волновые разложения, амплитуда рассеяния, частицы переменной массы, коэффициенты Клебша-Гордана, коэффициенты Рака, обобщенные гиперсферические гармоники, квантовая группа, квантовый угловой момент, некомутивная геометрия, спектр операторов, когерентные состояния, модифицированные состояния, модифицированное импульсное пространство, плоская волна, динамическая симметрия, адроны, массовое правило сумм.

Kachurik I.I. Quantum and orthogonal symmetrics in quantum theory. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01.04.02 - theoretical physics. - Bogolybov Institute for Theoretical Physics. National Academy of Sciences of Ukraine. Kyiv, 2003.

The dissertation is devoted to the development of applied aspects of the theory of symmetries and to their applications to quantum physics. Harmonic (partial wave) analysis of wave functions, given on generalized hyperboloid and cone, is developed, when the motion group is an arbitrary semisimple noncompact group. It is a generalization of the harmonic analysis on 4-dimentional hyperboloid and cone with the homogeneous de Sitter group as the motion group. This analysis is applied to the wave functions of the relativistic scattering amplitude, and to coherent states of the group .

In an explicit form, the wave functions (an analogue of the Wigner -functions) of the quantum mechanics gyroscope in the -dimensional Euclidean space are obtained. They are generalized hyperspherical functions of the group . Four different formulas for generalized hypersperical functions for the -dimensional Euclidean group are derived. Explicit formulas for infinitesimal operators of important classes of representations of higher groups of physical symmetries in canonical and noncanonical bases are obtained.

The theory of quantum angular momentum in spaces of noncommutative (quantum) geometry, which is based on the representation theory of the quantum group , is developed. It is derived different formulas for Clebsch-Gordan coefficients (-CGC) and Racah coefficients (-RC) of the group , including -analogues of well-known in physics formulas for classical CGC's and RC's. They are expressed in terms of the basic hypergeometric functions. The whole groups of symmetries of -CGC's and of -RC's are found. They include -analogues of the Regge symmetry and the symmetries with respect to "reflection" transformations. It is proved that -CGC's are asymptotic limit of -RC's. Different asymptotic expressions for -CGC's and for -RC's are received. The -analogues of the asymptotic formulas for CGC's of Edmonds, Racah and Ponzano-Regge are among them. It is established that the -analogue of the Biedenharn-Elliott identify, the orthogonality for -RC's and the "fundamental" -RC's (that is -RC's for spin 1/2) determine all -RC's and all -CGC's. A series of three-term recurrence relations for -CGC's and for -RC's is derived in which parameters are changed by 1 or by 1/2. Two general recurrence relations for -CGC's are obtained. It is received a series of generating functions, the Rodriges formula and the difference equation of the second order for -CGC's and for -RC's. It is solved the problem of finding CGC's and RC's for two-parameter quantum group . It is shown that expressions for them can be identified with the corresponding CGC's and RC's for the one-parameter quantum group where is expressed in terms of and .

Different algebraic relations for the quantum numbers (-numbers) are derived. A relation of "natural" -numbers to Fibonachi numbers, to Chebyshev polynomials and to other special functions are established. Different linear and bilinear generating functions for - numbers are found.

Properties of spectra of operators of the Hamiltonian type in representations of quantum groups are studied. Eigen vectors of these operators are found. The coefficients of transitions (overlap coefficients) between different bases for these operators are calculated. They are expressed in terms of -orthogonal polynomials.

The problem of the embedding of the -deformed algebra into the quantum algebra is solved on representation theory level. Explicit formulas for operators of representation of the algebra in -basis are derived.

The theory of coherent states (CS) of the de Sitter group is further developed. In particular, a simple method of their construction is proposed, a differential-difference equation for them is derived, formulas for generalized partial wave decompositions are given. It is shown that these CS's can be considered as "plane waves" in 4-dimensional Lobachevsky space (they are parametrized by points of this space). Wave functions of variable mass particles in momentum Cartesian coordinates of this space are expanded in this system of "waves".

In the frame of relativistic quantum theory, a formalism of partial-wave analysis related to the modified momentum space of constant curvature ( is the fundamental lenght) with the motion group is developed. Decompositions in "plane (orispherical) waves" on this space are detailly analyzed. It is shown that there are related to representations of the principal series and of the discrete series of the motion group, respectively. A differential-difference equation for them is found. For the model of moment space under consideration, the time is continious and the configuration space is quantized.

Under assuming that the quantum groups , , are classifying for hadrons with flavours, a mass relation for barions from -octet (embedded into 20-plet of "flavour" group ) are obtained by the method of "dynamical" quantum group . For , this relation is much more exact than in the case of the classical group symmetry. It is also shown that for all addmissible representations of the "dynamical" quantum group , the -analogue of the mass relation for -decuplet barions is the same.

Key words: symmetry, group, irreducible representation, partial-wave expansion, scattering amplitude, particles with variable mass, Clebsch-Gordan coefficients, Racah coefficients, general hyperspherical harmonics, quantum group, quantum angular momentum, noncommutative geometry, operator spectrums, coherent states, modified momentum space, plane waves, dynamical symmetry, hadrons, mass sum rules.

Размещено на allbest.ru