Прямі та обернені спектральні задачі для демпфованих механічних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

Автореферат

Дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

01.01. 03 - Математична фізика

Прямі та обернені спектральні задачі для демпфованих механічних систем

Пивоварчик Вячеслав Миколайович

Київ 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Одеській державній академії будівництва та архітектури МОН України

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Березанський Юрій Макарович, Інститут математики НАН України, головний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, професор Кац Ізраіль Самойлович, Одеська державна академія харчових технологій, професор кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук, професор Кожухар Петро Олександрович (Сojuhari Petru), University of Mining and Metallurgy, Krakow, Poland, професор.

Провідна установа: Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (м. Харків)

Захист дисертації відбудеться “22 ” квітня 2003 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вчеої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України

Автореферат розісланий “13” березня 2003 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

1. Загальна характеристика роботи

спектральний демпфований коливання поліноміальний

Актуальність теми. Спектральні задачі для поліноміальних операторних в'язок виникають у різних галузях математики та математичної фізики (диференціальні рівняння, крайові задачі, теорія коливань та хвиль, теорія пружності, гідромеханіка).

Перші елементи спектральної теорії операторних в'язок містяться в роботах Я.Д. Тамаркіна, котрий вивчав асимптотики власних значень та власних функцій в'язок, породжених звичайними диференціальними рівняннями. Важливі результати отримані у основоположній роботі М.В. Келдиша. В цій роботі запроваджено поняття приєднаних векторів та кратної повноти системи власних та приєднаних векторів в'язок. В 1955 році з'явилася робота Р. Даффіна, в котрій був запроваджений клас сильно демпфованих в'язок у скінченновимірному просторі, пов'язаний з задачею про коливання механічних систем з великим тертям. Ця робота стала однією з причин появи піонерської роботи М.Г. Крейна та Г. Лангера. В ній був знайдений зв'язок теорії самоспряжених квадратичних в'язок з теорією самоспряжених операторів у просторі з індефінітною метрикою, де перші основоположні результати отримав Л.С. Понтрягін. В наступні роки важливі результати в спектральній теорії операторних в'язок отримані в роботах Ю.Ш. Абрамова, Т.Я. Азізова, О.М. Гомілко, А.Г. Костюченка, М. Г. Крейна, С.Г. Крейна, М.Д. Копачевського, А.С. Маркуса, В.І. Мацаєва, М.Б. Оразова, Г.В. Радзієвського, А.А. Шкалікова, А. Фрідмана (Fridman), І. Гохберга (Gohberg), М. Касхука (Kaashoek), П. Ланкастера (Lancaster), Г. Лангера (Langer), Р. Меннікена (Mennicken), Ю. Ровняка (Rovnjak), Л. Родмана (Rodman), М. Шинброта та багатьох інших. Слід також відзначити роботи Н.Г. Аскерова, І.І. Воровича, С.А.Габова, Г.І. Лаптєва, А.І. Мілославського, А.Г. Свєшнікова, В.І. Юдовича, В. Грінлі (Greenlee) та багатьох інших, в котрих вивчались конкретні задачі механіки, пов'язані з операторними в'язками. Незважаючи на велику кількість робіт, присвячених спектральній теорії в'язок, у багатьох випадках питання про розташування спектра операторної в'язки залишається вивченим недостатньо. В той же час відомо, що наявність спектра квадратичної в'язки певного виду у нижній півплощині свідчить про нестійкість вихідної динамічної задачі. Інколи (в задачах про коливання пружного півциліндра та півсмуги) важливо знати - сумарну алгебраїчну кратність дійсного спектра в'язки (оскільки кількість умов, котрі слід накласти на початкові умови для існування обмеженого розв'язку, дорівнює ). У монографії В.В.Болотіна підкреслюється важливість для теорії стійкості знаходження методів дослідження залежності від параметрів розташування власних значень несамоспряжених операторів та операторних в'язок, що містять звичайні диференціальні оператори четвертого порядку, а також методів знаходження кількості власних значень в деякій заданій частині комплексної площини. Відомо, що в розташуванні спектрів операторних в'язок існують загальні закономірності. Так спектр сильно демпфованої квадратичної в'язки - суто уявний, а спектр слабко демпфованої в'язки не перетинає уявну вісь. В дисертації знайдені нові закономірності розташування спектрів поліноміальних операторних в'язок. Ці закономірності подані у вигляді теорем стійкості, тобто інваріантності відносно змін деякого параметра сумарної алгебраїчної кратності спектра в деякій частині комплексної площини. Один з результатів дисертації є в деякому розумінні узагальненням теореми Кельвіна-Тейта-Четаєва, яка формулюється так: сила в'язкого тертя дестабілізує систему, що стабілізована гіроскопічними силами. В термінах теорії операторних в'язок цю теорему можна подати так: спектр квадратичної в'язки, де A, B та К - симетричні матриці, відсутній у правій півплощині тоді та тільки тоді, коли. Є. Заяцем отримане наступне посилення: якщо det A0, то сумарна алгебраїчна кратність спектра в'язки у замкненій правій півплощині дорівнює сумарній алгебраїчній кратності від'ємного спектра матриці А. В.Н. Зефіровим, В.В. Колесовим та А.А. Мілославським доведене аналогічне твердження для в'язки, що виникає в задачі про малі коливання пружного трубопроводу, що несе сталий потік ідеальної рідини. Актуальним є питання: чи вірна теорема Є.Заєця в загальному випадку, тобто коли абстрактні оператори А, В та К діють у нескінченновимірному просторі та можуть мати істотний спектр. У дисертації дана позитивна відповідь на це питання.

Найменш вивчені в'язки, що мають істотний спектр. Тут треба відзначити загальні результати Ф.Г. Максудова. Такі в'язки часто зустрічаються у задачах фізики (коливання півнескінченних струн та стержнів та ін.).

У той час як спектр оператора Штурма-Ліувілля на півосі добре вивчений в роботах В.А. Марченка, Ю.М. Березанського та ін., а на всій осі - в роботі Л.Д. Фадєєва та ін., спектр відповідної в'язки, що виникає в задачі про коливання півнескінченної або нескінченної струни у середовищі з в'язким тертям, вивчений недостатньо. Те ж можна сказати про спектр в'язки, що виникає в задачі про коливання півнескінченного стержня. Тому актуальним є розвинення спектральної теорії для квадратичної в'язки, що містить в собі оператор Штурма-Ліувілля або диференціальний оператор четвертого порядку. Cлід зазначити, що рівняння Штурма-Ліувілля на всій осі з потенціалом, що лінійно залежить від спектрального параметра, зустрічається також у теорії солітонних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь.

В дисертації розглянуті також обернені спектральні задачі. Історія теорії обернених задач, пов'язаних з рівнянням Штурма-Ліувілля, почалася з роботи В.А. Амбарцумяна. В класичних роботах И.М. Гельфанда та Б.М. Левітана, В.А. Марченка була розв'язана обернена задача для рівняння Штурма-Ліувілля на півосі, в роботі Л.Д. Фаддєєва - на всій осі, а в роботі Б.М.Левітана та М.Г.Гасимова на скінченному інтервалі. Тут слід відзначити роботи М.Г. Крейна, Ю.М. Березаньського, Ф.С. Рофе-Бекетова та ін. До задач Штурма-Ліувілля за допомогою відомого перетворення Ліувілля можна звести крайові задачі, пов'язані з малими коливаннями гладкої неоднорідної струни. Але на практиці всі струни є демпфованими, а тому їм відповідають задачі Штурма-Ліувілля з квадратичною залежністю від спектрального параметра. Слід зазначити, що першими роботами, присвяченими оберненій задачі для демпфованої струни були роботи Д.З.Арова та М.Г.Крейна та А.А.Нудельмана. Але в цілому цей напрям знаходиться лише на початку свого розвитку. Тому актуальні прямі та обернені спектральні задачі для квадратичних в'язок, що містять оператор Штурма-Ліувілля.

Прямі та обернені спектральні задачі Штурма-Ліувілля на компактних та некомпактних графах виникають в квантовій теорії квазіодновимірних хвильоводів (див., наприклад роботи В.М.Адамяна та Б.С. Павлова, П. Екснера (P. Exner) та ін.). В той час як прямій задачі присвячено досить багато робіт (роботи В.М. Адамяна, Ю.Б. Мельнікова та Б.С. Павлова, P. Exner, J. von Below та багатьох інших), обернена задача вивчена недостатньо. Тут слід відзначити, що існують два підходи до оберненої задачі на графах. В першому потенціал вважається тотожньо рівним нулю, а ціллю є знаходження форми графа. У другому (тут слід вказати на роботу Н.І. Герасименка) ціллю є знаходження потенціалів на ребрах графа. Прямі та обернені задачі на графах актуальні у зв'язку з розвитком дізайну квантових хвильоводів.

Обернена задача для рівняння Шредінгера з потенціалом, що лінійно залежить від спектрального параметра, зустрічається в теорії солітонних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь і вивчена недостатньо.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Hапрям досліджень, обраний у дисертації, передбачено планами наукової роботи Одеської державної академії будівництва та архітектури, а також частково у межах Об'єднаних грантів Міжнародного Наукового Фонду UCZ000 (1994) та UCZ200 (1995), а також гранта Government of Ukraine and U.S. Civilian Research and Development Foundation for the Independent States of the Former Soviet Union (CRDF), UM1-298 (1997).

Мета і задачі дослідження:

Дослідження інваріантності сумарної алгебраїчної кратності додатного спектра поліноміальної операторної в'язки симетричних операторів відносно збурень симетричними операторами. Дослідження інваріантності відносно певного класу збурень сумарної алгебраїчної кратності спектра квадратичної операторної в'язки у правій півплощині для в'язок, що виникають в задачах механіки з гіроскопічними силами;

Вивчення асимптотик спектрів малих коливань гладких неоднорідних струн, демпфованих на одному кінці, та демпфованих в середині;

Розв'язання обернених задач Штурма-Ліувілля з крайовими умовами та (або) потенціалом, що залежать від спектрального параметра та обернених задач знаходження густини неоднорідної демпфованої струни за різних умов демпфування. Дослідження єдиності розв'язку таких обернених задач.

Дослідження спектра задачі Штурма-Ліувілля на компактному зіркоподібному графі. Розв'язання оберненої задачі відтворення потенціалу задачі Штурма-Ліувілля на компактному зіркоподібному графі за спектром такої задачі та спектрами допоміжних задач.

Дослідження властивостей функції Йоста задачі Штурма-Ліувілля на некомпактному петлеподібному графі та розв'язання оберненої задачі відновлення потенціалу задачі Штурма-Ліувілля на некомпактному петлеподібному графі за функцією Йоста.

Розв'язання прямої та оберненої задач для рівняння Шредінгера на всій осі з потенціалом, лінійно залежним від спектрального параметра.

Вивчення спектра малих поперечних коливань демпфованого в'язко-пружного стержня, а також пружної півсмуги.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в дисертаційній роботі вперше:

Отримано, що за деяких умов сумарна алгебраїчна кратність додатного спектра поліноміальної операторної в'язки дорівнює сумарній алгебраїчній кратності від'ємного спектра оператора A;

Доведено, що за деяких умов сумарна алгебраїчна кратність спектра квадратичної в'язки обмежений знизу, B - симетричний, у відкритій правій півплощині дорівнює сумарній алгебраїчній кратності від'ємного спектра оператора A.

Розв'язані узагальнені пряма та обернена задачі Редже, тобто отриманий опис спектра та спосіб знаходження потенціалу та інших параметрів за спектром.

Розв'язані пряма та обернена задачі про малі коливання неоднорідної гладкої струни, демпфованої в центрі. Показано, що в цьому випадку спектр складається з двох гілок, одна з котрих наближається до дійсної осі.

Розв'язана задача визначення жорсткості (як функції координати) струни, величини зосередженої на кінці маси, коефіцієнта тертя одиниці довжини струни та коефіцієнта тертя зосередженої маси за даним спектром коливань струни та її довжиною. Показано, що така задача має єдиний розв'язок.

Розв'язана обернена задача Штурма-Ліувілля за трьома спектрами. Йдеться про наступну задачу. Задані спектри задач Штурма-Ліувілля з умовами Діріхле на інтервалах, треба знайти потенціал.

Розглянута пряма задача, тобто опис спектра наступної системи. Граф складається з трьох рівних за довжиною інтервалів, з'єднаних у вигляді зірки. На кожному з ребер графа задане рівняння Штурма-Ліувілля. На інших кінцях задані умови Діріхле. У вершині графа задані звичайні умови узгодження. Показано, що цей спектр чергується з об'єднанням спектрів трьох задач Діріхле, котрі породжені на ребрах графа тими ж потенціалами, якщо у вершині графа поставити умови Діріхле, інакше кажучи, якщо закріпити точку з'єднання трьох струн. Вивчена також асимптотична поведінка спектра.

Розв'язана обернена спектральна задача на зіркоподібному графі. Оскільки завдання спектра системи недостатнє для знаходження потенціалів на ребрах, у якості додаткової інформації обрані три спектри задач Діріхле на ребрах графа. Показано, що, якщо спектри цих чотирьох задач не перетинаються, то за ними три потенціали (відповідні ребрам графа ) можна визначити однозначно.

Розв'язані пряма та обернена задачі для петлеподібного графа.

Отримані результати про розташування нормальних власних значень задачі Штурма-Ліувілля на півосі та на всій осі з потенціалом, лінійно залежним від спектрального параметра.

Вивчене розташування спектрів малих поперечних коливань в'язко-пружного стержня в середовищі з в'язким тертям, а також спектрів коливань пружного трубопроводу, що несе сталий потік ідеальної рідини.

Для задачі, що описує малі поперечні коливання пружної півсмуги, отримані оцінки для сумарної алгебраїчної кратності дійсного спектра.

Практичне значення одержаних результатів: Дисертація носить теоретичний характер. Результати, отримані в дисертації можуть бути використані в теорії оптимального контролю. Результати розділу 5 можуть бути використані при дослідженні єдиності розв'язку більш складних обернених задач. Результати розділу 2 можуть бути використані і вже використовуються для подальшого розвитку спектральної теорії операторних в'язок та їх застосувань в теорії коливань демпфованих систем.

Особистий внесок здобувача. Викладені в основній частині дисертації результати отримані дисертантом. Автор використав при написанні додатку 2 дисертації результати отримані О.М. Гомілко у спільній з автором статті [20]. В статтях [23] та [25], що використані в дисертації, співавтор дисертанта професор С.van der Mee (University of Cagliari, Italy) приймав участь у постановці задач та в обговореннях.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на таких наукових конференціях та семінарах:

XI-а школа з теорії операторів в функціональних просторах. Міас, Челябінської обл., 1986.

Міжнародна наукова конференція “Schrodinger operators: standard and nonstandard”, Дубна Москов. обл., вересень, 1988.

XV-а школа з теорії операторів в функціональних просторах. Новгород, вересень, 1989.

I-а Кримська осіння математична школа-сімпозіум по спектральним та еволюційним задачам. Сімферополь, вересень, 1990.

Республіканська конференція “Функціональний аналіз та його застосування”, Одеса, вересень, 1990.

III-а Кримська осіння математична школа-сімпозіум по спектральним та еволюційним задачам. Сімферополь, вересень-жовтень, 1992.

International Workshop on Operator Theory and Applications, Regensburg, Germany, 1995.

Satellite Conference “Aspects of Spectral Theory” (2-nd Europ. Congr. of Math.), Vienna, Austria, July, 1996.

The 16-th International Conference on Operator Theory, Timisoara, Romania, July, 1996.

GAMM e.V. Annual Meeting, Regensburg, Germany, March 1997.

Mark Krein International Conference On Operator Theory and Applications, Odessa, Ukraine, August 1997.

International Workshop on Operator Theory and Applications, Groningen, the Netherlands, June-July 1998.

International Conference “Mathematical Results in Quantum Mechanics”, Prague, Czech Republic, June 1998.

The 18-th International Conference on Operator Theory, Timisoara, Romania, July, 2000.

International Conference “Differential Equations and Related Topics”, Moscow, May 2001.

Workshop “Evolution Equations: Perturbative Methods, Regularity and Qualitative Properties of Solutions”, Cagliari, Italy, July 2001.

International conference “Inverse Problems and nonlinear equations”, Kharkiv , August 2002.

Наукові семінари під керівництвом професорів : Костюченка А.Г., Левітана Б.М., Садовнічого В.А., Шкалікова А.А. (МДУ ім. М.В.Ломоносова), Захар'єва Б.Н. (Об'єднаний інститут ядерних досліджень, Дубна Москов. обл.), Копачевського Н.Д. (Cімферопольський державний університет), Маркуса А.С. (тоді Інститут математики Молдавської РСР), Арова Д.З. (Південно-Український педагогічний університет), Лангера Г. (Langer H., Institut fur Analysis, Tech. Math. und Versicherungsmathematik, Technische Universitat, Wien).

Публікації. Матеріали дисертації опубліковані у 25 статтях [1]-[25].

Структура та обсяг роботи.

Дисертація складається із вступу, дев'яти розділів, двох додатків, висновків та списку використаних джерел, що містить 229 найменувань. Загальний обсяг роботи 329 сторінок, у тому числі 6 рисунків.

2. Основний зміст роботи

У вступі розкрито стан наукової проблеми та підстави для розробки теми. Обґрунтовано актуальність і сформульовано мету дисертаційної роботи, наведено огляд літературних джерел за темою дисертації.

У розділі 1 розглянуті аналітичні властивості спектрів поліноміальних в'язок необмежених операторів, що діють у банаховому просторі.

У підрозділі 1.1 наведені означення, що використані у наступних розділах.

У підрозділі 1.2 отримані узагальнення на випадок поліноміальних в'язок необмежених операторів відомих результатів про належність межі спектра до апроксимативного спектра та про замкненість спектра. Показано, що апроксимативний спектр замкнений лише за певних умов, поданих в термінах підпорядкованості операторів.

У підрозділі 1.3 отримані узагальнення на випадок поліноміальних в'язок необмежених операторів відомих результатів про неперервність та кускову аналітичність нормальних власних значень та власних векторів та про неперервність знизу ізольованих частин cпектру.

У розділі 2 розглянуті поліноміальні в'язки cиметричних операторів, що діють у сепарабельному гільбертовому просторі.

У підрозділі 2.1 розглянуто квадратичну в'язку симетричних операторів, що має вигляд: A - самоспряжений оператор з областю визначення,число від'ємний спектр оператора A складається з нормальних власних значень; всі оператори, числа, оператори K підпорядковані оператору A у наступному сенсі: для областей визначення справедливе для всіх y D(A) виконується нерівність

Доведено, що спектр в'язки в куті лежить на інтервалі, складається суто з нормальних власних значень і що цим власним значенням не відповідають приєднані вектори.

Позначимо через спектр оператора A, через його резольвентну множину, а через нормальний спектр, тобто множину всіх нормальних власних значень. Основними в цьому розділі є наступні теореми.

Теорема 2.1.1. Сумарна алгебраїчна кратність додатного спектра в'язки (можливо нескінченна) дорівнює сумарній алгебраїчній кратності від'ємного спектра оператора A.

Теорема 2.1.2. Якщо сумарна алгебраїчна кратність невід'ємного спектра в'язки дорівнює сумарній алгебраїчній кратності недодатного спектра оператора A.

У підрозділі 2.2 розглянутий найважливіший для застосувань випадок n=2. В цьому випадку кут являє собою відкриту праву півплощину. Відповідно, спектр в'язки у відкритій правій півплощині - дійсний. Для нього мають місце твердження теорем 2.1.1 та 2.1.2. В цьому ж підрозділі досліджується спектр цієї в'язки в замкненій лівій півплощині при різних співвідношеннях між параметрами - нижньою гранню оператора A, нижньою гранню оператора K (та його нормою, якщо він обмежений). Показано, наприклад, що при спектр у замкненій лівій півплощиніможливий тільки на від'ємній півосі та у замкненому крузі радіуса центром в точці. Показано, що, якщо спектр можливий тільки на дійсній осі та у півплощині , нижня грань оператора K.

У підрозділі 2.3 розглядається в'язка за умов оператор підпорядкований A; для деякого існує оператор котрий є цілком неперервним; K обмежений знизу та існують числа такі, що для всіх справедлива нерівність.

Теорема 2.3.1. Нехай спектр оператора A знаходиться на інтервалах сумарна алгебраїчна кратність додатного спектра в'язки дорівнює сумарній алгебраїчній кратності від'ємного спектра оператора A.

У підрозділі 2.4. розглядається в'язка за умов: існує цілком неперервний оператор - обмежені оператори; Крім того, припускається, що резольвентна множина в'язки не є пустою. За таких умов спектр в'язки складається суто з нормальних власних значень. Доведено, що спектр в'язки у відкритій правій півплощині - дійсний та що власним значенням у відкритій правій півплощині не відповідають приєднані вектори.

Теорема 2.4.1. 1. Нехай 0 (A). Тоді сумарна алгебраїчна кратність спектра в'язки, розташованого у відкритій правій півплощині, збігається з сумарною алгебраїчною кратністю від'ємного спектра оператора A.

2.Якщо K > 0 на всіх векторах з D(A), то сумарна алгебраїчна кратність спектра в'язки, розташованого у замкненій правій півплощині, збігається з сумарною алгебраїчною кратністю невід'ємного спектра оператора A.

У підрозділі 2.5 розглянута слабко демпфована в'язка , тобто така, що для всіх y. Нехай також та існує цілком неперервний оператор A і отже, спектр в'язки складається з нормальних власних значень. Покладаємо, що спектр оператора A простий, тобто складається з алгебраїчно однократних власних значень, котрі занумеровані в порядку зростання. Позначимо через k > n. Розглядаються оператори A, для котрих. У випадку степеневої асимптотики остання умова може виконуватись коли .

Теорема 2.5.1. Якщо, то спектр в'язки простий.

Крім того, в цьому підрозділі отриманий наступний результат, який використовується далі в розділах 4 та 6.

Tеорема 2.5.2. Нехай A >> 0 та оператор A - цілком неперервний; оператори M та K0 - обмежені. Тоді суто уявні власні значення в'язки - півпрості, тобто їм не відповідають приєднані вектори.

У розділі 3 розглянуті квадратичні в'язки, що містять крім симетричних ще й антисиметричні оператори.

У підрозділі 3.1 розглядається в'язка у якій - спектральний параметр, параметр оператори B та K підпорядковані оператору A у наступному розумінні: існують сталі a > 0 та

b > 0 такі, що для всіх yD(A). Оператор, оператор B - симетричний,.

Теорема 3.1.1. Сумарна алгебраїчна кратність спектра в'язки у відкритій правій півплощині не залежить від тобто дорівнює сумарній алгебраїчній кратності від'ємного спектра оператора A.

У підрозділі 3.2 розглянута в'язка, де оператор В - симетричний, та підпорядкований оператору A у розумінні нерівності (1).

Теорема 3.2.1. Якщо то сумарна алгебраїчна кратність спектра в'язки у відкритій правій півплощині не менша від сумарної алгебраїчної кратності від'ємного спектра оператора A.

Розділ 4 присвячений задачам опису спектрів малих коливань демпфованих струн скінченної довжини та маси. Такі спектри складаються з нормальних власних значень. Починаючи з цього розділу згідно з термінологією, прийнятою в фізиці, зробимо поворот площини спектрального параметра на 90, тобто зробимо заміну спектрального параметра. Таким чином в нас права півплощина перейде в нижню півплощину.

У підрозділі 4.1 отримані необхідні далі оцінки розв'язків рівняння після підстановки. Тут погонна густина струни, t - час, s - поздовжня координата, u(s,t) - відхил від положення рівноваги в точці x у момент часу t. В цьому підрозділі функція s) задовольняє наступним умовам (м.в.).

У підрозділі 4.2 розглянута задача, яку породжує рівняння (2) та крайові умови Доведено що при a спектр такої задачі лежить у півплощині, де деяке додатне число.

Починаючи з підрозділу 4.3 і до кінця розділу 4 розглядаються крайові задачі для гладких струн скінченої довжини l. Під гладкими маємо на увазі такі. Тут і далі простір Соболева.

У підрозділі 4.3 розглянута задача про коливання гладкої струни з фіксованим лівим та демпфованим правим кінцем

додатна стала, що пропорційна коефіцієнту в'язкого тертя. Завдяки умовам, що накладені на густину струни, можна зробити перетворення Ліувілля і звести задачу до крайової задачі Штурма-Ліувілля з крайовими умовами, що залежать від спектрального параметра :

де x нова незалежна змінна, сталі R, дійсна функція така, що оператор A >> 0. Тут оператор A діє в Lзгідно з формулами

Задача (5) - (7) є узагальненням задачі Редже, яка відповідає випадку. Спектр задачі (5) - (7) (або, що те ж саме, спектр задачі (3), (4)), складається з нормальних власних значень геометричної кратності 1. Завдяки симетрії задачі (дійсні) спектр розташований симетрично відносно уявної осі та симетрично розташовані власні значення мають однакову алгебраїчну кратність. За умови знайдена асимптотика власних значень. Так у випадку ця асимптотика має вигляд:

У підрозділі 4.4 розглянуте узагальнення задачі попереднього підрозділу, а саме, розглянутий спектр задачі (5)-(7) без вимоги A >> 0. Тоді оператор A обмежений знизу, як оператор Штурма-Ліувілля. В цьому випадку задача (5)-(7) може мати власні значення у нижній півплощині. Звичайним способом задачу (5)-(7) можна подати як спектральну задачу для відповідної квадратичної операторної в'язки. Застосовуючи результати розділу 2 до отриманої в'язки, знайдено, що власні значення в нижній півплощині суто уявні та алгебраїчно однократні (позначимо їх). Відносно суто уявних власних значень у верхній півплощині доведена наступна теорема.

Теорема 4.4.1. Справедливі наступні твердження:

спектр задачі (5)-(7).

Якщо то кількість суто уявних власних значень в кожному з інтервалів - непарна.

Якщо то кількість суто уявних власних значень в інтервалі парна (можливо 0).

Якщо, то кількість власних значень в інтервалі непарна; якщо то кількість власних значень в інтервалі парна додатна.

Якщо, то кількість суто уявних власних значень з додатною уявною частиною непарна.

В 2.-5. враховується алгебраїчна кратність власних значень. Випадок залишається недостатньо дослідженим.

У підрозділі 4.5 розглянутий спектр малих коливань струни з фіксованим лівим кінцем та демпфованим правим кінцем. При цьому покладається, що струна всюди гладка крім однієї точки (не на кінці), де вона має зосереджену масу. Показано, що спектр коливань такої струни складається з двох гілок нормальних власних значень, одна з котрих наближається до дійсної осі у нескінченності, а друга наближається до деякої горизонтальної прямої. Знайдені асимптотики обох гілок спектра.

У підрозділі 4.6 розглянутий спектр малих коливань струни, що відрізняється від струни з попереднього підрозділу тим, що має зосереджену масу на правому демпфованому кінці. Крайова задача для такої струни за допомогою перетворення Ліувілля зведена до наступної крайової задачі Штурма-Ліувілля з крайовими умовами, що залежать від спектрального параметра

Показано, що в цьому випадку присутня тільки гілка спектра, що наближається до дійсної осі. Детально досліджена асимптотика спектра такої задачі. Показано, що у випадку, коли A >> 0, що відповідає умовам на густину струни, асимптотика має наступний вигляд

У підрозділі 4.7 розглянута задача, пов'язана з малими коливаннями гладкої неоднорідної струни в середовищі з розподіленим в'язким тертям, що за допомогою перетворення Ліувілля може бути зведена до вигляду

Теорема (відповідає теоремі 4.7.2 дисертації). Нехай оператор

A >> 0. Тоді:

Спектр задачі (13), (6), (11) складається з нормальних власних значень геометричної кратності 1, симетричний відносно уявної осі та алгебраїчні кратності симетрично розташованих власних значень збігаються.

Кількість суто уявних власних значень (з урахуванням кратностей) парна.

Всі власні значення лежать у відкритій верхній площині.

Якщо всі не суто уявні та всі кратні власні значення лежать у смузі

Якщо всі не суто уявні та всі кратні власні значення лежать у смузі Якщо всі не суто уявні власні значення розташовані на прямій якщо, то алгебраїчна кратність цього власного значення дорівнює 2, а всі інші власні значення прості.

При відповідній нумерації

У підрозділі 4.8 розглянута задача, пов'язана з малими коливаннями гладкої неоднорідної струни з фіксованими кінцями, яка демпфована у проміжній точці. За допомогою перетворення Ліувілля така задача може бути зведена до наступного вигляду:

Задача розглянута за наступних умов: оператор A, що діє , заданий формулами:

Теорема 4.8.1.

Спектр задачі (5), (6), (15) - (17) складається з нормальних власних значень.

Геометрична кратність кожного з цих власних значень дорівнює 1.

Спектр задачі (5), (6), (15) - (17) симетричний відносно уявної осі.

Цей спектр розташований у замкненій верхній півплощині.

Точка належить резольвентній множині задачі (5), (6), (15) - (17).

Всі дійсні власні значення (якщо такі є) - прості.

Наслідок 4.8.1.

Власні значення задачі (5), (6), (15) - (17) при відповідній нумерації мають такі асимптотики:

Розділ 5 присвячений оберненим задачам, тобто задачам знаходження густини неоднорідної струни або потенціалу рівняння Штурма-Ліувілля, виходячи зі знання спектра.

У підрозділі 5.1 розглянута узагальнена обернена задача Редже знаходження потенціалу рівняння Штурма-Ліувілля (5) та параметрів a, задачі (5) - (7) за заданим її спектром.

Позначимо через клас даних, що задовольняють наступним умовам: a > 0, q - дійснозначна функція, що належить.

Означення 1. Нумерацію послідовності назвемо для всіх не суто уявних.

Всі послідовності, що зустрічаються в дисертації можна правильно занумерувати.

Означення 2. Нехай ціле число. Тоді правильно занумеровану послідовність комплексних чисел назвемо SHB (відповідно SHB) - послідовністю, якщо

у замкнутій нижній півплощині знаходяться рівно елементів послідовності;

всі елементи послідовності, що лежать у замкненій нижній півплощині прості і знаходяться на уявній осі; якщо позначимо їх.

якщо то числа (за вийнятком, якщо воно рівне 0) не є елементами послідовності;

якщо, то кількість елементів послідовності, що лежать на кожному інтервалі (j = 1, …,), непарна;

якщо то інтервал містить парну кількість елементів послідовності (можливо це 0);

якщо то інтервал містить парну не рівну нулю у випадку SHB та непарну у випадку кількість елементів послідовності;

якщо , то послідовність містить непарну у випадку SHB та парну (можливо 0) у випадку кількість суто уявних елементів у відкритій верхній півплощині.

Теорема 5.1.1. Нехай

1) SHB та

2) вірна асимптотика

Тоді існує єдиний набір такий, що є спектром задачі (5)-(7), породженої цим набором.

При доведенні цієї теореми використані властивості цілих функцій Ерміта-Білера а також результати про малі збурення коренів цілих функцій типу синуса. Для випадку SHB в дисертації отриманий аналог теореми 5.1.1. Треба відзначити, що теорема 5.1.1 та згаданий її аналог (теорема 5.1.2 в дисертації) є оберненими теоремами до теореми 4.4.1. В дисертації наведений спосіб знаходження параметрів a, та побудови потенціала q(x). Останній грунтується на зведенні до процедури побудови потенціалу В.А. Марченка. Розглянуто частковий випадок і показано, що в цьому випадку знайдений набір породжує задачу (5)-(7) для якої відповідний оператор A >> 0.

У підрозділі 5.2 розглянута задача знаходження густини струни, тобто задача обернена до спектральної задачі (3), (4). Знання спектра задачі (3), (4) не достатнє для знаходження параметрів, бо задача (3), (4) інваріантна відносно перетворення

s' = rs, l' = rl.

В цьому підрозділі показано, як, використовуючи результати підрозділу 5.1, знайти параметри та , виходячи зі знання спектра та довжини струни l.

У підрозділі 5.3 розглянута задача обернена для спектральної задачі (5), (6), (11), тобто задача знаходження параметрів, виходячи зі знання спектра. Позначимо через B клас наборів, що задовольняють умовам: оператор A >> 0.

Теорема 5.3.1. Нехай правильно занумерована послідовність комплексних чисел задовольняє умовам:

Im> 0 для всіх k;

кількість (з урахуванням кратностей) суто уявних парна;

послідовність симетрична відносно уявної осі;

послідовність має асимптотику (12), де a > 0, P P > 0.

Тоді існує єдиний набір, що породжує задачу (5), (6), (11), спектр якої збігається.

Ця теорема використана для розв'язання задачі знаходження густини струни, величини маси, зосередженої на правому демпфованому кінці (лівий кінець фіксований) та коефіцієнта в'язкого тертя, виходячи з знання спектра малих коливань струни та її довжини.

У підрозділі 5.4 розглянута задача про малі коливання гладкої неоднорідної струни без тертя, лівий кінець якої фіксований, а правий несе зосереджену масу та може вільно рухатись у напрямі, перпендикулярному до рівноважного стану струни. Після перетворення Ліувілля така задача приймає вигляд задачі (5), (6), (11) з = 0. Спектр такої задачі лежить на дійсній осі. Обернена задача в цьому випадку полягає в знаходженні набору за спектром. Але один спектр не визначає однозначно набір. Для його знаходження потрібна додаткова інформація. В якості такої інформації взятий спектр крайової задачі з тим же потенціалом та крайовими умовами Діріхле на обох кінцях. Розв'язання такої оберненої задачі дозволило розв'язати задачу знаходження густини гладкої неоднорідної струни та зосередженої маси на правому кінці, виходячи зі знання її довжини та двох спектрів (спектра цієї струни з фіксованими кінцями та спектра цієї струни з одним фіксованим, а другим вільним кінцем з зосередженою масою).

У підрозділі 5.5 розглянута задача, обернена до задачі (13), (6), (11), тобто задача знаходження набору {a, p, m, q(x)} за спектром, яку вдалось розв'язати за додатковою вимогою відсутності суто уявного спектра.

Позначимо через клас наборів {a, p, m,q(x)}, що задовольняють наступним умовам: 1) q(x) - дійснозначна функція, що належить(0,a); 2) заданий формулами (8), (9) оператор A >> 0.

Теорема 5.5.1. Нехай послідовність комплексних чисел задовольняє умовам:

послідовність симетрична відносно уявної осі і кратності симетрично розташованих елементів збігаються;

для всіх k ;

для всіх k;

справедлива асимптотика (14).

Тоді існує єдиний набір, що породжує задачу (13), (6), (11), спектр якої збігається.

Ця теорема використана для розв'язання задачі знаходження густини струни, величини маси, зосередженої на правому демпфованому кінці (лівий кінець фіксований) та коефіцієнта в'язкого тертя розподіленого вздовж довжини струни та коефіцієнта в'язкого тертя зосередженої маси, виходячи з знання спектра малих коливань струни та її довжини.

У підрозділі 5.6 розглянута обернена задача за трьома спектрами, а саме задача знаходження потенціалу q(x) рівняння Штурма-Ліувілля за спектрами трьох наступних крайових задач Діріхле:

Теорема 5.6.3. Нехай три правильно занумеровані послідовності дійсних чисел, що мають асимптотики

де стала a > 0, дійсні сталі A та A задовольняють рівності та нерівності A.

Нехай, крім того, послідовність та об'єднання послідовностей чергуються у наступному розумінні: для кожного n > 1 інтервал містить рівно n - 1 елементів послідовності.

Тоді існує єдиний дійсний потенціал q(x), що породжує задачі (5), (20); (5), (21) та (5), (22) із спектрами, відповідно.

В цьому ж підрозділі наведений метод побудови потенціалу q(x) за трьома спектрами.

У підрозділі 5.7 розглянута задача обернена до задачі (5), (6), (15), (16), (17) за умовою, тобто задача знаходження потенціала q(x) за спектром. Але, оскільки така обернена задача має безліч розв'язків, в дисертації розглянуте питання: які умови на послідовність комплексних чисел гарантують, що ця послідовність є спектром задачі (5), (6), (15), (16), (17) з деяким дійсним q(x).

Позначимо через клас наборів {a,q(x)} таких, що a>0, дійсний потенціал (та оператор A, заданий формулами (18), (19), строго додатний. Для правильно занумерованої послідовності позначимо через

Теорема 5.7.1. Нехай послідовність комплексних чисел, що задовольняє наступним умовам:

Im для всіх;

послідовність симетрична відносно уявної осі;

3) послідовність може бути поданою у вигляді об'єднання двох підпослідовностей таким чином, що для всіх не суто уявних та підпослідовності мають наступні асимптотики:

Тоді існує набір що породжує задачу (5), (6), (15), (16), (17) спектр якої збігається.

У розділі 5.8 розглянута наступна задача

Така задача виникає при розгляді малих коливань струни з фіксованими кінцями, якщо на ліву частину струни діє в'язке тертя, а на праву - ні. У цьому розділі доведено, що спектр задачі (24), (25), (26) разом зі спектрами задач

Розділ 6 присвячений прямим та оберненим задачам, що породжені рівнянням Штурма-Ліувілля на графах.

У підрозділі 6.1 розглянута пряма задача, тобто опис спектра наступної крайової задачі

До цієї крайової задачі шляхом перетворення Ліувілля зводиться (у деякому частковому випадку) задача опису малих коливань системи трьох натягнутих струн, що з'єднаниі у формі зірки. Ця ж задача зустрічається у теорії квантових хвильоводів. Згідно з фізичним змістом задачі покладаємо, що дійсні потенціали. Не втрачаючи загальності, вважаємо, що майже всюди.

Поряд з задачею (27 (28, (29), (30) розглянемо три задачі Діріхле: породжені тією ж трійкою потенціалів {q}. Позначимо через, спектр задачі (27 (28 (j=1,2,3), (29), (30), а через правильно занумероване об'єднання спектрів задач (27; (27 та (27.

Теорема 6.1.3. Послідовність можна подати як об'єднання трьох підпослідовностей:, котрі мають асимптотики для j = 1,2,3, M та M - розв'язки (обидва дійсні, але можуть збігатися) рівняння

Теорема 6.1.5. Правильно занумеровані послідовності (покладаємо ) чергуються наступним чином:

Для будь-якого однократного (n >1)

Для будь-якого двократного:

Кратність кожного не більша від 2.

У підрозділі 6.2 розглянута обернена задача, тобто задача знаходження трійки потенціалів {q}. Оскільки спектр задачі (27 (28 (j=1,2,3), (29), (30) не визначає однозначно згадану трійку потенціалів, то в якості додаткової інформації взяті спектри задач (j=1,2,3). Основною в цьому підрозділі є наступна теорема.

Теорема 6.2.1. Нехай виконуються наступні умови:

Три послідовності (j=1,2,3) дійсних чисел такі, що:

де B дійсні сталі, B послідовності (j=1,2,3).

2. Послідовність дійсних чисел може бути подана як об'єднання трьох підпослідовностей, котрі мають асимптотики

де (j=1,2,3), M та M - розв'язки (різні та обидва дійсні через те, що для jp) рівняння (35).

3. Послідовності чергуються:

Тоді існує єдина трійка дійсних потенціалів q(x) (j=1,2,3), що породжує задачу зі спектром та задачі зі спектрами .

У підрозділі 6.3 розглянута пряма задача Штурма-Ліувілля на некомпактному графі, що складається з петлі та приєднаного до неї променя. Така задача зустрічається у квантовій механіці. Вона описується системою рівнянь

Спектр такої задачі складається з істотного (неперервного) спектра, що покриває дійсну вісь та з суто уявних півпростих нормальних власних значень, розташованих симетрично відносно початку координат. Розв'язок рівняння (5), що задовольняє умовам (36), (37) має асимптотику

Теорема 6.3.5. Нехай дійсний потенціал. Тоді та

B- ціла функція експоненціального типу, що належить простору при дійсних.

У підрозділі 6.4 розглянута обернена задача, а саме, задача знаходження потенціалу q за заданою функцією Йоста.

Теорема 6.4.1. Нехай функція задовольняє наступним умовам:

ціла функція експоненціального типу ціла функція експоненціального типу , що належить простору при дійсних ;

функції та належать до узагальненого класу Ерміта - Білера.

Тоді існує дійсний потенціал q(x) що породжує задачу (5), (36)-(38) з S-матрицею, яка виражається через за формулою (39).

Розділ 7 присвячений крайовим задачам на півосі та на всій осі, породженим рівнянням Штурма-Ліувілля з лінійним за спектральним параметром потенціалом.

У підрозділі 7.1 розглянуто спектр крайової задачі на півосі наступного виду:

де 1) функція q(x) неперервна на півосі;

3) функція p(x) неперервно-диференційовна на півосі.

Теорема 7.1.1. 1. Істотний спектр задачі (41), (42) покриває дійсну вісь.

2. Нормальні власні значення у відкритій нижній півплощині суто уявні та півпрості.

3. Сумарна алгебраїчна кратність спектра в нижній півплощині така ж як у задачі (41), (42) з тим же q(x) та з p(x) .

Теорема 7.1.2. Нехай існують додатні сталі такі, що виконується нерівність

Тоді кількість власних значень скінченна.

Індексом суто уявного власного значення назвемо кількість коренів, які має відповідна власна функція на інтервалі.

Теорема 7.1.3. Кожному власному значенню з відкритої нижньої півплощини (суто уявному) відповідає хоча б одне суто уявне власне значення з відкритої верхньої півплощини з тим самим індексом.

У підрозділі 7.2 розглянутий спектр коливань півнескінченної струни у середовищі з в'язким тертям. За певних умов гладкості струни та умов на коефіцієнт тертя перетворенням Ліувілля цю задачу можна звести до задачі з підрозділу 7.1 з деякими обмеженнями на q(x), внаслідок яких власні значення у нижній півплощині відсутні.

Теорема 7.2.1. Якщо функції q(x) та p(x) задовольняють нерівності то задача (41), (42) не має власних значень.

У підрозділі 7.3 розглянута задача про малі коливання нескінченної гладкої струни у середовищі з в'язким тертям. Шляхом перетворення Ліувілля ця задача зведена до задачі Штурма-Ліувілля на всій осі з потенціалом, лінійним за спектральним параметром, тобто до задачі, породженої рівнянням (41) на всій осі. Цю задачу розглянуто за умов:

Показано, що твердження теореми 7.1.1 справедливі і у випадку задачі на всій осі.

Теорема 7.3.2. Якщо, то

нормальний спектр задачі, породженої на всій осі рівнянням

лежить на уявній осі.

всі власні значення алгебраїчно прості;

їх кількість у відкритій верхній півплощині дорівнює їх кількості у відкритій нижній півплощині;

власні значення впорядковані за індексом у верхній та у нижній півплощинах (якщо - суто уявні власні значення занумеровані так, що, то власна функція, що відповідає має коренів);

ці власні значення зсуваються вверх з ростом.

Розділ 8 присвячений прямій та оберненій задачам, що породжені рівнянням Шредінгера з потенціалом, лінійним за спектральним параметром:

Тут m > 0, а дійсні потенціали p(x) та q(x) швидко спадають до нуля, коли.

Істотний спектр задачі, породженої рівнянням (43), вкриває дійсну вісь та відрізок Можуть існувати також нормальні власні значення.

У підрозділі 8.1 розглянуті аналітичні властивості розв'язків рівняння (43). Позначимо через С та Свідкриті верхню та нижню півплощини, відповідно. Запровадимо позначення та. При відповідному обранні гілки кореня відображення переводить. Використовуючи обернене перетворення, отримуємо дволистну ріманову поверхню з розрізом вздовж дійсної осі від до - m та від m до +. Зручно означити як неперервну функцію змінної для так, що для. Тоді (43) можна переписати як xR. Позначимо через Lклас вимірних функцій f(x) таких, що. Доведено, що за умов p(x), q(x) рівняння (44) мають йостівські розв'язки з асимптотиками:

Коефіцієнти розсіяння визначені за допомогою наступних асимптотик:

У цьому підрозділі розглянуті аналітичні властивості коефіцієнтів розсіяння, які використані у наступному підрозділі.

У підрозділі 8.2 розглянуті властивості перетворень Фурьє розв'язків рівняння (44).

Покладемо та запровадимо наступні перетворення між парами функцій змінної E :

Теорема 8.2.1. Нехай p(x). Тоді (модифіковані) йостовські розв'язки та (s=1,2) можна подати у вигляді: де h, а не залежать від E та належать L як функції t при фіксованому x

У підрозділах 8.3 та 8.4 доведено, що функції задовольняють інтегральним рівнянням типу Марченка. Через функції знаходяться потенціали p(x) та q(x).

У підрозділі 8.5 отримані достатні умови, за яких обернена задача знаходження функцій p(x) та q(x) за даними розсіяння має єдиний розв'язок.

У розділі 9 розглянуті спектральні задачі, породжені звичайними диференціальними рівняннями четвертого порядку.

В підрозділі 9.1 розглянута крайова задача, породжена рівнянням малих поперечних коливань в'язко-пружного стержня, яка зведена до наступного вигляду :

Вважаемо, що виконуються наступні умови. Функція k(x) неперервна на півосі [0,), а функція g(x) двічі неперервно диференційовна ; існують числа та такі, що. Істотний спектр такої задачі покриває коло радіуса центром в точці та піввісь. Знайдені достатні умови відсутності спектра в нижній півплощині. Описані області у верхній півплощині, де можливі нормальні власні значення.

У розділі 9.2 розглянута спектральна задача, що виникає при розгляді малих поперечних коливань пружного трубопроводу, що несе сталий потік ідеальної рідини. Відомо, що в такій задачі можлива гіроскопічна стабілізація. В розділі отримані необхідні умови такої стабілізації.

У розділі 9.3 розглянута спектральна задача, пов'язана з малими поперечними коливаннями пружної півсмуги. Використовуючи теорему 2.4.1 отримана оцінка для кількості дійсних власних значень такої спектральної задачі.

Висновки

Доведено, що сумарна алгебраїчна кратність додатного спектра поліноміальної операторної в'язки, яка діє у гільбертовому просторі, де A - самоспряжений оператор, оператори , за деяких додаткових умов дорівнює сумарній алгебраїчній кратності від'ємного спектра оператора A.

2. Доведено, що сумарна алгебраїчна кратність спектра квадратичної операторної в'язки, розташованого у правій півплощині, за деяких умов дорівнює сумарній алгебраїчній кратності від'ємного спектра оператора A.

Знайдені асимптотики власних значень крайових задач, що описують малі коливання струн, демпфованих на одному кінці (другий кінець фіксований), демпфованих в центрі (обидва кінці фіксовані).

Розв'язана обернена задача Штурма-Ліувілля за трьома спектрами: спектром задачі Діріхле на інтервалі [0, a], задачі Діріхле на інтервалі [0, a] та задачі Діріхле на інтервалі [a, a].

Розв'язані обернені задачі відтворення параметрів гладкої неоднорідної струни демпфованої на одному кінці (другий кінець фіксований), демпфованої в центрі (обидва кінці фіксовані).

Розв'язана обернена задача Штурма-Ліувілля з крайовами умовами Діріхле на зіркоподібному компактному графі.

Розв'язана обернена задача Штурма-Ліувілля на петлеподібному некомпактному графі.

Розв'язана обернена задача для рівняння Шредінгера з лінійним за параметром потенціалом досить швидко наближаються до нуля, коли x) на всій осі.

Досліджене розташування нормального спектра задачі про малі поперечні коливання півнескінченного в'язко-пружного стержня.

Отримані необхідні умови гіроскопічної стабілізації пружного трубопроводу, що несе сталий потік ідеальної рідини.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Пивоварчик В.Н. О дискретном спектре задачи, связанной с распространением волны в неоднородной среде с вязким трением // Дифференц. Уравнения. -1987. - Т.23, No. 9. - C.1533-1538.

Пивоварчик В.Н. Краевая задача, связанная с колебаниями упругого стержня с внутренним и внешним трением // Вест. МГУ, сер.1: Математика, механика. - 1987. - No.3. - C.68-71.

Пивоварчик В.Н. О числе собственных значений задачи Штурма-Лиувилля на полуоси с линейным по параметру потенциалом // Дифференц. Уравнения. -1988. - Т.24, No. 4. - C.705-708.

Пивоварчик В.Н. О колебаниях полубесконечного стержня с внутренним и внешним трением // Прикладная математика, механика. - 1988. - Т. 52, No.5. - C.829-836.

Пивоварчик В.Н. О спектре квадратичных операторных пучков в правой полуплоскости // Матем. заметки. - 1989. - Т. 45, вып.6. - С.101-103.

Пивоварчик В.Н. О собственных значениях одного квадратичного пучка операторов // Функциональный анализ и его приложения. - 1989. - Т.23, вып.1. - С.80-81.

Пивоварчик В.Н. О замкнутости аппроксимативного спектра полиномиального операторного пучка // Матем. заметки. - 1990. - Т. 47, вып.6. - С.147-148.

Пивоварчик В.Н. О дискретном спектре одной краевой задачи // Сибирский матем. журнал. - 1990. - Т. 31, No.5 - С.182-186.

Пивоварчик В.Н. Полиномиальные пучки операторов, связанные с задачами механики // Функциональный анализ и его приложения. - 1991. - Т.25, вып.4. - С.62-64.

Пивоварчик В.Н. О суммарной алгебраической кратности спектра в правой полуплоскости для одного класса квадратичных операторных пучков // Алгебра и анализ. - 1991. -Т.3, вып. 2. -С.223-230.

Пивоварчик В.Н. Достаточные условия простоты спектра слабо демпфированного пучка // Сибирский матем. журнал. - 1992. - Т. 33, No.6 - С.201-204.

Пивоварчик В.Н. Необходимые условия гироскопической стабилизации в одной задаче механики // Матем. заметки. - 1993. - Т. 53, вып.6. - С.89-96.

Pivovarchik V.N. On Positive Spectra of One Class of Polynomial Operator Pencils // Integral Equations and Operator Theory. - 1994. - Vol.19. -P.314-326.

Pivovarchik V.N. Inverse Problem for a Smooth String with Damping at One End // J. Operator Theory. - 1997. - Vol.38, No.2. - P.243-263.

Pivovarchik V.N. Inverse problem for a string with concentrated mass at one end // Methods of Functional Analysis and Topology. - 1998. -Vol.4, No.3. - P.61-71.

Пивоварчик В.Н. О спектрах малых колебаний струны при наличии вязкого трения на одном конце // Функциональный анализ и его приложения. - 1998. - Т.32, вып.1. - С.61-63.

Пивоварчик В.Н. Восстановление потенциала уравнения Штурма-Лиувилля по трем спектрам краевых задач // Функциональный анализ и его приложения. - 1999. - Т.32, вып.1. - С.61-63.

Pivovarchik V.N. An Inverse Sturm-Liouville Problem by Three Spectra // Integral Equations and Operator Theory. - 1999. - Vol.34, No.2. - P.234-243.

Pivovarchik V.N. Direct and Inverse Problems for a Damped String // J. Operator Theory. - 1999. - Vol.42. - P.189-220.

Gomilko A.M., Pivovarchik V.N. Parameter Dependent Estimates for Solutions of Sturm-Liouville Equation // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2000. -Vol.6, No.4. - P.26-42.

Pivovarchik V.N. Inverse Problem for the Sturm-Liouville Equation on a Simple Graph // SIAM J. Math. Anal. - 2000. -Vol.32, No.4 - P.801-819.

Pivovarchik V.N. Direct and Inverse Three-Point Sturm-Liouville Problem with Parameter-Dependent Boundary Conditions // Asymptotic Analysis. - 2001. - Vol.26. - P.219-238.

Pivovarchik V.N., van der Mee C. The Inverse Generalized Regge Problem // Inverse Problems. - 2001. - Vol.17. - P. 1831-1845.

Pivovarchik V.N. Scattering in a Loop-Shaped Wave-Guide // Operator Theory: Advances and Applications. - 2001. - Vol.124. - P.527-543.

Van der Mee C., Pivovarchik V.N. Inverse Scattering for a Schrodinger Equation with Energy-Dependent Potential // J. Math. Phys. - 2001. -Vol.42, No.1 - P.158-181.

...